BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH
______________________
Lục Văn Hào
LÍ THUYẾT NEVANLINNA pADIC
VÀ CÁC ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC
Thnh phố Hồ Chí Minh – 2009
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH
______________________
Lục Văn Hào
LÍ THUYẾT NEVANLINNA pADIC
VÀ CÁC ỨNG DỤNG
Chuyên ngành
Mã số
: Đại số và Lí thuyết số
: 60 46 05
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học
PGS.TS. MỴ VINH QUANG
Thnh phố Hồ Chí Minh – 2009
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM
----------------------------------------------------------------------------
LỤC VĂN HÀO
LÍ THUYẾT NEVANLINNA p-ADIC
VÀ CÁC ỨNG DỤNG
Chuyên ngành : ĐẠI SỐ và LÍ THUYẾT SO
Mã số : 60 46 05
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS. TS. MỴ VINH QUANG
Thành phố Hồ Chí Minh - 2009
LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên tôi xin gửi đến PGS.TS. Mỵ Vinh Quang, người thầy đã tận
tình hướng dẫn và giúp đỡ tơi trong suốt q trình học tập và làm luận văn, lòng biết
ơn chân thành và sâu sắc nhất.
Xin chân thành cảm ơn thầy Trần Huyên, thầy Bùi Tường Trí, thầy Bùi
Xn Hải, thầy Lê Hồn Hố, thầy Đậu Thế Cấp và tất cả các thầy cô khác đã
trực tiếp tham gia giảng dạy, truyền đạt kiến thức cho tơi trong suốt q trình học
tập.
Cuối cùng tơi xin cảm ơn các anh chị ở phịng Khoa học cơng nghệ và sau
Đại học, các đồng nghiệp, bạn bè đã động viên và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi
học tập trong suốt thời gian qua và hoàn thành luận văn này.
TP. Hồ Chí Minh, 08/2009
Lục Văn Hào
MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cảm ơn
Mục lục
MỞ ĐẦU ............................................................................................................................ 1
Chương 1. MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA GIẢI TÍCH p-ADIC ............................ 4
1.1.
Chuẩn Archimedean và chuẩn phi Archimedean ........................................... 4
1.2.
Trường các số p-adic
1.3.
Trường các số phức p-adic
p
và vành
p
p
......................................................... 7
...................................................................... 9
Chương 2. HAI ĐỊNH LÍ CƠ BẢN CỦA LÍ THUYẾT NEVANLINNA p-ADIC .... 10
2.1.
Các hàm đặc trưng ........................................................................................ 10
2.2.
Hai định lí cơ bản của lí thuyết Nevanlinna p-adic ...................................... 15
2.3.
Nhận xét và một số định lí mở rộng ............................................................. 23
Chương 3. NHỮNG ỨNG DỤNG CỦA LÍ THUYẾT NEVANLINNA p-ADIC ....... 29
3.1.
Ứng dụng lí thuyết Nevanlinna p-adic để giải quyết giả thuyết abc cho trường
hàm p-adic .................................................................................................... 29
3.2.
Ứng dụng lí thuyết Nevanlinna p-adic để giải quyết bài tốn Waring cho
trường hàm p-adic ......................................................................................... 50
KẾT LUẬN ....................................................................................................................... 61
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................... 62
PHỤ LỤC
1
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Giải tích p-adic là một chuyên ngành toán học mới đang được phát triển và ứng
dụng trong lĩnh vực lí thuyết số hiện đại, góp cơng lớn vào hai thành tựu nổi bật
trong thế kỉ 20 của lí thuyết số hiện đại là chứng minh được định lí lớn Fermat
(Andrews Wiles, 1994) và chứng minh được giả thuyết Taniyama – Shimura (1999).
Là một nội dung thuộc chuyên ngành giải tích p-adic, lí thuyết Nevanlinna p-adic
đã được xây dựng, nghiên cứu và có nhiều ứng dụng trong việc khảo sát tính chất
của các hàm nguyên và hàm phân hình p-adic.
Vì lí do đó, chúng tơi chọn đề tài : “Lí thuyết Nevanlinna p-adic và các ứng
dụng” nhằm mục đích tiếp cận một lí thuyết tốn học mới đang phát triển.
2. Lịch sử vấn đề
Lí thuyết Nevanlinna p-adic lần đầu tiên được xây dựng bởi Hà Huy Khoái, Mỵ
Vinh Quang và Boutabaa vào những thập kỉ cuối của thế kỉ trước (xem [2], [5]) và
ngay sau đó lí thuyết Nevanlinna p-adic đã được mở rộng và tổng quát bởi nhiều tác
giả khác cho trường hợp nhiều chiều và cho siêu mặt.
Giả thuyết abc và bài toán Waring là hai vấn đề rất mới của Lí thuyết số hiện đại
và hiện vẫn đang được các nhà toán học trên thế giới tìm tịi hướng giải quyết trong
tập hợp các số nguyên. Một thành tựu nổi bật trong việc nghiên cứu hai vấn đề trên
trong tập hợp các số nguyên là đã góp phần giúp chứng minh được định lí cuối cùng
của Fermat một cách đầy đủ và toàn diện.
Trong những năm gần đây, nhiều tác giả đã ứng dụng thành cơng lí thuyết
Nevanlinna p-adic để giải quyết các vấn đề liên quan đến giả thuyết abc và bài tốn
Waring cho các hàm ngun và hàm phân hình p-adic.
3. Mục đích nghiên cứu
2
Ứng dụng hai định lí cơ bản của lí thuyết Nevanlinna p-adic để nghiên cứu giả
thuyết abc trong trường các hàm p-adic và tìm lời giải cho bài tốn Waring trong
trường các hàm p-adic.
4. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các phương pháp cơ bản của Đại số và Lí thuyết số hiện đại, đặc biệt là
căn cứ vào hai định lí cơ bản trong lí thuyết Nevanlinna p-adic để giải quyết các vấn
đề được đặt ra.
5. Ý nghĩa khoa học thực tiễn của đề tài
Luận văn đã trình bày được nội dung của lí thuyết Nevanlinna p-adic, chứng
minh được các định lí để giải quyết được giả thuyết abc cho trường các hàm p-adic
và tìm lời giải cho bài tốn Waring trong trường các hàm p-adic.
6. Cấu trúc luận văn
Luận văn được phân bố trong ba chương với nội dung cụ thể như sau :
Chương 1. Một số vấn đề cơ bản của giải tích p-adic
Chương này trình bày một số kiến thức để chuẩn bị cho các chương sau bao gồm
: chuẩn trên trường, xây dựng trường số p-adic
p
và vành các số nguyên p-adic