Một lớp bài toán biên cho phương trình vi phân hàm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO
TRƯỜNG ðẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
-----------------------------

NGUYỄN VŨ THỤ NHÂN

MỘT LỚP BÀI TỐN BIÊN
CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM

Chun ngành: Tốn Giải tích
Mã số
: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS. NGUYỄN ANH TUẤN

Tp. Hồ Chí Minh – 2008


2

LỜI CẢM ƠN
ðầu tiên, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc ñối với PGS. TS.
NGUYỄN ANH TUẤN – Khoa Tốn – Tin học, Trường ðại học Sư Phạm
đã dành thời gian và cơng sức và tận tình hướng dẫn giúp tơi hồn thành luận
văn này.
Tơi xin gửi lời cảm ơn đến q Thầy Cơ trong Hội đồng chấm luận văn
đã dành thời gian đọc, chỉnh sửa và đóng góp ý kiến giúp cho tơi hồn thành
luận văn này một cách hồn chỉnh.

Bên cạnh đó, tơi xin chân thành cảm ơn Ban giám Hiệu trường ðH Sư
phạm Tp.HCM, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn - Tin học, Phịng KHCN – SðH
và q Thầy Cơ đã giảng dạy, tạo điều kiện cho chúng tơi hồn thành khóa
học này.
Và để có được kết quả như ngày hơm nay, tơi cũng đã được sự giúp đỡ
tận tình của Ban chủ nhiệm Khoa Vật Lý, cũng như nhận được những lời
động viên, đóng góp ý kiến của các bạn ñồng nghiệp Khoa Vật Lý – Trường
ðH Sư phạm Tp.HCM cùng bạn bè và người thân.
ðặc biệt, tôi xin dành tặng kết quả này cho ba mẹ và gia đình thân u
nhất của mình – những người đã ln tạo điều kiện, hỗ trợ cũng như động viên
tơi vượt qua những khó khăn trong bước ñường nghiên cứu khoa học này.
Cuối cùng, trong quá trình viết luận văn này, khó tránh khỏi những
thiếu sót, tơi mong nhận được những ý kiến đóng góp của bạn ñọc. Mọi ý
kiến ñóng góp, xin gửi về theo ñịa chỉ:
Nguyễn Vũ Thụ Nhân
Khoa Vật Lý, Trường ðại học Sư Phạm Tp.HCM
280 An Dương Vương, Quận 5, Tp.HCM
Email:
Xin chân thành cảm ơn.


3

Mục lục

Trang phụ bìa ................................................................................................1
Lời cảm ơn ...................................................................................................2
Mục lục

...................................................................................................3

Danh mục các ký hiệu ....................................................................................5
MỞ ðẦU

...................................................................................................8

Chương 1. GIỚI THIỆU BÀI TOÁN.........................................................10
Chương 2. MỘT SỐ CÔNG CỤ, KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ....................12
2. 1.

BỔ ðỀ VỀ TÍNH GIẢI ðƯỢC CỦA BÀI TỐN KHƠNG

THUẦN NHẤT ........................................................................................ 12
2.1.1. ðịnh nghĩa 2.1.1.......................................................................12
2.1.2. ðịnh nghĩa 2.1.2.......................................................................12
2.1.3. Bổ ñề 2.1.1 (bổ ñề về tính giải ñược của phương trình vi phân
hàm khơng thuần nhất)............................................................13
2.1.4. Bổ đề 2.1.2 ...............................................................................15
2. 2.

BỔ ðỀ VỀ TÍNH GIẢI ðƯỢC CỦA BÀI TỐN PHI TUYẾN17

2.2.1. ðịnh nghĩa 2.2.1.......................................................................17
2.2.2. ðịnh nghĩa 2.2.2.......................................................................17
2.2.3. Mệnh ñề 2.2.1 ([8]) ..................................................................17
2.2.4. Mệnh ñề 2.2.2 ([8]) ..................................................................18
2.2.5. Bổ ñề 2.2.1 ...............................................................................18
2.2.6. Mệnh đề 2.2.3 ..........................................................................19
2.2.7. Mệnh đề 2.2.4 (Tính chất của tập V0 ((a; b); ℓ) .........................19
2.2.8. Bổ ñề 2.2.2 ..............................................................................20

Chương 3.

CÁC KẾT QUẢ CHÍNH CỦA BÀI TỐN BIÊN HAI ðIỂM .....23


4
3. 1.

BÀI TOÁN (1.1), (1.2) .............................................................. 23

3.1.1. ðịnh lý 3.1.1 ............................................................................23
3.1.2. Bổ ñề 3.1.1 (bổ ñề ñánh giá xấp xỉ tiệm cận)............................23
3.1.3. Hệ quả 3.1.1 .............................................................................26
3.1.4. Hệ quả 3.1.2 .............................................................................28
3.1.5. ðịnh lý 3.1.2 ............................................................................29
3.1.6. Bổ ñề 3.1.2 (bổ ñề ñánh giá xấp xỉ tiệm cận)............................30
3.1.7. ðịnh lý 3.1.3 ............................................................................34
3.1.8. Bổ ñề 3.1.3 ...............................................................................34

ðịnh lý 3.1.3’ .....................................................................................38
3.1.9. Hệ quả 3.1.3 .............................................................................38
3.1.10.
3. 2.

Hệ quả 3.1.4 ...................................................................41

BÀI TỐN (1.1), (1.2) CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM

VỚI PHẦN CHÍNH KHƠNG TĂNG....................................................... 44
3.2.1. ðịnh lý 3.2.1 ............................................................................44

3.2.2. Bổ ñề 3.2.1 ...............................................................................44
3.2.3. Bổ ñề 3.2.2 ...............................................................................46
3.2.4. Hệ quả 3.2.1 .............................................................................50
3.2.5. Hệ quả 3.2.2 .............................................................................54
3.2.6. Hệ quả 3.2.3 .............................................................................55
3.2.7. Hệ quả 3.2.4 .............................................................................57
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ......................................................................62
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................63


5

Danh mục các ký hiệu
R: tâp hợp các số thực
R+ = [0, + ∞)
N: tập hợp các số tự nhiên
C ([a ; b]; R) là không gian các ánh xạ liên tục u: [a, b] → R trên
[a ; b] với chuẩn: || u ||C = max { |u(t)|: a ≤ t ≤ b}
C0 ([a ; b]; R) = { u ∈ C( [a ; b]; R) : u(a) = 0, u(b) = 0}
C1([a ; b]; R) là không gian các ánh xạ khả vi, liên tục u: [a, b] → R
với chuẩn: u

C1

= u

C

+ u' C

{

}

C01 ([ a ; b]; R ) = u ∈ C1 ([a; b]; R) : u (a ) = 0, u (b) = 0

C ' ([a ; b]; R) là không gian các hàm liên tục tuyệt ñối trên [a ; b],
cùng với các ñạo hàm cấp một cũng liên tục tuyệt ñối, hàm u: [a ; b] → R với
b

chuẩn:

u

C'

= u ( a ) + ∫ u '( s ) ds
a

'
Cloc
( I ; D ) (với I ⊂ [a ; b] và D ⊂ R) là tập hợp các ánh xạ u: I →D

liên tục tuyệt ñối trên I sao cho u ∈ C ' ( I0 ; D) với mỗi tập compact I0 ⊂ I.
C ' ([a ; b]; (0, + ∞)) = {u ∈ C ' ([a ; b]; R): u(t) > 0, ∀ a ≤ t ≤ b}

L ([ a; b ]; R ) là không gian các hàm f : [a ; b] → R khả tích Lebesgue
b

trên [a ; b] với chuẩn:

f

L

= ∫ f ( s ) ds
a

L ( ( a; b ) ; R+ ) = { f ∈ L(( a; b); ℝ ) : f (t ) ≥ 0, ∀a < t < b}
LP((a ; b); R), p> 1, là không gian các hàm f: (a ; b) → R,

f

P

∈ L ( ( a; b ) ;R + ) , với chuẩn f

1/ p

Lp

b

p
=  ∫ f ( s ) ds 
a



6

K ( ( a; b ) xR n ; D ) , n ∈ N , D ⊂ R ,

tập

là

hợp

các

ánh

xạ

f : ( a; b ) x R n → D thỏa mãn ñiều kiện Caratheodory ñịa phương, nghĩa là:
f (., x ) : ( a; b ) → D là ño ñược với mỗi x ∈ Rn.
sup

{ f (., x ) , x ∈ D } ∈ L ( ( a;b ) , R )
+

0

với mỗi tập compact

D0 ∈ R n .
f ( t ,.) : R n → D là liên tục hầu khắp nơi với mọi t ∈ (a ; b).
M((a ; b); D), với D ⊂ R, là tập các hàm ño ñược f: (a ; b) → D.
L0([a;b]) là tập hợp các toán tử ℓ : C ([ a; b ]; R ) → L ( ( a; b ) ; R ) tuyến
tính, bị chặn thỏa mãn ñiều kiện:

{

sup ℓ ( v )(.) : v

C

}

= 1 ∈ L ( ( a; b ) ; R+ )

(*)

L1((a ; b)) là tập hợp các toán tử ℓ : C ([ a; b ]; R ) → L ( ( a; b ) ; R ) liên
tục, và thuần nhất dương thỏa mãn ñiều kiện (*).

K((a ; b)) là tập hợp các toán tử F: C1 ([ a; b]; ℝ ) → L(( a; b); ℝ) liên
tục và thỏa mãn ñiều kiện:

{

sup F (v )(.) : v

C1

}

≤ r ∈ L ( ( a; b ) ;R + ) , ∀r > 0

K ((a ; b)) là tập hợp các toán tử F: C ' ([ a; b]; ℝ ) → L(( a; b); ℝ) liên

tục và thỏa mãn ñiều kiện:

{

sup F ( v )(.) : v

C'

}

≤ r ∈ L ( ( a; b ) ; R+ ) , ∀r > 0

σ: L((a ; b); R) → L((a ; b); R) là tốn tử được xác định bởi:
 t

σ ( p)(t ) = exp  ∫ p( s) ds 
 a +b

 2

t

1
σ α ( p)(t ) =
σ ( p )( s) ds
σ ( p )(t ) α∫


7

t

b

1
σ ab ( p)(t ) =
σ ( p)( s) ds ∫ σ ( p )( s)ds
σ ( p)(t ) ∫a
t

[ p ]+ = ½ ( p + p )

[ p ]− = ½ ( p − p )

Ta nói tốn tử ℓ ∈ Li((a ; b)) , i ∈ {0; 1} là không giảm nếu:
Với bất kỳ u, v ∈ C([a ; b]; R) thỏa mãn: u(t) ≥ v(t), a≤ t ≤ b thì
ta có:

ℓ( u)( t) ≥ ℓ( v)( t), với a≤ t ≤ b .
Ta nói tốn tử ℓ ∈ Li((a ; b)) , i ∈ {0; 1} là không tăng nếu:
Với bất kỳ u, v ∈ C([a ; b]; R) thỏa mãn: u(t) ≤ v(t), a≤ t ≤ b thì
ta có:

ℓ( u)( t) ≥ ℓ( v)( t), với a ≤ t ≤ b.
Nghiệm của bài toán: u”( t) = F (u) (t)
với F∈K((a ; b)) là hàm u ∈ C ' ( [ a ; b]; R) thỏa mãn phương trình
hầu khắp nơi trên (a ; b).

---------------------------

8

MỞ ðẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết bài tốn biên cho phương trình hàm được hình thành và phát
triển từ thế k ỷ XVIII và ngày càng tìm được ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh
vực kinh tế và khoa học kỹ thuật. Song, chỉ từ năm 1997, việc nghiên cứu và
phát triển theo hướng này mới thực sự phát triển mạnh và thu ñược nhiều kết
quả mới. Các kết quả này được nghiên cứu bởi một nhóm các nhà tốn học
Grudia và Cộng hịa Czech dưới sự dẫn dắt của giáo sư viên sỹ Ivan
Kiguradze - Viện trưởng viện tốn học Tbilisi.
Trong những năm gần đây, vấn đề này càng đạt được nhiều kết quả
trong các cơng trình của các tác giả như: I.Kiguradze, B.Puza. R.Hakl,
A.Lomtatidze. Vì vậy, chúng tơi chọn đề tài này làm nội dung nghiên cứu của
luận văn nhằm học tập và phát triển ñề tài của mình theo hướng của các tác
giả trên.

2. Mục đích nghiên cứu
Trong luận văn này, chúng tơi tiếp tục học tập và nghiên cứu về sự tồn tại
và duy nhất nghiệm của bài tốn biên hai điểm cho các phương trình: phương
trình vi phân hàm cấp hai thuần nhất, phương trình vi phân hàm cấp hai khơng
thuần nhất, và áp dụng kết quả đạt được cho phương trình vi phân hàm cấp hai

ñối số lệch.
3. ðối tượng và phạm vi nghiên cứu
Trong luận văn này, chúng tôi chú trọng việc nghiên cứu về tính giải

được và duy nhất nghiệm của các bài tốn biên hai điểm cho phương trình vi
phân hàm bậc hai.

4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Kết quả của luận văn này là cơ sở ñể tiếp tục nghiên cứu các lớp bài
tốn biên hai điểm, nhiều điểm cho phương trình vi phân hàm bậc hai và
phương trình vi phân hàm bậc cao và áp dụng các kết quả đó cho phương
trình vi phân đối số lệch bậc cao.


9
5. Cấu trúc luận văn
Nội dung chính của luận văn gồm có 3 chương:

Chương 1. Phần giới thiệu bài tốn
Chương 2. Một số công cụ, kiến thức chuẩn bị
Nội dung chính của chương là trình bày các khái niệm,

định nghĩa, và các bất đẳng thức liên quan đến q trình xây dựng kết quả của
bài tốn. ðồng thời, chúng tơi xây dựng các bổ đề về tính giải được của bài
tốn biên hai điểm cho phương trình vi phân hàm bậc hai.

Chương 3. Các kết quả chính của bài tốn
Dựa trên các kết quả của chương trên ñể xây dưng các

ñiều kiện ñủ cho sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho phương trình vi phân hàm
bậc hai.

--------------------------------------------------


10

Chương 1. GIỚI THIỆU BÀI TOÁN
Trong luận văn này, chúng tơi nghiên cứu về sự tồn tại nghiệm của phương
trình:
u’’ (t) = F (u)(t)

(1.1)

u(a) = 0, u(b) = 0

(1.2)

thỏa mãn điều kiện:
trong đó: F ∈ K((a ; b)).
Bài tốn (1.1), (1.2) ñã ñược nghiên cứu chi tiết trong trường hợp F là
toán tử Nemytski, nghĩa là:
F(u)(t) = f ( t, u (t), u’(t)), với f ∈K((a ; b)xR2; R)
Khi đó, bài toán (1.1) trở thành:
u '' = f (t , u (t ), u '(t ))

(1.3)

Các kết quả của bài tốn biên (1.3), (1.2), được trình bày trong các cơng
trình của các nhà toán học như S.N.Bershtein [5], M.Nagumo, C.De la Vallée
Poussin, L. Tonelli và H. Epheser. Hiện nay, lý thuyết về bài tốn biên dạng
(1.3), (1.2) đã được hình thành một cách đầy đủ, trong đó hàm f là hàm
khơng khả tích.
Trong những năm gần đây, vấn đề này càng đạt được nhiều kết quả
trong các cơng trình của các tác giả như: I.Kiguradze, B.Puza. R.Hakl,
A.Lomatatidze. Vì vậy, cơng việc chính của luận văn là tiếp tục học tập và

phát triển đề tài của mình theo hướng của các tác giả trên.
Trong những năm gần đây, các cơng trình ñều nghiên cứu lý thuyết bài
toán biên cho hệ phương trình vi phân hàm ([1 - 4, 6 - 8], ...). Hơn nữa, bài
tốn (1.3), (1.2), tiếp tục được nghiên cứu tỉ mỉ trong trường hợp tổng quát.
Tuy nhiên, chúng ta gặp khó khăn khi sử dụng các k ỹ thuật của lý thuyết bài
toán vi phân thường cho bài tốn vi phân hàm, bởi các phương pháp để


11
nghiên cứu trong hầu hết trường hợp ñều dựa trên tính chất của tốn tử
Nemytski.
Trong luận văn này, chúng tơi sẽ học tập, nghiên cứu các bài tốn trên
và đưa ra một số điều kiện để bài tốn (1.1), (1.2) có thể giải được trong
trường hợp F như là tốn tử tựa tuyến tính.

Ở chương 2 và §1 chương 3, chúng tơi sẽ đề cập đến các điều kiện tổng
qt để bài tốn có nghiệm, và ở §2 chương 3, chúng tơi sẽ nghiên cứu tốn tử
F là tốn tử ñơn ñiệu ℓ. Phương pháp chính trong việc chứng minh các kết
quả ở các mục trên dựa vào sự ñánh giá, ước lượng các bất ñẳng thức vi phân
hàm.

ðối với nhiều cơng trình của các nhà tốn học, kết quả của các mục trên
ñã ñược giải quyết tương ñối ñầy đủ cho các bài tốn có dạng:

Và:

u "( t ) = p1 ( t ) u ( t ) + p2 ( u )( t ) .u ' ( t ) + h ( t ) u (τ ( t ) ) + G ( u )( t )

(1.4)

u "( t ) = p ( t ) u ( t ) + g ( t ) .u ' ( t ) + h ( t ) u (τ ( t ) ) + G ( u )( t )

(1.5)

u "( t ) = h ( t ) u (τ ( t ) ) + G ( u )( t )

(1.6)

Trong ñó: τ ∈ M((a ; b); (a ; b)), p1, p, g ∈ L((a ; b); R) và p2, G ∈ K((a ; b)).


12

Chương 2. MỘT SỐ CÔNG CỤ, KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

2. 1. BỔ ðỀ VỀ TÍNH GIẢI ðƯỢC CỦA BÀI TỐN
KHƠNG THUẦN NHẤT
Trong mục này, ta xét tính giải được của phương trình vi phân cấp 2
phi tuyến khi phương trình thuần nhất tương ứng chỉ có nghiệm tầm thường

Xét phương trình vi phân cấp 2 khơng thuần nhất:
u ''(t ) = p(t )u (t ) + g (t )u '(t ) + H (u )(t )

(2.1.1)

và phương trình vi phân thuần nhất:
u '' = p (t )u (t ) + g (t )u '(t )

(2.1.2)

p, g ∈ L((a ; b); R).

trong đó:
2.1.1. ðịnh nghĩa 2.1.1

Ta nói cặp tốn tử (ℓ0, ℓ1) thuộc tập U0((a; b)) (hay U0((a; b)) là tập hợp
tất cả các cặp toán tử (ℓ0, ℓ1)) nếu:
1. ℓi ∈Li((a ; b)) , (i = 0, 1) là không tăng.
2. Tồn tại ánh xạ w ∈ C ' ([ a ; b]; (0; +∞)) sao cho:
w"(t) ≤ ℓ0 (w)(t) + ℓ1(1)(t), với a < t < b

(2.1.3)

b

∫ ( ℓ 0 ( w)( s) + ℓ1 (1)( s) )ds < 1.

(2.1.4)

a

2.1.2. ðịnh nghĩa 2.1.2
Ta nói: phiếm hàm vectơ (p, g1, g2): (a ; b) → R3 thuộc tập V0((a; b); ℓ) nếu:
1. p, g1, g2 ∈ L((a ; b); R)
2. Với mỗi hàm g ∈ M((a ; b); R) thỏa mãn bất ñẳng thức:
g1(t) ≤ g(t) ≤ g2(t), với a < t < b

(2.1.5)

ñều tồn tại w ∈ C ' ( [ a ; b];R) sao cho:

w"(t) ≤ p(t)w(t) + g(t)w’(t) + ℓ(w)(t), với a < t < b. (2.1.6)


13
2.1.3. Bổ đề 2.1.1 (bổ đề về tính giải được của phương trình vi phân hàm
khơng thuần nhất)
Giả sử H ∈ K((a ; b)), và tồn tại q ∈ L((a ; b); R+) sao cho với mọi
phiếm hàm v ∈ C1([a ; b]; R) ta ln có bất đẳng thức:
|H(v)(t)| ≤ q(t).

(2.1.7)

Hơn nữa, giả sử bài toán thuần nhất (2.1.2), (1.2) chỉ có nghiệm tầm
thường.
Khi đó, bài tốn (2.1.1), (1.2) có ít nhất một nghiệm.

Chứng minh:
Xét C([a ; b]; R2) là không gian các phiếm hàm véc tơ hai chiều, liên tục
v = (v1, v2): [a; b] → R2 với chuẩn:
v = max { v1 (t ) + v2 (t ) : a ≤ t ≤ b}

ðặt G1:[a,b] x [a; b] → R là hàm Green của bài toán (2.1.2), (1.2)
và G2(t, s) =

∂
G1(t, s), với a ≤ t, s ≤ b.
∂t

Xét toán tử T = (T1, T2) : C([a ; b]; R2) → C([a ; b]; R2) ñược ñịnh nghĩa bởi:
b

Ti (v1, v2) (t) =

∫

Gi (t , s ) H (v2 )( s ) ds, a ≤ t ≤ b, i = 1,2 .

(2.1.8)

a
t

trong đó:

ϕ ( w)(t ) = ∫ w( s )ds, a ≤ t ≤ b, w ∈ C ([a; b]; ℝ)

(2.1.9)

a

H ( w)(t ) = H (ϕ ( w) ) (t ), a ≤ t ≤ b, w ∈ C ([a; b]; ℝ )

(2.1.10)

T là ánh xạ liên tục, compact tương ñối từ C([a ; b]; R2) vào chính nó.
Thật vậy, xét hn = ( hn1 , hn2 ) ∈ Im T , n ∈ N .
Khi đó tồn tại vn = ( v1n , vn2 ) ∈ C ([ a; b ]; R 2 ) , n ∈ N , sao cho:
hni (t ) = Ti ( v1n , vn2 ) (t ), a ≤ t ≤ b, i = {1, 2}, n ∈ N

Giả sử f n (t ) = H (vn2 )(t ) , a ≤ t ≤ b, n ∈ N

14
Vì H ( v )( t ) ≤ q ( t ) . nên khơng mất tính tổng qt, ta có thể giả sử:
lim f n − f

L

n→+∞

= 0 , với f ∈ L([a ; b]; R)

(2.1.11)

b

Xét : qi (t ) = ∫ Gi (t , s ) f ( s )ds, a ≤ t ≤ b, i = 1,2
a

Hiển nhiên: q = ( q1 , q2 ) ∈ C ([ a; b ];R 2 ) và q2 ( t ) = q1' (t ), a ≤ t ≤ b. ,
Khi đó:
= ( hn1 ) − q1'
'

hn1 − q1

C

L

= hn2 − q2

L

≤ M fn − f

L

và:

hn2 − q2

= hn2 (a) − q2 (a ) + ( hn2 ) − q2'
'

C

≤
L

b

≤ ∫ G2 (t , s ) f n ( s ) − f ( s ) ds + f n − f ) L ≤ M . f n − f

L

a

{

}

với M = 1 + sup G 2 ( t , s ) : a ≤ t , s ≤ b
Khi đó, từ (2.1.11) ta có:
lim hn − q L = 0

n→+∞

Nghĩa là, toán tử T là ánh xạ liên tục, và compact tương đối.
vậy,

Vì

theo

ngun

lý

đ i ể m b ất

động

Schauder,

t ồn

t ại

( v1 , v2 ) ∈C ([ a; b ];R 2 ) sao cho:

b

vi (t ) = ∫ Gi (t , s ) H (v2 )( s ) ds, a ≤ t ≤ b, i = 1,2

(2.1.12)

a

ðiều đó chứng tỏ hàm số u(t) = v1(t), a ≤ t ≤ b, với
t

v1 (t ) = ∫ v2 ( s )ds, a ≤ t ≤ b , và là nghiệm của bài toán (2.1.1), (1.2).
a




15
2.1.4. Bổ ñề 2.1.2
Giả sử H ∈ K ( (a; b) ) , và Im H ⊂ L((a ; b); R) là tập compact. Giả sử,
bài toán thuần nhất (2.1.2), (1.2) chỉ có nghiệm tầm thường. Khi đó, bài tốn
(2.1.1), (1.2) có ít nhất một nghiệm.

Chứng minh:
Xét C([a ; b]; R2) là không gian các phiếm hàm véc tơ hai chiều, liên tục
tuyệt ñối v = (v1, v2): [a; b] → R2 với chuẩn: v = v1

C

+ v2

C

ðặt G1:[a,b] x [a; b] → R là hàm Green của bài toán (2.1.2), (1.k)
và G2(t, s) =

∂
G1(t, s), với a ≤ t, s ≤ b.
∂t

Xét toán tử T = (T1 , T2 ) : C ([ a; b]; R 2 ) → C ([a; b]; R 2 ) ñược ñịnh nghĩa bởi
các ñẳng thức (2.1.8) – (2.1.10).
Ta chứng minh ImT là tập compact tương ñối trong C ([a; b]; R 2 )
Thật vậy, xét hn = ( hn1 , hn2 ) ∈ Im T , n ∈ N .
Khi đó tồn tại vn = ( v1n , vn2 ) ∈ C ([ a; b ]; R 2 ) , n ∈ N , sao cho:
hni (t ) = Ti ( v1n , vn2 ) (t ), a ≤ t ≤ b, i = {1, 2}, n ∈ N
Giả sử f n (t ) = H (vn2 )(t ) , a ≤ t ≤ b, n ∈ N
Vì ImH là tập compact tương ñối trong không gian L([a ; b]; R),
nên không mất tính tổng qt, ta có thể giả sử:
lim f n − f

n→+∞

L

= 0 , với f ∈ L([a ; b]; R)

(2.1.13)

b

Giả sử : qi (t ) = ∫ Gi (t , s ) f ( s )ds, a ≤ t ≤ b, i = 1,2
a

Hiển nhiên: q = ( q1 , q2 ) ∈ C ([ a; b ];R 2 ) và q2 ( t ) = q1' (t ), a ≤ t ≤ b.
Khi đó:


16
hn1 − q1

= ( hn1 ) − q1'
'

C

= hn2 − q2
L

L

≤ M fn − f

L

và:
hn2 − q2

= hn2 (a) − q2 (a ) + ( hn2 ) − q2'
'

C

≤
L

b

≤ ∫ G2 (t , s ) f n ( s ) − f ( s ) ds + f n − f ) L ≤ M . f n − f

L

a

{

}

với M = 1 + sup G 2 ( t , s ) : a ≤ t , s ≤ b

Khi ñó, từ (2.1.13) ta có: lim hn − q L = 0 .
n→+∞

Nghĩa là, Tốn tử T là hồn tồn liên tục.
Vì vậy, theo ngun lý điểm bất động Schauder, tồn tại

( v1 , v2 ) ∈C ([ a; b];R 2 ) sao cho:
b

vi (t ) = ∫ Gi (t , s ) H (v2 )( s ) ds, a ≤ t ≤ b, i = 1,2

a

ðiều đó chứng tỏ hàm số :
t

u(t) = v1(t), a ≤ t ≤ b, với v1 (t ) = ∫ v2 ( s )ds, a ≤ t ≤ b
a

là nghiệm của bài toán (2.1), (1.2).


17

2. 2. BỔ ðỀ VỀ TÍNH GIẢI ðƯỢC CỦA BÀI TỐN PHI TUYẾN
Xét phương trình vi phân hàm cấp hai phi tuyến:
u ''(t ) = p(t )u (t ) + g (t )u '(t ) + ℓ(u )(t ) + q (t ) .

(2.2.1)

Cùng với phương trình (2.2.1) ta xét phương trình tuyến tính thuần nhất
của nó.
Sau đây, ta sẽ chứng minh rằng bài tốn (2.2.1), (1.2) giải được khi và
chỉ khi bài tốn thuần nhất của nó chỉ có nghiệm tầm thường. Trước hết, ta
nhắc lại kết quả cho bài tốn biên hai điểm (trong [4], [7], [8], [9] ).

2.2.1. ðịnh nghĩa 2.2.1
Phiếm hàm α ∈ C([a ; b]; R2) được gọi là hàm dưới (trên) của bài tốn
(2.2.1) nếu nó được biểu diễn dưới dạng α(t) = α0(t) + α1(t), với a ≤ t ≤ b,
'
trong đó α0 ∈ Cloc

([a; b]; R) và α1 ∈ C([a ; b]; R2) là 1 hàm lõm (lồi) có đạo

hàm cấp hai bằng khơng hầu khắp nơi, và bất đẳng thức:
α ''(t ) ≥ p(t )α (t ) + g (t )α '(t ) + ℓ(α )(t ) + q(t )

(2.2.2)

(α ''(t ) ≤ p(t )α (t ) + g (t )α '(t ) + ℓ(α )(t ) + q(t ) )
ñược thỏa mãn hầu khắp nơi trên (a ; b).
2.2.2. ðịnh nghĩa 2.2.2
Ta nói rằng hàm véc tơ (p, g): (a ; b) → R2 thuộc tập U 0 (( a; b)) , nếu bài
tốn (2.1.2) chỉ có nghiệm tầm thường thỏa mãn ñiều kiện:
u(a) = u (b1) = 0, với b1 ∈ (a ; b) nào đó.

2.2.3. Mệnh đề 2.2.1 ([8])
ðiều kiện (p, g) ∈ U 0 ((a; b)) là ñiều kiện cần và ñủ ñể tồn tại phiếm hàm
v ∈ C '([a ; b]; (0; + ∞)) sao cho:
v ''(t ) ≥ p (t )v(t ) + g (t )v '(t ) .


18
2.2.4. Mệnh ñề 2.2.2 ([8])
Cho (p, g) ∈ U 0 (( a; b))

(2.2. 3)

và α là phiếm hàm dưới của bài tốn (2.1.2), thỏa mãn điều kiện:

α(a) ≤ 0 và α(b) ≤ 0
Khi đó, α(t) ≤ 0, với mọi t ∈ [a ; b]

(2.2.4)
(2.2.5)

Hơn nữa, nếu có ít nhất một trong hai bất đẳng thức của (2.2.4) là ngặt,
thì α(t) < 0, với mọi t ∈ (a ; b).

2.2.5. Bổ ñề 2.2.1
Cho ℓ ∈ L0 ((a ; b)) là toán tử không giảm, (p, g) ∈ U 0 (( a; b)) , và cho α1 ,

α2 lần lượt là hàm dưới và hàm trên của bài toán (2.2.1) thỏa mãn ñiều kiện:
α1 (t ) ≤ α 2 (t ) ; α1 (a) ≤ 0 ≤ α 2 (t ) ; α1 (b) ≤ 0 ≤ α 2 (b) , a ≤ t ≤ b .

Khi đó, bài tốn (2.2.1), (1.2) có ít nhất một nghiệm u thỏa mãn:

α1(t) ≤ u(t) ≤ α2(t), a ≤ t ≤ b.

(2.2.6)

Chứng minh bổ ñề 2.2.1 :
Ta ñịnh nghĩa X : C([a ; b]; R) → C([a ; b]; R) là tốn tử được xác ñịnh
X (v)(t ) =

bởi:

1
( v(t ) − α1 (t ) − v(t ) − α 2 (t ) + α1 (t ) + α 2 (t ) )
2

(2.2.7)

và ℓɵ = ℓoX .
Xét bài toán biên:
u ''(t ) = p (t )u (t ) + g (t )u '(t ) + ℓɵ (u )(t ) + q (t ), u (a ) = 0, u (b) = 0 (2.2.8)

Từ (2.2.7) ta có:
ℓ(α1 )(t ) ≤ ℓɵ (v)(t ) ≤ ℓ(α 2 )(t ), a < t < b, v ∈ C ([a; b]; R )

(2.2.9)

Vì vậy, do (2.2.3) và bổ đề 2.1.1, ta có bài tốn (2.2.8) có ít nhất một
nghiệm u.
Ta chứng minh bất ñẳng thức (2.2.6)
Thật vậy, giả sử: vn (t ) = (−1)n (u (t ) − α n (t )), a < t < b, n = 1,2


19
Khi đó, từ (2.2.9) ta có:
vn" (t ) ≥ p (t )vn (t ) + g (t )vn' (t ) − ( −1) n (ℓ(α n )(t ) − ℓɵ (u )(t )) ≥ p (t )vn (t ) + g (t )vn' (t )

Do đó, vn(t) là hàm dưới của bài toán (2.2.2) thỏa mãn vn(a) ≤ 0, vn(b) ≤ 0
Nên theo mệnh đề 2.2.2 ta tìm được:
vn (t ) ≤ 0, a < t < b, n = 1, 2

Cho nên, bất đẳng thức (2.2.6) được thỏa mãn.
Vì vậy, từ (2.2.7) ta có :
X (v)(t ) = v(t ) ⇒ ℓɵ (v)(t ) = ℓoX (v)(t ) = ℓ(v)(t )

Do đó : u là nghiệm của bài tốn (2.2.1), (1.2)

2.2.6. Mệnh ñề 2.2.3
Cho ℓ ∈ L0 ((a ; b)). Khi đó, nghiệm duy nhất của bài tốn (2.2.1), (1.2)
là điều kiện cần và đủ để bài tốn thuần nhất :
u "(t ) = p(t )u (t ) + g (t )u '(t ) + ℓ(u )(t )

(2.2.10)

Có duy nhất một nghiệm tầm thường. (kết quả này có thể tìm trong [3])

2.2.7. Mệnh đề 2.2.4 (Tính chất của tập V0 ((a; b); ℓ)
Giả sử ℓ ∈ L0((a ; b)) là tốn tử khơng tăng, v ≠ 0, v ∈ C '([a; b];[0;1]) , và:
v ''(t ) ≤ p (t )v(t ) + g (t )v '(t ) + ℓ(v)(t ), a < t < b

Hơn nữa, nếu:
hoặc:

(2.2.11)

v(t) < 1, a < t < b, v(a) = 0, v(b) = 0
v ( a ) + v (b ) ≠ 0 .

Thì bài tốn (2.2.10), (1.2) có duy nhất một nghiệm tầm thường.

Chứng minh:
Ta chứng minh mệnh ñề bằng phương pháp phản chứng.
Giả sử trái lại.
Gọi u là một nghiệm không tầm thường của bài toán (2.2.10), (1.2).

ðặt:

α (t ) = u (t ) − Mv(t ), a ≤ t ≤ b, M = u

C


20
Rõ ràng:
α (a) = u (a) − Mv(a) = − Mv(a) ≤ 0, do u (a) = 0
α (b) = u (b) − Mv(b) = − Mv(b) ≤ 0 .

Vậy α thỏa mãn bất ñẳng thức (2.2.4).
Mặt khác do ℓ ∈ L0((a ; b)) là tốn tử khơng tăng, nên:
α "(t ) = u "(t ) sign(u (t )) − Mv "(t ) ≥
≥ [ p (t )u (t ) + g (t )u '(t ) + ℓ(u )(t ) ] sgn(u (t )) − M [ p (t )v(t ) + g (t )v '(t ) + ℓ(v)(t ) ]
≥  p (t )α (t ) + g (t )α '(t ) + ℓ ( u − Mv ) (t )  =  p(t )α (t ) + g (t )α '(t ) + ℓ (α ) (t ) 

≥ [ p (t )α (t ) + g (t )α '(t ) ] , a < t < b.

Áp dụng mệnh đề 2.2.1 ta có :

(2.2.12)

(p, g) ∈U 0 (( a; b))

Do đó, áp dụng mệnh đề 2.2.2 cho hàm α( t) ta có:

α(t) ≤ 0, a < t < b
Khi đó, nếu v(t) < 1, a < t < b thì :
α (t ) = u (t ) − Mv(t ) ≤ 0 ⇒ u (t ) ≤ Mv(t ) ⇒ u

C

≤M v

C

< M ⇒ M < M (!)

Hoặc, nếu v(a) + v(b) ≠ 0 thì theo mệnh đề 2.2.2 ta có: α(t) < 0, nên theo
trên ta cũng có : M < M (!)
Vậy ta có ñiều phải chứng minh

2.2.8. Bổ ñề 2.2.2
Cho ℓ ∈ L0((a ; b)) là tốn tử khơng tăng, và (p, g, g) ∈ V0((a ; b); ℓ )
Khi đó bài tốn (2.2.10), (1.2) có duy nhất một nghiệm tầm thường.
Hơn nữa, nếu α là hàm dưới của bài toán (2.2.10) thỏa mãn bất đẳng
thức (2.2.4), thì :

α(t) ≤ 0, với mọi t ∈ [a ; b]

Chứng minh:
Giả sử u0 là một nghiệm khơng tầm thường của bài tốn (2.2.10), (1.2).
Do (p, g, g) ∈V0((a ; b); ℓ ) nên tồn tại w∈ C '([ a; b];(0; +∞)) thỏa mãn:
w ''(t ) ≤ p (t ) w(t ) + g (t ) w '(t ) + ℓ( w)(t ), a < t < b .

(2.2.13)


21
u (t ) =

ðặt:

u 0 (t )
,a ≤ t ≤ b.
w(t )

(2.2.14)

Rõ ràng, u (t ) thỏa mãn ñiều kiện (1.2) và là nghiệm của bài toán:
v ''(t ) = p1 (t )v(t ) + g1 (t )v '(t ) + ℓ1 (v)(t ) .

trong đó:

p1 (t ) =

1
[ p(t )w(t ) + g (t )w '(t ) − w"(t )]
w(t )

g1 (t ) =

1
[ g (t ) w(t ) − 2w '(t )], a < t < b
w(t )

ℓ1 (v)(t ) =

1
ℓ(vw)(t ), a < t < b, v ∈ C ([a; b]; ℝ)

w(t )

(2.2.15)

(2.2.16)
(2.2.17)

Thật vậy, từ (2.2.14) ta có: u0 (t ) = u (t ).w(t ) .
Từ ñó:
u0' (t ) = u '(t ).w(t ) + u (t ).w '(t ) ;
u0" (t ) = u "(t ).w(t ) + 2u '(t ).w '(t ) + u (t ).w"(t )

Do u0(t) là nghiệm của phương trình (2.2.10) nên:
u "(t ).w(t ) = ( p (t ).w(t ) + g (t ).w '(t ) − w "(t ) ) u (t ) + ( g (t ).w(t ) − 2 w '(t ) ) u '(t ) + ℓ(uw)(t )

nên ta có các biểu thức (2.2.15), (2.2.16), (2.2.17)
Từ các biểu thức (2.2.13), (2.2.15) – (2.2.17) , ta nhận thấy rằng bài tốn
(2.2.15) với v(t) ≡ 1 đã thỏa mãn các điều kiện của mệnh đề 2.2.4
Vì vậy, bài tốn (2.2.15), (1.2) có duy nhất một nghiệm tầm thường.

ðiều này mâu thuẫn với giả thiết.(!)
Do đó, u0 là một nghiệm tầm thường của bài toán (2.2.10), (1.2).

Ta chứng minh: nếu α là hàm dưới của bài toán (2.2.10) thỏa mãn bất
ñẳng thức: α(a) ≤ 0 và α(b) ≤ 0 (2.2.4), thì : α(t) ≤ 0, với mọi t ∈ [a ; b]
Thật vậy, giả sử tồn tại t* ∈ [a ; b] sao cho: α(t*) > 0

ðặt :

c =1+

α

(2.2.18)

C

min {w(t ) : a ≤ t ≤ b}

Khi đó: β(t) = c.w(t), a ≤ t ≤ b là phiếm hàm trên của bài toán (2.2.10), và

β(t) > α(t), với a ≤ t ≤ b.


22
Khi β(a) > 0 và β(b) > 0 thì từ biểu thức (2.2.13), mệnh ñề 2.2.1 và bổ ñề
2.2.1, ta có bài tốn (2.2.10), (1.2) có ít nhất một nghiệm u và :

α(t) ≤ u(t), a ≤ t ≤ b
Mặt khác, theo trên, ta có bài tốn (2.2.10), (1.2) có duy nhất một nghiệm
tầm thường.
Do đó, u ≡ 0. hay α(t) ≤ 0, a ≤ t ≤ b.
Hay ta có ñiều cần chứng minh.


23

Chương 3. CÁC KẾT QUẢ CHÍNH CỦA BÀI TỐN BIÊN HAI ðIỂM

3. 1. BÀI TOÁN (1.1), (1.2)

3.1.1. ðịnh lý 3.1.1
(ℓ0, ℓ1) ∈ U0((a; b))

Cho:

(3.1.1)

và với mọi v ∈ C01 ( [ a ; b]; R) ta có:

(

)

F (v)(t )sgn v(t ) ≥ ℓ 0 ( v ) (t ) + ℓ1 ( v ' ) (t ) − q t , v C1 .

(3.1.2)

trong đó q ∈ K((a ; b) xR; R+) thỏa mãn ñiều kiện:
b

1
lim ∫ q( s, x )ds = 0
x →+∞ x
a

(3.1.3)

Khi đó, bài tốn (1.1), (1.2) có ít nhất một nghiệm.
ðể chứng minh định lý trên, chúng ta cần bổ ñề ñánh giá tiệm cận sau:
3.1.2. Bổ ñề 3.1.1 (bổ ñề ñánh giá xấp xỉ tiệm cận)

Giả sử ℓ0 ∈ L0((a ; b)), ℓ1 ∈ L1((a ; b)) là các tốn tử khơng tăng và
q ∈ K ((a; b)xR; R+ ) là hàm khơng giảm đối với biến thứ hai và thỏa mãn ñiều

kiện (3.1.3).
Hơn nữa, giả sử tồn tại w ∈ C '([ a; b];(0; +∞)) sao cho:
w ''(t ) ≤ ℓ 0 ( w)(t ) + ℓ1 (1)(t ), a < t < b ,
b

∫( ℓ

0

( w)( s ) + ℓ1 (1)( s ) ) ds < 1 .

(3.1.4)
(3.1.5)

a

Khi đó, tồn tại r > 0 sao cho: với bất kỳ hàm v ∈ C '([ a; b]; R) thỏa mãn ñiều kiện :

(

v "(t )sgn v(t ) ≥ ℓ 0 ( v ) + ℓ 1 ( v ' ) (t ) − q t , v

Thì :

v

C1

C1

) , a < t < b ,v(a) = 0,v(b)=0 (3.1.6)

≤ r.

Chứng minh bổ ñề:

Ta chứng minh bổ ñề bằng phương pháp phản chứng.


24

Giả sử với bất kỳ số tự nhiên k, tồn tại hàm vk ∈ C '([ a; b]; R) thỏa mãn:
vk(a)= 0, vk(b)= 0

vk

C1

(3.1.7)

≥k

(3.1.8)

( )

(

vk" (t )sgn vk (t ) ≥ ℓ 0 ( vk ) + ℓ 1 vk' (t ) − q t , vk

C1

),

a
(3.1.9)

Xét αk là nghiệm của bài toán biên:

α '' = −

1
q ( t , vk
vk'

C1

);

α (a) = 0,α (b) = 0

(3.1.10)

C

Ta chứng minh:

vk (t ) ≤ vk'

C

( w(t ) + α k (t ) ) ,

a < t < b, k ∈ N

(3.1.11)

Thật vậy, ñặt:

γ (t ) =
Rõ ràng:

vk (t )
vk'

− w(t ) − α k (t ), a ≤ t ≤ b

C

γ ''(t ) ≥ ℓ 0 (γ )(t ); γ ( a ) ≤ 0, γ (b) ≤ 0

(3.1.12)

Vậy γ (t ) là phiếm hàm dưới của bài toán: v ''(t ) = ℓ 0 (v)(t )
Mặt khác do (3.1.4) nên : (0,0,0) ∈V0 ((a; b); ℓ 0).

Khi đó, áp dụng bổ đề 2.2.2 cho bài tốn (3.1.12) và sử dụng kết quả trên ta
γ (t ) ≤ 0, a < t < b

có:
Vậy: (3.1.11) được chứng minh.

Bây giờ, từ (3.1.11) và (3.1.9) ta có :
vk" (t )sgn vk (t ) ≥ vk'

C

(

ℓ 0 ( w + α k ) + ℓ1 (1) (t )  − q t , vk

C1

),

a < t < b (3.1.13)

Ta xấp xỉ vk' .
Lấy bất kỳ t0 ∈ (a ; b) sao cho vk' (t0 ) ≠ 0 .
Khơng mất tính tổng qt, giả sử rằng vk (t0 ).vk' (t0 ) > 0 .
Khi đó, do vk (a ) = 0 , vk (b) = 0 nên tồn tại t1 ∈ (t0 ; b] sao cho :
vk (t ).vk' (t ) > 0 , t0 < t < b, vk' (t1 ) = 0
Lấy tích phân của (3.1.13) trên ñoạn [t0; t1] và sử dụng (3.1.14) ta có :

(3.1.14)

25
v (t0 ) ≤ v
'
k

'
k C

b
 b
 ∫ ℓ 0 ( w ) ( s ) + ℓ 0 (α k ) ( s ) + ℓ1 (1) ( s ) ds  + ∫ q s, vk
a
 a

(

)

(

C1

) ds (3.1.15)

Do đó :
'
k C

v

≤ v

'
k C

b
 b
 ∫ ℓ 0 ( w ) ( s ) + ℓ 0 (α k ) ( s ) + ℓ1 (1) ( s ) ds  + ∫ q s, vk
a
 a

(

)

(

C1

) ds

(3.1.16)

Mặt khác, từ (3.1.5) ta có thể chọn ε > 0 sao cho :
b

∫( ℓ

0

( w)( s ) + ℓ1 (1)( s ) ) ds < 1 − ε

(3.1.17)

a

Từ (3.1.10) và

vk

b

∫ q ( s, v ) ds = 0 , ta có thể chọn k0 ∈ N sao

1

lim

→+∞
C1

k C1

vk

C

1

a

b

∫ ℓ 0 (α k )(s) ds <

cho:

a

Ngồi ra, ta có :

vk
vk

nên

C

C1

ε

, k > k0

2

≤ (b − a) vk'

(3.1.18)

C

≤ (b − a + 1) vk'

C

Do đó, từ (3.1.16), ta có:

ε

1
< '
2 vk

∫ q ( s,(b − a + 1) v
b

'
k C

C a

).ds,

k > k0 (!)

Mâu thuẫn với ñiều kiện (3.1.3)
Hay bổ ñề 3.1.1 ñược chứng minh.

Chứng minh ñịnh lý 3.1.1
Giả sử r là số dương ñược xác ñịnh ở bổ ñề 3.1.1

ðặt X: C1 ([0;1]; R ) → R+ ñược xác ñịnh như sau:
1
, v C1 ≤ r

v 1

X (v)(t ) = 2 − C , r < v C1 ≤ 2r
r

0
, v C1 ≥ 2 r


(3.1.19)