Vài ứng dụng giải tích phức vào đại số đều

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
--------------------

Trần Minh Tạo

VÀI ỨNG DỤNG GIẢI TÍCH PHỨC
VÀO ĐẠI SỐ ĐỀU

Chun ngành : Tốn giải tích
Mã số

: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS ĐẬU THẾ CẤP

Thành phố Hồ Chí Minh – 2011


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
--------------------

Trần Minh Tạo

VÀI ỨNG DỤNG GIẢI TÍCH PHỨC
VÀO ĐẠI SỐ ĐỀU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2011


LỜI CẢM ƠN

Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến PGS.TS Đậu Thế Cấp đã tận tình hướng
dẫn, tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp em hoàn thành luận văn này.
Em cũng xin cảm ơn các quí thầy giảng dạy em trong suốt quá trình học cao
học và các quí thầy trong hội đồng khoa học đã đọc và có những ý kiến đóng góp
q báu.
Sau cùng, em xin chân thành cảm ơn các thầy cô làm việc tại phòng KHCN –
SĐH đã giúp đở em rất nhiều trong quá trình học tập và khi thực hiện luận văn
này.


MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cảm ơn
Mục lục
MỞ ĐẦU................................................................................................ 1
Chương 1. TÍNH CHẤT HÀM CHỈNH HÌNH
1.1. Hàm chỉnh hình ................................................................................ 3
1.2. Ánh xạ chỉnh hình .......................................................................... 14
Chương 2. BAO CHỈNH HÌNH
2.1. Định lí Runge ................................................................................. 21
2.2. Miền lồi đa thức ............................................................................. 23
2.3. Miền Riemann................................................................................ 26
2.4. Miền chỉnh hình ............................................................................. 27

2.5. Bao lồi chỉnh hình .......................................................................... 30
Chương 3. ỨNG DỤNG VÀO ĐẠI SỐ ĐỀU
3.1. Đại số đều....................................................................................... 33
3.2. Phổ của đại số đều .......................................................................... 34
3.3. Phổ nối ........................................................................................... 38
3.4. Biên Silov....................................................................................... 41
KẾT LUẬN.......................................................................................... 44
TÀI LIỆU THAM KHẢO................................................................... 45


1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Giải tích phức là một chun ngành của giải tích tốn học, có nhiều ứng
dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Đặt biệt giải tích phức có những ứng
dụng khá thú vị và sâu sắc trong đại số.
Tôi chọn đề tài này là để tìm hiểu sâu sắc về giải tích phức.
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu những tri thức của giải tích phức và xem xét một vài ứng dụng
của nó trong đại số, đặc biệt là đại số đều.
3. Đối tượng nghiên cứu
Giải tích phức
4. Phạm vi nghiên cứu
Lý thuyết hàm nhiều biến phức.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài nghiên cứu
Luận văn sẽ là một tài liệu tham khảo để hiểu sâu thêm về giải tích phức.
6. Cấu trúc luận văn
Nội dung luận văn gồm phần mở đầu, ba chương nội dung và phần kết

luận. Cụ thể :
Phần mở đầu : Nêu lý do chọn đề tài.
Phần nội dung :
Chương 1 : Giới thiệu những tính chất của hàm chỉnh hình .
Chương 2 : Bao chỉnh hình.
Chương 3 : Ứng dụng vào đại số đều.


2

Phần kết luận :
Đưa ra những kết luận mà luận văn đạt được, chưa đạt được và đưa ra
những đề xuất (nếu có ).


3

Chương 1
TÍNH CHẤT CỦA HÀM CHỈNH HÌNH
Ta kí hiệu ℝ là tập số thực, ℂ là tập số phức, ℂ n = ℂ × ℂ × ... × ℂ là tích
Descartes của n mặt phẳng phức. Các phần tử của ℂ n được kí hiệu là
z = ( z1 , z 2 ,...,z n ) , ở đây z j = x j + iy j , x j , y j ∈ ℝ , i 2 = −1. Môđun của z j kí hiệu

là z j và mơđun z của z được định nghĩa

{

}

z = max z j ;1 ≤ j ≤ n .

Với w ∈ ℂn và r = ( r1 ,r2 ,..., rn ) ∈ ℝ n , rj > 0 , ta gọi

{

}

∆ ( w;r ) = ∆ ( w1 ,..., w n ;r1 ,...,rn ) = z ∈ ℂ n ; z j − w j < rj ,1 ≤ j ≤ n

là đa đĩa mở tâm w, đa bán kính r. Bao đóng của ∆ ( w; r ) được gọi là đa đĩa đóng
tâm w, đa bán kính r, và kí hiệu là ∆ ( w; r ) .
1.1. Hàm chỉnh hình
1.1.1. Định nghĩa. Hàm phức f xác định trên tập mở D ⊂ ℂ n được gọi là chỉnh
hình trong D nếu mỗi điểm w ∈ D có một lân cận mở U, w ∈ U ⊂ D , sao cho

hàm f có chuỗi khai triển
f ( z) =

∞

∑

v1 ...vn =0

av1 ...vn ( z1 − w1 ) 1 ...( zn − w n ) n
v

v

(1.1)

hội tụ với mọi z ∈ U .
Tập hợp tất cả hàm chỉnh hình trong D được kí hiệu là OD .
Hàm f gọi là chỉnh hình theo từng biến nếu nó chỉnh hình theo mỗi biến và
các biến khác là cố định.

1.1.2. Định lí. (Bổ đề Osgood)


4

Nếu hàm phức f liên tục trong tập mở D ⊂ ℂ n và là chỉnh hình theo từng
biến thì nó chỉnh hình trong D.

Chứng minh.
Chọn điểm bất kì w ∈ D , và đa đĩa đóng ∆(w,r) ⊂ D . Vì f chỉnh hình theo
từng biến trong một lận cận mở của ∆(w, r) nên áp dụng Công thức tích phân

Cauchy cho hàm một biến, ta có cơng thức tích phân Cauchy cho hàm nhiều biến
 1 
f (z) = 
 2πi 

n

dζ1
∫
ζ1 − z1 w −ζ

∫

w1−ζ1 =r1

2

2

=r1

dζ 2
...
ζ2 − z 2 w

∫

n −ζ n

=rn

dζ n
f (ζ )
ζn − z n

(1.2)

với ∀z ∈ ∆( w,r ) .
Với z cố định bất kì, hàm dưới dấu tích phân trong (1.2) liên tục trên miền
compact lấy tích phân, do đó tích phân lặp trong (1.2) có thể được thay thế bởi
tích phân bội

 1 

f (z) = 
 2πi 

n

f (ζ)dζ1dζ 2 ...dζ n
∫ (ζ1 − z1 )...(ζn − z n )
w −ζ =r
j

j

(1.3)

j

Khi đó với điểm cố định z ∈ ∆( w, r ) , ta có chuỗi khai triển
∞
(z1 − w1 ) 1 ...(z n − w n ) n
1
= ∑
v +1
v +1
(ζ1 − z1 )...(ζ n − z n ) v1 ...v
ζ − w1 ) 1 ...(ζ n − w n ) n
n =0 ( 1
v

v

hội tụ tuyệt đối và đều với mọi ζ thuộc miền lấy tích phân trong (1.3). Vì vậy
sau khi thay chuỗi khai triển này vào trong (1.3) và thay đổi thứ tự tổng và tích
phân , dẫn đến f có khai triển chuỗi dạng (1.1), với
 1 
= 
 2πi 

f (ζ)dζ1dζ2 ...dζn

n

a v1 ...vn

∫

v1 +1

ζ − w1 )
w −ζ =r ( 1
j

j

j

v +1

...(ζn − w n ) n

Do đó f là hàm chỉnh hình. Ta có điều phải chứng minh. □

(1.4)


5

1.1.3. Định nghĩa. Ta định nghĩa các toán tử vi phân
∂
1 ∂
∂ 
∂
1 ∂
∂
= 
−i
và
= 
+i

∂z j 2  ∂x j
∂y j 
∂y j
∂ z j 2  ∂x j


 .


1.1.4. Định lí. (Tiêu chuẩn Cauchy – Riemann)
Hàm phức f được xác định trong tập mở D ⊂ ℂ n và khả vi liên tục theo các

tọa độ thực của ℂ n là chỉnh hình trong D nếu và chỉ nếu nó thỏa mãn phương
trình đạo hàm riêng
∂
f ( z ) = 0,
∂z j

j = 1,2..., n.

( 1.5)

Chứng minh.
Tại một điểm bất kì thuộc D, xét f(z) như là hàm một biến với biến z j , xem
biến khác như hằng số. Ta có

f(z) = u(z) +iv(z) và 2

 ∂u
∂
∂v   ∂u
∂v 

f (z) = 
−
+
i
+

.
 ∂x j ∂y j   ∂y j ∂x j 
∂z j

Do đó (1.5) tương đương với phương trình Cauchy – Riemann đối với từng
biến, suy ra hàm f chỉnh hình theo từng biến. Theo Bổ đề Osgood ta có điều phải
chứng minh. □
1.1.5. Định lí. Cho D là tập mở trong ℂ n . Khi đó,
(i) OD là một vành với phép toán

( f + g )( z ) = f ( z ) + g ( z ),( fg )( z ) = f ( z ) g ( z ) .
(ii) Nếu f thuộc OD và f(z) khác không trên D thì 1/f thuộc OD .
(iii) Nếu f thuộc OD và chỉ nhận giá trị thực hoặc có mơđun khơng đổi thì f là
hàm hằng.
Chứng minh.


6

(i) Bằng tính tốn trực tiếp, ta có
∂
∂f
∂g
+
(f + g ) =
∂z j
∂z j ∂z j

(1.6)

∂
∂f
∂g

g+f
(fg ) =
∂z j
∂z j
∂z j
Do đó điều khẳng định (i) được suy ra từ Định lí 1.1.4.
(ii) Áp dụng (1.6) bằng cách thay g bởi f −1 . suy ra

∂f −1
0=f
, suy ra 1/f thuộc OD .
∂z j
(iii) Nếu f ∈ OD chỉ nhận giá trị thực thì
Nhưng

∂f
∂f
và
cũng là giá trị thực.
∂x j
∂y j

∂f
∂f
, vì vậy cả hai phải bằng 0 với mọi j, 1 ≤ j ≤ n . Do đó f là
=i
∂x j
∂y j

hàm hằng. Nếu f có mơđun khơng đổi thì với w ∈ D ta có thể viết f = ρe

iθ(z)

, với

θ là hàm giá trị thực trong lân cận của w. Khi đó ta có

0=

∂f
∂θ
= i.f.
.
∂z j
∂z j

Suy ra θ là hàm chỉnh hình và cũng là hàm hằng, suy ra f là hàm hằng. □

1.1.6. Định nghĩa. Cho D và D’ là các miền mở trong ℂ n và ℂm tương ứng.
Biến trong D được kí hiệu là ( z1 ,..., zn ) và biến trong D’ được kí hiệu là

( w1,..., zm ) .
Ánh xạ G : 
→ D ' được xác định bởi m hàm
w1 = g1 ( z1 ,..., zn ),..., w m = g m ( z1 ,..., zn ) .
Ánh xạ G ở trên được gọi là ánh xạ chỉnh hình nếu m hàm g1 ,..., g m là chỉnh
hình trên D.


7

1.1.7. Định lí. (Định lí ánh xạ hợp)
Nếu f(w) là hàm chỉnh hình trong D’ và G : D 
→ D ' là ánh xạ chỉnh hình
thì hợp thành f(G(z)) là hàm chỉnh hình trong D.
Chứng minh.
Ta có

w1 = g1 (z1 ,..., z n ),..., w m = g m (z1 ,..., z n )

(1.7)

Chia (1.7) thành hai phần thực và ảo, bằng cách viết
g j (z ) = u j (z) + iv j (z ) .
Vì tất cả các ánh xạ này là khả vi theo tọa độ thực, theo qui tắc vi phân hàm
hợp ta có
∂f (G (z ))
∂z j

 ∂f ∂u k
∂f ∂v k 

= ∑ 
+

∂v k ∂ z j 
k =1  ∂u k ∂ z j
m

m

1  ∂f
∂f  ∂g k
1  ∂f
∂f  ∂ g k


=∑ 
−i
+ ∑ 
−i

∂v k  ∂ z j k=1 2  ∂u k
∂v k  ∂ z j
k =1 2  ∂u k
m

 ∂f ∂g
∂f ∂ g k 
k
 .
= ∑ 
+

∂
w
∂
∂
∂
z
w

z
j
j
k
k =1 
k
m

Nếu hàm f và ánh xạ G cả hai là chỉnh hình thì

∂f
∂g k
= 0 và
= 0 với tất
∂w k
∂z j

cả k, k = 1,2…,n. Vì vậy theo cơng thức ở trên thì

∂f (G (z ))
∂z j

= 0 , với tất cả j.

Theo Tiêu chuẩn Cauchy – Riemann thì f(G(z)) là chỉnh hình. Ta có điều phải
chứng minh. □

1.1.8. Định lí. (Định lí duy nhất)
Nếu f(z) và g(z) là các hàm chỉnh hình trong một tập mở liên thông D ⊂ ℂ n ,

8

và nếu f(z) = g(z) với mọi z thuộc tập mở khác rỗng U ⊂ D thì f(z) = g(z) với
mọi z ∈ D .

Chứng minh.
Từ (1.1), (1.3), (1.4), ta có

( v1 !)...( v n !) a v1...vn =

∂ v1 +...+ vn f
( w)
∂z1v1 ...∂z nvn

(1.8)

Gọi E là phần trong của tập bao gồm những điểm z mà f(z) = g(z). Vì E là
tập mở của D và U ⊂ E nên E ≠ ∅ . Ta chứng minh E là tập đóng tương đối
trong D. Xét điểm bất kì w ∈ D ∩ E , với E là bao đóng của E. Chọn r > 0 đủ
nhỏ để ∆( w;r,...,r ) ⊂ D . Vì w ∈ E nên phải tồn tại một điểm w’ sao cho

r
w' j − w j < , ( j = 1, 2,..., n ) và w' ∈ E . Chú ý rằng w ∈ ∆( w';r / 2,...,r / 2) . Hàm
2
f(z) - g(z) chỉnh hình trong ∆( w'; r / 2,...,r / 2) nên có thể khai triển thành chuỗi
lũy thừa hội tụ trên đa đĩa tâm w’. Vì w' ∈ E nên hàm này phải là hàm đồng nhất
không trong lân cận mở của w’, và do (1.8) nên tất cả hệ số trong chuỗi này bằng
khơng. Vì vậy f (z) − g (z ) ≡ 0 trong ∆( w'; r / 2,...,r / 2) , do đó w ∈ E . Suy ra E
là tập đóng tương đối trong D. Do E ≠ ∅ , mở và đóng tương đối trong D nên E

= D. Ta có điều phải chứng minh. □

1.1.9. Định lí. (Định lí mơđun cực đại)
Nếu f(z) là hàm chỉnh hình trong một tập mở liên thơng D ⊂ ℂ n và nếu có
một điểm w ∈ D sao cho f ( z ) ≤ f ( w ) với mọi z thuộc một lận cận mở nào đó

của w thì f ( z ) ≡ f ( w ) với mọi z ∈ D .
Chứng minh.
Ta chứng minh bằng cách sử dụng Định lí mơđun cực đại của hàm một biến.


9

Ta nhận xét rằng theo hệ quả của Công thức tích phân Cauchy (1.2), với một đa
đĩa bất kì ∆( w;r ) ⊂ D , thì
V (∆)f ( w ) =

f (ζ)dV (ζ) ,

∫

∆( w ,r )

với dV (ζ) là yếu tố thể tích Euclid và
V (∆) =

∫

dV (ζ) là thể tích của ∆( w;r ) . Từ đó suy ra

∆( w ,r )

V (∆) f ( w ) ≤

∫

f (ζ) dV (ζ) .

∆( w ,r )

Bây giờ chọn một đa đĩa ∆( w;r ) sao cho f ( w ) − f (z ) ≥ 0 với mọi z thuộc

∆( w;r ) . Khi đó ta có

∫ ( f (w ) − f (ζ) )dV(ζ)

0≤

∆( w ,r )

= V (∆) f ( w ) −

∫

f (ζ) dV (ζ) ≤ 0 .

∆( w,r )

Dẫn đến f ( w ) − f (z ) = 0 với mọi z thuộc ∆( w;r ) . Theo Định lí 1.1.5 thì f
phải là hàm hằng trong ∆( w;r ) . Vì vậy f (z) ≡ f ( w ) với mọi z ∈ ∆( w,r ) . Theo

Định lí duy nhất 1.1.8 suy ra f (z) ≡ f ( w ) với mọi z ∈ D . Ta có điều phải chứng
minh. □

1.1.10. Định nghĩa. Từ (1.1), f(z) có thể biểu diễn lại dưới dạng tổng của các đa
thức thuần nhất như sau

v 
v
f ( z ) = ∑  ∑ av1 ...vn ( z1 − w1 ) 1 ...( zn − w n ) n  ,
k = 0  v1 +...+ vn = k

∞

(1.9)

khi đó, ta định nghĩa hàm chỉnh hình f có bậc (tồn phần) tại 0 bằng k nếu


10

av1 ...vn = 0 , v1 + ...vn < k và tồn tại av1 ...vn ≠ 0 với v1 + ...vn = k .

Hàm chỉnh hình f gọi là có bậc (toàn phần) tại w bằng k nếu f(z – w) có bậc
(tồn phần) tại 0 bằng k.
1.1.11. Định lí. (Bổ đề Schwarz)
Cho f là hàm chỉnh hình trong lân cận của ∆(0, r ), (r = (r ,..., r )) , và giả sử f
có bậc tồn phần tại 0 bằng k và f ( z ) ≤ M với mọi z thuộc ∆(0, r ) . Khi đó,
z
f ( z) ≤ M

r

k

với mọi z ∈ ∆(0, r ) .

Chứng minh.
Từ (1.9), hàm f có khai triển theo các đa thức thuần nhất là
f (z) = p k (z ) + p k +1 (z ) + ...

(

Lấy z ∈ ∆(0,r ), z ≠ 0 và định nghĩa g ( t ) = t −k f t z

−1

)

z , với t ∈ ℂ, t ≤ r.

Khi đó ta có khai triển Taylor

(

g(t ) = pk z

−1

)

(

z + p k+1 z

−1

)

z t + ... ,

và g ( t ) ≤ Mr−k , với t = r .
Do đó theo Định lí mơđun cực đại thì g ( t ) ≤ Mr−k , với mọi t, t ≤r.
Vì vậy z

−k

k

f (z ) = g (z) ≤ Mr

−k

z
suy ra f (z) ≤ M
.□
r

1.1.12. Định lí. (Bất đẳng thức Jensen)
Cho f là hàm chỉnh hình trong một lân cận của ∆(0, r ) ⊂ ℂ n . Khi đó,
1

Vr

∫

∆(0,r )

log f dV ≥ log f (0) ,

(1.10)


11

ở đây Vr là thể tích của ∆(0, r ) .
Chứng minh.
Chúng ta đã biết Bất đẳng thức Jensen một chiều:
Nếu f chỉnh hình trong lân cận của ∆(0,r ) ⊂ ℂ1 thì với ρ ≤ r ta có
2π

1
log f (ρeiθ ) dθ ≥ log f (0) .
∫
2π 0
Bây giờ f được cho như trong định lí và giả sử rằng f (0) ≠ 0 , thì với ρ1 ≤ r1 ,
2π

1
ta có
log f (ρ1eiθ1 ,0,...,0) dθ1 ≥ log f (0) . Từ đó log f (ρ1eiθ1 ,0,...,0) hữu hạn
∫

2π 0
với hầu hết tất cả θ1 , và với θ1 như vậy, ta có
2π

1
log f (ρ1eiθ1 , ρ 2eiθ2 ,...,0) dθ 2 ≥ log f (ρ1eiθ1 ,0,...,0) , với ρ 2 ≤ r2 .
∫
2π 0
Tiếp tục quá trình trên, cuối cùng ta có

log f (0) ≤

2π

1

(2π)

n

2π

∫ ...∫ log f (ρ e
0

Lấy tích phân hai vế với
rn 2π

rn

∫ ...∫ (ρ dρ )...(ρ dρ
1

0
r1

,,..., ρ n eiθn )dθ1 ,...,dθ n , với mọi ρ j ≤ rj .

0
r1

1
log f (0) ≤
Vr

iθ1

1

2π

1

0

0

n

n

) , ta nhận được

0

∫ ...∫ ∫ ...∫ log f (ρ e
0

1

iθ1

,,..., ρ n eiθn ) (∏ρi ) dθ1...dθ n dρ1...dρ n (1.11)

0

Ta nhận thấy tích phân lặp trong vế phải cũng là tích phân bội của log f . Do

đó với L n = max (−n,log f ) thì −n ≤ L n ≤ f , nên L n khả tích đối với dV. Theo
Định lí Fubini thì

∫ L dV
n

là tích phân lặp của L n . Vì L n ≥ log f và theo


12

(1.11), suy ra

1
Vr

∫ L dV ≥ log f (0) . Nhưng
n

L n hội tụ đơn điệu đến log f , vì

vậy log f cũng khả tích đối với dV, và định lí được chứng minh. □

1.1.13. Hệ quả. Cho f là hàm chỉnh hình trong miền D, f khơng là hàm đồng
nhất khơng. Khi đó, tập V = { z ∈ D f ( z ) = 0} có độ đo Lebesgue 2n – chiều
bằng khơng .
Chứng minh.
Theo Định lí duy nhất, V có phần trong là rỗng. Vì D – V trù mật trong D,
nên ta có thể tìm một dãy các điểm {x n } ⊂ D − V và đa đĩa ∆n chứa điểm x n
sao cho ∪∆n = D . Theo Bất đẳng thức Jensen thì

∫ log f dV > −∞ ,

nên f

∆n

không thể triệt tiêu trong ∆n trên một tập có độ đo dương. Do đó
∞

V = ∪(V ∩ ∆n ) có độ đo khơng. Ta có điều phải chứng minh. □
n =1

1.1.14. Định nghĩa. Với mọi tập con mở D ⊂ ℂ n , ta kí hiệu C D là khơng gian
các hàm phức liên tục trên D với tôpô hội tụ đều trên các tập compact, tức là
tơpơ có cơ sở là họ các tập U ( K , ε ) =

{f ∈C ; f
D

K

}

= sup f ( z ) < ε , với mọi
z∈K

tập con compact K ⊂ D , ε > 0 .

1.1.15. Bổ đề. OD là một vành con đóng của C D và do đó nó là khơng gian
Frechet.

Chứng minh.
Lấy {f v } ⊂ OD là dãy các phần tử hội tụ đến một phần tử f ∈ CD . Với mỗi
w ∈ D , chọn r > 0 sao cho ∆( w,r ) ⊂ D .


13

Khi đó theo Cơng thức tích phân Cauchy, với mọi điểm z ∈ ∆( w,r ) , do
f v ∈ OD nên ta có
 1 

f v (z ) = 
 2πi 

n

f v (ζ)dζ1...dζ n
.
ζ
−
ζ
−
z
...
z
(
)
(
)
1
1
n
n
w −ζ =r

∫

j

j

j

Nhưng vì f v hội tụ đến f đều trong ∆( w, r ) , suy ra
 1 
f (z) = 
 2πi 

n

f (ζ)dζ1...dζ n
∫ (ζ1 − z1 )...(ζn − z n ) .
w −ζ =r
j

j

j

Theo Định lí 1.1.2 thì f chỉnh hình trong ∆( w, r ) . Vì vậy điều này có thể
thực hiện với mọi w ∈ D , f ∈ OD . Ta có điều phải chứng minh. □

1.1.16. Định lí. (Định lí Vitali tổng quát)
Họ các hàm bị chặn chỉnh hình bất kì trong một miền D ⊂ ℂ n có bao đóng là
tập compact trong OD .

Chứng minh.
Với một hằng số M > 0 , xét tập
A = {f ∈ OD f (z ) ≤ M, ∀z ∈ D} .
Ta chỉ cần chứng minh A là tập compact. Giả sử ∆v = ∆( w v ;rv ) là dãy các
∞

đa đĩa compact ∆v ⊂ D sao cho ∪ ∆v = D . Với mỗi đa đĩa như vậy, đặt 2δ v là
v=1

khoảng cách từ ∆v đến ℂ n − D , khi đó
∆v ( w v ;rv ) ⊂ ∆v ( w v ;rv + δ v ) ⊂ D .
Với f ∈ A và z ∈ ∆ v , từ công thức

∂ k1 +...+ k n f ( z ) ( k1 !) ...( k n !)
f ( ζ ) dζ1...dζ n
=
, suy ra
n
k +1
k +1
∂z1k1 ...∂z kn n
( 2πi ) w j −ζ∫j =rj ( ζ1 − z1 ) 1 ...( ζ n − z n ) n


14

 1 
∂f
(z) =  
 2πi 
∂z r

n

∫

w v j −ζ j = rv +δ v

M 
rv 
 .
≤
1
+

2


δ
δ


ζ
−
ζ
−
ζ
−
z
...
z
...
z
( 1 1) ( r r ) ( n n )
v
v

f (ζ)dζ1...dζ n

n

Như vậy thu hẹp các phần tử thuộc A trên mỗi tập ∆v là họ các hàm đồng
liên tục đều. Vì vậy có thể chọn một dãy con của {f v } hội tụ đều trên đa đĩa ∆v .
Theo phương pháp chéo hóa Cantor, ta chọn được dãy con của {f v } hội tụ đều

trên mỗi đa đĩa ∆v . Khi đó dãy con này hội tụ trong OD và giới hạn hàm rõ ràng
chứa trong A . Vậy tính compact của A được chứng minh. □
1.1.17. Định nghĩa. Cho E, D là các miền mở thỏa E ⊂ D ⊂ ℂ n . Thu hẹp của
mỗi hàm f ∈ OD trên miền con E là một phần tử f E ∈ OE . Khi đó, ánh xạ
rED : OD 
→ OE , với rED ( f ) = f E được gọi là ánh xạ thu hẹp.

1.1.18. Định lí. Cho E và D là các miền trong ℂ n sao cho E là compact và
→ OE là ánh xạ compact.
E ⊂ D . Khi đó, ánh xạ thu hẹp rED : OD 

Chứng minh.
Chú ý rằng tơpơ của OD có họ các tập U (E, ε) = {f ∈ OD f (z ) < ε, ∀z ∈ E} là
một lân cận mở của điểm gốc trong OD , với ε > 0 cố định bất kì. Theo Định lí

Vitali, họ các hàm rED U (E,ε) có bao đóng compact trong OE . Vì vậy rED là ánh
xạ compact. □

1.2. Ánh xạ chỉnh hình
1.2.1. Định nghĩa. Hàm chỉnh hình f được gọi là chính quy bậc k theo zn tại w
nếu f ( w1 ,..., w n , zn ) được xét như là hàm chỉnh hình theo một biến zn , có khơng

điểm bậc k tại zn = w n . Một cách tương đương, w là chính quy bậc k theo zn
nếu


15

∂f
∂ k−1 f
∂k f
f ( w ) = 0,
(w) = 0,..., k −1 (w) = 0, k (w) ≠ 0
∂zn
∂zn
∂zn

(1.12)

1.2.2. Bổ đề. Nếu f là hàm chỉnh hình có bậc (tồn phần) k < ∞ tại w thì qua
một phép biến đổi tọa độ tuyến tính khơng suy biến trong ℂn , hàm số sẽ là chính
qui bậc k theo zn tại w.

Chứng minh.
Để đơn giản phần trình bày, ta thừa nhận rằng điểm w là điểm gốc của ℂn .
∞

Hàm f khi đó có khai triển theo các đa thức thuần nhất là f (z) = ∑ f j (z ) , với
j=k

f k (z) không là hàm đồng nhất khơng .
Chọn một điểm bất kì a = (a1 ,...,a n ) ≠ 0 sao cho f k (a1 ,...,a n ) ≠ 0 . Vì a khác

khơng nên tồn tại hằng số bij sao cho biến đổi tọa độ tuyến tính
n−1

z i = a iζ n + ∑ bijζ j là không suy biến.
j=1

Trong tọa độ mới này hàm của ta là g (ζ) = f (z (ζ)) vẫn có bậc k tồn phần,

và hơn nữa g k (0,...,0,1) = f k (a1 ,...,a n ) ≠ 0 ; nhưng khi đó g là chính qui bậc k

theo ζ n tại điểm gốc. Ta có điều phải chứng minh. □
1.2.3. Bổ đề. Nếu f là một hàm chỉnh hình trong đa đĩa mở ∆( w; r ) và là chính
qui bậc k theo zn , khi đó tồn tại một đa đĩa mở ∆( w; δ ) ⊂ ∆( w;r ) sao cho với

mọi điểm (a1 ,..., an−1 ) ∈ ∆( w; δ1 ,..., δ n−1 ) , hàm f (a1 ,..., an−1 , zn ) xem như hàm một
biến phức theo zn có k khơng điểm (tính theo số lần bội) trong đĩa zn − wn <δn .
Chứng minh.
Để đơn giản cho cách trình bày, ta có thể giả sử rằng điểm w là điểm gốc trong


16

ℂn . Theo giả thiết f (0,...,0, z n ) có khơng điểm bội k tại điểm z n = 0. Vì khơng

điểm của hàm chỉnh hình một biến phức là điểm cơ lập nên có một hằng số
0 < δ n < rn sao cho f (0,...,0, z n ) ≠ 0 , với 0 < z n ≤ δ n . Đặt

inf f (0,...,0,z n ) = ε > 0

{ z n =δ n }

(1.13)

Vì f(z) liên tục trong một lân cận mở của một tập compact

{z; z1 = ... = zn−1 = 0, zn

= δn } ,

nên tồn tại một hằng số δ j với 0 < δ j < rj , ( j = 1,...,n − 1) , sao cho
f (z1 ,..., z n ) − f (0,...,0, z n ) < ε ,

 z < δ ,
j
 j
với 
 z = δ
n
 n

j = 1,..., n −1

(1.14)

.

Bây giờ với một điểm bất kì (a1 ,...,a n−1 ) , a j < δ j , xét f (a1 ,...,a n−1 , z n ) như là

hàm số theo z n . Theo Định lí Rouché đối hàm một biến phức, từ (1.13) và (1.14)
suy ra f (a1 ,...,a n−1 , z n ) có cùng số không điểm trong z n ≤ δ n với f (0,...,0, z n ) là

k. Ta có điều phải chứng minh. □

1.2.4. Định lí. (Định lí hàm ẩn)
Nếu f ( z1 ,..., zn ) chỉnh hình trong đa đĩa mở ∆( w; r ) ⊂ ℂ n và là chính qui
bậc 1 theo z n tại điểm w. Khi đó, trong một đa đĩa mở ∆( w; δ ) ⊂ ∆( w; r ) tồn tại

duy nhất hàm chỉnh hình ϕ ( z1 ,..., zn−1 ) sao cho
(i) ϕ ( w1 ,..., w n−1 ) = w n ;
(ii) ϕ ( z1 ,..., zn−1 ) − w n < δ n trong ∆( w; δ1 ,..., δ n−1 ) ;
(iii) f ( z1 ,..., zn−1 , zn ) = 0 tại điểm z ∈ ∆( w; δ ) nếu và chỉ nếu zn = ϕ ( z1 ,..., zn−1 ) .


17

Chứng minh.
Chọn một đa đĩa mở ∆( w; δ ) ⊂ ∆( w;r ) như ở chứng minh Bổ đề 1.2.3. Khi
đó với một điểm bất kì (z1 ,...,z n−1 ) ∈ ∆( w; δ1 ,..., δ n−1 ) , có duy nhất giá trị
ϕ (z1 ,..., z n−1 ) ∈ ∆( w n ; δ n ) sao cho f (z1 ,..., z n−1 , ϕ (z1 ,...,z n−1 )) = 0 , và tất nhiên

ϕ ( w1 ,..., w n−1 ) = w n . Ta chỉ cần cho thấy rằng hàm ϕ là chỉnh hình. Từ kết quả
tương ứng với hàm một biến ta có
ϕ (z1 ,...,z n−1 ) =

∂f (z1 ,...,z n−1 , ζ n ) / ∂ζ n
1
ζ
dζ n
n
2πi ζ −∫
f

z
,...,z
,
ζ
(
)
−
1
n
1
n
w =δ
n

n

(1.15)

n

Theo Bổ đề 1.2.3 hàm f (z1 ,..., z n−1 , ζ n ) khác không khi

(z1 ,...,z n−1 ) ∈ ∆( w; δ1 ,..., δ n−1 ) và ζ n − w n = δ n . Suy ra tích phân trong (1.15) là
một hàm chỉnh hình của (z1 ,...,z n−1 ) trong ∆( w; δ1 ,..., δ n−1 ) . Vì vậy hàm ϕ cũng
là chỉnh hình. Ta có điều phải chứng minh. □

1.2.5. Định lí. (Định lí ánh xạ ẩn)
Nếu f k +1 ,..., f n là chỉnh hình trong đa đĩa mở ∆( w; r ) ⊂ ℂ n và thỏa

(i) f j ( w ) = 0, j = k + 1,..., n ;

(ii)

∂f j
∂zi

( w ) = δij i, j = k + 1,..., n .

Khi đó, trong một đa đĩa mở ∆( w; δ ) ⊂ ∆( w; r ) tồn tại duy nhất hàm chỉnh

hình ϕ j ( z1 ,..., zk ), j = k + 1,..., n thỏa f j ( z1 ,..., zn ) = 0, j = k + 1,..., n nếu và chỉ
nếu z j = ϕ j ( z1 ,..., zk ), j = k + 1,..., n .
Chứng minh.
Ta chứng minh bằng qui nạp theo chỉ số n – k , số hàm trong giả thiết của

định lí.


18

Với n – k = 1, kết quả đã được chứng minh trong Định lí 1.2.4.
Giả sử kết quả đúng với các chỉ số nhỏ hơn n – k . Ta chứng minh kết quả
đúng với chỉ số n – k. Xét n – k hàm f k+1 ,...,f n thỏa giả thiết của định lí. Đầu tiên
áp dụng Định lí 1.2.4 đối với f n ; trong đa đĩa mở nào đó ∆( w; δ ') ⊂ ∆( w;r ) , tồn
tại duy nhất hàm chỉnh hình ψ (z1 ,...,z n−1 ) để f n (z ) = 0 , với z ∈ ∆( w; δ ') nếu và

chỉ nếu z n = ψ (z1 ,..., z n−1 ) .
Bây giờ xét n – k – 1 hàm f ' j (z1 ,...,z n−1 ) = f j (z1 ,..., z n−1 , ψ (z1 ,..., z n−1 )) trong
đa đĩa ∆( w; δ ') , với j = k + 1,...,n − 1 . Ta nhận xét rằng f j (z) = 0 , với
z ∈ ∆( w; δ '), j = k + 1,...,n nếu và chỉ nếu f ' j (z1 ,...,z n−1 ) = 0 , với j = k + 1,…,n
– 1 và z n = ψ (z1 ,..., z n−1 ) . Mặt khác n – k – 1 hàm f 'k+1 ,...,f 'n−1 rõ ràng thỏa giả

thiết của Định lí 1.2.5, khi xét như là hàm n – 1 biến z1 ,..., z n−1 ; nên theo giả thiết
qui nạp, trong đa đĩa mở nào đó ∆( w; δ ) ⊂ ∆( w; δ ') ( ở đây ta đặt δ n = δ 'n ) tồn
tại duy nhất các hàm chỉnh hình ϕ k+1 (z1 ,..., z k ),..., ϕ n−1 (z1 ,..., z k ) sao cho
f ' j (z ) = 0 , với z ∈ ∆( w; δ ) và j = k + 1,....,n − 1 nếu và chỉ nếu
z j =ϕ j (z1,...,zk ), j = k +1,...,n −1.

Đặt ϕ n (z1 ,...,z k ) = ψ (z1 ,..., z k , ϕ k+1 (z1 ,..., z k ),..., ϕ n−1 (z1 ,..., z k )) .
Ta có ϕ1 ,..., ϕ n là các hàm cần tìm. □

1.2.6. Định nghĩa. Cho F : D 
→ℂm là ánh xạ chỉnh hình, với D là một miền
trong ℂn , F ( z ) = ( f1 ( z ) ,..., f m ( z ) ) ; ở đây f j ( z ) là các hàm chỉnh hình trong
D.

 ∂f

Ma trận Jacobi của F tại w ∈ D được định nghĩa là J F ( w ) =  i ( w )  .
 ∂z

 j



19

Ánh xạ F gọi là không suy biến tại w nếu rank J F ( w ) = min {m, n} .
Ánh xạ F gọi là không suy biến trên D nếu nó khơng suy biến tại mọi
w∈D.

1.2.7. Định lí. Cho n ≥ m , và F là ánh xạ chỉnh hình khơng suy biến của một lân

cận của 0 trong ℂ n vào trong ℂ m , sao cho F(0) = 0. Khi đó, có một phép biến

đổi tuyến tính

w i = ∑ aij z j

trong ℂ n và các hàm ϕ j ( w1 ,..., w n−m ) ,

j

n − m + 1 ≤ j ≤ n , chỉnh hình trong một đa đĩa ∆(0; δ) thỏa F ( w1 ,..., w n ) = 0
nếu và chỉ nếu w j = ϕ j ( w1 ,..., w n−m ) trong ∆(0; δ) , với n − m + 1 ≤ j ≤ n .
Chứng minh.

Đặt F = (f n−m+1 ,...,f n ) . Đầu tiên, nếu (bij ), n − m + 1 ≤ i, j ≤ n là ma trận cấp
m × m khơng suy biến và G = (g n−m+1 ,...,g n ), ở đó g i = ∑ bijf j thì F(z) = 0 nếu
và chỉ nếu G(z) =0. Vì thế ta có thể thay F bởi phép biến đổi khơng suy biến bất
kì như vậy.
Bây giờ giả sử rằng ma trận cấp m × n J (0) = (∂fi / ∂z j (0)) có hạng là m.
Khi đó tồn tại các ma trận khơng suy biến Bm×m , A n×n sao cho

BJ (0) A−1 = (0,I m×m ) .

Đặt B = (bij ), n − m + 1 ≤ i, j ≤ n và A = (a ij ), A−1 = (a 'ij ),1 ≤ i, j ≤ n .
Đặt g i = ∑ bijf j và w i = ∑ a ijz j . Khi đó
∂g i
∂f
∂f
= ∑ bik k = ∑ bik k a 'sj .
∂w j

∂w j
∂z s
i
i,s
Vì vậy

∂g i
∂f
(0) = ∑ bik k (0)a 'sj = δ ij .
∂w j
∂z s
k


20

Áp dụng Định lí 1.2.5, ta có điều phải chứng minh. □
1.2.8. Định lí. (Định lí ánh xạ ngược)
Cho F là ánh xạ chỉnh hình khơng suy biến trên một lân cận của 0 trong ℂ n
vào trong ℂ n sao cho F(0) = 0. Khi đó, tồn tại đa đĩa ∆(0; δ ) mà trên đó F có
ánh xạ ngược. Tức là tồn tại ánh xạ chỉnh hình G từ lân cận mở D của 0 lên
∆(0; δ ) sao cho w = F ( z ) nếu và chỉ nếu z = G ( w ) .
Chứng minh.

Đặt J là ma trận Jacobi của F. Vì F là khơng suy biến nên ta có thể (bằng
cách đổi biến) giả sử rằng J (0) = I n×n . Đặt w1 ,..., w n ; z1 ,..., z n là các biến này.
Xét H (z, w ) = w − F(z ) là một ánh xạ chỉnh hình xác định trong một lân cận mở

của 0 trong ℂ 2n . Khi đó H thỏa mãn giả thiết của Định lí 1.2.7, vì vậy có một
ánh xạ G ( w1 ,..., w n ) xác định trong một đa đĩa ∆(0; ε) ⊂ ℂ 2n sao cho

H (z, w ) = 0 nếu và chỉ nếu z = G ( w ) . Đó là điều ta cần chứng minh. □


21

Chương 2
BAO CHỈNH HÌNH

2.1. Định lí Runge
2.1.1. Bổ đề. (Định lí Runge)
Cho K 0 là một tập con compact đơn liên của ℂ , và K1 là một tập con
k

n

compact của ℂ . P là lớp các đa thức dạng

∑ f ( w ) z , trong đó
i

i =0

i

f i chỉnh hình

trong một lân cận của K1 . Khi đó, với một hàm chỉnh hình trong một lân cận của
K 0 × K1 đều có thể xấp xỉ được bởi các hàm trong P.

Chứng minh.

Cho f là chỉnh hình trong một lân cận của K 0 × K1 . Khi đó tồn tại các lân cận
U 0 của K 0 và U1 của K1 sao cho f ∈Ο U0 ×U1 . Sử dụng Cơng thức tích phân
Cauchy, với z ∈ K 0 , w ∈ K1 , ta có
f ( z, w ) =

1 f ( ζ , w ) dζ
,
2πi ∫Γ ζ − z

(2.1)

ở đây Γ là một đường cong đóng đơn trong U 0 mà phần trong chứa K 0 . Vì
hàm ζ − z là bị chặn dưới với ζ ∈Γ,z ∈ K 0 nên dễ dàng kiểm tra tích phân trong

vế phải của (2.1) có thể xấp xỉ đều bởi các tổng Riemann trong K 0 × K1 . Vì vậy f
có thể xấp xỉ đều trong K 0 × K1 bởi các hàm dạng

minh rằng những hàm
thức.

fi ( w )
. Ta chỉ cần chứng
∑
i =1 ζ i − z
p

1
, với ζ ∉ K 0 là xấp xỉ được trong K 0 bởi các đa
ζ−z