Bài toán biên không chính qui cho phương trình vi phân tuyến tính cấp hai

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Cao Thị Diệu Phước

BÀI TỐN BIÊN KHƠNG CHÍNH QUI
CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH
CẤP HAI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Cao Thị Diệu Phước

BÀI TỐN BIÊN KHƠNG CHÍNH QUI
CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH
CẤP HAI
Chun ngành : Tốn giải tích
Mã số
: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS.NGUYỄN ANH TUẤN

Thành phố Hồ Chí Minh – 2016


LỜI CẢM ƠN
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo, Phòng Sau
đại học, Khoa Toán Tin trường Đại học Sư phạm TP HCM đã tạo mọi điều kiện thuận
lợi cho tôi trong suốt q trình học tập và hồn thành Luận văn Thạc sĩ.
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các giảng viên của Trường đã nhiệt tình
truyền đạt những kiến thức quý báu, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành
khóa học.
Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới PGS. TS. Nguyễn Anh Tuấn đã hướng dẫn
tôi trong suốt q trình nghiên cứu và hồn thành Luận văn Thạc sĩ.
Đồng thời, tôi xin gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô trong hội đồng chấm luận văn
đã dành thời gian đọc, chỉnh sửa và đóng góp ý kiến cho tơi hồn thành luận văn này
một cách hồn chỉnh.
Cuối cùng tơi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đã động viên, khuyến
khích tơi trong suốt q trình học tập và nghiên cứu.
Xin chân thành cảm ơn!


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn thạc sỹ Tốn Học với đề tài “Bài tốn biên khơng
chính quy cho phương trình vi phân tuyến tính cấp hai” là do tôi thực hiện với sự
hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Anh Tuấn, khơng sao chép của bất kì ai.
Nội dung luận văn được tham khảo, trình bày lại các kết quả của các nhà toán
học: I.T.Kiguradze và A.G.Lomtatidze; Alexander Lomtatidze and Zdeněk Opluštil từ
các tài liệu được liệt kê trong danh mục tài liệu tham khảo. Tơi xin hồn tồn chịu
trách nhiệm về luận văn của mình.

Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 27 tháng 09 năm 2016

Học Viên Thực Hiện

Cao Thị Diệu Phước


MỤC LỤC
Lời cảm ơn
Lời cam đoan
Mục lục
Mở đầu ........................................................................................................................... .1
DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU ........................................................................................ 3
Chương 1. BÀI TỐN BIÊN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH
CẤP HAI VỚI KÌ DỊ
1.1. Giới thiệu bài toán và các định nghĩa ............................................................... 4
Định nghĩa 1.1 ......................................................................................................... 5
Định nghĩa 1.2 ......................................................................................................... 5
1.2. Định lí về nghiệm của các bài tốn thuần nhất 1.10  , 1.k 0  (k  2,3, 4)
Định lí 1.3 ............................................................................................................... 5
Bổ đề 1.4 ................................................................................................................. 6
Bổ đề 1.5 ................................................................................................................. 8
Bổ đề 1.6 ............................................................................................................... 12
Chứng minh định lí 1.3 ......................................................................................... 13
Hệ quả 1.7 ............................................................................................................. 15
Định lí 1.8 ............................................................................................................. 16
Định lí 1.9 ............................................................................................................. 19
Hệ quả 1.10 ........................................................................................................... 19
Định lí 1.11 ........................................................................................................... 20
Định lí 1.12 ........................................................................................................... 22
Hệ quả 1.13 ........................................................................................................... 23
Định lí 1.14 ........................................................................................................... 24

1.3. Định lí về tính giải được của bài tốn biên khơng chính quy cho phương
trình vi phân tuyến tính cấp hai ...................................................................... 26
Định lí 1.15 ........................................................................................................... 26
Bổ đề 1.16 ............................................................................................................. 26


Bổ đề 1.17 ............................................................................................................. 28
Bổ đề 1.18 ............................................................................................................. 30
Bổ đề 1.19 ............................................................................................................. 31
Chứng minh định lí 1.15 ....................................................................................... 31
Định lí 1.20 ........................................................................................................... 35
Định lí 1.21 ........................................................................................................... 35
Định lí 1.22 ........................................................................................................... 36
Chương 2. ĐỊNH LÍ FREDHOLM CHO BÀI TỐN DIRICHLET KHƠNG
CHÍNH QUY CẤP HAI
2.1. Định nghĩa ......................................................................................................... 37
2.2. Tính giải được của bài tốn Dirichlet khơng chính quy cấp hai.................. 38
Định lí 2.1 (Định lí Fredholm) ............................................................................. 38
Bổ đề 2.2 ............................................................................................................... 39
Bổ đề 2.3 ............................................................................................................... 42
Mệnh đề 2.4 .......................................................................................................... 42
Mệnh đề 2.5 .......................................................................................................... 43
Mệnh đề 2.6 .......................................................................................................... 44
Chứng minh bổ đề 2.3. .......................................................................................... 46
Bổ đề 2.7 ............................................................................................................... 49
Chứng minh định lí 2.1 ......................................................................................... 53
Định lí 2.8 ............................................................................................................. 57
Hệ quả ................................................................................................................... 58
KẾT LUẬN .................................................................................................................. 60
TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................................... 61

1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Các phương trình vi phân hàm đã xuất hiện từ thế kỉ XVIII như một cơng cụ tốn
học cho những bài tốn trong vật lý và hình học. Tuy nhiên cho đến cuối thế kỉ XIX
chúng chỉ được biết đến trong các áp dụng cụ thể và chưa có sự nghiên cứu mang tính
hệ thống về chúng. Đầu thế kỉ XX sự quan tâm về phương trình vi phân hàm đã tăng
lên, đặc biệt là đối với các ứng dụng trong cơ khí, sinh học và kinh tế. Ở thời điểm đó,
các nhà tốn học đi theo hướng nghiên cứu này đã xây dựng nên các lý thuyết định
tính cho phương trình vi phân hàm và những lý thuyết đó vẫn cịn tồn tại cho đến ngày
nay. Vào thập niên 1970, những phát triển lớn trong việc xây dựng lý thuyết bài toán
biên cho phương trình vi phân hàm đã được đề xuất và nền tảng cho lý thuyết về bài
toán biên cho phương trình vi phân hàm đã được xây dựng. Các cơng cụ về giải tích
hàm và tơpơ là những cơng cụ hiệu quả nhất để nghiên cứu các lĩnh vực này. Tuy
nhiên việc nghiên cứu các bài toán biên cụ thể cho phương trình vi phân hàm mới chỉ
thành cơng phần nào, vẫn cịn nhiều khó khăn trong việc nghiên cứu về phương trình
vi phân hàm ngay cả trong trường hợp phương trình là tuyến tính.
Trong những năm gần đây, những nổ lực của nghiên cứu này đã thành công trong
một số trường hợp bài tốn biên cho phương trình vi phân hàm. Ngồi ra, lý thuyết
phương trình hàm cịn được áp dụng để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của các bài tốn
biên khơng chính qui và phương trình vi phân với đối số lệch. Đặc biệt là nghiên cứu
của các tác giả I.T.Kiguradze và A.G.Lomtatidze “về tính giải được của bài tốn biên
khơng chính qui cho phương trình vi phân tuyến tính cấp hai”. Chính vì lí do đó, tơi
chọn đề tài “Bài tốn biên khơng chính qui cho phương trình vi phân tuyến tính cấp
hai”
2. Mục đích của đề tài
Luận văn này sẽ trình bày về tính giải được của bài tốn biên hai điểm khơng

chính qui cho phương trình vi phân tuyến tính cấp hai.
Nội dung chính của luận văn là trình bày lại kết quả của các nhà toán học:
I.T.Kiguradze và A.G.Lomtatidze[On certain boundary value problems for second


2
order ordinary differential equations with singularities]; Alexander Lomtatidze and
Zdeněk Opluštil [Fredholm alternative for the second-order singular Dirichlet
problem].
3. Phương pháp nghiên cứu
Trong luận văn này, tôi chủ yếu thu thập các tài liệu liên quan đến đề tài, đọc
hiểu. Từ đó tơi tổng hợp và trình bày thành một luận văn hoàn chỉnh.
4. Ý nghĩa thực tiễn của đề tài nghiên cứu
Luận văn sẽ là đề tài tham khảo cho sinh viên và học viên cao học quan tâm đến
bài toán biên hai điểm khơng chính qui cho phương trình vi phân tuyến tính với kì dị.


3

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU


R là tập các số thực.



 x  



C  I  với I  R là tập hợp các hàm liên tục u :I  R .

x x
,
2

 x  

x x
.
2

 Với u  C  ,  xét chuẩn: u

  , 





 max u  t  : t   ,  .



L  a, b  là tập hợp các hàm p :  a, b   R khả tích Lebesgue trên  a, b  .



L

loc 

a, b   là tập hợp các hàm p :  a, b   R khả tích Lebesgue trên  a, b  

với mọi  đủ nhỏ.


L

loc  

a, b   là tập hợp các hàm p :  a, b   R khả tích Lebesgue trên

a  , b   với mọi 


đủ nhỏ.

C 1   a, b   là tập hợp các hàm u :  a, b   R có đạo hàm cấp một liên tục
loc
tuyệt đối trên a  , b   với mọi  đủ nhỏ.



AC'   a, b   là tập hợp các hàm u :  a, b   R liên tục tuyệt đối và đạo hàm
loc
bậc nhất cũng liên tục tuyệt đối trên mỗi khoảng con đóng của  a, b  .



:L

loc  

a, b    L

loc  

a, b   là toán tử được định bởi:


t





a b
2



  p  t   exp   p    d


t
1
1. Nếu   p   L loc  a, b   thì a  p  t  
   p    d
  p  t 

a

t
b
1
2. Nếu   p   L  a, b  thì ab  p  t  
   p    d   p    d
  p  t  a
t



u  s   và u  s   là giới hạn trái và giới hạn phải của hàm u tại điểm s.


4

Chương 1. BÀI TỐN BIÊN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH
CẤP HAI VỚI KÌ DỊ
1.1.Giới thiệu bài tốn và các định nghĩa
Xét phương trình vi phân tuyến tính cấp hai

u"  p1  t  u  p 2  t  u ' p 0  t 

(1.1)

với p k  L loc   a, b   (k  0, 1, 2)
Hàm u  C 1loc   a, b   thoả phương trình (1.1) hầu khắp nơi trên  a, b  được gọi là
nghiệm của phương trình (1.1).
Với  ;  R tuỳ ý và t 0  a,b , bài tốn tìm nghiệm u của (1.1) thoả một trong ba

điều kiện biên sau:

u  a    ,

lim

t b

u 't

  p 2  t 

(1.2)

u  a    ,

u  b   

(1.3)

u  a    ,

u  b   u  t0   

(1.4)

gọi là bài tốn biên cho phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với kì dị.
Các bài tốn thuần nhất lần lượt tương ứng với các bài toán (1.1), (1.k) ( k = 2, 3, 4) là:

u"  p1  t  u  p 2  t  u '

u  a    0,

lim

t b

u 't
0
  p 2  t 

1.10 
1.20 

u  a    0,

u  b   0

1.30 

u  a    0,

u  b   u  t0 

1.40 

Các bài toán biên (1.1), (1.2) và (1.1), (1.3) đã được nghiên cứu đầy đủ trong trường
hợp p k  L a, b   k  0,1,2  (xem [1],[ 5], [11], [13]).
Điều kiện giải được duy nhất của (1.1), (1.3) đã được đề cập trong các cơng trình [4],
[6], [7], [8] với

p k  L a, b  , ab  p 2  p k  L a, b   k  0,1 , p 2  L a, b 
hoặc


5
p k  L  a, b   k  0,1 ,

p 2  L  a, b  ,

  p 2   L  a, b 

Trong chương này tơi sẽ trình bày về tính giải được và duy nhất nghiệm của các bài
toán (1.1), (1.k) ( k = 2, 3, 4 ) không loại trừ các trường hợp p k  L  a, b   k  0,1,2  .
Các kết quả được trích từ bài báo [9] của hai nhà tốn học I. T. Kiguradze và A. G.
Lomtatidze.

Định nghĩa 1.1
Hàm C :  a, b    a, b   R gọi là hàm Cauchy của phương trình 1.10  nếu với mọi

  

   a, b  thì hàm u t  C t,  là nghiệm của 1.10  thoả điều kiện đầu:

u     0,

u '    1

Nếu C là hàm Cauchy của phương trình 1.10  , bằng phép biến đổi Laplace thì với
mọi t,    a, b  ta có:
C  t,   

t
t
t
1
1
     p 2  s  ds  p1  x  C  x,   dx (1.5)
   p 2  s  ds  
  p 2    
   p 2  x   x


Định nghĩa 1.2
Hàm g :  a, b    a, b   R gọi là hàm Green của bài toán 1.10  , 1.k 0  (k = 2, 3,4)
nếu với mỗi    a, b  cố định tuỳ ý thì:
1)Hàm u  t   g  t,   liên tục trên  a, b  và thoả điều kiện biên 1.k 0  .
2)Thu hẹp của u lên  a,   và  , b  là nghiệm của bài toán 1.10  .
3) u '      u '      1 .

1.2. Định lí về nghiệm của các bài toán thuần nhất 1.10  , 1.k 0  (k  2,3, 4)
Định lí 1.3
Giả sử
  p 2   L  a, b  , a  p 2  p1  L  a, b 

(1.6)

và hàm bị chặn v  C 1   a, b   sao cho
v  t   0, v '  t   0

a  t  b 

(1.7)


6
D  v  t   v"  t   p1  t  v  t   p 2  t  v '  t   0

a  t  b 

(1.8)

D  v  t   0 trên tập có độ đo dương.

Khi đó, bài tốn 1.10  , 1.2 0  chỉ có nghiệm tầm thường.

Để chứng minh định lí 1.3 ta cần chứng minh các bổ đề 1.4, 1.5, 1.6
Bổ đề 1.4
Nếu
  p 2   L  a, b  , ab  p 2  p1  L  a, b 

(1.9)

thì trên  a, b    a, b  hàm Cauchy của phương trình 1.10  thoả:
C  t,   

t
r0
   p 2  s  ds ,
  p 2    

  t,     a, b    a, b 



b


2
với r0  exp  b
 ab  p 2  s  p1  s  ds 
    p 2  s  ds a

 a


(1.10)

(1.11)

Chứng minh
Cố định    a, b  .Đặt
t

  t     p 2       p 2  s  ds


1

C  t,   nÕu t   vμ      1

1
t
x
t

1
   p 2  s  ds    p 2  s  ds    p 2  s  ds , t  

h(t, x)     p 2  x  x



0
, t


Theo (1.5) ta có
C  t,   

t
t
t
1
1
     p 2  s  ds  p1  x  C  x,   dx
   p 2  s  ds  
  p 2    
   p 2  x   x


Từ đó

C  t,   

t
t
t
1
1
     p 2  s  ds  p1  x  C  x,   dx
   p 2  s  ds  
  p 2    
   p 2  x   x

t

Nhân cả hai vế của bất đẳng thức cho   p 2       p 2  s  ds


1

ta được


7
1

t

  t   1    p 2       p 2  s  ds



t


    p 2  s  ds  p1  x  .C  x,   dx

   p 2  x   x

t

1

hay
1

t

  t   1     p 2       p 2  s  ds 
     p 2  s  ds  p1  x  .C  x,   dx
  p 2  x   x



t

t

1

Tiếp tục biến đổi ta được
1
x


  t   1     p 2       p 2  s  ds C  x,   




t

t
x

1

    p 2  s  ds     p 2  s  ds
   p 2  x  x



 p1  x  dx

p
s
ds




 2

t

Do đó
t

  t   1   h  t, x  p1  x    x  dx

khi a  t  b





Mặt khác: h  t, x   min a  p 2  x  , 

b

 p 2  x  víi  x    t  x   0

Trong đó
b  p 2  x  

a  p 2  x  

1

b

1

   p 2  s  ds

   p 2  s  ds
  p 2  x  x
x

  p 2  x  a

Do đó
h  t, x   r1ab  p 2  x  ,

 x    t  x   0

Vậy
t

  t   1  r1  p1  x  ab  p 2  x    x  dx ,


Trong đó
r1  2     p 2  s  ds 
b

a

1



Theo bổ đề Bellman [2 trang 46]

với a  t  b

1


8


t









  t   exp  r1  p1  x    p 2  x  dx   r0 ,
ab

atb

Do đó: (1.10) đúng.
Bổ đề được chứng minh 

Bổ đề 1.5

Nếu có (1.9) thì phương trình 1.10  có nghiệm u1 và u 2 thoả điều kiện
u1  a    0,
u 2  b    0,

lim

t a

u'1  t 
1
  p 2  t 

u'2  t 
 1
lim
t  b    p 2  t 

(1.12)

(1.13)

Hơn nữa, mọi nghiệm u của 1.10  độc lập tuyến tính với u1 ( hoặc với u 2 ) thì sẽ có
giới hạn u  a    u  b    hữu hạn khác không.

Chứng minh
Ta chứng minh phương trình 1.10  có nghiệm u1 thoả (1.12) và nếu mọi nghiệm u
của 1.10  độc lập tuyến tính với u1 thì có giới hạn u  a   khác không .
Với mỗi số tự nhiên k, đặt

tk  a 

ba
k

vk t   0 ,

với a  t  t k

và
v k  t     p 2  t k  C  t, t k  ,

tk  t  b

Trong đó C là hàm Cauchy của phương trình 1.10 
Với t k  t  b , ta có
v k  t     p 2  t k  C  t, t k 

Do vậy
v k  t     p 2  t k  C  t, t k  ,

Áp dụng bổ đề 1.4

tk  t  b


9

v k  t     p 2  t k 

r0

t

t

tk

tk

   p2   d  r0    p2   d

  p 2  t k 

hay
t

v k  t   r0    p 2    d,

atb

(1.14)

a

với


b



2
r0  exp  b
 ab  p 2  s  p1  s  ds 
    p 2  s  ds a

 a


Ta có
t

C  t, t k  
  p 2  s  ds  
     p 2  s  ds  p1    C  , t k  d

  p 2  t k  t k
  p 2     
tk

t
t
t


v k  
1
1
d

  p 2  s  ds 

    p 2  s  ds  p1   


  p 2  t k  t k
  p 2  t k  t k  
  p 2   

t

1

t

1

Với t k  t  b , do cách đặt
t

v  
d
v k  t     p 2  t k  .C  t, t k      p 2  s  ds       p 2  s  ds  p1    k
  p 2   
tk
tk  

t

t

Lấy đạo hàm hai vế theo t



t



tk

v'k  t     p 2  t  1   p1   


vk  
d 
  p 2    

tk  t  b 

Ta được
t
t
v'k  t 
v  
vk  
 1   p1    k
d   p 1   
d
  p 2  t 
  p 2   
  p 2   
tk

tk

t





r0
   p 2  s  ds  d
   p 2    a


  p1    
tk

t
v'k  t 
 1  r0  p1    a  p 2    d, t k  t  b
  p 2  t 
a

(1.15)


10
Từ (1.14), (1.15) cho thấy dãy v k k 1 và v ' k k 1 bị chặn đều và liên tục đồng bậc trên




mỗi khoảng compact trong  a, b  . Khơng mất tính tổng qt giả sử chúng hội tụ đều
trên mọi khoảng được xét.
Mặt khác:

u1  t   lim v k  t  là nghiệm của bài toán 1.10 
k 

Từ (1.14), (1.15)
t

u1  t   r0    p 2    d và
a

t
u1'  t 
 1  r0  p1      p 2    d, a  t  b
  p 2  t 
a

Như vậy, u1 thoả điều kiện đầu (1.12)

u1  a    0   a 0   a, b  : u1  t   0,

a  t  a0

Giả sử a  t  a 0 : u1  t   0 . Khi đó
u1'  t   0 mâu thuẫn với lim
t a

u1'  t 
1
  p 2  t 

Do đó: tồn tại a 0   a, b  sao cho u1  t   0

 a  t  a0 

Đặt u là 1 nghiệm tuỳ ý của bài toán 1.10  và độc lập tuyến tính với u1
Xét

W  t   u '  t  u1  t   u  t  u1'  t 
Lấy đạo hàm hai vế theo t

W'  t   u"  t  u1  t   u'  t  u1'  t   u'  t  u1'  t   u  t  u"1  t 
hay
W'  t   u''  t  u1  t   u  t  u"  t 
1

Vì u, u1 là các nghiệm của phương trình 1.10  nên

u"  t  u 1  t   p1  t  u  t  u1  t   p 2  t  u '  t  u1  t 
u  t  u1''  t   p1  t  u  t  u1  t   p 2  t  u  t  u '  t 
1

Do đó


11
 t




'
W  t   p 2  t  W  t   0  W  t   c2 .exp   p 2  s  ds  với c2 = const, c2  0
 ab

 2


hay
 t



'
'
u  t  u1  t   u  t  u1  t   c2 .exp   p 2  s  ds   c2 .  p 2  t 
 ab

 2


Vì u1  t   0, t   a,a 0  nên
'
 u t 
u t
 c2 .  p 2  t 
 u  t  
 1 

2
1

'
 u  t   c2 .  p 2  t 


 u  t  
u12  t 
1




u t

u1  t 

b

 c1  c2 

  p 2   
u12   

t

d

Vì thế

  p 2   
d,
u12   
t

b

u  t   c1u1  t   c2 u1  t  

a  t  a 0 với c i = const ( i = 1, 2) và c2  0

Từ đẳng thức
u'  t  u1  t   u  t  u1'  t   c2 .  p 2  t 

Nên
u'  t  u1  t 
u1'  t 
 ut
 c2
  p 2  t 
  p 2  t 

Điều này cho thấy
u  a    c2 ,

lim

t a

  p 2  t 

1
u'  t 
1

Tương tự ta chứng minh phương trình 1.10  có nghiệm u 2 thoả (1.13) và nếu mọi
nghiệm u độc lập tuyến tính với u 2 thì tồn tại giới hạn u  b   hữu hạn khác không 


12

Bổ đề 1.6
Nếu có (1.9) thì mọi hàm khả vi liên tục, bị chặn v :  a, b   R đều thoả:
lim inf

v '  t  u1  t 
0
  p 2  t 

(1.16)

lim inf

v '  t  u2  t 
0
  p 2  t 

(1.17)

t a

t b

Trong đó u1 , u 2 là nghiệm của 1.10  thoả điều kiện (1.12), (1.13)

Chứng minh
Ta chứng minh (1.16)
Giả sử ngược lại.

u1  a    0   a 0   a, b  : u1  t   0,

a  t  a0

Giả sử a  t  a 0 : u1  t   0 . Khi đó

u'1  t 
'
1
u1  t   0 mâu thuẫn với lim
t a   p 2  t 
Do đó: tồn tại a 0   a, b  sao cho u1  t   0, a  t  a 0
Ta có

lim inf

t a

v '  t  u1  t 
0
u'  t 
1

Nên với a 0   a, b  ở trên, tồn tại   0 sao cho
v '  t  u1  t 

u'  t 
1

Do đó
u'1  t 
v 't  
u1  t 


13
Tóm lại ta đã chứng minh rằng tồn tại   0 và a 0   a, b  sao cho

u1  t   0 và v '  t   

u1'  t 
,
u1  t 

a  t  a0

Từ đẳng thức
a0

 v  t    v '    d  v  a 0 
t
a0

a0

t

t

 v  t    v '    d  v  a 0    v '    d  v  a 0 

với
a0

a0

t

t

 v '    d   

u'   
1

u1   

d   ln

u1  a 0 
u1  t 

Vì vậy
a0

v  t    v '    d  v  a 0    ln
t

u1  a 0 
 v a0  ,
u1  t 

a  t  a0

Điều này mâu thuẫn vì v bị chặn.
Chứng minh tương tự cho (1.17)
Bổ đề được chứng minh 

Chứng minh định lí 1.3
Giả sử bài tốn 1.10  , 1.2 0  có 1 nghiệm u khác khơng.
Theo bổ đề 1.5, khơng mất tính tổng quát giả sử rằng
lim

t a

u'  t 

  p 2  t 

1

Điều này và 1.2 0  dẫn đến tồn tại điểm b 0   a, b  sao cho

u  t   0, u '  t   0

lim

t  b 0

u'  t 

  p 2  t 

0

 a  t  b0 

(1.18)

(1.19)


14
Đặt

t  

1
 v '  t  u  t   u'  t  v  t  

  p 2  t  

(1.20)

Lấy đạo hàm theo t, ta được

'
 v'  t  u  t   u'  t  v  t     p  t    v'  t  u  t   u'  t  v  t      p  t  '
2
2




'  t   
2  p 2  t 
v"  t  u  t   u"  t  v  t    v'  t  u  t   u'  t  v  t   p 2  t 



  p 2  t 

v"  t  u  t   p 1  t  u  t  v  t   p 2  t  u '  t  v  t   v '  t  u  t  p 2  t   u '  t  v  t  p 2  t 

  p 2  t 



v"  t  u  t   p 1  t  u  t  v  t   v '  t  u  t  p 2  t 
  p 2  t 

Vậy

'  t  

1
D  v  t  u  t 
  p 2  t 

Do (1.7) và (1.8) ta có

'  t  

1
D  v  t  u  t   0,
  p 2  t 

atb

(1.21)

Hơn nữa





Nếu b 0  b thì max t   a;b  : '  t   0  0

(1.22)


15

Từ (1.21) tồn tại giới hạn hữu hạn hoặc vô hạn   a   và   b  
Theo bổ đề 1.6 và các điều kiện (1.7), (1.18) và (1.19) ta có
  a    0,   b 0    0

Nếu b 0  b thì   b 0   0
Mâu thẫn với (1.21) và (1.22). Định lí được chứng minh 

Hệ quả 1.7
Giả sử (1.6) được thực hiện và tồn tại các hàm qi  Lloc   a, b    i  1, 2  sao cho

  q2   L  a, b  ,  ab  q2  q1  L  a, b 
và phương trình

v "  q1  t  v  q 2  t  v '

(1.23)

có nghiệm v thỏa (1.7).
Giả sử các bất đẳng thức sau được thực hiện
pi  t   qi t 

 a  t  b   i  1,2 

và có ít nhất 1 bất đẳng thức của (1.24) là nghiêm ngặt trên tập có độ đo dương.
Khi đó, bài tốn 1.10  , 1.2 0  chỉ có nghiệm tầm thường.

Chứng minh
Theo bổ đề 1.5 thì hàm v bị chặn.

(1.24)

16
Do (1.7) và (1.24)

D  v  t    q1  t   p1  t   v  t    q 2  t   p 2  t   v '  t 
D  v  t  thoả (1.8) và khác khơng trên tập có độ đo dương.
Do đó thoả điều kiện định lí 1.3. Như vậy, hệ quả được chứng minh 

Định lí 1.8
Giả sử có (1.6) và tồn tại các số    0,1 và l i   0,  



0

t  a

2

 i  1,2 

sao cho

b  a
ds

2
l1  l 2s  s
1 

1

p 1  t    l1 ,

t  a



(1.25)

 

 p 2  t   t  a   l2



a  t  b 

(1.26)

và có ít nhất một trong các bất đẳng thức của (1.24) là nghiêm ngặt trên tập có độ đo
dương. Khi đó, bài tốn 1.10  , 1.2 0  chỉ có nghiệm tầm thường.

Chứng minh
Đặt  là hàm định bởi

t  a
ds
 t l1  l2s  s2  1  




1

Khi đó

'  t     t  a   l1  l 2  t   2  t  

Theo (1.25) ta có

a  t  b

(1.27)


17

t  a
ds

 l  l 2 s  s2 1  
 t  1

1



b  a


1

1 





ds
2
1  l2s  s

l
0

a  t  b

Do vậy
t  0

a  t  b

(1.28)

Điều kiện (1.27) và (1.28) cho thấy
 b


v  t   exp       a      d  thoả (1.7) là nghiệm của phương trình (1.23)

 t


trong đó

q1  t   l1  t  a 

2 

, q 2  t   l2  t  a  



t a

Thật vậy
v'  t    t  a    t  v  t   0


v"  t     t  a 

1

a  t  b



  t  v  t    t  a  '  t  v  t    t  a    t  v'  t 

 


2 
 
 
 l 2  t  a    t  a    t  v  t   l1  t  a  v  t 
 t a


 
2 
 
 
 l 2  t  a   v'  t   l1  t  a  v  t 
 t a


Mặt khác, có bất đẳng thức (1.24) và ít nhất một trong số chúng nghiêm ngặt trên tập
có độ đo dương.
Do đó, theo hệ quả 1.7 thì bài tốn 1.10  , 1.2 0  có nghiệm tầm thường 


18

Chú ý 1: (1.25) là điều kiện cần để bài tốn 1.10  , 1.2 0  có nghiệm tầm thường với
mọi p i  L loc   a, b    i  1,2  thoả (1.6) và

t  a

2

p1  t    l1 ,

t  a



 

 p 2  t   t  a   l2



a  t  b

(1.29)

Thật vậy, giả sử (1.25) khơng đúng.
Khi đó với l1  0 , chọn các số l1*   0,l1  và l*2   0, l 2  sao cho



0

b  a
ds

*
*
2
l1  l 2s  s

1 

1

t  a
ds
 t l1*  l*2s  s2  1  


Xác định hàm  thoả

Khi đó:

1



  a    0,   t  

2
1
t  a
1 

a  t  b 

 a  t  a    với   0 đủ nhỏ.

Do đó
 b



u  t   exp       a      d  là nghiệm khác khơng của bài tốn 1.10  , 1.2 0 
 t


với p1  t   l1*  t  a 

2 

, p2  t   



 l*2  t  a  ( p 1 , p 2 thoả (1.6) và (1.29)).
ta

Chú ý 2: Theo bất đẳng thức Opial [12], (1.25) thoả nếu l1h 2  2l 2 h  2 với :
h

2
1
b  a
1 

Chú ý 3: Dễ dàng kiểm tra các điều kiện của định lí 1.3 hoặc định lí 1.8


19
g  t,    0, g  b ,    0

C  t,    0,

lim

t b

C  t,  
t

0

C  t,  
1
0
  p 2  t  t

a  t  b, a    b

atb

ab

Trong đó: g là hàm Green của bài toán 1.10  , 1.2 0  và C là hàm Cauchy của phương
trình 1.10 
Theo bất đẳng thức thứ hai của (1.26) ta có:

  p 2  t   L  a, b  và a  p 2  t   r  t  a  ,

a  t  b với r  const  0

Định lí 1.9
Giả sử

  p 2   L  a, b  , ab  p 2  p1  L  a, b 
và hàm bị chặn v  C 1   a, b   sao cho v  t   0

a  t  b ,

(1.30)
điều kiện (1.8) được thực

hiện và D  v  t   0 trên tập có độ đo dương. Khi đó, bài tốn 1.10  , 1.30  chỉ có
nghiệm tầm thường.