Đường tròn Ơle

ĐƯỜNG TRÒN Ơ-LE
Cho tam giác ABC có 3 đường cao AG, CF, BH cắt nhau tại Q. Gọi L, K, J lần lượt là
trung điểm của CQ, BQ, AQ. Gọi D, E, M lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, BA,
AC.
Khi đó có một đường tròn đi qua 9 điểm: D, E, M, G, F, H, K, J, L được gọi là đường
tròn 9 điểm hay đường tròn Ơle.
Định lí Gergonne
Nếu 3 đường thẳng AA', BB', CC' cắt nhau tại 1 điểm K nằm trong tam giác thì:


thêm nữa là:

Các điểm đặc biệt khi nhìn từ định lý Van Oben
1/ Trọng tâm của tam giác:

Với AN, BM, CE là ba đường trung tuyến của tam giác, áp dụng định lý Van Oben ta
có:
Nghĩa là mỗi trung tuyến bị trọng tâm G chia theo tỉ số kể từ đỉnh.
2/ Tâm đường tròn nội tiếp tam giác.
Giả sử tam giác ABC có ba đường phân giác trong là: AA', BB', CC' cắt nhau tại I
tam giác có 3 cạnh với độ dài là a, b, c.
Theo định lý Van Oben thì:
3/ Điểm Gergonne:


Gọi D, E, F lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác với các cạnh của
tam giác (như hình)
Giao điểm của đường thẳng nối các đỉnh với các tiếp điểm đó cắt nhau tại G thì G được
gọi là điểm Gergonne
Ta có bài toán cơ bản: và
Khi đó áp dụng định lý Van Oben ta có:

(p là nửa chu vi của tam giác)
4/ Điểm Nagel:

Gọi A', B', C' lần lượt là các tiếp điểm của các đường tròn bàng tiếp trong các góc A,
góc B, góc C với các cạnh BC, CA, AB.
Giao điểm của 3 đường thẳng AA', BB', CC' cắt nhau tại K, K gọi là điểm Nagel
Áp dụng định lý Van Obel ta có:

Định lý Van Oben
Trong tam giác ABC, nếu có ba đường thẳng AA', BB', CC' cắt nhau tại điểm K nằm
trong tam giác thì:
(ĐỊNH LÝ VAN OBEN)
Chứng minh:
Kéo dài đường thẳng BB' và CC' cắt đường thẳng song song với BC đi qua A lần lượt
tại E và D.

Ta có: