Các cấp độ whitney trong các siêu không gian của continua không metric hóa được

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Tấn Thuận

CÁC CẤP ĐỘ WHITNEY TRONG CÁC SIÊU
KHƠNG GIAN CỦA CONTINUA KHƠNG
METRIC HĨA ĐƯỢC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Tấn Thuận

CÁC CẤP ĐỘ WHITNEY TRONG CÁC SIÊU
KHƠNG GIAN CỦA CONTINUA KHƠNG
METRIC HĨA ĐƯỢC
Chun ngành:

Hình Học và Tơpơ

Mã số:

60 46 01 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN THÁI SƠN

Thành phố Hồ Chí Minh – 2015


MỤC LỤC
MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN
LỜI MỞ ĐẦU ...................................................................................................... 1
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ................................................................ 5
1.1. Không gian tôpô .......................................................................................... 5
1.2. Không gian Hausdorff và các tiên đề tách .................................................. 6
1.3. Cơ sở ........................................................................................................... 7
1.4. Ánh xạ liên tục ............................................................................................ 8
1.5. Tập compact ................................................................................................ 9
1.6. Tập liên thông ........................................................................................... 10
1.7. Metric ........................................................................................................ 13
1.8. Continuum ................................................................................................. 14
Chương 2. ÁNH XẠ WHITNEY – CẤP ĐỘ WHITNEY ............................. 18
2.1. Giới thiệu................................................................................................... 18
2.2. Siêu khơng gian ......................................................................................... 19
2.3. Ví dụ minh họa mơ hình của siêu không gian .......................................... 20
2.4. Tôpô Vietoris ............................................................................................ 23
2.5. Cung được tổng quát hóa .......................................................................... 24
2.6. Ánh xạ Whitney ........................................................................................ 24
2.7. Định lí........................................................................................................ 27
2.8. Ví dụ .......................................................................................................... 27
2.9. Cung thứ tự và cung dài thứ tự ................................................................. 28
2.10. Cấp độ Whitney trong continuum metric hóa được................................ 29

2.11. Định lí...................................................................................................... 30
2.12. Định nghĩa cấp độ Whitney trong continuum không metric hóa được .. 30
2.13. Các định lí cơ bản và hệ quả ................................................................... 31


2.14. Định lí...................................................................................................... 36
2.15. Bổ đề ....................................................................................................... 38
2.16. Định lí...................................................................................................... 38
2.17. Định lí...................................................................................................... 43
2.18. Định lí...................................................................................................... 43
2.19. Định lí...................................................................................................... 45
Chương 3. ỨNG DỤNG CẤP ĐỘ WHITNEY ............................................... 47
3.1. Các cung được tổng qt hóa .................................................................... 47
3.2. Định lí........................................................................................................ 49
3.3. Kết quả ...................................................................................................... 52
3.4. Cung dài .................................................................................................... 52
3.5. Cấp độ Whitney trong cung dài ................................................................ 55
3.6. Hình vng từ điển.................................................................................... 56
3.7. Thứ tự từ điển trong hình vng đơn vị .................................................... 56
3.8. Ví dụ . ...................................................................................................... 56
3.9. Cấp độ Whitney trong hình vng từ điển................................................ 57
3.10. Các kết quả quan trọng............................................................................ 59
KẾT LUẬN ........................................................................................................ 62
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................ 64


LỜI CẢM ƠN
Luận văn Thạc sĩ này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của
TS. Nguyễn Thái Sơn. Trong quá trình viết luận văn, Thầy đã nhiệt tình, tận tụy
hướng dẫn, chỉ dạy tôi biết cách đọc tài liệu, biết phương pháp viết luận văn và

phương pháp nghiên cứu khoa học. Qua đây, tôi xin trân trọng bày tỏ lịng biết
ơn sâu sắc đến Thầy, tơi xin kính chúc Thầy cùng gia đình sức khỏe dồi dào và
thành công trong sự nghiệp giáo dục.


Tôi xin trân trọng cảm ơn đến TS. Nguyễn Hà Thanh, trong suốt thời gian

tôi học cao học và làm luận văn. Thầy đã hết sức nhiệt tình dạy bảo, chỉ dẫn,
động viên, nhắc nhở tôi học tập và hướng dẫn tôi làm tốt luận văn. Tôi xin chân
thành biết ơn Thầy, xin chúc Thầy và gia đình sức khỏe dồi dào, thành cơng
trong sự nghiệp giáo dục và đạt được nhiều thành công, kết quả trong công việc
nghiên cứu khoa học.


Tôi xin trân trọng cảm ơn đến Ban giám hiệu, phòng Sau đại học, phịng

Kế hoạch - Tài chính, q Thầy Cơ phịng Sau đại học và khoa Tốn – Tin, Tổ
Hình học và Tơpơ Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, đã giảng
dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi học tập trong suốt hai năm vừa qua.


Tôi xin cảm ơn bạn bè trong lớp Hình học và Tơpơ K24 đã đồng hành và

giúp đỡ, chia sẻ với tôi rất nhiều trong quá trình thực hiện luận văn và kinh
nghiệm học tập. Đặc biệt là xin cảm ơn các anh chị Thạc sĩ khóa K23 và các anh
chị khóa trước đã nhiệt tình giúp đỡ cho tơi trong suốt hai năm học và thực hiện
luận văn Thạc sĩ.
Nguyễn Tấn Thuận

1

LỜI MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Hình học – Tơpơ là một chun ngành lớn của Tốn học đã và đang được
sự quan tâm của nhiều nhà Toán học trên toàn thế giới. Ứng dụng của ngành đã
lan tỏa vào rất nhiều ngành khoa học khác nhau, hứa hẹn sẽ còn mang nhiều đột
phá lớn trong tương lai. Và lĩnh vực mang tính thời sự hiện nay được nhiều nhà
Tốn học quan tâm đó là lý thuyết về siêu khơng gian.
Lý thuyết siêu khơng gian được hình thành từ đầu thế kỉ XX với các cơng
trình nghiên cứu của F. Hausdorff và L. Vietoris. Nhà Toán học Vietoris đã
chứng minh được các tính chất cơ bản của cấu trúc siêu khơng gian 2 X như tính
compact (liên thơng) của 2 X thì đều tương đương với tính compact (liên thông)
của X . Trong trường hợp khi X là một khơng gian metric, họ tất cả tập con
khác rỗng đóng và bị chặn của X có thể được metric hóa bởi tôpô Hausdorff
(metric Hausdorff), được giới thiệu bởi Hausdorff vào năm 1914.
Sau đó vào năm 1942, một trong các kết quả quan trọng nhất trong lý
thuyết siêu không gian được xuất hiện trong luận văn của J. L. Kelley mang tên
“Hyperspace of a continuum” . Bằng các kết quả đã có, ơng đã tổng hợp lại và
đưa ra nhiều kết quả mới xuất hiện. Và cũng chính ơng là người đầu tiên sử
dụng ánh xạ Whitney để nghiên cứu, khảo sát các tính chất của siêu khơng gian.
Ơng sử dụng một ánh xạ đặc biệt đi từ đoạn đơn vị đóng [ 0,1] vào các siêu
khơng gian, mà ơng gọi là một “đoạn”. Ánh xạ Whitney và đoạn thẳng đều trở
thành các công cụ chuẩn trong lý thuyết siêu không gian để giải quyết các vấn
đề của tôpô. Và bài báo của Kelley là bài báo đầu tiên đưa các ứng dụng của lý
thuyết siêu không gian ra các nước trên thế giới.
Giai đoạn quan trọng tiếp theo trong lý thuyết siêu khơng gian và ánh xạ
Whitney được hình thành do nhà Toán học Ernest Michael năm 1951 trong bài

2

báo: “Topologies on space of subset” nghiên cứu về mối liên hệ giữa các tính
chất một khơng gian X và siêu khơng gian 2 X và từ đó dẫn đến mối liên quan
đến các siêu không gian Fn ( X ) , đặc biệt là F2 ( X ) .
Và tiếp theo sau đó là các nghiên cứu về cấp độ Whitney của S. Sirota vào
năm 1968. S.B Nadler Jr. vào những năm 1970 đến 1978. Mark Lynch vào năm
1989. L.E. Ward Jr. vào năm 1981. Robert Cauty vào năm 1992. Đặc biệt là bài
báo quan trọng của A. Illanes, “The space of Whitney Levels” vào năm 1991. A.
Illanes, S.B. Nadler Jr. vào năm 1999 và bài báo “Whitney maps – a non-metric
case” của J.J. Charatonik, W.J. Charatonik vào năm 2000. Liên tiếp sau đó là
hàng loạt các kết quả quan trọng của W.J. Charatonik và J. Stone tại Hội nghị
quốc tế Giải Tích và Tơpơ tại Ukraine năm 2008… Do đó, ta thấy rằng chủ đề
này là một chủ đề mang tính chất thời sự hiện nay và đang phát triển một cách
mạnh mẽ, có hướng phát triển liên tục và ngày càng hấp dẫn, được sự quan tâm
sâu sắc của nhiều nhà Tốn học trên tồn thế giới.
Giai đoạn quan trọng đối với lý thuyết siêu không gian là năm 1942, khi
luận án Tiến sĩ của nhà Toán học J. L. Kelly được xuất bản, lý thuyết siêu không
gian đã trở thành một phương pháp quan trọng để xác định, tổng hợp các thông
tin trên cấu trúc của một không gian tôpô X bằng cách nghiên cứu các tính chất
của siêu khơng gian 2 X và các siêu khơng gian khác của nó. Vấn đề cần thiết
được đặt ra ở đây là ta có thể thiết lập cơng thức cho việc nghiên cứu các tính
chất trong siêu khơng gian nhằm mục đích để thu thập được nhiều thơng tin về
cấu trúc và tính chất của bản thân khơng gian đó khơng?
Bởi vì khi cho trước một khơng gian X , cấu trúc của siêu không gian 2 X
và các khơng gian con của nó thì khá phức tạp và rất khó để tưởng tượng, nhìn
ra. Hầu hết thì bất kì mơ hình hình học nào của các siêu khơng gian là khơng thể
hình dung và tưởng tượng được. Khi đó trong lý thuyết siêu khơng gian, các nhà
Tốn học đã tạo ra nhiều phương pháp nghiên cứu, một trong các phương pháp

3
đặc biệt nhất là việc nghiên cứu siêu không gian bằng ánh xạ Whitney và cấu
trúc ảnh ngược của nó, được gọi là cấp độ Whitney để có thể nghiên cứu, tiếp
cận đến lý thuyết siêu không gian.
Cho X là một không gian continuum Hausdorff (là không gian Hausdorff
compact, liên thông và không suy biến). Đặt C ( X ) (và F1 ( X ) ) là siêu không
gian của các khơng gian continuum con liên thơng của nó (tập một phần tử),
được trang bị tôpô Vietoris. Trong luận văn, tôi xin giới thiệu định nghĩa các cấp
độ Whitney trong siêu không gian C ( X ) và nghiên cứu về một số tính chất cơ
bản của chúng. Với định nghĩa này, các tập con F1 ( X ) và { X } của C ( X ) là các
cấp độ Whitney trong C ( X ) và được gọi là các cấp độ Whitney tầm thường.
Trong trường hợp đặc biệt khi X là một cung được tổng quát hóa, ta thêm một
vài điều kiện vào sự tồn tại các cấp độ Whitney không tầm thường trong các siêu
không gian của continuum con. Và cuối cùng, ta áp dụng kết quả này để nghiên
cứu các cấp độ Whitney trong C ( X ) khi X là một cung dài và hình vng từ
điển.
Luận văn của tơi dựa vào tài liệu chính là bài báo của L. M. Garcia –
Velazquez mang tên “Whitney levels in hyperspace of non – metrizable
continua”, Topology Appl. 182, 24 – 35 vào năm 2015.
Với tính chất thời sự hiện nay và sự phát triển mạnh mẽ của đề tài, đó
chính là lý do tơi chọn đề tài “CÁC CẤP ĐỘ WHITNEY TRONG CÁC
SIÊU KHÔNG GIAN CỦA CONTINUA KHƠNG METRIC HĨA ĐƯỢC”
làm đề tài luận văn Thạc sĩ. Luận văn gồm 3 chương sau:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Chương 2: Ánh xạ Whitney – Cấp độ Whitney
Chương 3: Ứng dụng cấp độ Whitney


4

2. Mục đích của đề tài
Trình bày giới thiệu định nghĩa của cấp độ Whitney trong siêu không gian
C ( X ) của khơng gian continuum Hausdorff X và trình bày một số tính chất cơ

bản của chúng. Sau đó, trình bày áp dụng nghiên cứu các cấp độ Whitney trong
siêu không gian C ( X ) khi X là một cung dài và hình vng từ điển.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
a. Không gian continuum Hausdorff
b. Siêu không gian
c. Ánh xạ Whitney – Cấp độ Whitney
d. Cung được tổng quát hóa
e. Cung dài và cung dài thứ tự
f. Hình vng từ điển.
4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
 Xây dựng cấu trúc thứ tự trên các siêu không gian, đặc biệt là C ( X ) .
 Phát biểu định nghĩa của ánh xạ Whitney và các tính chất của chúng. Sử
dụng ánh xạ Whitney để đo lường, so sánh các cấu trúc của các siêu khơng gian.
Từ đó tìm mối liên hệ giữa các tính chất quan trọng như compact, liên thơng của
một siêu khơng gian tương ứng với tính compact, liên thông của một không gian
tôpô X ban đầu.
 Phát biểu các định nghĩa của cấp độ Whitney trong các trường hợp khi
continuum metric hóa được và khơng metric hóa được và các tính chất cơ bản
của cấp độ Whitney. Sau đó áp dụng tính chất của cấp độ Whitney vào các cung
được tổng qt hóa, cung dài và hình vng từ điển.


5
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này tôi chủ yếu nhắc lại các khái niệm, định nghĩa cơ bản,
tính chất của không gian tôpô. Chương 1 này sẽ là chương kiến thức nền tảng

cho việc nghiên cứu về continuum, siêu không gian, ánh xạ Whitney và cấp độ
Whitney ở các chương sau.
1.1. Không gian tôpô
1.1.1. Định nghĩa
Cho X là một tập hợp khác rỗng. Họ  các tập con của X được gọi là một
tôpô trên X nếu các phần tử của nó được gọi là các tập mở và thỏa:
(1) ∅, X ∈  .

(tập rỗng và X là tập mở)

(2) Nếu {Uα }α∈A ⊂  thì
(3) Nếu {U i }i =1 ⊂  thì
k

 Uα ∈  .

(hợp bất kì họ các tập mở là tập mở)

α ∈A
k

U ∈  .
i

(giao hữu hạn các tập mở là tập mở)

i =1

Tập hợp X cùng với tôpô  trên X được gọi là một khơng gian tơpơ. Kí
hiệu là ( X ,  ) .

Nếu một tập mở chứa x ∈ X thì tập mở đó được gọi là một lân cận của x .
Ta thường bỏ qua kí hiệu  trong kí hiệu khơng gian tơpơ và thường nói đơn
giản là khơng gian tơpơ X .
1.1.2. Ví dụ
a.  với họ các tập mở là một không gian tôpô.
b. Cho tập hợp X khác rỗng. Họ tất cả các tập con P ( X ) của X là một
tôpô trên X .


6
1.2. Không gian Hausdorff và các tiên đề tách
1.2.1. Tiên đề T0
Một không gian tôpô X được gọi là một T0 − không gian nếu với mỗi cặp
điểm khác nhau x1 , x2 ∈ X , tồn tại một tập mở chứa điểm này nhưng không chứa
điểm kia.
1.2.2. Tiên đề T1
Một không gian tôpô X được gọi là một T1 − không gian nếu với mỗi cặp
điểm khác nhau x1 , x2 ∈ X , tồn tại hai tập mở U ,V ⊆ X sao cho x1 ∈ U , x2 ∉ U
và x2 ∈ V , x1 ∉ V .
1.2.3. Tiên đề T2 - Không gian Hausdorff
Không gian tôpô X được gọi là không gian Hausdorff hay không gian T2 nếu
∀x, y ∈ X và x ≠ y thì tồn tại tập mở U chứa x và tập mở V chứa y sao cho
U ∩V =
∅.

1.2.4. Tiên đề T3
Một không gian tôpô X được gọi là một T3 − khơng gian hay khơng gian
chính qui, nếu X là T1 − không gian, với mỗi x ∈ X và mỗi tập đóng F ⊂ X ,
∅.
x ∉ F , tồn tại hai tập mở U1 ,U 2 sao cho x ∈ U1 , F ⊂ U 2 và U1 ∩ U 2 =

1.2.5. Tiên đề T 1
3

2

Một không gian tôpô X được gọi là một T 1 − không gian hay không gian
3

2

Tychonoff nếu X là T1 − không gian, với mọi x ∈ X và mọi tập đóng F ⊂ X ,


7
x ∉ F , tồn tại một hàm liên tục f : X → I ( f ( x) ∈ [ 0,1] , ∀x ∈ X , [ 0,1] ⊆ I ⊆  )

sao cho f ( x ) = 0 , f ( y ) = 1, ∀y ∈ F .
1.2.6. Tiên đề T4
Một không gian tôpô X được gọi là một T4 − không gian hay không gian
chuẩn tắc nếu X là T1 − không gian và mỗi cặp tập con đóng rời nhau A, B ⊂ X ,
tồn tại hai tập mở U ,V sao cho A ⊂ U , B ⊂ V và U ∩ V =
∅.
1.3. Cơ sở
1.3.1. Định nghĩa
Một họ tập con B của tôpô  trên X được gọi là cơ sở của nó nếu mọi tập
mở V của  chứa X , đều có một tập mở G của B sao cho x ∈ G ⊂ V .
1.3.2. Định lí
Họ con B của  là cơ sở của nó khi và chỉ khi mọi tập mở V của  đều là
hợp của các phần tử trong B , nghĩa là ∀V ∈ I ⇒ ∃Gα ⊂ B, ∀α ∈ I : V =G Gα .

α ∈I

1.3.3. Định lí
Nếu  có cơ sở là B thì nó là một tơpơ nhỏ nhất chứa B . Mỗi cơ sở xác định
duy nhất một tôpô.
1.3.4. Định lí
Nếu họ B các tập con của X thỏa
(1)

G G = X.

G∈B

(2) ∀G1 , G2 ∈ B và x ∈ G1 ∩ G2 ⇒ ∃G ∈ B : x ∈ G ⊂ G1 ∩ G2 thì tồn tại một
tơpơ trên X nhận B làm cơ sở (tơpơ đó là tôpô duy nhất).


8
Điều kiện (2) có thể viết đơn giản hơn là ∀G1 , G2 ∈ B ⇒ G1 ∩ G2 ∈ B.
1.4. Ánh xạ liên tục
1.4.1. Định nghĩa
Cho X , Y là hai không gian tôpô và f : X → Y . Khi đó f được gọi là liên
tục tại x0 ∈ X nếu với mọi V mở chứa f ( x0 ) thì tồn tại U mở chứa x0 sao cho
f (U ) ⊂ V .

f được gọi là liên tục trên X nếu f liên tục tại mọi điểm x0 ∈ X .

1.4.2. Định lí
Cho X , Y là hai không gian tôpô và f : X → Y là một ánh xạ.
Các mệnh đề sau tương đương:

(1)

f liên tục trên X .

(2)

Ảnh ngược của tập mở là tập mở.

(3)

Ảnh ngược của tập đóng là tập đóng.

1.4.3. Định nghĩa
Cho f : X → Y , khi đó f được gọi là:
 Ánh xạ mở nếu ảnh của tập mở là tập mở.
 Ánh xạ đóng nếu ảnh của tập đóng là tập đóng.
 Phép đồng phơi nếu f là song ánh liên tục và có ánh xạ ngược liên tục.
 Nếu f là một phép đồng phơi thì X và Y được gọi là hai không gian
đồng phôi hay hai khơng gian tương đương tơpơ, kí hiệu X ≅ Y .


9

1.4.4. Nhận xét
 Quan hệ đồng phôi là quan hệ tương đương.
 Một tính chất khơng gian được bảo tồn qua một phép đồng phơi gọi là
một tính chất tơpơ.
1.4.5. Định lí
Một song ánh liên tục được gọi là một phép đồng phơi khi và chỉ khi nó là
một ánh xạ đóng (ánh xạ mở).

1.5. Tập compact
1.5.1. Định nghĩa
Một khơng gian tôpô X được gọi là không gian compact nếu mọi phủ mở của
X đều có phủ con hữu hạn. Nghĩa là nếu có một phủ mở {U s }s∈S trong khơng

gian

X

thì

tồn

tại

tập

hữu

hạn

{s1 , s2 ,....., sk } ⊂ S

sao

cho

X = U s1 ∪ U s2 ∪ ... ∪ U sk .

Tập con A của không gian tôpô X được gọi là tập compact nếu mọi phủ mở

của A đều có chứa một phủ con hữu hạn.
n

Nếu (Vα )α∈I là một phủ mở của A thì tồn tại α1 ,α 2 ,...,α n ∈ I : A ⊂ Vα . Nếu
k =1

k

X là tập compact thì X được gọi là khơng gian compact.

1.5.2. Nhận xét
Tập A là compact khi và chỉ khi không gian con A là không gian compact.
1.5.3. Định lí


10
(1) X là không gian compact khi và chỉ khi mọi họ tập đóng có tính giao
hữu hạn đều có giao khác trống.
(2) Ảnh liên tục của tập compact cũng là tập compact.
(3) Nếu X= A ∪ B trong đó A và B là hai tập compact thì X cũng là tập
compact.
(4) Tích Đề-các X × Y của hai khơng gian compact là compact. Hơn nữa,
tích Đề-các của bất kì một họ các gian compact là compact. Tức là

∏C
t∈

t

compact nếu Ct compact với mọi t ∈  .

1.5.4. Tính chất
 Tập con đóng của tập compact là compact.
 Tập compact trong khơng gian T2 là tập đóng.
1.6. Tập liên thơng
1.6.1. Các định nghĩa
(1) Tập liên thông:
Tập con A của không gian tôpô X gọi là liên thông nếu không tồn tại hai tập
mở U và V thỏa:
i.

A ⊂ U ∪V .

ii.

A ∩ U ≠ ∅.

iii.

A ∩ V ≠ ∅.

iv.

A ∩U ∩V =
∅.

Nếu tập X là liên thơng thì X cịn gọi là không gian liên thông và các mệnh
đề sau tương đương:


11

i.

X là không gian liên thông.

ii.

X không biểu diễn được là hợp của hai tập mở khác rỗng rời nhau.

iii.

X khơng biểu diễn được là hợp của hai tập đóng khác rỗng rời nhau.

Nhận xét: A là tập liên thông khi và chỉ khi không gian con A là không gian
liên thông.
Lưu ý: Ta gọi hai tập mở U và V là một chia tách của không gian tôpô X
nếu U ∩ V =
∅ và U ∪ V =
X . Khi đó: khơng gian X liên thơng khi và chỉ khi
nó khơng là hợp của hai tập bị chia tách, hoặc nó khơng là hợp của hai tập đóng
rời nhau, hoặc nó khơng có bất kì tập hợp khơng tầm thường nào vừa đóng vừa
mở, hoặc nó khơng tồn tại hàm liên tục nào từ X vào tập hai điểm với tôpô rời
rạc.
(2)

Liên thông đường:

Một không gian tôpô ( X , 

) được gọi là liên thông đường nếu với bất kì

hai điểm x0 , x1 ∈ X thì tồn tại một đường nối liền từ x0 đến x1 . Tức là tồn tại
một ánh xạ c : [ 0,1] → X sao cho ci =
( i ) x=
i, i
(3)

{0,1} .

Liên thông cung:

Một không gian tôpô X được gọi là liên thơng cung nếu với bất kì hai
điểm phân biệt x, y ∈ X thì tồn tại một cung nối hai điểm đó với nhau. Tức là có
một đơn ánh liên tục h : [ 0,1] → X sao cho h ( 0 ) = x và h (1) = y .
Liên thông cung là một khái niệm hẹp hơn so với liên thông đường.
Chú ý: Trong không gian Hausdorff thì hai khái niệm liên thơng đường và
liên thơng cung là như nhau.
(4)

Liên thông địa phương:


12
Một không gian tôpô được gọi là liên thông địa phương nếu với mỗi điểm
thuộc khơng gian đó và mỗi lân cận của điểm đó, tồn tại một lân cận liên thông
chứa trong lân cận ban đầu.
(5)

Thành phần liên thông:

C được gọi là một thành phần liên thông nếu C liên thơng và nếu C ⊂ C1

thì C = C1 với mọi tập C1 liên thơng.
Hay nói cách khác: Thành phần liên thơng của một khơng gian tơpơ chính
là tập con liên thơng lớn nhất của nó.
1.6.2. Các định lí
Định lí 1

 Nếu A là tập liên thơng và nếu A ⊂ B ⊂ A thì B cũng liên thơng.
 Nếu ( Aα )α∈I là tập liên thông và

 Aα ≠ ∅ thì α Aα

α ∈I

liên thơng.

∈I

 Ảnh liên tục của tập liên thơng là liên thơng.
Định lí 2

Nếu C là tập con liên thông của hợp hai tập rời nhau M và N thì

ta có C ∩ M =
∅ hoặc C ∩ N =
∅.
Định lí 3

Cho {Ct } là một họ các tập liên thông. Hợp

C

t

là liên thông với

t

điều kiện là tồn tại một tập C0 không tách được với bất kì tập Ct nào.
Hệ quả

Hợp của các tập liên thơng mà có cùng một điểm chung là liên

thơng.
Định lí 4

Tích Đề-các X = ∏ Ct của các khơng gian liên thông là một không
t∈

gian liên thông.


13
Do đó, các khơng gian Euclide và hình lập phương Hilbert là không gian
liên thông.
1.7. Metric
1.7.1. Khoảng cách và không gian metric
Cho X là tập hợp khác rỗng. Ánh xạ d : X × X →  là một metric trên X nếu
với mọi x, y, z ∈ X ta có:

i.

d ( x, y ) ≥ 0.

ii.

d ( x, y ) = 0 ⇔ x ≡ y.

iii.

d ( x, y ) = d ( y , x ) .

iv.

d ( x, z ) ≤ d ( x, y ) + d ( y , z ) .

Tập X với metric d được gọi là khơng gian metric và được kí hiệu bởi

( X , d ) . Hàm d ( x, y ) còn được gọi là khoảng cách giữa

x và y .

Lưu ý: Không gian metric là không gian Hausdorff T2 .
1.7.2. Tôpô trên không gian metric
Tồn tại
=
B

trên không gian

metric

( X , d ) một tôpô

{B ( x, r ) : x ∈ X , r ≥ 0} làm cơ sở, nghĩa là họ B
i.



thỏa:

G G = X.

G∈B

ii.

∀G1 , G2 ∈ B và x ∈ G1 ∩ G2 ⇒ ∃G ∈ B : x ∈ G ⊂ G1 ∩ G2 .

Khơng gian tơpơ ( X , 

) cịn được gọi là không gian metric ( X , d ) .

1.7.3. Hoàn toàn bị chặn

nhận họ


14
Tập con A của không gian metric ( X , d ) được gọi là hoàn toàn bị chặn nếu

với mỗi số thực dương r > 0 , A được phủ bởi hữu hạn quả cầu mở có cùng bán
kính r , nghĩa là:
n

∀r > 0 ⇒ ∃x1 , x2 ,..., xn ∈ X : A ⊂  B ( xk , r ).
k =1

Hay đơn giản hơn là ∀r > 0 ⇒ ∃D ⊂ X là tập hữu hạn sao cho A ⊂  B ( x, r ).
x∈D

1.7.4. Metric hóa được
Một khơng gian tơpơ ( X , 

) được gọi là metric hóa được nếu tồn tại một

metric d cảm sinh ra tôpô  .
Thật vậy, một không gian tơpơ metric hóa được khi và chỉ khi nó là khơng
gian chính qui và có một cơ sở địa phương hữu hạn, đó là một cơ sở biểu diễn
dưới dạng hợp các đếm được của các cái phủ địa phương hữu hạn.
Do tính chất đặc trưng của một khơng gian metric hóa được như thế, các siêu
khơng gian hay continuum metric hóa được đều phải được cảm sinh bởi tơpơ
Vietoris mang tính chất có tính phủ địa phương hữu hạn.
1.8. Continuum
1.8.1. Định nghĩa
Continuum là không gian metric, compact, liên thông và không suy biến
(không suy biến nghĩa là continuum đó có ít nhất một phần tử).
1.8.2. Các khái niệm cơ bản
 Continua là số nhiều của continuum.
 Cho trước một continuum, một tập con của nó thỏa định nghĩa trên được
gọi là một contnuum con của continuum đó.

15
 Một continuum được gọi là không suy biến nếu có nhiều hơn một điểm.
 Một khơng gian đồng phơi với một continuum con của mặt phẳng Euclide
được gọi là một continuum phẳng.
 Một continuum X được gọi là phân tích được nếu nó có thể viết thành
hợp của hai continuum con thực sự.
1.8.3. Các tính chất cơ bản
 Hợp của hai continuum có một điểm chung là một continuum.
 Các thành phần liên thông của không gian compact X là continuum.
 Ảnh liên tục của một continuum là một continuum.
 Tích Đề-các (hữu hạn hoặc vơ hạn) của continuum là một continuum.
1.8.4. Các ví dụ về continuum
1.8.3.1. Cung
Một cung là một khơng gian đồng phơi với đoạn đóng [ 0,1] . Khi đó [ 0,1]
cũng là một continuum và cung cũng là một continuum.
Cho A là một cung, h là một đồng phôi từ [ 0,1] lên A , đặt p = h ( 0 ) và
q = h (1) thì khi đó nếu h ' cũng là một đồng phơi từ

[ 0,1]

lên A thì

{h '{0} , h '{1}} = { p, q}.
Lúc này p , q được gọi là hai điểm đầu mút của A .
Khi đó ta nói A là một cung từ p đến q tức là A là một cung với hai điểm
đầu mút là p và q .
1.8.3.2. n − tế bào
Cho  n là không gian Euclide n chiều. Với mỗi

=
x

n
( xi )i =1 ∈  n ta đặt:


16

1
2



x =  ∑ xi2  .
 i =1 
n

Một n − tế bào là không gian đồng phôi với quả cầu đóng n chiều B n với
1, 2,...
Bn =
{x ∈  n : x ≤ 1} , n =

Khi đó n − tế bào là một continuum với B n là một continuum.
1.8.3.3. n − cầu
Một n − cầu là một không gian đồng phôi với mặt cầu n chiều S n trong
không gian  n+1 với:
Sn =
1} , n =
1, 2,...

{x ∈  n+1 : x =

Một n − cầu là continuum. Và một 1− cầu là một đường cong đóng đơn.
1.8.3.4. Hình lập phương Hilbert
Hình lập phương Hilbert là khơng gian đồng phơi với khơng gian tích Đề∞

∏I

các

i =1

i

trong đó I i = [ 0,1] trang bị một tơpơ tích. Hình lập phương Hilbert là

một continuum.
1
1.8.3.5. sin   − continuum
x
1
sin   − continuum là đồ thị của hàm hợp gồm các hàm số
x

1
=
y sin , 0 < x ≤ 1 và −1 ≤ y ≤ 1 trên trục Oy, đây là một bao đóng W của W
x

với:



 1 
W  x,sin    ∈  2 : 0 < x ≤ 1 .
=
 x 




17

1
sin   − continuum.
x

1.8.3.6. Đường tròn Warsaw
Đường tròn Warsaw là các continuum đồng phôi với Y ∪ Z với Y là
1
sin   − continuum và Z là đồ thị của hàm hợp gồm ba cung lồi trong  2 , đó
x

là các cung từ ( 0, −1) đến ( 0, −2 ) , ( 0, −2 ) đến (1, −2 ) , từ (1, −2 ) đến (1,sin (1) ) .

Đường tròn Warsaw.


18
Chương 2. ÁNH XẠ WHITNEY – CẤP ĐỘ WHITNEY
2.1. Giới thiệu

Lý thuyết siêu không gian được bắt đầu ra đời vào đầu thế kỉ thứ XX do
các nghiên cứu của hai nhà Toán học Felix Hausdorff (1868 – 1942) và Leopold
Vietoris (1891 – 2002). Khi cho trước một không gian tôpô X , siêu không gian
2 X là tập hợp tất cả các tập con đóng khác rỗng của X được trang bị tơpơ

Vietoris, cịn đươc gọi là tơpơ mũ hoặc tôpô hữu hạn được giới thiệu vào năm
1922 bởi Vietoris. Nhà Toán học Vietoris đã chứng minh được các tính chất cơ
bản của cấu trúc 2 X như tính compact (liên thơng) của 2 X thì đều tương đương
với tính compact (liên thơng) của X . Trong trường hợp khi X là một không
gian metric, họ tất cả tập con khác rỗng đóng và bị chặn của X có thể được
metric hóa bởi tơpơ Hausdorff (metric Hausdorff), được giới thiệu bởi Hausdorff
vào năm 1914.
Vào năm 1942, khi luận án Tiến sĩ của nhà Toán học J. L. Kelly được
xuất bản, lý thuyết siêu không gian đã trở thành một phương pháp quan trọng để
xác định, tổng hợp các thông tin trên cấu trúc của một không gian tôpô X bằng
cách nghiên cứu các tính chất của siêu khơng gian 2 X và các siêu khơng gian
của nó. Vấn đề cần thiết được đặt ra ở đây là ta có thể thiết lập cơng thức cho
việc nghiên cứu các tính chất trong siêu khơng gian nhằm mục đích để thu thập
được nhiều thơng tin về cấu trúc và tính chất của bản thân khơng gian đó khơng?
Bởi vì khi cho trước một không gian X , cấu trúc của siêu khơng gian 2 X
và các khơng gian con của nó thì khá phức tạp và rất khó để tưởng tượng, nhìn
ra. Hầu hết thì bất kì mơ hình hình học nào của các siêu khơng gian là khơng thể
hình dung và tưởng tượng được. Khi đó trong lý thuyết siêu khơng gian, các nhà
Tốn học đã tạo ra nhiều phương pháp nghiên cứu, một trong các phương pháp
đặc biệt nhất là việc nghiên cứu siêu không gian bằng ánh xạ Whitney và cấu


19
trúc ảnh ngược của nó, được gọi là cấp độ Whitney để có thể nghiên cứu, tiếp
cận đến lý thuyết siêu không gian.

Cho X là một không gian continuum Hausdorff (là không gian Hausdorff
compact, liên thông và không suy biến). Đặt C ( X ) (và F1 ( X ) ) là siêu không
gian của các không gian continuum con liên thơng của nó (tập một phần tử),
được trang bị tôpô Vietoris. Trong luận văn, tôi xin giới thiệu định nghĩa các cấp
độ Whitney trong siêu không gian C ( X ) và nghiên cứu về một số tính chất cơ
bản của chúng. Với định nghĩa này, các tập con F1 ( X ) và { X } của C ( X ) là các
cấp độ Whitney trong C ( X ) và được gọi là các cấp độ Whitney tầm thường.
Trong trường hợp đặc biệt khi X là một cung được tổng quát hóa, ta sẽ bổ sung
điều kiện vào sự tồn tại các cấp độ Whitney không tầm thường trong các siêu
không gian của continuum con. Và cuối cùng, ta áp dụng kết quả này để nghiên
cứu các cấp độ Whitney trong C ( X ) khi X là một cung dài và hình vng từ
điển.
2.2. Siêu khơng gian
Cho X là một không gian với tôpô  . Một siêu không gian của X là
một tập hợp đặc biệt các tập con của X được trang bị tôpô Vietoris. Để thuận
tiện hơn, chúng ta sẽ loại trừ tập rỗng ∅ trong các siêu khơng gian.
Ta có: Siêu khơng gian lớn nhất của X là:
CL ( X=
)

{ A ⊂ X : A đóng và khác rỗng trong X } được trang bị tôpô Vietoris.

X
Lưu ý rằng 2=

{ A ∈ CL ( X ) : A compact .} .

Từ đó 2 X = CL ( X ) khi X compact.
X
Khi X là không gian Hausdorff, 2=

{A ⊂ X : A

khác rỗng và compact .}.


20
Và C ( X=
) 2 X ∩ CLC ( X ) với CLC ( X=)

{ A ∈ CL ( X ) : A liên thông .} .

Lưu ý hai siêu không gian quan trọng của X :
Fn ( X ) kí hiệu cho họ tất cả các tập con khác rỗng của X có lực lượng

nhiều nhất là n phần tử.
C ( X ) kí hiệu cho siêu khơng gian các continuum con của X là các phần

tử liên thông của siêu không gian 2 X .
Sau đây, ta sẽ đưa ra một ví dụ minh họa trực quan đơn giản nhất cho siêu
không gian C ( X ) nhằm giúp bạn đọc có thể dễ dàng hình dung và cảm nhận
được và phục vụ cho việc đọc hiểu và nghiên cứu luận văn này:
2.3. Ví dụ minh họa mơ hình của siêu khơng gian C ( X )
Cho X là một đoạn đóng [ 0,1] . Khi đó C ( X ) là tập hợp các đoạn con có
dạng [ a, b ] với 0 ≤ a ≤ b ≤ 1 . Rõ ràng [ a, b ] liên thông, compact. Một đoạn con

[ a, b] của [ 0,1] có thể được xác định và xây dựng được khi biết được trung điểm
của và độ dài của đoạn con đó nên ta có thể định nghĩa một ánh xạ
φ : C ( X ) →  2 như sau:
 a+b



φ=
( [ a, b ] )  2 , b − a  .


Với thành phần tọa độ thứ nhất xác định trung điểm của đoạn và thành
phần tọa độ thứ hai sẽ xác định độ dài của đoạn con đó. Vậy đối với một đoạn
con bất kì của C ( X ) , ánh xạ φ sẽ xác định được tính chất của đoạn con đó. Và
do φ là đồng phôi từ C ( X ) vào tam giác ∆ trong mặt phẳng Euclide có các
1 
đỉnh là ( 0,0 ) , (1,0 ) và  ,1 .
2 