Phương trình vi phân đổi số lệch trong không gian banach công thức biến thiên hằng số và dáng điệu tiệm cận

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
--- o0o---

Trần Trí Dũng

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐỐI SỐ
LỆCH TRONG KHÔNG GIAN BANACH.
CÔNG THỨC BIẾN THIÊN HẰNG SỐ VÀ
DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN.

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - Năm 2005


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
--- o0o---

Trần Trí Dũng

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐỐI SỐ
LỆCH TRONG KHÔNG GIAN BANACH.
CÔNG THỨC BIẾN THIÊN HẰNG SỐ VÀ
DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN.
Chuyên ngành
Mã số

: Toán giải tích
: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC :
PGS TS LÊ HOÀN HÓA

Thành phố Hồ Chí Minh - Năm 2005


MỤC LỤC

CHƯƠNG I:

KIẾN THỨC CƠ BẢN.......................................................................1

1.1

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ CHO CHƯƠNG II ..............................1

1.2

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ CHO CHƯƠNG III..............................3

CHƯƠNG II: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐỐI SỐ LỆCH, KHÔNG TỰ
ĐỘNG : CÔNG THỨC BIẾN THIÊN HẰNG SỐ – DÁNG ĐIỆU
TIỆM CẬN .........................................................................................6
2.1

GIỚI THIỆU .................................................................................................6

2.2

PHẦN CHUẨN BỊ .......................................................................................7

2.3

CHUỖI DYSON – PHILLIPS VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA
NGHIỆM TRONG TRƯỜNG HP THUẦN NHẤT ................................11

2.4

TRƯỜNG HP KHÔNG THUẦN NHẤT: CÔNG THỨC BIẾN THIÊN
HẰNG SỐ VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN .................................................21

CHƯƠNG III : PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐỐI SỐ LỆCH NỬA TUYẾN
TÍNH – SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM- TÍNH
COMPẮC LIÊN THÔNG CỦA TẬP NGHIỆM.........................38
3.1

GIỚI THIỆU ..............................................................................................38

3.2

SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM ................................................39

3.3

TÍNH COMPẮC VÀ LIÊN THÔNG CỦA TẬP NGHIỆM ......................44

KẾT LUẬN

..........................................................................................................50

TÀI LIỆU THAM KHẢO .........................................................................................52


LỜI MỞ ĐẦU

Trong những năm gần đây, việc nghiên cứu các phương trình vi phân đối
số lệch trong không gian Banach ngày càng được nhiều tác giả quan tâm.
Một trong những lý do mà các nhà toán học trên thế giới mở rộng và
phát triển hướng nghiên cứu này là những ứng dụng quan trọng của các
phương trình vi phân đối số lệch trong nhiều lónh vực khác nhau như :
Sinh học , Vật lý học, Sinh lý học , Kinh tế học...
Những tài liệu, báo cáo và các bài báo nghiên cứu về các phương trình vi
phân đối số lệch trong không gian Banach cho thấy rằng việc nghiên cứu
có thể đi theo nhiều hướng khác nhau.
Luận văn này xét đến lớp các phương trình vi phân đối số lệch tiến hóa
(là một mô hình toán học liên hệ mật thiết đến lý thuyết tiến hóa của
Sinh vật học). Nội dung luận văn được chia làm ba chương :
CHƯƠNG I : KIẾN THỨC CƠ BẢN.
Trong chương này, chúng tôi sẽ đưa ra các kiến thức chuẩn bị cho hai
chương sau. Các khái niệm, định nghóa và định lý trong chương này sẽ
được sử dụng trong toàn bộ luận văn.
CHƯƠNG II : PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐỐI SỐ LỆCH KHÔNG TỰ
ĐỘNG: CÔNG THỨC BIẾN THIÊN HẰNG SỐ - DÁNG ĐIỆU TIỆM
CẬN.


Trong chương này chúng tôi chia nội dung ra làm bốn phần. Ở phần thứ
nhất, chúng tôi sẽ giới thiệu dạng phương trình vi phân đối số lệch không

tự động(1.1) mà chúng tôi muốn nghiên cứu. Ở phần thứ hai, chúng tôi
đưa ra thêm một số khái niệm, kết quả sử dụng riêng cho chương II. Trên
cơ sở đó, ở phần thứ ba chúng tôi nghiên cứu chuỗi Dyson-Phillips và dùng
chúng để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm trong trường hợp
phương trình vi phân đối số lệch không tự động(1.1) ở dạng thuần nhất. Ở
phần cuối cùng của chương này, chúng tôi sẽ chỉ ra rằng nghiệm của
phương trình vi phân đối số lệch không tự động(1.1) trong trường hợp
không thuần nhất được xác định bởi một công thức biến thiên hằng số; từ
đó chúng tôi thu được một số kết quả về dáng điệu tiệm cận của nghiệm .
CHƯƠNG III : PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐỐI SỐ LỆCH NỬA TUYẾN
TÍNH : SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM - TÍNH COMPẮC VÀ
LIÊN THÔNG CỦA TẬP NGHIỆM .
Trong chương này chúng tôi chia nội dung làm ba phần. Phần đầu là
phần giới thiệu dạng phương trình vi phân đối số lệch nửa tuyến tính (I) là
dạng mở rộng của phương trình (1.1) đã xét ở chương II. Ở phần thứ hai,
với những giả thiết ban đầu thích hợp, chúng tôi chỉ ra sự tồn tại và duy
nhất nghiệm của (I)(theo nghóa nghiệm mạnh). Trong phần cuối cùng của
chương III, sử dụng các kỹ thuật tương tự như của các tác giả trong tài


liệu tham khảo [2], chúng tôi sẽ chỉ ra tập nghiệm của (I) là tập compắc
và liên thông.
Dù được thực hiện rất nghiêm túc và kỹ lưỡng nhưng chắc chắn bản luận
văn này không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy tôi rất mong nhận được
sự góp ý phê bình của các Quý Thầy cô và các bạn bè đồng nghiệp.
Cuối cùng cho tôi được gửi lời biết ơn sâu sắc đến PGS TS Lê Hoàn Hóa,
người Thầy đã tận tình dìu dắt, hướng dẫn tôi từ lúc tôi mới bước chân
vào giảng đường đại học cho đến ngày hôm nay. Tôi cũng xin chân thành
cảm ơn các Quý Thầy cô trong Hội đồng bảo vệ luận văn đã dành nhiều
thời gian để đọc bản luận văn này và cho tôi nhiều ý kiến đóng góp quý

báu. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các Quý Thầy cô phòng
KHCN - SĐH trường Đại Học Sư Phạm TPHCM đã giúp đỡ tôi hoàn tất
các thủ tục bảo vệ luận văn. Cuối cùng, tôi xin cảm ơn tất cả bạn bè đồng
nghiệp - những người luôn đứng đằng sau để động viên, cổ vũ cho mỗi
bước đi của tôi trên đường đời.

Thành phố Hồ Chí Minh , tháng 8 năm 2005
Người thực hiện
Trần Trí Dũng


1

CHƯƠNG I:

KIẾN THỨC CƠ BẢN

1.1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ CHO CHƯƠNG II :
• Định nghóa 1 :

Một họ các toán tử tuyến tính liên tục {T (t )}t ≥0 xác định trên một không gian
Banach X được gọi là một nửa nhóm liên tục mạnh nếu :
i) T (s + t ) = T (s)T (t ), t, s ≥ 0 ;
ii) T (0) = I ;
iii) Với mỗi x ∈ X , T(.)x là liên tục trên [0, ∞) .

Ngoài ra, nếu t

T (t ) là liên tục theo tôpô của hội tụ đều thì ta gọi họ

{T (t )}t≥0 là một nửa nhóm liên tục đều.
• Định nghóa 2 :

Cho {T (t )}t ≥0 là một nửa nhóm liên tục mạnh xác định trên X .
Với h > 0, ta định nghóa toán tử tuyến tính Ah xác định như sau :
Ah x =

T (h) x − x
, x∈X .
h

Kí hiệu D(A) là tập tất cả các x ∈ X sao cho giới hạn lim Ah x tồn tại, ta xác
h→0

định toán tử A trên D(A) nhö sau :
Ax = lim Ah x , x ∈ D( A) .
h→0

Người thực hiện : Trần Trí Dũng
Thầy hướng dẫn : PGS.TS Lê Hoàn Hóa


2

Ta gọi toán tử A xác định như trên là toán tử sinh cực vi ( hay ngắn gọn hơn là
toán tử sinh) của nửa nhóm {T (t )}t ≥0 .
Khi đó, ta có các kết quả sau đây :
i) D(A) là trù mật trong X và A là toán tử tuyến tính đóng trên D(A).
ii) Nửa nhóm liên tục mạnh {T (t )}t ≥0 có một toán tử sinh là bị chặn khi và chỉ
khi {T (t )}t ≥0 là một nửa nhóm liên tục đều.

Định lý sau đây cho ta một đặc trưng của toán tử sinh của một nửa nhóm liên tục
mạnh :
• Định lý 1 (Hille-Yosida-Phillips) :

Cho A là một toán tử tuyến tính đóng với miền xác định trù mật. Khi đó A là
toán tử sinh của một nửa nhóm liên tục mạnh nếu và chỉ nếu tồn tại các số
thực M và ω sao cho với λ > ω , ta có λ ∈ ρ (A) vaø
R(λ , A)n ≤ M (λ − ω )− n ∀n ∈

*

,

trong đó R(λ , A) = (λ I − A)−1 (λ ∈ ρ ( A)).
Ngoài ra, chúng tôi còn sử dụng kết quả sau đây trong luận văn :
• Định lý 2 :

Cho {T (t )}t ≥0 là một nửa nhóm liên tục mạnh xác định trên X và A là toán tử
sinh tương ứng. Khi đó ta có kết quả sau :
lim λ R(λ , A) x = x ∀x ∈ X .

λ →+∞

Người thực hiện : Trần Trí Dũng
Thầy hướng dẫn : PGS.TS Lê Hoàn Hoùa


3

1.2 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ CHO CHƯƠNG III :

• Điều kiện A :

Cho X là không gian tôpô lồi địa phương và P là họ nửa chuẩn tách trên X.
Cho D ⊂ X và U : D → X , với mọi a ∈ X ta định nghóa Ua : D → X nhö sau :
Ua(x)= a + U(x) .
Toán tử U : D → X được gọi là thỏa mãn điều kiện (A) trên tập Ω ⊂ X neáu :
( A1 )

Ua(D) ⊂ D ∀ a∈ Ω ,

( A2 )

Với mỗi a∈ Ω và p∈ P , tồn tại ka ∈ Z + thỏa mãn tính chất :

với mọi ε > 0 , tồn tại r ∈ Z + và δ > 0 sao cho : với x, y ∈D , α a P (x,y) < ε + δ
thì α a P (U a r ( x ),U a r ( y )) < ε ,
trong đó α a P ( x , y ) = max{p(U a i ( x ) − U a j ( y )), i, j ∈ {0, ka}} .
• Định lý A :

Cho X là không gian lồi địa phương và P là một họ nửa chuẩn tách trên X.
Cho D là tập con đầy đủ theo dãy trong X , U : D → X liên tục đều và thỏa
mãn điều kiện (A) trên tập hợp Ω ⊂ X . Khi đó toán tử ( I − U )−1 được xác định
và liên tục trên Ω . Hơn nữa, nếu trong điều kiện (A), δ được chọn độc lập
với a ∈ Ω thì ( I − U )−1 liên tục đều trên Ω .
• Định lý B :

Cho X là không gian lồi địa phương đầy đủ theo dãy và P là họ nửa chuẩn tách
trên X. Giả sử các ánh xạ U , G : X → X thỏa mãn :
i)

U thỏa mãn điều kiện (A) trên X.
Người thực hiện : Trần Trí Dũng
Thầy hướng dẫn : PGS.TS Lê Hoàn Hóa


4

ii)

Với mỗi p ∈ P , tồn tại k > 0 (k phụ thuộc p) sao cho :
p(U ( x ) − U ( y )) ≤ kp( x − y ) ∀x , y ∈ X .

iii)

Có phần tử x0 ∈ X thỏa tính chất : với mọi p ∈ P , tồn tại r ∈

*

và λ ∈ [0,1) (r và λ phụ thuộc p) sao cho :
p(U xr0 ( x ) − U xr0 ( y )) ≤ λ p( x − y ) ∀x , y ∈ X .
iv)
v)

G hoàn toàn liên tục và p(G( A)) < ∞ moãi khi p( A) < ∞.
lim

p ( x )→∞

p(G( x ))
= 0 ∀p ∈ P .

p( x )

Khi đó tồn tại một tập lồi, mở, bị chặn D trong X sao cho U + G có điểm bất
động trong D . Ngoài ra, nếu có thêm giả thiết U liên tục đều trên X thì ta có
thêm ( I − U )−1 G( D ) ⊂ D .
• Định lý C (Krasnoselskii-Perov) :

Cho (E,|.|) là không gian Banach thực, D là tập mở bị chặn trong E và
T : D → E là ánh xạ compắc. Giả sử 0 ∉ (I − T )∂D vaø deg(I − T , D,0) ≠ 0 .

Giả sử thêm T thỏa mãn điều kiện :
Với mọi ε > 0 , có ánh xạ compaéc Tε sao cho: T ( x ) − Tε ( x ) < ε ∀x ∈ D
đồng thời với h : h ≤ ε , phương trình x = Tε ( x ) + h có nhiều nhất một nghiệm
trong D . Khi đó tập các điểm bất động của T là khác rỗng, compắc và liên
thông.

Người thực hiện : Trần Trí Dũng
Thầy hướng dẫn : PGS.TS Lê Hoàn Hoùa


5

• Định lý D :

Cho S là không gian mêtric thỏa mãn các điều kiện sau :
∞

(S1) S = ∪ Sn , Sn compắc, khác rỗng.
n =1

(S2) S1 ⊂ S2 ⊂ S3 ⊂ ... ⊂ Sn ⊂ ...
(S3) Với mỗi tập con compắc K, tồn tại n ∈

sao cho K ⊂ Sn .

Đặt C(S) là không gian Frechet các ánh xạ liên tục từ S vào E. Khi đó, tập
A ⊂ C (S ) là compắc tương đối nếu và chỉ nếu với mọi n ∈

*

, A đẳng liên tục

trên Sn và tập An = {x (s)/ x ∈ A, s ∈ Sn} compắc tương đối trong E .
• Định lý E :

Cho X, Y là hai không gian Banach, D mở trong X và f : D → Y liên tục.
Khi đó, với mỗi ε > 0 , tồn tại fε : D → Y lipschitz địa phương sao cho :
f ( x ) − fε ( x ) ≤ ε ∀x ∈ D vaø fε ( D ) ⊂ cof ( D ) (coA là bao lồi của A).

• Định lý F (định lý Schauder):

Cho C là tập lồi đóng trong không gian Banach E và f : C → C liên tục sao
cho f(C) là tập compắc tương đối. Khi đó f có điểm bất động trong C.
*********************************************************

Người thực hiện : Trần Trí Dũng
Thầy hướng dẫn : PGS.TS Lê Hoàn Hóa


6

CHƯƠNG II:
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐỐI SỐ LỆCH, KHÔNG TỰ ĐỘNG:
CÔNG THỨC BIẾN THIÊN HẰNG SỐ - DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN.

2.1 GIỚI THIỆU:

Trong luận văn này, chúng tôi sẽ nghiên cứu phương trình vi phân sau đây :
x'(t) = A(t)x(t) + L(t)x t + f(t), t ≥ s ≥ 0
xs = ϕ ∈ C r := C([-r,0],E)

(1.1)

trong đó ( A(t ), D( A(t )))t ≥s≥0 sinh ra họ tiến hóa liên tục mạnh (strongly continuous
evolution family) (V (t, s))t ≥s≥0 trên một không gian Banach E, {L (t )}t ≥0 là họ các
toán tử tuyến tính liên tục từ Cr vào E.
Trong trường hợp tự động ( A(t) = A , L(t) = L), nhiều tác giả đã nghiên cứu phương
trình (1.1) với các kỹ thuật khác nhau, chẳng hạn trong [4,9,14,17,27,28,29] từ tài
liệu tham khảo [1] của luận văn.
A.Rhandi gần đây đã chỉ ra trong [22](tài liệu tham khảo [1]) rằng nghiệm của
(1.1) trong trường hợp f ≡ 0 được cho dưới dạng chuỗi DYSON-PHILLIPS.Trong
các bài báo [10,12]( tài liệu tham khảo [1]), các tác giả đã chứng minh được rằng
nghiệm của (1.1) khi f không đồng nhất là hàm không có thể được xác định bởi
“Công thức biến thiên hằng số” và với công thức này ta có thể nghiên cứu dáng
điệu tiệm cận các nghiệm của phương trình(1.1). Gần đây, các tác giả trong [13]

Người thực hiện : Trần Trí Dũng
Thầy hướng dẫn : PGS.TS Lê Hoàn Hoùa

7

của tài liệu tham khảo [1] đã nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của các nghiệm (1.1)
trên R bằng cách sử dụng công cụ nửa nhóm tiến hóa và phương trình đặc trưng. Ở
trong [26], R.Schnaubelt đã chỉ ra công thức biến thiên hằng số thứ nhất cho (1.1)
cũng bằng cách sử dụng các ý tưởng trên nửa nhóm tiến hóa.
Mục đích của chúng tôi trong luận văn là mở rộng các kết quả của [10,12,19,22]
sang dạng đầy đủ của (1.1) như phần trên. Nói một cách chính xác hơn, chúng tôi
sẽ chỉ ra trong chương này sự tồn tại của nghiệm yếu (“mild solutions”), biểu diễn
những nghiệm đó dưới dạng các họ tiến hóa và sử dụng chúng để nghiên cứu dáng
điệu tiệm cận các nghiệm.
2.2 PHẦN CHUẨN BỊ :

Trong phần này chúng tôi sẽ đưa ra một số định nghóa và kí hiệu được sử dụng ở
phần sau.
Cho X là một không gian Banach, ta kí hiệu L(X) là không gian các ánh xạ tuyến
tính liên tục trên X.
ĐỊNH NGHĨA 2.2.1 :

Họ các toán tử U : = (U (t, s))t ≥s≥0 trong L(X) được gọi là họ tiến hóa liên tục
mạnh (strongly continuous evolution family) nếu :

(1) U(t,s) = U(t,r).U(r,s) và U(s,s) = Id với mọi t ≥ r ≥ s ≥ 0
(2)Ánh xạ (t,s)∈ {(t,s): t ≥ s ≥ 0}

U(t,s) là liên tục mạnh .

Người thực hiện : Trần Trí Dũng
Thầy hướng dẫn : PGS.TS Lê Hoàn Hóa

8

ĐỊNH NGHĨA 2.2.2 :

Một họ tiến hóa U : = (U (t, s))t ≥s≥0 được gọi là có tính chất “exponential
dichotomy” nếu tồn tại một hàm P : R + → L(X) sao cho hàm P(.)x là liên tục,

bị chặn tại mỗi x∈X và nếu tồn tại các hằng số δ > 0, N = N (δ ) ≥ 1 sao cho :
(1) P(t).U(t,s) = U(t,s).P(s) ;
(2) UQ(t,s) : ImQ(s) → ImQ(t) khả nghịch, trong đó Q(.) : = I − P(.) và UQ(t,s)

là thu hẹp của U(t,s) trên ImQ(s) ;
(3) U (t, s).P(s) ≤ Ne−δ ( t −s ) vaø UQ (s, t ).Q(t ) ≤ Ne−δ ( t − s ) .
ĐỊNH NGHĨA 2.2.3 :

Họ các toán tử ( Γ(t, s) ) t ≥ s≥ 0 trong L(X) được cho bởi :
,t≥s
⎧ U(t,s).P(s)
Γ(t , s) : = ⎨
⎩-U Q (t, s).Q(s) , t < s

được gọi là hàm Green tương ứng của họ tiến hóa (U(t,s)).
Kí hiệu BC( R + , X) là không gian Banach của tất cả các hàm liên tục và bị chặn từ
R + vào X , không gian này được trang bị chuẩn của hội tụ đều (chuẩn sup). Không

gian con đóng các hàm bị chặn và liên tục đều của không gian trên được kí hiệu là
BUC( R + , X ).
ĐỊNH NGHĨA 2.2.4 :

(1) Nếu f : R + → X thì tập tất cả các dịch chuyển của f được định nghóa là
H(f) := { f(. + t) : t∈ R + }.

Người thực hiện : Trần Trí Dũng
Thầy hướng dẫn : PGS.TS Lê Hoàn Hóa


9

(2) Một hàm f∈ BC(R + , X ) được gọi là “ asymptotically almost periodic” nếu
H(f) là compact tương đối trong BC( R + , X ).
(3) Không gian con đóng ε của BUC( R + , X ) được gọi là “translation biinvariant” nếu f ∈ ε ⇔ H ( f ) ⊂ ε .
(4) Khoâng gian ε được gọi là thuần nhất nếu ε là “translation biinvariant” và M f ∈ ε với mọi f ∈ ε và M ∈ L(X).
Trong [5] (từ tài liệu [1] của luận văn này), ta biết rằng các lớp hàm sau đây là các
không gian con đóng thuần nhất của BUC( R + , X ) :
+ Khoâng gian C 0 ( R + , X ) các hàm liên tục và triệt tiêu ở vô cực.
+ Không gian AAP( R + , X ) các hàm “asymptotically almost periodic”.
Trước khi kết thúc phần này, chúng tôi cần bổ đề cơ bản sau đây :
BỔ ĐỀ 2.1 :

Cho (U(t,s)) t ≥s≥0 là một họ tiến hóa bị chặn trên X, ε là không gian con đóng
thuần nhất của BUC( R + , X ) vaø h∈ L1 (R + , X ) (theo nghóa tích phân Bochner).
Giả sử ánh xạ t
ánh xạ t

U (t + s, s) x thuộc về ε với mọi x∈ X và s ≥ 0 . Khi ñoù ta coù

t

∫ U (t + s, s + σ )h(σ )dσ

cũng thuộc ε với mọi s ≥ 0 .

0

CHỨNG MINH :
t

Với s ≥ 0 , đặt Us ∗ g(t) := ∫ U (t + s, s + σ )g(σ )dσ nếu g∈ L1 (R + , X ) .
0

Người thực hiện : Trần Trí Dũng
Thầy hướng dẫn : PGS.TS Lê Hoàn Hóa


10

Khi đó ta có ánh xạ g

Us ∗ g là tuyến tính liên tục từ L1 (R + , X ) vào

BC( R + ,X) . Thật vậy :
t

∫ U (t + s, s + σ )g(σ )dσ

+ U s ∗ g( t ) =

0

trong đó M = Sup U(t,s) vaø g
t ≥ s≥ 0

t

≤ M ∫ g(σ ) dσ ≤ M g
0

L1

, ∀t ≥ 0

∞

L1

= ∫ g(σ ) dσ .
0

Vậy Us ∗ g bị chặn.
Mặt khác theo giả thiết ta có ánh xạ
(t,s)∈{(t,s)∈ R 2+ : t ≥ s}

U(t,s) là liên tục mạnh nên Us ∗ g liên tục trên R + .

Vậy Us ∗ g∈ BC(R + , X ) .
Us ∗ g là hiển nhiên, tính liên tục của

+ Tính tuyến tính của ánh xạ g

ánh xạ trên suy từ kết quả Us ∗ g ≤ M g

L1

.

Để chứng minh phần còn lại của bổ đề, trước hết ta xét h = 1 [ a,b ] ⊗ x với
⎧x , t ∈ [a,b]
.
0 ≤ a ≤ b, x ∈ X , trong đó 1 [ a ,b ] ⊗ x(t) = ⎨
⎩ 0 , t ∉ [ a, b ]

Khi đó, với t ≥ 0 , ta coù:
Us ∗ h(t+b) =

t+b

∫ U(t + b + s, s + σ )h(σ )dσ
0

b

= ∫ U(t + b + s, s + σ ) xdσ .
a

Chú ý là U(t+b+s,s+σ ) = U(t+b+s,s+b) . U(b+s,s+σ ) , ∀σ ∈ [a,b] .
b

Vaäy Us ∗ h(t+b) = U(t+b+s,s+b) . ∫ U(b + s, s + σ ) xdσ .
a

Người thực hiện : Trần Trí Dũng
Thầy hướng dẫn : PGS.TS Lê Hoàn Hóa


11

Bởi vì t

U(t+b+s,s+b) x thuộc ε với mọi x∈X và với mọi s ≥ 0 nên

Us ∗ h(. + b)∈ ε .
Do ε là dịch chuyển “bi - invariant” nên Us ∗ h(.) ∈ ε với mọi s ≥ 0 .
Nếu h là hàm đơn giản trên L1 (R + , X ) thì do kết quả vừa chứng minh
ở trên cùng với tính tuyến tính của tích phân ta có ngay Us ∗ h ∈ ε .
Nếu h∈ L1 (R + , X ) thì do tập các hàm đơn giản trên L1 (R + , X ) là trù mật trong
L
L1 (R + , X ) nên tồn tại dãy ( h n ) các hàm đơn giản , h n ⎯⎯
→ h . Do g
1

Us ∗ g

lieân tục nên Us ∗ h n → Us ∗ h . Cuối cùng, do ε đóng nên Us ∗ h ∈ ε .
Bổ đề được chứng minh.
2.3 CHUỖI DYSON – PHILLIPS VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA
NGHIỆM TRONG TRƯỜNG HP (1.1) Ở DẠNG THUẦN NHẤT :

Cho (A(t), D(A(t))) t ≥0 là một họ ổn định, sinh ra một họ tiến hóa (V(t,s)) t ≥ s≥ 0 trên
một không gian Banach E thỏa mãn V(t,s) ≤ M.eω (t - s) trong đó M, ω là các hằng

số và M ≥ 1.
Cho (L(t))t ≥ 0 là họ các toán tử tuyến tính liên tục từ Cr vào E với
L(.) ∈ BC(R + ,Ls (Cr ,E)) , nghóa là ánh xạ t

L (t ) là một ánh xạ bị chặn và liên tục

mạnh.
Phương trình vi phân thuần nhất
x'(t) = A(t)x(t) + L(t)x t ,
xs = ϕ ∈ Cr := C([-r,0], E) .

t≥s

(3.1)

Người thực hiện : Trần Trí Dũng
Thầy hướng dẫn : PGS.TS Lê Hoàn Hóa


12

được rất nhiều tác giả nghiên cứu gần đây, chẳng hạn trong [10,13,20,26] (trong[1]
của luận văn). Trong các bài báo này, các tác giả đã chỉ ra sự tồn tại và duy nhất
nghiệm yếu cho bài toán (3.1) ở trên theo nghóa đó là một hàm liên tục x thỏa maõn :
x : [s-r, ∞) → E
t
⎧
⎪V(t,s)ϕ (0) + ∫ V(t,σ )L(σ )xσ dσ , t ≥ s
x(t) = ⎨
(3.2)

s
⎪ϕ (t-s)
, s-r ≤ t ≤ s
⎩

và họ nghiệm (x t ) là họ tiến hóa trên Cr .
Trong phần này, bằng một con đường khác, chúng tôi sẽ chỉ ra sự tồn tại nghiệm
yếu của (3.1) . Chính xác hơn, chúng tôi sẽ chỉ ra rằng họ nghiệm của (3.1) sẽ được
biểu diễn dưới dạng chuỗi Dyson-Phillips và thỏa mãn một công thức biến thiên
hằng số. Sử dụng công thức biến thiên hằng số đó, chúng tôi sẽ chỉ ra nghiệm yếu
của (3.1) có cùng dáng điệu tiệm cận với aùnh xaï
t

V(t+s,s)x , s ≥ 0 , x ∈ E (t ∈ R + ) .

Trong các bài báo [12,26] (trong[1] của luận văn) , chúng ta biết rằng họ nghiệm
tiến hóa của phương trình không dừng (L(t) ≡ 0) được cho bởi :
⎧V(t+τ ,s)ϕ (0) , t+τ ≥ s
U(t,s)ϕ (τ ) = ⎨
(∗) với ϕ ∈ Cr .
, s-r ≤ t+τ ≤ s
⎩ϕ (t+τ -s)

Công thức (∗) ở trên sẽ được chúng tôi sử dụng nhiều lần trong các phần sau.
Phần tiếp theo chúng tôi cần bổ đề sau :
BỔ ĐỀ 2.2 :

Cho g ∈ C(R + ,E) . Khi đó giới hạn
Người thực hiện : Trần Trí Dũng
Thầy hướng dẫn : PGS.TS Lê Hoàn Hóa

13

t

lim ∫ U(t,σ )λ eλ • R(λ ,A(0))g(σ )dσ

λ →∞

s

tồn tại đều trên Cr theo các tập compact của {(t,s) : t ≥ s ≥ 0 }, trong đó

R(λ , A) = (λ I - A)-1 và kí hiệu eλ • x = eλ ⊗ x được xác định như sau :
eλ • x(τ ) = (eλ ⊗ x)(τ ) = eλτ x , x ∈ E ,τ ∈ R.

CHỨNG MINH :

Với λ ≥ λ0 > max(ω ,0) ( ω là hằng số đánh giá của họ {V(t,s)}) và
0 ≤ s ≤ t ≤ T ( T là hằng số chọn trước) ta đặt :
t

Wλ (t, s) := ∫ U(t,σ )λ eλ • R(λ ,A(0))g(σ )dσ .
s

Với τ ∈ [−r ,0] và τ + t ≥ s , ta có :
Wλ (t, s)(τ ) =

t +τ

∫ U(t,σ )λe
s

λ•

t

R(λ ,A(0))g(σ )(τ )dσ + ∫ U(t,σ )λ eλ • R(λ ,A(0))g(σ )(τ )dσ .
t +τ

Sử dụng công thức ( ∗ ) ở phần trên ta thu được :
Wλ (t, s)(τ ) =

t +τ

t

s

t+

∫ V(t+τ ,σ )λR(λ ,A(0))g(σ )dσ + ∫τ λe

λ (t+τ −σ )

R(λ ,A(0))g(σ )dσ .

Do đó, với λ , µ ≥ λ0 , ta thu được :
Wλ (t,s)(τ ) - Wµ (t,s)(τ )

=

t +τ

∫ V(t+τ ,σ )[λR(λ ,A(0)) - µ R(µ ,A(0))]g(σ )dσ +
s

Người thực hiện : Trần Trí Dũng
Thầy hướng dẫn : PGS.TS Lê Hoàn Hóa


14

+

t

∫τ [λe

λ (t+τ −σ )

R(λ ,A(0)) - µ e µ (t+τ -σ ) R(µ ,A(0))]g(σ )dσ khi t+τ ≥ s và

t+

Wλ (t,s)(τ ) - Wµ (t,s)(τ )
t

= ∫ [λ eλ (t+τ −σ ) R(λ ,A(0)) - µ e µ (t+τ -σ )R(µ ,A(0))]g(σ )dσ khi t+τ ≤ s .

s

Vì vậy ta có :
Wλ (t,s)(τ ) - Wµ (t,s)(τ )
T

≤ M1 (T)∫ [λR(λ ,A(0)) - µ R(µ ,A(0))]g(σ ) dσ + M(
0

1
1
) sup g(σ )
+
λ − ω µ − ω σ ∈[0,T]

trong đó M1(T) = Meλ0 T . Ta thu được kết quả trên là nhờ các đánh giá sau :
(i)

t

∫τ λe

λ (t+τ −σ )

R(λ ,A(0))g(σ )dσ ≤

t+

t

∫τ λe

λ (t+τ −σ )

R(λ ,A(0)) . g dσ

t+

≤ λ R(λ ,A(0)) . g .

( g = sup g(σ ) )
σ ∈[ 0,T ]

1

λ

= R(λ ,A(0)) . g .

(ii) Định lý Hille-Yosida-Phillips :
R(λ ,A(0)) ≤

M
, với λ > ω .
λ −ω

Sử dụng kết quả : lim λ R(λ ,A(0))x = x ∀x ∈ E , ta suy ra :
λ →∞

lim [λ R(λ ,A(0)) - µ R(µ ,A(0))]g(σ ) = 0 ∀σ ∈ [ 0,T ] .

λ ,µ →∞

Theo định lý hội tụ bị chặn Lebesgue, ta thu được :
lim

λ ,µ →∞

T

∫ [λR(λ ,A(0)) - µ R(µ ,A(0))]g(σ ) dσ = 0
0

Người thực hiện : Trần Trí Dũng
Thầy hướng dẫn : PGS.TS Lê Hoàn Hóa


15

Hệ quả là ta có :
Sup Wλ (t,s)(τ ) - Wµ (t,s)(τ ) → 0 khi λ , µ → ∞ đều trên tập

τ ∈[ − r ,0]

{(t,s) : 0 ≤ s ≤ t ≤ T} . Bổ đề được chứng minh hoàn toàn.

Từ bổ đề trên ta có thể định nghóa họ các toán tử (Un(t,s))n≥0 như sau :
U0(t,s)φ = U(t,s)φ
t

U n (t,s)ϕ = lim ∫ U(t,σ )eλ •λ R(λ ,A(0))L(σ )U n-1 (σ ,s)ϕ dσ
λ →∞

s

với ϕ ∈ Cr , n ≥ 1 vaø 0 ≤ s ≤ t.
Từ đó ta đi đến định lý sau :
ĐỊNH LÝ 2.1 :

(i) Chuoãi U L (t,s) :=

∑U

n≥0

n

(t,s) , 0 ≤ s ≤ t , hội tụ đều trong L(Cr) trên

{(t,s) : 0 ≤ s ≤ t ≤ T} (T choïn trước) và (U L (t,s))t ≥ s ≥0 là một họ tiến hóa trên Cr .
Hơn nữa, ta còn có công thức biến thiên hằng số sau đây :
t

U L (t,s)ϕ = U(t,s)ϕ + lim ∫ U(t,σ )eλ •λ R(λ ,A(0))L(σ )U L (σ ,s)ϕ dσ (3.3)
λ →∞

s

thỏa mãn với mọi ϕ ∈ Cr và t ≥ s ≥ 0 .
(ii) Với mỗi ϕ ∈ Cr và s ≥ 0 , hàm xác định bởi :

⎧U (t,s)ϕ (0) , s ≤ t
x(t,s,ϕ ):= ⎨ L
(3.4)
(t-s)
,
s-r
t
s
ϕ
≤
≤
⎩

Người thực hiện : Trần Trí Dũng
Thầy hướng dẫn : PGS.TS Lê Hoàn Hóa


16

là nghiệm yếu duy nhất của phương trình (3.1) và x t = U L (t,s)ϕ , 0 ≤ s ≤ t .
CHỨNG MINH :

i) Với n = 0 , ta coù U 0 (t,s) ≤ Meω (t-s) ,0 ≤ s ≤ t .
Với n = 1, t ≥ s ≥ 0 và ϕ ∈ Cr , ta có :
t

U1 (t,s)ϕ = lim ∫ U(t,σ )eλ •λ R(λ ,A(0))L(σ )U 0 (σ ,s)ϕ dσ .
λ →∞

s

Do đó ta có :
t

∫ U(t,σ )e

U1 (t,s)ϕ = lim

λ →∞

Ta chú ý là :

λ•

λ R(λ ,A(0))L(σ )U 0 (σ ,s)ϕ d σ .

s

U(t,σ ) ≤ Meω (t-σ ) ,
U 0 (σ , s) = U(σ , s) ≤ Meω (σ −s) (s ≤ σ ≤ t ) ,

eλτ ≤ 1 ∀τ ∈ [-r,0] (λ > λ0 ) ,
lim λ R(λ ,A(0))x = x ∀x ∈ E ,

λ →∞

R(λ ,A(0)) ≤

M
với λ > ω .

λ −ω

Áp dụng các kết quả trên ta suy ra :
U1 (t,s)ϕ

≤ M 2 L(.) ∞ eω (t-s) (t-s) ϕ

Do đó ta được: U1 (t,s) ≤ M 2 L(.) ∞ eω (t-s) (t-s)
Bằng quy nạp ta chứng minh được :
U n (t,s) ≤

(M 2 L (.) ∞ )
n!

n

Meω (t-s) (t-s) ∀n ∈ , 0 ≤ s ≤ t.

Người thực hiện : Trần Trí Dũng
Thầy hướng dẫn : PGS.TS Lê Hoàn Hóa


17

Vì vậy chuỗi

∑ U (t,s) hội tụ đều trong L (C ) treân {(t,s) : 0 ≤ s ≤ t ≤ T} . Tính
n≥ 0

r

n

liên tục của (U L (t,s))t ≥ s ≥0 có được nhờ bổ đề (2.2) và tính hội tụ đều của
chuỗi theo phần chứng minh trên. Mặt khác ta có :
U L (t, s) := ∑ U n (t,s),0 ≤ s ≤ t ;
n≥ 0

U L (t,s)ϕ = U(t,s)ϕ +

∑ U (t,s)ϕ
n ≥1

n

;

t

U n (t,s)ϕ = lim ∫ U(t,σ )eλ •λ R(λ ,A(0))L(σ )U n-1 (σ ,s)ϕ dσ .
λ →∞

s

Từ đó ta thu được:
t

n

∑ U k (t,s)ϕ = lim ∫ U(t,σ )eλ •λ R(λ ,A(0))L(σ )[

k =1

λ →∞

s

n-1

∑U
k =0

k

(σ ,s) ]ϕ dσ .

Cho n tieán ra ∞ ở hai vế của đẳng thức trên, ta suy ra :
t

U L (t,s)ϕ − U(t,s)ϕ = lim ∫ U(t,σ )eλ •λ R(λ ,A(0))L(σ )U L (σ ,s)ϕ dσ .
λ →∞

s

Vậy (i) được chứng minh.
(ii) Từ công thức (3.3) ta coù :
t+τ
⎧
⎪V(t+τ ,s)ϕ (0)+ ∫ V(t+τ ,σ )L(σ )U L (σ ,s)ϕ dσ khi t+τ ≥ s
U L (t,s)ϕ (τ ) = ⎨
s

⎪ϕ (t+τ -s)
khi s-r ≤ t+τ ≤ s .
⎩

Vì vậy :

⎧U (t+τ ,s)ϕ (0), t+τ ≥ s
U L (t,s)ϕ (τ ) = ⎨ L
s-r ≤ t+τ ≤ s .
⎩ϕ (t+τ -s)

Người thực hiện : Trần Trí Dũng
Thầy hướng dẫn : PGS.TS Lê Hoàn Hóa


18

Từ đây ta có x(t,s, ϕ ) xác định bởi công thức (3.4) thỏa mãn x t = U L (t,s)ϕ , do
đó theo định nghóa (3.2) x là nghiệm yếu duy nhất của (3.1). Định lý hoàn toàn
được chứng minh.
Ở phần tiếp theo, chúng tôi sẽ xem xét tính bền vững (robustness) của dáng điệu
tiệm cận các nghiệm của phương trình (1.2). Cụ thể hơn, chúng tôi giả sử “quỹ
đạo”(trajectories) t

V(t+s,s)x với s ≥ 0, x ∈ E nằm trong một không gian con

đóng thuần nhất ε nào đó của không gian BUC(R + , E) và giả sử rằng có các hằng
số q, so thỏa mãn điều kiện (3.6) sau đây :
⎧0 < q < 1 và s0 ≥ 0
⎪

(3.6) ⎨ ∞
⎪ ∫ L(τ +s)U(τ +s,s)ϕ dτ ≤ q ϕ , ∀ϕ ∈ Cr , ∀s ≥ s0 .
⎩0

Khi đó ta có kết quả chính sau đây :
ĐỊNH LÝ 2.2 :

Giả sử (3.6) xảy ra và t

V(t+s,s)x (với s ≥ 0 , x ∈ E) nằm trong một không

gian con đóng thuần nhất ε nào đó của BUC(R + , E) . Khi đó, nghiệm
t

x(t+s,s,ϕ ) của phương trình (3.1) cũng nằm trong ε với mọi

ϕ ∈ Cr và với mọi s ≥ 0.
CHỨNG MINH :

Lấy t ≥ 0, s ≥ s0 vaø ϕ ∈ Cr , theo các kết quả của phần trước ta có :
x(t+s,s,ϕ ) = U L (t+s,s)ϕ (0) (vì t+s ≥ s)

Người thực hiện : Trần Trí Dũng
Thầy hướng dẫn : PGS.TS Lê Hoàn Hóa


19

= V(t+s,s)ϕ (0) +

t+s

∫ V(t+s,σ )L(σ )U

L

(σ ,s)ϕ dσ (theo(3.5)).

s

Đổi cận của tích phân ta thu được :
t

x(t+s,s,ϕ ) = V(t+s,s)ϕ (0) + ∫ V(t+s,σ + s)L(σ + s)U L (σ +s,s)ϕ dσ .
0

Theo bổ đề (2.1) và theo giả thiết, ta cần phải chỉ ra rằng
L(.+s)U L (.+s,s)ϕ ∈ L1 (R + , E). Thật vậy, với t ≥ 0 , theo công thức biến thiên

hằng số (3.3) ta có:
L(t+s)U L (t+s,s)ϕ =

= L(t+s)U(t+s,s)ϕ + lim
λ →∞

t+s

∫ L(t+s)U(t+s,σ )e

λ•

λ R(λ ,A(0))L(σ )U L (σ ,s)ϕ dσ .

s

Do đó :
t

t

∫ L(τ +s)U L (τ +s,s)ϕdτ = ∫ L(τ +s)U(τ +s,s)ϕdτ
0

0

t τ +s

+ lim ∫
λ →∞

∫ L(τ +s)U(τ +s,σ )e

λ•

λ R(λ ,A(0))L(σ )U L (σ ,s)ϕ dσ dτ .

0 s

Đổi thứ tự lấy tích phân trong tích phân trên, ta thu được :
t

∫ L(τ +s)U
0

t

L

(τ +s,s)ϕdτ = ∫ L(τ +s)U(τ +s,s)ϕdτ
0

+ lim

λ →∞

t+s t+s-σ

∫ ∫
s

L(τ +σ )U(τ +σ ,σ )eλ •λ R(λ ,A(0))L(σ )U L (σ ,s)ϕ dτ dσ .

0

Sử dụng các giả thiết trong điều kiện (3.6) ta suy ra :

Người thực hiện : Trần Trí Dũng
Thầy hướng dẫn : PGS.TS Lê Hoàn Hóa