Phương pháp giải toán hình học không gian 11

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (199.18 KB, 15 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

LỜI NÓI ĐẦU

Các em học sinh thân mến!

Tài liệu “Phương pháp giải tốn HÌNH HỌC KHƠNG GIAN” 
giúp

các em nắm vững các phương pháp chứng minh hình học không 
gian.

Trong tài liệu này gồm có:

+ Các phương pháp giải toán.

+ 44 bài tập ôn thi tốt nghiệp THPT.

+ 100 bài tập luyện thi ĐẠI HỌC &CAO ĐẲNG.

Để sử dụng tài liệu này,trước khi đến học ở trung tâm,các em phải 
 đọc kĩ các phương pháp giải tốn, các ví dụ, làm các bài tập ơn thi tốt
 nghiệp trước,còn các bài tập luyện thi Đại học ở mức độ khó các em 
 phải quyết tâm mới giải được.Nếu có vấn đề các em chưa hiểu thầy sẽ
 giúp các em giải quyết thêm ở lớp.

Quá trình biên soạn tài liệu này khơng tránh khỏi sai sót.

Rất mong có sự góp ý từ các bậc phụ huynh và các em học sinh.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HÌNH HỌC

I.Phương pháp chứng minh đường thẳng song song mặt phẳng:

♦Phương pháp1:

Muốn chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng ta chứng

minh đường thẳng đó khơng nằm trong mặt phẳng và song song với 
một đường thẳng nào đó nằm trong mặt phẳng.

a // b

b (P) a //(P)
a (P)




 



 

Ví dụ: Cho tứ diện ABCD.Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB, AD.

Chứng minh MN song song với mặt phẳng (BCD).

Giải: Trong tam giác ABD có:
M trung điểm của AB
N trung điểm của AD.

Nên MN là đường trung bình của
tam giác ABD

Do đó MN // BD
Mà BD  (BCD)

MN (BCD)

Vậy MN // (BCD).

♦Phương pháp2:

Muốn chứng minh đường thẳng a song song mặt phẳng (P) ta chứng

minh đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (Q) mà (Q) // (P)

Ví dụ: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. M; N tuỳ ý trên mặt phẳng

(ABCD).

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

(ABCD) //(A 'B'C'D ')

MN (ABCD)

MN //(A 'B'C'D ')



 



♦Phương pháp 3:

Muốn chứng minh đường thẳng a song song mặt phẳng (P), ta

chứng minh đường thẳng a và mặt phẳng (P) khơng có điểm chung 
cùng vng góc với một đường thẳng b.

♦Phương pháp 4:

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

♦Phương pháp 5:

Muốn chứng minh đường thẳng a song song mặt phẳng (P), ta chứng

minh đường thẳng a song song với đường thẳng b mà đường thẳng b

song song với mặt phẳng (P)(a và (P) khơng có điểm chung)

II.Phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song:

♦Phương pháp 1:

Sử dụng định lý: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt đi qua hai

đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng song song với hai 
đường thẳng đó(hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó).

a // b
a (P)

c // a // b
b (Q)

(P) (Q) c



 




 



  

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Sử dụng định lý: Nếu đường thẳng a song song mặt phẳng (P) thì mọi

mặt phẳng (Q) chứa a mà cắt mặt phẳng (P) thì cắt theo giao tuyến b 
song song với đường thẳng a.

(P) // a

a (Q) b // a

(P) (Q) b



 



  

♦Phương pháp 3:

Sử dụng định lý: Nếu mặt phẳng (R) cắt hai mặt phẳng song song

(P) và (Q) lần lượt theo hai giao tuyến a và b thì a//b.

(P) //(Q)

(R) (P) a a // b
(R) (Q) b




  



  

♦Phương pháp 5:

Sử dụng định lý: Nếu hai mặt phẳng cùng song song với một đường

thẳng thì giao tuyến của chúng(nếu có) song song với đường thẳng đó.

Q

b
a

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

(P) // a

(Q) // a b // a
(P) (Q) b








  

III.Phương pháp chứng minh hai mặt phẳng song song:

♦Phương pháp 1 :

Muốn chứng minh hai mặt phẳng song song, ta chứng minh mặt

phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt 
phẳng kia.

Nếu a // (Q)
b// (Q)
a,b (P)
a cắt b
Thì (P) // (Q)

Ví dụ: Cho hình chóp SABCD đáy là hình bình hành ABCD,AC cắt BD

tại O.Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SC,CD.Chứng minh (MNO) //
(SAD).

Chứng minh:

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Nên MN // SD
Mà SD  (SAD)

Và MN  (SAD)

Vậy MN // (SAD)

Ta có OM là đường trung bình của tam giác SAC
Nên OM // SA

Mà SA  (SAD)

Và OM  (SAD)

Vậy OM // (SAD)
Ta có

MN //(SAD)
OM //(SAD)

MN,OM (OMN)

MN OM M






 



   nên (MNO) // (SAD)

♦Phương pháp 2:

Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) khơng có điểm chung cùng vng góc

một đường thẳng a thì chúng song song với nhau.

♦Phương pháp 3 :

Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) không có điểm chung cùng vng góc

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

♦Phương pháp 4:

Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) không có điểm chung cùng song song

một mặt phẳng(R) thì chúng song song với nhau.

P

Q

R

IV. Phương pháp chứng minh đường thẳng vng góc mặt phẳng:

♦Phương pháp 1:

Muốn chứng minh đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (P),ta

chứng minh đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng a và b cắt 
nhau nằm trong mặt phẳng (P)

d a

d b

d (P)
a, b (P)

a b I

 



 

 



 

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

♦Phương pháp 2:

Sử dụng tính chất:d // ,mà  (P) thì d (P)

♦Phương pháp 3:

Sử dụng định lý: Nếu hai mặt phẳng (P),(Q) vuông góc với nhau và cắt

nhau theo giao tuyến x, đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng (P) mà
vng góc với giao tuyến x thì vng góc với mặt phẳng (Q).

♦Phương pháp 4:

Sử dụng tính chất:Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng vng góc với

mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vng góc với mặt phẳng 
thứ ba đó.

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

(P) (R)

(Q) (R) a (R)

(P) (Q) a

 



  



  

♦Phương pháp 5:

Sử dụng tính chất: Nếu hai mặt phẳng song song với nhau, đường

thẳng a vng góc với mặt phẳng này thì nó vng góc với mặt phẳng 
kia.

 
(P) //(Q)
a (Q)
a (P)

 

 
 
♦Phương pháp 6:

Sử dụng tính chất:Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b,mà

đường thẳng a vng góc mặt phẳng (P) thì đường thẳng b cũng vng
góc với mặt phẳng (P).

a // b

b (P)
a (P)

 

 

V. Phương pháp chứng minh hai mặt phẳng vng góc: 
♦Phương pháp 1:

Muốn chứng minh hai mặt phẳng vng góc với nhau ta chứng

minh mặt phẳng này chứa một đường thẳng vng góc mặt phẳng kia.

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

a (P)

(P) (Q)

a (Q)

 

 



 

♦Phương pháp 2:
 Sử dung tính chất:

(P) //(Q)

(R) (Q)
(R) (P)



 



 

♦Phương pháp 3:

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

VI. Phương pháp chứng minh hai đường thẳng vng góc:
♦Phương pháp 1:

Muốn chứng minh hai đường thẳng vng góc với nhau ta chứng 
minh đường thẳng này vng góc với mặt phẳng chứa đường thẳng 
kia.

d (P)

d a

a (P)

 

 



 

♦Phương pháp 2:

Sử dụng định lý:Nếu đường thẳng a song song mặt phẳng (P),

mà đường thẳng d vng góc mặt phẳng (P), thì d vng góc với 
đường thẳng a.

VII.Phương pháp tìm giao tuyến của hai mặt phẳng:

♦Phương pháp 1:

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Ví dụ: Cho hình chóp SABCD.Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng 
(SAC) và (SBD).

Giải: Trong mặt phẳng (ABCD):
AC cắt BD tại O.

Ta có OAC, AC (SAC)

OBD, BD (SBD)

Nên O là điểm chung của hai mặt
phẳng

(SAC) và (SBD)

Mà S là điểm chung của hai mặt phẳng
(SAC) và (SBD)

Vậy SO là giao tuyến của (SAC) và
(SBD).

♦Phương pháp 2:

Sử dụng định lý: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt đi qua hai

đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng song song với hai 
đường thẳng đó(hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó).

a // b
a (P)

c // a // b
b (Q)

(P) (Q) c



 




 



  

Ví dụ: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành,M thuộc SA.

Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MCD) và (SAB

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

lần lượt chứa hai đường thẳng
AB//CD

thì giao tuyến của chúng là đường
thẳng đi qua điểm M song song
với AB cắt SB tại N.

Vậy MN là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (MCD).

♦Phương pháp3:

Sử dụng định lý: Nếu đường thẳng a song song mặt phẳng (P) thì mọi

mặt phẳng (Q) chứa a mà cắt mặt phẳng (P) thì cắt theo giao tuyến b 
song song với đường thẳng a.

(P) // a

a (Q) b // a

(P) (Q) b



 



  

Ví dụ: Cho hình chóp SABCD đáy hình thang ABCD (AB//CD), M 
thuộc cạnh AD. Mặt phẳng (P) qua M song song với SA và AB. Xác đinh
giao tuyến của mặt phẳng (P) với (SBC).

Giải:Gọi N:P;Q lần lượt là trung điểm của mặt phẳng (P) với SD;
SC và BC.

Ta có

(P) // SA

SA (SAD) MN // SA

(P) (SAD) MN



 



  

Q

b
a

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

(P) // AB