Bài toán khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số trong bối cảnh đánh giá bằng hình thức trắc nghiệm khách quan

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Lê Thị Bích Siêng

BÀI TỐN KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN
VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ TRONG
BỐI CẢNH ĐÁNH GIÁ BẰNG HÌNH THỨC
TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Lê Thị Bích Siêng

BÀI TỐN KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN
VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ TRONG
BỐI CẢNH ĐÁNH GIÁ BẰNG HÌNH THỨC
TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
Chuyên ngành : Lí luận và phương pháp dạy học bộ mơn Tốn
Mã số

: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG

Thành phố Hồ Chí Minh - 2017


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn này là cơng trình nghiên cứu của cá nhân, các trích
dẫn được trình bày trong luận văn hồn tồn chính xác và đáng tin cậy.

Tác giả
Lê Thị Bích Siêng


LỜI CẢM ƠN
Trước hết, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung,
giảng viên khoa Tốn – Tin của trường ĐHSP Tp.Hồ Chí Minh, thầy đã tận tình chỉ
bảo và có nhiều tâm huyết trong việc hướng dẫn tơi hồn thành luận văn này. Thầy
ln cho tơi những lời góp ý nghiêm khắc và những động viên chân thành.
Tôi xin trân trọng cảm ơn q thầy cơ: PGS.TS. Lê Thị Hồi Châu, PGS.TS. Lê
Văn Tiến , TS. Vũ Như Thư Hương, TS. Nguyễn Thị Nga, TS. Tăng Minh Dũng và các
quý thầy cô đã tận tình giảng dạy, truyền cho chúng tơi nhiệt huyết của nghề dạy học và
sự hấp dẫn của chuyên ngành trong suốt thời gian tham gia lớp cao học.
Xin chân thành cảm ơn GS.TS Annie Bessot và Thầy Hamid Chaachoua đã có những
góp ý và định hướng quý báu cho luận văn.
Xin chân thành cảm ơn:
 Phòng Sau đại học trường ĐHSP Tp.Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện thuận lợi
cho chúng tơi trong suốt khóa học.
 Ban Giám hiệu cùng các thầy cơ trong tổ Tốn-Tin trường THPT An Mỹ đã
giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi an tâm đi học và hoàn thành luận văn này.

Lời cảm ơn chân thành xin gửi đến các bạn học viên cùng lớp didactic Tốn
khóa 26. Tơi khơng bao giờ quên những kỉ niệm mà chúng ta đã cùng nhau chia sẻ
trong suốt thời gian học tập.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời biết ơn vô hạn đến những người thân u trong gia
đình đã ln động viên, khích lệ, quan tâm và luôn luôn sẵn sàng giúp đỡ tôi về
mọi mặt trong suốt thời gian tôi thực hiện nhiệm vụ học tập. Nhất là đứa con gái
bé bỏng của tôi phải chịu nhiều thiệt thòi khi phải đồng hành cùng mẹ trong suốt
thời gian mẹ đi học.


MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cám ơn
Danh mục các từ viết tắt
Dạnh mục các bảng
Mục lục
MỞ ĐẦU ......................................................................................................................... 1
Chương 1. BÀI TOÁN KHẢO SÁT HÀM SỐ TRONG THỂ CHẾ DẠY
HỌC TOÁN LỚP 12.................................................................................. 7
1.1. Các tính chất hàm số được nghiên cứu và các kiểu nhiệm vụ tương ứng
trong chương trình tốn bậc trung học phổ thơng. .............................................. 7
1.2. Bài tốn khảo sát hàm số trong SGK hiện hành ............................................... 10
1.2.1. Bài tốn khảo sát hàm số với hình thức tự luận ......................................... 11
1.2.2. Các kiểu nhiệm vụ con của TKSHS trong các câu hỏi TNKQ ..................... 16
Kết luận chương 1 ........................................................................................................ 27
Chương 2. VAI TRÒ CỦA BẢNG BIẾN THIÊN TRONG BÀI TỐN
KHẢO SÁT HÀM SỐ ........................................................................... 29
2.1. Vai trị của bảng biến thiên ................................................................................. 29
2.1.1. Khái niệm bảng biến thiên và vai trị của nó trong SGK hiện hành ........... 29
2.1.2. Các kiểu nhiệm vụ xoay quanh BBT trong SGK hiện hành ....................... 34

2.2. Kiểu nhiệm vụ gắn với khái niệm cực trị, GTLN và GTNN của hàm số .......... 39
2.2.1. Khái niệm cực trị ......................................................................................... 40
2.2.2. Khái niệm GTLN, GTNN ........................................................................... 44
Kết luận chương 2 .................................................................................................... 48
Chương 3. NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM ........................................................... 50
3.1. Mục đích thực nghiệm ........................................................................................ 50
3.2. Hình thức tổ chức thực nghiệm .......................................................................... 50
3.3. Các câu hỏi thực nghiệm và mục tiêu................................................................. 50
3.4. Phân tích tiên nghiệm ......................................................................................... 52
3.4.1. Biến didactic và các giá trị có thể chọn....................................................... 52


3.4.2. Sự lựa chọn các biến trong 3 bài toán ......................................................... 55
3.4.3. Các câu trả lời có thể có ở các bài tốn ....................................................... 57
3.5. Phân tích hậu nghiệm ......................................................................................... 61
3.5.1. Bài toán 1 .................................................................................................... 61
3.5.2. Bài toán 2 .................................................................................................... 63
3.5.3. Bài toán 3 .................................................................................................... 65
Kết luận thực nghiệm ................................................................................................ 69
KẾT LUẬN .................................................................................................................. 70
TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................................... 71
PHỤ LỤC


DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT
Từ được viết tắt

Kí hiệu
BBT

Bảng biến thiên

GTLN

Giá trị lớn nhất

GTNN

Giá trị nhỏ nhất

HS

Học sinh

KSHS

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

KNV

Kiểu nhiệm vụ

SGK

Sách giáo khoa

SBT

Sách Bài tập

SGK12CB

Sách giáo khoa giải tích 12 chương trình chuẩn

SGK12NC

Sách giáo khoa giải tích 12 chương trình nâng cao

SBT12CB

Sách bài tập Giải tích 12 chương trình chuẩn

SGV12NC

Sách giáo viên Giải tích 12 chương trình nâng cao

SGV12CB

Sách giáo viên Giải tích 12 chương trình chuẩn

THPT
TL
TNKQ
tr

Trung học phổ thơng
Tự luận
Trắc nghiệm khách quan
Trang

DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 1.1. Các tính chất hàm số và các KNV tương ứng ................................................7
Bảng 1.2. Nội dung các bài học chương I trong các SGK 12 hiện hành ......................10
Bảng 1.3. Sơ đồ KSHS ở các SGK hiện hành ..............................................................12
Bảng 1.4. Các KNV con của TKSHS có thể xây dựng từ sơ đồ KSHS ..........................15
Bảng 1.5. Các KNV con của TKSHS trong các câu TNKQ ở SGK hiện hành ...............17
Bảng 2.1. Hàm số K(x) đề nghị trong KNV TCT ở SGK hiện hành .............................42
Bảng 3.1. Giá trị các biến trong 3 bài toán ...................................................................55
Bảng 3.2 Kết quả trả lời trên bài toán 1.......................................................................61


DANH MỤC CÁC HÌNH

Hình 3.1.

Bài tốn 1- câu a - Bài làm của HS 012096 ...............................................62

Hình 3.2.

Bài tốn 1- câu b - Bài làm của HS 012202 ..............................................62

Hình 3.3.

Bài tốn 1- câu a - Bài làm của HS 012234 ...............................................62

Hình 3.4.

Bài toán 1- câu b - Bài làm của HS 012123 ..............................................63

Hình 3.5.

Bài tốn 2- câu 2- Bài làm của HS 012009................................................64

Hình 3.6.

Bài tốn 2 - câu 3, 4 - Bài làm của HS 012150 .........................................64

Hình 3.6.

Bài tốn 2 - câu 3 - Bài làm của HS 012259 .............................................65

Hình 3.7.

Bài toán 2 - câu 3 - Bài làm của HS 012212 .............................................65

Hình 3.8.

Bài tốn 3 - câu 3,4 - Bài làm của HS 012076 ..........................................65

Hình 3.9.

Bài tốn 3 - câu 3, 4 - Bài làm của HS 012124 .........................................66

Hình 3.10. Bài toán 3 - câu 3 - Bài làm của HS 012051 .............................................66
Hình 3.11. Bài tốn 3 - câu 3 - Bài làm của HS 012221 .............................................66
Hình 3.11. Bài tốn 3 - câu 4 - Bài làm của HS 012003 .............................................67
Hình 3.12. Bài tốn 3 - câu 4-Bài làm của HS 012240................................................67

1

MỞ ĐẦU
1. Ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát
Bài toán khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (gọi tắt là KSHS) đã luôn
xuất hiện trong các đề thi Tốt nghiệp trung học phổ thông (gọi tắt là THPT),
Tuyển sinh Cao đẳng - Đại học và THPT Quốc gia từ năm 2016 trở về trước, bài tốn
này được u cầu trong hình thức thi tự luận (gọi tắt là TL). Cụ thể là: năm 2009 là
năm đầu tiên nội dung thi theo chương trình và sách giáo khoa hiện hành; từ năm 2009
đến năm 2014, các đề thi trong 2 kỳ thi (Tốt nghiệp THPT và tuyển sinh Cao ĐẳngĐại học) mơn Tốn là dạng tự luận; năm 2015, đề thi THPT Quốc gia (kì thi chung để
xét tốt nghiệp THPT và Cao đẳng- Đại học) cũng với hình thức tự luận. Chúng tơi xin
trích dẫn các câu hỏi về bài toán KSHS trong các kì thi cuối cấp THPT:
Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2009:
Câu 1. Cho hàm số

.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến là 5.
Đề thi tuyển sinh đại học năm 2014, mơn Tốn, khối B:
Câu 1. Cho hàm số y=x3 - 3mx + 1 (1), với m là tham số thực.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1.
b) Cho A(2;3). Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị B và C sao cho
tam giác ABC cân tại A.
Đề thi THPT quốc gia năm 2016:
Câu II (1điểm): Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = - x4 + 2x.

Quy trình thực hiện KSHS được tiến hành thông qua nhiều bước xem xét các
tính chất của hàm số và mỗi tính chất là một khái niệm tri thức liên quan đến hàm số.
Quy trình KSHS có thể hình dung qua sơ đồ được tóm tắt như sau:

2

Từ sơ đồ chúng tôi muốn nhấn mạnh 3 bước chính trong bài tốn KSHS là: tìm
tập xác định của hàm số, khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. Trong trình tự
này, việc khảo sát sự biến thiên của hàm số phải xét nhiều tính chất của hàm số như:
cực trị của hàm số, chiều biến thiên, tiệm cận của đồ thị hàm số,
tính đối xứng của đồ thị, tính tuần hồn, tính chẵn lẻ, … Các tính chất của một hàm số
được liên kết lại đã tạo ra một bài tốn KSHS có lời giải cồng kềnh.
Như vậy, học sinh phải mất nhiều thời gian để hồn thành bài tốn này.
Trong năm học 2016 - 2017, Bộ Giáo dục và Đào tạo (gọi tắt là Bộ GD - ĐT)
chuyển

từ

hình

thức

thi

tự

luận

sang

hình

thức

thi

trắc

nghiệm

khách quan (gọi tắt là TNKQ) với 4 lựa chọn. Bài toán KSHS buộc phải chia nhỏ
thành những bài tốn thành phần vì bài tốn KSHS khơng còn phù hợp với một câu
hỏi trắc nghiệm.
Với kinh nghiệm dạy học của mình, chúng tơi nhận thấy sự xuất hiện của những
câu hỏi mới, chẳng hạn: một câu hỏi được đề nghị trong đề thi minh họa của Bộ GD ĐT liên quan tới bảng biên thiên như sau:


3
“Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên R và có bảng biến thiên:

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số có đúng một cực trị.
B. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1.
C. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0 và giá trị nhỏ nhất bằng -1.
D. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 1.”

Và một câu hỏi xoay quanh đồ thị như sau: “Đường cong trong hình bên là đồ thị
của một hàm số nào trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây.
Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
A.
B.
C.

D.

Như vậy, kĩ thuật đọc bảng biến thiên (gọi tắt là BBT) và đọc đồ thị phải được
giáo viên bổ sung trong dạy học hiện hành. Ngoài ra, nghiên cứu của Nguyễn Thị
Tuyết Lan (2013) cho rằng trước đây học sinh (gọi tắt là HS) không thực sự dựa vào
BBT để vẽ đồ thị hàm số vì họ học thuộc các dạng đồ thị của một vài hàm số xuất hiện
trong đề thi. Như vậy, trước đây HS không cần thiết phải đọc các yếu tố như: cực trị,
giá trị lớn nhất (gọi tắt là GTLN), giá trị nhỏ nhất (gọi tắt là GTNN), … từ BBT trong
bài toán KSHS.
Từ những ghi nhận trên chúng tôi quyết định chọn đề tài: “Bài toán khảo sát
sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số trong bối cảnh đánh giá bằng hình thức trắc nghiệm
khách quan”.


4
Chúng tôi đặt ra câu hỏi xuất phát như sau: Việc dạy học bài toán KSHS sẽ
thay đổi như thế nào trong bối cảnh thi TNKQ mơn tốn THPT quốc gia. Đặc biệt,
việc đọc BBT và đồ thị sẽ đặt ra cho HS những khó khăn gì?
Việc tìm câu trả lời cho các câu hỏi này sẽ giúp cho chúng tơi nhìn rõ hơn có hay
khơng có sự chuẩn bị của thể chế cho một sự thay đổi hình thức thi (từ TL sang
TNKQ) trong khi sách giáo khoa (gọi tắt là SGK) chưa thay đổi ở năm học 2016-2017.
2. Phạm vi lý thuyết tham chiếu
Chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi lý thuyết của Didactic tốn:
chủ yếu là thuyết nhân học và lý thuyết tình huống.
Chúng tơi sử dụng thuyết nhân học nhằm phân tích mối quan hệ thể chế dạy học
bài toán KSHS trong bối cảnh thay đổi hình thức thi TL sang hình thức thi TNKQ. Thể
chế dạy học mà chúng tôi xác định ở đây là thể chế dạy học toán 12 trong năm học
2016 - 2017. Thể chế này có đặc trưng:
- Lần đầu tiên Bộ GD - ĐT áp dụng thi THPT Quốc gia mơn Tốn bằng
hình thức TNKQ nên giáo viên và học sinh rất lúng túng.

- Chương trình và SGK vẫn chưa thay đổi.
Để nghiên cứu thể chế này, chúng tôi chỉ nghiên cứu trên các tài liệu sau: Các
SGK hiện hành bậc THPT, các đề thi minh họa và đề thi chính thức của Bộ GD - ĐT
năm 2017.
Với lý thuyết nhân học, chúng tôi sẽ sử dụng quan điểm của Chevallard (1998):
một praxeologie gồm 4 thành phần

– đây là một mơ hình hóa để phân tích

mối quan hệ thể chế đã được xác định ở trên, trong đó:
+ T là một kiểu nhiệm vụ (gọi tắt là KNV) Toán học, một KNV được bắt đầu bởi
một động từ liên quan đến một tri thức xác định. Tri thức mà chúng tôi quan tâm trong
luận văn này là tri thức về hàm số trong bài toán KSHS. Chúng tôi xác định các KNV
từ các yêu cầu của các hoạt động, các ví dụ và bài tập trong SGK hiện hành hay các
câu hỏi trong các đề thi THPT Quốc gia.
+

là kĩ thuật: cách thức để giải quyết kiểu nhiệm vụ T. Kĩ thuật có thể được tìm

thấy trong các lời giải của ví dụ ở SGK, lời giải các bài tập được đề nghị trong sách
giáo viên, sách bài tập...


5
+

là cơng nghệ giải thích cho kĩ thuật , cơng nghệ chính là bài giảng về kĩ

thuật, nó biện minh đảm bảo cho kĩ thuật sẽ đưa lại kết quả chắc chắn đúng. Cơng
nghệ có thể được tìm thấy trong các định lý, tính chất, hệ quả tốn học...

+

là lý thuyết giải thích cho cơng nghệ. Vì vậy, lý thuyết chính là cơng nghệ

của cơng nghệ.
Quy trình KSHS với hình thức TL được thực hiện qua nhiều bước, từ mỗi bước
có thể xây dựng một KNV mà chúng tơi gọi là KNV con. Các KNV con này có thể
xuất hiện trong các câu hỏi TNKQ mà chúng tôi sẽ xác định và nghiên cứu.
Với lý thuyết tình huống, chúng tơi sử dụng khái niệm biến didactic (biến dạy
học), với một giá trị của biến sẽ tạo ra các cách ứng xử, cách giải quyết bài toán (chiến
lược giải) cũng khác nhau nhắm đến mục tiêu dạy học ý nghĩa của một tri thức mà
giáo viên đã xếp đặt. Chúng tôi sử dụng lý thuyết này để để xây dựng thực nghiệm.
3. Mục tiêu và câu hỏi nghiên cứu
Mục tiêu nghiên cứu chúng tơi là xác định một số khó khăn của HS khi đối diện
với các câu hỏi mới liên quan tới bài tốn KSHS có thể xuất hiện trong bối cảnh thi
TNKQ. Trong phạm vi lý thuyết tham chiếu đã chọn, để đạt được mục tiêu nghiên
cứu, chúng tôi cụ thể hóa mục tiêu nghiên cứu thành hai câu hỏi nghiên cứu sau:
CH1: Đặc trưng của bài toán KSHS trong thể chế dạy học tốn bậc THPT là gì?
Với hình thức TNKQ, bài tốn KSHS có thể được phân chia thành những KNV nào?
Có sự khác biệt nào khơng trong các KNV liên quan đến bài toán KSHS được đề nghị
trong các câu hỏi trắc nghiệm giữa SGK hiện hành và trong các đề thi của Bộ GD ĐT?
Giới hạn trong nghiên cứu của mình, chúng tơi chỉ nghiên cứu các KNV
liên quan đến BBT và đặt ra câu hỏi nghiên cứu tiếp theo như sau:
CH2: BBT luôn xuất hiện trong bài tốn KSHS, vì vậy các câu hỏi TNKQ có thể
được đặt ra dựa vào các thơng tin trên BBT. Các KNV nào có thể đặt ra trên một
BBT? Kĩ thuật giải quyết các KNV đó có thể tìm thấy trong SGK hiện hành hay
khơng? Nếu có, kĩ thuật được mô tả thế nào?


6

4. Nhiệm vụ và phương pháp nghiên cứu
Để trả lời cho các câu hỏi nghiên cứu vừa nêu trên, chúng tôi đề ra nhiệm vụ và
phương pháp nghiên cứu như sau:
- Thứ nhất, chúng tơi xác định các tính chất hàm số được dạy học trong
chương trình tốn phổ thơng và chỉ ra các tính chất nào được đề nghị trong bài tốn
KSHS. Đồng thời chúng tơi xác định các những KNV liên quan đến bài tốn KSHS
có thể xuất hiện trong các câu hỏi TNKQ ở SGK và các đề thi THPT Quốc gia của
Bộ GD - ĐT. Chúng tơi sẽ tham khảo một số luận văn có nghiên cứu liên quan đến
bài toán KSHS để thực hiện nhiệm vụ này.
- Thứ hai, chúng tôi xem xét các KNV có bước lập BBT xuất hiện trong thể chế
dạy học tốn THPT. Để thực hiện nhiệm vụ này, chúng tơi xem xét các SGK
hiện hành, các đề thi THPT Quốc gia minh họa và chính thức của Bộ GD - ĐT
năm 2017.
- Thứ ba, từ kết quả phân tích thể chế, chúng tôi sẽ đặt ra các giả thuyết
nghiên cứu hoặc câu hỏi nghiên cứu để tiến hành thực nghiệm và phân tích
hậu nghiệm để trả lời các câu hỏi đã đặt ra.
5. Cấu trúc luận văn
Luận văn gồm 3 phần: phần mở đầu, phần nội dung và phần kết luận.
Phần mở đầu, chúng tơi trình bày về những ghi nhận ban đầu, câu hỏi đặt ra,
phạm vi lý thuyết tham chiếu, mục đích, câu hỏi nghiên cứu, nhiệm vụ nghiên cứu và
cấu trúc luận văn.
Phần nội dung, gồm có các chương:
Chương 1- Bài toán khảo sát hàm số trong thể chế dạy học tốn lớp 12.
Chương 2- Vai trị của bảng biến thiên trong bài toán khảo sát hàm số.
Chương 3- Nghiên cứu thực nghiệm.
Phần kết luận.


7

Chương 1. BÀI TOÁN KHẢO SÁT HÀM SỐ TRONG THỂ CHẾ
DẠY HỌC TỐN LỚP 12
Trong chương này chúng tơi đi tìm câu trả lời cho câu hỏi CH1: Đặc trưng của
bài toán KSHS trong thể chế dạy học toán bậc THPT là gì? Có sự khác biệt nào khơng
trong các KNV liên quan đến bài toán KSHS được đề nghị trong các câu hỏi trắc
nghiệm giữa SGK hiện hành và trong các đề thi của Bộ GD-ĐT?
Để trả lời cho câu hỏi này, chúng tơi xem xét các SGK Tốn hiện hành ở các lớp
10, 11, 12 và tham khảo luận văn của tác giả Nguyễn Thị Tuyết Lan (2013)“Bài toán khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ở trường Trung học phổ thông
Việt Nam”.
Trước tiên, chúng tơi tiến hành tìm hiểu các tính chất hàm số được đề nghị trong
dạy học hàm số và chỉ ra các tính chất được yêu cầu khảo sát trong bài tốn KSHS. Từ
các tính chất này, chúng tơi xác định các KNV tương ứng liên quan tới bài toán KSHS.
1.1. Các tính chất hàm số được nghiên cứu và các kiểu nhiệm vụ tương ứng trong
chương trình tốn bậc trung học phổ thông.
Chúng tôi tham khảo luận văn của tác giả Nguyễn Thị Tuyết Lan (2013) và
xem xét các SGK hiện hành để thống kê các tính chất hàm số được giới thiệu dạy học
ở SGK và các KNV tương ứng đã được tác giả xác định trong chương trình Tốn
phổ thơng, trong đó chúng tơi chỉ quan tâm một số KNV liên quan đến sơ đồ KSHS.
Việc chỉ ra các tính chất hàm số và các KNV tương ứng (là các KNV cho dưới hình
thức TL) được xác định sẽ giúp ta hình dung ra sự chuẩn bị các yếu tố
lý thuyết và kĩ thuật để giải quyết bài tốn KSHS.
Bảng 1.1. Các tính chất hàm số và các KNV tương ứng
Tính chất hàm số

Các KNV được xác định

Lớp

Tập xác định

+ Tìm tập xác định của hàm số cho bởi công thức

10

y=f(x)
+ Lập BBT của hàm số cho bởi công thức y=f(x).
+ Lập BBT của hàm số cho bởi công thức y=f(x).
+ Khảo sát sự biến thiên của hàm số cho bởi công
thức y=f(x) trên mỗi khoảng K.

10


8
Đơn điệu

+ Xét tính đơn điệu của hàm số cho bởi công thức
y=f(x) (hay cho bởi đồ thị)
+ Chứng minh hàm số cho bởi công thức y=f(x)

12

đồng biến (nghịch biến) trên khoảng (a;b).
Tính chẵn lẻ

+ Xét tính chẵn, lẻ của hàm số cho bởi công thức

10

y=f(x).

+ Chứng minh với mỗi số ngun k ta ln có
f(x + kT) = f(x) với mọi x.
Tính tuần hồn

+ Vẽ đồ thị hàm số.

11

+ Dựa vào tính tuần hồn của hàm số và xét tính
đồng biến (nghịch biến) của hàm số cho bởi cơng
thức y=f(x) trên khoảng (a;b).
Tính liên tục

+ Xét tính liên tục của hàm số cho bởi cơng thức

11

y=f(x).
Đạo hàm

+ Tính đạo hàm y’ của hàm số cho bởi công thức

11

y=f(x).
+ Chứng minh hàm số khơng có đạo hàm tại x0.
Cực trị

+Tìm cực trị của hàm số cho bởi công thức y=f(x)

12

(hay đồ thị)
Giá trị lớn nhất,

+ Tìm GTLN, GTNN của hàm số cho bởi công

giá trị nhỏ nhất

thức y=f(x) trên khoảng (a;b).
+ Tìm GTLN, GTNN của hàm số cho bởi cơng
thức y=f(x) trên đoạn

12

.

Tiệm cận của đồ thị +Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số cho

12

bởi công thức y=f(x)

Từ kết quả trên bảng thống kê này, chúng tôi nhận thấy các tính chất của hàm số
được nghiên cứu, bổ sung và hoàn thiện dần qua các lớp ở bậc THPT. Trong đó,
hầu hết các hàm số được đề nghị xem xét các tính chất là các hàm số cho bởi công


9
thức, rất ít hàm số được cho bởi đồ thị (chỉ xuất hiện trong 3 hoạt động dẫn dắt và 1 ví

dụ để dạy học 3 khái niệm tính liên tục của hàm số, cực trị của hàm số, tiệm cận của
đồ thị hàm số xuất hiện trong phần bài tập). Chẳng hạn, chúng ta có thể quan sát một
hoạt động được trích từ SGK12CB như sau:

[10, tr.4]
Hay một minh họa hình ảnh tiệm cận trong ví dụ về tìm tiệm cận của hàm số cho bởi
công thức như:

[10, tr.29-30]


10
Từ hoạt động trên ta thấy hàm số cho bởi đồ thị và có cơng thức hàm số đi kèm,
riêng các ví dụ trong SGK12 hàm số cho bởi cơng thức nhưng trong lời giải có minh
họa đồ thị. Các bài tập sau đó khơng có u cầu HS dựa vào đồ thị để xác định các tính
chất và khơng u cầu HS trình bày đồ thị minh họa. Ngồi ra, chúng tơi cũng khơng
tìm thấy KNV nào mà trong đó hàm số nào được cho trước bởi BBT.
Như vậy, hầu hết các tính chất hàm số được dạy học trong chương trình tốn phổ
thơng là các hàm số rất cơ bản được nghiên cứu trước khi dạy học bài toán KSHS. Từ
các KNV được xác định ở bảng trên liên quan đến các tính chất hàm số được đề nghị
trong SGK hiện hành, chúng tơi hình dung là khả năng của việc xuất hiện các KNV
khá phong phú trong các câu hỏi TNKQ liên quan tới bài toán KSHS. Đặc biệt là các
câu hỏi có thể đặt ra khi hàm số cho bởi các biểu diễn khác nhau (công thức, đồ thị,
BBT...). Chúng tôi tiếp tục xem xét việc trình bày bài tốn KSHS trong các SGK
hiện hành để xác định đặc trưng của bài toán này.
1.2.

Bài toán khảo sát hàm số trong SGK hiện hành
Bài toán KSHS nằm ở bài “Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số” trong

chương I của các sách Giải tích 12 hiện hành, bao gồm sách giáo khoa giải tích 12
chương trình chuẩn (gọi là SGK12CB) và sách giáo khoa giải tích 12 chương trình
nâng cao (gọi là SGK12NC). Các bài học trong chương này được chúng tôi liệt kê
theo bảng 1.2 bên dưới:
Bảng 1.2. Nội dung các bài học chương I trong các SGK 12 hiện hành
SGK 12CB

SGK 12NC

1/ Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

1/ Tính đơn điệu của hàm số.

2/ Cực trị của hàm số.

2/ Cực trị của hàm số

3/ Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 3/ Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.
hàm số.

4/ Đồ thị hàm số và phép tịnh tiến tọa độ

4/ Đường tiệm cận.

5/ Đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

5/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của 6/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số
hàm số.

hàm đa thức.

7/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số
hàm phân thức hữu tỉ.
8/ Một số bài toán thường gặp về đồ thị.


11
Từ bảng 1.2 chúng tơi nhận thấy bài tốn KSHS đặt sau các bài học về các tính
chất hàm số. Ngoài ra, số bài học trong SGK12NC nhiều hơn SGK12CB về mặt nội
dung. Chẳng hạn, SGK12NC đề nghị thêm các nội dung về Đồ thị hàm số và phép tịnh
tiến hệ tọa độ; một số bài toán thường gặp về đồ thị. Tuy nhiên, hai năm vừa qua
(2015, 2016) đề thi THPT Quốc gia và Tuyển sinh đại học không còn nội dung phân
ban nên tinh thần chung là các nội dung trong đề thi bám sát theo SGK chương trình
chuẩn. Năm học 2016-2017, hình thức thi mơn Tốn là 100% TNKQ được thực hiện
lần đầu tiên nên Bộ GD-ĐT có thể chọn các nội dung ở chương trình nâng cao để đặt
ra các câu hỏi TNKQ. Vì vậy, chúng tơi xem xét sự trình bày bài tốn KSHS ở cả 2
ban để tìm hiểu nhiều hơn cách đặt ra các câu hỏi TNKQ liên quan đến bài toán
KSHS.
1.2.1. Bài tốn khảo sát hàm số với hình thức tự luận
KNV với hình thức tự luận có thể xác định từ bài toán KSHS là TKSKS :
“Khảo sát hàm số cho bởi cơng thức y=f(x)”.
Các tính chất hàm số được nghiên cứu trước đó đã tạo điều kiện cho sự xuất hiện
bài tốn KSHS sau này. Các tính chất hàm số và cơng cụ để xem xét các tính chất đó
tiến triển theo trình tự thời gian qua các lớp học ở bậc THPT.
Chúng tôi ghi nhận được thuật ngữ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
hay Khảo sát hàm số được dùng chính thức trong chương trình 12 với cơng cụ là
đạo hàm. Ở lớp 10 và 11, SGK khơng dùng thuật ngữ này vì chương trình chỉ u cầu
xem xét các tính chất gắn với các hàm số đơn giản như hàm số bậc nhất, hàm số
bậc hai, hàm số lượng giác cơ bản chủ yếu dựa vào các định nghĩa hay dựa vào đồ thị
hàm số. Đầu năm 12, bài toán KSHS được nghiên cứu theo trình tự gồm 3 bước chính
là: tìm tập xác định, xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. Quy trình thực hiện bài tốn

KSHS đã được chúng tôi mô tả bằng sơ đồ cây trong phần mở đầu. Chúng tơi trích lại
sơ đồ KSHS ở hai bộ SGK hiện hành và ví dụ minh họa kèm theo như bảng 1.3 dưới
đây:


12
Bảng 1.3. Sơ đồ KSHS ở các SGK hiện hành
SGK12CB

SGK12NC

1. Tập xác định: Tìm tập xác định của hàm

10. Tìm tập xác định của hàm số.

số.

20. Xét sự biến thiên của hàm số

2. Sự biến thiên

a) Tìm giới hạn tại vô cực và giới hạn vô cực (nếu



Xét chiều biến thiên của hàm số:

+ Tính đạo hàm y ' ;

có) của hàm số. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị

(nếu có)

+ Tìm các điểm tại đó đạo hàm y ' bằng 0
hoặc không xác định;

b) Lập bảng biến thiên của hàm số, bao gồm:
Tìm đạo hàm của hàm số, xét dấu đạo hàm, xét
chiều biến thiên và tìm cực trị của hàm số (nếu có),

'

+ Xét dấu đạo hàm y và suy ra chiều biến

điền các kết quả vào bảng.

thiên của hàm số.

30. Vẽ đồ thị của hàm số



Tìm cực trị.

 Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị (nếu có).



Tìm các giới hạn tại vơ cực, các giới

 Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị, chẳng

hạn vơ cực và tìm tiệm cận (nếu có).

hạn tìm giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ.



(Trong trường hợp đồ thị không cắt các trục tọa độ

Lập bảng biến thiên. (Ghi các kết quả

tìm được vào bảng biến thiên).

hoặc việc tìm tọa độ giao điểm phức tạp thì bỏ qua

3. Đồ thị

phần này).

Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác

 Nhận xét về đồ thị: Chỉ ra trục và tâm đối xứng

định ở trên để vẽ đồ thị.

của đồ thị (nếu có, khơng u cầu chứng minh).
[17, tr.37]

CHÚ Ý
1. Nếu hàm số tuần hoàn với chu kì T thì

chỉ cần khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
trên một chu kì, sau đó tịnh tiến đồ thị song
song với trục Ox.
2. Nên tính thêm tọa độ một số điểm, đặc
biệt là tọa độ các giao điểm của đồ thị với
các trục tọa độ.
3. Nên lưu ý đến tính chẵn, lẻ của hàm số và
tính đối xứng của đồ thị để vẽ cho chính xác.
[10, tr.31]
Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
3
2
của hàm số y  x  3x  4 .

Giải

Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của
hàm số
Giải
10. Hàm số có tập xác định là
20. Sự biến thiên của hàm số

.


13
1) Tập xác định:

a) Giới hạn của hàm số tại vô cực

.

2) Sự biến thiên
và

 Chiều biến thiên

 x  2
y'  0  
 x  0.

y'  3x 2  6 x  3x( x  2 );

b) Bảng biến thiên
Ta có

Trên các khoảng ( ; 2 ) và ( 0;  ) ,

y' dương nên hàm số đồng biến. Trên
'
khoảng ( 2; 0 ) , y

âm nên hàm số

nghịch biến.
 Cực trị
Hàm số đạt cực trị tại x= -2; yCĐ = y(-2) = 0.

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0; yCT = y(0) = - 4.

, nghịch biến biến trên khoảng

 Các giới hạn tại vô cực

 3
lim y  lim x 1  
x 
x 
 x
 3
lim y  lim x3 1  
x 
x 
 x
3



4
  
x3 
4
  
x3 

Bảng biến thiên

và

Hàm số đạt cực đại tại điểm x = -1, giá trị cực đại
của hàm số là y(-1) = 0.
Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm x = 3, giá trị cực
tiểu của hàm số là y(3) = -4.
30. Đồ thị

3) Đồ thị
Giao điểm của đồ thị với trục tung là điểm
Ta có y = 0
.
Vậy đồ thị và trục hồnh có 2 điểm chung là
(-1;0) và (5;0)
Điểm uốn :
Ta có

 x  2
x3  3x 2  4  ( x  1 )( x  2 )2  0  
 x  1.

Tọa độ điểm uốn U(1;-2)
[17, tr. 37-38]


14
Vậy (-2; 0) và (1; 0) là các giao điểm của đồ
thị với trục Ox.
Vì y( 0 )  4 nên (0; - 4) là giao điểm của đồ
thị với trục Oy. Điểm đó cũng là điểm cực
tiểu của đồ thị.

Đồ thị của hàm số được cho trên Hình 19.
Lưu ý. Đồ thị của hàm số bậc ba đã cho có
tâm đối xứng là điểm I(-1; -2) (H.19). Hồnh
độ của điểm I là nghiệm của phương trình

y''  0 .
[10, tr. 32 - 33]

Theo sơ đồ và ví dụ kèm theo chúng tôi nhận thấy SGK12NC chú trọng việc đọc
BBT hơn SGK12CB. Sự khác biệt này cho ta thấy vai trò khác nhau của BBT được
quan tâm ở hai SGK hiện hành, SGK12CB chú trọng vai trò tổng kết sự biến thiên,
trong khi SGK12NC đề cao vai trò thể hiện các tính chất hàm số.
Từ sơ đồ khảo sát hàm số, chúng tơi thấy hầu hết các tính chất hàm số được
nghiên cứu trước đó được huy động vào trình tự KSHS, trong đó tính chất về tập xác
định, sự đơn điệu và đạo hàm, tiệm cận của đồ thị luôn được khảo sát trong tất cả các
hàm số được giới hạn; một số tính chất cịn lại thì tùy vào hàm số mà SGK khuyến
khích sử dụng (tính đối xứng, tính tuần hồn, tính chẵn lẻ). Một ràng buộc liên quan
tới bài toán KSHS được tác giả Nguyễn Thị Tuyết Lan chỉ ra là thể chế chỉ giới hạn
KSHS ở 4 dạng hàm số: hàm đa thức bậc 3, đa thức bậc 4 trùng phương, hàm phân
thức hữu tỉ bậc 1/1 dạng

và hàm phân thức hữu tỉ bậc 2/1 dạng

. Sự giới hạn này còn được thể hiện qua việc cả 2 SGK đưa vào các hình
dạng đồ thị tương ứng với mong muốn là HS sẽ nhớ dạng đồ thị của hàm số khi vẽ.
Điều này đã dẫn đến một hệ quả mà tác giả đã kiểm chứng qua nghiên cứu thực
nghiệm, kết quả như sau:
+ HS lập BBT nhằm thực hiện cho đầy đủ các bước trong sơ đồ khảo sát hàm mà
không kiểm tra sự tồn tại của những yếu tố trong BBT.
+ BBT khơng có vai trị gì trong việc vẽ đồ thị hàm số của HS mà đáng ra nó phải

như vậy.


15
+ HS khơng thể hay gặp khó khăn khi khảo sát các hàm số ngoài 4 dạng hàm số
được khảo sát trong chương trình. [13, tr.82].

Theo như kết quả, chúng tôi nhận thấy tác giả muốn nhấn mạnh nguyên nhân dẫn
đến các kết quả này là do thể chế dạy học trước đây chỉ giới hạn 4 dạng hàm số để
khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
Chúng tôi nhận thấy để thực hiện KNV TKSHS với hình thức tự luận thì hàm số
buộc phải cho trước bởi một cơng thức hàm số cịn các biểu diễn khác của hàm số như
BBT được lập ra trong bước xét sự biến thiên và đồ thị hàm số được vẽ ra ở bước cuối
cùng của bài tốn KSHS. Vì vậy, KNV TKSHS sẽ hạn chế thể hiện vai trò của BBT và
đồ thị hàm số. Các KNV có thể được đặt ra từ sơ đồ khảo sát hàm số sẽ rất phong phú
dưới nhiều hình thức biểu diễn khác nhau của hàm số. Điều này cho phép chúng tơi
hình dung ra các KNV con của TKSHS (là các KNV được xây dựng từ kĩ thuật của
TKSHS) có thể xuất hiện trong các câu hỏi TNKQ. Vì vây, chúng tơi dự đốn một số
KNV con của TKSHS có thể được xây dựng theo như bảng 1.4 sau đây:
Bảng 1.4. Các KNV con của TKSHS có thể xây dựng từ sơ đồ KSHS
TT

Tên KNV

Cách cho hàm số

1

TTXD: Tìm tập xác định của hàm số.

Cơng thức, đồ thị, BBT

2

TGH: Tính giới hạn hàm số

Cơng thức, đồ thị, BBT

3

TTC: Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số.

Cơng thức, đồ thị, BBT

4

TĐH: Tính đạo hàm của hàm số.

Cơng thức

5

Ttới hạn: Tìm các điểm tới hạn của hàm số.

Cơng thức, đồ thị, BBT

6

TSBT: Tìm khoảng biến thiên của hàm số.

Công thức, đồ thị, BBT

7

Tlập BBT: Lập BBT của hàm số

Cơng thức, đồ thị

8

TCT: Tìm cực trị của hàm số.

Cơng thức, đồ thị, BBT

9

Tmax, min/ (a;b):Tìm GTLN, GTNN của hàm số Công thức, đồ thị, BBT
trên khoảng (a;b).

10

Tmax, min/
số trên đoạn

11

:Tìm GTLN, GTNN của hàm Cơng thức, đồ thị, BBT
.

TĐX: Tìm tâm (trục) đối xứng của đồ thị

Công thức, đồ thị, BBT


16
12

Tchẵn-lẻ: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số

Cơng thức, đồ thị, BBT

13

Tchu kỳ: Tìm chu kỳ của hàm số tuần hồn

Cơng thức, đồ thị.

14

TGĐ: Tìm giao điểm của các đồ thị hàm số Công thức, đồ thị
với các trục tọa độ.

15

TCT-ĐT: Tìm cơng thức hàm số tương ứng với Cơng thức, đồ thị, BBT
đồ thị cho trước

16

TĐT-CT: Tìm đồ thị tương ứng với công thức Công thức, đồ thị, BBT

hàm số cho trước

Chúng tôi lấy các KNV này để tham chiếu cho sự xuất hiện các KNV liên quan
bài toán KSHS trong các câu hỏi TNKQ ở SGK hiện hành và các đề thi của Bộ GDĐT. Trong các KNV đã chỉ ra ở bảng 1.4 trên, bằng kinh nghiệm dạy học của mình,
chúng tơi có thể gọi các KNV “mới” là các KNV chưa xuất hiện trong các câu hỏi tự
luận trước đây. Chẳng hạn, với KNV TTC trong bảng 1.4, hàm số cho bởi BBT có thể
xem là một KNV “mới”. Chúng tôi đặt ra câu hỏi nghiên cứu tiếp theo: Với hình thức
TNKQ, những KNV con của TKSHS nào xuất hiện trong các SGK hiện hành? Những
KNV “mới” nào có thể ra đời?
1.2.2. Các kiểu nhiệm vụ con của TKSHS trong các câu hỏi TNKQ
1.2.2.1. Các kiểu nhiệm vụ con của TKSHS trong SGK hiện hành
Chúng tôi tìm thấy một ghi chú của sách giáo viên 12 ban nâng cao về việc
kiểm tra - đánh giá bằng phương pháp trắc nghiệm khách quan “đang là một xu hướng
cần hướng tới ” [17, tr.15]. Vì vậy, các SGK hiện hành đều có sự chuẩn bị cho
xu hướng này bằng cách giới thiệu một số câu hỏi TNKQ vào phần ôn tập ở mỗi
chương. Câu TNKQ là dạng câu có 4 lựa chọn trong đó chỉ có 1 đáp án đúng.
Chúng tôi đã xem xét tất cả các câu TNKQ liên quan đến TKSHS được giới thiệu
trong phần ôn tập chương 1, ôn tập cuối năm ở SGK, sách và trong các đề gợi ý đề
kiểm tra trong SGV ở cả 2 ban chuẩn và nâng cao, chúng tôi chỉ ra các KNV con của
TKSHS theo bảng 1.5 như sau: