Đề thi vào 10 và đáp án chuyên toán tỉnh Thái Nguyên năm học 2012

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI NGUYÊN
<b> KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN </b>

<b> NĂM HỌC 2012 - 2013 </b>
<b> </b>

<b>MƠN THI: TỐN</b>

<i><b>(dành cho các thí sinh thi Chuyên Toán) </b></i>

<b>Ngày thi: 30/6/2012 </b>

<i><b>Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) </b></i>

ĐỀ CHÍNH THỨC

<b>Bài 1 </b>
1,5 điểm

Chứng minh :

1.2.3….1005.1006.1007 + 1008.1009….2013.2014 chia hết cho 2015

<b>Bài 2 </b>
1,5 điểm

Chứng minh rằng phương trình 2013x2 + 2 = y2 khơng có nghiệm ngun.

<b>Bài 3 </b>

1 điểm

Kí hiệu [x] dùng để chỉ số nguyên lớn nhất khơng vượt q x .
Ví dụ [3,47] = 3; [5] = 5; [ -2,75] = -3 …

Hãy giải phương trình 4 3x 5x 5

5 7

 

 _{ }

 

 

<b>Bài 4 </b>

2 điểm Cho biểu thức

3

1 1

1 1 1

<i>x</i> <i>x</i>

<i>P</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>



  

    

a. Tìm x để P > 0

b. Tìm giá trị của P khi 53
9 2 7
<i>x</i>



<b>Bài 5 </b>

1 điểm Ta viết dãy phân số

1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 5
; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ...
1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1

Hỏi phân số 2012

2013 đứng ở vị trí thứ bao nhiêu trong dãy trên.

<b>Bài 6 </b>

1,5 điểm

Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp trong một đường tròn. Gọi K là một điểm
tùy ý trên cung nhỏ AD ( K không trùng với A hoặc D), gọi K1,K2,K3,K4 lần

lượt là chân các đường vng góc hạ từ K xuống AD, AB, CD, CB.
Chứng minh K₁ là trực tâm của tam giác K₂K₃K₄.

<b>Bài 7 </b>
1,5 điểm

Trong hình trịn tâm O, bán kính R dựng hai đường kính vng góc AE và
BF. Trên cung nhỏ EF lấy điểm C. Gọi P là giao điểm của AC và BF, gọi Q
là giao điểm của AE và CB.

Chứng minh diện tích của tứ giác APQB bằng R2.

<i> …..Hết….. </i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI MƠN TỐN CHUN
NĂM HỌC 2012-2013

Bài 1
1,5 điểm

Chứng minh :

1.2.3….1005.1006.1007 + 1008.1009….2013.2014 chia hết cho 2015
Giải: 1008.1009….2013.2014 =
(2015-1007)(2015-1006)…(2015-2)(2015-1)

= A.2015 – 1007.1006…3.2.1
=>ĐPCM

Bài 2
1,5 điểm

Chứng minh rằng phương trình 2013x2 + 2 = y2 khơng có nghiệm ngun.

Giải : Nhận thấy rằng x và y cùng tính chẵn, lẻ.
+) y chẵn : VP ≡ 0(mod4), VT ≡ 2(mod4)
+) y lẻ : VP ≡ 1(mod8),VT ≡ 7(mod8)
Bài 3

1 điểm

Kí hiệu [x] dùng để chỉ số nguyên lớn nhất khơng vượt q x.
Ví dụ [3,47] = 3; [5] = 5; [ -2,75] = -3 …

Hãy giải phương trình 4 3x 5x 5

5 7

 

 _{ }

 

 

Giải:Phương trình đã cho tương đương với

4 3x 5x 5 9 53 10 5x 5 5

0 1

5 7 23 46 23 7 46

5x 5 5x 5 5x 5

7 7 7

<i>x</i>

  

 _ _ _  _{ } _ _ _

  

 _ _

 _  _  _

 _  _  _

  

  



5x 5

0 1

7 <i>x</i>

 _{  }

Bài 4

2 điểm Cho biểu thức

3

1 1

1 1 1

<i>x</i> <i>x</i>

<i>P</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>



  

    

c. Tìm x để P > 0

d. Tìm giá trị của P khi 53
9 2 7
<i>x</i>



Giải: Rút gọn P = <i>x</i>2 <i>x</i>1 với điều kiện x > 1.
a. P > 0 

(<i>x</i> 1) 2 <i>x</i>  1 1 0 ( <i>x</i> 1 1)2 0 <i>x</i>  1 1 0 x ≠2
Vậy P > 0 khi x lớn hơn 1, x khác 2.

b. P = 7 ( 53 53(9 2 7) 2

9 2 7 ( 7 1) 1)

81 28
9 2 7

<i>x</i>       




Bài 5

1 điểm Ta viết dãy phân số

1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 5
; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ...
1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1

Hỏi phân số 2012

2013 đứng ở vị trí thứ mấy trong dãy trên.
Giải:

Ta phân chia dãy đã viết thành các nhóm như sau: nhóm thứ nhất có 1 phân
số, nhóm thứ hai có 2 phân số, nhóm thứ ba có 3 phân số,…

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

phân số tiếp theo (thuộc nhóm thứ ba) có tổng của tử và mẫu bằng 4, bốn
phân số tiếp theo (thuộc nhóm thứ bốn) có tổng của tử và mẫu bằng 5…
Như vậy, phân số 2012

2013 ở vị trí thứ 2013 trong nhóm các phân số có tổng
của tử và mẫu bằng 4025 ( bằng 2012 + 2013), tức là nhóm các phân số

4024 4023 4022 2012 3 2 1

; ; ;... ;... ; ;

1 2 3 2013 4022 4023 4024 .

Số các phân số từ phân số thứ nhất cho đến nhóm này là
1 + 2 +…+ 4023 = 4023.4024 4023.2012

2  .

Vậy phân số 2012

2013 ở vị trí thứ 4023.2012 + 2013 = 8096289 trong dãy
Bài 6

1,5 điểm

Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp trong một đường tròn. Gọi K là một điểm
tùy ý trên cung nhỏ AD ( K không trùng với A hoặc D), gọi K₁,K₂,K₃,K₄ lần
lượt là chân các đường vng góc hạ từ K xuống AD, AB, CD, CB.

Chứng minh K₁ là trực tâm của tam giác K₂K₃K₄.
Giải: Gọi I là giao của KC và K₃K₄. Kẻ

K2K1 cắt K3K4 tại E. ĐPCM  K2E

vng góc với K₃K_4.

Vì tứ giác AK₁KK₂ nội tiếp nên góc
K1K2K= góc K1AK. (1)

Vì tứ giác ABCD nội tiếp nên góc
K1AK= góc KCK3 (2)

Vì tam giác IKK₃ cân nên góc IKK₃ =
góc IK3K (3)

Vì tam giác KCK₃ vng nên góc IKK₃ +
góc KCK₃ = 1v (4)

Từ (1), (2), (3),(4) có góc EK2K3 + góc

EK₃K₂ = 1v hay góc K₂EK₃ = 1v
Bài 7

1,5 điểm

Trong hình trịn tâm O, bán kính R dựng hai đường kính vng góc AE và
BF. Trên cung nhỏ EF lấy điểm C. Gọi P là giao điểm của AC và BF, gọi Q
là giao điểm của AE và CB. Chứng minh diện tích của tứ giác APQB bằng
R2.

Giải: ĐPCM  . 2
2

<i>AQ BP</i>
<i>R</i>



Tacó 0

( 45 ,

d A

)

2

<i>ABP</i> <i>QAB</i>

<i>QAB</i> <i>ABP</i>

<i>s cung C</i>

<i>APB</i> <i>QBA</i>

 

   

   

Từ đó <i>AB</i> <i>BP</i>

<i>AQ</i>  <i>BA</i> hay AQ.BP = 2R

2

vì

2
<i>AB</i><i>R</i>

Ghi chú : Học sinh giải đúng theo cách khác vẫn cho điểm tối đa.

Tổ chấm cần thảo luận kỹ về thang điểm cho từng phần để thống nhất trong

quá trình chấm.

A

B C

D

∙

K
K4

K1

K3
K2

.

I
E

E
A

B
F

.

C
P

</div>

<!--links-->