Tiết diện tán xạ đàn hồi của các nucleon lên các bia hạt nhân hình cầu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

NGUYỄN HỒNG TÙNG

TIẾT DIỆN TÁN XẠ ĐÀN HỒI CỦA
CÁC MUCLEON LÊN CÁC BIA HẠT
NHÂN HÌNH CẦU

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÍ

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH, NĂM 2014


1

Mục lục
Lời mở đầu .................................................................................................... 1
Chương 1: Mô tả vi mô cấu trúc bia hạt nhân .............................................. 4
1.1. Xấp xỉ Hartree-Fock (HF) .................................................................. 4
1.1.1. Trường trung bình ....................................................................... 4
1.1.2. Nguyên lý biến phân. Phương trình HF ...................................... 5
1.1.3. Tính tốn số ................................................................................. 8
1.2. Xấp xỉ pha ngẫu nhiên ..................................................................... 11
1.2.1. Phương trình Random Phase Approximation (RPA)................ 12
1.2.2. Cường độ và biên độ dịch chuyển .......................................... 14
Chương 2: Tán xạ đàn hồi nucleon-hạt nhân .............................................. 16
2.1. Thế quang học vi mô ........................................................................ 16
2.2. Giải phương trình Schrodinger ........................................................ 18
Chương 3: Kết quả và Kết luận................................................................... 21
3.1. Kết quả ............................................................................................. 21

3.2.Kết luận ............................................................................................. 25
Tài liệu tham khảo ....................................................................................... 29


1
Lời mở đầu
Ngày nay, thế quang học (optical potential) là một công cụ lý thuyết quan
trọng nhất để nghiên cứu nhiều vấn đề của phản ứng hạt nhân. Thế quang học đã
đơn giản hóa bài tốn phức tạp tương tác giữa hạt tới và bia hạt nhân bằng một
thế phức thường được chia làm hai thành phần. Thành phần thứ nhất là thế thực
đặc trưng cho kênh tán xạ đàn hồi và thành phần thứ hai là thế động học phân cực
mà thành phần ảo của thế này mô tả sự hụt dòng tới sinh ra từ các kênh tán xạ phi
đàn hồi. Cho đến ngày nay đa số các thế quang học thu được từ mẫu hiện tượng
luận hoặc mẫu vi mô. Mẫu hiện tượng luận sử dụng phương pháp khớp số liệu
thực nghiệm được sử dụng để mô tả tán xạ đàn hồi nucleon-hạt nhân (NA) cho
các hạt nhân cầu (hoặc hạt nhân lân cận) có số khối 24 < A < 209 trong khoảng
năng lượng hạt nuclcon tới từ 1keV đến 200 MeV[1]. Sự thành công của mẫu hiện
tượng luận tạo đã nên một sự kích thích để các mẫu vi mô thực hiện các cải tiến
để thu được kết quả phù hợp hơn với thực nghiệm. Tuy nhiên để mô tả các hạt
nhân nằm ở xa đường bền như là các hạt nhân được tạo ra từ các chùm ion phát
ra từ các máy gia tốc tiên tiến, nơi mà chúng ta chưa có số liệu thực nghiệm, mẫu
hiện tượng luận có thể đưa ra những tiên đốn khơng chính xác. Hơn thế nữa để
hiểu rõ hơn về cấu trúc hạt nhân thông qua phản ứng hạt nhân và ngược lại chúng
ta cần tính thế quang học từ những yếu tố cơ bản nhất. Thật không may đây không
phải là một nhiệm vụ dễ dàng.
Rất nhiều các mẫu vi mô khác nhau đã được đề xuất để mô tả một cách định
lượng và tiên lượng cấu trúc và phản ứng: mẫu vật chất hạt nhân [2], [3], [4]; mẫu
cấu trúc hạt nhân [5], [6], [7]; mẫu bán vi mô [8], [9]; mẫu dựa trên năng lượng
tự hợp [10]; mẫu liên hợp vật chất và cấu trúc hạt nhân [11], [12]; xấp xỉ đa kênh
[13], [14]; phương pháp Faddeev RPA[15]. Mẫu vật chất hạt nhân có thể mô tả

tốt số liệu thực nghiệm ở năng lượng hạt tới lớn hơn 50 MeV [4], ở mức năng
lượng dưới 50 MeV, các nghiên cứu tán xạ đàn hồi nucleon-hạt nhân cho 208Pb đã
được thực hiện từ những năm 1979 [6]. Thế quang học phi định xứ được tính từ
xấp xỉ tương tác hạt dao động (Particle-Vibration Coupling, được viết tắt là PVC)


2
sử dụng lực tương tác nucleon-nucleon hiệu dụng Skyrme SIII [16], Tuy nhiên, tỉ
số tiết diện tán xạ hấp thụ quan sát được so với số liệu thực nghiệm là chưa tốt
bởi vì phần hấp thụ của thế quang học tại bề mặt cũng như là bên trong hạt nhân
là rất nhỏ. Khi sử dụng các biến thể khác của tương tác Skyrme mà các tham số
của tương tác thu được từ việc làm khớp số liệu thực nghiệm phân bố góc của tán
xạ đàn hồi, Pilipenko [11], [12] đã thu được các kết quả phù hợp với rất nhiều hạt
tại năng lượng tới dưới 50 MeV. Dựa trên xấp xỉ tương tác hạt dao động liên tục
[17] (continuum Particle-Vibration Coupling, được viết tắt là cPVC) với lực
SkM*, Mizuyama [7] đã giải thích thành cơng 85% tiết diện tán xạ đàn hồi của
phản ứng nuclcon-16O tại năng lượng tới dưới 30 MeV. Điểm mạnh của xấp xỉ
cPVC so với xấp xỉ PVC là vùng phổ đơn hạt liên tục được xử lý một cách chính
xác. Điểm yếu của xấp xỉ cPVC là xấp xỉ này không phân biệt được sự khác nhau
giữa các phonon dao động hay không dao động tập thể. Mặt khác, trong các tính
tốn ở cơng trình [7] Mizuyama và các cộng sự đã không đưa vào thế bậc hai để
hiệu chỉnh nguyên lý Pauli bị vi phạm trong xấp xỉ pha ngẫu nhiên (Random Phase
Approximation, được viết tắt là RPA). Ngoài ra, như chúng ta đã biết các trạng
thái dao động tập thể ở vùng năng lượng thấp như là các trạng thái 3- và 4+ có
đóng góp quan trọng nhất cho sự hấp thụ của thế quang học [6], Tuy nhiên, xấp
xỉ RPA mô tả các trạng thái ở vùng năng lượng này tốt hơn kết quả thu được từ
xấp xỉ cRPA. Ví dụ, trong khi giá trị thực nghiệm của xác suất dịch chuyển điện
của trạng thái kích thích 4+ của 280Pb là 1.55 x107e2fm8 thì giá trị thu được khi sử
dụng cRPA là 0.516 x 107e2fm8 và giá trị này rất nhỏ khi so sánh với giá trị 1.480
x 107e2fm8 thu được khi sử dụng RPA (xem bảng 3.1 trong cơng trình của chúng

tơi). Cũng cần lưu ý rằng, các tính tốn cRPA (continuum RPA) cũng như cPVC
trong cơng trình [7] đã bỏ qua các số hạng phụ thuộc spin hai hạt, số hạng spinquỹ đạo và số hạng Coulomb. Thành phần phụ thuộc vào vận tốc của tương tác
hạt-lỗ của cPVC (mô phỏng tương tác tầm ngắn) cũng được tính một cách gần
đúng bằng xấp xỉ Landau-Migdal. Trong khi đó, Cao và các cộng sự [18] đã cố
gắng hoàn thiện xấp xỉ PVC bằng cách xử lý một cách đầy đủ tương tác hạt-lỗ.


3
Cả xấp xỉ PVC và cPVC đều có ưu và nhược điểm riêng. Vì chúng tơi muốn
xây dựng thế quang học phi định xứ (bao gồm thế bậc hai) từ tương tác hạt dao
động tự hợp dựa theo lý thuyết phiếm hàm mật độ phụ thuộc năng lượng Skyrme
cho nên chúng tôi sử dụng xấp xỉ PVC. Thế quang học vi mô thu được sẽ được
dùng để mô tả tán xạ đàn hồi nucleon lên bia hạt nhân 280Pb ở các mức năng lượng
tới dưới 50 MeV mà khơng có bất kì tham số nào được hiệu chỉnh của thế quang
học. Luận văn này được cấu trúc như sau. Chương 1; mô tả vi mô cấu trúc bia hạt
nhân. Chương 2: chúng tôi mô tả chi tiết việc xây dựng thế quang học phi định
xứ. Chương 3: chúng tôi nêu lên kết quả thu được hiện tại và kết luận.


4
Chương 1: Mô tả vi mô cấu trúc bia hạt nhân
1.1. Xấp xỉ Hartree-Fock (HF)
Xấp xỉ Hartree-Fock, cũng như các xấp xỉ khác trong lý thuyết hệ nhiều hạt,
ban đầu được sử dụng để nghiên cứu vật lý nguyên tử. Như chúng ta đã biết hạt
nhân có rất nhiều điểm chung với nguyên tử. Nhưng không giống các electron
trong nguyên tử, các nucleon trong hạt nhân tương tác với nhau bằng lực hạt nhân
tầm ngắn và không chuyển động trong trường xuyên tâm như các electron. Khi
ứng dụng lý thuyết hệ nhiều hạt của vật lý nguyên tử hoặc vật lý chất rắn cho hệ
hạt nhân, chúng ta thường gặp nhiều khó khăn vì hệ hạt nhân có các đặc tính riêng
biệt ví dụ như là lực đẩy ở tầm ngắn hoặc số các nucleon trong hạt nhân là hữu

hạn. Tuy nhiên, xấp xỉ HF được sử dụng lần đầu tiên để mô tả hộ hạt nhân vào
năm 1963 bởi Kelson [19] đã đạt được các thành tựu to lớn và là nền tảng của các
mẫu hạt nhân phát triển sau này.
1.1.1. Trường trung bình
Cơ sở của lý thuyết trường trung bình là giả thuyết các nucleon chuyển động
độc lập trong một thế trung bình được tạo ra bởi tất cả các nucleon. Các loại thế
này có thể là thế bán thực nghiệm như thế của mẫu vỏ. Trong lịch sử, thế của mẫu
vỏ được xây dựng để cố gắng mơ tả các số magic. Thật vậy, ngồi tương tác xuyên
tâm, việc đưa vào tương tác spin-quỹ đạo lần đầu tiên bởi Jensen và GoeppertMayer vào năm 1949 đã mô tả được toàn bộ số magic. Các thế bán thực nghiệm
được sử dụng rộng rãi nhất là :
 Thế Nilsson [20], [21] dược sử dụng trong mẫu đơn hạt đầu tiên có xét đến
sự biến dạng của hạt nhân. Thế này được cấu tạo bởi một thế dao động tử điều
hòa đối xứng trục, một thế tương tác spin-quỹ đạo và một hệ số hiệu chỉnh tỉ lệ
với
VNilsson 







m
  x 2  y 2    z z 2   2k 00 l .s   l 2  l 2  ,

2

(1.1.1)

trong đó ,  là các tham số của thế được hiệu chỉnh riêng biệt cho proton

và neutron, 00 là hằng số dao động điều hòa của hạt nhân cầu,  là hằng số dao


5
đ ộng điều hòa của hạt nhân theo các trục OX, OY và Z là hằng số dao động điều
hòa của hạt nhãn theo trực OZ.
 Thế Woods-Saxon [22]
VWS (r ) 

V0
1  e( r  R )/ a '

(1.1.2)

Trong V0 là độ sâu của giếng thế, R là bán kính hạt nhân, a là độ dày khuếch
tán bề mặt.
Tuy nhiên các thế bán thực nghiệm trên có thể thu được từ một cách vi mô tương
tác hai hạt bằng nguyên lý biến phân sử dụng trong xấp xỉ HF.
1.1.2. Nguyên lý biến phân. Phương trình HF
Lý thuyết HF giả thiết rằng hàm sóng hạt nhân A là một tích phản đối xứng
A hàm sóng đơn hạt độc lập . Việc phản đối xứng hóa hàm sóng dẫn đến việc
chuẩn hóa định thức Slater dưới dạng

(1.1.3)
Nguyên lý biến phân
Xét một hộ gồm A hạt được mơ tả bởi tốn tử Hamilton H và hàm riêng
 A tuân theo phương trình Schrodinger
 A = E  A.

(1.1.4)

Nguyên lý biến phân của Ritz cho rằng phương trình (1.1.4) tương đương
với phương trình biến phân
 E   A   0, trong đó E 

 A Hˆ  A 
 A  A 

(1-1.5)


6
Nguyên lý biến phân phù hợp với việc xác định trạng thái cơ bản của hệ. Ta
có thể chỉ ra rằng với bất kì hàm sóng thử |Ψ𝑖  thì E   i  > E0, với E0 luôn nhỏ
hơn nghiệm biến phân.
Phương trình Hartree-Fock
Để thu được phương trình Hartree-Fock ta giả sử rằng tồn tại một thế trung
bình (thế Hartree- Fock) mà hàm riêng của thế ứng với năng lượng thấp nhất và
gần bằng với năng lượng chính xác của trạng thái cơ bản. Hàm riêng này là định
thức Slater được biểu diễn dưới dạng
Ψ𝐴  =

A



ai+0,

(1.1.6)

i1

trong đó các toán tử ai† là các toán tử sinh hạt tương ứng với các hàm sóng
đơn hạt Φ𝑖 của hệ A hạt và |0 là chân không. Định thức Slater được mô tả bởi ma
trận mật độ
ij = Aai+aiA.

(1.1.7)

Trong tập hợp các định thức Slater là hàm thử i, bao gồm A hàm sóng đơn
hạt bất kì nhưng trực giao, chúng ta sẽ cực tiểu hóa giá trị trung bình của
Hamiltonian
̂=𝐾
̂ + 𝑉̂ ,
𝐻

(1.1.8)

̂ là toán tử động năng và 𝑉̂ là tương tác hiệu dụng giữa hai
trong đó 𝐾
hạt.Trong phép lượng tử hóa thứ cấp Hamiltonian có dạng
̂=
𝐻

1

 k a a + 4 V
ij

†

j i

ij

a † a j † al ak

ijkl i

(1.1.9)

ijkl

trong đó Vijkl là yếu tố ma trận phản đối xứng của Vˆ . Sử dụng định lý Wick, năng
lượng Hartree-Fock: EHF = (A Hˆ A  thu được có dạng phiếm hàm của mật
độ đơn hạt như sau (chi tiết xem cơng trình [23], [24])
EHF[] =

k 
ij

ij

ji

+

1
2

 V

kj ijkl li

ijkl

= Tr( Kˆ  ) +

1
TrTr( V ).
2

(1.1.10)


7
Sự biến phân năng lượng của phương trình (1.1.10) dẫn đến biểu thức
EHF = EHF[ + ] – EHF[] =

 h 
ij

ij

(1.1.11)

ij

Với ma trận hermit
hij =

EHF [  ]
,
ij

(1.1.12)

được liên kết với toán tử Hamilton đơn hạt (Hatree-Fock)
hˆHF  kˆ  VˆHF .

(1.1.13)

Từ phương trình (1.1.10) ta thấy VˆHF  Tr ( V ) là trường hợp thu được từ
tương quan giữa thế hai hạt và phân bố mật độ. Trong cơ sở chính tắc, nơi mà 
có dạng đường chéo, các yếu tố ma trận của VˆHF cho bất kì trạng thái đơn hạt i, j
có dạng: i VˆHF j =



k

ik Vˆ jk , trong đó chúng ta lấy tổng tất cả các trạng thái

bị lấp đầy .
Điều kiện EHF = 0 tương đương với
[ hˆHF , ˆ ] = 0

(1.1.14)

Đây là một phương trình phi tuyến tính vì Hˆ HF phụ thuộc vào mật độ ˆ . Điều
này cũng cho ta biết rằng hˆHF và ˆ có chung trị riêng và có thể được chéo hóa một

cách đồng thời. Trị riêng của ˆ hoặc là các trạng thái bị lấp đầy (trị riêng bằng 1)
hoặc là trạng thái khơng bị lấp đầy (trị riêng bằng 0). Ta có thể tự do chọn lựa cơ
sở chính tắc để xác định cơ sở HF và để chéo hóa Hamiltonian Hatree-Fock. Diều
này dẫn đến phương trình (1.1.14) thành bài tốn trị riêng cần giải như sau
hˆHF i  = eii ,

(1.1.15)

trong đó ei được gọi là năng lượng đơn hạt.
Phương trình (1.1.14) có thể giải bằng phương pháp lặp. Ta bắt đầu bằng
việc chọn Hamil¬tonian đơn hạt với một thế hạt nhân hợp lý (ví dụ như thế Wood-


8
Saxon). Sau đó, ta chéo hóa Hamiltonian để tìm các vectơ riêng của nó. Những
vectơ riêng này cho phép xác định ma trận mật độ và cho phép xây dựng thế HF
tự hợp tương ứng với tương tác hiệu dụng, Sự hội tụ đạt được khi các thế không
đổi trong hai bước lặp liên tiếp.
1.1.3. Tính tốn số
Về ngun tắc, ta có thể thu được thế đơn hạt từ tương tác hai hạt thuần túy
bằng phương pháp Hatree-Fock. Tuy nhiên, việc tính tốn yếu tố ma trận và chéo
hóa khi sử dụng các tương tác này quá khổng lồ và khơng thể thực hiện được. Vì
vậy để đơn giản hóa vấn đề này, chúng ta giả thiết rằng các nucleon tương tác với
nhau bằng một thế hiệu dụng.
Tương tác Skyrme
Vào năm 1956, Skyrme đã đưa ra một lực hiệu dụng với số hạng ba hạt [25], [26]
V=

V (i, j) +  V (i, j, k ) ,

(1.1.16)

V(1,2,3) = tЗ ( r1  r2 ) ( r2  r3 ).

(1.1.17)

i j

i  j k

Số hạng ba hạt này hoàn toàn định xứ và là lực đẩy, có xu hướng sắp xếp
spin song song. Điều này mâu thuẫn với các tính chất tương tác cặp và bão hịa
spin trong hạt nhân. Vì thế, để vượt qua khó khăn này, Vautherin và Brink [27],
[28] thay thế tương tác ba hạt này bằng một tương tác hai hạt phụ thuộc vào mật
độ
V(1, 2, 3)  V(1,2) =

r r
1
t3(1 +x3 p)00( 1 2 ) ( r1  r2 ).
6
2

(1.1.18)

Dạng tương tác Skyrme [29] được sử dụng phổ biến nhất hiện nay có dạng
VSky(l, 2) = t0{l + x0)  ( r1  r2 )  số hạng xuyên tâm
1
2

+ t1(1+x1p) [( r) k2 +k’2 (r)] +t2 (1 + x2p)k’(r)k  số hạng phi định xứ
+ iW0( ( 1   2 ) . K’  ( r1  r2 )k  số hạng spin – quỹ đạo
(1.1.19)


9
+

r r
1
t3 (1 + x3p) 00( ( 1 2 )  ( r1  r2 ),  số hạng phụ thuộc mật độ
6
2

trong đó k

1
( 1   2 ) là toán tử xung lượng tương đối, k’ là liên hợp Hermit của
2i

k, và pˆ  =

1
(1  ˆ1.ˆ 2 ) là toán tử trao đổi spin. Các tham số t0,t1,t2,t3, x1, x2,x3, W0
2

được khớp với dữ liệu thực nghiệm.
Trong lịch sử có nhiều lực khác nhau như là Skyrme I, II, III ... Trong đó hai
lực SI và SII, được đưa ra bởi Vauthcrin và Brink [27]. Với lực SII, ta có thể mơ
tả năng lượng liên kết và bán kính hạt nhân trên tồn bộ bảng tuần hồn. Các lực

tiếp theo là SIII-SVI được tìm ra bởi Beiner [16] bằng việc làm khớp khối lượng
và bán kính điện tích của các hạt nhân hình cầu với số liệu thực nghiệm.
Ngồi các lực từ SI đến SVI, thì cịn có nhiều lực khác: lực SkM của Krivine
[30] mơ tả rất tốt các mơmen đa cực và bán kính điện. Tuy nhiên lực này chỉ mô
tả rào phân hạch rất thấp. Phiên bản cải tiến của SkM là SkM*[31] được sửa đổi
để mơ tả rào phân hạch chính xác của 240pu . Lực T6 của Tondeur [32] xét đến độ
rộng của lớp da neutron trong

Pb và giả sử rằng khối lượng hiệu dụng của

280

nucleon bằng với khối lượng của hạt tự do. Lực SkP [33] mô tả tốt dữ liệu trong
kênh hạt-hạt. Lực SLy4 [34] và SLy5 [29] được đưa ra bởi Chanabat được sử
dụng rộng rãi nhất vì nó mơ tả tốt các tính chất phổ của các hạt nhân cách xa
đường bền .
Lực Skyrme với tầm tương tác bằng khơng đã đơn giản hóa một cách đáng
kể việc tính tốn và mơ tả khối lượng và bán kính của hầu hết các hạt nhân trong
bảng tuần hoàn với bộ tham số hợp lý. Đến nay lực này được sử dụng một cách
rộng rãi trong các tính tốn Hatree-Fock.
Phiếm hàm năng lượng Skyrme
Năng lượng toàn phần của một hạt nhân là tổng của động năng, thế năng và
năng lượng Coulomb
E = i  Hˆ Ψi  =  dr tot (r ) ,

(1.1.20)


10
Trong đó phiếm hàm năng lượng tồn phần Htot (r) là tổng của phiếm hàm

Skyrme, động năng và năng lượng Coulomb
Htot (r) = HSky(r) + Hkin (r) + HCoul (r)

(1.1.21)

Với định thức Slater (1.1.3), do sự đối xứng nghịch đảo thời gian HSky(r) có
thể được phân tích thành
HSky(r) = Hvol (r) + Hsurf (r) + Hso(r)

(1.1.22)

Htot (r) là một hàm với ba số hạng
 Mật độ nucleon
(r) =

  (r ,  )

2

i

,

(1.1.23)

i,

* mặt độ năng lượng động năng
k (r) =

  (r, )
i

2

,

(1.1.24)

i,

 Mật độ spin – quỹ đạo
J ( r ) = (-i)



*
i

(r ,  ) [i (r ,  ' )    ’.

(1.1.25)

i , '

Các tổng ở trên đều được lấy trên tất cả trang thái đơn hạt bị lấp đầy.
Các số hạng xuất hiện trong phương trình (1.1.22) có thể được biểu diễn
theo các dạng sau

Hkin (r) =

Hvol (r) =

+

2m

k,

(1.1.26)

1
1
1 1
1 1
1 1
t0 (  x0 )  2  t0 (  x0 )  2  t3 (1  x3 )    2  t3 (  x3 )  
2 2
2 2
2
2
2 2

1
1
1 
1 1
1

t1 (1  x1 )  t2 (1  ) x2    t1 (  x1 )  t2 (  x2 ) 


4
2
2 
4 2
2


 

2

   , (1.1.27)


11
Hsurf(r) =

1 
1
1
1 1
1


3t1 (1  x1 )  t2 (1  x2 )   2    3t1 (  x1 )  t2 (  x2 ) 

16 
2
2 

6
2
2


  


2

1
2

Hso(r) =  W0 ( J   J ) ,

t

(1.1.28)
(1.1.29)



với  = n + p là tổng mật độ,    n   p là tổng mật độ động năng và
J  J n  J p là tổng mật độ spin, trong đó n, p tương ứng lần lượt là neutron và

proton.
Phiếm hàm năng lượng Coulomb cấu tạo từ hai số hạng. Số hạng trực tiếp
phụ thuộc vào mật độ proton  p . Số hạng trao đổi được tính bằng cách sử dụng
xấp xỉ Slater (cơng trình [35],[36])
1/3

1
3e2 3
HCoul (r) = VCoul     p4/3
2
4  

(1.1.30)

trong đó e là điện tích electron và thế Coulomb được cho bởi
VCoul (r)  e2  d (r )

 p (r ' )
r  r'

(1.1.31)

1.2. Xấp xỉ pha ngẫu nhiên
Dưới kích thích của hạt nucleon đến, trạng thái cơ bản của bia hạt nhân
chuyển lên các trạng thái kích thích dao động tập thể ở biên độ nhỏ. Các trạng thái
kích thích này được mơ tả bởi xấp xỉ pha ngẫu nhiên RPA (Random Phase
Approximation). Như chúng ta đã biết một mơ tả hồn chỉnh cấu trúc hạt nhân
phải tính đến các tương quan cao hơn trường trung bình HF. Trong đó, cùng với
tương tác cặp, sự dao động tập thể của các nucleon trong hạt nhân là những tương
quan quan trọng nhất. Trong lịch sử, phương pháp xấp xỉ RPA [37] được phát
triển bởi Bohm và Pines (1953) để mô tả các dao động của plasma trong khí gas


12
electron. Những líng dụng dầu tiên của RPA trong vật lý hạt nhân được thực hiện

bởi Ferrel (1957) trong phạm vi của lý thuyết TDHF (Time-Dependent HF) để
mô tả những dao động đơn cực của hạt nhân 16o. Những phiên bản hồn chỉnh để
mơ tả cấu trúc hạt nhân được phát triển bởi Barange (1960), Sawicki (1961),
Thoulcss (1961) và Colò (2013).
1.2.1. Phương trình Random Phase Approximation (RPA)
Sau khi giải phương trình HF (1.1.15) chúng ta sẽ thu được phổ năng lượng
đơn hạt tương ứng. Chúng ta kí hiệu  = {na, la, ja,ma } là một trạng thái đơn hạt
tổng quát vối số lượng tử chính na, số lượng tử quỹ đạo la và mơ men góc tổng
cộng ja, điện tích qa và hình chiếu lên phương z của mơ men góc tổng cộng ma.
Các tốn tử sinh và hủy hạt tương ứng là c† và c . Các trạng thái bị lấp đầy (khơng
bị lấp đầy) sẽ được kí hiệu là a = i, j... (a = m,n,...). Toán tử sinh một cặp hạt lỗ
với động lượng góc tổng cộng và hình chiếu của nó lên trục Oz J M là
†
Qmi
(JM) 

j

j mm  mi JM c †jm mn ( 1) ji  mi c ji mi ,

m i

(1.2.1)

mm , mi

trong đó cả trạng thái m và i đều có cùng điện tích. Trong xấp xỉ RPA, các
trạng thái kích thích | v thu được từ việc tác động các toán tử Ov† lên trạng thái cơ
bản 0
v  Ov† 0 ,

(1.2.2)

Và các tốn tử RPA này có thể được biểu diễn theo các toán tử Q† và Q (được
định nghĩa trong tài liệu [23])
(v) †
Ovt   X mi
Qmi ( JM )  Ymi( v )Qmi ( JM ) ,

(1.2.3)

mi

̃ kí hiệu nghịch đảo thời gian của JM. Giả sử rằng trạng thái cơ
Trong đó 𝐽𝑀
bản RPA là chân khơng cho các tốn tử Ov, chúng ta biết rằng các biên độ Xv, Yv
là các véc tơ riêng của ma trận đặc trưng RPA
B   X (v) 
 X (v) 
 A
E
=
,

  (v) 
v
(v) 
Y
 B  A   Y 




(1.2.4)


13
và trị riêng Ev, tương ứng là năng lượng kích thích của các trạng thái RPA. Nếu
chiều của khơng gian cấu hình hạt-lỗ là N, thì biểu thức mơ tả các ma trận A va B
đối xứng có kích thước N X N có dạng
Ami ,nj  (m  i ) mn ij   mi Vres in
Bmi ,nj   mn Vres ij .

(1.2.5)
(1.2.6)

Yếu tố ma trận tương tác hạt-lỗ của tương tác thặng dư Vres trong các phương
trình (1.2.5) và (1.2.6) được định nghĩa như sau:
 ab Vres cd       b

j  mb  jc  mc

j

j ma  mc JM  jd jb md  mb JM 

a c

allm

 ja ma , jb mb Vres jc mc , jd md 

.(1.2.7)

Các kích thích trao đổi điện tích khơng được tính đến trong trong xấp xỉ RPA
mà chúng tôi đang sử dụng. Cho nên các cặp kích thích hạt-lỗ sẽ được tạo nên bởi
các nucleon có cùng điện tích và chúng tơi sẽ ký hiệu bàng q và q' cho điện tích
của hai cặp mi và nj. Dựa theo đó tương tác dư được ký hiệu là Vresqq ' . Nếu tương
tác dư V khơng phụ thuộc mật độ thì tương tác dư đơn giản chỉ là sự phản đối
xứng của tương tác hạt-lỗ V(1 — P12), trong đó P12 là tốn tử trao đổi hạt 1 và hạt
2. Tuy nhiên lực Skyrme (được mơ tả bởi phương trình (1.1.19)) phụ thuộc vào
mật độ nên ta cần một biểu thức tổng quát hơn
Vresqq ' 

 2E
 q q '

(1.2.8)

trong đó E là phiếm hàm năng lượng HF. Nếu với các số hạng t0, t1,t2 và số
hạng spin-quỹ đạo W0 của lực Skyrme thì các biểu thức được cung cấp bởi phương
trình (1.2.8) phù hợp với dạng V(1 – P12), nhưng điều này lại không đúng với t3
(số hạng phụ thuộc vào mật độ). Để tương thích với tính tốn HF, số hạng trực
tiếp của tương tác Coulomb được xét đến một cách chính xác trong khi đó số hạng
trao đổi rút ra từ phương trình (1.2.8) được tính tốn bằng xấp xỉ Slater.


14
Để thu được các trạng thái dao động từ dữ liệu đầu ra của tính tốn HF thì
chúng ta làm các bước sau:
1. Ứng với mỗi giá trị J  chúng ta xây dựng cơ sở N chiều của cấu hình hạtlỗ {mi} gắn liền với tốn tử của phương trình (1.2.1);

2. Xây dựng các yếu tố ma trận được xác định bởi các phương trình (1.2.5)
và (1.2.6);
3. Chéo hóa ma trận RPA (1.2.4). Việc chéo hóa ma trận kích thước 2N ×
2N được rút gọn thơng qua thuật tốn được sử dụng trong cơng trình [38];
4. Tính các đại lượng liên quan với các trạng thái kích thích v trong phương
trình (1.2.4): các biên độ dịch chuyển liên quan tới toán tử Fˆ cho sẵn, các cường
độ và mật độ dịch chuyển. Các đại lượng này được thảo luận trong phần 1.2.2..
Về nguyên tắc, với xấp xỉ RPA chúng ta có thể xây dựng ma trận RPA và
chéo hóa các ma trận này với giá trị spin và độ chẵn lẻ bất kì. Tuy nhiên, trong
các tính tốn hiện tại chúng tôi chỉ sử dụng là các trạng thái chẵn lẻ tự nhiên
(natural parity)   (1) J
1.2.2. Cường độ và biên độ dịch chuyển
Sau khi các phương trình RPA được giải vói giá trị J  cho trước, chúng ta
thu được các trị riêng và các véctơ riêng cho tất cả các trạng thái dao động v. Các
trạng thái dao động bị kích thích dưới tác động của trường ngồi - có thể là trường
điện từ hay trường hardon. Trường ngồi của đồng vị vơ hướng  FˆJ( IS )  và đồng vị
vectơ  FJIV  với đa cực J được định nghĩa
A

FˆJ( IS )   f J (ri )YJM (rˆi ) ,

(1.2.9)

i 1

A

FˆJ( IV )   f J (ri )YJM (rˆi ) z (i ) ,

(1.2.10)

i 1

trong đó phép tính tổng chạy trên tất cả các nucleon và  z (i) hình chiếu lên
phương z của toán tử spin đồng vị của nucleon thứ i. Hàm fJ(ri) là bất kì, thường


15
tương ứng với hàm cầu Bessel cho trường điện từ ngoài hoặc tỉ lệ với r J trong
giới hạn bước sóng dài.
Một cách tổng quát, cường độ dịch chuyển (rút gọn) được cho bởi
B ( EJ , i  f ) 

1
2
 f FˆJ i  ,
2Ji  1

(1.2.11)

trong đó  f FˆJ i là yếu tố ma trận rút gọn của FˆJM Trong trường hơp này,
trạng thái ban đầu là trạng thái cơ bản RPA với động lượng góc bằng không. Với
các trạng thái v được mô tả trong phần 1.2.1. trở thành



  X   Y

B E, J , 0  v 

(v)
mi

(v)
mi

.

(1.2.12)

S ( E )    FˆJ 0 2   E  Ev  ,

(1.2.13)

mi

Hàm cường độ được định nghĩa như sau

v

và hàm này là tổng của các hàm delta trong không gian cấu hình RPA.
Mơmen của nó là
mk   dEE k S ( E )    FˆJ 0 2 Evk .

(1.2.14)

v

Trong số các mơmen này, mơmen tuyến tính m1 hay được gọi là quy tắc lấy
tổng trọng số năng lượng (Energy Weighted Sum Rule, viết tắt là EWSR) đóng

vai trị quan trọng nhất vì theo dịnh lý Thouless [39] giá trị của nó bằng một nửa
giá trị trung bình của giao hoán tử kép  Fˆ ,  Hˆ , Fˆ   trong trạng thái Hartree-Fock.


16
Chương 2: Tán xạ đàn hồi nucleon-hạt nhân
2.1. Thế quang học vi mơ
Thế quang học Vopt trong tính tốn của chúng tơi có dạng
Vopt  VHF   ( ) ,
1
2

Với  ( )  ( )   (2) ( ) ,

(2.1.1)

trong đó VHF là thế thực, khơng phụ thuộc năng híợng.  là thế phức, phi
định xứ và phụ thuộc năng lượng của hạt tới mà phần ảo của nó đặc trưng cho sự
hấp thụ. (2) là thế bậc hai được đưa vào để hiệu chỉnh nguyên lý Pauli bị vi phạm
trong các tính tốn RPA, và  là năng lượng của nucleon tới. Sử dụng khai triển
sóng riêng phần ta được:
†
  r , r ' ',     yljm  rˆ,   lj  r , r ',   yljm
 rˆ, ' ,

(2.1.2)

ljm

trong đó  lj được cho bởi:

†
ˆ ˆ 'yljm
lj  r , r ',      drdr
 rˆ,     r , r ' ',   yljm  rˆ ',  ' ,

(2.1.3)

 , '

với ylj  rˆ,   là thành phần spin-góc. Dể đơn giản chúng ta sử dụng các quy
ước như sau:
ˆ   , l , j , m , q    , m , q   các trạng thái đơn hạt tổng quát;





aˆ   , l , j , m , q   a, ma ,q a  các trạng thái đơn hạt bị lấp đầy; (2.1.4)





Aˆ  A , l A , j A , m A , q A   A, m A ,q A   các trạng thái đơn hạt khơng bị lấp đầy;

trong đó
• các chữ khơng có mũ: loại trừ các; thành phần thứ ba của động lượng góc;
• các chữ có mũ: bao gồm các thành phần thứ ba của động lượng góc;
• các chữ La Mã ,,..các trạng thái đơn hạt tổng quát;

17
• các chữ Latin A, B,...: các trạng thái đơn hạt khơng bị lấp đầy của tính tốn
HF;
• các chữ Latin a, b,...: các trạng thái đơn hạt bị lấp đầy của tính tốn HF.
Giả sử các hạt nhân là đối xứng cầu, các hàm sóng đơn hạt ˆ  r ,  , q  có thể
được khai triển thành tích của một hàm theo bán kính u  r  , một thành phần spin
góc yˆ  rˆ,   và một hàm spin đồng vị  q ( )
ˆ  r ,  , q  

u ( r )
yˆ  rˆ,    q   ,
r

(2.1.5)

trong đó
y  rˆ,    Y (rˆ)   ( ) ˆ .

(2.1.6)

Ta khai triển   r , r ' ',   trên cơ sỏ của hàm sóng đơn hạt
  r , r ' ',      r ,  , q       †  r ',  ', q  ,

(2.1.7)

 ,

trong đó , chạy trên toàn bộ tập hợp các trạng thái đơn hạt. Thay phương
trình (2.1.7) vào phương trình (2.1.3) ta thu được

lj  r , r ',   



 ,  , m

ulj (r )
r

 , ljm     , ljm



ulj  (r ')

.(2.1.8)

r'

Sử dụng định lý Wigner – Eckardt ta có
lj  r , r ',    ˆj



 ,  ,

ulj (r )
r

 , lj     , lj



ulj  (r ')
r'

 ˆj 

 ,

ulj (r )
r

  
( lj )

ulj( ) (r )
r'

.

(2.1.9)
( lj )
Yếu tố ma trận 
  có dạng:


 V A, nL A, nL V  
 V a, nL a, nL V   
lj


 
   ˆj1 ˆj1  
,






i







i

nL
,
A

F
nL
,
a

F

A
nL
a
nL



(2.1.10)


18
Trong đó nL là năng lượng phonon với độ đa cực L. các yếu tố ma trận tút
gọn i V j , nL được tính bằng code của cơng trình[18],[40]. Trong các tính tốn
PVC, các số hạng xun tâm và phụ thuộc mật độ của tương tác dư Skyrme V
được thực hiện. Hiện tại nhóm chúng tơi chưa đưa vào các số hạng phi xuyên tâm
như số hạng spin – quỹ đạo của hai hạt và các số hạng tensor của V. Vì các năng
lượng đơn hạt bị gián đoạn, tham số   1.5 MeV được đưa vào tính trung bình các
thế  và (2).
Các tính tốn của thế bậc hai (2) tương tự như 

     , lj
(2)(lj)

(2)    , lj


Lˆ2VL  cAC  VL   cAC 
Lˆ2VL  daD  VL   daD  
 ˆj1 ˆj1  
 


cC , A F   A  C  c   i dD ,a  F   a  D  d   i 

(2.1.11)
Trong đó VL  ihjp  là các yếu tố ma trận của tương tác hạt- lỗ, và Lˆ  (2 L  1)1/2
2.2. Giải phương trình Schrodinger
Thế quang học phi định xứ (2.1.11) được đưa vào phương trình Schrõdinger
để mơ tả tán xạ đàn hồi của neutron tới với năng lượng  và khối lượng m. Giả
sử hàm sóng của nucleon tới là
 (r ,  ;  )  
ljm

ulj (r ,  )
r

yljm  rˆ,   .

(2.2.1)

Phương trình Schorodinger được giải có dạng
2
2




2
3







 .  VHF     (r ,  ;  )      r , r';    (r ',  ;  )d r ' ,


2
m
(
r
)
2
m
(
r
)





(2.2.2)
Trong đó m là khối lượng hiệu dụng. Thế VHF được rút ra từ tính tốn HF.
Sử dụng cơng trình[41], để khử đạo hàm bậc nhất, từ phương trình (2.2.2) ta
khai triển


19
1/2

 m (r ) 
  r, ;   
   r ,  ;    f (r )  r ,  ;   ,
 m 

Với m 

(2.2.3)

A
m p các hàm sóng  và  có cùng tính chất tiệm cận vì giá trị
A 1

m ( r )
tiến tới 1 khi r   . Bây giờ ta viết lại phương trình (2.2.2) cho hàm sóng
m

. Số hạng đầu tiên bên trái của phương trình (2.2.2)


2

 

2

2



2m (r )

2m

f

2

 f     2m f
2

2





 f 2   2 f  2f .  ,(2.2.4)



Số hạng thứ hai của vế bên trái


2

2

 

2





.   
f 2  . f   
f 2 . f  f  .


2m
2m
2m

(2.2.5)

Từ hai phương trình (2.2.4) và (2.2.5), phương trình Schodinger cho  có
dạng


2

 f 1 2    f 2 2 f  f 2f     [VHF   ] f        r , r ';   f d 3r '.

2m 

(2.2.6)
Bằng cách nhân cả hai vế với f (r ) , ta có



2


2
2  
( f 1 2 f  2 f 2 f )  f 2VHF   f 2      
2m
 2m

2

  f     r , r ';   f d 3r ',

(2.2.7)

Cuối cùng ta thu được phương trình


2

2m

 2   r ,  ;    VHF (r;  )      r ,  ;     f (r )     r , r ';   f (r ')  r ',  ;   d 3r '

(2.2.8)
Phương trình vi tích phân này có
 Một thế định xứ, thực và phụ thuộc năng lượng:

20
VHF  r;    

f
2m
2

1

 2 f  2 f 2 f

2

  f V   1  f   f V
2

2

0

2

s .o

 r  l .s (2.2.9)

 V1  V2l .s ,

Với các đại lượng f (r ),V0 (r ),Vs.o (r ) được tính trong code SHF [42].

 Một thế phi định xứ, phức và phụ thuộc năng lượng
f  r '     r , r ';   .

(2.2.10)

Sau khi khai triển sóng riêng phần cho hạt nhân cầu ta thu được phương
trình vi tích phân



 d 2 l (l  1) 

ulj (r )  [VHF  r ;     ]ulj (r )  rf (r )   lj  r , r ';   f (r') r'u lj (r ')dr '  0


2
2
0
2m  dr
r 
2

(2.2.11)
Trong đó VHF được cho bởi phương trình (2.2.9), ulj (r ) là hàm bán kính
của  .
Phương trình (2.2.11) có thể giải bằng phiên bản code DWBA98 [43].
Code này được sử dụng để giải phương trình vi tích phân sau ( phương
trình (V-5) trong tài liệu hướng dẫn sử dụng code DWBA98)
 d2 
l (l  1)

d
d2 





V
(
r
)

V
(
r
)

V
(
r
)
 2 
 ulj (r )
2
 1 dr
r2
dr 2 
 dr 



R

0


d2 
K
r
,
r
'

K
'(
r
,
r
')
ulj (r ') dr '  0 . (2.2.12)



dr 2 


So sánh hai phương trình (2.2.11) và (2.2.12) ta có:
V (r)  VHF (r ),
K (r , r ')  f (r )r lj  r , r ';   f (r ')r ',

V1 (r )  0,

V2 (r )  0,

K '( r , r ')  0 , K ''(r , r ')  0 ,

Trong đó lj  r , r ',   được lấy từ phương trình (2.1.9).


21
Chương 3: Kết quả và Kết luận
3.1. Kết quả
Đầu tiên chúng ta sẽ giải phương trình bán kính HF trong khơng gian tọa độ:
bán kính của hạt nhân là 15 fm và độ chia của lưới bán kính là 0.1 fm. Tương tác
hiệu dụng SLy5 phụ thuộc yếu vào mật độ ( với  = l/6)[29] được sử dụng. Sau
khi tìm được các nghiệm HF, trạng thái cơ bản và các trạng thái kích thích được
xây dựng bởi mẫu RPA sử dụng trong cơng trình [42]. Tương tác dư của các tính
tốn RPA được xử lý một cách đầy đủ (ngoại trừ số hạng tensor). Vùng phổ đơn
hạt liên tục được gián đoạn hóa bằng cách sử dụng các điều kiện biên hình hộp.
Vì vậy để xây dựng các cấu hình hạt-lỗ (particle-hole configurations), ngồi tất
cả các trạng thái lỗ phải xét đến, chúng ta sẽ chọn tâm trạng thái hạt với năng
lượng thấp nhất tính từ mức Fermi, Tính chất của các trạng thái kích thích đầu
tiên ở vùng năng lượng thấp mà sự đóng góp của chúng quan trọng nhất cho sự
hấp thụ được mô tả trong bảng 3.1.
Bảng 3.1; Tính chất của các trạng thái kích đầu tiên ở vùng năng lượng thấp
của Pb thu được bởi xấp xỉ HF-RPA sử dụng tương tác SLy5. Dữ liệu thực nghiệm
dược lấy từ cơng trình [44]

Từ bảng 3.1 ta có thể thấy sự phù hợp rất tốt của năng lượng kích thích và
xác suất dịch chuyển điện giữa tính toán và thực nghiệm. Quy tắc tổng trọng số

năng lượng cho đồng vị vô hướng 3-(4+) của các trạng thái trong tính tốn của
chúng tơi đạt 99.50% (99.50%) so với giá trị tính tốn từ giao hốn tử kép. Trong
khi đó giá trị này là 72%(77%) tương ứng với hai trạng thái trên trong cơng trình
[6], Sau khi thu được các phonon RPA chẵn lẽ tự nhiên với


22

Hình 3.1: Thế quang học

Pb cho ứng với các năng lượng tới khác nhau

280

của neutron. Đường liền nét được lấy ra từ cơng trình của V. Bernard và cộng sự
[6].
độ đa cực L từ 0 đến 5 với năng lượng nhỏ hơn 50 MeV và cường độ của
đồng vị vô hướng hay đồng vị véctơ lớn hơn 5% được chọn cho các tính tốn PVC
sau đó. Yếu tố ma trận rút gọn i V j , nL (phương trình 2.1.10) được tính bằng
cách dùng code của cơng trình [18], [40], Trong các phép tính PVC, chúng tơi đã
tính đến các số hạng xuyên tâm và số hạng phụ thuộc mật độ của tương tác dư V.
Các số hạng phi xuyên tâm như là số hạng spin-orbit và số hạng tensor của V sẽ
được đưa vào trong các nghiên cứu sau này. Vì các năng lượng đơn hạt là gián
đoạn, tham số  = 1.5 MeV được giữ cố định để lấy năng lượng trung bình trên
các thế  và (2)(các phương trình (2.1.10) và (2.1.11)).
Thế hấp thụ phi định xứ
Trước tiên ta nghiên cứu sự đóng góp của phần ảo của thế   (phương trình
(2.1.11) thơng qua đại lượng
W  R, s   
lj

2 j 1
Im  lj  r , r ',   ,
4

(3.1.1)


23
1
2

trong đó R   r  r ' đặc trưng cho bán kính và hình dạng của thế   và
s  r  r ' , đặc tả sự phi định xứ. Hình 3.1 cho thấy hình dạng của W (R,s  0) của

phản ứng tán xạ đàn hồi

Hình 3.2: Thế quang học của các tán xạ đàn hồi neutron 280Pb ở năng lượng tới
14.5 MeV với các đa cực khác nhau.
neutron cho 280Pb các năng lượng tới khác nhau. Ta có thể thấy rằng giá trị
của W  R, s  0  tăng khi năng lượng E tới tăng. Đó là do khi E tăng thì sẽ có nhiều
kênh phi đàn hồi được mở (để đóng góp cho phần hấp thụ của W. Như đã dự đoán,
các thế ảo đạt cực đại trên bề mặt hạt nhân vì mật độ dịch chuyển theo bán kính
của các trạng thái dao động tập thể như là trạng thái 3- đạt cực đại ở bề mặt. Đặc
biệt, khi so sánh W  R, s  0  tại E=14.5 MeV (đường gạch ngắn) với thế của V.
Bernard [6] (đường liền nét) ỏ cùng mức năng lượng hạt tới, chúng ta nhận thấy
rằng sự hấp thụ của thế chúng tôi mạnh hơn về độ lớn và cả độ rộng ở bề mặt cũng
như là bên trong hạt nhân. Trong khi cường độ tương tác hạt dao động của V.
Bernard [6] là gần bằng không bên trong hạt nhân (do sử dụng lực SIII) thì cường
độ tương tác của chúng tơi mạnh hơn vì sử dụng tương tác SLy5 phụ thuộc yếu