Phương trình vi phân phân đối số lệnh loại trung hòa

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
--------------------

Võ Văn Thảo

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐỐI SỐ LỆCH
LOẠI TRUNG HỊA
Chun ngành : Tốn giải tích
Mã số

: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS LÊ HỒN HĨA

Thành phố Hồ Chí Minh – 2009


LỜI CẢM ƠN
Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS. Lê Hồn Hóa, người
thầy rất tận tình chỉ bảo tôi từng bước nghiên cứu trong suốt quá trình làm
luận văn này.
Tơi xin chân thành cảm ơn q thầy, cơ đã tận tình giảng dạy tơi trong
suốt khóa học.
Tơi xin gởi lời cảm ơn đến q thầy, cơ và các anh, chị làm cơng tác
quản lý ở phịng sau đại học, những người đã tạo điều kiện tốt nhất để tơi
hồn thành khóa học.
Tơi cũng xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu trường THPT Nguyễn

An Ninh, quí thầy cơ và các bạn đồng nghiệp cùng khóa học cũng như các
bạn đồng nghiệp đã tạo điều kiện tốt nhất để tơi hồn thành khóa học, đặc biệt
là thầy Trần Quang Huy.
Người viết
Võ Văn Thảo


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Bài tốn về phương trình vi phân ,sự tồn tại nghiệm và dạng tiệm cận của
nghiệm đã được nhiều tác giả nghiên cứu ,đó là lí do để tơi chọn đề tài này.
2. Mục đích nghiên cứu
Luận văn này trình bày lại tồn bộ nội dung của bài báo [1] và [2], mà
phần chính là phương trình vi phân đối số lệch và dạng tiệm cận của nghiệm.
3. Đối tượng và nội dung nghiên cứu
Đối tượng bao gồm: Phương trình vi phân đối số lệch và dạng tiệm cận
của nghiệm, trong không gian Banach. Về nội dung nghiên cứu trình bày lại
tồn bộ nội dung của bài báo [1] và[2].
4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Dạng tiệm cận của nghiệm dùng để chứng minh phương trình trình vi có
nghiệm và phương trình vi phân là một trong những công cụ ứng dụng nhiều
trong vật lý.
5. Cấu trúc của luận văn
Luận văn được chia thành các mục như sau:
Mở đầu, nêu lý do chọn đề tài, mục đích, đối tượng và nội dung nghiên
cứu, cũng như ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài, đồng thời nêu bố cục
của luận văn.
Chương 1: Những khái niệm và kết quả dùng trong chứng minh.
Chương 2: Các bổ đề và định lí.
Chương 3: Dạng tiệm cận của phương trình vi phân trung hịa.

Chương 1 : NHỮNG KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ
DÙNG TRONG CHỨNG MINH
1.1. Các kí hiệu

- R( , A)  ( I  A)1 và e * x  e  x được xác định như sau:



e * x( )  (e  x)( )  e x với x  E ,   .
- BC ( R , X ) là không gian Banach của các hàm liên tục, bị chặn từ R đến X.
- BUC ( R , X ) là khơng gian con đóng của các hàm liên tục, bị chặn.
- Nếu f : R  X tập tất cả các tịnh tiến ,được gọi là bao của f là
H ( f ) :

 f (.  t ): t  R 

- Một hàm f  BC ( R , X ) được gọi là tiệm cận hầu như cộng tuyến tuần
hoàn nếu: H ( f ) là compact tương đối trong BC ( R , X ) .
- x(t )  A(t ) x(t )  L(t ) xt  f (t ); xS   , t  s  0 (1.1)
-

x(t )  A(t ) x(t ) t  s

Với x  s   x  E

.

(1.2)

1.2. Định nghĩa
Họ các toán tử tuyến tính T (t )t 0 xác định trên khơng gian Banach X
được gọi là nửa nhóm liên tục mạnh nếu:
- T (s  t )  T (s)  T (t ) t , s  0
- T (0)  I
- Mỗi x  X , T (.) x liên tục trên 0,  


Ngoài ra nếu t  T (t ) là liên tục theo tôpô của hội tụ đều thì ta gọi

T (t )t 0 là một nửa nhóm liên tục đều.


1.3 . Định nghĩa

T (t )t 0

là nửa nhóm liên tục mạnh xác định trên X với h  0 , ta định

nghĩa tốn tử tuyến tính Ah xác định như sau: Ah x 

T (h) x  x
, x X .
h

Ký hiệu: D( A) là tập tất cả các x  X sao cho lim Ah x tồn tại, xác
h0

định toán tử A trên D( A) như sau: Ax  lim A x ,

h0 h

x  D( A) .

Ta gọi toán tử A xác định như trên là toán tử sinh của nửa nhóm

T (t )t 0
Khi đó ta có kết quả sau:
- D( A) là trù mật trong X và A là tốn tử tuyến tính đóng trên D( A) .
- Nửa nhóm liên tục mạnh T (t )t 0 có một tốn tử sinh là bị chặn khi

và chỉ khi T (t )t 0 là một nửa nhóm liên tục đều.
1.4. Định lí :(Hille-Yosida- Phillips)

Cho A là một tốn tử tuyến tính đóng với miền xác định trù mật. Khi
đó A là tốn tử sinh của một nửa nhóm liên tục mạnh nếu và chỉ nếu
tồn tại các số thực M và  sao cho với

R( , A)n  M (   )n với

n 

   , ta có    ( A) và
*

Trong đó : R( , A)  ( I  A)1
1.5. Định lí

Cho T (t )t 0 là nửa nhóm liên tục mạnh xác định trên X và A là toán
tử sinh tương ứng.

Khi đó ta có kết quả sau:

lim  R( , A) x  x , x  X
 


Chương 2 : CÁC BỔ ĐỀ VÀ ĐỊNH LÍ
2.1. Bổ đề 1
2.1.1. Phát biểu

Cho U (s, t )t s0 là một họ tiến hóa bị chặn trên X,  là khơng gian con
đóng của BUC ( R , X ) .
Giả sử ánh xạ : t  U (t  s, s) x thuộc về  với mọi

t



x  X và s  0 ,

.

Nếu h  L1(

t

 , X ) thì ánh xạ t   U ( s  t , s   )h( )d

0

thuộc  với mọi

s  0.

2.1.2. Chứng minh
t

Với s  0 ,đặt U s * f (t )   U ( s  t , s   ) f ( )d với f  L1 (

, X )

0

Khi đó : ánh xạ f  us * f là tuyến tính, liên tục từ L1 (

, X )

vào BC ( R , X )
Thật vậy
Chứng minh us * f bị chặn:
1

t

Ta có: us * f (t )   u (t  s, s   ). f ( )d  M  f ( ) d  M f
0

0

L1

, t  0

Trong đó M  sup u (t , s)
t s0

f
Vậy

L1





0

f ( ) d

us * f (t ) bị chặn



Mặt khác với giả thiết: (t , s)  u (s, t ) liên tục mạnh trên (t , s) 

2



:t  s

Nên us * f liên tục trên



Vậy us * f  BC ( R , X )
-

us * f tuyến tính (hiển nhiên)

-

us * f liên tục được suy ra từ kết quả: us * f  M f

Xét h  1


 a ,b 



Với

x

0  a  b,

với

x
1   x(t )  
a,b
0




Khi đó:

,

t   a, b 

,

t   a, b 

L1

x X

với t  0

Ta có: us * h(t  b) 

t b

0

u (t  b  s, s   )h( )d

b
=

a u(t  b  s, s   ) xd

Mà u (t  b  s, s   )  u (t  b  s, b  s) u (b  s, s   )    a, b 
b

Vậy us * h(t  b)  u (t  b  s, b  s)  u (b  s, s   ) xd
a

Vì t  u (t  b  s, b  s) x thuộc  x  X , s  0
Nên us * h(.  b)  .
do  là dịch chuyển (“bi-invariant” nên us * h(.)  , s  0
 Nếu h là hàm đơn giản trên L1(

, X )

thì do kết quả vừa chứng

minh ở trên và tính tuyến tính của tích phân nên us * h 
 Nếu h  L1(  + , X ) thì do tập các hàm đơn giản trên L1(

trù mật trong L1(

, X ) .

, X )

là


1

L
Nên tồn tại dãy (hn ) các hàm đơn giản hn 
h

f  us * f liên tục nên us * hn  us * h

Mà

Do  đóng nên : us * h 
(điều phải chứng minh).
2.2. Chuỗi DYSON-PHILLIPS và dáng điệu của tiệm cận của nghiệm
trong trường hợp thuần nhất
2.2.1. Giới thiệu bài toán
- Cho ( A(t ), D( A(t )))t 0 là một họ ổn định và sinh ra một họ tiến hóa

(V (t , s))t s0 trên một không gian Banach E thỏa: V (t , s)  M .e (t  s) với 
là các hằng số trên

và M  1 .

- Cho họ ( L(t ))t 0 các tốn tử tuyến tính từ Cr

L(.)  BC (

 , Ls (Cr , E ))

vào E với

, nghĩa là : t  L(t ) là hàm liên tục mạnh và bị

chặn.
- Phương trình vi phân đối số lệch biến thuần nhất không tự điều khiển:

x(t )  A(t ) x(t )  L(t ) xt t  s

(2.1)

Với xs    cr : C ( r ,0 , E ) .
được nhiều tác giả nghiên cứu trong 10,13,20,26 của bài báo  I  , tác
giả đã chỉ ra sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của (2 .1)
Nghĩa là : hàm liên tục x thỏa x :  s  r ,    E

x(t ) 

t

v(t , s) (0)  v(t , ) L( ) xd

s

 ( s, t )



ts

(2.2)

sr t  s

và ( xt ) là họ tiến hóa trên Cr
Trong phần này chúng tôi muốn chỉ ra rằng : bằng cách khác chúng tôi
chỉ ra sự tồn tại nghiệm yếu của (2.1).


Chính xác hơn chúng tơi chỉ ra họ nghiệm của (2.1), được biểu diễn dưới
dạng Chuỗi DYSON-PHILLIPS và thỏa công thức biến thiên hằng số .
Đồng thời nghiệm yếu của (2.1) có cùng dáng điệu tiệm cận với ánh xạ:

t  v(t  s, s) x ,

s  0 , x  E , (t 

) .

Trong các bài báo [2,5] đã chỉ ra rằng: họ nghiệm tiến hóa của phương
trình khơng dừng ( L(t )  0) được cho bởi:
v(t   , s) (0)

u(t , s) ( )  

 (t    s)

t   s

s  r  t   s

(*)

với   Cr
Kết quả (*) được dùng nhiều trong các chứng minh ở phần sau.
2.2.2. Bổ đề 2
a) Phát biểu : Cho g  C (



, E)

t


Khi đó: lim  u (t , ).e * .R( , A(0)) g ( )d
 
s
tồn tại đều trên Cr trong các tập compact của (t , s): t  s  0.
b) Chứng minh :

Với   0  max ( ,0) (  là hằng số đánh giá của họ v(t , s) trong
chuổi Phillips).
Và

0 s  t T

( T  0 cho trước)
t

Đặt

W (t , s):  u(t , ) e* R( , A(0)) g ( )d
s

   r ,0

Với  
t  s  r


Ta có

W (t , s)( ) 

t 



u (t , ) e* R( , A(0)) g ( )( )d +

s

t



u (t , ) e* R( , A(0)) g ( )( )d

t 

Do (*) ta có

W (t , s)( ) 

t 



u(t   , ) R( , A(0)) g ( )d +

s

t

 e (t   ) R( , A(0)) g ( )d



t 

Do đó với  ,   0 ta có:

W (t , s)( )  W (t , s)( ) 

t 



v(t  , )[ R( , A(0)   R( , A(0))]g ( )d

s

t

+



[ e (t   ) R( , A(0))   e (t   ) R( , A(0))]g ( )d

t 

Khi t    s .
và
t

W (t, s)( )  W (t , s)( )   [ e (t   ) R( , A(0)   e (t   ) R( , A(0))]g ( )d
s

khi t    s .

Nhận xét:
t



t 

t

 e(t   ) R( , A(0) g ( )d 



e (t   ) R( , A(0) . g d

t 

với

g  sup g ( )
0.T 





  R( , A(0)) . g 1  R( , A(0)) . g




Do

R( , A(0)) 

M
. g với   

 

M
với   
 

(định lý Hill-Yosida-Phillips)

Nên
T

W (t , s)( ) W (t , s)( )  M (t )   R( , A(0))   R( , A(0))]g ( ) d
0

(

M
M
g ( )

)
      0sup
 T

( M (T )  Me

0T

Sử dụng kết quả: lim  R( , A(0)) x  x
 

)

x  E .

 lim  R( , A(0))   R( , A(0))]g ( ) d  0
 

 [0,T ] .

Theo định lí hội tụ bị chặn Lebesgue, ta có:
T

lim
 R( , A(0))   R( , A(0))]g ( ) d  0
 ,   
0

sup W (t , s)( )  W (t , s)( )  0

Suy ra

khi  ,   

r ,0












Đều trên tập (s, t ):

0  s t T



( điều phải chứng minh) 

Từ bổ đề trên ta đưa ra định nghĩa họ các toán tử (un (s, t ))n0 như sau :

u0 (s, t )  u(s, t )
t

un (s, t )  lim  u (t , )e*  R( , A(0)) L( )un1( ) d
 
s
với

  Cr , n  1 và

0 st

+

2.2.3. Định lí 1
a) Phát biểu :

i. Chuỗi uL (s, t ):

tập

 un (t, s) ,

n 0

(t, s):0  s  t  T 

t  s  0 hội tụ đều trên

L(Cr ) trên

(T  0) và (uL (t , s))t  s 0 là họ tiến hóa

trên Cr .
Hơn thế nữa ta có cơng thức biến thiên hằng số:

uL (t , s)  u (t , s) 
t

lim  u (t , )e*  R( , A(0)) L( )u ( , s) d
 
s

(2.3)

Thỏa với mọi   Cr và t  s  0
ii. Với mọi   Cr và s  0
u (t , s) (0)
Hàm xác định bởi: x(t , s, ):  L
 (t  s)

Là nghiệm yếu của (2.1) và xt  uL (t , s)

ts
sr t  s
ts0

b) Chứng minh
i) với n  0
ta có:

u0 (t , s)  Me (t  s)

t s0

với n  1, t  s  0 và   Cr
ta có:
t

u1(t , s)  lim  u (t , )e*  R( , A(0)) L( )u0 ( , s) d
 
s

(2.4)


Nên
t

u1(t, s)  lim  u(t, )e*  R( , A(0)) L( )u0 ( , s) d
 
s

Ta có :
Với

u0 ( , s)  u( , s)  Me (  s)

e  1 ,    r ,0
R( , A(0)) 

t   s
(  0 )

M
 

với   

lim  R( , A(0)) x  x
 
Suy ra

u1(t , s)  M 2 L(.)  e (t  s) (t  s) 

Nên

u1(t, s)  M 2 L(.)



e (t  s) (t  s)

Bằng quy nạp ta chứng minh được

un (t , s)

( M 2 L(.)  ) n

.Me (t  s).(t  s),

n!

n  ,

t s0
Vì vậy chuỗi

 un (t, s)

n0

hội tụ đều trong

L(Cr )

trên

(t, s): s  t  T .
(uL (t , s))t  s 0 liên tục do bổ đề (2) và chuổi hội tụ đều theo
(chứng minh trên)
Ngoài ra uL (t , s):

 un (t, s)

n0

uL (t , s)  u(t , s) 

t s0

 un (s, t ) ;

n1


t

un (t , s)  lim  u (t , )e*  R( , A(0)) L( )un 1( , s) d
 
s
Suy ra

n 1


*
 uk (t, s)  lim
 u(t, )e  R( , A(0))L( )   uk ( , s)  d

k 1
 k 0

n

t





s





n

Cho

Ta có: uL (t , s)  u (t , s) 
t

lim  u (t , )e*  R( , A(0)) L( )uL ( , s) d
 
s
Vậy (i) đã được chứng minh ■
(ii) từ (2.3) ta có:

uL (t, s) ( ) 

t 

v(t   , s) (0) 
v(t  , ) L( )uL ( , s) d t   s


s

s  r  t 
 (t    s)



s
( 2.5)

uL (t   , s) (0)

Nên uL (t , s) ( )  

 (t  

 s)

t   s
s  r  t   s

Bây giờ hàm (2.4) x(t , s, ) thỏa xt  uL (t , s)
Theo (2.2) thì xt là nghiệm yếu duy nhất của (2.1)
(ii) được chứng minh ■
Bây giờ chúng ta xem xét tính bền của dáng điệu tiệm cận của phương
trình (1.2). Cụ thể hơn chúng ta giả sử hàm t  v(t  s, s) x

s  0, x  E

nằm trong một khơng gian con đóng thuần nhất  nào đó của BUC ( R , E )



1
0  q 
Và sự tồn tại các hằng số 
M
s  0
 o





thỏa

L(t  s)u (  s, s) d  q 

(2.6)

0

Với

   Cr

, s  so
Ta có kết quả chính sau

2.2.4. Định lí 2
a) Phát biểu :

Giả sử (2.6) xảy ra và t  v(t  s, s) x

( s  0, x  E )

nằm trong một khơng gian con đóng thuần nhất  nào đó của
BUC ( R , E ) .

Khi đó: Nghiệm t  x(t  s, s, ) của (2.1) cũng nằm trong  với
mọi   Cr và s  0
b) Chứng minh

Với t  0 s  so và   Cr
Vì t  s  s nên ta có kết quả đã biết

x(t  s, s, )  uL (t  s, s) (0)
 v(t  s, s) (0) 

t s



v(t  s, )L( )uL ( , s) d theo

s

t



 v(t  s, s) (0)  v(t  s,  s)L(  s)uL (  s, s) d

0

(Đổi cận tích phân với u    s )
Theo bổ đề (1) ta chỉ cần chứng minh.

L(.  s)U L (.  s, s)  L1(  , E )

(2.5)


Thật vậy theo cơng thức (2.3), ta có:

L(t  s)uL (t  s, s)  L(t  s)u (t  s, s) 

lim

ts



 

L(t  s)u(t  s, )e*  R( , A(0)) L( )u( , s) d

s

Do đó:
t

t

 L(  s)uL (  s, s) d   L(  s)u(  s, s) d 

0

  

lim

0

t  s

L(  s)u(  s, )e*  R( , A(0)) L( )uL ( , s) d d



0 s

t

  L(  s)u(  s, s) d 
0

t  s  s 



lim 
 

L(   )u (   , )e*  R( , A(0)) L( )uL ( , s) d d

0

s

Do (2.6) , ta có:
t

t

 L(  s)u(  s, s) d   L(  s)u(  s, s) d 

0

t  s  s 

lim 
 

s



0

L(   )u(   , )e*  R( , A(0)) L( )uL ( , s) d d

0

t

 q   q lim  e*  R( , A(0)) L( )uL ( , s) d
 
s
t

 q   q  L(  s)uL (  s, s) d
0

 q   q2   k 

Do đó với 0  s  so ,   Cr ta có :


L(.  s)U L (.  s, s)  L1(  , E ) .
Do bổ đề (1) ánh xạ : t  x(t  s, s, ) thuộc  .
với 0  s  so , t  0 ,   Cr ta có thể viết

uL (t  so  s, s) (0)  uL (t  so  s, so  s) uL (so  s, s) (0)
vì s  so  so nên:
Ta suy ra: t  uL (t  so  s, s)
Do  thuần nhất nên t  uL (t  s, s) (0) 
(Định lí được chứng minh)■
2.3. Trường hợp khơng thuần nhất:cơng thức biến thiên hằng số và dạng
tiệm cận
2.3.1. Giới thiệu bài tốn

Phương trình vi phân lệch khơng thuần nhất

x(t )  A(t ) x(t )  L(t ) xt  f (t )

t s0

(2.7)

xs    Cr
Trong đó ( A(t ), D( A(t ))t 0 là họ ổn định, sinh ra họ tiến hóa liên tục
mạnh (v(t , s))t  s 0 trên một không gian Banach E và:
 v(t , s)  Me (t  s) (t , s): t  s  0 (với  , M là các hằng
số, M  1 )
 L(.)  BC (  , Ls (Cr , E )) và f  Lloc1(  , E ) .

2.3.2. Định nghĩa

Một hàm liên tục x : x(., s, ):  r ,    E được gọi là nghịêm yếu của
(2.7) nếu:


x(t ) 

t

v(t , s) (0)  v(t , )[ L( ) x



s

 (t  s)



 f ( )]d

ts

(2.8)

sr t  s

Sự tồn tại nghiệm yếu của (2.7) đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả
[3,5]. Ở đây chúng ta muốn chỉ ra nghiệm yếu của phương trình (2.7) bởi

cơng thức biến thiên hằng số.
2.3.3. Bổ đề 3
a) Phát biểu :

f  Lloc1( , E ) (t , s): t  s  0
t

Ta có:

lim  e (s  ) R( , A(0)) f ( )d  0

 

s

b) Chứng minh

Nếu f  C([s,t ], E ) với  đủ lớn ta có:

t

t
M

(
s


)
R( , A(0)) f ( )d 

 sup f  e (s  )d
 e
 
s  t s
s
(định lý Hill-Yosida-Phillips)
M

..
 

1 es t
sup f ( ) (    )

s  t



M
. sup .
   s t f ( )
t

Nên

lim   e (s  ) R( , A(0)) f ( )d  0

 

s

Nếu f  Lloc1(  , E ) thì f  L1 ([ s, t ], E )
Khi đó tồn tại dãy ( f n ) trong C([ s,t ], E ) : f n  f 1
0
L
[ s,t ]


t

Do đó :

 ( s  ) R( , A(0)) f ( )d 

 e

s
t

 ( s  ) R( , A(0))[ f ( )  f ( )]d
n

 e

s

t

   e (s  ) R( , A(0)) f n ( )d

s





I

t

   e (s  ) R( , A(0)) . f ( )  f n ( ) d  I

s

t
M

.. f ( )  f n ( ) d  I cho    rồi cho n  
  

s

Suy ra điều phải chứng minh■
2.3.4. Bổ đề 4
a) Phát biểu :

Với mỗi f  Lloc1(  , E )

t

lim  uL (t, )e*  R( , A(0)) f ( )d hội tụ đều trong Cr trên các

 

s

tập compact của tập (t , s): t  s  0
b) Chứng minh :

Theo bổ đề (3) để có bổ đề (4) ta chỉ cần xét f  C([0,T ], E )
( T  0 là hằng số sao cho: T  t  s  0 )
Với   max( , o)

t


Đặt Z (t , s)   uL (t , ) e * R( , A(0)) f ( )d .

s


Với  [r , o], t    s từ cơng thức (2.5) ta có:

Z (t , s)( ) 
t

t 



uL (t , ) e* R( , A(0)) f ( )( )d

s





uL (t, )e* R(, A(0)) f ( )( )d





v(t   , ) R( , A(0)) f ( )d

t

e (t   ) R(, A(0)) f ( )d

t 
t 
s







 

t 
t  t 

v(t  , )L( )U L ( , )e* R(, A(0)) f ( )d d

s 



I

Mà I 

t  

* R(, A(0)) f ( )d d

  v(t  , )L( , )e

s s

(đổi thứ tự lấy tích phân)





t 





V (t  , ) L( )  U L ( , )e* R(, A(0)) f ( )d d



V (t  , ) L( )Z ( , s)d

s
t 

s

s



Nên với t    s ta có:

Z (t , s)( ) 



t



t 

t 



V (t  , ) R( , A(0)) f ( )d

s

e (t   ) R( , A(0)) f ( )d

(2.9)


t 
  V (t  , )L( )Z ( , s)d
s


Nên với t    s ta có:

t

Z (t , s)( )   e (t   ) R(, A(0)) f ( )d

s

Do đó với     o  max( , o) ta có:

Z (t , s)( ) Z  (t , s)( ) 

 t 

V (t   , )[ R( , A(0))   R( , A(0))] f ( )d

 s
 t

[ e (t   ) R( , A(0)   e (t   ) R( , A(0))] f ( )d

 t 

 t 

V (t   , ) L( )[Z ( , s)  Z  ( , s)]d t    s

 s
 t
 [ e (t   ) R( , A(0)   e  (t   ) R(  , A(0))] f ( )d t  

 s








Trường hợp

s

t   s dễ dàng có được

Z (t , s)( )  Z  (t , s)( )

T
 M (t )

 [ R( , A(0))   R( , A(0))] f ( ) d
0

t
 .T
1
1
) f
. L(.)  Z ( , s)  Z  ( , s) d
M (

 M .e


   
[0,T ]

s

Trường hợp t    s ta có:

Z (t , s)( )  Z  (t , s)( )  M ( 1  1 ) sup f ( )
      0 T
(đánh giá tương tự như đánh giá bổ đề (2))


Mặt khác lim  R( , A(0))   R( , A(0)) f ( )  0 ,   0, T 
 ,  
Áp dụng định lí hội tụ bị chặn Lebesgue ta có:
T

 ,   

lim

 R( , A(0))   R(  , A(0)) f ( ) d  0

0

Do đó với   0 bất kỳ, tồn tại   0 sao cho :nếu  ,   
thì Z (t , s)( )  Z  (t , s)( ) 

  M .e

 .T

. L(.)

t


s

Z ( , s)  Z  ( , s) d    r ,0

điều này tương đương với

Z (t , s)  Z  (t , s)    M .e

 .T

. L(.)

t


s

Z ( , s)  Z  ( , s) d

Áp dụng bổ đề Gronwall, ta suy ra:

Z  (t , s )  Z  (t , s )   .e

M .e

 .T

L (.)

 .T

Vậy Z (t , s)  Z  (t , s)  0 khi  ,   0 bổ đề được chứng minh.
2.3.5. Định lí 3
a) Phát biểu :

Cho   Cr và s  0 khi đó hàm x được định nghĩa bởi:
u (t )(0)
x(t )  
 (t  s)

ts
rst  s
t

uL (t ,  )e
  

Với u (t ) : uL (t , s)  lim

*  R( , A(0)) f ( )d

ts

s

Là một nghiệm yếu của phương trình (2.7)
Đảo lại nếu x Là một nghiệm yếu của phương trình (2.7) thì

t

xt  uL (t , s)  lim  uL (t ,  )e*  R ( , A(0)) f ( )d
 

ts

(2.10)

s

b) Chứng minh :

Cho    r ,0
 với t    s áp dụng công thức (2.5) và định lí (1) ta có:
u (t )( )  v(t   , s) (0) 

t 



v(t   , )L( )uL ( , s) d

s

 lim
 

t 



v(t   , ).R( , A(0)) f ( )d

t

 e (t   ) R( , A(0)) f ( )d

s

 lim
 



 lim

 

t 
t  t 

x

s 

v(t   ,  )L( )uL ( , )e* R( , A(0)) f ( )d d

Trong đó :

 lim
 

t 



v(t   , ).R( , A(0)) f ( )d 

s

t 



v(t   , ) f ( )d

s

(do lim  R( , A(0)) x  x
 

, x  E , v(t , s) liên tục mạnh và định lí

hội tụ bị chặn Lebesgue).
t

 e (t   ) R( , A(0)) f ( )d  0 do bổ đề (3)

 



lim

 

lim

 

t 
t  t 

s 

v(t   , )L( )uL ( , )e* R( , A(0)) f ( )d d


t 



 lim  v(t  , ) L( )  u( , )e* R( , A(0)) f ( )d d
 
s
s


t 



v(t   , ) L( )[ lim  uL ( , )e* R( , A(0)) f ( )d ]d
 
s
s



Từ đó ta có:

u (t )( )  v(t   , s) (0) 

t 



v(t   , )L( )uL ( , s) d

s
t 





v(t   , ) f ( )d

s

t 





v(t   ,  ) L( )[ lim  uL ( , )e* R( , A(0)) f ( )d ]d
 
s
s



 v(t   , s) (0) 

t 

s

v(t   , ) f ( )d

t 





v(t   , ) L( )[uL ( , s)  lim  uL ( , )e* R( , A(0)) f ( )d ] d
 

s
s

U ( )



(do định nghĩa của u ( ) )

 v(t   , ) (0) 

t 



v(t   , )[ f ( )  L( )u ( )]d .

( 2.11)

s


Với t    s :

t

u (t )( )   (t    s)  lim  e (t   ) R( , A(0)) f ( )d
 

s

  (t    s)  0

(do bổ đề (3))

Theo định nghĩa nghiệm yếu từ (2.11), (2.12) suy ra

( 2.12)


xt  u (t )(t 0) là nghiệm yếu của (2.7)
Đảo lại :Giả sử y(t) là nghiệm yếu của (2.7) cần chứng minh

y(t )  u (t ) (t  s)
Với t  s,   r ,0 , theo (2.8), (2.11), (2.12) ta có:
t 
 v(t   , )L( )[ y ( )  u ( )]d
t   s
y(t )( )  u (t )( )   s

s  r  t   s
0



Nên    r ,0
t

y(t )( )  u (t )( )   v(t   , ) . L(.)  y( )  u ( ) d
s

Hay y(t )  u (t ) 

t

s L(.)  . v(t  , ) . y( )  u( ) d

Áp dụng bất đẳng thức Gronwall ta có: y(t )  u(t )

t  s .

Định lí được chứng minh■.
2.4. Dáng điệu tiệm cận các nghiệm của (2.7)
2.4.1. Định nghĩa

Một họ tiến hóa (u(t , s))t  s 0 được gọi là có tính chất “SemiExponential dichotomy”
Nếu hàm p : R  L( X ) sao cho hàm p(.) x liên tục và bị chặn với mỗi

x  X và các hằng số   0, N  N ( )  1 sao cho:
i. P(t )u (t , s)  u (t , s)Q(s) .
ii. u (t , s) P( s)  Ne (t  s)
và uQ (s, t )Q(t )  Ne (t  s)

với t , s Ỵ  và t  s .