Dạng kakeya trong nhóm lie và không gian thuần nhất

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Lê Đức Mạnh

DẠNG KAKEYA TRONG NHĨM LIE VÀ KHƠNG
GIAN THUẦN NHẤT

Chun ngành
Mã số

: Hình học và tơpơ
: 60 46 01 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN HÀ THANH

Thành phố Hồ Chí Minh – 2015


LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên, tơi xin kính gửi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc đến Thầy TS. Nguyễn
Hà Thanh, người đã tận tình giúp đỡ tơi trong suốt q trình làm luận văn.
Tơi xin gửi lời cảm ơn đến Quý Thầy Cô trong Hội đồng chấm luận văn đã
dành thời gian đọc, chỉnh sửa và đóng góp ý kiến giúp cho luận văn được hồn chỉnh
hơn.
Tơi xin gửi lời cảm ơn đến Q Thầy Cơ trong Khoa Tốn – Tin của trường
Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình truyền đạt kiến thức và kinh
nghiệm q báu cho tơi trong suốt q trình học tập tại trường.

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Quý Thầy Cơ trong Phịng Sau đại học của trường
Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn
thành chương trình học tập và thực hiện luận văn này.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình và bạn bè đã động viên, tạo điều
kiện thuận lợi cho tơi hồn thành luận văn này.
Xin chân thành cảm ơn.

Lê Đức Mạnh


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN
MỞ ĐẦU .........................................................................................................................1
1. Lý do chọn đề tài ......................................................................................................1
2. Cấu trúc của luận văn ...............................................................................................2
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ..........................................................................3
1.1. Các khái niệm tôpô................................................................................................3
1.2. Độ đo Lesbegue, độ đo Borel, nhóm xoắn, ánh xạ phủ ........................................6
1.3. Đa tạp khả vi, nhóm Lie và đại số Lie, không gian thuần nhất. .........................18
Chương 2. DẠNG ĐƯỜNG KAKEYA LIÊN TỤC TRONG

 n . .........................29

2.1. Tổng quan các kết quả của dạng đường Kakeya liên tục trong  n ....................29
2.2. Dạng đường Kakeya liên tục trong  n ...............................................................32
Chương 3. DẠNG ĐƯỜNG KAKEYA LIÊN TỤC TRONG NHĨM LIE LIÊN
THƠNG ........................................................................................................................39
3.1. Dạng đường Kakeya liên tục trong nhóm Lie liên thơng ...................................39
3.2. Dạng đường Kakeya liên tục trong không gian thuần nhất ................................53
KẾT LUẬN ..................................................................................................................56

TÀI LIỆU THAM KHẢO...........................................................................................57


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Năm 1917 nhà toán học người Nhật Soichi Kakeya đã đưa ra một “bài tốn
Kakeya” nổi tiếng cho  2 như sau: ”diện tích nào là bé nhất mà cho phép quay một
đoạn thẳng độ dài đơn vị (cây kim) một cách liên tục đủ 3600 mà khơng đi ra ngồi
diện tích đó”. Có rất nhiều nhà tốn học thời bấy giờ đã tìm được đáp số cho bài toán
trong trường hợp đặc biệt như Pal (1920) đưa ra kết quả là tam giác đều ABC có chiều
cao là 1, diện tích là ABC =

1
, tuy nhiên Kakeya nhận thấy rằng có thể tiết kiệm
3

hơn bằng cách quay một đoạn thẳng đơn vị trong tam giác cong Deltoid (diện tích hình
này là

π
≈ 0,393 ) và Kakeya giả thuyết rằng đây là tập có diện tích bé nhất. Năm
8

1928, nhà Tốn học người Nga - Do Thái Abram Samoilovitch Besicovitch đã giải
quyết bài toán theo một lối đáng kinh ngạc rằng có thể tìm được một diện tích nhỏ tùy
ý mà cho phép quay một đoạn thẳng độ dài đơn vị một cách liên tục đủ một vịng thậm
chí nếu bỏ đi u cầu “quay liên tục” thì tồn tại một tập hợp có độ đo 0 mà chứa một
đoạn thẳng đơn vị theo mọi hướng. Tập như thế gọi là tập Kakeya - Besicovitch. Sau

này ông đã xây dựng lại tập hợp “ cây kim Kakeya ” trong trường hợp tổng quát cho
 n với yêu cầu là sự biến đổi của cây kim như một hàm theo hướng khơng cần liên tục

hoặc có độ đo Borel chẵn. Từ đó ơng chỉ ra được tồn tại tập Kakeya có độ đo
Lebesgue 0 trong mỗi  n , n ≥ 2. Năm 1971 C.Fefferman sử dụng xây dựng này để
bác bỏ chứng minh phỏng đoán bội cầu cho Lp ( n ), p ≠ 2. Những nghiên cứu của ơng
có liên quan tới nhiều vấn đề của giải tích điều hịa và có ứng dụng nhiều trong giải
tích hiện đại. Năm 2008 Zeev Dvir cũng nghiên cứu về kích thước của tập Kakeya
trong trường hữu hạn và ứng dụng vào không gian vectơ.
Trên đây là các ứng dụng của bài tốn Kakeya cho khơng gian hữu hạn chiều

 n . Như ta đã biết lí thuyết nhóm Lie phát triển mạnh mẽ như là một nhánh đặc biệt từ
hình học vi phân, là nền móng cho một lí thuyết đối xứng các phương trình vi phân, có


2
ứng dụng nhiều không chỉ trong cơ học chuyển động mà cịn rất hữu hiệu trong vật lí
lượng tử các trường và các hạt cơ bản. Chính những ứng dụng mạnh mẽ từ việc xây
dựng lại tập hợp cây kim Kakeya của Besicovitch cộng thêm tầm quan trọng của nhóm
Lie và các phép biến đổi trên nó, luận văn xây dựng tập cây kim Kakeya tương tự
nhưng với yêu cầu là cây kim phải dời liên tục và nghiên cứu hai sự biến đổi của dạng
Kakeya liên tục là có hướng và vơ hướng trong  n từ đó mở rộng cho nhóm Lie và
khơng gian thuần nhất. Đó là lý do tơi chọn đề tài: “dạng Kakeya trong nhóm Lie và
không gian thuần nhất” làm đề tài luận văn thạc sĩ của mình. Nội dung chính của luận
văn dựa trên bài báo của tác giả B. Murphy và J.Pakianathan công bố năm 2015.
2. Cấu trúc của luận văn
Luận văn nghiên cứu chủ yếu về dạng đường Kakeya liên tục trong khơng gian

 n từ đó mở rộng cho nhóm Lie và không gian thuần nhất. Ở đây luận văn tập trung
nghiên cứu hai dạng Kakeya có hướng và vơ hướng. Luận văn gồm 3 chương

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ chủ yếu trình bày các khái niệm xuất hiện
trong luận văn
Chương 2. DẠNG ĐƯỜNG KAKEYA LIÊN TỤC TRONG  n trình bày khái
niệm và các kết quả của dạng đường Kakeya liên tục có hướng và vơ hướng trong
khơng gian  n , đồng thời sử dụng các kiến thức về tôpô đại số để chứng minh các kết
quả đó.
Chương 3. DẠNG ĐƯỜNG KAKEYA LIÊN TỤC TRONG NHĨM LIE LIÊN
THƠNG mở rộng trình bày các vấn đề liên quan của dạng đường Kakeya liên tục từ
 n vào trong nhóm Lie và khơng gian thuần nhất của nhóm Lie đó.


3

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Nội dung chủ yếu của chương này là giới thiệu các khái niệm trong tôpô đại
cương, độ đo được dùng trong Chương 2. Ngoài ra chương này cịn giới thiệu các
khái niệm và các tính chất liên quan của các nhóm Lie và đại số Lie, không gian thuần
nhất được sử dụng ở Chương 3.
1.1. Các khái niệm tôpô
1.1.1. Định nghĩa
Cho X là tập hợp khác rỗng và T là họ các tập con của X sao cho:
i/ ∅, X ∈ T
ii/ U ,V ∈ T ⇒ U ∩ V ∈ T
iii/ Va ∈ T , ∀a ∈ I ⇒ Va ∈ T
a∈I

Khi đó T gọi là một tôpô trên X và ( X , T ) là một không gian tôpô
Mỗi phần tử của T được gọi là tập T -mở hay đơn giản là tập mở.
1.1.2. Định nghĩa

Một không gian tôpô X được gọi là một không gian T1 nếu với mọi cặp điểm
phân biệt x1 , x2 ∈ X thì tồn tại một tập mở U ⊂ X sao cho x1 ∈U và x2 ∉U
1.1.3. Định nghĩa
Một họ { As }s∈S các tập con của X được gọi là phủ của X nếu

A

s

= X . Nếu

s∈S

X là không gian tôpô và các tập As đều là tập mở (đóng) thì ta gọi phủ { As }s∈S là phủ

mở (đóng)


4
1.1.4. Định nghĩa
Một phủ A ' = { As ' }s '∈S ' của X là phủ con của phủ A = { As }s∈S của X nếu S ' ⊂ S
và As' = As với mọi s ∈ S ' .
1.1.5. Định nghĩa
Tập con A của không gian tôpô X gọi là tập compact nếu mọi phủ mở của A
đều chứa một phủ con hữu hạn nghĩa là: Nếu (Vα )∈I là một phủ mở của A thì tồn tại
n

ααα
1 , 2 ,..., n ∈ I : A ⊂  Vα
k =1

k

Nếu X là tập compact thì X được gọi là không gian compact
1.1.6. Định nghĩa
Một không gian tôpô X được gọi là compact địa phương nếu với mọi x ∈ X
tồn tại một lân cận U của x sao cho U là một không gian con compact của X . Do
không gian compact U là không gian T1 nên tập { x} đóng trong U . Điều này suy ra

{ x} đóng trong

X . Tức là mọi khơng gian compact địa phương là khơng gian T1

1.1.7. Định lí
Nếu f : X → Y liên tục, A là tập compact trong X thì f ( A) là tập compact
trong Y . (Ảnh liên tục của tập compact cũng là tập compact)
1.1.8. Định nghĩa
Một không gian tô pô X gọi là liên thông nếu X không thể viết được dưới
dạng X 1 ⊕ X 2 trong đó X 1 và X 2 là các tập con khác rỗng của X và ⊕ là ký hiệu
tổng trực tiếp.


5
1.1.9. Định nghĩa
Một không gian tôpô X được gọi là liên thông địa phương nếu với mọi x ∈ X
và bất kỳ một lân cận U của một điểm x thì tồn tại một tập liên thơng C ⊂ U sao cho
x ∈ IntC .

1.1.10. Định nghĩa
Một không gian tôpô X được gọi là liên thông đường nếu với mọi cặp điểm

x1 , x2 của X tồn tại một ánh xạ liên tục f : I → X đi từ một đoạn đơn vị đóng I tới
khơng gian X thỏa f (0) = x1 và f (1) = x2 .
1.1.11. Định nghĩa
Một không gian tôpô X được gọi là liên thông đường địa phương nếu với mọi
x ∈ X và bất kỳ lân cận U của

x tồn tại một lân cận

V của

x sao cho với mọi y ∈V

tồn tại một ánh xạ liên tục f : I → U thỏa f (0) = x và f (1) = y .
1.1.12. Định nghĩa
Một không gian tôpô X được gọi là liên thơng đơn nếu nó liên thơng đường và
mọi ánh xạ liên tục f : S 1 =
∂D 2 → X có thể mở rộng thành f : D 2 → X (trong đó D 2
là 2 - đĩa và S 1 là đường tròn biên).
1.1.13. Định nghĩa
Cho f : X → Y và g : X → Y là các ánh xạ liên tục giữa hai không gian tôpô X
và Y . Ánh xạ f và g được gọi là đồng luân nếu tồn tại một ánh xạ liên tục
H : X × [0,1] → Y sao cho H ( x,0) = f ( x) và H ( x,1) = g ( x) với mọi x ∈ X . Ánh xạ H

với tính chất như trên được gọi là phép đồng luân giữa f và g .
1.1.14. Định nghĩa
Hai không gian tôpô X và Y được gọi là tương đương đồng luân (hay còn gọi
là cùng một kiểu đồng luân) nếu tồn tại các ánh xạ liên tục f : X → Y và g : Y → X

6
sao cho g  f đồng luân với ánh xạ đồng nhất id X và f  g đồng luân với ánh xạ
đồng nhất idY . Cụ thể là X và Y là tương đương đồng luân nếu tồn tại các ánh xạ liên
tục f : X → Y và g : Y → X và các phép đồng luân H : X × I → X , G : Y × I → Y sao

;1) gf ( x)∀x ∈ X và G ( y;0)
= y, G ( y=
;1) fg ( y )∀y ∈ Y .
= x, H ( x=
cho H ( x;0)
1.1.15. Định nghĩa
Một không gian tôpô được gọi là co rút được nếu nó tương đương đồng luân
với không gian quy gọn về một điểm.
1.1.16. Mệnh đề
Một không gian tôpô X là co rút được khi và chỉ khi một trong các điều kiện
sau đây được thỏa:
1/ Tồn tại các điểm x0 ∈ X và một phép đồng luân C : X × I → X sao cho
C ( x, 0) = x và C ( x,1) = x0 với mọi x ∈ X .

2/ Ánh xạ đồng nhất id X của X là đồng luân không.
1.1.17. Định nghĩa
Cho X là một không gian mêtric. Một ánh xạ liên tục p :[0,1] → X được gọi là
một đường. Một đường đơn hay một cung α là một song ánh liên tục α :[0,1] → X .
1.1.18. Định nghĩa
Một tập X được gọi là một đường cong đóng đơn nếu X đồng phôi với tập
gồm các điểm nằm trên đường trịn.
1.2. Độ đo Lesbegue, độ đo Borel, nhóm xoắn, ánh xạ phủ
1.2.1. Định nghĩa
Cho tập hợp X ≠ ∅ . Một họ N các tập con của X được gọi là một đại số các
tập con của X nếu N thỏa 3 điều kiện sau:

7
1/ X ∈ N ;

A X \ A∈ N;
2/ A ∈ N ⇒ C X =
n

3/ A1 , A2 ,..., An ∈ N ⇒  Ak ∈ N .
k =1

1.2.2. Mệnh đề
Cho N là đại số các tập con của X . Khi đó N có tính chất sau:
1/ ∅ ∈ N ;
n

2/ A1 , A2 ,..., An ∈ N ⇒  Ak ∈ N ;
k =1

3/ A, B ∈ N ⇒ A \ B ∈ N .
1.2.3. Định nghĩa
Cho tập hợp X ≠ ∅ . Một họ M các tập con của X được gọi là một σ -đại số
các tập con của X nếu M thỏa ba điều kiện sau:
1/ X ∈ M ;
2/ A ∈ M ⇒ C X A= X \ A ∈ M ;
∞

3/ A1 , A2 ,..., An ,... ∈ M ⇒  Ak ∈ M .
k =1

1.2.4. Mệnh đề
Cho M là một σ -đại số các tập con của tập hợp X . Khi đó M có các tính chất
sau:
1/ M là một đại số các tập con của X ;
2/ ∅ ∈ M ;


8
n

3/ A1 , A2 ,..., An ∈ M ⇒  Ak ∈ M ;
k =1

4/ A, B ∈ M ⇒ A \ B ∈ M ;
∞

5/ A1 , A2 ,..., An ,... ∈ M ⇒  Ak ∈ M .
k =1

1.2.5. Định nghĩa
Cho tập hợp số thực không âm [0; +∞) . Ta bổ sung cho tập hợp này một phần tử
là +∞ , tập mới thu được là [0; +∞] . Ta gọi đây là tập các số thực không âm mở rộng.
Cho M là một σ -đại số các tập con của tập hợp X . Xét ánh xạ

µ : M → [0; +∞] . Khi đó ta có:
µ được gọi là ánh xạ cộng tính hữu hạn, nếu có một họ hữu hạn các tập hợp
n

n

k =1

k =1

đôi một rời nhau A1 , A2 ,..., An ∈ M thì µ ( Ak ) = ∑ µ ( Ak ) .
µ được gọi là ánh xạ σ -cộng tính, nếu có một họ đếm được các tập hợp đôi
+∞

+∞

k =1

k =1

một rời nhau A1 , A2 ,..., An ,... ∈ M thì µ ( Ak ) = ∑ µ ( Ak ) .
µ được gọi là một độ đo trên M nếu 2 điều kiện sau được thỏa mãn:

1/ µ (∅) =0;
2/ µ là σ -cộng tính.
1.2.6. Định nghĩa
Cặp ( X , M ) trong đó M là σ -đại số các tập con của tập hợp X được gọi là
không gian đo được. Mỗi tập hợp A ∈ M được gọi là một tập đo được.


9
1.2.7. Định nghĩa
Bộ ba ( X , M , µ ) trong đó M là σ -đại số các tập con của tập hợp X và µ là
một độ đo trên M được gọi là không gian độ đo. Nếu A ∈ M thì số µ ( A) được gọi là
độ đo của tập hợp A .

1.2.8. Định nghĩa
Độ đo µ được gọi là độ đo hữu hạn nếu µ ( X ) < +∞ . Độ đo µ được gọi là độ
đo σ -hữu hạn=
nếu X

∞

X

k

, X k ∈ M và µ ( X k ) < +∞ với mọi k . Như vậy độ đo hữu

k =1

hạn thì σ -hữu hạn.
1.2.9. Mệnh đề
Cho ( X , M , µ ) là một khơng gian độ đo. Khi đó ta có các tính chất sau:
1/ µ là cộng tính hữu hạn.
2/ Nếu A, B ∈ M và A ⊂ B thì µ ( A) ≤ µ ( B) . Ngồi ra, nếu µ ( A) < +∞ thì
\ A) µ ( B) − µ ( A) .
µ ( B=
+∞

+∞

k =1

k =1

3/ Nếu A1 , A2 ,..., An ,... ∈ M thì µ ( Ak ) ≤ ∑ µ ( Ak )
4/ Nếu A, B ∈ M , A ⊂ B và µ ( B) = 0 thì µ ( A) = 0 .
B ) µ ( A=
\ B) µ ( A).
5/ Nếu A, B ∈ M và µ ( B) = 0 thì µ ( A ∪=

6/ Hợp của một họ hữu hạn các tập hợp có độ đo khơng là tập hợp có độ đo
khơng
n

µ ( Ak ) = 0 ∀k = 1, 2,..., n ⇒ µ ( Ak ) = 0
k =1


10
7/ Hợp của một họ đếm được các tập hợp có độ đo khơng là tập hợp có độ đo
khơng
+∞

µ ( Ak ) = 0 ∀k = 1, 2,..., n ⇒ µ ( Ak ) = 0
k =1

8/ Nếu µ là độ đo σ - hữu hạn thì
∞

i/ X =  Yk trong đó các tập hợp Yk đơi một rời nhau, Yk ∈ M , µ (Yk ) < +∞ ∀k
k =1

∞

ii/ A =  Ak trong đó Ak là các tập hợp đôi một rời nhau. Ak ∈ M và
k =1

µ ( Ak ) < +∞ với mọi A ∈ M và mọi
9/ Nếu

{ An } , n ∈ N

k.

là dãy đơn điệu tăng các tập hợp đo được, nghĩa là
+∞

A1 ⊂ A2 ⊂ ... ⊂ An ⊂ ... thì mm
( An ) = lim ( An )
n =1

10/ Nếu

{ An } , n ∈ N

n →+∞

là dãy đơn điệu giảm các tập hợp đo được, nghĩa là
+∞

A1 ⊃ A2 ⊃ ... ⊃ An ⊃ ... và µ ( A1 ) < +∞ thì mm
( An ) = lim ( An )
n =1

n →+∞

1.2.10. Định nghĩa
Để ý rằng tập con của một tập đo được chưa chắc là tập hợp đo được, nghĩa là
nếu A ∈ M , B ⊂ A thì có thể B ∉ M .
Độ đo µ được gọi là độ đo đủ nếu mọi tập con của tập có độ đo khơng đều là
tập đo được.
Nhận xét: Nếu µ là độ đo khơng đủ thì ta có thể thác triển µ thành một độ đo
đủ nhờ vào định lí sau đây:


11
1.2.11. Định lí
Giả sử ( X , M , µ ) là một không gian độ đo. Gọi M ' là họ tất cả các tập hợp A
có dạng A= B ∪ C (1) trong đó
Với mỗi tập A có dạng (1) đặt µ ' là ánh xạ sao cho µ '( A) = µ ( B ) (2)
Khi đó: i/ ( X , M ', µ ') là một khơng gian độ đo;
ii/ µ ' là độ đo đủ
1.2.12. Định nghĩa
M ' được gọi là bổ sung Lebesgue của

σ -đại số M và µ ' được gọi là thác triển

Lebesgue của độ đo µ .
1.2.13. Định nghĩa
Các tập hợp sau là các khoảng trong ℜ :
(a; b),[a, b],[a, b),(−∞, a ),(−∞, a],(a, +∞),[ a, +∞),( −∞, +∞)

1.2.14. Định nghĩa
Xét họ N các tập hợp P là hợp hữu hạn các khoảng trong ℜ không giao nhau:


= P ⊂ ℜ / =
N
P


n

I ,I
i

i =1

i


∩ I=
φ (i ≠ j )  (1)
j

n

Trên N xét ánh xạ m : N → [0, +∞] xác định bởi m( P ) = ∑ I i nếu P có biểu
i =1

diễn như trong (1).
Khi đó N là một đại số các tập con của ℜ và ánh xạ m là σ -cộng tính.


12

1.2.15. Định nghĩa
Độ đo µ và σ -đại số M nhận được khi thác triển ánh xạ m trên đại số N các
tập con của ℜ được gọi lần lượt là độ đo Lebesgue và σ -đại số các tập đo được theo
nghĩa Lebesgue trên ℜ .
1.2.16. Mệnh đề
Độ đo Lebesgue µ và σ -đại số M các tập đo được theo nghĩa Lebesgue trên
ℜ có các tính chất sau đây:

1/ ℜ là độ đo đủ
2/ Tập không quá đếm được trên ℜ có độ đo khơng.
3/ Tập mở, tập đóng trên ℜ là tập đo được.
4/ Tập A ⊂ ℜ là đo được khi và chỉ khi với mọi ε > 0 tồn tại các tập mở G , tập
đóng F sao cho F ⊂ A ⊂ G và µ (G \ F ) < ε .
5/ Nếu A đo được thì các tập hợp tA , x0 + A (t , x0 ∈ℜ) cũng đo được và

µ ( A) , trong đó tA =
µ (tA) = t µ ( A) , µ ( x0 + A) =

{ta / a ∈ A} , x0 + A = { x0 + a / a ∈ A}

1.2.17. Định nghĩa
Tập Borel trong một không gian tôpô là tập được tạo thành từ các tập mở (hoặc
tương đương các tập đóng) thơng qua các phép toán hợp đếm được, giao đếm được và
phép toán lấy phần bù tương đối.
1.2.18. Định nghĩa
Cho X là một không gian mêtric compact địa phương hay tổng quát hơn là một
không gian Hausdorff compact địa phương và cho B là σ − đại số các tập Borel trong
X . Khi đó mơt độ đo trên B được gọi là một độ đo Borel.

13
Cho µ là một độ đo Borel trên ( X ,B ) và cho E ∈B . Khi đó ta nói µ là chính
nếu µ ( E ) inf {µ (U ) : E ⊂ U } với U mở . Ta nói µ là chính quy
quy ngồi trên E=
nếu µ ( E ) sup {µ ( K ) : K ⊂ E} với K compact. Nếu µ vừa chính quy
trong trên E=
ngồi vừa chính quy trong trên E thì ta gọi µ là chính quy trên E . Ta nói µ là chính
quy nếu nó chính quy trên mọi tập Borel.
1.2.19. Định nghĩa
Cho G là một nhóm tơpơ. Một độ đo Haar trái trên G là một độ đo Borel chính
quy khác khơng µ trên G sao cho µ ( gA) = µ ( A) với mọi g ∈ G và mọi tập con đo
được A của G .
1.2.20. Định nghĩa
Cho X là không gian mêtric. U là tập con của X , khi đó số chiều Hausdorff
của U được định nghĩa như sau: Ta nói U khơng q d chiều nếu U có thể phủ bởi
một họ đếm được các quả cầu { B ( xn , rn )} trong X sao cho

∞

∑r
n =1

d
n

có thể nhỏ tùy ý.

Chặn dưới của d được gọi là số chiều Hausdorff của U . Kí hiệu là dim H (U ) . Như
vậy với mỗi d ≥ 0 ta có thể đặt dung lượng Hausdorff của U là
∞

∞

=
CHd (U ) : inf ∑ rnd | U ⊂  B ( xn , rn ) 
n =1
 n =1


và định nghĩa dim H (U ) :=
inf {d ≥ 0 | CHd (U ) =
0}
1.2.21. Định nghĩa
Cho U là một tập bị chặn trong  n . Với mỗi δ > 0 ta gọi Nδ (U ) là số lượng
nhỏ nhất các quả cầu ( n chiều) bán kính δ chúng ta cần dùng để phủ U . Khi đó ta có
thể hi vọng rằng nếu U có d chiều thì với δ > 0 ta có Nd (U ) ≈ const (U )d − d . Lấy log
hai vế ta được


14

log( Nd (U )) ≈ d log(1 / d ) + const (U ) .
Khi đó với δ → 0 ta hy vọng có d ≈

log( Nd (U ))
. Từ đó ta định nghĩa cận dưới
log(1 / d )

và cận trên của số chiều Minkowski bởi
log( Nδ (U ))
,

δ →0
log(1 / δ )
log( Nδ (U ))
lim(U ) = lim sup
.
δ →0
log(1 / δ )
lim(U ) = lim inf

Nếu hai giới hạn này bằng nhau thì ta gọi nó là số chiều Minkowski của U và
ký hiệu là dimbox (U )
1.2.22. Định nghĩa
Cho Vn +1 là không gian vectơ trên trường K (n ≥ 0) . Khi đó ta ký hiệu Vn +1 là
tập hợp tất cả các không gian con một chiều của Vn +1 . Cho một tập hợp X và một
không gian vectơ n + 1 chiều Vn +1 , nếu tồn tại một song ánh p : Vn +1 → X thì bộ ba

( X , p,Vn +1 ) sẽ được gọi là một không gian xạ ảnh n chiều. Không gian vectơ Vn +1
được gọi là khơng gian vectơ sinh ra khơng gian xạ ảnh đó. Để cho tiện ta thường ký
hiệu không gian xạ ảnh n chiều là Pn .
1.2.23. Định nghĩa
Cho G là một nhóm. Nhóm con < a > của G sinh bởi phần tử a ∈ G được gọi
là nhóm con cyclic sinh bởi a . Nếu tồn tại phần tử a ∈ G sao cho < a >= G thì ta nói
G là một nhóm cyclic và

a là phần tử sinh của

G.

1.2.24. Định nghĩa
Cấp của một phần tử a trong nhóm G là cấp của nhóm con cyclic < a > (số

phần tử của nhóm < a > ). Ta thường ký hiệu là a để chỉ cấp của phần tử a .


15
1.2.25. Định nghĩa
Một nhóm aben A được gọi là nhóm xoắn nếu mọi phần tử của A đều có cấp
hữu hạn và được gọi là xoắn tự do nếu mọi phần tử của A ngoại trừ phần tử đơn vị
đều có cấp hữu hạn.
1.2.26. Định nghĩa
Cho X , Y là các không gian tôpô và p : X → Y là một ánh xạ liên tục. Một tập
mở U của Y gọi là được phủ đều bởi ánh xạ p nếu và chỉ nếu p −1 (U ) là hợp các tập
mở rời nhau của X mà mỗi tập này lại đồng cấu lên U qua p . Ánh xạ p : X → Y
được gọi là một ánh xạ phủ nếu p : X → Y là toàn ánh và mọi điểm của X được chứa
trong những tập mở được phủ đều bởi ánh xạ p .
Nếu p : X → Y là một ánh xạ phủ thì ta nói X là một khơng gian phủ của Y .
Ví dụ 1:
Cho S 1 là đường tròn đơn vị trong  2 thì ánh xạ p :  2 → S 1 xác định bởi
p (t ) = (cos 2pp
t ,sin 2 t ) là ánh xạ phủ.

Thật vậy, lấy n là một điểm trên S 1 . Xét tập mở U trong S 1 chứa n như sau

=
U S 1 \ {−n} thì ta có n = (cos 2π t0 ,sin 2π t0 ) với t0 ∈  . Khi đó p −1 (U ) là hợp các tập
1
1

mở rời nhau J k với k là các số nguyên: J k = t ∈  : t0 + k − < t < t0 + n + 
2
2



Mỗi tập J k lại đồng cấu lên U qua ánh xạ p . Điều này chỉ ra p :  → S 1 là ánh
xạ phủ.
Ví dụ 2:
Ánh xạ p : { → { \ {0} xác định bởi p ( z ) = exp( z ) là ánh xạ phủ.
Thật vậy, với bất kỳ θ ∈ [−π , π ] ta định nghĩa: Uθ = { z ∈ { \ {0} : arg(− z ) ≠ θ } .


16
Khi đó p −1 (Uθ ) là hợp các tập mở rời nhau { z ∈ { : Im z − θ − 2π n < π } với mọi
số nguyên n và mỗi tập này qua p lại đồng cấu lên Uθ . Do đó Uθ được phủ đều bởi
ánh xạ p .
1.2.27. Định nghĩa
Cho p : X → Y là một ánh xạ phủ lên không gian tôpô X . Với Z là một không
gian tôpô và gọi f : Z → Y là một ánh xạ liên tục. Một ánh xạ liên tục f : Z → X được
gọi là một phép nâng của ánh xạ f nếu và chỉ nếu p  f = f .
1.2.28. Định nghĩa
Cho 0 ≠ x ∈  . Khi đó thứ tự p − adic (hoặc giá trị p − adic , với p là số
nguyên tố) của x là ord p x = max {r : p r | x} .
Trong đó ký hiệu | nghĩa là ước.
Với

a
a
a
=
ord p a − ord p b .
∈  thì thứ tự p − adic của
là ord

p
b
b
b

Lưu ý trong mọi trường hợp thì ord p ln cho ta một số ngun và do đó định
nghĩa về thứ tự p − adic cho phân số

a
a a'
được nêu trên là tốt, nghĩa là nếu =
thì
b
b b'

ord p a − ord p b = ord p a '− ord p b ' . Chúng ta cũng quy ước ord p 0 = ∞ .

1.2.29. Mệnh đề
Cho x, y ∈ . Khi đó ord p có những tính chất sau đây:
a/ ord p x = ∞ nếu và chỉ nếu x = 0 ;
( xy ) ord p x + ord p y ;
b/ ord p=

c/ ord p ( x + y ) ≥ min{ord p x, ord p y} .


17
1.2.30. Định nghĩa
Cho x ∈  . Khi đó chuẩn p − adic của x được cho bởi
 p − ord p x khi x ≠ 0,


xp =
khi x = 0.

0

1.2.31. Mệnh đề
Hàm

p

:  →  + có các tính chất sau:

a/ x p = 0 nếu và chỉ nếu x = 0 ;
b/ xy p = x p y p ;

{

}

c/ x + y p ≤ max x p , y p .
1.2.32. Định nghĩa
Vành các số p − adic là sự mở rộng của  theo chuẩn p − adic
hiệu là  p . Chuẩn trên  p cũng được ký hiệu là

p

p

được ký

.

1.2.33. Định nghĩa
Đĩa đơn vị quanh 0 ∈  p là tập các số nguyên p − adic

{

}

p =
αα
∈ p : p ≤1 .
1.2.34. Mệnh đề
Tập các số nguyên p − adic  p là vành con của  p . Mọi phần tử của  p là
giới hạn của một dãy các số nguyên (không âm) và ngược lại mọi dãy Cauchy các số
nguyên trong  ln có một giới hạn trong  p .


18
1.3. Đa tạp khả vi, nhóm Lie và đại số Lie, không gian thuần nhất.
1.3.1. Định nghĩa
Một đa tạp khả vi n -chiều là một tập M cùng với họ các đơn ánh

fαα
: U → M với U α ⊂  n , U α mở thỏa mãn:
1/

(U ) = M .
α fαα

(U ) ∩ f β (U β =
) W ≠ ∅ thì các tập hợp fα−1 (W ) và
2/ Với mỗi cặp (α , β ) mà fαα

fαα
, f −1 f β khả vi
f β−1 (W ) là mở trong  n và các ánh xạ f β−1 αα
, f )} là tối đại đối với (1) và (2).
3/ Họ {(U αα

, f ) với p ∈ fαα
(U )
(U ) được gọi là tham số hóa của M tại p ; fαα
Cặp (U αα
,U ) thỏa điều kiện 1/ và 2/ được gọi là
được gọi là lân cận tọa độ của p . Một họ ( fαα
một cấu trúc khả vi trên M .
Ví dụ:
Trên  n \ {0} ta định nghĩa quan hệ tương đương: p ≡ q ⇔ ∃λ ∈  \ {0} : p =λ q
Gọi P n −1 là không gian thương (  n \ {0} / ≡ ) và p :  n \ {0} → P n −1 , p  [ p ]
là phép chiếu tự nhiên. Trang bị P n −1 tôpô thương cảm sinh bởi π và T trên  n .
Với k ∈ {1, 2,..., n} đặt U k =
{[ p] ∈ P n−1 : pk ≠ 0} ( pk là thành phần thứ k ) và định
 p
p
p
p 
nghĩa xk : U k →  n −1 bởi xk :[ p ]   1 ,..., k −1 ,1, k +1 ,..., n 
 pk

pk

Nếu [ p ] = [q] thì ∃λ ∈  \ {0} : p =λ q nên
nghĩa xk xác định với mọi k .

pk

pk 

pl ql
=
với mọi l . Điều này có
pk qk


19
Các phép biến đổi tọa độ xk  xl−1 |xl (U l ∩U k ) : xl (U l ∩ U k ) →  n −1 được xác định bởi
 p1
pl −1
p
p   p
p
p
p 
,1, l +1 ,..., n    1 ,..., k −1 ,1, k +1 ,..., n  .
 ,...,
pl
pl
p1   pk

pk
pk
pk 
 p1

=
Do
vậy A

(U k , xk ) : k
{=

1, 2,...n} là một C ∞ -atlas trên P n −1 . Đa tạp khả vi

ˆ được gọi là không gian xạ ảnh thực n − 1 chiều.
(P n −1 , A)
1.3.2. Định nghĩa
Cho E và M là các đa tạp tôpô và π : E → M là một toàn ánh liên tục. Bộ ba
( E , M , π ) được gọi là phân thớ vectơ tôpô n -chiều trên M nếu:

1/ Với mỗi p ∈ M thì E p = p −1 ({ p}) là một không gian vectơ thực n- chiều.
2/ ( tầm thường hóa địa phương) Với mỗi p ∈ M tồn tại một bản đồ phân thớ
(π −1 (U ),ψ ) gồm π −1 (U ) là tạo ảnh của một lân cận mở của U của p và một đồng

phôi ψ : π −1 (U ) → U × ψ n sao cho ∀q ∈U
=
:ψ q ψ |E : Eq → {q} × ψ n là một đẳng cấu
q

không gian vectơ

Một phân thớ vectơ tôpô n- chiều ( E , M , π ) trên p ∈ M được gọi là tầm thường
nếu tồn tại một bản đồ phân thớ toàn cục ψ : E → M × ψ n
Một ánh xạ liên tục σ : M → E được gọi là một thiết diện của một phân thớ
vectơ tôpô ( E , M , π ) nếu p  σ ( p ) = p với mỗi điểm p ∈ M .
Với mỗi số nguyên dương n và đa tạp tơpơ M có một phân thớ vectơ
( M ×  n , M , π ) trong đó π : M ×  n → M là phép chiếu xác định bởi π : ( x, v)  x .
n
Ánh xạ đồng nhất ψ : M × ψψ
→ M × n là một bản đồ tồn cục nên phân thớ vectơ

( M ×  n , M , π ) là tầm thường.


20
1.3.3. Định nghĩa
Cho p : E → B là ánh xạ giữa các khơng gian. Ta nói rằng p có tính nâng đồng

 H , f H  i0 .
để G p=
luân với không gian X nếu tồn tại ánh xạ H : X × I → E=
Trong đó I là khoảng đơn vị và i0 : x  ( x,0) , đồng luân G : X × I → B và ánh xạ

f : X → E . Với G và f cho trước khi đó ta ln ln có thể nâng G thành một đồng
luân H mà bắt đầu từ f . Định nghĩa không đổi khi thay i0 bằng i1 .
Ánh xạ p được gọi là phân thớ Serre nếu nó có tính nâng đồng ln với mọi
CW -phức X .

1.3.4. Định nghĩa
Cho G là một tập khác rỗng. Nếu:
1/ G là một nhóm, có phép tốn là phép nhân.

2/ G là một đa tạp khả vi n-chiều
x −1 , và ánh xạ nhân
3/ Ánh xạ ngược τ : G → G,τ ( x) =
ϕ : G × G → G , ( x, y )  ϕ ( x, y ) =
xy đều khả vi

thì G được gọi là nhóm Lie n-chiều.
Nếu đa tạp đang xét là đa tạp giải tích thực thì nhóm Lie tương ứng được gọi là
nhóm Lie giải tích thực hoặc phức.
Nếu đa tạp đang xét là đa tạp giải tích phức thì nhóm Lie tương ứng được gọi là
nhóm Lie giải tích phức.
1.3.5. Định nghĩa
Cho G là một nhóm Lie có số chiều n và a ∈ G .
Phép tịnh tiến trái bởi a trên G là một vi phôi La : G → G sao cho:


21
La ( x)= ϕ (a, x)= ax, ∀x ∈ G.

Phép tịnh tiến phải bởi a trên G là một vi phôi Ra : G → G sao cho:
La ( x)= ϕ (a, x)= ax, ∀x ∈ G.

1.3.6. Định nghĩa
Một trường vectơ X trên nhóm Lie G được gọi là bất biến trái nếu nó bất biến
qua mọi phép tịnh tiến trái của G nghĩa là: Với ( La )* : Ta G → Ta G là vi phân của La , ta
có: X là bất biến trái khi và chỉ khi ( La )* X = X , ∀a ∈ G .
Hay ( La )* X g = X La g = X ag , ∀a, g ∈ G .
1.3.7. Định nghĩa
Tập hợp các trường vectơ bất biến trái trên một nhóm Lie G được ký hiệu là
L(G ) . Như ta đã biết một đại số Lie trên một trường F như một khơng gian vectơ cùng

với phép tốn hai ngơi phản giao hốn, song tuyến tính, thỏa điều kiện đồng nhất thức
Jacobi. Khi đó đại số Lie tạo bởi các trường vectơ bất biến trái trên G được gọi là đại
số Lie của nhóm Lie G nghĩa là g= L(G ) là đại số Lie của một nhóm Lie G .
1.3.8. Định nghĩa
Cho H và G là hai nhóm Lie. ƒ được gọi là một đồng cấu từ G vào H nếu:
f :G → H

khả vi và f=
(ab) f (a ) f (b), ∀a, b ∈ G.

Trong trường hợp f (G ) = H , ta nói f là đồng cấu từ G lên H .
Nếu f là một vi phôi từ G lên H và cũng là đồng cấu G lên H thì ta nói: f là
một đẳng cấu từ G lên H .
Khi đó ta nói G và H là đẳng cấu nhau và ký hiệu là: G ≅ H .


22
1.3.9. Định nghĩa
Một đồng cấu khả vi ϕ của (R,+) vào một nhóm Lie cho trước G , ϕ : R → G
được gọi là nhóm con 1-tham số của nhóm Lie G . Như vậy nếu với mọi s, t ∈ R , ta có:
ϕ ( s )ϕ =
(t ) ϕ ( s + t ) ,

Thì ϕ (t ), t ∈ R được gọi là nhóm con 1-tham số của G .
Nhóm con 1-tham số của nhóm Lie G là một nhóm con giao hốn của G .
1.3.10. Định nghĩa

ϕt (e) ở đây at là nhóm con 1- tham số
Với mỗi X ∈ L(G ) ta đặt: ExpX= a=

t
của G sinh bởi X . Ánh xạ xác định bởi Exp : L(G ) → G, X  ϕt (e) được gọi là ánh xạ
mũ của G .
1.3.11. Định nghĩa
Cho G là một nhóm Lie và X là một đa tạp trơn. Ta nói G tác động trái trên
X nếu có một ánh xạ trơn ϕ : G × X → X , ϕ ( g , x) =: gx ∀g ∈ G , x ∈ X thỏa mãn 2 điều

kiện:
1/ ϕ (e, x) = x, ∀x ∈ X
(h, x)) ϕ ( gh, x), ∀g , h ∈ G, ∀x ∈ X .
2/ ϕ ( g , ϕ=

1.3.12. Định nghĩa
Cho G là một nhóm Lie và X là một đa tạp trơn. Ta nói G tác động phải trên
X nếu có một ánh xạ trơn ϕ : G × X → X , ϕ ( g , x) =: xg ∀g ∈ G , x ∈ X thỏa mãn 2 điều

kiện:
1/ ϕ (e, x) = x, ∀x ∈ X
(h, x)) ϕ (hg , x), ∀g , h ∈ G, ∀x ∈ X .
2/ ϕ ( g , ϕ=