Về các radical của các pi đại số

1

BỘ GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHÔ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TỐN


NINH QUANG THẮNG

VỀ CÁC RADICAL CỦA CÁC PI-ĐẠI SỐ

LUẬN ÁN THẠC SỸ KHOA HỌC
CHUYÊN NGÀNH ĐẠI SỐ
MÀ SỐ 1.01.03

THÁNG 02 NĂM 1998


2

BỘ GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TỐN


NINH QUANG THẮNG

VỀ CÁC RADICAL CỦA CÁC PI-ĐẠI SỐ

LUẬN ÁN THẠC SỸ KHOA HỌC
CHUYÊN NGÀNH ĐẠI SỐ
MÃ SỐ 1.01.03

NGƯỜI HƯỚNG DẪN:
PGS.PTS BÙI TƯỜNG TRÍ

THÁNG 02 NĂM 1998


3

LỜI CẢM ƠN
Luận án được hoàn thành trước nhất là do sự hướng dần tận tình của PGS.PTS Bùi
Tường Trí. Khơng có sự hướng dần tận tình ấy, chắc chắn khơng thể có bản luận án này. Vì
vậy, tơi xin gửi tới thầy lịng kính trọng và biết ơn sâu sắc.
Tôi xin chân thành cám ơn các thầy, cô trong Khoa Tốn Đại Học Sư Phạm Tp Hồ
Chí Minh những người đã trang bị cho tôi rất nhiều kiến thức và phương pháp tư duy mà nhờ
vào đố tơi hồn thành được bản luận án này.
Tôi cũng xin gửi tới Phòng Nghiên Cứu Khoa Học, Ban Chủ Nhiệm Khoa l Tốn
Đại Học Sư Phạm Tp Hồ Chí Minh lời cám ơn chân thành nhất về tất cả những điều kiện
thuận lợi mà Q thày cơ đã dành cho tơi.
Cuối cùng, xin cho tôi được cám ơn Ban Giám Hiệu trường Đại Học Kiên Trúc Tp
Hồ Chí Minh nơi tơi đang công tác và tất cả bạn bè gần xa đã động viên, giúp đỡ tôi rất nhiều
ương suốt thời gian tôi làm bản luận án.
Bản luận án này chắc chắn khơng tránh khỏi ứiiếu sót. Kính mong mọi sự góp ý và
chỉ bảo của Q thầy, cơ và tất cả các bạn.


4

MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN ......................................................................................3
MỤC LỤC ............................................................................................4
LỜI MỞ ĐẦU ......................................................................................5
CHƯƠNG I. CÁC KHÁI NIỆM CĂN BẢN ...................................8
A. Các đại số, Ideal và Môđun ....................................................................... 8
B. Các đồng nhất thức .................................................................................. 13

CHƯƠNG II: CÁC RADICAL CỦA CÁC PI - ĐẠI SỐ ..............14
A. Các Radical của một đại số ..................................................................... 14
B. Các Pi – đại số ........................................................................................... 23
C. Các radical trên đại số giao hoán. .......................................................... 25
D. Định lý KAPLANSKY - AMITSUR-LEVITZKI. ................................ 27
E. Các Pi – đại số thảo mãn đồng nhất thức chính qui mạnh. ................. 42
F. Các Radical của các Pi – đại số ............................................................... 46

LỜI KẾT LUẬN ................................................................................57
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................58


5

LỜI MỞ ĐẦU

Người ta thường xét các đại số trên một vành kèm thêm các điều kiện nào đó.
Các điều kiện này thường được thể hiện bởi các "hệ thức" và địi hỏi chúng ln
ln đúng. Chẳng hạn:
Đại số A thỏa mãn hệ thức [a,b] = ab - ba = 0 ∀a,b ∈ A được gọi là đại số
giao hoán.

Đại số A thỏa mãn các hệ thức a 2 = a

∀a∈ A được gọi là đại số Boolean.

Đại số A thỏa mãn các hệ thức ab + ba = 0, a(bc) + b(ca) + c(ab) = 0 ∀a,b, c
∈ A được gọi là đại số Lie…..
Trong luận án này, ta trình bày khái niệm các đồng nhất thức (Identity) trên
các đại số và xét đến các PI- đại số xem như các đại số thỏa mãn đồng nhất thức nào
đó.
Khi xét đến các PI đại số, vấn đề được quan tâm chủ yếu trong luận án nàv là
các radical. Chúng ta khơng chỉ xét đến các radical Tacobson mà cịn định nghĩa và
xem xét các lower nil radical, Levitzki nil radical, upper nil radical của các Pl-đại
số.
Với định nghĩa về các PI đại số thì các đại số giao hốn chẳng qua là Pl-đại số
với một đồng nhất thức cụ thể. Các kết quả trên các đại số giao hoán là phong phú và
dễ nhận biết, cho nên cách tiếp cận nhằm đạt được những kết quả cho một PI đại số
tổng quát là bắt đầu với đại số giao hốn để rồi từ đó tiến hành tổng qt hóa.


6

Vì PI đại số được xem như đại số thỏa mãn một đồng nhất thức, cho nên các kết quả
về các radical của nó khơng chỉ từ lý thuyết về các đại số mà còn phải từ việc nghiên cứu các
tính chất của các đồng nhất thức. Việc xét kỹ các tính chất cùa các đồng nhất thức trên các PI
đại số cho thấy rằng có thể tiến hành "đa tuyến tính hóa" chúng, đưa về việc xét các đồng
nhất thức chuẩn tắc.
Sự kết hợp giữa lý thuyết về các đại số với các kết quả về các đồng nhất thức trên các
Pl-đại số cũng như việc xét chi tiết một số PI- đại số cụ thể như : đại số các ma trận vuông
trêu một vành, đại số các đa thức một biến trên vành giao hoán . . . .v.v đã dẫn đến các kết
quả trình bày trong bản luận án này.

Luận án được chia thành hai phần:
Phần I: Trình bày các kiến thức căn bản. Ngồi các khái niệm về các loại đại số, ideal
và modun được dùng đến ưong phần II, chúng tơi cịn trình bày về các đồng nhất thức
(identity) trên các đại số, về đa thức chuẩn tắc. Một số định lý quan trọng như định lý về trù
mật được trình bày mà khơng chứng minh. Các phép chứng minh đó có thể tìm thấy trong
[1].
Phần II: Trong phần này, để xem xét các radical của các Pl-đại số, chúng tơi trình
bày theo tuần tự như sau:
A. Các radical của một đại số.
B. Các PI-dại số.
C. Các radical của đại số giao hoán. Với khái niệm các PI-đại số thì đại số
giao hốn chỉ là một trường hợp riêng. Vì vậy việc xem xét các radical của các PI đại số được
bắt đầu với việc xét trường hợp riêng này. Kết quả được chúng tối lưu tâm tới để tiến hành
tổng quát hóa là việc lower nil radical, Levitzki lùi radical và upper nil radicaỉ của các đại số
giao hoán là trùng nhau


7

D. Định lý Kaplansky-Amittsur-Levitzki. Việc sử dụng định lý KaplanskyAmitsur-Levitzki sẽ cho phép "đa tuyến tính hóa " các đồng nhất thức của các PI đại số. Đây
là một trong những phương pháp được chúng tôi dùng tới trong việc tổng quát hóa các kết
quá vẻ các radical của đại số giao hoán cho các PI đại số bất kỳ.

E. Các Pl-đại số thỏa mãn đồng nhất thức chính qui mạnh. Việc xét các radical
của các PI đại số thỏa mãn đồng nhất thức chính qui mạnh khơng chỉ là sự tổng quát hóa một
bước những kết quả đã đạt được về các radical của các đại số giao hoán mà cịn là cơng cụ để

tiếp tục tổng qt hóa.

F. Các radical của các PI-đại số. Dựa trên tất cả các kết quả có được trong các phần

trên, cuối cùng chúng ta chứng minh được rằng trong một PI-đại số bầt kỳ thì lower nil

radical, Levitzki nil radical và upper nil radical là trùng nhau. Tuy nhiên chúng không luôn
trùng với radical Jacobson. Ta có những phản ví dụ cho thấy điều trên. Bản luận văn cịn cố
gắng trình bày một số trường hợp về các PI-đại số trong đó tất cả các radical của chúng là

trùng nhau.


8

CHƯƠNG I. CÁC KHÁI NIỆM CĂN BẢN

Chương này sẽ trình bày các khái niệm và kết quả căn bản được sử dụng đến trong
bản luận án này.
Nếu khơng nói gì khác, ta xét phạm trù các đại số có đơn vị (khơng nhất thiết giao
hốn) trên vành giao hỗn có đơn vị K. Các modun được nói tới nếu khơng nói khác đi ln
được hiểu là các modun trái.

A. Các đại số, Ideal và Môđun
Giả sử A là một K-đại số.
1. Modun bất khả qui: Một A-mođun M được gọi là bất khả qui (ireducible) nếu M
≠ 0 và M chỉ có hai modun con là M và 0.
Các điều kiện sau đây đối với một modun M là tương đương:
a) M là A-modun bất khả qui.
b) M = Ax đối với x ∈M , x ≠ 0 nào đó.
c) M≅ A/I với I là ideal trái nào đó của A.
2. Modun hoàn toàn khả qui: Một A-modun M được gọi là hoàn toàn khả qui
(completely reducible) nếu M= ∑α Mα trong đó Mα là các A-modun bất khả qui.
Các điều kiện sau đây đối với một modun M là tương đương:

a) M là A-modun hoàn toàn khả qui.
b) M là tổng trực tiếp các A-raodun bất khá qui.
c) Đối với mọi modun con N của M đều tồn tại modun con N' của M sao cho
M = N⊕N'.


9

3. Modun trung thành: Một A modun M được gọi là trung thành (faithful) nếu a,b∈
A, a ≠b ∃x∈M sao cho ax ≠ bx.
4. Đại số nguyên thủy: Một đại số A được gọi là đại số nguyên thủy (primitive) nếu
có A-modun M bất khả qui, trung thành.
5. Đại số nửa nguyên thủy: Một đại số A được gọi là đại số nửa nguyên thủy (semi
piimitive) hay nửa đơn (semi simple) nếu có A-modun M hồn tồn khả qui, trung thành.
6. Ideal nguyên thủy: Một ideal ρ của đại số A được gọi là ideal nguyên thủy nếu A/
ρ là đại số nguyên thủy.
7. Ideal chính qui: Một ideal phải ρ của đại số A (khơng nhất thiết có đơn vị) được
gọi là ideal phải chính qui nếu ∃ a∈A để x-ax∈ ρ ∀x∈A. Tương tự đối với ideal trái chính
qui.
Rõ ràng khi A là đại số có đơn vị thì mọi ideal đều chính qui.
8.Ideal tựa chính qui: Phần tử a∈A (A khơng nhất thiết có đơn vị) được gọi là tựa
chính qui phải nếu ∃a'∈A sao cho a+ a’ + aa’ = 0. Một ideal phải ρ của đại số A được gọi là
ideal phải tựa chính qui phải nếu ∀x∈p đều tựa chính qui phái.
Tương tự đối với ideal trái tựa chính qui trái.
Khi A là đại số có đơn vị, nếu a∈A là phần tử tựa chính qui phải thì từ đẳng thức a+ a
+ aa' = 0 ⇒ 1+ a+ a + aa' = 1⇒ (1 + a)(l + a') = 1 ⇒ 1 + a khả nghịch phải.
Tương tự khi a∈ A là phần tử tựa chính qui trái.


10

9. Đại số lũy linh, lũy linh địa phương và nil đại số:
Xét đại số A (khơng nhất thiết có đơn vị).
A được gọi là lũy linh nếu 3m sao cho A =0.
A được gọi là lũy linh địa phương nếu mọi tập con hữu hạn của nó đều sinh ra một
đại số con lũy linh.
A được gọi là nil đại số nếu mọi phần tử của nó đều lũy linh.
Một ideal của đại số A được gọi là lũy linh (lũy linh địa phương, nil ideal ) nếu xem là
đại số thì nó là đại số lũy linh (lũy linh địa phương, nil đại số). Hiển nhiên là mọi ideal lũy
linh đều lũy linh địa phương và mọi ideal lũy linh địa phương đều là nil ideal.
Các bổ đề sau là dễ thấy:
Bổ đề I.1: Đại số con và ảnh đồng cấu của một đại số lũy linh (lũy linh địa phương,
nil đại số ) là đại số lũy linh (lũy linh địa phương, nil dại số ).
Bổ đề I.2:

Nếu ρ là ideal của đai số A sao cho ρ và A/ ρ là ideal lũy linh (lũy linh

địa phuong, nil ideal) thì A là đại số lũy linh (lũy linh địa phương, nil đại số ).
Bổ đề I.3: Nếu ρ1, ρ2 là các ideal lũy linh( lũy linh địa phương, nil ideal ) thì ρ1, ρ2
cũng như vậy.
Chứng minh: Đó là vì ta có đẳng cấu (ρ1+ ρ2)/ ρ 2 = ρ1/ ρ2 ∩ ρ2
Bổ đề 1.4: Nếu { ρ } là họ các nil ideal ( hoặc lũy linh địa phương) thì ∑ ρα cũng như
vậy.
Từ bổ đề 1.4 ta suy ngay ra rằng đối vơi một đại số A bất kỳ tồn tại duy nhất một nil
ideal tối đại và nó chứa mọi nil ideal. Cũng vậy tồn tại duy nhất một ideal lũy linh địa
phương tối đại và nó chứa mọi ideal lũy linh địa phương Đây là cơ sở để chúng ta định nghĩa
upper nil radical và Levitzki nil radical ở chương sau.
10.Đại số nguyên tố: Một đại số A được gọi là đại số nguyên tố (prime) nếu 0 là
ideal nguyên tố của A.

11

Các điều kiện sau đây đối với đại số A là tương đương:
a) A là đại số nguyên tố.
b) bAc = 0 ⇒ b = 0 hoặc c = 0.
c) Nếu ρ là ideal trái của A, ⇒ ρ ≠ 0 thì { a∈A/ a ρ =0}=0.
d) Nếu p là ideal phải của A, ρ ≠ 0 thì { a∈A/ ρ a =0}=0.
11. Đại số nửa nguyên tố: Một đại số A được gọi là đại số nửa nguyên tố (semi
priine) nếu A khơng có ideal lũy linh khác khơng.
12. Ideal nửa nguyên tố: Một ideal ρ của đại số A được gọi là ideal nửa nguyên tố
nến A/ ρ là đại số nửa nguyên tố.
13. Đại số đơn: Một đại số A được gọi là đại số đơn nếu A ≠0, A khơng có ideal nào
khác ngồi 0 và A.
Nếu A là đại số đơn. Gọi c={ c∈A/cx=xc ∀x∈A } là tâm của A thì C là trường và A
có thể xem là đại số trên C.
Ta xét trường hợp đặc biệt khi K là một trường. Nếu tâm C của A là C = K1 thì ta nói
rằng A là đại số tâm đơn trên trường K.
Giả sử E là đại số trên trường K chứa các đại số con A và B sao
cho ab =ba ∀a ∈A, b∈B; E sinh bởi A và B và nếu a1 a2…ar là K độc lập thì từ ∑ri=1 ai bi= 0
đối với bi∈B suy ra mọi bi=0. Khi đó ánh xạ: a⊗b⟼ab là một đẳng cấu đại số. Do vậy trong
trường hợp này và khi A , B hữu hạn chiều thì [E:K]=[A:K][B:K].
14. Tích trực tiếp con: Giả sử { A α } là một họ các đại số, xét ∏α Aα là tích trực tiếp
của họ các đại số trên. Một đại số con A của ∏α Aα được gọi là một tích trực liếp con của họ
{ A α } nếu hạn chế trên A của mỗi phép chiếu π α là toàn cấu.


12

Khi A là tích trực tiếp con của { A α }, ta gọi B α = Ker(π α |A) thì A/B α ≅ A α và

⋂α Bα = 0. Ngược lại, giả sử A là một đại số bất kỳ và { B } là họ các iđeal trong A sao cho
⋂α Bα = 0. Khi đó A sẽ đẳng cấu với tích trực tiếp con của họ {Aα} trong đó A α = A/B α.
Liên quan giữa các đại nửa nguyên thủy và nguyên thủy ta có :
Bổ đề I.5: Một đại số là nửa nguyên thủy khi và chỉ khi nó là tích trực tiếp con của
các đại số nguyên thủy.
15.Bổ đề Schur: Nếu M là A-modun bất khả qui thì A’ = End AM là một đại số chia
được.
16.Định lý về trù mật: Giả sử V là không gian vector. Một tập hợp các phép biến đổi
tuyến tính trên V được gọi là trù mật nếu với mọi hệ độc lập tuyến tính {x1, x2, …., xn}⊂ và
mọi hệ {y1, y2, …,yn}⊂V đều tồn tại phép biến đổi tuyến tính a của tập trên sao cho axi = yi ∀
i, 1≤ i ≤ n.
Định lý: Mọi đại số nguyên thủy đều đẳng cấu với một đại số trù mật của các phép
biến đổi tuyến tính của một không gian vector trên đại số chia được.
Giả sử X và Y là các tập hợp. Y X là tập các ánh xạ từ X vào Y.
Với mỗi tập hữu hạn { xi } của X và với mỗi ánh xạ f: X→ Y ta xét tập {g ∈YX /gxi = fxi ∀i }
. Trên YX xác định tôpô (gọi là tôpô hữu hạn) mà hệ cơ sở các tập mở bao gồm các tập hợp
được xác định như trên. Đặc biệt X=Y=V với V là không gian vector trên đại số chia được ∆


13

thì End ∆ V là khơng gian con đóng của V và một tập các phép biến đổi tuyến tính trên V
mà trù mật theo nghĩa trên thì cũng trù mật theo nghĩa tơpơ. Các phép tốn của khơng gian
vector V là các ánh xạ liên tục.

B. Các đồng nhất thức
1) Đại số tự do với tệp đếm được các phần tử sinh:
Giả sử X là vị nhóm tự do sinh bởi một tập đếm được các phần tử x1 , x2

Gọi

K[X] là đại số vị nhóm của X trên K. Nó được gọi là đại số tự do với tập đếm được các phần
tử sinh. X được nhúng vào K[X] và phép nhúng nhưng i: X →K[X] có tính phổ dụng: Với A
là một đại số bất kỳ và ánh xạ σ: X→ A luôn tồn tại duy nhất đồng cấu : K[X]→A sao cho
ηi= σ
2. Đồng nhất thức:
Nếu f ∈ K[X] thì f∈K{x1 x2,... ,xm } với K{x1,x2….. xm }là đại số con sinh bởi
tập hữu hạn { x1, x2, . . . , xm} với m nào đó. Do đó ta viết f = f(x1 x2, ..., xm).
Nếu f = f(x1, x2, . . . , xm ) ∈ K[X] và A là một đại số thì ∀a1,a2….am ∈A, xét
ánh xạ: X → A mà xi ⟼ ai sẽ tồn tại duy nhất đồng cấu η : K[X] → A. Ta gọi ảnh của f qua
đồng cấu này là f(a1, a2,..., am ).
Định nghĩa: Nếu f(a1, a2,... ,am) = 0 ∀ a1, a2,..., am ∈ A thì ta nói rằng f là một đồng
nhất thức trên A trên tập các phép thế của n phần tử.
3) Đa thức chuẩn tắc: Đa thức chuẩn tắc bậc n là đa thức:

Trên tập các phép thế của n phần tử.


14

CHƯƠNG II: CÁC RADICAL CỦA CÁC PI - ĐẠI SỐ
Trong chương này, chúng ta trình bày các kết quả về upper nil radical, lower nil
radical, Levitzki nil radical và radical Jacobson trên các PI-dạị số. Khái niệm các PI-đại số
được xem như một sự tổng quát hoá khái niệm các đại số giao hoán. Ta sẽ chứng minh upper
nil radical, lower nil radical và Levitzki nil radical của các đại số giao hốn là trùng nhau. Kết
quả nói trên đối với các đại số giao hoán được tổng quát hoá đối vơi một PI-đạị số bất kỳ.
Chúng ta cũng đưa ra một số trường hợp trong đó các nil radical nói trên trùng với radical
Jacobson. Đồng thời cũng đưa ra một số trường hợp trong đó chúng khơng trùng với radical
dacobson.

A. Các Radical của một đại số
Trước nhất, chúng ta đưa ra định nghĩa về các radical của một đại số A (khơng nhất
thiết giao hốn, có đơn vị) trên vành K có đơn vị, giao hốn. Các khái niệm về đại số nguyên
tố, nửa nguyên tố, nil đại số, đại số lũy linh và lũy linh địa phương không có gì thay đổi so
vơi việc xét các đại số có đơn vị.
Do bổ đề 1.4 ở chương trước , các định nghĩa về upper nil radical và Levitzki nil
radical như sau đây là hợp lý. Viêc định nghĩa lower nil radical khó khăn hơn vì tổng các
ideal lũy linh không nhất thiết là lũy linh.
Upper nil radical
Định nghĩa II.1: Nil ideal tối đại cứa một đại số A được gọi là upper nil radical của A.
Levitzki nil radical
Định nghĩa II.2: Ideal lũy linh địa phương tối đại của một đại số A được gọi là Levitzki nil
radical của A.
Lower nil radical


15

Tổng tắt cả các ideal lũy linh của đại số A không nhất thiết là ideal lũy linh. Gọi tổng
này là N(0). Ta định nghĩa một dãy siêu hạn các ideal như sau:
N(0) đã được xác định như ở trên. Nếu α là tự số không là tự số giới hạn thì α = β + 1,
ta định nghĩa N(α) là ideal trong A sao cho N(α)/N(β) là tổng tất cả các ideal lũy linh của
A/N(β). Còn nếu α là tự số giới hạn thì định nghĩa N(α) = ⋃α<β N(β).
Rõ ràng N(α)c N(α ') nếu α < α ' cho nên tồn tại tự số τ đầu tiên sao cho N(τ) = N(τ +
1). Do N(0) là nil ideal nên N(τ) là nil ideal.
Định nghĩa II.3: N(τ) được gọi là lovver nil radical của A.
Radical Jacobson
Định nghĩa 11.4: Giao tất cả các ideal phải tối đại, chính qui của đại số A được gọi là
Radiacal Jacobson của A.
Ta ký hiệu: Upper nil radical của A là Un(A).

Levitzki nil radical của A là L(A).
Lower nil radical của A là ln(A).
Radical Jacobson của A là J(A).
Mục tiêu của chúng ta là khảo sát cấc radical nói trên đối với cấc PI-đại số. Để có thể
thấy được các kết quả về các radical của các PI-đại số, chúng ta sẽ trước nhất xem xét các
tính chất về các radical nói trên.
Mệnh đề II.1: A/ln(A) không chứa ideal lũy linh khác không ( Tức là A/ln(A) là đại số nửa
nguyên tố ).
Chứng minh:
Theo định nghĩa ln(A) = N(τ ) = N(τ +1). Nhưng N(τ +1) là ideal trong A sao cho N(τ
+1)/N(τ) là tổng các ideal lũy linh của A/N(τ ). Suy ra tổng các ideal lũy linh của A/N(τ )
bằng không. Do đó A/N(τ ) khơng chứa ideal lũy linh khác khơng.


16

Mệnh đề II.2: ln(A) trùng với giao các ideal nguyên tố của A.
Chứng minh:
Trước hết ta chứng minh các bổ đề sau:
Bổ đề II.2.1: Đại số A là đại số nửa ngun tố khi và chỉ khi nó là tích trực tiếp con các đại
số nguyên tố.
Chứng minh Bổ đề II.2.1
Giả sử A là tích trực tiếp con của các đại số nguyên tố A α và giả sử N là ideal lũy
linh của A. Rõ ràng N α = π α (N) là ideal lũy linh A α .Vì A α là đại số nguyên tố nên N α =
0. Điều này đúng với mọi a nên N α = 0. Như vậy A không, chứa ideal lũy linh khác không.
Tức là A là đại số nửa nguyên tố.
Ngược lại, giả sử A là đại số nửa nguyên tố và giả sử B ≠0 là ideal của A. Chọn b1
∈B, b1 ≠ 0 thì Ab1A là ideal ≠ 0 chứa trong B. Do (Ab1A)2 = Ab1Ab1A ≠ 0 ( vì nếu khơng A

chứa ideal Ab1A lũy linh ≠ 0, trái với tính nửa ngun tố của A ). Vì Ab1Ab1A ≠ 0 ⇒ bịAb1

≠ 0 ⇒3 a1∈A sao cho b2 = b1a1b1 ≠ 0 và b2 ∈ B. Cứ tiếp tục theo cách trên ta được một dãy

các phần tử b1, b2 = b1a1b1, b3 = b2a2b2, . . . trong đó bi≠ 0, bi ∈B. Đối với dãy nói trên , rõ
ràng ta có bk =biaijbj nếu k > i, j trong đó aij∈A. Do ∀ i, bi ≠ 0 nên (0) ∩{ bi} = ϕ. Xét họ các
ideal Q sao cho Q∩{ bi} = ϕ thì áp dụng bổ đề Zorn ta suy ra tồn tại ideal P là phần tử tối đại
của họ trên. Ta chứng minh P là ideal nguyên tố của A. Thật vậy, giả sử C vàD là các ideal
của A thỏa mẫn C ≢ 0 (mod P), D ≢ 0 (mod P). Xét C1 = C + P thì C1 ⊃P, C1 ≠ p. Do đó ∃bi
∈ C1 (do tính tối đại của P). Tương tự ∃ bj ∈ D1 = D + p. Nếu k > i, j thì bk = biaijbj ∈ C1D1.

Do đó C1D1 ⊄ (bk ∈ C1D1, bk ∉ P). Vì C1D1⊂ CD + P nên CD ≢0(mod P).Như vậy ta đã
chứng minh được nếu C ≢0(mod P), D≢0(mod P) thì CD ≢ 0(mod P). Có nghĩa là P là ideal
nguyên tố. Tóm lại ta đã chứng minh được : nếu B là ideal ≠ 0 của A thì tồn tại ideal nguyên
tố P mà B ⊄ P


17

(do { bi } B mà { bi }∩P. Xét

⋂Q nguyên tố Q , nếu

⋂Q nguyên tố Q ≠ 0 thì ∃ x ≠ 0,x ∈ Q

đối với mọi ideal ngun tố Q. Khi đó xét B = AxA thì đó sẽ là ideal khác khơng của A mà B
⊂ Q đối với mọi ideal nguyên tố Q. Trái với điều vừa thấy ở trên. Vậy ⋂Q nguyên tố Q

=0

⇒A là tích trực tiếp con của các đại số nguyên tố

Bổ đề II.2.2: Nếu B là ideal của A và { | α }, a∈A là một họ các ideal
của A chứa B thì ⋂α∈A(Iα/B) = ⋂α∈A(Iα) /B)
Chứng minh Bổ đề II.2.2: Hiển nhiên.
Bổ đề II.2.3: Q là ideal nguyên tố của A/B khi và chỉ khi Q = P/B với p là
ideal nguyên tố của A chứa B
Chứng minh Bổ đề II.2.3:
Giả sử Q là ideal nguyên tố của A/B. Thế thì Q = P/B, ta chứng minh P nguyên tố.
Thật vậy, giả sử CD = 0 (mod P)⇒ cd∈ p ∀ c ∈ c, ∀ d∈ D ⇒cd+B∈Q⇒(c+ B)(d +
B)∈Q⇒c∈P hoặc d∈P. Tức là C≡ 0 (mod P) hoặc D≡O(mod P).
Ngược lại, giả sử P là ideal nguyên tố của A chứa B và Q = P/B. Ta chứng minh Q là
ideal nguyên tố của A/B. Thật vậy, nếu (c + B)(d + B)∈Q ⇒cd+B∈Q⇒cd∈P⇒c∈P hoặc d ∈P
(vì P nguyên tố).
Dùng các bổ đề trên ta chứng minh Mệnh đề II.2 như sau:
Gọi N' =⋂P nguyên tố P. Theo Bổ đề II.2.2 ta có :
⋂P/N′ nguyên tố(P/N′) =(⋂P nguyên tố ⊃N′ P)/N’=0
Áp dụng Bổ đề II.2.1 ta suy ra A/N' nửa ngun tố. Do đó A/N' khơng chứa ideal lũy
linh khác không.


18

Nếu N là ideal lũy linh của A thì do (N + N')/N' ≅ N / (N∩N") ta suy ra (N + N')/ N'
là ideal lũy linh của A/N'. Nhưng A/N' không chứa ideal lũy linh khác không cho nên (N +
N')/ N' = 0. Vì vậy N ⊂N'. Như vậy mọi ideal lũy linh của A đều ⊂ N'. Do đó N(0) ⊂ N'.
Giả thiết N( β) ⊂ N' thì khi đó với mọi ideal N ⊃ N(p) sao cho N/N(P) lũy linh, ta có
(N + N')/N' = N /(N∩N'). Mà N∩N'⊃ N(β) nên N/ (N∩N') lũy linh ⇒ (N + N')/N' lũy linh.
Do A/N' không chứa ideal lũy linh khác không nên (N + N')/N' = 0 ⇒ N ⊂ N\ Như thế có
nghĩa là nếu N'⊃N(β) thì N' chứa mọi ideal N sao cho N/N(P) lũy linh. Suy ra N'⊃N (β+1).
Phép qui nạp siêu hạn cho ta N'⊃N(τ) = ln(A).
Ngược lại, do A/ N(τ) = A/ LN(A) không chứa ideal lũy linh khác không (Mệnh đề

II.1 ) nên A/N(τ) nửa nguyên tố ⋂P (τ)nguyên tố P/N(τ) = 0 (theo P/N(t) nguyên tố bổ đề
N

II.2.1). Áp dụng bổ đề II.2.2 ta suy ra ⋂P nguyên tô ⊃N(τ) P= N(τ)
Nhưng

Do vậy :
Mệnh đề II.2 được chứng minh xong
Nhận xét :Từ Mệnh đề trên thấy ngay rằng đại số A là nửa nguyên tố khỉ và chỉ khi ln(A) =
0.
Mênh đề II.3: A/ Un(A) không chứa nil ideal khác không. ( Và vì vậy Un(A/
Un(A)) = 0 ).

Chứng minh:
Giả sử Q = P/Un(A) là nil ideal của A/Un(A). Khi đó ∀ x ∈ Q, vì Q là nil ideal nên ∃k
sao cho xk ∈ Un(A). Vì Un(A) là nil ideal nên ∃m để cho (xk)m = 0 ⇒x ∈Un(A) ⇒ x = 0.
Điều trên đúng ∀x ∈ Q nên Q = 0. Như vậy A/Un(A) không chứa nil ideal khác không. Suy ra
Un(A/Un(A)) = 0.
Mệnh đề II.4: A/ L(A) không chứa ideal lũy linh địa phương khác không ( Và vì vậy
L(A/L(A)) =0).
Chứng minh:


19

Giả sử p/L(A) là ideal lũy linh địa phương của A/L(A). Vì L(A) và p/L(A) lũy linh địa
phương nên P lũy linh địa phương. Do tính tối đại của L(A) ta có ρ ⊂ L(A) ⇒ ρ /L(A) = 0.
Như vậy A/L(A) chỉ có 0 là ideal lũy linh địa phương duy nhất. Vậy L(A/L(A)) = 0.
Mệnh đề II.5 J(A) là ideal hai phía của A, tựa chính qui hai phía,chứa mọi ideal phải tựa
chính qui phải và chứa mọi ideal trái tựa chính qui trái.

Chứng minh: Trước hết ta chứng minh một số bổ đề:
Bổ đề II.5.1: Nếu ρ là ideal phải chính qui của A, thì ∃ ρ0 là ideal
phải tối đại , chính qui của A sao cho ρ0 ⊃ ρ.
Chứng minh Bổ đề II.5.1:
Thật vậy, giả sử ρ là ideal phải chính qui của A, ρ ≠ A. Vì ρ chính qui nên ∃a ∈A để
x- ax ∈ ρ ∀ x ∈ A. Thế thì a ∉ ρ (vì nếu khơng ∀ x ∈ A do x-ax ∈ ρ, ax ∈ ρ nên x ∈ ρ ⇒A
= ρ) a∈ A Xét họ ℑ tất cả các ideal phải thực sự của A, chứa ρ thì rõ ràng ∀ρ1∈ ℑ⇒ ρ1 là B
Bổ đề II.5.1: Nếu ρ là ideal phải chính quy của A , thì ∃ ρ0 là ideal phải tối đại, chính của A
sao cho ρ0 ⊃ ρ
Chứng minh Bổ đề II.5.1:
Thật vậy, giả sử ρ là ideal phải chình qui của A, p ≠ A. Vì ρ chính quy nên ∃ a ∈ A để x – ax
∈ ρ ∀ x ∈ A. Thế thì a ∉ ρ ( vì nếu khơng ∀ x ∈ A do x – ax ∈ ρ, ax ∈ ρ nên x ∈ ρ ⟹ A= ρ).
Xét họ ℑ tất cả các ideal phải thực sự của A, chứa ρ thi rõ ràng ∀ ρ1 ∈ ℑ ⟹ ρ1 là ideal phải
chính quy của A và a ∉ ρ1. Áp dụng bổ đề Zorn ta suy ra ℑ có phần tử tối đại ρ0. Ta chứng
minh ρ0 là ideal tối đại của A. Thật vậy giả sử ∃ σ là ideal phải của A sao cho σ ⊃ ρ0 ,
σ ≠ ρ0 . Thế thì a ∈ σ ⟹ σ = A. Như vậy ρ0 là ideal phải tối đại, chính qui của A, ρ0 ⊃ ρ
Bổ đề II.5.2: J(A) là ideal phải.tựa chính qui phải của A.
Chứng minh Bổ đề II.5.2:
∀x ∈ J(A), ta xét I = { xy + y / y∈ A}. Vì (xy + y)z = xyz + yz = = xy' + y’ với y’ =

yz ∈ A nên I là ideal phải của A. Mặt khác, nếu ta gọi a = - x thì ∀ y∈ A ta có y - ay = xy + y
∈ I cho nếu I là ideal phải chính qui của A. Ta chứng minh I = A.
Giả sử ngược lại I⊂ A, I ≠ A. Vì I là ideal phải chính qui nên theo bổ đề II.5.1 thì I
⊂ ρ0 trong đó ρ0 là ideal phải tối đại chính qui. Do x∈J(A) ⇒ x∈ ρ0 . Khi đó ∀ y∈A, do x∈

ρ0 ⇒ xy ∈ ρ0 và vì xy + y ∈ I⊂ ρ0 nên y ∈ ρ0 ⇒ ρ0 = A vô lý. Mâu thuẫn này chứng tỏ I = A.


20

Do I = A ⇒ -x ∈ I ⇒∃w∈A sao cho -x =xw + w⇒ x+w+xw = 0. Như vậy ∀ x∈J(A)
đều ∃ w∈ A sao cho x+w+xw = 0. Cho nên J(A) tựa chính qui phải.
Bổ đề II.5.2 được chứng minh xong.
Bổ đề II.5.3: Gọi

( Ở đây Ann(M) = { a ∈ A/ Ma={0}).
Khi đó ρ ⊂ τ đối với mọi ρ là ideal phải, tựa chính qui
phải bất kỳ của A.
Chứng minh Bổ đề II.5.3:
Thật vậy giả sử ngược lại ρ ⊄ τ ⇒ ∃ M là A modun bất khả qui sao cho M ρ ≠{0} ⇒
∃m∈M, m ≠ 0 sao cho m ρ ≠{0}. Khi đó vì m ρ là modun con của M, M bất khả qui nên m ρ

= M. Do đó ∃t ∈ ρ sao cho mt =-m. Những t ∈ ρ, mà ρ tựa chính qui phải nên ∃ s∈ A sao cho t
+ s + ts = 0. Suy ra 0 = m(t + s + ts) = mt + ms + m(ts) = - m + ms + (-m)s = -m ⇒m = 0. Mâu
thuẫn.
Bổ đề II.5.4: Giả sử ρ là ideal phải chính qui của A.
Gọi (ρ : A) ={ x∈A / Ax⊂ ρ } thì :
a) (ρ : A)=Ann(M) với M=A/ ρ và là ideal hai phía của A
b) (ρ : A) là ideal hai phía lớn nhất chứa trong ρ .
Chứng minh Bổ đề II.5.4:
a) Dễ dàng kiểm tra được rằng (ρ : A) là ideal hai phía của A. ∀a∈Ann(M) ⇒ (A/ ρ)a
= Ma =0 ⇒ Aa ⊂ ρ ⇒ a∈ (ρ : A). Vậy Ann(M) ⊂ (ρ : A). Ngược lại ∀a∈ (ρ: A) ⇒ Aa c ρ ⇒
Aa/ ρ = 0⇒ (A/ ρ)a = 0⇒Ma = 0 ⇒ a∈Ann(M). Vậy (ρ : A) ⊂ Ann(M). Suy ra

(ρ : A) =

Ann(M).
b) ∀x∈ (ρ: A), do ρ chính qui nên ∃a ∈ A sao cho x - ax∈ ρ. Nhưng vì Ax ⊂ ρ nên ax ∈
ρ ⇒ x∈ ρ. Vây (ρ : A) ⊂ ρ. Giả sử rằng ρ1 là ideal hai phía của A, ρ1 ⊂ ρ. Khi đó ∀b∈ ρ1 ⇒ xb
∈ ρ1 ⊂ ρ VxeA ⇒ Ab ⊂ ρ b ∈ (p : A). Vậy ρ1 ⊂ (ρ : A).

Bổ đề II.5.5:


21

(τ là ideal nói đến trong bổ đề II.5.3)
Chứng minh Bổ đề II.5.5: Vì theo bổ đề II.5.2 J(A) là ideal tựa chính qui phải của A nên
theo bổ đề II.5.3 J(A) c X.
Ngược lại, ta biết rằng A modun phải M là bất khả qui ⟺M -A/ ρ với ρ là ideal phải
tối đại, chính qui của A. Áp dụng bổ đề II.5.4 ta có τ = ⋂ρ là ideal phải tối đại của A(ρ ∶ A).
Nhưng vì (ρ: A) ⊂ ρ liên suy ra ⋂ρ là ideal phải tối đại của A(ρ ∶ A)
Bổ đề II.5.5 được chứng minh xong.
Ta áp dụng các bổ đề nêu trên để chứng minh mệnh đề II.5:
Ta thấy rằng J(A) là ideal hai phía vì là giao của các ideal hai phía ( ρ : A). Đồng thời
J(A) là ideal tựa chính qui phải và vì J(A) = τ nên theo bổ đề II.5.3 J(A) chứa mọi ideal phải
tựa chính qui phải. Mặt khác ta thấy: ∀a∈ J(A), vì J(A) tựa chính qui phải nên ∃a'∈ A sao cho:
a+a'+aa'=0.

(*)

Nhưng a, aa' ∈J(A) nên a' ∈J(A). Lại do a'∈ J(A) nên ∃a'∈A sao cho :
a'+a"+a'a" =0. (**)
Từ (*)và (**) ⇒ aa" + a'a" +aa'a" = 0 và aa' + aa" + aa'a" = 0 ⇒ a'a" = aa'. Thay vào (* )
và (** ) ta được a + a' - a' + a" ⇒ a = a". Thay vào (** ) ta được a + a' + a'a = 0 ⇒ a tựa
chính qui trái. Như vậy đã chứng minh được J(A) tựa chính qui trái.
Nếu gọi Jt(A) là giao các ideal trái tối đại chính qui của A thì tương tự như các bổ đề
trên ta sẽ chứng minh được Jt(A) là ideal hai phía, tựa chính qui trái và phải, chứa mọi ideal
trái, tựa chính qui ưái của A.
Vì J(A) tựa chính qui trái nên J(A) ⊂ Jt(A). Vì Jt(A) tựa chính qui phải nên Jt(A)

⊂J(A). Vậy J(A) = -Jt(A). Do đó J(A) là ideal hai phía, tựa chính qui cả hai phía và chứa mọi

ideal trái, tựa chính qui trái cũng như mọi ideal phải, tựa chính qui phải.


22

Mệnh đề II.6: J(A) chứa mọi nil ideal trái và phải của A
Chứng minh:
Giả sử ρ là nil ideal của A. Khi đó ∀ a ∈ ρ ⇒ ∃n sao cho an = 0.
Gọi b = -a + a2 - a3 +…+ (-1)n-1 an-1 . Khi đó ta thấy ngay a + b + ab = 0 và a + b + ba = 0. Có
nghĩa là a tựa chính qui cả trái lẫn phải. Do đó a ∈ J(A). Cho nên ρ ⊂ J(A).
Mệnh đề II.7: J(A/J(A)) = 0
Chứng minh:
Gọi A = A/J(A). Theo định nghĩa của J(A) ta thấy ∀ ρ là ideal phải tối đại, chính qui
của A thì ρ ⇒ J(A). Gọi ρ = ρ / J(A) = {x + J(A) / x ∈ ρ } thì rõ ràng ρ là ideal phải của A .
Giả sử μ. là ideal phải của A, μ ⊂ ρ, μ ≠ ρ thì μ là ideal phải của A, μ ⊃ ρ, μ ≠ ρ ⇒ μ = A (
vì ρ là ideal tối đại của A ) ⇒ μ = A . Điều đó chứng tỏ rằng ρ là ideal tối đại của A. Do ρ là
ideal phải, chính qui phải của A nên ∃a∈ A sao cho y - ay ∈ ρ ∀y∈ A ⇒ y -a x ∈ ρ. Điều đó
chứng tỏ rằng ρ là ideal chính qui phải của A. Như vậy với mọi ideal phải, tối đại, chính qui
̅. Nhưng do J(A) =
phải của A thì ρ là ideal phải, tối đại, chính qui phải của A
⋃ρ là ideal phải tối đại chính qui của A ρ nên suy ra

Mệnh đề II.7 được chứng minh xong.
Mệnh đề II.8: ln(A) ⊂ L(A) ⊂ Un(A) ⊂ J(A)
Chứng minh:


23

Vì mọi ideal lũy linh đều lũy linh địa phương. Suy ra N(0) lũy linh địa phương. Theo
cách xây dựng ln(A) suy ra N(τ) = ln(A) cũng lũy linh địa phương. Theo tính tối đại của
L(A), suy ra lu(A) ⊂ L(A).
Vì L(A) lũy linh địa phương nên L(A) là nil idea. Theo tính tối đại của Un(A) suy ra
L(A) ⊂ Un(A).
Vì Un(A) là nil ideal suy ra Un(A) ⊂ J(A).
Do vậy ln(A) ⊂ L(A) ⊂ Un(A) ⊂ J(A).
Mệnh đề II.8 được chứng minh xong.
Trong luận án này ta xét các đại số có đơn vị (khơng nhất thiết giao hốn) trên vành
giao hốn có đơn vị. Trong trường hợp này vì mọi ideal đều chính qui cho nên :

Ta cũng biết rằng A-modun M là bất khả qui khi và chi khi M=A/ ρ với ρ là ideal tối
đại. Từ đó thấy rằng nếu xét các đại số có đơn vị thì một đại số A là nửa nguyên thủy khi và
chỉ khi J(A) = 0.

B. Các Pi – đại số
Một đại số giao hoán chẳng qua là một đại số thỏa mãn đồng nhất thức [x1, x2] = x1x2x2x1 Từ nhận xét trên ta sẽ tổng quát hóa bằng cách xét đến các đại số thỏa mãn đồng nhất
thức nào đó Khái niệm các PI-đạị số được đưa ra sau đây là sự tổng quát hóa về đại số giao
hốn. Ta ln xét K là vành giao hốn, có đơn vị. Các đại số trên K luôn được hiểu là các đại
số có đơn vị, khơng nhất thiết giao hoán.

Định nghĩa II.5: f ∈ K[X] được gọi là một đồng nhất thức hoàn toàn đối với đại số A nếu
SfA ≠ 0. Trong đó Sf là tập các hệ số của f.


24

Mệnh đề II.9 : SfA là ideal của đại số A.
Chứng minh: Hiển nhiên.

Định nghĩa II. 6: Một đại số A được gọi là PI- đại số nếu tồn tại
f ∈ K[X] là đồng nhất thức hoàn toàn đối với mọi ảnh
đồng cấu khác không của đại số A.

Mệnh đề II.10: Đại số A là một PI- đại số khi và chỉ khi tồn tại đồng nhất thức f trên A sao
cho SfA = A
Chứng minh:
Giả sử A là một PI đại số. Trước hết ta thấy Sf(A/ SfA ) = 0. Thật vậy: ∑ αi (ai +
Sf A)∈ Sf(A/SfA), ở đây αi ∈ Sf , ai + SfA∈ A/SfA ta có ∑ αi (ai + Sf A) = ∑ αi ai + SfA( vì
∑ αi ai ∈ SfA). Từ kết quả này ta thấy nếu trái lại SfA ≠ A thì vì A/SfA là ảnh đồng cấu khác
khơng của A mà
Sf(A/SfA) ≠0 nên f không phải đồng nhất thức hồn tồn của A/SfA, vơ lý. Ngược lại giả sử
SfA = A. Khi đó với mọi ảnh đồng cấu B của A la có SfB = B, cho nên nếu B ≠0 thì SfB ≠0.
Tức là nếu B ≠ 0 thì f là đồng nhất thức hồn tồn của B. Suy ra A là một PI - đại số.

Mệnh đề II.11:

Đại số A là một PI-đại số khi và chỉ khi tổn tại đổng nhất thức f trên A sao

cho tổn tại các ai∈ A để:
α1a1 + α2a2 + …+ αrar =1.
(Ở đây Sf={ α1 , α2 ,… , αr })
Chứng minh :
Đẳng thức SfA = A tương đương với việc tồn tại các ai∈A để α1 a1 + α2 a2+ . . . αr ar= 1. Từ
mệnh đề II.10 ta suy ra điều phải chứng minh.
Mệnh đề II.12:
Chứng minh:

Ảnh đồng cấu của các PI-đại số là một PI-đai số.

25

Giả sử A là một PI- đại số. Theo mệnh đề II.10, tồn tại đồng nhất thức f trên A
sao cho SfA = A. Khi đó với mọi ảnh đồng cấu B của A. Do SfB = B nên lại theo mệnh đề
II.10 ta suy ra B là một PI đại số.
Sau này, trong hệ quả II. 19.5 ta còn đạt được một điều kiện cẩn và đủ nữa để một đại
số là một PI-đại số. Đồng thời từ đó sẽ suy ra rằng đại số con của một PI-đại số là một PI-đại
số. Điều kiện cần và đủ đó đòi hỏi một số kết quả khác sẽ đạt được trong chương này. Vì vậy
được trình bày muộn hơn. Trong những gì đạt được tiếp sau đây, ta khơng sử dụng đến bổ đề
này. Rõ ràng ảnh đồng cấu của các đại số giao hoán đểu là các đại số giao hoán. Do vậy các
đại số giao hoán chẳng qua là PI- đại số với đồng nhất thức hoàn toàn f(x1, x2)=[x1, x2]= x1x2
- x2x1.Khái niệm các PI-đại số được trình bày ở trên là sự tổng qt hố của khái niệm các đại
số giao hoán.

C. Các radical trên đại số giao hốn.
Mục tiêu chính của ta là xem xét các radical trên các PI-đại số. Một đại số giao hoán
như đã thấy chẳng qua là một PI-đại số với một đồng nhất thức đặc biệt. Ta sẽ xét các tính
chất cùa các radical trên các đại số giao hốn- Trên cơ sở phân tích các kết quả đó, ta sẽ đưa
ra các kết quả về các radical của PI-đại số bất kỳ.
Trong đại số giao hoán người ta xét đến radical Jacobson ( như là giao của tất cả các
ideal tối đại) và nil radical (như là giao các ideal nguyên tố), ở trên, ngoài radical Jacobson ta
đã đưa ra khái niệm về các radical khác. Ta sẽ thấy rằng đối với đại số giao hốn thì lower nil
radical, upper nil radical và Levitzki nil radical là trùng nhau và đó chính là nil radical.
Mệnh đề II.13: Nếu A là đại số giao hốn thì ln(A) = L(A) = Un(A).
Chứng minh: Trước hết ta chứng minh các bổ đề sau:
Bổ để II.13.1: Nếu A là đại số giao hoán thì Un(A) là tập tất cả các phần tử lũy linh của A.
Chứng minh Bổ đề II.13.1:
Gọi ρ là tập các phần tử lũy linh của A. Giả sử x,y∈P ⇒ xm = 0, yn = 0 với m, n nào
đó. Theo cơng thức nhị thức Nevvton ( hiển nhiên đúng với mọi đại số giao hốn ) thì (x +