Phương pháp tựa biên cho bài toán cauchy của phương trình eliptic nhiều chiều

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Phạm Nhơn Quý

PHƯƠNG PHÁP TỰA BIÊN
CHO BÀI TỐN CAUCHY CỦA
PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC NHIỀU CHIỀU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Phạm Nhơn Quý
PHƯƠNG PHÁP TỰA BIÊN
CHO BÀI TỐN CAUCHY CỦA
PHƯƠNG TRÌNH ELIPTIC NHIỀU CHIỀU
Chun ngành: Tốn giải tích
Mã số: 64 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS.TS. ĐẶNG ĐỨC TRỌNG

Thành phố Hồ Chí Minh - 2015

LỜI CẢM ƠN

Để hồn thành tốt luận văn này, tơi xin cảm ơn Ban giám hiệu cùng các thầy
cô trong Khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã giúp
tơi có cơ sở lí luận và kỹ năng nghiên cứu khoa học vững chắc, tạo điều kiện thuận
lợi cho tơi trong suốt q trình học tập và làm luận văn.
Tôi xin chân thành bày tỏ lịng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến thầy GS.TS.
Đặng Đức Trọng - Trưởng Khoa Toán Tin - Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên
Thành phố Hồ Chí Minh đã đặt ra đề tài và hướng dẫn tôi trong thời gian thực hiện
luận văn.
Bên cạnh đó, tơi cũng khơng quên gửi lời cảm ơn đến NCS. Nguyễn Đăng
Minh - Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Thành phố Hồ Chí Minh đã giúp đỡ
trong q trình tìm kiếm tài liệu, chỉ bày tận tình giúp cho tơi hồn thành luận văn.
Cuối cùng, tôi xin được gởi lời cảm ơn sâu sắc đến gia đình, người thân và
bạn bè vì đã không ngừng quan tâm, động viên tôi trong suốt quá trình học tập và
làm luận văn.
Học viên

Phạm Nhơn Quý


CÁC KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG

Không gian vectơ n chiều.

n :

Chuẩn trong không gian L2 ( n ) .

. :
.

p

Chuẩn trong không gian Lp ( n ), 1 ≤ p ≤ ∞ .

:

( xn ) ∈ X : Dãy hàm trong không gian định chuẩn X .
ux =

∂u
: Đạo hàm bậc nhất của hàm u theo biến x .
∂x

∂ 2u
u xx = 2 : Đạo hàm bậc hai của hàm u theo biến x .
∂x
C[a, b] :

Tập tất cả các hàm liên tục trên [a, b] .

C1[a, b] : Tập tất cả các hàm khả vi liên tục cấp 1 trên [a, b] .

C 2 [a, b] : Tập tất cả các hàm khả vi liên tục cấp 2 trên [a, b] .


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN ...........................................................................................................0

CÁC KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG .........................................................................1
MỤC LỤC .................................................................................................................2
MỞ ĐẦU ...................................................................................................................1
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ.....................................................................6
1.1. Tích vô hướng, chuẩn, không gian định chuẩn và không gian Hilbert
[6, tr 18] .................................................................................................................6
1.1.1. Tích vơ hướng .........................................................................................6
1.1.2. Chuẩn trên X ..........................................................................................6
1.1.3. Không gian định chuẩn ...........................................................................7
1.1.4. Không gian Hilbert .................................................................................7
1.2. Tích phân và sự khả tích Lebesgue [4] ......................................................7
1.2.1. Tích phân Lebesgue ...............................................................................7
1.2.2. Khả tích Lebesgue..................................................................................8
1.3. Cơng thức biến đổi tọa độ cầu trong  n [31, tr 244] ................................9
1.4. Không gian Lp ( X ) ([3, tr 19], [6, tr 9] ).................................................10
1.5. Phép biến đổi Fourier và đẳng thức Parseval .........................................10
1.6. Bất đẳng thức Holder [1, tr 12-13] ...........................................................11
1.7. Khơng gian Sobolev [3, tr 30] ...................................................................14
1.8. Bài tốn chỉnh hóa [12, tr 9] .....................................................................15
1.9. Sự chỉnh hóa [12, tr 24] .............................................................................16
1.10. Khái niệm về hàm trơn..............................................................................17
1.11. Bất đẳng thức Gronwall ............................................................................17
Chương 2. BÀI TỐN CAUCHY KHƠNG CHỈNH CỦA PHƯƠNG
TRÌNH ELLIPTIC NHIỀU CHIỀU ...................................................19


2.1. Tính khơng chỉnh của bài tốn .....................................................................19
2.1.1. Phép biến đổi Fourier cho bài toán (1.1)-(1.5) ......................................19
2.1.2. Bổ đề 1 [26]...........................................................................................20
2.1.3. Chứng minh bài tốn (1.1)-(1.5) là khơng chỉnh ..................................21

Chương 3. PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HÓA TỰA BIÊN (QBV) VÀ
ĐÁNH GIÁ SAI SỐ ...............................................................................24
3.1. Phương pháp tựa biên (QBV) ......................................................................24
3.2. Cách chọn thông số tiên nghiệm ..................................................................26
3.2.1. Bổ đề 2 ..................................................................................................26
3.2.2. Định lý 1................................................................................................27
3.2.3. Định lý 2................................................................................................30
3.3. Cách chọn thông số hậu nghiệm ..................................................................33
3.3.1. Bổ đề 3 ..................................................................................................33
3.3.2. Bổ đề 4 ..................................................................................................34
3.3.3. Bổ đề 5 ..................................................................................................35
3.3.4. Bổ đề 6 ..................................................................................................36
3.3.5. Định lý 3................................................................................................38
Chương 4. VÍ DỤ SỐ CỦA PHƯƠNG PHÁP QBV ...........................................40
KẾT LUẬN .............................................................................................................43
TÀI LIỆU THAM KHẢO .....................................................................................44


1

MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài, ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Bài tốn Cauchy cho phương trình elliptic là một bài tốn khơng chỉnh truyền
thống và xuất hiện trong nhiều lĩnh vực thực tiễn như địa lí [35], [44], vật lý plasma [22],
đồ thị cơ bản (cardiology) [15], môi trường sinh học [32], và kiểm tra đánh giá tính khơng
phá hủy (non-destructive) [8]. Khi bài tốn là khơng chỉnh thì khơng phải với dữ kiện nào
bài tốn cũng có nghiệm và thường nếu nghiệm của bài tốn tồn tại (theo một nghĩa nào
đó) thì nghiệm này khơng phụ thuộc liên tục (theo một mêtric nào đó) vào dữ kiện. Do
tính khơng ổn định này của bài tốn nên việc giải số bài tốn gặp khó khăn vì với một sai
số nhỏ trong dữ kiện của bài toán có thể dẫn đến một sai số lớn bất kỳ của nghiệm [35],

[32], [30]. Việc tính tốn để phát triển phương pháp số cho bài tốn từ dữ kiện nhiễu
khơng chỉnh lại là một điều khó khăn, vì chúng ta ln có những sai số trong đo lường,
sai số rời rạc, sai số trong làm tròn dẫn đến nghiệm số khơng ổn định. Do đó, việc đưa ra
các phương pháp số hữu hiệu để giải các bài toán này một cách ổn định là điều cần thiết.
Chúng ta có thể tìm hiểu vấn đề này với một số phương pháp chỉnh hóa trong [18]. Các
nhà tốn học A. N. Tikhonov, M. M. Lavrent’ev, F. John, C. Pucci, V. K. Ivanov là
những người đi tiên phong trong việc nghiên cứu về lý thuyết bài tốn khơng chỉnh. Sau
khi A. N. Tikhonov đưa ra phương pháp chỉnh hóa các bài tốn đặt khơng chỉnh nổi tiếng
năm 1963 [43], bài tốn khơng chỉnh và bài toán ngược đã trở thành một ngành riêng của
vật lý tốn và khoa học tính tốn.
Bài tốn Cauchy của phương trình Laplace là một trường hợp riêng của bài tốn
Cauchy của phương trình elliptic nhiều chiều, và được biết đến là một bài tốn khơng
chỉnh điển hình theo kiểu của Hadamard [23]. Trong những năm gần đây, nhiều phương
pháp chỉnh hóa đặc biệt cho bài tốn Cauchy của phương trình Laplace được đề nghị như
thuật tốn Backus-Gilbert [29], phương pháp sóng (wavelets) Meyer [42], xấp xỉ thống kê


2
(statistical approach) [21], phương pháp tựa đảo (quasi-reversibility) [13], phương pháp
làm nhuyễn (mollification) [25], phương pháp chỉnh hóa Fourier (Fourier regularization)
[20],…Tuy nhiên, nhiều phương pháp chỉnh hóa cho phương trình Laplace lại khơng phù
hợp cho việc giải bài tốn Cauchy khơng chỉnh cho phương trình elliptic với các hệ số
khác nhau trong khơng gian nhiều chiều. Đó là nhu cầu cần thiết cho việc tìm hiểu đề tài
“Phương pháp tựa biên cho bài tốn Cauchy của phương trình elliptic nhiều chiều”.
Luận văn này được trình bày lại và giải thích chi tiết hơn các kết quả của bài báo [49].
2. Tình hình nghiên cứu trong và ngồi nước
Trong luận văn này, tơi trình bày bài tốn tìm hàm u = u ( x, y ) thỏa hệ
 Lu ( x, y ) + ∆ y u ( x, y=
) 0, x ∈ (0,1), y ∈ y n ,



=
y ∈ yn ,
u (0, y ) ϕ ( y ),
u (0, y ) 0,
=
y ∈ yn .

 x

Ở đây

∂2
2 ,
i =1 ∂yi

(1.1)

n

∆ y =∑

(1.2)

∂2
∂
L = a ( x ) 2 + b( x ) + c ( x ) .
∂x
∂x

(1.3)

Các hệ số hàm L thỏa
a( x) ∈ C 2 0,1 , b( x) ∈ C1 0,1 , c( x) ∈ C 0,1 ,

(1.4)

0 < λ ≤ a( x) ≤ A, c( x) ≤ 0, x ∈ 0,1 .

(1.5)

Khi a=
( x) 1, b=
( x) c=
( x) 0 , bài toán (1.1)-(1.5) là bài tốn Cauchy của phương
trình Laplace. Việc giải bài tốn (1.1)-(1.5) với các hệ số khác nhau trong không gian
nhiều chiều phức tạp hơn rất nhiều so với giải bài toán Cauchy của phương trình Laplace.
Những năm gần đây, nhiều nhà tốn học đã đi sâu nghiên cứu, tìm tịi ra những hướng


3
giải quyết và cách đánh giá sai số ổn định cho quy tắc chọn thông số tiên nghiệm và hậu
nghiệm cho bài toán (1.1)-(1.5). Đinh Nho Hào cùng cộng sự đã trình bày phương pháp
làm nhuyễn (mollification) [26] với hạt nhân de la Vallée Poussin và hạt nhân Dirichlet
cho bài tốn chỉnh hóa trong khơng gian một chiều. Tương tự, Hao Cheng cùng cộng sự
đã trình bày phương pháp làm nhuyễn khác với hạt nhân Gauss [16] để đề cập đến bài
tốn này. Trong [40], Qian trình bày phương pháp sóng (wavelet method), chứa đựng một
số đánh giá sai số cho quy tắc chọn tiên nghiệm và hậu nghiệm nhưng chưa có kết quả số.
Trong [50], Zhang cũng đã trình bày phương pháp tựa biên được sửa đổi (QBV) chứ
không phải là phương pháp QBV dùng được ở tất cả các trường hợp.

Nhóm tác giả Xiaoli Feng, Wantao Ning và Zhi Qian đề cập một phương pháp giá
trị tựa biên (quasi boundary value QBV), nó là nền tảng của [11], [10], [14], [27], [28],
[24], [34], và sẽ được trình bày trong luận văn này. Tác giả đã trình bày phương pháp
QBV để chỉnh hóa một bài tốn Cauchy của phương trình elliptic nhiều chiều, cung cấp
cách đánh giá sai số hội tụ của tiên nghiệm và hậu nghiệm giữa lời giải xấp xỉ với lời giải
chính xác. Phương pháp QBV cũng đã được vài tác giả trình bày như là Abdulkeromov
[7], Vabishchevich với cộng sự [46], [47], [48], và Melnikova với cộng sự [38], [39]. Hơn
nữa, Đinh Nho Hào cùng cộng sự đã nghiên cứu đánh giá sai số trong dữ liệu và khảo sát
sự tối ưu của sai số. Gần đây, Đinh Nho Hào cùng cộng sự cũng trình bày chiến lược tìm
tốc độ hội tụ hậu nghiệm trong [27], [28].
Có nhiều phương pháp chỉnh hóa cho bài tốn không chỉnh gần đây như phương
pháp Tikhonov cổ điển [19], phương pháp sóng (wavelet) [43], [41], [17], phương pháp
sai phân (difference), phương pháp làm nhuyễn (mollification) [16], [24], phương pháp
Fourier [20], [19], [17]. Tuy nhiên, khơng có phương pháp nào đa năng, và có thể giải
quyết thấu đáo các loại bài toán. Trong những phương pháp kể trên, một số có đánh giá
sai số tốt nhưng chúng khơng chun trong trường hợp số ở miền tổng quát, một số khác
lại chỉ chun trong việc tính tốn số. Ví dụ như: Phương pháp phần tử biên (the
boundary element method) kết hợp với một vài phương pháp chỉnh hóa đã được đề cập.


4
Ngồi ra, nó cần thiết cho việc đánh giá được tích phân kì dị (singular integrals). Phương
pháp giải cơ bản là phương pháp khơng lưới (meshless) nhưng địi hỏi phải xây dựng giả
biên ở bên ngoài miền.
So với những phương pháp này, phương pháp QBV khơng những có kết quả lý
thuyết tốt mà cịn chun về phép tốn số. Trong khía cạnh lý thuyết, phương pháp QBV
có tính chất tương tự như phương pháp Tikhonov. Chúng ta có thể thấy điều đó từ hạt
nhân [42] của phương trình tốn tử. Người ta có thể áp dụng phương pháp QBV để đánh
giá sai số tốt hơn. Ví dụ như trong luận văn này, tơi sẽ trình bày phương pháp QBV để
đánh giá sai số Holder cho quy tắc chọn thông số cả hai trường hợp trên tiên nghiệm và

hậu nghiệm. Ngoài ra, trong khía cạnh phương pháp số, lợi thế chính của phương pháp
QBV là làm cho bài toán tựa biên được chỉnh hóa tốt hơn, có phương trình vi phân giống
như bài toán gốc ngoại trừ điều kiện biên. Do đó, người ta có thể sử dụng nhiều phương
pháp số cổ điển cho bài tốn được chỉnh hóa tốt để nghiên cứu bài toán tựa biên, ngay cả
đối với hệ số biến, miền tổng qt (khơng là hình chữ nhật) và phương trình trong khơng
gian ba chiều.
3. Mục tiêu của đề tài
Đề tài nghiên cứu phương pháp tựa biên (QBV) cho bài tốn Cauchy của phương
trình elliptic nhiều chiều với các mục tiêu chính như sau.
a) Tìm hiểu tính khơng chỉnh cho bài tốn Cauchy của phương trình elliptic nhiều
chiều.
b) Giới thiệu phương pháp tựa biên (QBV) làm cơ sở cho việc chỉnh hóa nghiệm.
c) Trình bày cách đánh giá sai số hội tụ của tiên nghiệm và hậu nghiệm giữa phép giải
xấp xỉ với phép giải đúng.
d) Trình bày ví dụ minh họa để đánh giá tính ổn định và hiệu quả của phương pháp.


5
4. Phương pháp nghiên cứu
a) Bài toán Cauchy của phương trình elliptic nhiều chiều sử dụng phép biến đổi
Fourier để chuyển đổi thành bài tốn có thể chỉnh hóa dữ kiện ban đầu được.
b) Trình bày tính khơng chỉnh của bài tốn trên.
c) Trình bày phương pháp chỉnh hóa nghiệm của bài toán sử dụng phương pháp QBV.
d) Kiểm chứng với ví dụ minh họa qua chương trình Matlab.
5. Luận văn này được phân bố như sau
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.
Chương 2. Bài tốn Cauchy khơng chỉnh của phương trình elliptic nhiều chiều.
Chương 3. Phương pháp chỉnh hóa tựa biên (QBV) và đánh giá sai số.
Chương 4. Ứng dụng của phương pháp QBV.

6

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. Tích vơ hướng, chuẩn, không gian định chuẩn và không gian Hilbert [6, tr 18]
1.1.1. Tích vơ hướng
Cho khơng gian vectơ X trên trường số K=
( K =
, K ) . Một ánh xạ từ X × X
vào K , biến ( x, y )  x, y được gọi là tích vơ hướng trên X nếu nó thỏa mãn các điều
kiện sau
a)

x, x ≥ 0, ∀x ∈ X và x, x = 0 ⇔ x = 0.

b)

x, y = y, x , ( x, y = y, x khi K = y ) , ∀x, y ∈ X .

c)

x + y, z = x, z + y, z , ∀x, y, z ∈ X .

d)

x, y λ x, y , ∀x, y ∈ X , ∀λ ∈ K .
λ=

Ta cũng có các tính chất sau

x, y +=
z

x, y + x, z , x, λ=
y λ x, y , ∀x, y, z ∈ X , ∀λ ∈ K .

Thông thường, ta ký hiệu .,. là một tích vơ hướng trên X .
1.1.2. Chuẩn trên X
Cho không gian vectơ X trên trường số K=
( K =
, K ) . Một ánh xạ
p : X →  được gọi là một chuẩn trên X nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau

i) p( x) ≥ 0, ∀x ∈ X ,
p( x) = 0 ⇔ x = 0.

ii) p=
(λ x) λ p( x), ∀x ∈ X , ∀λ ∈ K .


7
iii) p( x + y ) ≤ p( x) + p( y ), ∀x, y ∈ X .

Số p( x) gọi là chuẩn của phần tử x . Thông thường, ta dùng ký hiệu x thay cho
p ( x) .

Nếu .,. là một tích vơ hướng trên X thì ánh xạ x →

x, x =

x là một chuẩn

trên X , gọi là chuẩn sinh bởi tích vơ hướng.
1.1.3. Khơng gian định chuẩn
Không gian vectơ X cùng với chuẩn . trong nó, được gọi là khơng gian định
chuẩn ( X , . ) .
1.1.4. Khơng gian Hilbert
Nếu .,. là một tích vơ hướng trên X thì cặp ( X , .,.

) gọi là một không gian tiền

Hilbert (hay không gian Unita, khơng gian với tích vơ hướng).
Các khái niệm hội tụ, tập mở, đóng, compact, dãy Cauchy, … trong ( X , .,.

) ln

được gắn với chuẩn sinh bởi tích vơ hướng .,. .
Nếu không gian định chuẩn tương ứng đầy đủ (mọi dãy Cauchy đều hội tụ) thì ta
nói ( X , .,.

) là khơng gian Hilbert.

1.2. Tích phân và sự khả tích Lebesgue [4]
1.2.1.

Tích phân Lebesgue

Cho khơng gian độ đo ( X , F , µ ) và A ∈ F , f : A →  là hàm đo được.

8

n

Nếu f là hàm đơn giản, không âm trên A và f = ∑ ai χ Ai với Ai ∈ F , Ai ∩ Aj =
∅
i =1

(i ≠ j ),

n

Ai =
A,

i =1

trong đó, hàm đặc trưng χ Ai được định nghĩa như sau

khi x ∈ Ai ,
0 khi x ∉ Ai ,
1

χ Ai ( x) = 

thì định nghĩa tích phân của f trên A theo độ đo µ bởi

∫A

n

fd µ := ∑ ai µ ( Ai ) .
i =1

Nếu f là hàm đo được, khơng âm trên A thì tồn tại các dãy hàm đơn giản, không
âm f n sao cho

f n ( x) ≤ f n+1 ( x), nlim
f (=
x) f ( x), ∀x ∈ A .
→∞ n
Khi đó ta định nghĩa

= lim ∫ f n d .
∫A fd mm
n →∞
A
Tích phân hàm đo được khơng âm ln tồn tại, là số khơng âm và có thể bằng +∞ .
1.2.2.

Khả tích Lebesgue

+
−
( x) max { f ( x),0} , f =
( x) max {− f ( x),0} là các
Nếu f là hàm đo được thì f =

f ( x) f + ( x) − f − ( x) . Nếu ít nhất một trong các tích
hàm đo được, khơng âm và ta có =

phân

∫A f

+

d µ , ∫ f − d µ là số hữu hạn thì ta định nghĩa:
A


9
=
∫ fd µ

∫A f

A

+

d µ − ∫ f − d µ.
A

∫A fd µ

Ta nói f khả tích trên A nếu

∫A f

+

1.3.

tồn tại và hữu hạn (hay cả hai tích phân

d µ , ∫ f − d µ đều tồn tại hữu hạn).
A

Công thức biến đổi tọa độ cầu trong  n [31, tr 244]
Ta định nghĩa quả cầu n chiều
=
B n (r )

{( x , x ,..., x ) ∈ 
1

2

n

n

: x12 + x22 + ... + xn2 ≤ r 2 } ,

và tích phân trong n chiều

∫ ...∫

V ( n) =

dx1dx2 ...dxn .

x12 + x22 +...+ xn2 ≤ r 2

Đặt

x1 = r cos θ1 ,
x2 = r sin θ1 cos θ 2 ,
x3 = r sin θ1 sin θ 2 cos θ3 ,
:
xn −1 = r sin θ1 sin θ 2 ...sin θ n −2 cos θ n −1 ,
xn = r sin θ1 sin θ 2 ...sin θ n −2 sin θ n −1 ,
Ta nhận được
0 ≤ r ≤ ∞,
0 ≤ θi ≤ =
π , i 1, 2,..., n − 2,
0 ≤ θ n −1 ≤ 2π .

Với dV (n) = dx1dx2 ...dxn , ta có
 ∂xi 
dV (n) = det 
drdθ1...dθ n −1
 ∂ (r , θ j ) 

 1≤i ≤ n
1≤ j ≤ n −1

=r

n −1

sin

n−2

(θ1 ) sin

n −3

(θ 2 )...sin(θ n − 2 )drdθ1...dθ n −1.


10
Do đó,
∞ 2π π

π

0 0 0

0

V ( n) = ∫
∞

= ∫r
0

1.4.

n −1

∫

n −1
n−2
n −3
∫ ...∫ r sin (θ1 ) sin (θ2 )...sin(θn−2 )drdθ1dθ2 ...dθn−1

2π

π

0

0

dr ∫ dθ n −1 ∫ sin

n−2

π

(θ1 )dθ1 ∫ sin

n −3

0

π

(θ 2 )dθ 2 ...∫ sin(θ n − 2 )dθ n − 2 .
0

Không gian Lp ( X ) ([3, tr 19], [6, tr 9] )
Cho không gian độ đo ( X , M , µ ) . Ta định nghĩa

Lp ( X , µ ) = {f : f đo được,

f

p


=  ∫ f
X

∫
X
p

f

p


d µ 


d µ < ∞ }, 1 ≤ p < ∞ với chuẩn

1

p

.

L∞ ( X , µ ) = {f : f đo được, ∃c < ∞ : f ≤ c h.k.n trên X } với chuẩn
=
f ∞ inf{c : f ≤ c h.k.n trên X }.

∫
X

L2 ( X , µ ) = {f : f đo được,

f

2


=  ∫ f
X

f d µ < ∞ } với chuẩn
2

1

2

 2
d µ  .


L2 ( X , µ ) là một khơng gian Hilbert với tích vơ hướng sau
f , g = ∫ f ( x) g ( x)dx .
X

1.5. Phép biến đổi Fourier và đẳng thức Parseval


11
Giả sử rằng f ∈ L2 ( n ) , thì
F [ f ](x ) = (2π )

−n 2

lim

k →∞

e
∫
[ − k ,k ]

ix . x

f ( x)dx .

n

trong đó, x .x biểu thị tích vơ hướng trong  n .
∧

F [ f ](ξ ) = f , ξ ∈  n hội tụ trong L2 ( n ) được gọi là phép biến đổi Fourier của f .
Với việc lấy được giới hạn, cơng thức ngược của nó là
f ( x) = (2π )

−n 2

lim

k →+∞

e
∫
[ − k ,k ]

− ix . x

∧

f (x )dx .

n

Khi đó, ta cũng có đẳng thức Parseval
∧

= f

f
2

2

.

1.6. Bất đẳng thức Holder [1, tr 12-13]
Cho không gian độ đo ( X , M , µ ) . Nếu f ∈ Lp ( X ), g ∈ Lq ( X ), p > 1, q > 1:
thì fg ∈ L1 ( X ) và

∫

fg d µ ≤ f

p

. g q.

X

Chứng minh
 Với f ∈ L∞ ( X ) , ta có f ( x) ≤ f

∞

hầu khắp nơi trên X .

Lấy f ∈ L∞ ( X ) thì ∃{cn } ⊂ , { An } ⊂ M : f ( x) ≤ cn .

∀x ∈ X \ An : µ ( An ) =0 thì lim cn = f
n →∞

∞

.

1 1
1
+ =
p q


12
∞

Đặt A =  An ta có µ ( A) = 0 và f ( x) ≤ cn , ∀x ∈ X \ A, ∀n .
n =1

Suy ra f ( x) ≤ f

∞

, ∀x ∈ X \ A .

Chứng minh tương tự với g ∈ L∞ ( X ) , ta có g ( x) ≤ g

∞

hầu khắp nơi trên X .

 Bất đẳng thức Young và bất đẳng thức Holder
Nếu p = 1 hoặc p = ∞ thì bất đẳng thức Holder suy ra từ g ( x) ≤ g

f ( x) ≤ f

∞

∞

hoặc

.

+ Với p = 1 thì g ∈ L∞ ( X ) , ta có g ( x) ≤ g
Khi đó, f ( x) g( x) ≤ g

∫
X

∞

∞

hầu khắp nơi trên X .

f ( x) hầu khắp nơi trên X , suy ra

fg d µ ≤ f 1 . g

∞

.

+ Với p = ∞ thì với f ∈ L∞ ( X ) , ta có f ( x) ≤ f
Khi đó, f ( x) g( x) ≤ f

∫
X

∞

∞

hầu khắp nơi trên X .

g( x) hầu khắp nơi trên X , suy ra

fg d µ ≤ f

∞

. g 1.

+ Với 1 < p < ∞ , ta có
Nếu f

p

= 0 hoặc

g q = 0 thì f ( x) g( x) = 0 hầu khắp nơi trên X nên fg 1 = 0

và kết luận là tầm thường.

=
a
Xét

f

p

b
> 0 và=

g q >0


13
• Với a, b > 0 thỏa bất đẳng thức sau
ab ≤

Xét hàm số f (t=
)

a p bq
+ .

p q
t p t −q
xác định với mọi t > 0 , và có đạo hàm
+
p q

f '(t ) =t p −1 − t − q −1 =t − q −1 (t p + q − 1) suy ra f '(1) =0 .
+ Khi t > 1 thì f '(t ) > 0 .
+ Khi 0 < t < 1 thì f '(t ) < 0 .
Do đó, hàm f đạt cực tiểu trong khoảng (0, +∞) tại t = 1 .
Tức là với mọi t > 0 , ta có

f (t ) ≥ f (1) =
1
q

Chọn
=
t a b

−1
p

1 1
+ = 1.
p q

> 0 , ta có
p
q −1

q
−1 p

a b
a b
+
≥1.
p
q
Nhân hai vế bất dẳng thức này với ab , ta được bất đẳng thức Young

a

Nếu ta thay a = f
Young

p

p
+1
q

q
+1
p

a p bq
+
=

+ ≥ ab (do p + q =
pq ).
p
q
p q
b

và b = g

q

vào bất đẳng thức trên, ta được bất đẳng thức


14

∫
X

f

fg d µ ≤

Với mọi x ∈ X , thay a =

p

p
p

+

g

q
q

q

.

f ( x)
g ( x)
và b =
vào bất đẳng thức Young, ta được
f p
gq
p

q

f ( x) g( x) 1  f ( x)  1  g( x) 
 + 
 .
≤ 
.
f p gq
p f p  q g q 








Lấy tích phân hai vế trên X , ta có
1
f

Suy ra

∫

p

g

q

fg ≤ f

∫
X

fg ≤

p

1

p f

p
p

∫
X

f

p

+

1
q g

q
q

∫g
X

q

=

1 1
+ =1
p q

g q.

X

Vậy bất đẳng thức Holder đã được chứng minh.
1.7.

Không gian Sobolev [3, tr 30]

Định nghĩa
Cho Ω ⊆  n là tập mở.
Cc∞ (Ω) là tập các hàm có giá compact, có đạo hàm mọi cấp trên Ω .
Ccm (Ω) là tập các hàm có giá compact, có đạo hàm liên tục đến cấp m trên Ω .

Với p ≥ 1, ta đặt

}

p
Lloc
(Ω) ={ f đo được, khả tích ∀ω ⊆  n : ω ⊂ Ω : f ∈ Lp (ω ), ω compact .

p
(Ω
=
), α
Cho f ∈ Lloc

≥ 0(i

(α1,...,α n ) ∈ n ,α1 =

1,..., n).


15
p
Hàm gα ∈ Lloc
(Ω) được gọi là đạo hàm riêng suy rộng thứ α theo biến xi của f (kí

hiệu là gα = Dα f ) nếu
α

∫ fD ϕdx =(−1) Ω∫ gαϕdx, ∀ϕ ∈ Cc (Ω) ,
Ω
α

α
=
ở đây,

n

α i , Dα ϕ
∑=
i =1

∞

α

∂ ϕ
.
α1
∂ x1...∂α n xn

Với m ∈ N ,1 ≤ p ≤ ∞ , ta định nghĩa
W

f

m, p

W

(W) = { f ∈ Lp (W) : Dα f ∈ Lp (W), α ≤ m} ,

m, p

(W)


=  ∑ Dα f
 α ≤m


p


 .

p

p

W) W m,2 (W)
Đặc biệt, với p = 2 ta kí hiệu H m (=
W

f

m ,2

W

(W) = { f ∈ L2 (W) : Dα f ∈ L2 (W), α ≤ m} ,

m ,2

(W)

f ,g =


=  ∑ Dα f
 α ≤m




2



1

2

2

,

Dα f Dα gdx.
∑
∫
α ≤m
Ω

1.8. Bài toán chỉnh hóa [12, tr 9]
Định nghĩa tính chỉnh (well-posedness) của bài tốn
Đặt X và Y là các khơng gian định chuẩn, K : X → Y là một ánh xạ (tuyến tính
hoặc khơng tuyến tính). Phương trình Kx = y được gọi là chỉnh (well-posed hoặc
properly-posed) nếu thỏa các điều kiện sau


16
a) Sự tồn tại (existence): với mọi y ∈ Y , có ít nhất một x ∈ X sao cho Kx = y .
b) Sự duy nhất (uniqueness): với mỗi y ∈ Y , chỉ có một x ∈ X với Kx = y .
c) Tính ổn định (stability): nghiệm x phụ thuộc một cách liên tục trên y . Điều đó có
nghĩa là với mọi dãy ( xn ) ∈ X , với Kxn → Kx (n → ∞) , ta suy ra được rằng

xn → x (n → ∞) .

Do đó, ánh xạ K song ánh, liên tục và ánh xạ ngược K −1 (nếu có) cũng liên tục.
Bài tốn khơng thỏa ít nhất một trong ba điều kiện trên gọi là bài tốn khơng chỉnh
(ill-posed hoặc improperly-posed).
Điều quan trọng là định rõ bộ ba ( X , Y , K ) và không gian định chuẩn của chúng. Tính
tồn tại và duy nhất chỉ phụ thuộc vào bản chất đại số của khơng gian và tốn tử. Theo tốn
học, sự tồn tại của nghiệm có thể bị ràng buộc bởi sự mở rộng của khơng gian nghiệm.
Tính ổn định cũng phụ thuộc vào các không gian tôpô.
1.9. Sự chỉnh hóa [12, tr 24]
Cho K : X → Y là một ánh xạ song ánh.
Với sai số nhiễu δ > 0, lấy yδ ∈ Y sao cho

y − yδ ≤ δ .
Ta cần chọn α > 0 để tính nghiệm xấp xỉ xα ,δ của nghiệm x sao cho chuẩn

Kxα ,δ − yδ ≤ τδ
có cùng bậc với sai số nhiễu δ , trong đó τ > 1 là thông số được cho trước.
Định nghĩa


17
Lược đồ chỉnh hóa là một họ các tốn tử tuyến tính và bị chặn

Rα :Y → X , α > 0 ,
thỏa mãn

lim Rα Kx = x , ∀x ∈ X ,

α →0

nghĩa là, toán tử Rα K hội tụ từng điểm đến ánh xạ đồng nhất.

1.10. Khái niệm về hàm trơn
Hàm trơn là hàm có đạo hàm liên tục mọi cấp, tức là một hàm f trơn trên Ω nếu

f ∈ C ∞ (Ω ) .
Hàm không trơn là hàm khơng có đạo hàm liên tục mọi cấp, tức là một hàm f
không trơn trên Ω nếu f ∉ C ∞ (Ω) .
1.11. Bất đẳng thức Gronwall
Định lý
Cho hàm số liên tục không âm u :  a, b  →  thỏa mãn
t

) d , ∀ t ∈  a, b  ,
u (t ) ≤ C + ∫ Ku (ξξ
a

trong đó C , K ≥ 0 . Khi đó
u (t ) ≤ Ce K (t − a ) , ∀t ∈ [ a, b ] .

Chứng minh
Giả sử C ≥ 0 . Đặt


18

t

V (t) := C + ∫ Ku (ξξ
) d , ∀ t ∈  a, b  .
a

Khi đó ta có

u (t ) ≤ V (t),0 < C ≤ V (t), ∀ t ∈  a, b  .
Tiếp theo ta có

V=
'(t) Ku (t ) ≤ KV (t ), ∀ t ∈  a, b  .
Do đó, vì V (t) > 0,

V '(t)
≤ K và V (a) = 0,
V (t)
t

∫a Kdξ Ce K (t −a ) , ∀ t ∈  a, b  .
=
V (t) ≤ Ce



Sử dụng u (t ) ≤ V (t ) ta thu được bất đẳng thức Gronwall.
Nếu C = 0 thì dựa vào chứng minh trên ta có thể chỉ ra

0 ≤ u (t ) ≤ C ' e K (t −a ) , ∀t ∈  a, b  ,
trong đó C ' > 0 bất kỳ.
Cho C ' tiến đến 0 ta suy ra u (t) = 0 với mọi t ∈  a, b  .


19

Chương 2. BÀI TỐN CAUCHY KHƠNG CHỈNH CỦA
PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC NHIỀU CHIỀU

2.1. Tính khơng chỉnh của bài tốn
2.1.1. Phép biến đổi Fourier cho bài toán (1.1)-(1.5)
Trong phần này, ta xem xét tính khơng chỉnh của bài tốn (1.1)-(1.5) trong khơng
gian tần số (frequency space). Khơng mất tính tổng qt, chúng ta giả sử rằng λ ≥ 1 .
Với các giá trị y ∈ y n bất kì, sử dụng phép biến đổi Fourier theo y ta được
∧

1

=
u ( x, x ) :

(2π )

n

2

∫y e

− iy .x

n

u ( x=
, y )dy, x (x1 , x 2 ,..., x n ) ∈ y n .

(2.1)

Do (1.1) ta có
∧

∧

n

L u ( x, x ) = −∆ y u ( x, x ) = −i 2 ∑ x j2
j =1

2 ∧

1
(2π )

n

2

− ix . y
n
∫ e u( x, x )dx = x u( x, y), x ∈ y .

yn

∧
1
− iy .ξ

=
u (0, ξξ
u (0, y )dy, ∈ y n
)
n ∫y n e
(2π ) 2
∧
1
− iy .ξ
n
=
∈
yy
=
e
ϕ
(
y
)
dy
,
ξξ
ϕ
( y ), ∈ n ,
n ∫y n
2
(2π )

∧

=
u x ( x, x )

1

∫
(2π ) 2 y
n

n

e−iy.x u x ( x, y )dy, x ∈ y n .

Suy ra
∧

u x (0,=
x)

1

1

=
n ∫ e
∫ e ux (0, y)dy
(2π ) 2 yy
(2π ) 2
− iy .x

n

n

n

− iy .x

.0 dy
= 0, x ∈ y n .

Sau khi dùng phép biến đổi Fourier cho bài toán (1.1)-(1.5), ta đạt được