Một số tính chất kiểu đầy đủ của các nhóm nửa tôpô và các kết quả liên quan

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Minh Trí

MỘT SỐ TÍNH CHẤT KIỂU ĐẦY ĐỦ
CỦA CÁC NHĨM NỬA TƠPƠ
VÀ CÁC KẾT QUẢ LIÊN QUAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH

NGUYỄN MINH TRÍ

MỘT SỐ TÍNH CHẤT KIỂU ĐẦY ĐỦ
CỦA CÁC NHĨM NỬA TƠPƠ
VÀ CÁC KẾT QUẢ LIÊN QUAN

Chun ngành: Hình học và tơpơ
Mã số: 60 46 10
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS NGUYỄN HÀ THANH

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012

i

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị: ......................................................................... 5
1.1. Các khái niệm mở đầu về không gian tôpô: ........................................... 5
1.1.1. Không gian tôpô: .............................................................................. 5
1.1.2. Cơ sở, tiền cơ sở của tôpô:................................................................ 6
1.1.3. Lân cận, cơ sở lân cận:...................................................................... 6
1.1.4. Không gian con tôpô:........................................................................ 6
1.1.5. Phần trong, bao đóng, biên: .............................................................. 7
1.1.6. Điểm hội tụ và điểm cô lập:.............................................................. 7
1.1.7. Ánh xạ liên tục, ánh xạ mở, ánh xạ đóng: ........................................ 7
1.1.8. Các tiên đề tách: ................................................................................ 8
1.1.9. Các tiên đề đếm được: ...................................................................... 9
1.2. Không gian compact: .............................................................................. 9
1.2.1. Không gian compact: ........................................................................ 9
1.2.2. Không gian compact đếm được: ..................................................... 10
1.2.3. Không gian compact địa phương và k-khơng gian: ........................ 10
1.2.4. Compact hóa: .................................................................................. 10
1.2.5. Ánh xạ đầy đủ: ................................................................................ 11
1.2.6. Không gian Cech-đầy đủ: ............................................................... 11
1.2.7. Không gian giả compact: ................................................................ 11
1.3. Không gian mêtric, khơng gian mêtric hóa: ......................................... 12
1.3.1. Khơng gian mêtric: ......................................................................... 12
1.3.2. Khơng gian mêtric hóa được: ......................................................... 12
1.4. Khơng gian paracompact: ..................................................................... 13
1.4.1. Không gian paracompact: ............................................................... 13

1.4.2. Không gian paracompact đếm được: .............................................. 13


ii

1.5. Nhóm tơpơ và một số cấu trúc liên quan: ............................................. 13
1.5.1. Nhóm tơpơ: ..................................................................................... 13
1.5.2. Bổ sung Raikov của nhóm tơpơ:..................................................... 14
1.5.3. Nhóm tơpơ Cech-đầy đủ: ................................................................ 15
1.5.4. M-khơng gian, p-không gian: ......................................................... 15
Chương 2: Các kiểu đầy đủ của các không gian tôpô:.................................... 17
2.1. Các kiểu đầy đủ khác nhau của các không gian tôpô: .......................... 17
2.2. Chú ý: .................................................................................................... 21
2.3. Mệnh đề 2.3: ........................................................................................ 22
2.4. Mệnh đề 2.4: ........................................................................................ 23
2.5. Định lí 2.5: ........................................................................................... 23
2.6. Hệ quả 2.6: ............................................................................................ 26
2.7. Định lí 2.7: ............................................................................................ 26
2.8. Mệnh đề 2.8: ......................................................................................... 27
2.9. Mệnh đề 2.9: ......................................................................................... 27
2.10. Mệnh đề 2.10: ..................................................................................... 27
2.11. Mệnh đề 2.11: ..................................................................................... 28
2.12. Hệ quả 2.12: ........................................................................................ 29
2.13. Hệ quả 2.13: ........................................................................................ 29
2.14. Ví dụ:................................................................................................... 29
Chương 3: Một số kết quả trên các nhóm tơpơ ............................................... 31
3.1. Các kết quả trên các ánh xạ tựa liên tục: .............................................. 31
3.1.1. Mệnh đề 3.1.1: ................................................................................ 32
3.1.2. Mệnh đề 3.1.2: ................................................................................ 32
3.1.3. Hệ quả 3.1.3: ................................................................................... 36

3.2. Các kết quả trên các nhóm nửa tơpơ với một phép nhân tựa liên tục: . 36
3.2.1. Bổ đề 3.2.1: ..................................................................................... 36
3.2.2. Bổ đề 3.2.2: ..................................................................................... 37


iii

3.3. Các kết quả trên các nhóm tơpơ, nhóm nửa tơpơ, và nhóm paratơpơ: 38
3.3.1. Định lí 3.3.1: ................................................................................... 38
3.3.2. Định lí 3.3.2: ................................................................................... 40
3.3.3. Định lí 3.3.3: ................................................................................... 42
3.3.4. Hệ quả 3.3.4: ................................................................................... 42
3.3.5. Hệ quả 3.3.5: ................................................................................... 43
3.3.6. Hệ quả 3.3.6: ................................................................................... 43
3.3.7. Định lí 3.3.7: ................................................................................... 44
3.3.8. Ví dụ: .............................................................................................. 44
3.3.9. Chú ý: .............................................................................................. 44
3.4. Các kết quả trên các khơng gian giải tích với tính chất Baire: ............. 45
3.4.1. Định lí 3.4.1: ................................................................................... 45
3.4.2. Hệ quả 3.4.2: ................................................................................... 46
3.4.3. Hệ quả 3.4.3: ................................................................................... 47
3.4.4. Hệ quả 3.4.4: ................................................................................... 47
3.4.5. Hệ quả 3.4.5: ................................................................................... 47
3.4.6. Hệ quả 3.4.6: ................................................................................... 47
3.4.7. Hệ quả 3.4.7: ................................................................................... 47
3.4.8. Hệ quả 3.4.8: ................................................................................... 47
3.5. Các kết quả trên các lưới đếm được trong các hiệu của các nhóm nửa
tơpơ: ...................................................................................................... 48
3.5.1. Định lí 3.5.1: ................................................................................... 48
3.5.2. Bổ đề 3.5.2: ..................................................................................... 48

3.5.3. Định lí 3.5.3: .................................................................................. 50
3.5.4. Ví dụ: .............................................................................................. 51
3.6. Các kết quả trên các nhóm giả compact từng điểm: ............................. 51
3.6.1. Bổ đề 3.6.1: ..................................................................................... 52
3.6.2. Định lí 3.6.2: ................................................................................... 52


iv

3.6.3. Định lí 3.6.3: ................................................................................... 54
3.6.4. Hệ quả 3.6.4: ................................................................................... 55
3.6.5. Ví dụ: .............................................................................................. 55
3.6.6. Chú ý: .............................................................................................. 56
KẾT LUẬN ..................................................................................................... 57
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 60


1

MỞ ĐẦU
Một nhóm paratơpơ G là một nhóm G với một tơpơ thỏa phép nhân
m : G × G → G là liên tục nối, một nhóm nửa tơpơ G là một nhóm G với một

tơpơ thỏa phép nhân m : G × G → G là liên tục tách. Một nhóm nửa tơpơ G mà
phép tốn nghịch đảo In : G → G là liên tục thì được gọi là nhóm tựa tơpơ.
Việc nghiên cứu các tính chất trên các nhóm tơpơ, nhóm paratơpơ, và
nhóm nửa tơpơ đã được rất nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm.
Sự liên quan của các nhóm nửa tơpơ tách được, các nhóm nửa tơpơ
mêtric hóa được với các nhóm tơpơ và paratơpơ cũng rất được quan tâm bởi
nhiều nhà tốn học:

Năm 1936, D.Montgomery đã chứng minh được rằng:
- Mọi nhóm nửa tơpơ tách được và mêtric hóa được bởi một mêtric đầy
đủ thì là một nhóm tơpơ.
- Mọi nhóm nửa tơpơ mêtric hóa được bởi một mêtric đầy đủ thì là một
nhóm paratơpơ.
Năm 1957, R.Ellis đã chứng minh rằng mọi nhóm nửa tơpơ compact địa
phương là một nhóm tơpơ.
Năm 1960, W. Zelazko đã kết luận rằng mọi nhóm nửa tơpơ mêtric hóa
được đầy đủ là một nhóm tơpơ.
Năm 1982, N. Brand chứng minh được rằng mọi nhóm paratơpơ Cechđầy đủ là một nhóm tơpơ.


2

Gần đây, một số phát triển theo các kết quả trên cũng đã được đưa ra bởi
A.Bouziad (1996), P. Kenderov, I. S. Kortezov và W. Moors (2001),
A. V. Arhangel’skii và E. A. Reznichenko (2005).
A. Bouziad đã chứng minh rằng mọi nhóm nửa tơpơ Cech-đầy đủ là một
nhóm tơpơ.
A. V. Arhangel’skii và E. A. Reznichenko cũng đã chứng minh được
rằng một nhóm paratơpơ G là một nhóm tơpơ nếu nó là một Gδ -không gian
con của không gian giả compact nào đó.
P. Kenderov, I. S. Kortezov và W. B. Moors đã giới thiệu một lớp các
không gian Baire mạnh và đã chứng minh được rằng một nhóm nửa tơpơ
Baire mạnh là một nhóm tơpơ.
Và một số mối liên hệ đáng chú ý giữa tính liên tục tách và liên tục nối
cũng đã được xây dựng từ đó.
Dựa trên các kết quả ở trên, luận văn này sẽ tiếp tục nghiên cứu một số
phương pháp về các tính chất kiểu đầy đủ mà A. V. Arhangel’skii đã đưa ra
và mở rộng các định lí của D. Montgomery và R. Eliss trên lớp rất rộng của

các không gian quạt-đầy đủ.
Lớp các không gian quạt-đầy đủ cũng khá lớn, nó có mối quan hệ với các
không gian quen thuộc, chẳng hạn:
- Tất cả các không gian compact, các không gian compact đếm được, và
các không gian giả compact đều là không gian quạt-đầy đủ.
- Mọi Gδ -không gian con trù mật của một không gian quạt-đầy đủ là
không gian quạt-đầy đủ.


3

- Ảnh bất kì của một khơng gian quạt-đầy đủ qua các ánh xạ liên tục mở
là không gian quạt-đầy đủ.
- Một khơng gian quạt-đầy đủ địa phương bất kì là không gian quạt-đầy
đủ.
Quan tâm đến các mối quan hệ trên, luận văn của chúng tôi dành cho
việc khảo sát các khơng gian quạt đầy đủ và các tính chất của chúng. Luận
văn cũng dành cho việc nghiên cứu các không gian trên trong mối quan hệ
với: các ánh xạ tựa liên tục, phép nhân tựa liên tục, các nhóm nửa tôpô cùng
với một phép nhân tựa liên tục, các khơng gian giải tích với tính chất Baire,…
Nội dung của luận văn gồm ba chương. Chương 1 trình bày các kiến thức
chuẩn bị để phục vụ cho việc nghiên cứu tiếp theo sau. Chương 2 giới thiệu
các kiểu đầy đủ khác nhau của các khơng gian tơpơ và các tính chất của
chúng. Chương 3 đưa ra các ứng dụng của các tính chất của các kiểu đầy đủ
trên: các ánh xạ tựa liên tục, các nhóm nửa tơpơ với một phép nhân tựa liên
tục, trên các khơng gian giải tích với tính chất Baire,… Trong phần kết luận ta
sẽ trình bày một số nhận xét về các kết quả trên và hướng mở rộng cho luận
văn.
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của Tiến sĩ
Nguyễn Hà Thanh. Trong quá trình học tập và làm luận văn, thầy luôn động

viên và giúp tác giả tiếp cận với những hướng mới trong toán học hiện đại,
các vấn đề lớn và các bài toán mở trong toán. Sự động viên và sự hướng dẫn
tận tình của thầy khơng những giúp tác giả trong việc hồn thành luận văn mà
cịn giúp tác giả có thêm những cách nhìn nhận mới trong các lĩnh vực khác
của cuộc sống xã hội. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy. Tác
giả cũng xin chân thành cám ơn quý thầy đã trực tiếp giảng dạy trên lớp hình


4

học và tơpơ khóa 21 cùng q thầy trong Tổ Hình học, Khoa Tốn – Tin
Trường Đại học Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh đã giúp đỡ tác giả nâng cao trình
độ chun mơn và phương pháp làm việc hiệu quả trong quá trình học cao
học. Chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phịng Tổ Chức Hành chính, Phịng
Khoa học Cơng nghệ và Sau đại học, Phịng Kế hoạch – Tài chính Trường
Đại học Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh đã giúp đỡ, tạo điều kiện cho tác giả hoàn
thành luận văn này.


5

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương đầu tiên này, chúng ta sẽ đưa ra cơ sở lí thuyết nhằm
phục vụ cho các chương tiếp theo. Các kiến thức chủ yếu trong chương này
nhằm mục đích giới thiệu các khái niệm cơ bản trong các khơng gian tơpơ và
các nhóm tơpơ.
Hầu hết các kiến thức được đưa ra đều rất ngắn gọn, dễ hiểu để tiện
việc theo dõi tiếp các phần sau. Để tìm hiểu thêm chi tiết, ta có thể tham khảo

thêm trong các tài liệu [7], [17].

1.1. Các khái niệm mở đầu về không gian tôpô:
1.1.1. Không gian tôpô:
Một không gian tôpô là một cặp ( X ,τ ) bao gồm một tập hợp X và
một họ τ các tập con của X thỏa các điều kiện sau:
(τ 1 ) ∅ ∈τ và X ∈τ .
(τ 2 ) Nếu U1 ∈τ và U 2 ∈τ thì U1 ∩ U 2 ∈τ .
(τ 3 ) Nếu A ⊂ τ thì A ∈τ .
Tập X được gọi là một không gian, các phần tử của X được gọi là
các điểm của không gian X, các tập con của X thuộc τ được gọi là các
tập mở của X, họ τ các tập con mở của X được gọi là tôpô trên X.


6

1.1.2. Cơ sở, tiền cơ sở của tôpô:
Cho τ là một tôpô trên X. Một họ β ⊂ τ gọi là một cơ sở của không
gian tôpô ( X ,τ ) nếu mọi tập con mở khác rỗng của X đều bằng hợp của
một họ các tập thuộc β .
Một họ σ ⊂ τ gọi là một tiền cơ sở của không gian tôpô ( X ,τ ) nếu
họ tất cả các giao hữu hạn các tập thuộc σ là một cơ sở của τ .
Một tơpơ hồn tồn được xác định khi biết một cơ sở hay tiền cơ sở
của nó.
1.1.3. Lân cận, cơ sở lân cận:
Cho X là không gian tôpô và x ∈ X . Tập con V của X được gọi là
một lân cận của điểm x nếu tồn tại tập mở G sao cho x ∈ G ⊂ V . Nếu lân
cận V của x là tập mở thì V gọi là lân cận mở của x.
Một họ Ux các lân cận của x gọi là một cơ sở lân cận của x nếu mọi
lân cận V của x đều tồn tại lân cận U ∈ Ux sao cho U ⊂ V .

1.1.4. Không gian con tôpô:
Cho ( X ,τ ) là một không gian tơpơ và một tập A ⊂ X . Khi đó, họ
τA =
{G ∩ A : A ∈τ } là một tôpô trên A, gọi là tôpô cảm sinh bởi tôpô τ

trên X. Không gian ( A,τ A ) gọi là không gian tôpô con của không gian
tôpô

( X ,τ ) .


7

1.1.5. Phần trong, bao đóng, biên:
Cho khơng gian tơpơ ( X ,τ ) và tập A ⊂ X , phần trong Ao của A là
hợp của tất cả các tập mở bị chứa trong A, bao đóng A của A là giao của
tất cả các tập đóng chứa A, và biên của A là ∂A = A − Ao .
Một tập A ⊂ X gọi là trù mật nếu A = X , hay A trù mật nếu mọi
tập con mở của X chứa một điểm của A.

( )

Tập A ⊂ X gọi là không đâu trù mật nếu A

o

= ∅.

1.1.6. Điểm hội tụ và điểm cô lập:
Một điểm x ∈ X là một điểm hội tụ của A ⊂ X nếu x ∈ A \ { x} .

Tập tất cả các điểm hội tụ của A gọi là tập có hướng của A, kí hiệu Ad .
d
Điểm thuộc tập A \ A gọi là điểm cô lập. Một điểm x là điểm cô lập

của không gian X khi và chỉ khi tập

{ x} = X \ X \ { x} hay

{ x} là tập mở, tức là

x ∉ X \ { x} .

1.1.7. Ánh xạ liên tục, ánh xạ mở, ánh xạ đóng:
Cho ( X ,τ ) và (Y ,τ ') là hai không gian tôpô. Một ánh xạ f từ X tới
Y gọi là liên tục tai x ∈ X nếu mọi lân cận V của f ( x ) trong Y đều tồn
tại lân cận U của x trong X sao cho f (U ) ⊂ V , nghĩa là, f −1 (V ) là một
lân cận của x.
Ánh xạ f gọi là mở nếu mọi tập mở (đóng) G trong X, f ( G ) là tập
mở (đóng) trong Y.


8

Ánh xạ f gọi là phép đồng phôi nếu f là một song ánh và f , f −1 đều
là ánh xạ liên tục.
1.1.8. Các tiên đề tách:

T0 -không gian: Không gian tôpô X là T0 -không gian nếu hai
điểm khác nhau bất kỳ x,y của tập X có một lân cận của x không chứa y
hoặc một lân cận của y không chứa x.

T1 -không gian: Không gian tôpô X là T1 -không gian nếu hai điểm
khác nhau bất kỳ x,y của tập X có một lân cận của x không chứa y và một
lân cận của y không chứa x.

T2 -không gian ( hay không gian Hausdorff): Không gian tôpô X là
T2 -không gian nếu hai điểm khác nhau bất kỳ x,y của tập X tồn tại lân
cận U của x và một lân cận V của y sao cho U ∩ V =
∅.

T3 -không gian (Không gian chính quy):
Khơng gian tơpơ X có điều kiện chính quy nếu mọi x ∈ X , mọi
tập con đóng  của X không chứa x , tồn tại các tập con mở U , V sao

∅.
cho x ∈U ,  ⊂ V ,U ∩ V =
Tương đương mọi x ∈ X , mọi lân cận V của x đều chứa một lân
cận đóng của x nghĩa là tồn tại lân cận U của x sao cho x ∈U ⊂ U ⊂ V .
Không gian tôpô X là T3 -không gian nếu X là T1 -không gian và
thỏa mãn điều kiện chính quy.


9

T 1 -khơng gian (khơng gian hồn tồn chính quy – không gian
3

2

Tychonoff): Không gian tôpô X là T 1 -không gian nếu X là T1 -không

3

2

gian và với mỗi x ∈ X , mỗi tập con đóng F của X không chứa x, tồn
tại một hàm liên tục f : X → [0,1] sao cho f ( x) = 0 và f ( F ) = 1 .

T4 -không gian (không gian chuẩn tắc):
Không gian tôpô X là T4 -không gian nếu X là T1 -không gian và
với hai tập con đóng A, B bất kỳ khơng giao nhau trong X , tồn tại các
tập mở rời nhau U và V sao cho A ⊂ U , B ⊂ V và U ∩ V =
∅.
1.1.9. Các tiên đề đếm được:
Không gian tôpô X được gọi là thỏa tiên đề đếm được thứ nhất nếu
mọi điểm x ∈ X đều có một cơ sở lân cận đếm được.
Khơng gian tơpơ gọi là thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai nếu tơpơ
của nó có một cơ sở đếm được.
Khơng gian chính qui mà mọi phủ mở trong nó đều có một phủ con
đếm được thì gọi là khơng gian Lindeloff. Như vậy, một khơng gian
chính qui thỏa tiên đề đếm được thứ hai là không gian Lindeloff.
1.2. Không gian compact:
1.2.1. Không gian compact:
Một không gian tôpô X được gọi là không gian compact nếu X là
không gian Hausdorff và mọi phủ mở của X có một phủ con hữu hạn,


10

nghĩa là mọi phủ mở {U s }s⊂ S của không gian X tồn tại một tập hữu hạn

{s1 , s2 ,..., sk } ⊂ S thỏa

X = U s1 ∪ U s2 ∪ ... ∪ U sk .

1.2.2. Không gian compact đếm được:
Một không gian tôpô X được gọi là không gian compact đếm được
nếu X là một không gian Hausdorff và mọi phủ mở đếm được của X có
một phủ con hữu hạn.
1.2.3. Khơng gian compact địa phương và k-không gian:
Một không gian tôpô X được gọi là một không gian compact địa
phương nếu với mọi x ∈ X có một lân cận U của x thỏa U là một không
gian con compact của X. Mọi không gian compact địa phương là không
gian Tychonoff.
Một không gian tôpô X được gọi là k-không gian nếu X là không
gian Hausdorff và X là ảnh của một không gian compact địa phương qua
ánh xạ thương. Nói cách khác, k-khơng gian là một khơng gian
Hausdorff mà có thể được biểu diễn như là không gian thương của các
không gian compact địa phương.
1.2.4. Compact hóa:
Cho X là một khơng gian compact. Cặp (Y , c ) , với Y là một không
gian compact và c : X → Y là phép nhúng đồng phôi của X lên Y thỏa
c ( X ) = Y , được gọi là một compact hóa của khơng gian X.


11

Gọi C ( X ) là họ tất cả compact hóa của X. Ta định nghĩa một quan
hệ thứ tự trên họ C ( X ) như sau: c2 X ≤ c1 X nếu tồn tại một ánh xạ

f : c1 X → c2 X thỏa fc1 = c2 .

Phần tử lớn nhất trong họ C ( X ) của tất cả compact hóa của một
khơng gian Tychonoff X được gọi là compact hóa Cech-Stone của X, kí
hiệu là β X .
1.2.5. Ánh xạ đầy đủ:
Ánh xạ liên tục f : X → Y là đầy đủ nếu X là một khơng gian
Hausdorff, f là ánh xạ đóng và tất cả các thớ f −1 ( y ) là các tập con
compact của X.
Đơn ánh f : X → Y xác định trên một không gian Hausdorff X là
đầy đủ khi và chỉ khi nó là một ánh xạ đóng, tức là, f là một phép nhúng
đồng phôi và tập f ( X ) đóng trong Y.
1.2.6. Khơng gian Cech-đầy đủ:
Một không gian Tychonoff được gọi là Cech-đầy đủ nếu nó là một

Gδ -tập trong các compact hóa Hausdorff của nó.
1.2.7. Khơng gian giả compact:
Một khơng gian tơpơ X gọi là không gian giả compact nếu X là một
không gian Tychonoff và mọi hàm giá trị thực liên tục trên X đều bị
chặn.


12

1.3. Khơng gian mêtric, khơng gian mêtric hóa:
1.3.1. Khơng gian mêtric:
Một không gian mêtric là một cặp ( X , ρ ) gồm một tập X và một
hàm ρ : X × X →  thỏa mãn các điều kiện sau:
(M1) ρ ( x, y ) = 0 khi và chỉ khi x = y ,
(M2) ρ ( x, y ) = ρ ( y, x ) với mọi x, y ∈ X ,
(M3) ρ ( x, y ) + ρ ( y, z ) ≥ ρ ( x, z ) với mọi x, y, z ∈ X .
Tập X gọi là một không gian, các phần tử của X gọi là các điểm,

hàm ρ gọi là mêtric trên tập X và số ρ ( x, y ) được gọi là khoảng cách
giữa x và y.
Nếu hàm ρ : X × X →  thỏa điều kiện (M2), (M3) và điều kiện
(M1’) ρ ( x, x) = 0 với mọi x ∈ X
thì được gọi là một giả mêtric trên tập X.
Với mọi không gian mêtric ( X , ρ ) , họ các tập mở theo mêtric ρ là
một tôpô trên X. Tôpô này gọi là tôpô sinh bởi mêtric ρ . Không gian
mêtric X luôn được coi là không gian tôpô với tôpô sinh mêtric.
1.3.2. Không gian mêtric hóa được:
Khơng gian tơpơ ( X ,τ ) gọi là khơng gian mêtric hóa được nếu X
đồng phơi với một không gian mêtric (nghĩa là tồn tại một mêtric ρ trên
tập X sao cho tôpô sinh bởi mêtric ρ trùng với tôpô τ của X (τ = τ ρ ).


13

Khơng gian ( X ,τ ) mêtric hóa con được nếu tồn tại một tôpô τ '
trên X sao cho τ ' ⊂ τ và ( X ,τ ') mêtric hóa được.
1.4. Khơng gian paracompact:
1.4.1. Khơng gian paracompact:
Khơng gian tơpơ X được gọi là không gian paracompact nếu X là
một khơng gian Hausdorff và mỗi phủ mở của X có một cái mịn mở hữu
hạn địa phương.
Không gian tôpô X được gọi là không gian paracompact con nếu X
là không gian Hausdorff và mỗi phủ mở của X ln có một cái mịn
đóng σ -rời rạc.
1.4.2. Khơng gian paracompact đếm được:
Không gian tôpô X được gọi là không gian paracompact đếm được
nếu X là không gian Hausdorff và mỗi phủ mở đếm được của X có một
cái mịn mở hữu hạn địa phương.

Không gian tôpô X được gọi là không gian paracompact con đếm
được nếu X là không gian Hausdorff và mỗi phủ mở đếm được của X
ln có một cái mịn đóng σ -rời rạc.
1.5. Nhóm tơpơ và một số cấu trúc liên quan:
1.5.1. Nhóm tơpơ:
Cho X, Y, Z là các khơng gian tơpơ và f : X × Y → Z là một hàm, ta nói:
- f là liên tục nối tại ( x0 , y0 ) ∈ X × Y nếu với mỗi lân cận W của
f ( x0 , y0 ) tồn tại một tích của các tập mở U × V ⊆ X × Y chứa ( x0 , y0 )

thỏa f (U × V ) ⊆ W .


14

- f là liên tục tách trên X × Y nếu với mỗi x0 ∈ X và y0 ∈ Y , các
hàm y  f ( x0 , y ) và x  f ( x, y0 ) là các hàm liên tục trên Y và X
tương ứng.
Một nhóm paratơpơ G là một nhóm G với một tơpơ thỏa phép nhân
là liên tục nối, một nhóm nửa tơpơ G là một nhóm G với một tơpơ thỏa
phép nhân là liên tục tách.
Cho một nhóm G, ánh xạ nghịch đảo In : G → G được định nghĩa
theo công thức In ( x ) = x −1 , với mỗi x ∈ G .
Một nhóm nửa tơpơ với ánh xạ nghịch đảo liên tục được gọi là
nhóm tựa tơpơ.
Một nhóm tơpơ G là một nhóm paratơpơ G thỏa ánh xạ nghịch đảo
In : G → G là liên tục. Như vậy, G là một nhóm tơpơ khi và chỉ khi ánh

xạ từ G × G → G , ( x, y )  xy −1 là liên tục.
1.5.2. Bổ sung Raikov của nhóm tơpơ:
Nhóm Raikov đầy đủ là nhóm tơpơ có thể nhúng được vào một

nhóm mà tất cả các lọc trong nó đều hội tụ.
*
Mở rộng Raikov: Cho G là một họ tất cả các lọc chính tắc trên G.

Kí hiệu Bx là một lọc chính tắc trên G, với mỗi x ∈ G . Đặt i ( x ) = Bx , với
*
mỗi x ∈ G . Từ đó, ta có đơn ánh i : G → G . Tiếp theo, ta định nghĩa
*
*
một phép toán trên G để cho G biến thành một nhóm, sau đó ta xác
*
*
định một tơpơ trên G để G trở thành một nhóm tôpô, cuối cùng ta sẽ


15

kiểm tra rằng ánh xạ i : G → i ( G ) ⊂ G * là một đẳng cấu tơpơ. Khi đó,

G * được gọi là mở rộng Raikov của G.
1.5.3. Nhóm tơpơ Cech-đầy đủ:
Nhóm tơpơ Cech-đầy đủ là nhóm tơpơ mà khơng gian cơ bản của nó
là Cech-đầy đủ.
1.5.4. M-không gian, p-không gian:
Cho X là một không gian. Với mỗi A ⊂ X và U là họ các tập con
của X, ta định nghĩa st ( A,=
U)  {U ∈ U : U ∩ A ≠ ∅} .
Với x ∈ X , ta viết st ( x, U) thay cho st ({ x} , U) .
Cho X là một không gian, U là một phủ của X.
Cho V là một phủ của X thỏa: ∀x ∈ X , ∃U ∈ U : st { x, V} ⊆ U . Khi

đó, ta nói V là một làm mịn hình sao của U .
M-không gian: Một không gian X được gọi là một M-không gian
nếu tồn tại một dãy (ξ n ) các phủ mở của X thỏa:
(i) Nếu xn ∈ st ( x, ξ n ) , với mỗi n ∈ ω , thì { xn : n ∈ ω} có một điểm
hội tụ.
(ii) Với mỗi n ∈ ω , ξ n+1 là một làm mịn hình sao của ξ n .
p-khơng gian: Một khơng gian hồn tồn chính qui là một p-không
gian nếu tồn tại một dãy ( Un ) của họ các tập con mở của β X thỏa:
(i) Mỗi Un là phủ của X.


16

(ii) Với mỗi x ∈ X ,  n st ( x, Un ) ⊂ X
Nếu ta có thêm
(iii)  n st ( x, Un ) =  n st ( x, Un ) , thì X được gọi là một p-không gian
ngặt.


17

Chương 2

CÁC KIỂU ĐẦY ĐỦ CỦA CÁC
KHÔNG GIAN TÔPÔ
Trong chương này chúng tôi sẽ giới thiệu một số kiểu đầy đủ của các
khơng gian tơpơ và một số tính chất quan trọng của chúng.
2.1. Các kiểu đầy đủ khác nhau của các không gian tôpô:
Cho một dãy { H n : n ∈ ω} các tập con của không gian X ,
lim {H n : n ∈ ω} là tập hợp tất cả các điểm hội tụ của { H n : n ∈ ω} .

Nếu H n+1 ⊆ H n ,với mọi n ∈ ω , thì lim {H n :=
n ∈ ω}  {cl X H n : n ∈ ω} .
Một dãy {U n : n ∈ ω} của các tập con mở trong không gian X được gọi là
dãy dừng nếu nó thỏa các điều kiện sau:
(S1) ∅ ≠ U n+1 ⊆ U n , với mọi n ∈ ω ;
(S2) Mọi dãy {Vn : n ∈ ω} của các tập mở khác rỗng trong X thỏa Vn ⊆ U n
, với mỗi n ∈ ω , có một điểm hội tụ trong X, nghĩa là lim {Vn : n ∈ ω} ≠ ∅ .
Một tập con L của không gian X là bị chặn nếu với mọi họ hữu hạn địa
phương γ của các tập con mở trong X, tập {U ∈ γ : U ∩ L ≠ ∅} là hữu hạn.
Một không gian X là compact yếu nếu mọi họ hữu hạn địa phương của
các tập con mở trong X là hữu hạn, nghĩa là X bị chặn trong X. Trong khơng
gian Tychonoff, tính compact yếu tương đương với tính giả compact. Mọi


18

không gian compact đếm được là không gian compact yếu. Một tập con L của
một không gian Tychonoff X bị chặn nếu và chỉ nếu mọi hàm liên tục trong
X bị chặn trong L.
Từ điều kiện (S1) và (S2) ta thấy
H  {cl X U n : n=
=
∈ ω} lim {U n : n ∈ ω}
là một tập con khác rỗng bị chặn trong X.
Một không gian X được gọi là µ -đầy đủ nếu bao đóng của mỗi tập con
bị chặn là compact.
Cho Y là một không gian con trù mật của một không gian X,
γ=
{U α : α ∈ An }: n ∈ ω} là một dãy các họ tập con mở của X, và cho

{γ n =
=
π

=
α {α n : n ∈ ω}
{π n : An+1 → An : n ∈ ω} là một dãy các ánh xạ. Một dãy

được gọi là một c-dãy nếu α n ∈ An và π n (α n+1 ) = α n với mọi n.

{

}

H (α )  Uα n ; n ∈ ω . Xét các điều kiện sau:
Cho=
(SC1):  {U β : β ∈ An } là một tập con trù mật của X với mỗi n ∈ ω .
(SC2):  {U β : β ∈ π n−1 (α )} là một tập con trù mật của tập U α với mọi

α ∈ An và n ∈ ω .
(SC3):
=
U α  {U β : β ∈ π n−1 (α )} với mọi α ∈ An và n ∈ ω .
(SC4):  {cl X U β : β ∈ π n−1 (α )} ⊆ U α với mọi α ∈ An và n ∈ ω .

{

}

(C1): Cho bất kì c-dãy α ={α n ∈ An : n ∈ ω} , dãy U α n ; n ∈ ω là dãy

dừng.


19

(C2): Cho bất kì c-dãy α ={α n ∈ An : n ∈ ω} , mỗi dãy

{ y ∈Y ∩ U
n

αn

}

; n ∈ ω có một điểm hội tụ trong X.

{

}

(C3): Cho bất kì c-dãy α ={α n ∈ An : n ∈ ω} , dãy U α n ; n ∈ ω là một cơ
sở của các lân cận mở của tập H (α ) trong X.
(C4): Cho bất kì c-dãy α ={α n ∈ An : n ∈ ω} , tập H (α ) là tập con
compact khác rỗng của X.
(C5): Cho bất kì c-dãy α ={α n ∈ An : n ∈ ω} , tập H (α ) là tập con
compact đếm được khác rỗng của X.
Dãy γ và π được gọi là ω A-sàng nếu chúng có tính chất (SC3) và mỗi

γ n là một phủ của X.
Dãy γ và π được gọi là một A-sàng nếu chúng có tính chất (SC3),

(SC4) và mỗi γ n là một phủ của X.
Dãy γ và π được gọi là một ω A-sàng trù mật nếu chúng có tính chất
(SC1), (SC2).
Dãy γ và π được gọi là một A-sàng trù mật nếu chúng có tính chất
(SC1), (SC2), (SC4).
Một khơng gian X được gọi là sàng-đầy đủ trù mật nếu tồn tại trên nó
một khơng gian con trù mật Y và một A-sàng trù mật với tính chất (C2) và
(C4). Một không gian X được gọi là sàng-đầy đủ nếu tồn tại một A-sàng với
tính chất (C2) và (C4) khi Y=X.