Thuật toán phân tích tính độc lập của hệ cơ sở của t ideal các đồng thức của đại số các ma trận trên một trường có đặc số không

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRẦN ĐỨC HUN

THUẬT TỐN PHÂN TÍCH TÍNH ĐỘC LẬP CỦA HỆ CƠ
SỞ CỦA T-IDEAL CÁC ĐỒNG NHẤT CỦA ĐẠI SỐ CÁC
MA TRẬN TRÊN MỘT TRƯỜNG CÓ ĐẶC SỐ KHƠNG

LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC

TP. HỒ CHÍ MINH – 1994


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRẦN ĐỨC HUN

THUẬT TỐN PHÂN TÍCH TÍNH ĐỘC LẬP CỦA HỆ CƠ
SỞ CỦA T-IDEAL CÁC ĐỒNG NHẤT CỦA ĐẠI SỐ CÁC
MA TRẬN TRÊN MỘT TRƯỜNG CÓ ĐẶC SỐ KHƠNG

LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN: GS. BÙI TƯỜNG TRÍ

TP. HỒ CHÍ MINH - 1994


LỜI NĨI ĐẦU

Trong luận văn này, chúng tơi sẽ trình bày những kết quả liên quan đến đa thức
đồng nhất của đại số các ma trận trên một trường có đặc số không. Đặc biệt là định lý
AMITSUR – LEVITZKI về đa thức chuẩn tắc S 2n trên M k (K) là đại số các ma trận
vuông cấp n trên trường K. Đặc biệt là chúng tôi cố gắng phát triển kết quả của
RAZMYLOV về hệ cơ sở của T – Ideal cá đồng nhất thức của M 2 (K) bằng cách đưa ra
một thuật tốn phân tích tính độc lập của hệ cơ sở đó bằng Computer.
Chúng tơi xin chân thành biết ơn các Thầy, Cô ở trường Đại học Sư phạm và Đại
học Tổng hợp đã tận tình hướng dẫn chúng tôi trong các năm học.
Đặc biệt là Thầy BÙI TƯỜNG TRÍ, người đã trực tiếp ra đề tài và hướng dẫn chúng
tơi hồn thành luận văn này.

Thành phố Hồ Chí Minh
12-1994
Trần Đức Huyên

3


MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU.......................................................................................... 3
MỤC LỤC ................................................................................................ 4
PHẦN 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN ................................................. 6
1. Đại số trên một trường: ............................................................................................ 6
2. Đại số tự do trên một trường.................................................................................... 6
3. PI Đại số ..................................................................................................................... 7
4. T Ideal......................................................................................................................... 7
5. Đồng nhất thức hệ quả: ............................................................................................ 8
6. Tuyến tính hóa ........................................................................................................... 8

7. Các kết quả cơ bản .................................................................................................. 11

PHẦN 2: CƠ SỞ CỦA T_IDEAL CÁC ĐỒNG NHẤT THỨC CỦA
ĐẠI SỐ M 2 (K) ....................................................................................... 12
1. Kết quả của RAZMYLOV ..................................................................................... 12
2. Tính độc lập của hệ cơ sở ....................................................................................... 13

PHẦN 3: THUẬT TỐN PHÂN TÍCH TÍNH ĐỘC LẬP CỦA HỆ
SINH CỦA U(M 2 (K) ............................................................................. 14
1. Mệnh đề 1 ................................................................................................................. 14
2. Mệnh đề 2 ................................................................................................................. 15
3. Thuật tốn phân tích độc lập của H đối với <S 4 >T .............................................. 15
4. Mệnh đề 4:................................................................................................................ 16
4


KẾT LUẬN CHÍNH CỦA LUẬN VĂN .............................................. 20
PHỤ LỤC ............................................................................................... 21

5


PHẦN 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1. Đại số trên một trường:
Cho K là một trường, A là một đại số trên trường K nếu:
1/ (A, +, .) là một vành có đơn vị
2/ Phép nhân ngồi
K×A→
(α, a)

i)

A



αa thỏa:

(α+β)a = αa + βa

ii) α(a+b) = αa + αb
ii) α(βa) = (αβ)a
3/ a(αb) = α(ab)
Nói cách khác A là một đại số trên trường K nếu A vừa là vành có đơn vị là một
không gian vectơ trên trường K sao cho phép nhân vô hướng và phép nhân của vành giao
hoán với nhau.
2. Đại số tự do trên một trường
K là một trường có đặc số 0
X = {x 1 ,…,x n ,…} : Tập vô hạn đếm được các biến hình thức.
Từ : x i ...x ik
1

<X>

: Khơng giao hốn

Nửa nhóm tự do sinh bởi X

K{X} : Tập các đa thức nhiều biến khơng gian hốn hệ số trên K cũng là đại số tự
do sinh bởi X trên K.

Tính chất cơ bản của đại số tự do K{X}
6


Cho A là một đại số bất kỳ trên K và ánh xạ ϕ : X → A
Luôn tồn tại đồng cấu φ : K{X} → A sao cho biểu đồ sau giao hoán:

f ∈ K{X} ⇒ f ∈ {x 1 ,…,x m }
f = f(x 1 , x 2 ,…,x m )
ϕ:X→A
xi → ai
φ : K{X} → A

f(x i ,…,x m ) → f(a i ,…,a m )
3. PI Đại số
A là đại số trên K

f≠0

A là PI đại số nếu

∃f(x 1 ,…,x m ) ∈ K{X}

Sao cho f(a 1 ,…,a m ) = 0 ∀a 1 ,…,a m ∈ A
Khi đó f(x 1 ,…,x m ) ∈ Ker φ ∀ϕ : X → A
f được gọi là đa thức đồng nhất của A hay đồng nhất thức của A.
Gọi U(A) là Ideal các đồng nhất thức của A trong đại số tự do K{X}, ta có:
U(A) = ∩ Ker φ ∀ϕ : X → A
U(A) ∆ K{X}
4. T Ideal

Một Ideal I của K{X} được gọi là một T_ideal nếu:
7


∀f ∈ End K{X}, ta có : f(I) ⊂ I
Hiển nhiên rằng ∀f ∈ End K{X}
f(U(A)) ⊂ U(A)
Vậy U(A) là một T_Ideal của K{X}
5. Đồng nhất thức hệ quả:
Đồng nhất thức f được gọi là hệ quả của các đồng nhất thức f i (i ∈ I) nếu f thuộc
T_ideal sinh bởi các f i với i ∈ I.
Kí hiệu : f ∈ < f i , i ∈ I > T
Dễ thấy rằng nếu f i ∈ U(A) (∀i ∈ I) thì f ∈ U(A) và nếu f ∈ được viết dưới dạng:
f= ∑ αi u i f i (φi1 ,φi2 ,...,φim )vi
i∈I

αi ∈ K
u i ,vi ,φik ∈ K{X}

Ví dụ: A là đại số giao hoán trên K
Đặt [x 1 ,x 2 ] = x 1 x 2 – x 2 x 1
U(A) ⊃ [ x1 ,x 2 ] ΔK{X}
T

{∑ α u ( x ,...,x ) f ( x ,...,x ) ,g ( x ,...,x )v ( x ,...,x )}
i

i

= [ x1 ,x 2 ]

i1

ik

i

i1

i1

i

i1

im

i

i1

in

T

6. Tuyến tính hóa
Định nghĩa:
• M ⊂ U(A), M gọi là T sinh ra U(A) nếu:
<M>T≡ U(A)

• Nếu : M = {f 1 ,…,f k } và U(A) = <M>T = < f 1 ,…,f k >T

8


Thì U(A) được gọi là T_Ideal hữu hạn sinh.
Định lý về sự tuyến tính hóa:
Gọi M là tập hợp các đồng nhất thức đa tuyến tính của một PI đại số A ta ln có:
U(A) = <M>T
Chứng minh:
Bước 1:
Mọi đồng thức nhất f ∈ U(A) đều là hệ quả của các đồng nhất thức thuần nhất.
Xét f(x 1 ,…,x n ) ∈ U(A)
f = f 0 +f 1 +…+f i +…+f k
f i : thuần nhất bậc i đối với x 1
Ta chứng minh f i ∈ U(A)
Thật vậy:
f(αx1 ,...,x n=)

k

∑ α f (x ,...,x
t

t

1

n

)

t=0

Do f(α i a 1 ,…,a n ) = 0 i = 0,…,k
Chọn các α i sao cho đôi một khác nhau ta được hệ phương trình tuyến tính:
f 0 +α 0 f1 +α 02 f 2 +...+α 0k f k =0

2
k
f 0 +α1f1 +α1 f 2 +...+α1 f k =0


f +α f +α 2 f +...+α k f =0
k k
0 k1 k 2

Có định thức là một định thức Vandermon

9


1 α 0 α 02 ...α 0k
D=

1

.

.

.



=π(αi -α j ) ≠ 0

0 ≤ j
1 α k α 2k ...α kk

⇒ f i (a 1 ,…,a n ) = 0 ∀ a 1 ,…,a n ∈ A
⇒ f i ∈ U(A)
Tiếp tục phân tích f i theo biến x 2 và do quan hệ “là hệ quả của” có tính bắc cầu ta
được f là hệ quả của các đa thức thuần nhất.
Bước 2:
Ta chứng minh mọi đa thức thuần nhất đều là hệ quả của các đa thức đa tuyến tính.
Xét f(x 1 ,…,x n ) thuần nhất.
Ta sẽ phân tích f(x 1 ,…,x n ) thành các đa thức tuyến tính bằng cách quy nạp theo bậc
k 1 của f đối với x 1 .
Nếu k 1 = 1 chứng minh kết thúc
Nếu k 1 >1
Đặt:
g(y1 ,y 2 ,x 2 ,...,x n )=
f(y1 +y 2 ,x 2 ,...,x n )-f(y1 ,x 2 ,...,x n )-f(y 2 ,x 2 ,...,x n )

Ta có : g ∈ U(A)
g thuần nhất bậc đối với x 1 < k 1
Mặt khác :
g(x1 ,x1 ,x 2 ,...,x n )=2k1 f(x1 ,...,x n )-2f(x1 ,...,x n )

=(2k1 -2)f(x1 ,...,x n )

⇒ f(x1 ,...,x n )=

1
g(x1 ,x1 ,x 2 ,...,x n )
2 -2
k1

10


Theo giả thiết quy nạp: g là hệ quả của các đa thức tuyến tính suy ra f cũng vậy.
Kết luận:
∀A ∈ PI A
U(A) =<M>T
7. Các kết quả cơ bản
Bổ đề 1: Nếu A có một đồng nhất thức thực sự f thì A có một đồng nhất thức thực
sự đa tuyến tính có bậc nhỏ hơn hoặc bằng bậc của f.
Bổ đề 2: M n (K) khơng có đồng nhất thức bậc nhỏ hơn 2n.
Bổ đề 3: Giả sử F là một trường trên K và V là không gian vectơ vơ hạn chiều trên
F. Khi đó đại số các phép biến đổi tuyến tính End F V khơng thỏa mãn đồng nhất thức thực
sự.
Định lý 1: (Kaplansky - Amitsur)
Giả sử A là đại số nguyên thủy có đồng nhất thức thực sự bậc d, thì tâm C của A là
một trường. A là đại số đơn và [A : C] ≤ [d/2]2.
Định lý 2: (Kaplansky - Levitzki)
Đa hức chuẩn tắc S 2n là một đồng nhất thức của M n (K)

11

PHẦN 2: CƠ SỞ CỦA T_IDEAL CÁC ĐỒNG NHẤT THỨC CỦA
ĐẠI SỐ M2(K)

1. Kết quả của RAZMYLOV
1974 RAZMYLOV đã chứng minh được các đồng nhất thức của đại số M 2 (K) là hệ
quả của 9 đồng nhất thức sau đây:

∑

f1 =

(1)

∑3

σ∈

-

∑

∑3

σ∈

(-1)ε(σ)  x 5 ,x σ(2) ,x σ(3) ,x 4 



(-1)ε(σ)  x 5 ,x 4 ,x σ(1) ,x σ(2) ,x σ(3) , x 4 



(2) f 2 = [[z,y],[x,y],y ] = 0 thực hiện tuyến tính hóa f 2 ta được đồng nhất thức đa tuyến
tính:
F 2 *(x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 )
(3) f3 =

∑

∑3

σ∈

(-1)ε(σ)  x 5 ,x 4 ,x σ(1) ,x σ(2) ,x σ(3) 



- [x 5 , [x 1 , x 2 ], x 3 , x 4 ] - [x 5 , x 3 , [x 1 , x 2 ], x 4
+

[x 4 , [x 1 , x 2 ], x 5 , x 3 ] - [x 4 , x 3 , x 5, [x 1 , x 2 ]]

(4) 4[z, x](v 1 o v 2 ) = [z, v 1 , v 2 , x] + [z, v 2 , v 1 , x]
- [x, v 1 , z, v 2 ] – [x, v 2 , z, v 1 ]
v 1 o v 2 = v 1 v 2 + v 2 v 1 ∨ v 1 = [t 1 , t 2 ], v 2 = [t 3 , t 4 ]

(5) H(x 1 , x 2 ,…,x 5 ) = [[x 1 , x 2 ] o [x 3 , x 4 ], x 5 ]

(6) Đồng nhất thức chuẩn tắc: S 4 (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 )
(7) f’ 1 (x 1 , x 2 ,…,x 6 )

12


(8) f’ 2 (x 1 , x 2 ,…,x 6 )
(9) f’ 3 (x 1 , x 2 ,…,x 6 )
Trong đó f’ I , i = 1, 2, 3 là đa thức nhận được từ f i , i = 1, 2, 3 theo cách sau:
Nếu fi = ∑ αij[u ij ,vij ] trong đó u ij , v ij là các giao hoán tử và bậc u ij ≥ 2
j

Thì : f 'i = ∑ αij ( u ijo[vij ,x 6 ])

i = 1, 2, 3

j

2. Tính độc lập của hệ cơ sở
Chính Razmylov trong bài báo của mình đã nói rằng khơng có gì đảm bảo rằng hệ
cơ sở gồm 9 đồng nhất thức này là độc lập và ơng ta nghĩ rằng có thể rút gọn hệ cơ sở
hơn nữa.
Năm 1980, Giáo sư Bùi Tường Trí đã chứng minh rằng chỉ cần S 4 , H, ∅’, và (4)
cũng có thể sinh ra được U(M 2 (K)) trong đó ∅’ là tuyến tính hóa của đồng nhất thức Lie:
∅ = [y, z, [t, x] + [y, x, [z, x], t]
Vấn đề đặt ra ở đây là có thể rút gọn hệ cơ sở hơn nữa hay không ?

13

PHẦN 3: THUẬT TỐN PHÂN TÍCH TÍNH ĐỘC LẬP CỦA HỆ
SINH CỦA U(M2(K)

1. Mệnh đề 1
Đặt S 4 = [x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ]
=

∑

∑4

σ∈

Sgσx σ(1) x σ(2) x σ(3) x σ(4)

Ta có S 4 là 1 đồng nhất thức của M 2 (K)
Chứng minh
Ta có : B= { e 11 , e 12 , e 21 , e 22 } là 1 cơ sở của M 2 (K) với:
1 0 
0 1 
0 0 
0 0 
e11 = 
,e12 = 
,e 21 = 
,e 22 = 





0 0 
0 0 
1 0 
0 1 

Vì S 4 (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) là đa thức đa tuyến tính và đổi dấu nên ta chỉ cần chứng minh
S 4 =0. Khi thay các phần tử khác nhau của B vào S 4 .
Vì tích các ma trận e ij chỉ khác 0 khi chỉ số thứ hai của ma trận thứ nhất bằng chỉ số
thứ nhất của ma trận thứ hai nên các số hạng khác 0 của biểu thức S4 (ei j ,ei j ,ei j ,ei j ) là:
11

2 2

3 3

4 4

e11e12 e 22 e 21 (1)
e12 e 22 e 21e11 (2)
e 21e11e12 e 22 (3)
e 22 e 21e11e12 (4)

(1) và (2) đều có giá trị bằng e 11 nhưng trái dấu vì từ (1) thì (2) là vịng xích có độ
dài là 4.
Vậy (1) + (2) = 0. Tương tự
(3) + (4) = 0
Vậy S 4 ∈ U[M 2 (K)]
14

2. Mệnh đề 2
H=H(x1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 ,x 5 )

Đặt

=[[x1 ,x 2 ]o[x 3 x 4 ],x 5 ]
=[[x1 ,x 2 ]o[x 3 x 4 ]+[x 3 x 4 ][x1 ,x 2 ],x 5 ]
=+x1x 2 x 3 x 4 x 5 -x1x 2 x 3 x 4 x 5 -x 2 x1x 3 x 4 x 5 +x 2 x1x 3 x 4 x 5

+x 3 x 4 x1x 2 x 5 -x 3 x 4 x 2 x1x 5 -x 4 x 3 x1x 2 x 5 +x 4 x 3 x 2 x1x 5
-x 5 x1x 2 x 3 x 4 +x 5 x1x 2 x 4 x 3 +x 5 x1x 2 x 3 x 4 +x 5 x 2 x1x 4 x 3
-x 5 x 3 x 4 x1x 2 +x 5 x 3 x 4 x 2 x1 +x 5 x 4 x 3 x1x 2 +x 5 x 4 x 3 x 2 x1

Ta có H là một đồng nhất của M 2 (K).
Chứng minh :
∀ x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ∈ M 2 (K). Ta ln có:
α 0 
[x1 ,x 2 ][x 3 ,x 4 ]+[x 3 ,x 4 ][x
=
1, x 2 ]
=
 αI
0 α

([1])

1 0 

Với I = 


0 1 
Vì αI giao hoán với mọi ma trận của M 2 (K) nên ta có:
[αI, x 5 ] = αIx 5 – x 5 αI =0
Vậy H ∈ U[M 2 (K)]
3. Thuật tốn phân tích độc lập của H đối với <S4>T
Đặt Φ 1 = x 1 S 4 (x 2 , x 3 , x 4 , x 5 )
………………………..
Φ 5 = x 5 S 4 (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 )
Ψ 5 = S 4 (x 2 , x 3 , x 4 , x 5 )x 1
………………………...
Ψ 5 = S 4 (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) x 5
15


Γ 12 = S 4 (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 )
…………………………..
Γ 54 = S 4 (x 5 x 4 , x 1 , x 2 , x 3 )
Ta có :
 5

5
5


<S4 > ⊃ ∑ a i Φi +∑ bi Ψ i +∑ cijΓij a i ,bi ,cij ∈ K 
i=1
i,j=1
 i=1

i≠ j



T

Để kiểm tra tính độc lập của H đối với <S 4 >T ta thực hiện thuật toán sau trên
Computer:
- Tự sinh ra Φ i , Ψ I , Γ ij
- So sánh H và ∑a i Φ i + ∑b i Ψ i + ∑c ij Γ ij theo từng chuỗi xσ (1) xσ (2) xσ (3) xσ (4) xσ (5)
- Đồng nhất hai vế ta được một hệ phương trình tuyến tính:
AX = B

(Xin xem phụ lục 1)

Với X = (a 1 ,…, a 5 , b 1 ,…, b 5 , c 11 ,…, c 54 )
- Dùng phần mềm MAPLE với lệnh LinSolve (A, B) để giải hệ phương trình tuyến
tính, ta thấy phương trình vơ nghiệm.
Vậy H ∉ <S 4 >T. Ta có mệnh đề sau:
Mệnh đề 3:
H(x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ) không phải là hệ quả của S 4 .
4. Mệnh đề 4:
Gọi V 5 là không gian tất cả các đồng nhất thức đa tuyến tính trên đại số M 2 (K) phụ
thuộc vào 5 biến x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 . Ta có:
V 5 ⊂ <S 4 , H>T
Nghĩa là ta có thể loại bỏ f 1 , f 2 *, f 3 ra khỏi cơ sở của Razmylov.
16


Chứng minh:
Ta áp dụng thuật toán trên để chứng minh mệnh đề 4. Theo Razmylov ta có:
V 5 ⊂ <S 4 , H, f 1 , f 2 *, f 3 >T

Trong đó :
f1 =

a)

∑

(-1)

∑

(-1)

∑3

ε(σ)

σ∈

-

∑3

σ∈

ε(σ)

 x 5 ,xσ (1) ,xσ (2) ,xσ (3) ,x 4 
 x 5 ,x 4 , xσ (1) ,xσ (2) ,xσ (3) 

b) f 2 * là tuyến tính hóa của f 2 = [[x 1 , x 3 ], [x 2 x 3 ],x 3 ]
c) f 3 = ∑(-1)ε(σ)[x 5 , x 4 , xσ (1) , xσ (2) , xσ (3) , x 4 ]
- [x 5 , [x 1 , x 2 ], [x 3 , x 4 ] – [x 5 , x 3 , [x 1 , x 2 ], x 4 ]
+ [x 4 , [x 1 , x 2 ], x 5 , x 3 ] + [x 4 , x 3 , x 5 , [x 1 , x 2 ]]
Như vậy ta chỉ cần loại bỏ f 1 , f 2 *, f 3 ra khỏi cơ số của Razmylov nghĩa là chứng
minh ba hệ phương trình sau có nghiệm:

∑ a Φ +∑ b Ψ +∑ c Γ +hH
= ∑ a Φ +∑ b Ψ +∑ c Γ +hH
= ∑ a Φ +∑ b Ψ +∑ c Γ +hH

f1 =
f1*
f3

i

i

i

'

i

ij

'

i

i

i

i

''

ij

ij

(2)

ij

(3)

'

i

i

i

i

''

ij

''

ij

(1)

Để áp dụng thuật toán ở trên ta tính f 1 , f 2 *, f 3 như sau:
1) f 1 = + [5, 1, 2, 3, 4] – [5, 4, 1, 2, 3]
- [5, 1, 3, 2, 4] + [5, 4, 1, 3, 2]
- [5, 2, 1, 3, 4] + [5, 4, 2, 1, 3]
+ [5, 2, 3, 1, 4] + [5, 4, 2, 3, 1]
+ [5, 3, 1, 2, 4] + [5, 4, 3, 1, 2]
- [5, 3, 2, 1, 4] + [5, 4, 3, 2, 1]

17


Chú y: Ta viết k thay cho x k
2/ f 2 = [[1, 3], [2, 3], 3]
= [(13 - 31), (23 - 32), 3]
= + (13 - 31), (23 - 32) 3
- (13 - 31)3, (23 - 32)
- (23 - 32)(13 - 31)3
+ (23 - 32)3(13 - 31)
+ 3(13 - 31)(23 - 32)
- 3(23 - 32)(13 - 31)
f 2 * được tính từ f 2 theo thuật tốn sau:

-

Khai triển f 2 thành các chuỗi khơng giao hốn

-

Trong mỗi chuỗi thay thế lần lượt 2 trong 3 vị trí của x 3 bởi x 4 ; x 5

-

Giữ nguyên dấu của chuỗi.

Ví dụ:
+13254
+13245
+15234
+15243
+14235
+14253

+13233

3/ f 3 gồm 2 phần, phần đầu tính như f 1 , phần sau tính theo thuật toán sau:
- Xem [x 1 , x 2 ] như x 1 tìm tất cả các hốn vị của [x 5 , x 1 , x 3 , x 4 ] kèm theo dấu của
nó.
- Trong mỗi chuỗi tìm được thay x 1 bởi x 1 x 2 (không đổi dấu của chuỗn) và thay x 1
bởi x 2 x 1 (đổi dấu của chuỗi).

18

Ví dụ:
- 51234
-5134
- 52134
Cơng việc cụ thể trên máy tính như sau:
- Dùng một phần mềm soạn thảo văn bản ghi các biểu thức ban đầu của f 1 , f 2 , f 3 vào
file F1.DAT, F2.DAT, F3.DAT
- Dùng chương trình EXPAND.EXE thể hiện các thuất tốn khai triển ở trên để xử
lý các file .DAT ở trên thành các file:
F1.TXT, F2.TXT, F3.TXT
- Dùng chương trình MATRIX.EXE để đọc file .TXT ở trên và đặt nó thành các hệ
phương trình tuyến tính dạng ma trận: AX = B theo đúng cú pháp của phần mềm MAPLE
và ghi ra 3 file:
F1.MAT, F2.MAT, F3.MAT (Xem phụ lục 3)
- Dùng phần mềm MAPLE để giải hệ 3 phương trình tuyến tính ở trên ta được kết
quả là chúng có nghiệm và nghiệm được ghi ra các file .RST (Xem phụ lục 2, 3, 4).
Mệnh đề 5
U(M 2 (K)) = <S 4 , H, (4) >T
Theo Bùi Tường Trí ta có U(M 2 (K)) = <S 4 , H (4), ∅’ >T
Nhưng ∅ = [y, z, [t, x, x] + [y, x, [z, x], t]
⇒ ∅’ ∈ V 5 ⇒ ∅’ ∈ <S 4 , H >T
⇒ U(M 2 (K)) = < S 4 , H, (4) >T

19


KẾT LUẬN CHÍNH CỦA LUẬN VĂN

1) Có thể loại bỏ (1), (2), (3), (7), (8), (9) ra khỏi cơ sở của RAZMYLOV

2) Có thể loại bỏ ∅’ ra khỏi cơ sở của Bùi Tường Trí
3) U(M 2 (K)) = <S 4 , H, (4) >T
Chú thích:
(1) MAPLE là phần mềm hỗ trợ giải toán cao cấp dành cho các nhà tốn học
chun về xử lý kí hiệu S.P.S (Symbolic Procesing System). MAPLE được làm bởi đại
học WATERLOO – CANADA. Phần mềm này đã được Tiến sĩ Nguyễn Hữu Anh giới
thiệu tại Hội nghị Toán – Tin học Liên Khoa Toán Tp. Hồ Chí Minh tháng 4/1993.
(2) Các chương trình EXPAND.EXE và MATRIX.EXE được viết bằng ngôn ngữ
PASCAL bởi người làm luận văn.

20


PHỤ LỤC

21


22


23


24


25