TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
KHỐI TRỤ
Chuyên đề 22
TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SNH KHÁ MỨC 7-8 ĐIỂM
Lý thuyết chung
MẶT TRỤ
Các yếu tố mặt trụ:
Một số công thức:
Đường cao: h OO .
Chu vi đáy: p 2 r .
Đường sinh: l AD BC . Ta
Diện tích đáy: S đ r 2 .
có: l h .
Thể tích khối trụ: V h.Sđ h. r 2 .
Bán kính đáy:
Diện tích xung quanh: S xq 2 r.h .
r OA OB OC OD .
Trục (∆) là đường thẳng đi qua
Diện tích tồn
hai điểm O , O.
phần:
Hình thành: Quay hình chữ
Thiết
diện
qua
trục: Là hình
nhật ABCD quanh đường trung
Stp Sxq 2Sđ 2 r.h 2 r 2 .
ABCD
.
chữ nhật
bình OO , ta có mặt trụ như
hình bên.
Dạng 1. Diện tích xung quanh, diện tích tồn phần, chiều cao, bán kính đáy, thiết diện
Câu 1.
(Mã 103 - 2019) Cho hình trụ có chiều cao bằng 3 2 . Cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song
song với trục và cách trục một khoảng bằng 1, thiết diện thu được có diện tích bằng 12 2 . Diện
tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng
A. 6 10 .
B. 6 34 .
C. 3 10 .
Lời giải
D. 3 34 .
Chọn A
B
O'
A
C
1
I
O
D
Ta có:
S ABCD 12 2 3 2.CD
CD 4
CI 2
.
CO CI 2 IO 2 5 r
S xq 2 rl 6 10
Câu 2.
(Mã 101 - 2019) Cho hình trụ có chiều cao bằng 5 3 . Cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song
song với trục và cách trục một khoảng bằng 1 , thiết diện thu được có diện tích bằng 30 . Diện tích
xung quanh của hình trụ đã cho bằng
A. 10 3 .
B. 5 39 .
C. 20 3 .
D. 10 39 .
Facebook Nguyễn Vương 1
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Lời giải
Chọn C
Gọi O, O lần lượt là tâm của hai đáy và ABCD là thiết diện song song với trục với A, B O ;
C , D O . Gọi H là trung điểm của AB OH d OO, ABCD 1 .
Vì S ABCD 30 AB.BC 30 AB
30
2 3 HA HB 3 .
5 3
Bán kính của đáy là r OH 2 HA2 3 1 2 .
Diện tích xung quanh của hình trụ bằng S xq 2 rh 2 .2.5 3 20 3 .
Câu 3.
(Mã 102 - 2019) Cho hình trụ có chiều cao bằng 4 2 . Cắt hình trụ đã cho bởi một mặt phẳng
song song với trục và cách trục một khoảng bằng 2 , thiết diện thu được có diện tích bằng 16 .
Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng
A. 16 2 .
B. 8 2 .
C. 12 2 .
Lời giải
D. 24 2 .
Chọn A
Cắt hình trụ đã cho bởi một mặt phẳng song song với trục, ta được thiết diện là hình chữ nhật
ABCD (với AB là dây cung của hình trịn đáy tâm O ).
Do hình trụ có chiều cao là h OO 4 2 hình trụ có độ dài đường sinh l AD 4 2 .
16
16
Diện tích hình chữ nhật ABCD bằng AB.CD 16 AB
2 2 .
AD 4 2
Gọi K là trung điểm đoạn AB thì OK AB , lại có mp( ABCD) vng góc với mặt phẳng đáy của
hình trụ OK mp( ABCD) khoảng cách giữa OO và mp( ABCD) là OK 2 .
Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021
2
AB
Xét tam giác vng AOK R OA OK 2 AK 2 OK 2
2
2
2 2
2
2 .
Diện tích xung quanh của hình trụ là S 2 R.l 2 .2.4 2 16 2 .
Câu 4.
Cắt hình trụ T bằng một mặt phẳng đi qua trục được thiết diện là một hình chữ nhật có diện tích
bằng 30 cm 2 và chu vi bằng 26 cm . Biết chiều dài của hình chữ nhật lớn hơn đường kính mặt đáy
của hình trụ T . Diện tích tồn phần của T là:
A. 23 cm 2 .
B.
23
cm2 .
2
69
cm 2 .
2
Lời giải
C.
D. 69 cm2 .
Chọn C
Gọi h, r lần lượt là đường cao và bán kính đáy của hình trụ T . Thiết diện của mặt phẳng và
hình trụ T là hình chữ nhật ABCD . Khi đó theo giả thiết ta có
h 2r
h 2r
h 2r
h 2r
hr 15
h 13 2r
h 13 2r
S ABCD h.2r 30
C
2
r 5 h 3(l )
ABCD 2(h 2r ) 26 h 2r 13 2r 15r 15 0
3
r 2 h 10(TM )
Vậy
Câu 5.
.
Một hình trụ có bán kính đáy bằng 50 cm và có chiều cao là 50 cm. Một đoạn thẳng AB có chiều
dài là 100 cm và có hai đầu mút nằm trên hai đường trịn đáy. Tính khoảng cách d từ đoạn thẳng
đó đến trục hình trụ.
A. d 50 cm.
B. d 50 3 cm.
C. d 25 cm.
Lời giải
D. d 25 3 cm.
Facebook Nguyễn Vương 3
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Qua B kẻ đường thẳng song song với OO cắt đường tròn đáy tại C .
OO // BC OO // ABC d OO , AB d OO , ABC d O, ABC OH d . ( H là
trung điểm của đoạn thẳng AC ).
AC AB 2 BC 2 50 3 cm.
Vậy d OH OC 2 HC 2 25 cm.
Câu 6.
(THPT Lê Quy Đơn Điện Biên 2019) Một hình trụ trịn xoay có hai đáy là hai đường trịn
O, R và O, R . Biết rằng tồn tại dây
cung AB của đường tròn O, R sao cho tam giác OAB đều và góc giữa hai mặt phẳng
OAB và mặt phẳng chứa đường trịn O, R bằng 60 . Tính diện tích xung quanh của hình
trụ đã cho.
A. 4R 2
B. 2 3R 2
3 7 2
R
7
Lời giải
C.
D.
6 7
R 2
7
Chọn D
Gọi K là trung điểm AB , đặt AB 2a .
60 OK 2OK OK 2 4OK 2
Ta có : AB OK và AB OO nên OKO
3a 2 4 R 2 a 2 a 2
4R2
7
Mặt khác : OO2 OB 2 OB 2 4a 2 R 2 4.
4R 2
9R 2
6 7 R
R2
OO
7
7
7
Vậy diện tích xung quanh hình trụ đã cho là : S xq 2Rl
Câu 7.
6 7 R 2
.
7
(Chun Sơn La 2019) Cho khối trụ có bán kính đáy bằng 4 cm và chiều cao 5 cm . Gọi AB
là một dây cung đáy dưới sao cho AB 4 3 cm . Người ta dựng mặt phẳng P đi qua hai điểm
Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021
A , B và tạo với mặt phẳng đáy hình trụ một góc 60 như hình vẽ. Tính diện tích thiết diện của
hình trụ cắt bởi mặt phẳng P .
cm . B. 4 4 3 cm .
3
3
8 4 3
cm . D.
cm .
8 4 3 3
A.
3
4 4 3
C.
3
2
2
2
2
3
Lời giải
O
B
A
m
Gọi S là diện tích thiết diện, S là diện tích hình chiếu của thiết diện lên mặt phẳng
đáy. Khi đó S S.cos 60 .
OA2 OB 2 AB 2
1
Ta có AB 4 3 cos
AOB
AOB 120
2.OA.OB
2
1
4 4 3 3
SOAB 2 OA.OB.sin120 4 3
S SOAmB SOAB
1
16
3
2
S
.OA
OAmB 3
3
S
Câu 8.
8 4 3 3
S
.
cos 60
3
(Tốn Học Và Tuổi Trẻ 2018) Cho hình lập phương có cạnh bằng 40 cm và một hình trụ có
hai đáy là hai hình trịn nội tiếp hai mặt đối diện của hình lập phương. Gọi S1 , S2 lần lượt là diện
tích tồn phần của hình lập phương và diện tích tồn phần của hình trụ. Tính S S1 S 2 cm 2 .
A. S 4 2400 .
B. S 2400 4 . C. S 2400 4 3 . D. S 4 2400 3 .
Lời giải
Facebook Nguyễn Vương 5
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
D'
C'
O'
A'
B'
D
C
O
A
B
Ta có: S1 6.402 9600 .
Bán kính đường trịn nội tiếp hai mặt đối diện của hình lập phương là: r 20 cm ; hình trụ có
đường sinh h 40 cm
Diện tích tồn phần của hình trụ là: S2 2. .202 2 .20.40 2400 .
Vậy: S S1 S 2 9600 2400 2400 4 .
Câu 9.
(Chun Quốc Học Huế 2018) Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng 4 , thiết diện qua
trục là hình vng. Một mặt phẳng song song với trục, cắt hình trụ theo thiết diện là tứ giác
ABBA , biết một cạnh của thiết diện là một dây cung của đường trịn đáy của hình trụ và căng
một cung 120 . Tính diện tích thiết diện ABBA .
A. 3 2 .
B.
3 .
C. 2 3 .
Lời giải
D. 2 2 .
B
O
A
l
O
B
R
A
Gọi R , h , l lần lượt là bán kính, chiều cao, đường sinh của hình trụ.
Ta có S xq 4 2 .R.l 4 R.l 2 .
Giả sử AB là một dây cung của đường trịn đáy của hình trụ và căng một cung 120 .
Ta có ABBA là hình chữ nhật có AA h l .
Xét tam giác OAB cân tại O , OA OB R ,
AOB 120 AB R 3 .
S ABBA AB. AA R 3.l R.l 3 2 3 .
Câu 10.
(Chuyên Lương Thế Vinh - Đồng Nai - 2018) Ba chiếc bình hình trụ cùng chứa 1 lượng nước
như nhau, độ cao mực nước trong bình II gấp đơi bình I và trong bình III gấp đơi bình II .
Chọn nhận xét đúng về bán kính đáy r1 , r2 , r3 của ba bình I , Ox , III .
A. r1 , r2 , r3 theo thứ tự lập thành cấp số nhân công bội 2 .
Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
1
B. r1 , r2 , r3 theo thứ tự lập thành cấp số nhân công bội .
2
C. r1 , r2 , r3 theo thứ tự lập thành cấp số nhân công bội 2 .
D. r1 , r2 , r3 theo thứ tự lập thành cấp số nhân công bội
1
.
2
Lời giải
Gọi V1 , V2 , V3 lần lượt là thể tích của bình I , II , III .
Ta có V
1 V2 r12 h1 r2 2 h2 r12 h1 r2 2 2h1 r2
V
2 V3 r2 2 h2 r32 h3 r2 2 h2 r32 2h2 r3
r1
1 .
2
r2
2 .
2
Từ 1 và 2 ta có r1 , r2 , r3 theo thứ tự lập thành cấp số nhân cơng bội
Câu 11.
1
.
2
(Chun Thái Bình - 2018) Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R và chiều cao bằng
phẳng song song với trục của hình trụ và cách trục một khoảng bằng
3R
. Mặt
2
R
. Tính diện tích thiết
2
diện của hình trụ cắt bởi mặt phẳng .
A.
2R2 3
.
3
B.
3R 2 3
.
2
C.
3R 2 2
.
2
D.
2R 2 2
.
3
Lời giải
Thiết diện của hình trụ cắt bởi mặt phẳng là hình chữ nhật ABCD với BC
Gọi H là trung điểm AB , ta có AH
R
AB 2 HB 2 R 2 AH 2 R 3 .
2
Vậy diện tích thiết diện là: S AB.CD R 3.
Câu 12.
3R
.
2
3R 3R 2 3
.
2
2
(THPT Hải An - Hải Phịng - 2018) Cho hình trụ có bán kính đáy bằng 5cm và khoảng cách
giữa hai đáy là 7 cm . Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục 3cm . Tính
diện tích S của thiết diện được tạo thành.
A. 55cm 2 .
B. 56 cm 2 .
C. 53cm 2 .
D. 46 cm 2 .
Lời giải
D
O
H
C
7cm
A
5cmO'
B
Facebook Nguyễn Vương 7
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Gọi thiết diện là hình chữ nhật ABCD , H là trung điểm CD .
OH CD
OH ( ABCD) d OO;( ABCD) d O;( ABCD) OH 3 cm .
Ta có:
OH BC
HC HD OC 2 OH 2 52 32 4 cm .
AB CD 8cm .
S ABCD AB.BC 8.7 56 cm 2 .
Câu 13. (Chuyên Hạ Long - 2018) Cho hình trụ có chiều cao bằng 6 2 cm . Biết rằng một mặt phẳng
khơng vng góc với đáy và cắt hai mặt đáy theo hai dây cung song song AB , AB mà
AB AB 6 cm , diện tích tứ giác ABBA bằng 60 cm 2 . Tính bán kính đáy của hình trụ.
A. 5cm .
B. 3 2 cm .
C. 4cm .
D. 5 2 cm .
Lời giải
Gọi O , O là tâm các đáy hình trụ (hình vẽ).
Vì AB AB nên ABBA đi qua trung điểm của đoạn OO và ABBA là hình chữ nhật.
Ta có S ABBA AB. AA 60 6.AA AA 10 cm .
Gọi A1 , B1 lần lượt là hình chiếu của A , B trên mặt đáy chứa A và B
ABB1 A1 là hình chữ nhật có AB 6 cm ,
B1 B BB2 BB12 102 6 2
2
2 7 cm
Gọi R là bán kính đáy của hình trụ, ta có 2 R AB1 B1 B2 AB2 8 R 4 cm .
Câu 14. (Chun Thái Bình - 2018) Một hình trụ có bán kính đáy r 5cm và khoảng cách giữa
hai đáy h 7 cm . Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục 3cm .
Diện tích của thiết diện được tạo thành là:
A. S 56 cm 2 .
B. S 55 cm2 .
C. S 53 cm 2 .
D. S 46 cm 2 .
Lời giải
Gọi O, O là tâm của hai đáy của hình trụ và P là mặt phẳng song song với trục và cách trục
OO một khoảng 3cm .
Mp P cắt hai hình trịn đáy O , O theo hai dây cung lần lượt là AB, CD và cắt mặt xung
quanh theo hai đường sinh là AD, BC . Khi đó ABCD là hình chữ nhật.
Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021
B
O
H
A
C
O
D
Gọi H là trung điểm của AB . Ta có OH AB; OH AD OH ABCD
d O O, P d O, ABCD OH 3cm .
Khi đó: AB 2 AH 2 OA2 OH 2 2 52 32 8 ; AD O O ' h 7cm .
Diện tích hình chữ nhật ABCD là: S ABCD AB. AD 56 cm2 .
Câu 15.
(Chun Thái Bình - 2018) Cho hình trụ có hai đáy là hai hình trịn O và O , chiều cao 2R
và bán kính đáy R . Một mặt phẳng đi qua trung điểm của OO và tạo với OO một góc
30 . Hỏi cắt đường trịn đáy theo một dây cung có độ dài bằng bao nhiêu?
A.
2R 2
.
3
B.
2R
.
3
Lời giải
4R
.
3 3
C.
D.
2R
.
3
C
O'
D
M
B K
H
O
A
Gọi M là trung điểm của OO . Gọi A , B là giao điểm của mặt phẳng và đường trịn
O và H là hình chiếu của O trên AB AB MHO .
Trong mặt phẳng
MHO
K MH
kẻ OK MH ,
khi đó góc giữa OO và mặt phẳng
30 .
là góc OMK
Xét tam giác vng MHO ta có HO OM tan 30 R tan 30
R 3
.
3
Facebook Nguyễn Vương 9
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
R2 R 2
Xét tam giác vng AHO ta có AH OA OH R
.
3
3
2
Do H là trung điểm của AB nên AB
Câu 16.
2
2
2R 2
.
3
(THPT Lê Xoay - 2018) Một cốc nước hình trụ có chiều cao 9cm , đường kính 6cm .Mặt đáy
phẳng dày 1cm , thành cốc dày 0,2cm . Đổ vào cốc 120 ml nước sau đó thả vào cốc 5 viên bi có
đường kính 2cm . Mặt nước cách mép cốc gần nhất với giá trị bằng
A. 3,67 cm .
B. 3,08 cm .
C. 2, 28 cm .
D. 2, 62 cm .
Lời giải
2
Thể tích của cốc nước là: V . . 2,8 .8 62,72 cm3 .
4
20
Thể tích của 5 viên bi là: V1 5. . .13 . cm3 .
3
3
Thể tích cịn lại sau khi đổ vào cốc 120 ml nước và thả vào cốc 5 viên bi là:
20
V2 V V1 120 62, 72 . 120 56,10 cm3 .
3
V2
56,10
2, 28 cm .
Chiều cao phần còn lại là: h
2
.(2,8)
.(2,8) 2
Câu 17.
(Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm - Quảng Nam - 2020) Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R và
3R
chiều cao bằng
. Mặt phẳng song song với trục của hình trụ và cách trục một khoảng
2
R
bằng . Diện tích thiết diện của hình trụ cắt bởi mặt phẳng là:
2
3 2R 2
A.
.
2
3 3R 2
B.
.
2
2 3R 2
C.
.
3
Lời giải
2 2R 2
D.
.
3
Chọn B
Giả sử thiết diện là hình chữ nhật ABCD như hình vẽ.
Gọi H là trung điểm của BC suy ra OH BC suy ra
d O; BC
R
2
2
R
BC 2 HB 2 OB OH 2 R R 3
2
Khi đó
2
2
2
Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
Suy ra S ABCD
Câu 18.
3 R 3 3R 2
.
BC . AB R 3.
2
2
(Sở Bình Phước - 2020) Một hình trụ có diện tích xung quanh là 4 , thiết diện qua trục là một
hình vng. Một mặt phẳng song song với trục, cắt hình trụ theo thiết diện ABBA , biết một
cạnh của thiết diện là một dây của đường trịn đáy của hình trụ và căng một cung 1200 . Diện tích
của thiết diện ABBA bằng
B. 2 2 .
A. 2 3 .
C. 3 2 .
D.
3.
Lời giải
Chọn A
Gọi bán kính đáy và chiều cao của hình trụ lần lượt là r , h .
Theo đề ra ta có: 2 rh 4 rh 2 (1).
Khơng giảm tính tổng qt, ta giả sử AB là dây của đường trịn đáy của hình trụ. Gọi O là tâm
của đáy trên của hình trụ. Theo bài ra ta có:
AOB 1200 .
Áp dụng định lý cơsin trong tam giác OAB , ta có: AB 2 OA2 OB 2 2OA.OB.cos
AOB
AB 2 r 2 r 2 2r 2 .cos 1200 3r 2 AB r 3 (2).
Mặt khác, do mặt phẳng song song với trục nên ABBA là hình chữ nhật và AA h (3).
Từ (1), (2) và (3) ta suy ra: S ABBA AB. AA r 3.h rh 3 2 3 .
Câu 19.
(Liên trường Nghệ An - 2020) Một sợi dây (khơng co giản) được quấn đối xứng đúng 10 vịng
2
quanh một ống trụ trịn đều có bán kính R cm (Như hình vẽ)
Biết rằng sợi dây dài 50cm . Hãy tính diện tích xung quanh của ống trụ đó.
A. 80cm 2 .
B. 100cm 2 .
C. 60cm 2 .
D. 120cm 2 .
Lời giải
Khi trải phẳng ống trụ trịn đều ta được một hình chữ nhật có chiều rộng là chu vi của mặt đáy cịn
chiều dài là chiều dài của trụ, mỗi vịng quấn của dây dài 5cm là đường chéo của hình chữ nhật
1
có kích thước lần lượt bằng chu vi đáy trụ và chiều dài trụ(hình vẽ).
10
p=4cm
5cm
2
l
2
Gọi chiều dài trụ là l cm ,theo định lí Pitago ta có 52 2.
l 30 (cm).
10
2
Vậy diện tích xung quanh của trụ là: S xq 2. . .30 120 cm 2 .
Facebook Nguyễn Vương 11
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Câu 20.
(THPT Nguyễn Viết Xuân - 2020) Một cái mũ bằng vải của nhà ảo thuật với kích thước như hình
vẽ. Hãy tính tổng diện tích vải cần có để làm nên cái mũ đó (khơng tính viền, mép, phần thừa).
A. 750, 25 cm .
2
B. 756, 25 cm .
2
C. 700 cm .
2
D. 700 cm 2 .
Lời giải
Chọn B
35 10 10 15
cm .
2
2
Đường cao hình trụ của cái mũ là 30 cm .
Bán kính hình trụ của cái mũ là r
Diện tích xung hình trụ là: S xq 2 rl 2. .
15
.30 450 cm 2 .
2
2
35
Diện tích vành mũ là: Sv S d cm 2 .
2
Vậy tổng diện tích vải cần có để làm nên cái mũ đó (khơng tính viền, mép, phần thừa) là:
2
35
S S xq S d Sv 450 756, 25. cm 2 .
2
Câu 21.
(Hải Hậu - Nam Định - 2020) Một khối trụ có bán kính đáy r 2a . O, O lần lượt là tâm đường tròn đáy. Một
mặt phẳng song song với trục và cách trục
tứ diện OO AB bằng
A. a .
a 15
, cắt đường tròn O tại hai điểm A, B . Biết thể tích của khối
2
a 3 15
. Độ dài đường cao của hình trụ bằng
4
B. 6a .
C. 3a .
Lời giải
D. 2a .
Chọn C
Vẽ đường sinh AC , khi đó mặt phẳng ABC song song với OO và cách OO một khoảng
a 15
.
2
Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021
Gọi I là trung điểm AB , ta có d OO, ABC d O, ABC OI
Bán kính OA 2a suy ra BA 2 IA 2 OA2 OI 2 2 4a 2
Thể tích tứ diện OO AB bằng
a 15
.
2
15a 2
a .
4
a 3 15
nên ta
4
1
a 3 15
1
a 15
a 3 15
có : .OO.IO. AB
.OO.
.a
OO 3a .
6
4
6
2
4
Vậy hình trụ có chiều cao OO 3a .
Dạng 2. Thể tích
Câu 1.
(Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Cho hình trụ có chiều cao bằng 6a. Biết rằng khi cắt hình trụ đã
cho bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng 3a, thiết diện thu được là
một hình vng. Thể tích của khối trụ được giới hạn bởi hình trụ đã cho bằng
A. 216 a3 .
B. 150 a3 .
C. 54 a 3 .
Lời giải
D. 108 a3 .
Chọn D
M
N
A
O
B
Q
P
H
D
C
O'
Lấy 2 điểm M , N lần lượt nằm trên đường tron tâm O sao cho MN 6a .
Từ M , N lần lượt kẻ các đường thẳng song song với trục OO ' , cắt đường tròn tâm O ' tại Q ,
P .
Thiết diện ta thu được là hình vng MNPQ có cạnh bằng 6a.
Gọi H là trung điểm của PQ . Suy ra OH PQ .
Vì OO ' MNPQ nên ta có d OO ', MNPQ d O ', MNPQ O ' H .
Từ giả thiết, ta có O ' H 3a . Do đó O ' HP là tam giác vng cân tại H .
Suy ra bán kính đường trịn đáy của hình trụ là O ' P O ' H 2 HP 2 3a 2 .
Vậy thể tích của khối trụ cần tìm là: V 6a. . 3a 2
Câu 2.
2
108 a3 .
(Đề Tham Khảo 2019) Một khối đồ chơi gồm hai khối trụ H1 , H 2 xếp chồng lên nhau, lần
lượt có bán kính đáy và chiều cao tương ứng là r1 , h1 , r2 , h2 thỏa mãn r2
1
r1 , h2 2h1 (tham khảo
2
hình vẽ). Biết rằng thể tích của tồn bộ khối đồ chơi bằng 30cm3 , thể tích khối trụ H1 bằng
Facebook Nguyễn Vương 13
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
A. 24cm3
B. 15cm3
C. 20cm3
Lời giải
D. 10cm3
Chọn C
Gọi V1 ,V2 lần lượt là thể tích khối trụ H1 , H 2
2
V
1
V2 r22 h2 r1 2h1 1
2
2
V1 2V2 mà V1 V2 30 V1 20
Câu 3.
(Chuyên Lương Văn Tỵ - Ninh Bình - 2020) Cho hình trụ có chiều cao bằng 8a . Biết hai điểm
A, C lần lượt nằm trên hai đáy thỏa AC 10a , khoảng cách giữa AC và trục của hình trụ bằng
4a . Thể tích của khối trụ đã cho là
3
A. 128 a .
3
B. 320 a .
3
C. 80 a .
Lời giải
3
D. 200 a .
Chọn D
Gọi O , O lần lượt là hai đường tròn đáy. A O , C O .
Dựng AD, CB lần lượt song song với OO ( D O , B O . Dễ dàng có ABCD là hình chữ
nhật.
Do AC 10a, AD 8a DC 6a .
Gọi H là trung điểm của DC .
OH DC
OH ABCD .
OH AD
Ta có OO / / ABCD d OO , AC d OO , ABCD O H 4 a .
OH 4 a , CH 3a R OC 5a .
2
Vậy thể tích của khối trụ là V R 2 h 5a 8a 200 a 3 .
Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021
Câu 4.
(Sở Hà Nội 2019) Hỏi nếu tăng chiều cao của khối trụ lên 2 lần, bán kính của nó lên 3 lần thì thể
tích của khối trụ mới sẽ tăng bao nhiêu lần so với khối trụ ban đầu?
A. 36 .
B. 6 .
C. 18 .
D. 12 .
Lời giải
Giả sử ban đầu khối trụ có chiều cao h1 và bán kính r1 . Khi đó, khối trụ có thể tích là V1 r12 h .
Sau khi tăng chiều cao của khối trụ lên 2 lần, bán kính của nó lên 3 lần thì khối trụ có chiều cao
2
2h1 và bán kính 3r1 . Khi đó, khối trụ mới có thể tích là V2 3r1 .2h1 18 r1h1 .
Do vậy
Câu 5.
V2
18 .
V1
(Chun ĐHSPHN - 2018) Cần đẽo thanh gỗ hình hộp có đáy là hình vng thành hình trụ có
cùng chiều cao. Tỉ lệ thể tích gỗ cần phải đẽo đi ít nhất (tính gần đúng) là
A. 30% .
B. 50% .
C. 21% .
D. 11% .
Lời giải
O'
h
R
O
a
Để gỗ bị đẽo ít nhất thì hình hộp đó phải là hình hộp đứng.
Gọi h là chiều cao của hình hộp chữ nhật và R là bán kính đáy của hình trụ.
Do hình hộp chữ nhật và hình trụ có cùng chiều cao nên thể tích gỗ đẽo đi ít nhất khi và chỉ khi
a
diện tích đáy của hình trụ lớn nhất (thể tích khối trụ lớn nhất). Suy ra R .
2
Gọi V1 và V2 lần lượt là thể tích của khối hộp và thể tích của khối trụ có đáy lớn nhất.
Ta có: V1 a 2 . h và V2 R 2 . h .
a2
. h .
4
a2
.h
V2
4
Suy ra: 2
78,54% . Vậy thể tích gỗ ít nhất cần đẽo đi là khoảng 21, 46% .
V1
a .h
4
.
Câu 6.
Một khối gỗ hình trụ có đường kính 0,5 m và chiều cao 1 m . Người ta đã cắt khối gỗ, phần cịn
lại như hình vẽ bên có thể tích là V . Tính V .
Facebook Nguyễn Vương 15
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
A.
3
m3 .
16
B.
5
m3 .
64
3
m3 .
64
Lời giải
C.
D.
m .
16
3
Gọi V1 , V2 lần lượt là thể tích khối gỗ ban đầu và thể tích khối gỗ bị cắt.
2
0,5
m3 .
Thể tích của khối gỗ ban đầu là V1
.1
16
2
2
1 0,5
Thể tích phần gỗ đã bị cắt đi là V2
m3 .
.0,5
2 2
64
Thể tích khối gỗ cịn lại và V V1 V2
Câu 7.
16
64
3
m3 .
64
(Sở Hưng n - 2020) Cho hình trụ có O, O là tâm hai đáy. Xét hình chữ nhật ABCD có A, B
cùng thuộc O và C , D cùng thuộc O sao cho AB a 3 , BC 2a đồng thời ABCD tạo
với mặt phẳng đáy hình trụ góc 60 . Thể tích khối trụ bằng
A. a
3
3 .
B.
a3 3
9
.
C.
a3 3
3
.
D. 2 a 3 3 .
Lời giải
Chọn A
Gọi M , N lần lượt là trung điểm của CD, AB và I là trung điểm của OO .
60 .
Suy ra góc giữa mặt phẳng ABCD và mặt phẳng đáy là IMO
Ta có IM
1
1
MN BC a .
2
2
a 3 h OO 2 IO a 3 ;
Xét IOM vuông tại O , ta có IO IM .sin IMO
2
Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
a .
OM IM .cos IMO
2
Xét OMD vng tại M , có O M
a
1
1
a 3
, MD CD AB
2
2
2
2
2
2
a a 3
r OD OM MD
r a .
2 2
2
2
Vậy V r 2 h a 3 3 .
Câu 8.
(Sở Hà Tĩnh - 2020) Cho khối trụ có hai đáy là O và O . AB , CD lần lượt là hai đường kính
của O và O , góc giữa AB và CD bằng 30 , AB 6 . Thể tích khối tứ diện ABCD bằng
30 . Thể tích khối trụ đã cho bằng
A. 180 .
B. 90 .
C. 30 .
Lời giải
D. 45 .
Chọn B
A
B
C
D
Ta chứng minh: VABCD
1
AB.CD.d AB, CD .sin AB, CD .
6
A
C
B
E
D
Lấy điểm E sao cho tứ giác BCDE là hình bình hành.
Khi đó AB, CD AB, BE sin AB, CD sin AB, BE .
d D, ABE d AB , CD .
1
1
VABCD VABDE .d D, ABE .S ABE AB.CD.d AB, CD .sin AB, CD
3
6
Facebook Nguyễn Vương 17
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
VABCD
6VABCD
1
180
AB.CD.d AB, CD .sin AB, CD d AB, CD
10 .
6
AB.CD.sin 30 6.6. 1
2
Chiều cao của lăng trụ bằng h d AB, CD 10 .
Thể tích lăng trụ: V S .h .32.10 90 .
Câu 9.
(Lý Nhân Tông - Bắc Ninh - 2020) Từ một tấm tơn hình chữ nhật kích thước 50cm x 240cm ,
người ta làm các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng 50 cm , theo hai cách sau (xem hình
minh họa dưới đây):
• Cách 1: Gị tấm tơn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng.
• Cách 2: Cắt tấm tơn ban đầu thành hai tấm bằng nhau, rồi gị mỗi tấm đó thành mặt xung quanh
của một thùng.
Kí hiệu V1 là thể tích của thùng gị được theo cách 1 và V2 là tổng thể tích của hai thùng gị được
theo cách 2. Tính tỉ số
V1
.
V2
A.
V1
1 .
V2
V1 1
.
V2 2
B.
C.
V1
2 .
V2
D.
V1
4 .
V2
Lời giải
Chọn C
Ở cách 1, thùng hình trụ có chiều cao h 50 cm , chu vi đáy C1 240 cm nên bán kính đáy
R1
C1 120
cm . Do đó thể tích của thùng là V1 R12 h .
2
Ở cách 2, hai thùng đều có có chiều cao h 50 cm , chu vi đáy C2 120 cm nên bán kính đáy
R1
C2 60
cm . Do đó tổng thể tích của hai thùng là V2 2 R22 h .
2
2
120
V
R h 1 R1 1
Vậy 1
. .
2 .
V2 2 R h 2 R2 2 60
2
2
1
2
2
Câu 10.
(Tiên Du - Bắc Ninh - 2020) Cho hình trụ có hai đáy là hình trịn tâm O và O , chiều cao
h a 3 . Mặt phẳng đi qua tâm O và tạo với OO một góc 30 , cắt hai đường trịn tâm O và
O tại bốn điểm là bốn đỉnh của một hình thang có đáy lớn gấp đơi đáy nhỏ và diện tích bằng
3a 2 . Thể tích của khối trụ được giới hạn bởi hình trụ đã cho bằng
A.
3a 3
.
3
B.
3a 3 .
C.
3a 3
.
12
D.
Lời giải
Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
3a 3
.
4
TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021
Chọn B
Giả sử ABCD là hình thang mà đề bài đề cập ( BC đáy lớn, AD đáy nhỏ) và r là bán kính đáy của
hình trụ.
BC 2r
Theo đề:
AD r
BC 2 AD
Kẻ OI AD AD OOI ABCD OOJ
OI . Theo đề O
OI 30
Suy ra góc giữa OO và ABCD là góc O
OI
cos O
OO
OO
a 3
OI
2a
OI
cos 30
3
2
Ta có: S ABCD
AD BC .IO
2
3a 2
r 2r .2a
2
ra
Thể tích của khối trụ là V r 2 h a 2 .a 3 a 3 3
Câu 11. (THPT Nguyễn Huệ - Ninh Bình - 2018) Cho hình trụ và hình vng ABCD có cạnh a . Hai
đỉnh liên tiếp A, B nằm trên đường trịn đáy thứ nhất và hai đỉnh cịn lại nằm trên đường trịn đáy
thức hai, mặt phẳng ABCD tạo với đáy một góc 45 . Khi đó thể tích khối trụ là
A.
a3 2
8
.
B.
3 a 3 2
.
8
C.
a3 2
16
.
D.
3 a 3 2
.
16
Lời giải
B
I
O
A
H
C
O'
I'
D
Gọi I , I lần lượt là trung điểm của AB, CD ; O, O lần lượt là tâm đường trịn đáy của hình trụ
(như hình vẽ); H là trung điểm của II .
O 45 .
Khi đó H là trung điểm của OO và góc giữa ABCD tạo với đáy là HI
Do I H
a 2
a 2
a
. Khi đó h OO
.
OH OI
4
2
2
Facebook Nguyễn Vương 19
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Ta có: r OC OI 2 I C 2
a 6
.
4
3 a 3 2
.
16
Dạng 3. Khối trịn xoay nội, ngoại tiếp khối đa diện
Thể tích khối trụ là V r 2 h
Câu 1.
(Đề Tham Khảo 2018) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 4 . Tính diện tích xung quanh S xq
của hình trụ có một đường trịn đáy là đường trịn nội tiếp tam giác BCD và chiều cao bằng chiều
cao của tứ diện ABCD .
A. S xq 8 3
B. S xq 8 2
C. S xq
16 3
3
D. S xq
16 2
3
Lời giải
Chọn D
Bán kính đường trịn đáy hình trụ bằng một phần ba đường cao tam giác BCD
1 4 3 2 3
nên r .
3 2
3
2
2 4 3
16.3 4 2
Chiều cao hình trụ bằng chiều cao hình chóp: h 4 .
3 2 16 9 3
2
S xq 2 rh 2 .
Câu 2.
2 3 4 2 16 2
.
3
3
3
(Đề Tham Khảo 2017) Tính thể tích V của khối trụ ngoại tiếp hình lập phương có cạnh bằng a .
A. V
a3
6
B. V
a3
2
C. V
a3
D. V a 3
4
Lời giải
Chọn B
AC a 2
Bán kính đường trịn đáy là R
; chiều cao h a .
2
2
Vậy thể tích khối trụ là: V R 2 h .
Câu 3.
a2
a3
.a
.
2
2
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. ABC có độ dài cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h .
Tính thể tích V của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ đã cho.
A. V 3 a 2 h .
B. V a 2 h .
C. V
a2h
9
.
D. V
Lời giải
Chọn D
Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
a2h
3
.
TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021
Khối trụ ngoại tiếp lăng trụ tam giác đều có hình trịn đáy là hình trịn ngoại tiếp tam giác đáy của
lăng trụ, và chiều cao bằng chiều cao lăng trụ.
Tam giác đều cạnh a có bán kính đường trịn ngoại tiếp bằng
3a
.
3
2
3a a 2 h
Vậy thể tích của khối trụ cần tìm là V h.S h. .
(đvtt).
3
3
Câu 4.
(Sở Quảng Ninh 2019) Một hình trụ có thiết diện qua trục là hình vng, diện tích xung quanh
bằng 36 a 2 . Tính thể tích V của lăng trụ lục giác đều nội tiếp hình trụ.
A. 27 3a3 .
B. 24 3a3 .
C. 36 3a3 .
Lời giải
D. 81 3a3 .
Ta có S xq 36 a 2 2 Rh .
Do thiết diện qua trục là hình vng nên ta có 2R h .
Khi đó h2 36a 2 hay h 6a ; R 3a .
Diện tích của mặt đáy hình lăng trụ lục giác đều nội tiếp hình trụ là B 6.
R 2 3 27a 2 3
.
4
2
Thể tích V của lăng trụ lục giác đều nội tiếp hình trụ là V B.h 81a3 3 .
Câu 5.
(Chuyên KHTN 2019) Cho hình trụ T chiều cao bằng 2a , hai đường trịn đáy của T có tâm
lần lượt là O và O1 , bán kính bằng a . Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A , trên đường tròn
đáy tâm O1 lấy điểm B sao cho AB 5a . Thể tích khối tứ diện OO1 AB bằng
A.
3a 3
.
12
B.
3a 3
.
4
C.
3a 3
.
6
D.
3a 3
3
Lời giải
Facebook Nguyễn Vương 21
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
O1
B
H
O
B'
A
Kẻ đường sinh BB ' và gọi H là trung điểm OB .
Trong tam giác vng ABB có BB OO1 2a và AB a 5 nên AB
AB 2 BB2 a .
Tam giác OAB có OB OA AB a nên OAB là tam giác đều AH OB , AH
a 3
. Ta
2
AH OB
AH O1OB Thể tích khối tứ diện A.O1OB là
có
AH OO1
1
1
1 a 3
a3 3
.
VO1OAB . AH .SO1OB AH .O1O.O1 B .
.2a.a
3
6
6 2
6
Câu 6.
(THPT Ba Đình 2019) Cho khối trụ có đáy là các đường trịn tâm O , O có bán kính là R và
chiều cao h R 2 . Gọi A , B lần lượt là các điểm thuộc O và O sao cho OA vng góc
với OB. Tỉ số thể tích của khối tứ diện OOAB với thể tích khối trụ là:
2
1
1
1
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
3
3
6
4
Lời giải
2
2
Thể tích khối trụ V1 R .h R .R 2 R
3
2
Khối tứ diện BOOA có BO là đường cao và đáy là tam giác vng OOA , do đó thể tích khối tứ
1
1 1
1
2 3
R
diện là V2 SOOA .OB OA OO OB R.R 2.R
3
3 2
6
6
Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
3
Vậy
Câu 7.
V2 R 2
1
1
3
.
V1
6 R 2 6
(THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Một hình trụ có bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a .
Một hình vng ABCD có đáy AB , CD là hai dây cung của hai đường trịn đáy và ABCD
khơng vng góc với đáy. Diện tích hình vng đó bằng
A.
5a 2
.
4
B. 5a 2 .
C.
5a 2 2
.
2
D.
5a 2
.
2
Lời giải
B
O
A
I
C
O'
C'
D
+ Gọi O, O ' là tâm của 2 đường tròn đáy, I là trung điểm của OO ' .
Do tính đối xứng nên I là trung điểm của AC , BD .
Kẻ đường kính CC ' AC ' a; CC ' 2a AC C ' A2 C ' C 2 a 5 .
+ Do đó S ABCD
Câu 8.
1
5a 2
2
AC
.
2
2
Cho hình lăng trụ đều ABC . ABC , biết góc giữa hai mặt phẳng ABC và ABC bằng 45 ,
diện tích tam giác ABC bằng a 2 6 . Tính diện tích xung quanh của hình trụ ngoại tiếp hình lăng
trụ ABC . ABC .
A.
4 a 2 3
.
3
B. 2 a 2 .
C. 4 a 2 .
D.
8 a 2 3
.
3
Lời giải
A'
C'
B'
A
C
45
M
B
Facebook Nguyễn Vương 23
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
BC AM
Gọi M là trung điểm BC , khi đó
BC AM , do đó góc giữa ABC và ABC
BC AA
MA 45 .
là A
Tam giác AAM vuông cân tại A nên AM AM 2
Diện tích S ABC
Theo đề
BC 3
BC 6
. 2
.
2
2
1
1 BC 6
BC 2 6
AM .BC
.BC
.
2
2 2
4
BC 2 6
a 2 6 BC 2a .
4
Hình trụ có đáy là đường trịn ngoại tiếp ABC có bán kính r
h AA AM
BC 3
a 3 .
2
Diện tích xung quanh S 2πrh 2π
Câu 9.
BC 3 2a 3
, đường cao
3
3
2a 3
.a 3 4πa 2 .
3
(THPT Đồn Thượng - Hải Dương - 2019) Cho hình trụ có bán kính R và chiều cao 3R . Hai
điểm A , B lần lượt nằm trên hai đường trịn đáy sao cho góc giữa AB và trục d của hình trụ
bằng 30 . Tính khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ:
A. d AB, d
R 3
.
2
B. d AB, d R .
C. d AB , d R 3 . D. d AB , d
R
.
2
Lời giải
A
C
H
J
300
R 3
B
R
I
Gọi I , J là tâm của hai đáy (hình vẽ).
Từ B kẻ đường thẳng song song với trục d của hình trụ, cắt đường trịn đáy kia tại C . Khi đó,
. Suy ra
ABC 30 .
AB, d AB, BC ABC
Xét tam giác ABC vuông tại C , ta có:
tan
ABC
AC
R 3.tan 30 R 3. 1 R .
AC CB.tan ABC
CB
3
Lại có d // ABC và ABC AB nên d d , AB d d , ABC d J , ABC .
Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
Kẻ JH AC , H AC . Vì BC JH nên JH ABC . Suy ra d J , ABC JH .
Xét tam giác JAC ta thấy JA JC AC R nên JAC là tam giác đều cạnh R . Khi đó chiều
cao là JH
Câu 10.
R 3
R 3
. Vậy d d , AB
.
2
2
(THPT Kiến An - Hải Phịng - 2018) Cho hình lăng trụ đều ABC . ABC , biết góc giữa hai mặt
phẳng ABC và ABC bằng 45 , diện tích tam giác ABC bằng a 2 6 . Tính diện tích xung
quanh của hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ ABC. ABC .
A.
4 a 2 3
.
3
B. 2 a 2 .
C. 4 a 2 .
D.
8 a 2 3
.
3
Lời giải
A'
C'
B'
A
O
C
45°
M
B
Gọi M là trung điểm BC . Khi đó ta có BC AM , BC AM
AMA 45 AA AM . Gọi O là trọng tâm tam giác ABC .
Suy ra: ABC , ABC
Đặt BC x , x 0 . Ta có AM AA
x 3
x 6
AM
.
2
2
1
x2 6
a 2 6 x 2a .
Nên SABC . AM .BC
2
4
Khi đó: AO
2
2 2a 3 2a 3
AM .
và AA a 3 .
3
3 2
3
Suy ra diện tích xung quang khối trụ là: S xq 2 .OA. AA 2 .
Câu 11.
2a 3
.a 3 4 a 2 .
3
(Trần Phú - Hà Tĩnh - 2018) Một hình trụ có thiết diện qua trục là hình vng, diện tích xung
quanh bằng 36 a 2 . Tính thể tích V của lăng trụ lục giác đều nội tiếp hình trụ.
A. V 27 3a 3 .
B. V 81 3a 3 .
C. V 24 3a 3 .
Lời giải
D. V 36 3a 3 .
Facebook Nguyễn Vương 25