Gδ không gian con paracompact của không gian giả compact

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Dương Hồ Kim Trâm

G - KHƠNG GIAN CON PARACOMPACT CỦA
KHƠNG GIAN GIẢ COMPACT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Dương Hồ Kim Trâm

G - KHƠNG GIAN CON PARACOMPACT CỦA
KHƠNG GIAN GIẢ COMPACT

Chun ngành: Hình học và tơpơ
Mã số: 60 46 01 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN TRỌNG HÒA

Thành phố Hồ Chí Minh – 2016

LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi và được sự
hướng dẫn của TS. Nguyễn Trọng Hòa. Các nội dung nghiên cứu, kết quả trong
đề tài này là trung thực và chưa công bố dưới bất kì hình thức nào.
Nếu phát hiện có bất kì sự gian lận nào tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm về
nội dung luận văn của mình.
Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2016
Học viên thực hiện
Dương Hồ Kim Trâm


LỜI CÁM ƠN
Luận văn được hình thành dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy:
Ts. Nguyễn Trọng Hịa, thầy đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để giúp tôi học tập và
hồn thành tốt luận văn này. Tơi xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đối
với thầy.
Ngồi ra, tôi xin chân thành cảm ơn các Thầy Cô đã giảng dạy cao học khóa
25 và các Thầy Cơ trong tổ Hình Học, trong Khoa Tốn – Tin trường Đại học sư
phạm TPHCM.
Tơi xin kính mong q Thầy Cơ trong hội đồng chấm luận văn nhận xét và
đóng góp để tơi hồn chỉnh luận văn này.
Xin gửi lời cảm ơn đến tất cả các bạn trong nhóm đã hợp tác, chia sẻ, động
viên tơi trong lúc khó khăn.
Học viên thực hiện
Dương Hồ Kim Trâm


MỤC LỤC
TRANG PHỤ BÌA

LỜI CAM ĐOAN
LỜI CÁM ƠN
MỤC LỤC
LỜI MỞ ĐẦU ................................................................................................................. 1
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .......................................................................... 3
1.1. Các kiến thức liên quan về không gian tôpô ......................................................... 3
1.2. Ánh xạ hồn chỉnh ................................................................................................ 6
1.3. Khơng gian Lindelof ........................................................................................... 8
1.4. Không gian Cech  đầy đủ .................................................................................... 9
1.5. Khơng gian Paracompact .................................................................................... 10
1.6. Cech  Stone compact hóa ................................................................................... 12
1.7. Không gian compact yếu..................................................................................... 13
1.8. Không gian giả compact ..................................................................................... 14
1.9. Không gian Mal’cev giả compact ....................................................................... 15
1.10. Giới thiệu về tập G ......................................................................................... 16
Chương 2. G - KHÔNG GIAN CON PARACOMPACT CỦA
KHÔNG GIAN GIẢ COMPACT .................................................................................... 17
2.1. Giới thiệu............................................................................................................. 17
2.2. Dãy bị chặn các tập con của các không gian....................................................... 19
2.3. Tế bào và G - không gian con của A(II) – không gian...................................... 24
2.4. G - phép nhúng của không gian paracompact ................................................... 27
2.5. p – phép nhúng của không gian paracompact ..................................................... 36
KẾT LUẬN ................................................................................................................... 38
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................. 39


1

MỞ ĐẦU
1. Cơ sở khoa học và thực tiễn của đề tài

Nghiên cứu tính chất về khơng gian metric hóa được và khơng gian compact
là bài tốn được sự quan tâm của các nhà tốn học. Đặc biệt là tính chất giả
compact. Như đã biết, không gian giả compact được đưa ra và nghiên cứu đầu
tiên bởi E. Hewitt và sau đó nó cũng được quan tâm bởi nhiều tác giả khác như
R. Engelking, M. Henriksen, M. Hrusak, N. Noble…. Một khơng gian X là giả
compact nếu nó là chính qui đầy đủ và mọi hàm liên tục trên X thì bị chặn. Theo
N. Noble, mọi khơng gian chính qui đầy đủ đều cũng có thế nhúng vào một khơng
gian giả compact nào đó như là một khơng gian con đóng cũng như cũng có thể
nhúng như là các tập con dạng G của không gian giả compact.
Trong luận văn này chúng tôi tiếp tục nghiên cứu các không gian con G của
các không gian giả compact.
Các nghiên cứu của I. Glicksberg, Iu M. Smirnov và J. Kerstan khẳng định
rằng không gian X là giả compact nếu và chỉ nếu mỗi họ hữu hạn địa phương
của các tập con mở khác rỗng của X là hữu hạn. Tính chất này là công cụ hiệu
quả trong việc xem xét các lớp các không gian con bị chặn của các không gian.
Một tập con L của một không gian X được gọi là bị chăn nếu cho mỗi họ hữu
hạn địa phương  của các tập con mở trong X thì tập U   : U  L   là hữu
hạn. Một tập con L của không gian X Tychonoff là bị chặn nếu và chỉ nếu mỗi
hàm liên tục trên X là bị chặn trên L. Một không gian X chính qui được gọi là
compact yếu nếu X là tập con bị chặn của X . Do đó một khơng gian chính qui
đầy đủ là giả compact nếu nó là compact yếu. Mỗi không gian compact đếm được
là giả compact và mỗi không gian giả compact là compact yếu.
2. Mục đích của đề tài
Mục đích của đề tài là sự nghiên cứu về khơng gian mà nó cho phép thực


2

hiện phép nhúng đặc biệt trong không gian giả compact. Nội dung của luận văn
sử dụng tài liệu chính là bài báo: “ On paracompact G - subspaces of



pseudocompact spaces” của tác giả Mitrofan M. Choban.
Tồn tại một không gian giả compact Y và không gian con như là không
gian con đóng mà nó khơng là k - khơng gian . Không gian con như trên không
là không gian giả compact hay không gian Mal’cev giả compact.
Môt paracompact là một G - tập con đóng của một khơng gian giả compact
với điều kiện nó là một G - khơng gian con của một vài không gian giả compact.
3. Nội dung của đề tài, các vấn đề cần giải quyết
Chương 1: Kiến thức chuẩn bi
Chương 2: G - không gian con paracompact của không gian giả compact


3

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Các kiến thức liên quan về không gian tôpô
1.1.1. Bản số
Định nghĩa 1.1.1.1.
Hai tập X và Y gọi là cùng bản số (hay cùng lực lượng tập hợp) nếu có một
song ánh từ X vào Y , kí hiệu X  Y .
Quan hệ cùng một bản số là một quan hệ tương đương trên lớp các tập hợp.
Tập hợp X gọi là có bản số (hay lực lượng) nhỏ hơn tập Y nếu có đơn ánh
từ X vào Y , kí hiệu X  Y .

 X  Y
 X Y .

Y


X


Định lí 1.1.1.2.
Hệ quả 1.1.1.3.

Quan hệ "  " là một quan hệ thứ tự.
- Tập X gọi là đếm được nếu X có cùng bản số với

, khi đó các phần tử

trong X được đánh thứ tự X   x1, x2 ,... .
- Tập con của

gọi là dãy hữu hạn nếu có phần tử lớn nhất, tập hợp có cùng

bản số với tập hữu hạn trong

cũng gọi là hữu hạn. Ngược lại thì gọi là tập vơ

hạn.
- Tập vơ hạn và không đếm được gọi là tập không đếm được, một tập khơng
phải là khơng đếm được thì gọi là cùng lắm đếm được, đó là tập trống hay hữu
hạn hay đếm được.
Định lí 1.1.1.4.
- Hợp đếm được các tập đếm được là một đếm được.
Nghĩa là: Nếu An đếm được với mọi n thì
- Nếu A, B đếm được thì A  B đếm được.


n 1

An đếm được.


4

Q là tập đếm được, các tập  a, b  ;

là không đếm được.

- Nếu X là tập vô hạn và có bản số nhỏ hơn một tập đếm được thì X là tập
đếm được.
1.1.2 Khơng gian tơpơ
Cho X là tập hợp khác rỗng và T là một họ các tập con của X thỏa mãn các tiên
đề sau:
i) , X T .
ii) U ,V T  U  V T (giao hữu hạn các tập thuộc T thì thuộc T ).
iii) V T ,  I 

I

V T (hợp bất kì các tập thuộc T thì thuộc T ).

Khi đó T được gọi là một tơpơ trên X và ( X ,T ) là một không gian tôpô.
Mỗi phần tử của T được gọi là tập T - mở hay đơn giản hơn là tập mở.
1.1.3. Các tiên đề tách
1.1.3.1. Tiên đề T0
Cho  X ,T  là một không gian tôpô

Tôpô T và không gian tôpô  X ,T  được gọi là T0 nếu với mọi cặp điểm phân
biệt x, y của X , tồn tại một T - lân cận của một trong hai điểm khơng chứa điểm
cịn lại. Một T0 cịn được gọi là Kolmogorov. Hai điểm thỏa tính chất tồn tại một

T - lân cận của một trong hai điểm không chứa điểm cịn lại được gọi là hai điểm
phân biệt tơpơ.
1.1.3.2. Tiên đề T1
Định nghĩa 1.1.3.2.1.
Không gian tôpô  X ,T  được gọi là T1 -không gian nếu mọi cặp điểm phân
biệt x, y của X tồn tại một T -lân cận của mỗi điểm khơng chứa điểm cịn lại,
nghĩa là tồn tại một T -lân cận của x không chứa y và tồn tại một lân cận của y
không chứa x . một khơng gian T1 đơi khi cịn được gọi là không gian Frechet.


5

Hai điểm trong không gian tôpô được gọi là tách biệt nếu tồn tại một T -lân
cận của mỗi điểm khơng chứa điểm cịn lại.
Với định nghĩa trên T1 - không gian là không gian tôpô mà mọi cặp điểm đều tách
biệt.
Định nghĩa 1.1.3.2.2.
Không gian tôpô  X ,T  được gọi là T0 - không gian nếu mọi cặp điểm phân
biệt tôpô trong X đều tách biệt.không gian này cịn có tên là khơng gian đối xứng.
Với định ngĩa T1 - khơng gian như thế thì ta có ngay nhận xét một T1 - không gian
là một T0 - khơng gian. Nhưng T0 - khơng gian nói chung khơng là T1 - không
gian.
Định lý 1.1.3.2.3.
Cho  X ,T  là một khơng gian tơpơ. Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương:
i) X là T1 - không gian.
ii) Với mọi điểm x thuộc X , tập  x là T - đóng.

iii) Với mọi điểm x thuộc X , giao của các T - lân cận lọc của x chính là  x .
1.1.3.3. Tiên đề T2
Cho  X ,T  là một không gian tôpô.
( X ,T ) được gọi là T2 nếu mọi cặp điểm phân biệt x, y thuộc X , tồn tại những T

-lân cận tương ứng nhau của Vx  Vy   . Một không gian T2 thường được gọi
là không gian Hausdorff.
1.1.3.3. Tiên đề T 1
2

2

Cho ( X , T ) là một không gian tôpô.


6

Tôpô T và không gian tôpô  X ,T  được gọi là T 1 hay Hausdorff hoàn toàn
2

2

nếu với mọi cặp điểm phân biệt x,y của X , tồn tại T - lân cận U ,V của x, y thỏa
ClU  ClV   .

1.1.3.4. Tiên đề T3
Không gian tơpơ  X ,T  được gọi là chính quy ( T3 - không gian) nếu mọi điểm
x X

và với mọi tập con T - đóng A khơng chứa x , tồn tại những tập T - mở

U ,V rời nhau sao cho x U và A  V .

1.1.3.5. Tiên đề T 1
3

2

Tôpô T và không gian  X ,T  được gọi là chính quy hồn tồn nếu mọi điểm
x của X và với mọi tập con T- đóng A khơng chứa X , tồn tại một ánh xạ liên

tục f : X  0,1 sao cho f ( x)  0 và f (t )  1 với mọi t  A và  X ,T  được gọi là
T 1 thường gọi là Tikhonov.
3

2

Nhận xét: Mọi khơng gian chính quy hồn tồn là chính quy.
1.1.3.6. Tiên đề T4
Tôpô T và không gian tôpô  X ,T  được gọi là chuẩn tắc nếu với mọi cặp
tập con T - đóng A, B của X , đều tồn tại những tập mở U ,V rời nhau sao cho

A U, B V .

1.2. Ánh xạ hoàn chỉnh
Một ánh xạ liên tục f : X  Y là ánh xạ hồn chỉnh nếu X là khơng gian
Hausdorff, f là ánh xạ đóng và tất cả tạo ảnh f 1 ( y ) là các tập con compact của

X .
Một ánh xạ một – một f : X  Y được định nghĩa trên một khơng gian

Hausdorff là hồn chỉnh nếu và chỉ nếu nó là ánh xạ đóng, nghĩa là, nếu f là phép
nhúng đồng phôi và tập f ( X ) là đóng trong Y .


7

Đặt biệt, phép nhúng iM : M  X là ánh xạ hồn chỉnh nếu và chỉ nếu M là
khơng gian Hausdorff và M  M .
Định lí 1.2.1. Nếu X là không gian compact và Y là không gian Hausdorff thì
phép chiếu p : X  Y  Y là hồn chỉnh.
Định lí 1.2.2. Nếu f : X  Y là ánh xạ hồn chỉnh thì với mọi khơng gian con
compact Z  Y , ảnh ngược f 1 (Z) là compact.
Hệ quả 1.2.3. Sự hợp thành của hai ánh xạ hoàn chỉnh là một ánh xạ hoàn chỉnh.
Bổ đề 1.2.4. Một ánh xạ hoàn chỉnh f : X  Y khơng là thác triển liên tục trên
bất kì không gian Hausdorff Z mà chứa X như là không gian con trù mật.
Mệnh đề 1.2.5. Nếu ánh xạ hợp thành go f của ánh xạ liên tục f : X  Y và
g : Y  Z , trong đó Y là khơng gian Hausdorff, là ánh xạ hồn chỉnh thì ánh xạ

g | f (X) và f là ánh xạ hoàn chỉnh.
Mệnh đề 1.2.6. Nếu f : X  Y là ánh xạ hồn chỉnh thì bất kì tập đóng A  X
và bất kì B  Y , ánh xạ hạn chế f | A: A  Y , f |B : f 1 ( B)  B là ánh xạ hồn
chỉnh.
Định lí 1.2.7. Đường chéo của bất kì họ các ánh xạ hồn chỉnh là các ánh xạ hồn
chỉnh.
Định lí 1.2.8. Với một ánh xạ liên tục f : X  Y định nghĩa trên không gian
Hausdorff X , các điều kiện sau là tương đương:
(i) Ánh xạ f là hồn chỉnh.
(ii) Với mọi khơng gian Hausdorff Y , tích f  idY là hồn chỉnh.
(iii) Với mọi khơng gian Hausdorff Y , tích f  idY là đóng.
Định lí 1.2.9. Cho ánh xạ liên tục f : X  Y , với X và Y là không gian

Tychonoff, các điều kiện sau là tương đương:
(i) Ánh xạ f là hoàn chỉnh.


8

(ii) Với mỗi compact hóa Y , mở rộng F :  X  Y của ánh xạ f thỏa điều
kiện F ( X \ X )  Y \ Y .
(iii) Ánh xạ mở rộng F :  X  Y của ánh xạ f thỏa mãn điều kiện
F ( X \ X )   Y \ Y .

(iv) Tồn tại một compact hóa Y sao cho mở rộng F :  X  Y của ánh xạ f
thỏa điều kiện F ( X \ X )  Y \ Y .
Định lí 1.2.10. Nếu tồn tại một ánh xạ hoàn chỉnh f : X  Y lên khơng gian Y ,
thì  (Y )   ( X ) .
Định lí 1.2.11. Lớp các khơng gian Ti là bất biến qua ánh xạ hoàn chỉnh với

i  2,3,4,5,6 .
Định lí 1.2.12. Tính compact địa phương là bất biến của ánh xạ hồn chỉnh.

1.3. Khơng gian Lindelof
Một khơng gian tơpơ X là khơng gian Lindelof , hoặc có tính chất
Lindelof , nếu X là chính qui và mọi phủ mở của X có cái mịn đếm được.

Rõ ràng, một khơng gian chính qui X là khơng gian Lindelof nếu và chỉ
nếu mọi phủ mở của X có cái mịn đếm được.
Mọi không gian compact là không gian Lindelof .
Định lí 1.3.1. Mọi khơng gian chính qui đếm được thứ hai là khơng gian Lindelof
.
Định lí 1.3.2. Mọi khơng gian Lindelof đều chuẩn tắc.

Định lí 1.3.3. Một khơng gian X chính qui là khơng gian Lindelof nếu và chỉ
nếu mọi họ các tập con đóng của X mà nó có tính chất giao đếm được có giao
khác rỗng.
Định lí 1.3.4. Mọi khơng gian con đóng của khơng gian Lindelof là không gian
Lindelof .


9

Định lí 1.3.5. Nếu tồn tại ánh xạ liên tục f : X  Y của không gian Lindelof X
lên khơng gian chính qui Y thì Y là khơng gian Lindelof .
Định lí 1.3.6. Nếu f : X  Y là ánh xạ đóng được xác định trên khơng gian chính
qui X và tất cả tạo ảnh f 1 ( y ) có tính chất Lindelof , thì với mọi khơng gian con

Z  Y mà có tính chất Lindelof , ảnh ngược f 1 (Z) cũng có tính chất Lindelof
.
Định lí 1.3.7. Các lớp của khơng gian Lindelof là hồn chỉnh.
Định lí 1.3.8. Tích X  Y của khơng gian Lindelof X và không gian compact Y
là không gian Lindelof .
Định lí 1.3.9. Mọi phủ mở của khơng gian Lindelof đều có cái mịn mở hữu hạn
địa phương.

1.4. Khơng gian Cech - đầy đủ
Định lí 1.4.1. Với mọi khơng gian Tychonoff X , các điều kiện sau là tương
đương:
(i) Với mọi compact hóa cX của khơng gian X , phần bù cX \ c( X ) là một F tập trong cX .
(ii) Phần bù  X \  ( X ) là F - tập trong  X .
(iii) Tồn tại một compact hóa cX của khơng gian X sao cho phần bù cX \ c( X )
là một F - tập trong cX .
Một không gian tôpô X là Cech  đầy đủ nếu X là không gian Tychonoff

và thỏa điều kiện (i), và do đó tất cả các điều kiện trong định lí 1.4.1 đều thỏa.
Chú ý rằng mọi không gian compact đều là Cech  đầy đủ. Các không gian
compact địa phương cũng là Cech  đầy đủ, bởi vì một khơng gian compact
khơng compact địa phương có một compact hóa với các điểm cịn lại. Không gian
tất cả các số vô tỉ với tôpô của khơng gian con của số thực là một ví dụ của không
gian Cech  đầy đủ mà không compact địa phương.


10

Định lí 1.4.2. Một khơng gian Tychonoff X là Cech  đầy đủ nếu và chỉ nếu tồn
tại một họ  Ai i 1 đếm được các phủ mở của khơng gian X với tính chất bất kì họ


F các tập con đóng của X , mà nó chứa tính chất giao hữu hạn và chứa các tập
đường kính ít hơn Ai , i  1,2,... có giao khác rỗng.
Hệ quả 1.4.3. Trong không gian Cech  đầy đủ X với G 


i 1

Gi , trong đó Gi

là dãy các tập con mở trù mật thì G là tập trù mật.
Định lí 1.4.4. Cech  đầy đủ có tính di truyền tương ứng với các tập con đóng và
tương ứng với G - tập con.
Định lí 1.4.5. Tích descartes của nhiều không gian Cech  đầy đủ đếm được là
Cech  đầy đủ.

Hê quả 1.4.6. Giới hạn một dãy nghịch đảo của không gian Cech  đầy đủ là

không gian Cech  đầy đủ.
Định lí 1.4.7. Nếu X và Y là khơng gian Tychonoff và tồn tại ánh xạ hồn chỉnh
của X lên Y , thì X là Cech  đầy đủ nếu và chỉ nếu Y là đầy đủ.

1.5. Không gian Paracompact
Một không gian tôpô X được gọi là không gian paracompact nếu X là
không gian Hausdorff và mọi phủ mở của X có cái mịn mở hữu hạn địa phương.
Ở đây, “cái mịn” không thay thế cho “phủ con”.
Định lí 1.5.1. Mọi khơng gian compact đều là paracompact.
Định lí 1.5.2. Mọi khơng gian Lindelof là paracompact.
Định lí 1.5.3. Mọi khơng gian metric hóa được đều là paracompact.
Bổ đề 1.5.4. Cho X là không gian paracompact và A, B là một cặp tập con đóng
của X . Nếu x  B , tồn tại tập mở U x ,Vx sao cho A  U x , x Vx ,U x  Vx   thì
cũng tồn tại tập mở U ,V sao cho A  U , B  V ,U  V   .
Định lí 1.5.5. Mọi không gian paracompact đều chuẩn tắc.


11

Bổ đề 1.5.6. Nếu mọi phủ mở của không gian chính qui X có một cái mịn hữu
hạn địa phương ( bao gồm các tập tùy ý ), thì với mọi phủ mở U s sS của không
gian X sẽ tồn tại một phủ hữu hạn địa phương đóng Fs sS của X sao cho
Fs  U s , s  S .

Bổ đề 1.5.7. Mọi phủ hữu hạn  - địa phương mở của khơng gian tơpơ X có cái
mịn hữu hạn địa phương.
Định lí 1.5.8. Với mọi khơng gian chính qui X , các điều kiện sau là tương đương:
(i) Không gian X là paracompact.
(ii) Mọi phủ mở của khơng gian X có cái mịn hữu hạn địa phương.
(iii) Mọi phủ mở của khơng gian X có cái mịn hữu hạn  - địa phương mở.

(iv) Mọi phủ mở của khơng gian X có cái mịn hữu hạn địa phương đóng.
Định lí 1.5.9. Mọi khơng gian paracompact compact đếm được là compact.
Bổ đề 1.5.10. Mọi họ hữu hạn địa phương của các tập con khác rỗng của không
gian Lindelof là đếm được.
Bổ đề 1.5.11. Nếu không gian paracompact X chứa khơng gian con A trù mật
mà có tính chất Lindelof , thì X là khơng gian Lindelof .
Hệ quả 1.5.12. Mọi không paracompact tách được là không gian Lindelof .
Hệ quả 1.5.13. Mọi khơng gian con đóng của khơng gian paracompact là
paracompact.
Định lí 1.5.14. Nếu khơng gian tơpơ X có phủ đóng hữu hạn địa phương bao
gồm khơng gian con paracompact thì X chính là paracompact.
Định lí 1.5.15. ( định lí Tamano ) Với khơng gian Tychonoff X , các điều kiện
sau là tương đương:
(i) Không gian X là paracompact.
(ii) Mọi compact hóa cX của khơng gian X , tích X  cX là chuẩn tắc.
(iii) Tích X   X là chuẩn tắc.


12

(iv) Tồn tại một compact hóa cX của khơng gian X sao cho tích X  cX là chuẩn
tắc.
Định lí 1.5.16. Với mọi không gian tôpô X , các điều kiện sau là tương đương:
(i) Không gian X là paracompact.
(ii) Với khơng gian compact Y , tích X  Y là chuẩn tắc.
(iii) Với không gian compact Y sao cho  (Y )   ( X ) , tích X  Y là chuẩn tắc.
(iv) Tích X  I  ( X ) là chuẩn tắc.

1.6. Cech - Stone compact hóa
Phần tử lớn nhất trong họ C ( X ) của tất cả các compact hóa được của khơng

gian Tychonoff X được gọi là compact hóa được Cech  Stone của X và được
kí hiệu là  X .
Để cho đơn giản, ta đồng nhất không gian X với khơng gian con c( X ) của
bất kì compact hóa cX của X , nghĩa là, ta giả sử rằng X là khơng gian con của
bất kì compact hóa cX .
Định lí 1.6.1. Mọi ánh xạ liên tục f : X  Z của không gian Tychonoff X tới
không gian Z là mở rộng được tới ánh xạ liên tục F :  X  Z .
Nếu mọi ánh xạ liên tục của không gian Tychonoff X tới không gian
compact là liên tục mở rộng trên tồn compact hóa  X của X , thì  X là tương
đương tới Cech  Stone compact hóa của X .
Hệ quả 1.6.2. Mọi tập con tách được đầy đủ của không gian Tychonoff có bao
đóng rời rạc trong  X .
Nếu một compact hóa  X của khơng gian Tychonoff X có tính chất rằng
mọi cặp các tập con tách được đầy đủ của khơng gian X có bao đóng rời rạc trong

 X , thì  X là tương đương tới Cech  Stone compact hóa của X .
Hệ quả 1.6.3. Mọi hàm liên tục f : X  I từ khơng gian Tychonoff X tới I đóng
là mở rộng được tới một hàm liên tục F :  X  I .


13

Nếu mọi hàm liên tục từ không gian Tychonoff X tới đoạn I đóng là liên
tục mở rộng được trên tồn compact hóa  X của X là tương đương tới
Cech  Stone compact hóa của X .

Hệ quả 1.6.4. Mọi cặp tập con đóng rời rạc của khơng gian X trực chuẩn có bao
đóng rời rạc trong  X .
Nếu một compact hóa  X của khơng gian Tychonoff X có tính chất rằng
mọi cặp tập con đóng rời rạc của khơng gian X có bao đóng rời rạc trong  X ,

thì X là trực chuẩn và  X là tương đương tới Cech  Stone compact hóa của X .

1.7. Khơng gian compact yếu
Một tơpơ có tính chất tương tự tới compact hóa đếm được nhưng yếu là
compact hóa yếu. Một khơng gian X Haudorff được gọi là compact yếu nếu mọi
họ hữu hạn địa phương của tập con mở của X là hữu hạn.
Một tính chất đặc trưng của compact hóa yếu là:
Mệnh đề 1.7.1. Cho không gian X , các mệnh đề sau là tương đương:
(i) X là compact yếu.
(ii) Mỗi họ hữu hạn của các tập mở khác rỗng rời rạc tưng đôi một có một điểm
giới hạn.
(iii) Nếu C là một tập hơp đếm được của các tập mở với tính chất giao hữu hạn,
thì

clX c : c  C  

(iv) Nếu C là phủ mở đếm được của X , thì tồn tại một họ con hữu hạn J của C
sao cho X 

clX c : c  J 

Mệnh đề 1.7.2.
(a) Một không gian Tychonoff là compact yếu nếu và chỉ nếu nó là giả compact.
(b) Một tập con đóng chính qui của khơng gian compact yếu là compact yếu.
Mệnh đề 1.7.3. Lấy p là điểm của không gian X compact yếu và lấy  p là
G  tập của X , thì X là đếm được thứ 1 tại p .


14

* Nhắc lại rằng: Một không gian X thỏa mãn điều kiện chuỗi đếm được
nếu X khơng có họ khơng đếm được của các tập con khác rỗng đôi một rời nhau.
Mệnh đề 1.7.4. Một khơng gian compact yếu hồn chỉnh là thỏa điều kiện chuỗi
đếm được.
Hệ quả 1.7.5. Một khơng gian hồn chỉnh, compact yếu là thỏa điều kiện chuỗi
đếm được và đếm được thứ 1.

1.8. Không gian giả compact
Một không gian X được gọi là giả compact nếu X là không gian
Tychonoff và mọi hàm giá trị thực liên tục được định nghĩa trên X là bị chặn.
Định lí 1.8.1. Khơng gian Tychonoff compact đếm được là giả compact.
Định lí 1.8.2. Khơng gian chuẩn tắc giả compact là compact đếm được.
Định lí 1.8.3. Với mọi khơng gian Tychonoff X , các điều kiện sau là tương
đương:
(i) Không gian X là giả compact.
(ii) Mọi họ hữu hạn địa phương các tập con mở khác rỗng của X là hữu hạn.
(iii) Mọi phủ mở hữu hạn địa phương của X bao gồm các tập khác rỗng là hữu
hạn.
(iv) Mọi phủ mở hữu hạn địa phương của X có phủ con hữu hạn.
Định lí 1.8.4. Cho khơng gian X Tychonoff, các điều kiện sau là tương đương:
(i) Không gian X la giả compact.
(ii) Với mọi dãy giảm W1  W2  W3  ... các tập con mở khác rỗng của X ,

i 1

Wi  

(iii) Với mọi họ đếm được Vi i 1 của các tập con mở của X mà nó chứa tính chất


giao hũu hạn,



Vi  

i 1

Định lí 1.8.5. Nếu tồn tại một ánh xạ liên tục f : X  Y của không gian giả
compact X lên khơng gian Tychonoff Y, thì Y là khơng gian giả compact.


15

1.9. Khơng gian Mal’cev giả compact
Định nghĩa 1.9.1. Một tốn tử Mal’cev trên không gian X là một ánh xạ liên tục

f : X 3  X thỏa mãn phép đồng nhất f ( x, y, y)  f ( y, y, x)  x, x, y  X . Một
khơng gian là Mal’cev nếu nó có tốn tử Mal’cev. Nếu G là một nhóm tơpơ, thì
ánh xạ ( x, y, z )

xy 1z là một toán tử trện G , do đó, mọi nhóm tơpơ đều là

khơng gian Mal’cev.
Ta định nghĩa  X là compact hóa Stone  Cech của không gian X . Một
không gian compact X là Dugundji nếu nó có một trong các tính chất tương
đương sau đây:
(i) Nếu Z là không gian compact 0 – chiều và A là tập con đóng của Z , thì mọi
ánh xạ liên tục từ A  X mở rộng tới ánh xạ liên tục Z  X
(ii) Tồn tại một họ  của quan hệ tương đương trên X sao cho:

(a) Với mỗi R , không gian thương X / R là metric hóa và ánh xạ
thương X  X / R là mở.
(b)

  đường chéo của X 2 ( theo nghĩa khác, họ  các điểm phân biệt

của X )
(c)  là đóng dưới phép giao đếm được.
Định lí 1.9.2.
(i) Lấy G là nhóm tơpơ giả compact. Nhóm tốn tử trên G mở rộng tới nhóm
tốn tử liên tục trên  G mà biến  G vào một nhóm tơpơ.
(ii) Tích của bất kì họ của nhóm giả compact là giả compact.
Định lí 9.2 trên có thể được mở rộng tới trường hợp không gian Mal’cev
giả compact:
(1) Lấy X là khơng gian Mal’cev giả compact. Thì:
(a)  X là Dugundji.


16

(b) Mỗi toán tử Mal’cev trên X mở rộng tới toán tử Mal’cev trên

X .
(c) X là co rút của một nhóm tơpơ.
(2) Tích của bất kì họ khơng gian Mal’cev giả compact là giả compact.

1.10. Giới thiệu về tập G 
Định nghĩa Một tập con của không gian tôpô là tập G nếu nó là giao đếm được
của nhiều tập mở

17

Chương 2.

G



- KHÔNG GIAN CON PARACOMPACT CỦA
KHÔNG GIAN GIẢ COMPACT

2.1. Giới thiệu
Không gian X trong luận văn này là không gian Hausdorff . Kí hiệu  X
là compact hóa Stone – Cech của khơng gian X chính qui đầy đủ, A là lực lượng
của tập A và cl X L là bao đóng của tập L trong khơng gian X .
Khơng gian metric hóa được và khơng gian compact hóa là lớp các không
gian tôpô quan trọng nhất. Các lớp khơng gian khác nhau này là có liên quan đến
nhau. Như đã biết, không gian giả compact được đưa ra và nghiên cứu đầu tiên
bởi E. Hewitt và được quan tâm bởi nhiều tác giả khác. Một không gian X là giả
compact nếu nó là chính qui đầy đủ và mọi hàm liên tục trên X là bị chặn. Theo
N. Noble, mọi khơng gian chính qui đầy đủ đều có thể nhúng vào một khơng gian
giả compact nào đó như là một khơng gian con đóng cũng như có thể nhúng như
là các tập con dạng G của không gian giả compact. Trong bài luận văn này,
chúng ta tiếp tục nghiên cứu về các không gian con G của các không gian giả
compact.
Các nghiên cứu của I. Glicksberg, Iu M. Smirnov và J. Kerstan khẳng định
rằng không gian X là giả compact nếu và chỉ nếu mỗi họ hữu hạn địa phương
của các tập con mở khác rỗng của X là hữu hạn. Tính chất này là cơng cụ hiệu
quả trong việc xem xét các lớp các không gian con bị chặn của các không gian.

Một tập con L của một không gian X được gọi là bị chặn nếu cho mỗi họ hữu
hạn địa phương  của các tập con mở trong X thì tập U   : U  L   là hữu
hạn. Một tập con L của không gian X Tychonoff là bị chặn nếu và chỉ nếu mỗi
hàm liên tục trên X là bị chặn trên L. Một khơng gian X chính qui được gọi là
compact yếu nếu X là tập con bị chặn của X . Do đó một khơng gian chính qui


18

đầy đủ là giả compact nếu nó là compact yếu. Mỗi không gian compact đếm được
là giả compact và mỗi không gian giả compact là compact yếu.
Mệnh đề
Mỗi G tập con Y bị chặn của không gian X là không gian con với tính chất
Baire.
Chứng minh
Thật vậy, giả sử rằng tồn tại dãy U n : n
gian X , sao cho: tập

 của các tâp con mở của không

U n  Y : n   là không trù mật trong Y và tập U n  Y

là trù mật trong Y với mỗi n .
Tập U  Y \ clY 

U n  Y : n   là khác rỗng mà khơng có điểm nào bị

cơ lập trong Y.
Khi đó, tồn tại dãy Vn : n

 của các tập con mở khác rỗng của không

gian X sao cho   Vn  Y  U và cl XVn1  Vn với mỗi n .
Bằng cách xây dựng, Vn : n

 là một họ hữu hạn địa phương của các tập

con mở của X , điều này mâu thuẫn.
(*) Nếu  là một họ các tập con của không gian X , và L  X , thì

 ( L) 

H  : L  H  

là tập hình sao của L liên quan đến  . Ta đặt

 ( x)    x . Lấy X  Z , với Z là không gian tùy ý. Một họ F đếm được của
họ các tập con mở của Z được gọi là pm1 của X trong Z nếu X   , với mỗi

  F và

 ( x) : y  F  X

với mỗi x  X . Ta gọi họ F là pm của X trong

Z. Một không gian với một pm trong một vài không gian compact được gọi là p không gian. Nếu một không gian con X của một không gian Z có một pm trong
Z, ta nói rằng X là p - được nhúng trong Z [2].
pm1: plumage

19

2.2. Dãy bị chặn các tập con của các không gian
Một dãy H n : n

 1,2,... của các tập con của không gian X được

gọi là dãy bị chặn nếu:
i) Mỗi dãy xn  H n : n 

 là một tập bị chặn trong

ii)   H n1  H n với bất kì n

X.

.

Một tập con F của không gian X được gọi là tương tự tập con đóng hoặc
tập khơng nếu tồn tại một hàm liên tục f : X  I , với I  [0,1] là không gian
con của không gian thực

, sao cho F  f 1 (0) . Phần bù của tập con phiếm

hàm đóng trong X được gọi là có chức năng mở hoặc đối tập không. Hai tập con

A và B của khơng gian chính qui X được gọi là hoàn toàn tách biệt nếu tồn tại
một hàm liên tục f : X  I sao cho A  f 1 (0) và B  f 1 (1) ( nghĩa là

cl X A cl X B   [7] )

Với H n : n
và H 

 là một dãy bị chặn của các tập con mở của không gian

X

clX H n : n   , ta có:

- Nếu tập U là mở trong X và H  U thì tồn tại n

sao cho H n  cl XU ;

- Tập H là bị chặn và khác rỗng và với mỗi tập mở U có chức năng mở chứa

H , tức tồn tại n

sao cho H  U

- Nếu tập H là compact, thì với mỗi tập con mở U chứa H của X thì tồn tại
n

sao cho H i  U với mọi số tự nhiên i  n .
Cho dãy bị chặn sau đây:

Định lí 2.2.1. Cho U n : n

X,Y

 là dãy bị chặn của các tập con mở của không gian

U n : n   và Z  clXU n : n   . Khi đó:

1. Z là tập con bị chặn của X với tính chất Baire.
2. Bất kì G -khơng gian con khác rỗng của khơng gian Z đều có tính chất Baire.
3. Nếu Z là một khơng gian con Lindelof thì Z là một không gian compact.


20

4. Nếu Y là một khơng gian con Lindelof thì Y là một không gian Cech  đầy
đủ.
5. Nếu Z là một tập compact thì với mỗi tập con mở V chứa Z của X thì tồn tại
n

sao cho U n  V .
Định nghĩa II – dãy

Một dãy   U n : n 



của tập con của một khơng gian X chính qui đầy đủ

được goi là II – dãy nếu:
(i) Dãy  là bị chặn trong X ;
(ii) Các tập X \ U n và U n1 là một cặp tập con hồn tồn riêng biệt của
khơng gian X với bất kì n

.

Định nghĩa c – dãy và m – dãy
Lấy X là không gian,    n  U :   A : n 

 là dãy bị chặn của họ

các tập mở của X , và lấy dãy ánh xạ    n : An1  An : n 

   n : n 

 được gọi là một c – dãy nếu  n  An

n . Ta có c - dãy    n : n 
H ( ) 

U

n



.

Một dãy

và  n ( n1 )   n với mọi

được gọi là một m – dãy nếu

 là tập con khác rỗng của không gian X .

:n

Xem xét các điều kiện sau:
( Điều kiện 1 )

U

( Điều kiện 2 )



:   An   X với mỗi n .

U



:   n1 ( ) 

cl U
X



:   n1 ( )  U , với tất cả

  An và n
( Điều kiện 3 ) Với bất kì m – dãy    n  An : n 

 thì dãy U

n

: n

bị chặn.
( Điều kiện 4 ) Bất kì c – dãy nào đều là m – dãy.
( Điều kiện 5 ) Với bất kì c – dãy    n : n 

 , tập H ( ) là compact.

 là