Hàm tử tor trong phạm trù các nhóm abel

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Trần Quốc Khang

HÀM TỬ TOR TRONG PHẠM TRÙ
CÁC NHĨM ABEL

U N V N THẠC S TỐN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Trần Quốc Khang

HÀM TỬ TOR TRONG PHẠM TRÙ
CÁC NHÓM ABEL

Chuyên ngành:

s v

t u ts

Mã s : 60 46 01 04

U N V N THẠC S TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS.TRẦN HUYÊN

Thành phố Hồ Chí Minh – 2016


LỜI CAM ĐOAN
Tô tên

Trần Qu c K ang, ọc v ên k oa Toán c u ên ng n

L t u t s . Tô x n cam đoan uận văn t t ng ệp n
k oa ọc t ực sự của bản t ân tô , được t ực

s v

cơng trìn ng ên cứu

ện dướ sự ướng dẫn của TS.

Trần Huyên.
Các thông tin tham k ảo trong đề t

n

được t u n ập từ n ững nguồn

đáng t n cậ , đã được k ểm c ứng, được công b rộng rã v được tô tr c dẵn
rõ r ng ở mục t
c n tô t ực

ệu t am k ảo. Các k t quả ng ên cứu trong uận văn n

do

ện một các ng êm túc, trung t ực v k ông trùng ặp vớ các

đề t k ác.
Tô x n được ấ dan dự v u t n của bản t ân để đảm bảo c o ờ cam
đoan n .
Học viên thực hiện

Trần Quốc Khang


LỜI CẢM ƠN
ể o nt n
tận tìn

uận văn n

ướng dẫn, g ảng d

u ện t trường

tô x n c ân t n cảm ơn các T ầ Cô đã

trong su t quá trìn

ọc tập, ng ên cứu v rèn

ọc Sư p m TPHCM.

Có được bản uận văn tót ng ệp n , bên c n sự nỗ ực của bản t ân, tô
đã n ận được sự g úp đỡ rất n ều từ các t ầ cô của P òng Sau
b ệt

Học v đặc

sự g úp đỡ của TS. Trần Hu ên. Tô x n gử ờ cảm ơn c ân t n v sâu

sắc tớ t ầ , ngườ đã g ảng d

tô từ bậc

ọc v trực t p ướng dẫn, c ỉ

bảo c o tô n ững k n t ức về mặt c u ên môn t ét t ực.
Mặc dù đã có n ều c gắng để t ực
n ưng vẫn còn
k ỏ n ững t

nc

ện đề t một các

o n c ỉn n ất

về mặt k n t ức v k n ng ệm nên k ơng t ể trán

u sót n ất địn m bản t ân c ưa t ấ được. Tô rất mong được

sự góp ý của quý T ầ , Cô để uận văn được o n c ỉn

ơn.

Tô x n gử ờ cảm ơn đ n quý T ầ , Cô trong Hộ đồng Bảo vệ Luận
văn T c sĩ đã đóng góp ý k n, đưa ra n ững n ận xét v đán g á để uận văn
được o n t ện.
Tô x n c ân t n cảm ơn!
Học viên thực hiện

Trần Quốc Khang


MỤC LỤC
Lờ cam đoan
Lời cảm ơn
Mục lục
MỞ ĐẦU ...............................................................................................................1
Chƣơng 1.

D NG HÀM TỬ TOR TRONG PHẠM TRÙ MODU E

B NG PH P GIẢI Ạ ẢNH..............................................................................2
§1. Một vài khái niệm và k t quả về lý thuy t môđun v đ i s đồng đ ều ......2
§2. Phép giải x ảnh của một mơđun ..................................................................9
§3. Xây dựng hàm tử xoắn nhờ phép giải x ảnh .............................................13
§4. Các k t quả về hàm tử Torn trong ph m trù các nhóm Abel ......................20
Chƣơng 2.

D NG HÀM TỬ TOR TRONG PHẠM TRÙ CÁC

NH M ABE NHỜ CÁC BỘ BA....................................................................23
§1. Tính khớp phải của t c tenxơ ....................................................................23
§2. Xây dựng nhóm abel Top  G, A ................................................................26
§3. Sự tương đương của các hàm tử Top với các hàm tử Tor trong ph m trù
các nhóm abel. ..................................................................................................39
KẾT LU N .........................................................................................................42
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................43


1

MỞ ĐẦU
Các

m tử Tor

ng n của Toán ọc
t ể

ện của các

một trong n ững công cụ quan trọng trong n ều

ện đ :

m tử Tor n

s , ìn

ọc v G ả t c . V ệc ng ên cứu sự

trong các p m trù k ác n au của Toán ọc

một trong n ững xu ướng ng ên cứu của các n
k ác n au của mỗ p m trù m các

Toán ọc. Do n ững đặc t ù

m tử Tor có n ững t n c ất r êng b ệt

bên ngo v có n ững t n c ất c ung.
Mục đ n c n của đề t

đưa ra các các xâ dựng các

trong p m trù các n óm Abe : Xem xét các t n c ất của

m tử Tor trong

p m trù các n óm Abe , c ứng tỏ rằng các các xâ dựng các
trong p m trù các n óm Abe

m tử Tor
m tử Tor

tương đương vớ n au.

uận văn gồm 2 chƣơng
Chƣơng 1: ây dựng hàm tử Tor trong phạm trù Module bằng phép
giải xạ ảnh.
- Xây dựng p ép g ả x ản của một modu e v địn ng ĩa Tor n ư
dẫn xuất của các
-

m tử Tensor

ưa ra một s t n c ất cơ bản của các

m tử Tor trong p m trù các

nhóm Abel.
Chƣơng 2: ây dựng hàm tử Top trong phạm trù các nhóm Abel nhờ
các bộ ba.
- Xâ dựng n óm Abe Top  G, A vớ G , A

các n óm Ae c o trước

n ờ bộ ba.
- Xét các t n c ất

m tử của Top  G, A .

- Sự tương đương của các
trù các nhóm Abel.

m tử Top vớ các

m tử Tor trong p m


2

Chƣơng 1.

D NG HÀM TỬ TOR TRONG PHẠM TRÙ MODU E
B NG PH P GIẢI Ạ ẢNH
§1. Một vài khái niệm và kết quả
về lý thuyết môđun và đại số đồng điều

1.1. Kiến thức chuẩn bị
1.1.1. Môđun xạ ảnh
1.1.1.1. Định nghĩa
Môđun P

môđun x ảnh n u hàm tử Hom  P;  là hàm tử khớp.

1.1.1.2. Định nghĩa
môđun x ảnh n u với mọi toàn cấu  : B  C , mỗ đồng

Môđun P được gọ

cấu f : P  C , tồn t i một đồng cấu  : P  B sao cho f   .
1.1.1.3. Định lý
Mỗ mơđun tự do F đều

mơđun x ảnh.

1.1.1.4. Tính chất
Tổng trực ti p của họ môđun P   Pi là x ảnh khi và chỉ khi mỗ môđun t n
iI

phần Pi là x ảnh.
1.1.1.5. Định lý
i với mỗ môđun P, các phát biểu sau
i. P

tương đương

môđun x ảnh.




ii. Mỗi dãy khớp 0  A  B  P  0 là chẻ ra.
iii. P đẳng cấu với h ng tử trực ti p của một môđun tự do.
1.1.2. Tích tenxơ của hai mơđun
1.1.2.1. Định nghĩa
Cho X R và R Y

các môđun p ải và trái trên cùng vành hệ tử R. T c tenxơ

của các môđun X và Y là các nhóm abel mà ta sẽ ký hiệu là X  Y , sao cho có


3

ánh x song tuy n tính  : X  Y  X  Y có tính chất là với bất kỳ ánh x song

tuy n tính  : X  Y  G thì tồn t i và duy nhất đồng cấu f : X  Y  G thỏa

  f .

1.1.2.2. Tích tenxơ và tổng trực tiếp
Cho họ  X t tI là họ các R – môđun p ải và Yk kK là họ các R – mơđun trá .
K

đó ta có:

 X     Y  
t

tI

kK

k



t ,k I K

 X t  Yk  .

1.1.2.3. Tích tenxơ của hai đồng cấu
Cho f : X  X ' , g : Y  Y ' lần ượt là các R - môđun p ải và trái.
Ký hiệu đồng cấu h  f  g

t c tenxơ của a đồng cấu f và g cho bởi:

 f  g  x  y   f  x   g  y  , x  y  X  Y .
1.1.2.4. Tính chất
N u 1X : X R  X R' và 1Y :R Y  R Y '
1X  1Y : X  Y  X ' Y '

các đồng cấu đồng nhất thì

đồng cấu đồng nhất.

1.1.2.5. Tính chất
f

f'

g

g'

N u A  B  C và X  Y  Z lần ượt

các đồng cấu R - môđun p ải và trái

thì

 f ' f    g ' g    f ' g ' f  g .
1.1.2.6. Tính chất
N u f , f1 , f 2 : X  X '

các đồng cấu R – môđun p ải và g , g1 , g 2 : Y  Y ' là

các đồng cấu R – môđun trá . K

đó ta có:

 f1  f2   g  f1  g  f 2  g
f   g1  g 2   f  g1  f  g 2


4

1.1.2.7. Định lý
Cho A là R – môđun p ải và dãy khớp các R – môđun trá




E : 0  X Y  Z  0

t ì dã sau cũng

k ớp




A  X  A  Y  A  Z  0.

Hơn nữa, n u dãy E là khớp chẻ thì dãy sau là khớp




0  A  X  A Y  A  Z  0 .

1.1.2.8. Một số tính chất của tích tenxơ
i.
ii.
iii.

A B  B  A
B B
n

BB

nB

1.1.3. Phức hợp và đồng điều
Cho R là vành tùy ý, một phức hợp dây chuyền K các R môđun

Kn , nn

ọ

gồm các R – môđun K n và các R – đồng cấu  n : K n  K n1 được

cho theo tất cả các s nguyên n,   n   ơn nữa  n n1  0 đ ều kiện này
tương đương với Im  n1  ker  n . N ư vậy phức hợp K là dãy vô tận về hai
đầu.

K:

 K 2  K 1  K 0  K1 

trong đó t c của a đồng cấu n i ti p nhau thì bằng 0.
Phức K được gọ

dương n u K n  0 khi n  0 .

1.1.3.1. Đồng điều
ồng đ ều H n  K  là họ các môđun

Hn  K   ker n Im n1  ker  Kn  Kn1  n1Kn1


5

ẳng thức Hn  K   0 n u dãy K khớp t i các K n .
Chu trình n – chiều của phức K là phần tử của mơđun Cn  K   ker n , cịn phần
tử  n 1K n 1 t ì được gọi là bờ n – chiều. K

đó H n  Cn K n1

mơđun

t ương của mơđun các c u trìn t eo mơđun con các bờ.
Lớp ghép của chu trình c trong H n được kí hiệu là clsc .
1.1.3.2. Biến đổi dây chuyền
Cho hai phức hợp K v K’, b n đổi dây chuyền f : K  K ' là họ các đồng cấu

f

n

: K n  K n' 

n

sao cho 'n fn  fn1n với mọ n.

ều kiện n

ng ĩa

b ểu

đồ sau giao hoán:
n

K:

 fn 1
K ':
ể giản tiện ơn k

 n 1

 K n1  K n  K n1 
 fn

 fn 1

 K n' 1 ' K n' 
K n' 1 
'
n

 n 1

v t, ta sẽ không dùng chỉ s n ở  n và dấu phẩy ở  'n .

1.1.3.3. Đồng luân dây chuyền
C o các b n đổ dâ c u ền f , g : K  K ' từ p ức K  Kn , n tớ p ức
K '  K n' ,  'n  . ồng uân dâ c u ền g ữa a b n đổ dâ c u ền f , g

các đồng cấu sn : K n  K n' 1 , n 

n u t

ỏa

'n1sn  sn1n  fn  gn
K

đó ta v t s : f

g

Với ánh x

 fn *  Hn  f  : Hn  K   Hn  K '
cho bởi  f n *  c  Kn1   f n  c   Kn' 1, n  0 là một đồng cấu.
1.1.3.4. Định lý

ọ


6

N u s: f

g : K  K ' t ì vớ mọi n

ta có:

Hn  f   Hn  g  : H n  K   H n  K' .
Thật vậy, c  ker  n   n  c   0
Ta có: 'n1sn  c   sn1 n  c   f n  c   gn  c 
 f n  c   gn  c   'n1sn  c   Im 'n1

 f n  c   Im  'n1  gn  c   Im  'n1   f n *  c    g n *  c 
 Hn  f   Hn  g  .
Ta nói bi n đổi dây chuyền f : K  K '

tương đương dâ c u ền n u tồn t i

một bi n đổi dây chuyền h : K '  K v các đồng luân s : hf

1K , t : fh 1K ' .

1.1.3.5. Hệ quả
N u f :K  K'

tương đương dâ c u ền thì với mỗi n

ánh x H n  f  : H n  K   H n  K '

đẳng cấu.

1.1.3.6. Dãy đồng điều khớp
Chúng ta xét dãy khớp ngắn các phức




E : 0  K LM  0

Trong đó ker   0 tuy nhiên ánh x cảm sinh

Hn    : Hn  K   Hn  L 
có thể có ker H n     0 .
Ta sẽ xét xem k

n o t ì đ ều này xảy ra.

Vì  đơn cấu nên khi thu hẹp  trên Im    sẽ

đẳng cấu nên ta có thể đồng

nhất phức K với phức   K  là phức con của L.

Xét chu trình c  K thỏa clsc  c  Im  n1  0  Im  n1 trong L

 l  Ln1 : c   l  .


7

Do đó ớp ghép l  K n 1 là chu trình của phức t ương L K  M .

 K  gồm cách chọn chu trình l  K

Ngược l i, mỗi lớp đồng đ ều của H n1 L

n 1

thỏa l  c  K n do đó đặt tương ứng với lớp đồng đ ều clsc  Hn  K  - lớp
đồng đ ều này nằm trong h t nhân của Hn    .
Sự tương ứng mỗi lớp ghép l  K n 1 với phần tử c xác địn đồng cấu

 K   H K 

H n1  M   H n1 L

n

Bây giờ ta mô tả chi ti t đều này:
Ta có biểu đồ sau


l

c


l

m

Ln1  M n1  0

 


0
K n  Ln  M n


Giả sử m là một chu trình của M n 1    m  0
Do  là tồn cấu nên có phần tử l  Ln1 thỏa   l   m .

   l     l     m  0   l   ker   Im  (do dòng dưới là khớp)

 tồn t i chu trình c  K n thỏa   c     l  .
Lớp đồng đ ều clsc  Hn  K  không phụ thuộc vào sự lựa chọn l thỏa   l   m ,
nó được xây dựng duy nhất bởi lớp đồng đ ều của phần tử m.
Do đó án x  E  clsm  clsc xác địn đồng cấu

 E : H n1  M   H n  K 
được gọ

đồng cấu n i của dãy khớp E.

N ư vậy  E  clsm   clsc n u   c     l  và   l   m với l n o đó.
i với mỗi dãy khớp ngắn các phức:


8




E : 0  K LM  0

dãy vô tận các môđun đồng đ ều sau đâ
E

*

k ớp
*

E

 H n1  M   H n  K   H n  L   H n  M   H n1  K  
trong đó  E

đồng cấu n i cho bởi  E  clsm  clsc với  c  l và  l  m ,

*  H n    và  *  H n   .

9

§2. Phép giải xạ ảnh của một mơđun
mơđun t ương G 

Mọ môđun G

F0

R0

của môđun tự do F0 n o đó. Nên ta

có dã k ớp ngắn sau
0  R0  F0  G  0

môđun t ương R0  F1

Mơđun con R0 l

R1

ta l có dã k ớp ngắn

0  R1  F1  R0  0

Ti p tục n ư vậ ta t u được dãy khớp
 F1  F0  G  0

(1.2.1)

được gọi là phép giải tự do của môđun G.
Cụ thể, ta gọi phép giải x ản X trên môđun G


X:

 X n  X n1 

p ức X


 X1  X 0  0

gồm các R – môđun x ảnh X n  n  0 v đồng cấu  : X 0  G sao cho phức

 X ,  :





 X n  X n1 





 X 1  X 0 G  0

là dãy khớp.
Nói cách khác phép giải x ảnh X của môđun G

p ức X gồm các môđun x

ản treo trên môđun G m Hn  X   0 khi n  0 và H0  X   G .
Ta kí hiệu phép giải x ảnh X của G là  : X  G .
Phức X là tự do n u mọi X n  n  0 tự do.
Bây giờ ta so sánh một phức x ảnh bất kỳ với một phép giả n o đó.
1.2.1. Định lý. (Định lý so sánh)
N u  :G  G'

đồng cấu,  : X  G là phức x ảnh trên G và  ': X '  G' là

phép giải của G’. K

đó tồn t i bi n đổi dây chuyền f : X  X ' thỏa


10

 ' f 0   và bất kỳ hai bi n đổi dây chuyền n ư t

đồng luân. Ta nói bi n

đổi f treo trên đồng cấu  .
Chứng minh
Vì X 0

mơđun x ản v  ' : X 0  G '

to n cấu nên đồng cấu  : X 0  G '

có thể phân tích qua f0 : X 0  X 0' sao cho  ' f 0   , tức

b ểu đồ sau g ao

oán


X0  G  0


 f0

X 0'  G '  0
'

Bằng quy n p, g ả sử ta xâ dựng được các đồng cấu fm : X m  X m' sao c o
b ểu đồ sau đâ g ao oán


X m  X m1
 fm

 fm 1

X m'  X m' 1
'

Bây giờ, ta sẽ xây dựng f n k

đã có các đồng cấu f n1 , , f 0 làm cho biểu đồ

sau giao hoán
n

 n 1

 X n  X n1  X n2 
 fn

 fn 1

 fn2

 X n' ' X n' 1 
X n' 2 
'
n

 n 1



 X 0 G  0


 f0

 X 0'  G '  0
'

Do tính giao hốn của hình vng thứ a bên trá ta được

'n1 f n1 n  fn2 n1 n  0
Nên Im  fn1 n   ker 'n1 .
Do  ': X '  G' là phép giải x ảnh của G’ nên dòng dưới là khớp cho ta

ker 'n1  Im 'n   'n X n'


11

Vì X n x ản v dịng dướ k ớp nên tồn t đồng cấu f n : X n  Yn thỏa

'n fn  fn1n (đpcm).
1.2.2. Bổ đề
đồng cấu,  : X  G là phức x ảnh trên G,  ': X '  G' là

N u  :G  G'
phép giải của G’ v

f : X  X ' là bi n đổi dây chuyền treo trên  : G  G ' . Giả

thi t rằng tồn t đồng cấu t : G  X 0' sao cho  't   . K
cấu sn : X n  X n' 1 với mọi n  0,1,

đó tồn t các đồng

sao cho

 's0  t  f 0 ,

 ' sn1  sn   f n 1 .

Chứng minh
Ta xét biểu đồ sau
n2

 n 1

 X n2  X n1  X n 
 fn 2

 fn 1

 fn

 X n' 2 
X n' 1 
X n' 
'
'
n2

 n 1

1



 X1  X 0  G  0
s0

f0



t

 X 1' ' X 0'  G '  0
1

'

Xét đồng cấu  '  f0  t  : X 0  G ' . Do hình vng bên phải giao hốn và

 't   ta được

 '  f0  t    ' f0   't     't     't   0
nên với x0  X 0 thì

 f0  t  x0   Im  f0  t   ker  ' .
Do  ': X '  G ' là phép giải của G’ nên dòng dưới là khớp, ta được
ker  '  Im 1'  Im  X 1'  X 0' 

Suy ra x1'  X 1' : 1 '  x1'    f 0  t  x0  .
Từ đó tồn t đồng cấu s0 : X 0  X1' thỏa  's0  f 0  t .
Bằng quy n p, giả thi t rằng ta đã xâ dựng được các đồng cấu t  s1 , s0 ,

, sn


12

Áp dụng giả thi t quy n p và do hình vng thứ hai bên trá g ao ốn ta được

 '  fn1  sn    ' fn1   ' sn  fn   ' sn  fn   fn  sn1    0
Do đó  f n1  sn  X n1   Im  f n1  sn   ker  '   ' X n' 2 v do đó tồn t đồng
cấu sn1 : X n1  X n' 2 thỏa  ' sn1  f n1  sn  .


13

§3. Xây dựng hàm tử xoắn nhờ phép giải xạ ảnh
Hàm tử Ext n  C, A có thể được tính nhờ phép giải x ảnh X của mơđun C n ư
là H n  Hom  X , A  . Một các tương tự ta sẽ t n toán đ i với Torn  G, A .
1.3.1. Định nghĩa Torn  G, A
Cho G là R – môđun p ải và  : X  G là phép giải của G


 X n1  X n  X n1 
K

 X 0 G  0

đó với mỗi n  0 và R – môđun trá A, ta địn ng ĩa TornR  G, A

môđun

đồng đ ều thứ n của phức
1A

 X n  A  X n1  A 

1A

 X1  A  X 0  A  0

ng ĩa
TornR  G, A  H n  X  A  Ker   n 1A  Im   n1 1A 

gọi là tích xoắn n – chiều trên R của môđun G v A.
Ta sẽ chỉ ra rằng địn ng ĩa n

t t, có ng ĩa

TornR  G, A không phụ thuộc

vào cách chọn phép giải x ảnh của môđun G.
1.3.2. Định lý
N u X v X’

a p ép g ải x ảnh của môđun G v A

R – mơđun trá tù ý

thì các nhóm Hn  X  A  Hn  X ' A .
Chứng minh

Xét biểu đồ
X:

 X n  X n1 
gn

X':

 fn

g n 1

 fn 1

 X n'  X n' 1 



 X1  X 0  G  0
g1

 f1

g0

 f0

1G

 X 1'  X 0'  G  0

'


14

T eo định lý 9 của §1, tổn t i các bi n đổi dây chuyền f : X  X ' và

g : X '  X cùng treo trên 1G thỏa gf

1X : X  X và fg 1X ' : X '  X ' .

Do đó các đồng cấu
f  1A   f n  1A : X n  A  X n'  A ,
g  1A   g n  1A : X n'  A  X n  A

là các phép bi n đổi dây chuyền giữa X  A và X ' A thỏa

 g  1A  f  1A   gf  1A  1X  1A  1X  A


 f  1A  g  1A   fg  1A  1X '  1A  1X ' A

Chúng cảm s n ra các đồng cấu

f

 1A *   f n  1A * : H n  X  A  H n  X ' A 

 g  1A *   gn  1A * : H n  X ' A  H n  X  A


 g  1A *  f  1A *   gf  1A *  1X  1A *  1X  A *
thòa 
.
f

1
g

1

fg

1

1

1

1












A
A
A
X
'
A
X
'

A
*
*
*
*

*

Tức là  g 1A *  f 1A *  1   f 1A *  g 1A * nên các ánh x n

đẳng

cấu.
Vậy Hn  X  A  Hn  X ' A .
Vì vậy nhóm TornR  G, A không phụ thuộc vào việc lựa chọn phép giải x ảnh
X mà chỉ phụ thuộc vào G và A.
Trong một s trường hợp khi không cần nhấn m nh vành hệ tử R hoặc vành R
đã được chỉ rõ ta có thể vi t gọn là Torn  G, A và khi n  1 ta ghi là Tor  G, A .
1.3.3. Tích xoắn hai đồng cấu
Cho  : G  G '

đồng cấu của các R – môđun p ải và  : A  A '

đồng cấu

của các R – môđun trá . G ả sử  : X  G ,  ': X '  G ' tương ứng là phép giải


15

x ảnh của G v G’. K

đó t eo định lý 9 tồn t i bi n đổi dây chuyền f giữa X

v X’ treo trên  thỏa  ' f 0   và 'n fn  fn1 n , n  0 theo biểu đồ sau
n

 n 1

 X n  X n1  X n2 
 fn

 fn 1

 fn2

 X n' ' X n' 1 
X n' 2 
'
n

Lấy bi n đổi dây chuyền f n
 n 1A



 X 0 G  0

 n 1



 f0

 X 0'  G '  0
'

t c tenxơ vớ đồng cấu 
 n 1 1A

 X n  A  X n1  A  X n2   
 fn 

 fn1

 fn 2 

 X n'  A ' ' X n' 1  A ' '  X n' 2  A ' 
 n 1A '

 n 1 1A '

 X0  A  0
 f0 
 X 0'  A '  0

ta được

f   : X  A  X ' A '
với f     f n   : X n  A  X n'  A ' | n  0 .
Một lần nữa đồng cấu f   cảm s n đồng cấu

 f   *   f n   * : H n  X n  A   H n  X n'  A ' | n  0
Với

 fn   * : Torn G, A  Torn G ', A'

cho bởi  f n   *  c    X n1  A   f n  c    '  X n' 1  A  , n  0 với c là chu
trình của X n  A .
Ta kí hiệu
Torn  ,    f n   *

gọi là tích xoắn n – chiều trên R của các đồng cấu  , .
1.3.4. Hàm tử xoắn
Với R – môđun trá A, ta xâ dựng hàm tử

Torn  , A : ModR  b


16

n ư sau
ặt mỗi R- môđun p ải G  Mod R tương ứng với nhóm Torn  G, A .
Với mỗ đồng cấu  : G  G ' ,  : X  G ,  ': X '  G ' tương ứng là
phép giải x ảnh của G v G’. K

đó tồn t i bi n đổi dây chuyền f giữa X v X’

treo trên  . ặt tương ứng đồng cấu  vớ đồng cấu nhóm
Torn  ,1A    fn 1A * : Torn  G, A  Torn  G ', A

Ta có:
Torn  , A 1G   Torn 1G ,1A   1G  1A *  1Torn G , A , G  Mod R

Torn  , A    Torn   ,1A    g n f n  1A *   g n  1A *  f n  1A *

 Torn   ,1A Torn  ,1A   Torn  , A  Torn  , A 

với mọi cặp  ,   mà tích  xác định.
Vậy, Torn  , A là hàm tử hiệp bi n từ ph m trù các R - môđun p ải tới ph m
trù b.
Một các tương tự, ta cũng c ỉ ra được rằng

Torn  G,   :R Mod  b
cũng

m tử hiệp bi n tử ph m trù các R – mơđun trá tới ph m trù b.

1.3.5. Tính chất của Torn  G, A
1.3.5.1. Tính chất

Tor0 G, A  G  A
Chứng minh
T eo địn ng ĩa, ta có

Tor0  G, A  H0  X  A   X 0  A Im * .


Ta xét dãy khớp:

X1  X 0  G  0


17

Từ đó ta cũng có dã k ớp phải
 1A

*

X1  A  X 0  A  G  A  0

Suy ra   1A là toàn cấu cùng với dịng là khớp ta có

G  A   X 0  A ker   i    X 0  A Im *
Vậy Tor0 G, A  G  A .
1.3.5.2. Tính chất
N uG a A

mơđun x ảnh thì

Torn  G, A  0, n  1
Chứng minh
N u G là R – môđun p ải x ảnh thì dãy
1G

0  G G  0

là phép giải x ảnh của G mà Torn  G, A không phụ thuộc vào việc chọn phép
giải x ảnh của G nên dãy trên có thể dùng để địn ng ĩa Torn  G, A va do đó

Torn  G, A  0, n  1
C oA

môđun trá x ảnh, phép giải x ảnh của môđun G
 n 1

X:

n

 X n1  X n  X n1 

Ta đã b t mỗ môđun A x ản

1

0

 X1  X 0  A  0

môđun dẹt nên hàm tử    A chuyển mỗi

dãy khớp ngắn thành dãy khớp ngắn từ đó cũng sẽ chuyển mỗi dãy khớp bất kỳ
thành dãy khớp. Do đó X  A sẽ là dãy khớp t i X n  A với mọi n  1 . Vì vậy

Torn G, A  H n  X  A  0, n  1 .
1.3.5.3. Tính chất
Cho họ Gi iI là họ các R – môđun p ải và A là R- môđun trá bất kỳ. K
ta có:

đó


18





Torn  Gi , A   Torn  Gi , A
iI

iI

Chứng minh
Với mỗi i  I , lấy phép giải x ảnh  i : X i  Gi ta t u được

 :  X i   Gi là phép giải x ảnh của  Gi . Ta có
iI

iI

iI











Torn  Gi , A  H n  X i  A  H n   X i  A
iI

iI

iI



  H n  X i  A   Torn  Gi , A
iI

iI

1.3.5.4. Tính chất
Cho R – môđun p ải G và dãy khớp ngắn các R – môđun trá





0  A  A '  A"  0

Ta có dãy khớp dài sau
Tor 1G ,  

Tor 1G , 

E

Torn  G, A  Torn  G, A '  Torn  G, A" Torn1  G, A 
Tor 1G ,  

E

Tor 1G , 

 Tor2  G, A" Tor1  G, A  Tor1  G, A '  Tor1 G, A"
E

1G  

1G 

 G  A  G  A '  G  A"  0 .

trong đó  E

đồng cấu n i trong §1.

Chứng minh
Lấy  : X  G là một phép giải x ảnh của G

 X n  X n1 
với X n  n  0 đều
Vì mơđun x ản



 X1  X 0  G  0

môđun x ảnh.
môđun dẹt nên chúng bảo tồn tính khớp của hàm tử tenxơ,

do đó với mỗi n ta có dãy khớp
0  X n  A  X n  A '  X n  A"  0

Từ đó ta được dãy khớp ngắn các phức


19

0  X  A  X  A '  X  A"  0
Lấ dã đồng đ ều của dãy khớp trên và áp dụng k t quả đã n ắc l i ở bài 1 ta
có dãy vô tận các môđun đồng đ ều sau cũng
Tor 1G ,  

Tor 1G , 

E

Torn  G, A  Torn  G, A '  Torn  G, A" Torn1  G, A 
Tor 1G ,  

E

Tor 1G , 

 Tor2  G, A" Tor1  G, A  Tor1  G, A '  Tor1 G, A"
1G  

E

1G 

 G  A  G  A '  G  A"  0 .

Tương tự, ta cũng có t n c ất sau
1.3.5.5. Tính chất
Cho R – môđun trá A v dã k ớp ngắn các R – môđun p ải




0  G G 'G "  0

Ta có dãy khớp dài sau

Tor   ,1A 

Tor  ,1A 

E

Tor   ,1A 

E

Torn  G, A  Torn  G ', A  Torn  G ", A Torn1  G, A 
Tor  ,1A 

 Tor2  G ", A Tor1  G, A  Tor1  G ', A  Tor1  G ", A
E

 1A

 1A

 G  A  G ' A  G " A  0 .

trong đó  E

đồng cấu n i trong §1.


20

§4. Các kết quả về hàm tử Torn trong phạm trù các nhóm Abel

Ta xem xét một vài tính chất đặc trưng của hàm tử Torn trong ph m trù này.
1.4.1. Bổ đề

 mơđun, n có một bi t mọi

Với bất kỳ nhóm abel G có thể xem n ư

mơđun đều đẳng cấu vớ môđun t ương của môđun tự do nên G  F R với phép
giải x ản độ dài bằng hai.
Ta đã F

môđun tự do, cho ta dãy khớp ngắn
i



0  R  F G  0

trong đó R

mơđun con của mơđun tự do F trên vành chính

mơđun tự do. N ư vậy dãy khớp trên có thể xem n ư

nên R cũng

p ép g ải tự do độ dai

bằng hai và nó cũng là phép giải x ản độ dài bằng hai của A.
1.4.2. Tính chất

 mơđun, ta có

Với G, A là các nhóm abel có thể xem n ư

Torn G, A  0, n  2 .
Chứng minh
Từ bổ đề 1.4.1, G sẽ có phép giải x ảnh dộ dài 2

E :0  R  F G 0
Do đó Torn G, A  0, n  2 .
Do đó a dã k ớp dài vơ tận của hàm tử Torn chuyển thành dãy khớp sau
*

*

0  Tor  G, A Tor  G ', A Tor G ", A
E

 1A

 1A

G  A  G ' A  G " A  0
và
*

*

0  Tor  G, A Tor  G, A ' Tor  G, A"