Ma trận, định ước và môđun trên vành giao hoán có đơn vị có ước của không

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Lê Thị Thu Huyền

MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ MƠĐUN TRÊN
VÀNH GIAO HỐN CĨ ĐƠN VỊ
CĨ ƯỚC CỦA KHƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Tp. Hồ Chí Minh, tháng 10/2011


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HỒ CHÍ MINH

Lê Thị Thu Huyền

MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ MODULE
TRÊN VÀNH GIAO HỐN CĨ ĐƠN VỊ
CĨ ƯỚC CỦA KHƠNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC
Chun ngành: Đại số và lí thuyết số
Mã số: 60 46 05

Người hướng dẫn khoa học: TS. TRẦN HUYÊN

Tp, Hồ Chí Minh, tháng 10/2011

LỜI CẢM ƠN
B
0

Lời đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến q thầy cơ khoa Tốn trường Đại học sư
phạm thành phố Hồ Chí Minh về sự tận tình giảng dạy chúng tơi trong suốt khóa học vừa qua.
Đặc biệt, tôi xin được chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Trần Huyên, người thầy
đã giao đề tài và tận tình hướng dẫn tơi trong q trình hồn thành luận văn này.
Cuối cùng tơi xin cảm ơn đến các bạn, những học viên cao học khóa 19, đã cùng tơi đồng hành
và giúp đỡ tơi trong thời gian qua.

Hồ Chí Minh, ngày 19 tháng 9 năm 2011
Lê Thị Thu Huyền


MỤC LỤC
B
1

LỜI CẢM ƠN .......................................................................................................................... 3
0T

T
0

MỤC LỤC ................................................................................................................................ 4
0T

T
0

MỞ ĐẦU .................................................................................................................................. 7
0T

T
0

CHƯƠNG 1: Kiến thức chuẩn bị ............................................................................................ 8
0T

0T

1.1.Các kiến thức cơ bản về vành .................................................................................................................. 8
0T

0T

1.1.1.Vành giao hốn có đơn vị: ............................................................................................................... 8
T
0

0T

1.1.2.Ideal của vành giao hoán R: ............................................................................................................. 8
T
0

0T

1.1.3.Ideal sinh bởi tập X .......................................................................................................................... 8

T
0

0T

1.2.Ước của 0 và miền nguyên ...................................................................................................................... 8
0T

0T

1.2.1.Ước của 0 trong vành giao hoán có đơn vị: ...................................................................................... 8
T
0

T
0

1.2.2.Miền nguyên: ................................................................................................................................... 8
T
0

0T

Trong miền nguyên có luật giản ước cho các phần tử khác 0. Thật vậy: ............................. 9
0T

T
0

1.3.Linh tử hóa: ............................................................................................................................................. 9

0T

T
0

1.4.Module: ................................................................................................................................................... 9
0T

T
0

1.4.1.Module: ........................................................................................................................................... 9
T
0

0T

1.4.2.Module con ...................................................................................................................................... 9
T
0

0T

1.4.3.Ví dụ :............................................................................................................................................ 10
T
0

T
0

1.5.Module tự do ......................................................................................................................................... 10
0T

0T

1.5.1.Định nghĩa: .................................................................................................................................... 10
T
0

0T

1.5.2.Ví dụ:............................................................................................................................................. 10
T
0

T
0

1.5.3.Một vài định lí: .............................................................................................................................. 10
T
0

0T

CHƯƠNG 2: MA TRẬN TRÊN VÀNH GIAO HỐN CĨ ĐƠN VỊ, CĨ ƯỚC CỦA
0T

KHƠNG ...................................................................................................................................12
T
0

2.1. KHÁI NIỆM VỀ MA TRẬN ................................................................................................................ 12
0T

0T

2.1.1. Định nghĩa MA TRẬN: ................................................................................................................ 12
T
0

0T


2.1.2. Một số ma trận dạng đặc biệt : ...................................................................................................... 12
T
0

0T

2.1.3. Các phép toán trên ma trận ............................................................................................................ 13
T
0

0T

2.1.4. Một số tính chất khác của các phép tốn trên ma trận: ................................................................... 14
T
0

T

0

2.1.5. Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận .......................................................................................... 14
T
0

T
0

2.1.6.Ma trận bậc thang .......................................................................................................................... 15
T
0

0T

2.2. ĐỊNH THỨC ....................................................................................................................................... 16
0T

0T

2.2.1. Định nghĩa 2.2.1: .......................................................................................................................... 16
T
0

0T

2.2.2. Các tính chất cơ bản của định thức: ............................................................................................... 17
T
0

T
0

2.2.3. Ma trận con và định thức con: ....................................................................................................... 17
T
0

0T

2.2.4. Một số định lý khai triển định thức:............................................................................................... 18
T
0

T
0

2.2.5. Ma trận khả nghịch ....................................................................................................................... 19
T
0

0T

2.3. ĐỊNH NGHĨA HẠNG CỦA MA TRẬN .............................................................................................. 21
0T

T
0

Định nghĩa 2.3.1 (Định nghĩa 1): ............................................................................................................ 21
T

0

0T

Định nghĩa 2.3.2: .................................................................................................................................... 22
T
0

0T

Hệ quả 2.3.2: .......................................................................................................................................... 23
T
0

0T

Định nghĩa 2.3.3. (Định nghĩa 2): ........................................................................................................... 24
T
0

0T

Tính chất 2.3.3:....................................................................................................................................... 24
T
0

0T

2.4. Hệ phương trình tuyến tính ................................................................................................................... 29
0T

0T

Định lí 2.4.1: .......................................................................................................................................... 29
T
0

0T

Hệ quả 2.4.1: .......................................................................................................................................... 31
T
0

0T

Định lí 2.4.2: .......................................................................................................................................... 32
T
0

0T

Định lí 2.4.3: .......................................................................................................................................... 33
T
0

0T

Ví dụ 2.4.3:............................................................................................................................................. 33
T
0

T
0

Định lí 2.4.4: .......................................................................................................................................... 34
T
0

0T

Hệ quả 2.4.4: .......................................................................................................................................... 36
T
0

0T

CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG TRONG LÍ THUYẾT MODULE .............................................37
0T

T
0

3.1. HẠNG CỦA HỆ HỮU HẠN PHẦN TỬ TRÊN MODULE TỰ DO..................................................... 37
0T

T
0


Định nghĩa 3.1.1: .................................................................................................................................... 37

T
0

0T

Định lí 3.1.1: .......................................................................................................................................... 37
T
0

0T

Định lí 3.1.2: .......................................................................................................................................... 37
T
0

0T

Ví dụ 3.1.2:............................................................................................................................................. 38
T
0

T
0

Bổ đề 3.1.2: ............................................................................................................................................ 38
T
0

T
0

Định lý 3.1.3........................................................................................................................................... 39
T
0

0T

Hệ quả 3.1.3: .......................................................................................................................................... 39
T
0

0T

Hệ quả 3.1.3: .......................................................................................................................................... 41
T
0

0T

3.2. HẠNG CỦA MODULE TỰ DO .......................................................................................................... 41
0T

0T

Định lí 3.2.1: .......................................................................................................................................... 41
T
0

0T

Định nghĩa 3.2.1 (Hạng của module tự do).............................................................................................. 42
T
0

T
0

Định lí 3.2.2............................................................................................................................................ 43
T
0

T
0

Ví dụ 3.3.2:............................................................................................................................................. 45
T
0

T
0

KẾT LUẬN .............................................................................................................................46
0T

T
0

TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................................47
0T

0T


MỞ ĐẦU
B
2

Đại số tuyến tính nói chung và lí thuyết ma trận nói riêng được xây dựng trên trường số
thực. Trường là cấu trúc đại số trọn vẹn nhất nên việc xây dựng ma trận trên đó có nhiều kết
quả đa dạng và phong phú. Những kết quả này, chúng ta đã được học trong chương trình đại số
tuyến tính năm nhất đại học. Tuy nhiên nếu thay trường bẳng một cấu trúc đại số khác, mà cụ
thể ở đây là trên vành giao hốn có đơn vị, có ước của khơng thì các kết quả đã biết có cịn
đúng, hay được thay đổi và biến dạng như thế nào? Những kết quả nào vẫn giữ ngun, tính
chất nào khơng cịn bảo tồn và vì sao? Những biến đổi đó có ảnh hưởng và liên hệ như thế nào
trong lí thuyết mơđun trên vành giao hốn có đơn vị, có ước của khơng.
Vấn đề đặt ra giúp ta nhìn lại những kết quả đã biết trong một hướng gợi mở mới mẻ, qua
đó tìm hiểu những tính chất khác biệt của ma trận, định thức và môđun trên vành giao hốn có
đơn vị, có ước của khơng.
Bố cục luận văn được chia thành ba chương
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Chương 2: Ma trân trân và định thức trên vành giao hốn có đơn vị
Chương 3: Ứng dụng trong lí thuyết mơđun
Tuy đã có nhiều cơ gắng nhưng do thời gian và khả năng có hạn nên luận văn này khơng tránh
khỏi những thiếu sót, mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và các bạn. Xin chân thành
cảm ơn.


CHƯƠNG 1: Kiến thức chuẩn bị
3B

1.1.Các kiến thức cơ bản về vành
9B

1.1.1.Vành giao hốn có đơn vị:
B
0
2

 Một vành R gọi là giao hốn nếu phép nhân của nó là giao hoán, tức ∀a , b ∈ R , ta có

ab = ba .
 Một vành R được gọi là có đơn vị nếu phép nhân của nó có đơn vị, kí hiệu là 1, tức là

∀a , b ∈ R , ta có a.1 = 1.a = a .

1.1.2.Ideal của vành giao hoán R:
B
1
2

Một ideal của vành giao hoán R là một vành con A của R có tính chất hấp thụ đối với phép nhân
bên trái và bên phải. Tức là:

a.r ∈ A, r.a ∈ A với ∀r ∈ R , ∀a ∈ A .

1.1.3.Ideal sinh bởi tập X
B
2

Cho X là tập con bất kì của vành R.

Giao của tất cả các ideal của R chứa X được gọi là ideal sinh bởi tập X.
Đó chính là ideal nhỏ nhất chứa X trong R.

1.2.Ước của 0 và miền ngun
10B

1.2.1.Ước của 0 trong vành giao hốn có đơn vị:
B
3
2

Cho R là vành giao hốn có đơn vị, phần tử a ≠ 0 của R được gọi là ước của 0 nếu tồn tại phần
tử b ≠ 0 của R sao cho ab = 0 . Khi đó ta nói R là vành có ước của 0.
Ví dụ:

 a 0 

, a , b ∈ R  là vành giao hốn có đơn vị và có ước của 0,
Vành M 2 = 
 0 b 

 7 0  0 0
 7 0  0 0   0 0 
 và 
 .
, 
 = 

vì trong M 2 có ma trận khác 0 là 
0

0
0
7
0
0
0
7
0
0


 
 




1.2.2.Miền nguyên:
B
4
2

Một vành giao hốn có đơn vị 1 (1 ≠ 0 ) và khơng có ước của 0 được gọi là miền nguyên.


Trong miền nguyên có luật giản ước cho các phần tử khác 0. Thật vậy:
4B

∀a , b, c ∈ R , a ≠ 0 : ac = bc ⇒ a (b − c ) = 0 ⇒ b − c = 0 ⇒ b = c .

1.3.Linh tử hóa:
1B

Cho M là R module.
 Với m ∈ M, Ann R (m ) = {x ∈ R xm = 0} gọi là linh tử hóa của phần tử m trong R.


Ann R (M ) = {x ∈ R xm = 0, ∀m ∈ M} gọi là linh tử hóa của M.

Nhận xét:
o Ann R (m ), Ann R (M ) là các ideal của R.
o Ann R (M ) = ∩ {Ann R (m ), ∀m ∈ M} .
o Với m ∈ M \ {0} , H = ∪ Ann R (m ) là tập tất cả ước của 0 của M.
o Nếu A ⊂ B thì Ann R (B) ⊂ Ann R (A ) với A, B là R- module

1.4.Module:
12B

1.4.1.Module:
B
5
2

Gỉa sử R là một vành giao hốn có đơn vị 1. Một module trên R là một nhóm abel M (viết theo
lối cộng) cùng với một ánh xạ

R×M → M
(a , x ) a ax
thường gọi là phép nhân vô hướng trong R, thỏa mãn các điều kiện sau đây:

1) a (x + y ) = ax + ay
2) (a + b )x = ax + bx
3) (ab )x = a (bx )
4) 1x = x
với a , b ∈ R , x , y ∈ M

1.4.2.Module con
B
6
2

Cho R-module M và tập con khác rỗng N ⊂ M, N được gọi là module con của M nếu

∀x , y ∈ N, ∀r ∈ R : x + y ∈ N, rx ∈ N.
Mỗi R-module M bất kì có hai module con tầm thường là M và module 0.


1.4.3.Ví dụ :
B
7
2

1) Mỗi nhóm abel là một module trên vành Z.
2) Nhóm cộng chỉ gồm một phần tử 0 là một module trên một vành bất kì, được gọi là
module 0.
3) Mỗi không gian vectơ trên một trường K là một module trên K và ngược lại.
4) Module con của Z-module M chính là nhóm con của nhóm abel M (đối với cộng)
5) Nếu

A

là

một

ideal

của

vành

R

và

M

là

một

R-module

thì

AM = {a 1 x 1 + ... + a n x n a i ∈ A, x i ∈ M, n ∈ N} là R-module con của M.

1.5.Module tự do
13B

1.5.1.Định nghĩa:
B
8
2

Giả sử M là một R-module
 Tập con khác rỗng S của M được gọi là cơ sở của M nếu mỗi phần tử của M đều có thể biểu
thị tuyến tính duy nhất qua các phần tử của S. Nói cách khác, phần tử 0 của M có cách biểu
diễn duy nhất. Tức là:
Nếu

với

r1 , r2 , ...., rn ∈ R và

thỏa

s1 , s 2 , ...., s n ∈ S

0 = r1s1 + r2 s 2 + .... + rn s n thì

r1 = r2 = .... = rn = 0 .
 Module M được gọi là tự do nếu nó có một cơ sở, hoặc nó là module 0.

1.5.2.Ví dụ:
B
9
2

{

Trên tập R n = (x 1 , x 2 , ..., x n ) x i ∈ R , i = 1, n

}

với hai phép toán sau:

(x1 , x 2 , ..., x n ) + (y1 , y 2 , ..., y n )= (x 1 + y1 , x 2 + y 2 , ..., x n + y n )
r (x 1 , x 2 , ..., x n ) = (rx 1 , rx 2 ,..., rx n )
trong đó r, x i , y i thuộc R.
Khi đó R n là R-module tự do có cơ sở e1 = (1, 0, ..., 0 ), e 2 = (0,1, 0, ....0 ), e n = (0, 0, ...,1) .

1.5.3.Một vài định lí:
B
0
3

Định lí 1: Nếu họ (M i )i∈I là các R module tự do thì M = ⊕ M i cũng là R module tự do.
i∈I


Định lí 2: R-module M là tự do khi và chỉ khi M đẳng cấu với tổng trự tiếp của họ nào đó các
bản sao của vành hệ tử R.


CHƯƠNG 2: MA TRẬN TRÊN VÀNH GIAO HỐN CĨ ĐƠN VỊ, CĨ ƯỚC
CỦA KHƠNG
5B

2.1. KHÁI NIỆM VỀ MA TRẬN

14B

Xét R là vành giao hốn có đơn vị

2.1.1. Định nghĩa MA TRẬN:
B
1
3

Cho m, n là hai số nguyên dương.
Ma trận A cấp m × n trên R là một hệ gồm m × n hệ tử a ij thuộc R với i = 1, n , j = 1, m và được
R

R

sắp xếp thành hình chữ nhật gồm m dịng và n cột .
 a 11

a
A =  21
...

a
 m1

a 12
a 22
...
a m2

... a 1n 

... a 2 n 
... ... 

... a mn 

Trong đó a ij là một phần tử ở dòng thứ i và cột thứ j hay ở vị trí (i, j) của ma trận A.
R

R

Tập hợp tất cả ma trận cấp m × n trên R kí hiệu M (m × n , R ) .

2.1.2. Một số ma trận dạng đặc biệt :
B
2
3

1) Ma trận khơng :
Ma trận A cấp m × n trên R được gọi là ma trận không nếu tất cả các phần tử của A đều
bằng 0. Kí hiệu: (0 )m×n .
2) Ma trận vng :
Ma trận A cấp m × n trên R được gọi là ma trận vuông nếu m = n
Khi đó ma trận A được gọi là ma trận vuông cấp n trên R. Tập hợp tất cả các ma trận
vng cấp n trên R kí hiệu là M(n,R).
3) Ma trận tam giác: Cho ma trận A cấp n trên R. Ma trận A được gọi là ma trận tam giác
trên (dưới) nếu a ij =0 với mọi i > j (i < j) .
R

R

4) Ma trận đường chéo: Ma trận A cấp m × n trên R được gọi là ma trận đường chéo nếu a ij
R

=0 với mọi i ≠ j .

R


5) Ma trận đơn vị : Ma trận vuông A cấp n trên R được gọi là ma trận đơn vị nếu tất cả
các phần tử nằm trên đường chéo chính bằng 1 và các phần tử cịn lại đều bằng 0. Ma
trận đơn vị cấp n trên R kí hiệu là In .
R

R

 Tính chất:
Cho A ∈M(n,R), B ∈ M (m × n , R ) , In là ma trận đơn vị cấp n trên R.
R

Ta có A.I n = I n .A = A, B.I n = B .

( )

R

( )

6) Hai ma trận bằng nhau :Cho A = a ij , B = b ij là hai ma trận cấp m × n trên R. Hai

ma trận A và B được gọi là bằng nhau nếu các phần tử ở cùng vị trí tương ứng bằng
nhau. Kí hiệu A = B hay B = A .

2.1.3. Các phép toán trên ma trận
B
3

1) Phép cộng hai ma trận :

Cho hai ma trận A = (a ij ) và B = (b ij ) có cùng cấp m × n trên R.

Định nghĩa:

Tổng của hai ma trận A và B là ma trận C = (c ij ) cấp m × n với c ij = a ij + b ij .
Kí hiệu: C = A + B
Tính chất:


(A + B) + C = A + (B + C)



A+B = B+A



A + (0 )m×n = (0 )m×n + A



A − A = (0 )m×n

2) Phép nhân hệ tử với ma trận :

Cho ma trận A = (a ij ) cấp m × n và hệ tử k, l trên R .

Định nghĩa:

Tích của k và A là ma trận B = (b ij ) cấp m × n với b ij = k.a ij .
Tính chất:


k (A + B) = kA + kB



(k + l)A = kA + lA
(kl)A = k (lA )



 1.A = A


3) Phép nhân hai ma trận :

Cho hai ma trận A = (a ij ) cấp m × n và B = (b ij ) cấp n × p trên R.

Tích

của

ma

trận

A

và

B

là

ma

trận

C = (c ij )

cấp m × p

c ij = a i1 .b1k + a i 2 .b 2 k + ... + a in .b nk
Kí hiệu: C = A.B .
4) Phép chuyển vị :

Cho ma trận A = (a ij ) cấp m × n trên R.

Định nghĩa:

Ma trận chuyển vị của A là ma trận B = (a ji ) cấp m × n .
Kí hiệu: B = A t
Tính chất:
Cho A, B cấp m × n , C cấp n × p trên R và hệ tử k trên R.


(A + B)t = A t + B t



(A ) = A



(AC)t = C t .A t



(kA )t = k.A t

t t

2.1.4. Một số tính chất khác của các phép tốn trên ma trận:
B
4
3

 Tính chất phân phối:
Cho các ma trận A, B cấp m × n , C cấp n × p , D cấp p × m trên R.
Ta có:

(A + B)C = AC + BC,

D(A + B) = DA + DB

 Tính chất kết hợp:
Cho ma trận A cấp m × n , B cấp n × p , C cấp p × q trên R.
Ta có:

(AB)C = A(BC)

2.1.5. Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận
B
5
3

(

)

Cho ma trận A = (a ij ) cấp m × n trên R. Gọi d i i = 1, m là dòng thứ i của ma trận A.
Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng của ma trận A :

(

)

1) Đổi chỗ hai dòng i, l i = 1, m, i ≠ l của ma trận A.

với

 ...

 a i1
 ...

 a l1
 ...


...

... ...

a i2

... ...

...

... ...

a l2

... ...

...

... ...

... 
 ...


a in 
a
d i ↔ d k  l1

... .
...


a ln 
 a i1
 ...
... 


...

... ...

a l2

... ...

...

... ...

a i2

... ...

...

... ...

... 

a ln 
... 

a in 
... 

2) Nhân vào dòng thứ i ( i = 1, m ) của A với một hệ tử k khác không của R

 ...

 a i1
 ...

 ...

...
a i2
...
...

... ... 

... a in d i → kd i
.
... ... 

... ... 

 ...

 ka i1
 ...

 ...

...
ka i 2
...
...

... ... 

... ka in 
... ... 

... ... 

3) Cộng vào dòng thứ i của A với tích của hệ tử k trên R với dịng thứ 1 ( i, j = 1, m, i ≠ j ) .

 ...

 a i1
 ...

 a l1
 ...


...
a i2
...
a l2
...

...
...
...
...
...

... ... 
 ...


... a in 
 a l1
d i → d i + kd l 

...

... ... .


... a ln 
 a i1 + ka l1
 ...
... ... 


...
a l2
...
a i 2 + ka l 2
...

...
...
...
...
...

...
...
...
... a in
...

...



a ln 

...

+ ka ln 

...


Tương tự trong các phép biến đổi sơ cấp trên, nếu ta thay “dòng “ bằng “cột “ thì ta có các
phép biến đổi sơ cấp trên cột.
Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng và các phép biến đổi sơ cấp trên cột gọi chung là các
phép biến đổi sơ cấp trên ma trận.
Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận giúp ta chuyển được ma trận tới dạng như mong
muốn. Một trong những dạng ma trận mà ta thu được sau một số hữu hạn phép biến đổi sơ
cấp là ma trận bậc thang.

2.1.6.Ma trận bậc thang
B
6
3

1) Định nghĩa 2.1.6:

Cho A = (a ij ) là ma trận cấp m × n trên R.

(

)

A được gọi là ma trận bậc thang theo dòng nếu có một số nguyên r r = 1, min{m, n} và một
dãy các chỉ số cột 1 ≤ j1 < j2 < ... < jr ≤ n , sao cho các phần tử của A thỏa mãn :
a) a ij = 0 nếu r < i ≤ m hoặc ( 1 ≤ i ≤ r và 1 ≤ i ≤ ji )


b) a 1 j , a 2 j , ...., a rj ≠ 0 .
1

2

r

Tương tự ta cũng có ma trận bậc thang theo cột. Ma trận bậc thang theo dòng và ma trận bậc
thang theo cột gọi chung là ma trận bậc thang.
2) Định lí 2.1.6:
Cho A là ma trận khác khơng cấp m × n ( m, n ≥ 2 ) trên miền nguyên R.
Qua một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp trên dòng ta ln đưa được A về dạng ma trận
bậc thang dịng.
3) Hệ quả 2.1.6:
Mọi ma trận vuông khác không cấp n ( n ≥ 2 ) trên miền nguyên R đều có thể đưa về dạng
ma trận tam giác trên (dưới) nhờ một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp dòng (cột).

2.2. ĐỊNH THỨC
15B

Trước hết, ta nhắc lại khái niệm phép thế
Cho tập hợp S = {1,2,..., n} (n>0). Mỗi song ánh σ : S → S được gọi là phép thế bậc n.
Tập hợp tất cả các phép thế bậc n được kí hiệu S n .
R

R

 Với n = 1 : S1 có một phần tử nên ta có ánh xạ sign : S1 → R đồng nhất biến 1S → 1 .
R

R

 Với n = 2 : ∀σ ∈ S n ta xét ánh xạ sign : S n → R biến σ → ∏
i≠ j

σ(i) − σ( j)
với i, j = 1, n
i− j

 Với n ≥ 1 , ta có sign ∈ {1,−1}. Nếu sign = 1 thì σ được gọi là phép thế chẵn, sign = −1 thì σ
được gọi là phép thế lẻ.

2.2.1. Định nghĩa 2.2.1:
B
7
3

Cho A = (a ij ) là ma trận vuông cấp n trên R.
Định thức của ma trận A trên R được cho bởi cơng thức
và kí hiệu là detA hay A

Ta có A =

a11

a12

a 21

a 22

... a1n
... a 2 n

... ... ... ...
a n1 a n 2 ... a nn

∑ signσ.a   a   ...a nσ(n )
1σ1 2σ 2 
σ∈Sn


2.2.2. Các tính chất cơ bản của định thức:
B
8
3

Các tính chất của định thức trên trường mà việc chứng minh chúng khơng phụ thuộc vào tính riêng
biệt của trường (mọi phần tử khác khơng đều khả nghịch) vẫn hồn tồn đúng cho định thức trên
vành giao hốn có đơn vị.
1) Cho ma trận vuông A cấp n trên R và At là ma trận chuyển vị của ma trận A. Khi đó
P

P

det A = det A t .
2) Nếu ma trận vng A cấp n trên R có ít nhất một dịng khơng thì thì detA=0.
3) Nếu đổi chỗ hai dịng bất kì của một ma trận vng thì định thức của nó đổi dấu.
4) Nếu ma trận vng A có hai dịng bằng nhau thì detA=0

5) Cho ma trận vuông A = (a ij ) cấp n trên R. Nếu nhân vào dòng thứ i của ma trận A với hệ tử k
thuộc R ( k ≠ 0 ) thì định thức của ma trận nhận được bằng định thức của A nhân với k, tức là

...
ka i1
...
...

...
ka i 2
...
...

... ...
... ka in
= k. det A
... ...
... ...

Nếu nhân k vào ma trận vng A cấp n thì ta có det (k.A ) = k n det (A )
Nếu ma trận vng A có một dịng bằng bội k ∈ R của một dịng khác thì det A=0.
6) Nếu cộng vào một dịng nào đó của ma trận vng A một bội k ∈ R của một dòng khác thì định
thức của nó khơng đổi.
Cho ma trận vng A = (a ij ) cấp n trên R và giả sử dòng thứ i ( i = 1, n ) của A có tính chất
a ij = b ij + c ij , j = 1, n , b ij , c ij ∈ R . Khi đó, ta có:

det A =

...

...

b i1 + c i1
...
...

bi2 + ci2
...
...

...
...
...
... b in + c in b i1
=
...
...
...
...
...
...

...
... ...
... b in c i1

+
...
... ...
...
... ...

...
bi2
...
...

...
ci2
...
...

... ...
... c in
... ...
... ...

2.2.3. Ma trận con và định thức con:
B
9
3

(

)

Cho A = (a ij ) là ma trận vuông cấp n ( n ≥ 1 ) trên R, ta đặt D = det A và k k = 1, n là số nguyên
dương. Trong ma trận A ta chọn ra k dòng i 1 , i 2 ,…..i k (1 ≤ i1 < i 2 < ... < i k ≤ n ) và k cột cột j 1 ,
R

R

R

R

R

R

R

R

j 2 ,….,j k (1 ≤ j1 < j2 < ... < jk ≤ n ) nào đó. Khi đó những phần tử nằm trên giao của k dòng và k cột
R

R

R

R


đã nói ở trên theo thứ tự đó lập thành ma trận vng cấp k, ma trận đó được gọi là ma trận vuông

 ai j

ai j
=
...

a
 ij

con cấp k của A và được kí hiệu là M i i

1 2 ..i k j1 j2 ... jk

1 2

1 2 ..i k j1 j2 ... jk

2 2

ai

k 1

Định thức của ma trận con M i i

1 2 ....i k

1 k

ai j

...

2 1

Ta có M i i

... a i j 

... a i j 
... ... 

... a i j 

ai j

1 1

2 n

k j2

k k

được gọi là định thức con cấp k của ma trận A và kí hiệu là

Di i

1 2 ....i k

Khi xóa đi k dịng, k cột ở trên của A ta cũng thu được ma trận vuông con cấp (n − k ) của A và kí

hiệu N ( i i

1 2 ..i k j1 j2 ... jk

. Định thức của ma trận con N ( i i

)

1 2 ..i k j1 j2 ... jk

Phần bù đại số của định thức con D i i

1 2 ..i k j1 j2 ... jk

Ai i

1 2 ..i k j1 j2 ... jk

= (− 1)

(i1 + i 2 +..+ i k + j1 + j2 +...+ jk )

.D ( i i

1 2 ...i k j1 j2 ... jk

)

)

kí hiệu là D ( i i

1 2 ..i k j1 j2 ... jk

được kí hiệu là A i i

1 2 ..i k j1 j2 ... jk

)

.

và cho bởi công thức

.

2.2.4. Một số định lý khai triển định thức:
B
0
4

Định lý 2.2.4.1:
Cho A = (a ij ) là ma trận vuông cấp n (n ≥ 2 ) trên R, A ij là bù đại số của a ij , i, j = 1, n .
Khi đó ta có:
n

1) det A = ∑ a ij A ij (Công thức khai triển định thức tho cột thứ j)
i =1

n

2) det A = ∑ a ij A ij (Cơng thức khai triển định thức theo dịng thứ i )
j=1

Hệ quả 2.2.4.1:
Cho A = (a ij ) là ma trận vuông cấp n (n ≥ 2 ) trên R. Nếu tồn tại hai chỉ số i, j = 1, n sao cho a ik ≠ 0
với k = j và a ik = 0 với k ≠ j thì det A = a ik .A ik .
Hệ quả 2.2.4.2: Cho A = (a ij ) là ma trận tam giác trên (dưới ) vuông cấp n (n ≥ 2 ) trên R. Khi đó det
A bằng tích những phần tử nằm trên đường chéo chính của A.
Định lí 2.2.4.2: (Định lí Laplace)


Cho A = (a ij ) là ma trận vuông cấp n (n ≥ 2 ) trên R và trong ma trận A ta chọn ra tùy ý k dòng (hay
k cột) (2 ≤ k ≤ n ) i1 , i 2 , ,..., i k (hay j1 , j2 , ..., jk ) . Khi đó ta có det A = ∑ D k A k , trong đó D k chạy
R

R

khắp tất cả các định thức cấp k của A trên k dòng (hay k cột ) đã chọn, Ak là phần bù đại số của D k .
R

R

R

R

Từ định lí trên ta có hệ quả sau :

Hệ quả 2.2.4.3: Với mỗi ma trận vuông A = (a ij ) cấp n trên R, ta có:

n

1)

∑a
j=1

ij

n

2)

∑a
i =1

ij

det (A )
A kj = δ ik det (A ) = 
0

khi k = i
khi k ≠ i

(∀ i, j = 1, n )

det (A )
A ik = δ jk det (A ) = 
0

khi k = j
khi k ≠ j

(∀ j, k = 1, n )

Định lý 2.2.4.3:
Cho A, B là hai ma trận vng cấp n trên R.
Khi đó det (AB) = det A. det B .

2.2.5. Ma trận khả nghịch
B
1
4

Cho A là ma trận vuông cấp n trên R. Ma trận A được gọi là khả nghịch nếu tồn tại ma trận vuông
cấp n trên R sao cho AB = BA = I n . Khi đó ma trận B được gọi là ma trận nghịch đảo của A, kí
hiệu là B = A −1 .
Ma trận B (nếu có) là duy nhất, thật vậy giả sử tồn tại ma trận C cấp n trên R sao cho AC = CA = I n
,ta có B = BI n = B(AC) = (BA )C = I n C = C .
Tập hợp tất cả các ma trận khả nghịch cấp n trên R, được kí hiệu là GL(n,R).
Tính chất của ma trận khả nghịch:
1) Ma trận đơn vị In là ma trận khả nghịch
R

R

2) Nếu A,B là hai ma trận vng cấp n khả nghịch thì AB cũng là ma trận vuông cấp n khả nghịch
và (AB) = B −1 A −1 .
−1

3) Nếu A là ma trận vuông cấp n khả nghịch thì A −1 , A t cũng là ma trận vuông cấp n khả nghịch và

(A )

−1 −1

= A, (A t ) = (A −1 ) .
−1

t


Định lý 2.2.5: Cho A = (a ij ) là ma trận vuông cấp n trên R. Gọi B = (b ij ) sao cho
b ij = (− 1) det (A ji ) với A ji là ma trận nhận được khi xóa đi dịng j cột i của ma trận A. Khi đó ta
i+ j

có
1) AB = BA = det (A ).I n .
2) Ma trận A khả nghịch khi và chỉ khi định thức của A khả nghịch
Chứng minh 1)
Đặt AB = (c ik ) ∈ M (n , R ) . Khi đó:

(c ik ) = a i1b1k + a i 2 b 2 k + ... + a in b nk
k +1
k+2
k+n
= a i1 (− 1) det (A k1 ) + a i 2 (− 1) det (A k 2 ) + ... + a in (− 1) det (A kn )
Nếu i = k thì ta có:

(c ik ) = a i1 (− 1)k +1 det (A k1 ) + a i 2 (− 1)k +2 det (A k 2 ) + ... + a in (− 1)k +n det (A kn )
i +1
i+2
i+n
= a i1 (− 1) det (A i1 ) + a i 2 (− 1) det (A i 2 ) + ... + a in (− 1) det (A in ) = det A
Nếu i ≠ k thì ta thay dịng thứ k trong ma trận A bằng dòng thứ i, ta nhận được ma trận A' . Trong
ma trận A' nếu ta bỏ đi dịng k cột j thì ta nhận được ma trận bằng với ma trận thu được từ A bằng
cách bỏ đi dòng k cột j, nghĩa là A' kj = A kj .Thay vào biểu thức của (c ik ) ta được

(c ik ) = a i1 (− 1)k +1 det (A'k1 ) + a i 2 (− 1)k +2 det (A'k 2 ) + ... + a in (− 1)k +n det (A'kn ) = det A' = 0
Từ đó, ta có:

det (A )
0

(c ik ) = 

khi i = k
khi i ≠ k

∀i, k = 1, n

Suy ra AB = det (A ).I n
Vậy AB = BA = det (A ).I n .
Chứng minh 2)
Gỉa sử A là ma trận khả nghịch.
Khi đó tồn tại ma trận B ∈ M (n , R ) sao cho AB = BA = det (A ).I n .
Ta có det (AB) = det (A ). det (B) = det (B). det (A ) = 1. Suy ra det A khả nghịch
Nếu det A khả nghịch thì theo 1) ta có:

((

)) (

)

AB = BA = det (A ).I n ⇒ A det (A ) B = det (A ) B A = I n
Vậy ma trận A khả nghịch.

−1

−1


Chú ý: Nếu det A ≠ 0 trong vành giao hốn có đơn vị R thì ta khơng thể kết luận ma trận A khả
nghịch

 2 1
 ∈ M (2, Ζ ) .
Ví dụ 2.2.5: Cho A = 
 2 3
Ta thấy det A = 4 ≠ 0 nhưng 4 không khả nghịch trong Z nên A không khả nghịch trong M (2, Ζ ) .

2.3. ĐỊNH NGHĨA HẠNG CỦA MA TRẬN
16B

Tương tự hạng của ma trận trên trường, ta có một số định nghĩa về hạng của ma trận trên vành R như
sau:

Định nghĩa 2.3.1 (Định nghĩa 1):

B
2
4

Cho ma trận A cấp m × n trên R. Cấp cực đại của những định thức con khác không của A được gọi là
hạng của nó và kí kiệu rk (A ) .
Ví dụ 2.3.1:

 2 5 2
Xét trên vành Z 6 , ma trận A = 1 4 1  .
3 3 0
Ta có det (A ) = 3 ≠ 0 nên theo định nghĩa 1, rk (A ) = 3 .
Dựa trên ý tưởng trong lí thuyết trường, A là ma trận cấp 3 có rk (A ) = 3 nên A là ma trận khả nghịch,
suy ra detA khả nghịch. Nhưng điều này vơ lí vì 3 khơng là phần tử khả nghịch trong Z 6 .
Vậy, định nghĩa 1 không cho ta kết quả tương tự như trên trường về mối quan hệ giữa tính khả nghịch
và hạng của ma trận vuông.
Mâu thuẫu này xuất phát từ đâu? Mọi phần tử khác không trên trường đều khả nghịch, cịn trên vành
phần tử khác khơng chưa chắc đã khả nghịch. Như vậy, nếu ta bỏ qua các ma trận con của A có định
thức là 0 hoặc là ước của 0 thì hạng của ma trận và các tính chất đã có của ma trận trên trường có sự
biến hóa như thế nào?


Định nghĩa 2.3.2:
B
3
4

Cho t ∈1, r với r = min{m, n} , ideal của R sinh ra bởi tất cả các định thức của ma trận con cấp t × t của
A được kí hiệu I t (A ) .
Dựa vào cách tính định thức của định lí Laplace, ta có I t+1 (A ) là ideal con của I t (A ) .

Khi đó ta có dãy sau:

I r (A ) ⊆ I r −1 ⊆ ... ⊆ I 2 ⊆ I1 ⊆ R
Để thuận tiện, ta mở rộng định nghĩa I t (A ) với t là số nguyên bất kì:

(0 )
I t (A ) = 
R

khi t > min{m, n}
khi t ≤ 0

Lúc đó dãy ideal được mở rộng như sau:

(0) = I r +1 (A ) ⊆ I r (A ) ⊆ I r −1 ⊆ ... ⊆ I 2 ⊆ I1 ⊆ I 0 (A ) = R
Bổ đề 2.3.2:
Cho B ∈ M m×p (R ), C ∈ M p×n (R ) . Khi đó I t (BC) ⊆ I t (B) ∩ I t (C ) với t là số nguyên bất kì.
Chứng minh:
Xét 1 ≤ t ≤ min{m, n}
Gọi

C = (δ1 δ 2 ... δ n ) ( δ i là cột thứ i của ma trận) suy ra BC = (Bδ1 Bδ 2 ... Bδ n )
∆ là phần tử sinh của I t (BC) xác định bởi định thức của ma trận con cấp t gồm các cột

j1 , j2 , ..., jt của BC.

(

)

Ta có I t δ j1 δ j2 ... δ jt ⊆ I t (C )

(

) ((

Và ∆ ∈ I t Bδ j Bδ j ... Bδ j = I t B δ j δ j ... δ j
1

2

t

1

2

t

)) ⊆ I (δ
t

j1

δ j ... δ j
2

t

)

Nên ∆ ∈ I t (C ) .
Khơng mất tính tổng qt ta chứng minh với t = n ≤ m .

( )

Gọi ∆ = ∆(i1 , i 2 , ..., i n ;1, 2, ..., n ) trong đó 1 ≤ i1 < i 2 < ... < i n ≤ m và B = b ij ∈ M m×p (R )
P

và Row i (BC) = ∑ b ij Row j (C ) với i = 1, m . Ta có
j=1


∆ = ∆(i1 , i 2 , ..., i n ;1, 2, ..., n )

= det (Row i (BC);....; Row i (BC))
1

n



= det ∑ b i j Row j (C );...; ∑ b i j Row j (C )
j=1
 j=1

p

p

1

=

p

∑c

α1 ...α n
α1 ,...,α n =1

n

det (Row α (C );....; Row α (C ))
1

n

thuộc R và det (Row α (C );....; Row α (C ))∈ I n (C ) . ( lưu ý nếu n > p thì

Trong đó c α1...α n

1

n

det (Row α (C );....; Row α (C )) = 0 ) với α i = 1, p .
1

n

Vậy ∆ = ∆ (i1 , i 2 , ..., i n ;1, 2, ..., n ) ∈ I t (C ) ⇒ ∆ ∈ I t (C ) .

( )
((BC) ) = I (C B ) ⊆ I (B ) = I

Ngoài ra I α (A ) = I α A t
Nên I α (BC) = I α

t

α

t

t

α

t

α

(B)

Hệ quả 2.3.1:
Cho A ∈ M m×n (R ), P ∈ Gl(m, R ), Q ∈ Gl(n , R ) . Khi đó I t (PAQ ) = I t (A ) với t là số nguyên bất kì.
Chứng minh:
Theo bổ đề 4.5, ta có

(
)
I (AQ) ⊆ I (A ) = I ((AQ)Q ) ⊆ I (AQ)

I t (PA ) ⊆ I t (A ) = I t P −1 (PA ) ⊆ I t (PA )
−1

t

t

t

t

Suy ra I t (A ) = I t (PA ) và I t (A ) = I t (AQ)
Ta có I t (PAQ ) = I t ((PA )Q ) = I t (PA ) = I t (A )
Như vậy ta đã chứng minh được I t (PAQ ) = I t (A ) .

Hệ quả 2.3.2:
B
4

Cho A là ma trận cấp m × n trên R.
Theo định nghĩa của I t (A ) và khái niệm linh tử hóa, ta có: Ann R (I t (A )) ⊆ Ann R (I t +1 (A )) .
Từ đó:

(0) = Ann R (R ) ⊆ Ann R (I1 (A )) ⊆ Ann R (I 2 (A )) ⊆ ... ⊆ Ann R (I r (A )) ⊆ Ann R ((0)) = R
Nhận xét:
 Nếu Ann R (I t (A )) ≠ (0 ) thì với ∀k ≥ t , Ann R (I k (A )) ≠ (0 )

 Nếu Ann R (I t (A )) = (0 ) thì phần tử thuộc I t (A ) khơng là ước của 0 trên R.


 Nếu Ann R (I t (A )) = (0 ) thì với ∀k ≤ t , Ann R (I k (A )) = (0 )
Như vậy, nếu Ann R (I t (A )) = (0 ) thì với mọi k ≤ t , ta có:
o phần tử của I k (A ) không là ước của 0 trên R và khác 0.
o các ma trận con cấp k của A có định thức khơng là ước của 0 và khác 0.
Nếu ta gọi q là giá trị lớn nhất của số nguyên t sao cho Ann R (I t (A )) = (0 ) thì các ma trận con của A có
cấp nhỏ hơn q chắc chắn sẽ khơng là ước của 0 và khác 0. Vấn đề lo ngại của ta ban đầu, định thức của
ma trận con của A là ước của 0 sẽ làm thay đổi hạng của ma trận A, đã được giải quyết.

Định nghĩa 2.3.3. (Định nghĩa 2):
B
5
4

Cho A là ma trận cấp m × n trên R.
Hạng của ma trận A được định nghĩa là số nguyên dương t lớn nhất thỏa Ann R (I t (A )) = (0 )
Ta phân biệt với hạng của ma trận theo định nghĩa 1 và kí hiệu hạng của ma trận A là rk (A ) .
Khi đó: rank (A ) = max {t Ann R (I t (A )) = (0 )}.

Tính chất 2.3.3:
B
6
4

Cho A là ma trận cấp m × n trên R.
1) 0 ≤ rank(A ) ≤ min{m, n}
2) rank (A ) = rank (A t )
3) rank (A ) = rank (PAQ ) với P ∈ Gl(m, R ), Q ∈ Gl(n , R )

4) rank (A ) = 0 khi chỉ khi Ann R (I1 (A )) ≠ (0 ) , tức là hạng của ma trận A bằng 0 khi chỉ khi mọi
phần tử của A đều bằng 0 hoặc là ước của 0.
5) Nếu m = n thì rank(A ) < n nếu chỉ nếu định thức của ma trận A là ước của 0.
6) Nếu tồn tại định thức con cấp r của A khác 0 và khơng là ước của 0 thì rank(A ) ≥ r .
Chứng minh:
1) Do I 0 (A ) = R và Ann R (R ) = 0 nên rank (A ) ≥ 0 .
Mà nếu t > min{m, n} thì I 0 (A ) = 0 suy ra Ann R (0 ) = R nên rank (A ) ≤ min{m, n} .

( )

2)do I α (A ) = I α A t nên rk (A ) = rk (A t ).
3) do I t (PAQ ) = I t (A ) nên rank (A ) = rank (PAQ ) .


4), 5), 6): theo định nghĩa 2) của hạng ma trận.
Ví dụ 2.3.2:

 2 2
1) Cho A = 
 trên vành Z 6
0 2
Ta có I1 (A ) = 2 nên Ann R (I1 (A )) ≠ (0 ) . Do đó rank (A ) = 0 .
Trong lý thuyết ma trận trên trường, ma trận có hạng là 0 khi ma trận đó là ma trận (0). Tuy nhiên
trong vành ma trận khác (0) vẫn có thể có hạng bằng 0 như trong ví dụ 1 trên.

( )

Ta có thể dễ dàng chỉ ra rằng A = a ij ∈ M m×n (R ) có rank (A ) = 0 nếu và chỉ nếu tồn tại

(

)

x ∈ R , x ≠ 0 sao cho xa ij = 0 i = 1, n , j = 1, m .

 2 0
2) Cho B = 
 trên vành Z 6
 0 3
Ta có I1 (B) = 2,3 = 1 nên Ann R (I1 (B)) = (0 ) . Suy ra rank (B) ≥ 1 .
Lại có det (B) = 0 nên rank(B) < 2 . Vậy rank (B) = 1 .

1 2
3) Cho C = 
 trên vành Z 6
0 5 
Ta có det (C ) = 5 khả nghịch trên Z 6 nên ma trận C là ma trận khả nghịch.
Vậy rank(C ) = 2 .
Nhận xét:
Nếu F là trường thì Ann F (I t (A )) = (0 ) ⇔ I t (A ) ≠ (0 ) nên hạng A là số nguyên t lớn nhất thỏa A
có ma trận con cấp t × t có định thức khác 0. Nói cách khác nếu R là trường thì định nghĩa 2) về
hạng trùng với định nghĩa quen thuộc về hạng mà ta đã biết trong đại số tuyến tính.
 Một trong những phương pháp để tính hạng của ma trận trên trường phổ biến được dùng là sử
dụng phép biến đổi sơ cấp. Ba phép biến đổi sơ cấp:
1) Đổi chỗ hai dòng của ma trận
2) Nhân một dòng của A với một hệ tử khác 0.
3) Cộng vào một dịng tích của hệ tử k với một dịng khác