Nghiên cứu dạy học đường tròn lượng giác ở trường trung học phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Trần Bảo Quyền

NGHIÊN CỨU DẠY HỌC
ĐƢỜNG TRỊN LƢỢNG GIÁC
Ở TRƢỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Trần Bảo Quyền

NGHIÊN CỨU DẠY HỌC
ĐƢỜNG TRỊN LƢỢNG GIÁC
Ở TRƢỜNG TRUNG HỌC PHỔ THƠNG
Chun ngành: Lí luận và phƣơng pháp dạy học bộ mơn Tốn
Mã số: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. TĂNG MINH DŨNG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2017

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn này là một cơng trình nghiên cứu độc lập, những trích
dẫn nêu trong luận văn đều chính xác và trung thực.


LỜI CẢM ƠN
Điều đầu tiên, tôi xin chân thành cảm ơn TS. Tăng Minh Dũng, ngƣời đã tận tình
hƣớng dẫn và giúp đỡ tơi trong suốt q trình làm luận văn. Thầy luôn luôn động viên,
gợi mở cho tôi những hƣớng đi đúng đắn và bổ ích.
Tơi cũng xin cảm ơn các Thầy Cơ chun ngành Phƣơng pháp Tốn trƣờng
ĐHSP Tp.HCM đã nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ những tri thức qu báu cho chúng
tơi về didactic Tốn sinh động, cụ th và đầy ngh a.
Tôi xin chân thành cảm ơn Phịng Sau Đại học, Khoa Tốn – Tin trƣờng Đại học
Sƣ phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo những điều kiện học tập tốt nhất cho chúng
tôi.
Tôi cũng g i lời cảm ơn đến:
an Giám hiệu, các thầy cô và các em học sinh trƣờng THPT-THCS An Đông Tp.HCM và THPT Nam Kỳ Khởi Ngh a - Tp.HCM đã tạo điều kiện và giúp đỡ tơi
hồn thành tốt thực nghiệm.
Các bạn và các anh chị cao học kh a 25 chuyên ngành L luận và Phƣơng pháp
dạy học Tốn vì những động viên và g p

chân tình.

Cuối c ng, tôi xin g i lời cảm ơn đến gia đình tơi vì những lời động viên, giúp
đỡ và tạo điều kiện cho tơi hồn thành tốt kh a học.
Trần Bảo Quyền

MỤC LỤC
TRANG PHỤ BÌA
LỜI CAM ĐOAN
LỜI CẢM ƠN
DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT
DANH MỤC CÁC BẢNG
DANH MỤC CÁC HÌNH
DANH MỤC CÁC SƠ ĐỒ
MỞ ĐẦU
Chƣơng 1. ĐƢỜNG TRÒN LƢỢNG GIÁC TRONG THỂ CHẾ DẠY HỌC
Ở VIỆT NAM ........................................................................................... 5
1.1. Vị trí và yêu cầu dạy học ĐTLG trong SGK .......................................................5
1.1.1 Sách giáo khoa và sách giáo viên Đại số lớp 10 cơ bản .................................5
1.1.2. Sách giáo khoa và sách giáo viên Đại số lớp 10 nâng cao ............................ 6
1.1.3. Sách giáo khoa và sách giáo viên Đại số và giải tích lớp 11 cơ bản .............6
1.1.4. Sách giáo khoa và sách giáo viên Đại số và giải tích lớp 11 nâng cao .........7
1.2. Định ngh a đƣờng tròn lƣợng giác .......................................................................8
1.2.1. Sách giáo khoa Đại số lớp 10 cơ bản ............................................................ 8
1.2.2. Sách giáo khoa Đại số lớp 10 nâng cao .......................................................11
1.3. Vai trò của đƣờng tròn lƣợng giác .....................................................................13
1.3.1. Sách giáo khoa Đại số lớp 10 ......................................................................13
1.3.2. Sách giáo khoa Đại số và giải tích lớp 11 ...................................................18
1.4. Đƣờng trịn lƣợng giác trong các praxeologie ...................................................29
1.4.1. Sách giáo khoa cơ bản .................................................................................29
1.4.2. Sách giáo khoa nâng cao .............................................................................34
1.5. Kết luận chƣơng 1 .............................................................................................. 37
Chƣơng 2. NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM....................................................... 39
3.1. Câu hỏi phỏng vấn đối với giáo viên .................................................................39
3.2 Tình huống dạy học ............................................................................................. 40

3.2.1 Giới thiệu thực nghiệm .................................................................................40
3.2.2. Phân tích tiên nghiệm ..................................................................................44
3.2.3. Phân tích hậu nghiệm ..................................................................................53
3.3. Kết luận chƣơng 2 .............................................................................................. 67
KẾT LUẬN .............................................................................................................. 69
TÀI LIỆU THAM KHẢO
PHỤ LỤC


DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT
CB

: Cơ bản

ĐTLG : Đƣờng tròn lƣợng giác
HS

: Học sinh

KNV : Ki u nhiệm vụ
LG

: Lƣợng giác

NC

: Nâng cao

SGK : Sách giáo khoa

SGV : Sách giáo viên
TCTC : Tổ chức toán học
Tr

: Trang

THPT : Trung học phổ thông


DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 1. Bảng thống kê các praxeologie liên quan đến ĐTLG ......................................36
ảng 2.1. Nội dung và mục đích của các pha........................................................................... 41

Bảng 2.2. Một số kh khăn khi s dụng Geogebra. ......................................................54
Bảng 2.3. Thống kê chiến lƣợc các nhóm (phiếu 1.1)...................................................54
Bảng 2.4. Thống kê chiến lƣợc các nhóm (phiếu 2.1)...................................................58
Bảng 2.5. Thống kê chiến lƣợc các nhóm (phiếu 2.2)...................................................61
Bảng 2.6.Thống kê chiến lƣợc các nhóm (phiếu 2.3)....................................................62
Bảng 2.7. Thống kê chiến lƣợc các nhóm (phiếu 2.4)...................................................65


DANH MỤC CÁC HÌNH
Hình 2.1.Màn hình Geogebra cung cấp cho HS (phiếu 1.1) .........................................44
Hình 2.2. Hình minh họa chiến lƣợc SĐộ dài (phiếu 1.1) .................................................45
Hình 2.3. Hình minh họa chiến lƣợc SĐƣờng trịn (phiếu 1.1) ...........................................45
Hình 2.4. Hình minh họa chiến lƣợc STịnh tiến + vị tự (phiếu 1.1) ......................................46
Hình 2 5. Hình minh họa chiến lƣợc SĐƣờng trịn của lời giải 1(phiếu 2.1).......................47
Hình 2.6. Hình minh họa chiến lƣợc SĐƣờng trịn của lời giải 2 (phiếu 2.1)......................48
Hình 2.7. Hình minh họa chiến lƣợc SKhơng đổi (phiếu 2.1) ............................................48
Hình 2.8. Hình minh họa chiến lƣợc SĐƣờng trịn của lời giải 1 (phiếu 2.2)......................49

Hình 2.9. Hình minh họa chiến lƣợc SĐƣờng trịn của lời giải 2 (phiếu 2.2)......................50
Hình 2.10. Hình minh họa chiến lƣợc SVng góc (phiếu 2.3) ..........................................51
Hình 2.11. Hình minh họa chiến lƣợc SCảm giác (phiếu 2.3) ...........................................51
Hình 2.12. Lời giải của nhóm 1 (phiếu 1.1) ..................................................................55
Hình 2.13. Lời giải của nhóm 2 (phiếu 1.2) .................................................................57
Hình 2.14. Lời giải của nhóm 2 (phiếu 2.1) ..................................................................59
Hình 2.15. Lời giải của nhóm 3 (phiếu 2.2) ..................................................................62
Hình 2.16. Lời giải của nhóm 1 (phiếu 2.3) ..................................................................63
Hình 2.17. Lời giải của nhóm 4 (phiếu 2.4) ..................................................................65
Hình 2.18. Lời giải của nhóm 3 (phiếu 2.4) ..................................................................66


DANH MỤC CÁC SƠ ĐỒ
Sơ đồ 1.1. Vai trò của ĐTLG ở SGK CB. .....................................................................28
Sơ đồ 1.2. Vai trò của ĐTLG ở SGK NC......................................................................28


1

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
a. Tổng quan về các cơng trình nghiên cứu liên quan đến vấn đề nghiên cứu
và các câu hỏi ban đầu.
LG là một chủ đề Toán học đƣợc giảng dạy xuyên suốt trong chƣơng trình trung
học sơ sở, THPT ở các nƣớc. LG c rất nhiều ứng dụng trong Vật l , Thiên văn, Địa
lý… Ở Việt Nam, LG cũng đƣợc đƣa vào giảng dạy trong chƣơng trình Tốn phổ
thơng hiện hành theo thứ tự: LG trong tam giác đƣợc đƣa vào giảng dạy ở lớp 9, LG
trong đƣờng tròn đƣợc giảng dạy ở lớp 10 và LG trong hàm số đƣợc dạy ở lớp 11. Đ
thực hiện trình tự giảng dạy nhƣ trên, ĐTLG đã đƣợc đƣa vào trong các bƣớc chuy n
đ . Cụ th , trong luận văn thạc s của:



i Thị Hạnh (2007), Bước chuyển từ lượng giác trong tam giác đến lượng
giác trong đường trịn ở trường phổ thơng. Mục đích của luận văn đề cập
sự hình thành các kiến thức của LG ở quá khứ, các dạng bài toán đƣợc giải
bằng kiến thức LG, các TCTH đƣợc xây dựng trong các giáo trình đại học
và ở THPT, tìm đƣợc các quy tắc hợp đồng đƣợc hình thành giữa GV và
HS, những kh khăn mà HS gặp phải trong việc học LG, những công cụ
cần thiết cho hoạt động nghề nghiệp sau này của sinh viên khi đƣợc đào tạo
ở trƣờng cao đẳng sƣ phạm, đại học sƣ phạm. Luận văn đã tìm đƣợc một số
TCTH tham chiếu liên quan trong giáo trình cao đẳng, đại học và ở bậc phổ
thông, chỉ ra đƣợc sự chênh lệch giữa TCTH ở trƣờng phổ thông và ở đại
học. ĐTLG chỉ đƣợc luận văn đề cập ở các KNV T1 (tính), T2 (dấu) và phần
thực nghiệm không thấy sự xuất hiện của ĐTLG.

 Nguyễn Thị Cẩm Hằng (2007), Bước chuyển từ lượng giác trong đường
tròn đến lượng giác trong hàm số ở trường phổ thơng. Mục đích tổng qt
của luận văn là nghiên cứu bƣớc chuy n từ giai đoạn giảng dạy tri thức LG
“trong đƣờng tròn” sang giai đoạn giảng dạy tri thức LG “trong hàm số”,
đặc biệt xoay quanh tính kế thừa và gián đoạn của các bƣớc chuy n này.


2

Luận văn đã đƣa ra và ki m chứng đƣợc 2 giải thuyết nghiên cứu H1, H2.
ĐTLG đƣợc đề cập trong bƣớc chuy n từ đƣờng tròn sang hàm số thông
qua ĐTLG và ĐTLG chỉ xuất hiện trong hợp đồng R1 của giả thuyết nghiên
cứu H1:
Học sinh khơng có trách nhiệm kiểm tra tọa độ (x,y) của điểm nằm trên tia
cuối của góc

thỏa

mà chỉ định nghĩa giá trị lượng giác của góc

để tính.

Ngồi ra, chúng tơi cịn tham khảo thêm luận văn đề cập đến liên mơn Tốn – Lý
c liên quan đến ĐTLG của tác giả Nguyễn Duy Quang (2014), Hàm số lượng giác
trong dạy học Toán và Vật Lý ở trường phổ thơng. Mục đích của luận văn là tìm kiếm
những mối quan hệ liên mơn Tốn – Lý trong LG xuất hiện ở chƣơng trình THPT và
nghiên cứu sự ảnh hƣởng của mối quan hệ th chế đ lên mối quan hệ cá nhân của GV
và HS. Luận văn đề cập mối quan hệ giữa khái niệm ĐTLG và đƣờng tròn trong
chuy n động tròn đều trong phân mơn Tốn học và Vật L . Luận văn đã chỉ ra cách
đƣa vào ĐTLG của SGK, đặc trƣng của ĐTLG là tính định hƣớng. Tuy nhiên, luận
văn đề cập đến các bài toán thực tế liên quan đến đƣờng trịn n i chung và ĐTLG nói
riêng. Luận văn đã làm rõ quan niệm của GV với khái niệm hàm số LG và cho thấy
đƣợc quan đi m của GV đối với việc dạy học theo hình thức liên mơn Tốn - L . Luận
văn cũng chỉ ra những kh khăn của HS trong việc xây dựng mơ hình Toán học liên
quan đến hàm số LG đ giải quyết bài toán c các yếu tố Vật l . Nhƣ vậy, ĐTLG
trong luận văn đƣợc tác giả đề cập chỉ đ so sánh với khái niệm đƣờng tròn trong
chuy n động tròn đều và các KNV cũng chỉ xoay quanh các bài toán thực tế.
Tuy ĐTLG đƣợc đề cập đến trong ba luận văn trên nhƣng n chƣa phải là đối
tƣợng chính trong các nghiên cứu. Từ đ , chúng tôi đặt ra một số câu hỏi ban đầu nhƣ
sau:
1) ĐTLG đ ng vai trị gì trong dạy học LG ở trƣờng THPT? Trong giảng dạy,
GV đã làm gì đ đảm bảo vai trò này?
2) HS s dụng ĐTLG đ làm việc với các đối tƣợng khác của LG nhƣ thế nào?
Từ những lí do trên đã tạo cơ sở cho chúng tôi quan tâm đến “Nghiên cứu dạy
học đƣờng trịn lƣợng giác ở trƣờng trung học phổ thơng”.

3

b. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu vai trị của đƣờng trịn LG trong dạy học Tốn ở THPT.
2. Phạm vi lý thuyết tham chiếu
Đ tìm kiếm các yếu tố cho phép trả lời câu hỏi trên, chúng tôi đặt nghiên cứu
của mình trong khn khổ của lý thuyết didactic tốn, cụ th là lý thuyết nhân học
(quan hệ th chế và quan hệ cá nhân với một đối tƣợng tri thức, tổ chức tốn học) và lý
thuyết tình huống.
Thuyết nhân học:
 “Quan hệ th chế” đ nghiên cứu cách đƣa vào đối tƣợng ĐTLG trong th chế
dạy học LG ở THPT cũng nhƣ mối quan hệ, vai trò của n đối với việc hình thành các
tri thức LG khác.
 “Quan hệ cá nhân” xem xét hai đối tƣợng là GV và HS:


GV dạy học ĐTLG nhƣ thế nào?



HS s dụng ĐTLG nhƣ thế nào?

 “Tổ chức toán học”: nghiên cứu việc huy động ĐTLG nhƣ là công nghệ, l
thuyết trong kỹ thuật của các KNV đặt ra trong LG.
L thuyết tình huống: đ xây dựng tình huống dạy học th hiện rõ vai trò của
ĐTLG trong quan hệ cá nhân của HS.
3. Câu hỏi nghiên cứu
Câu hỏi 1:

a. ĐTLG đƣợc định ngh a nhƣ thế nào và những tri thức nào c liên quan đến
ĐTLG trong dạy học Toán ở THPT?
b. ĐTLG đƣợc nghiên cứu trong những KNV nào? N hiện diện trong những yếu
tố kỹ thuật, công nghệ nào trong các praxeologie?
Câu hỏi 2: Trong giảng dạy, GV làm nhƣ thế nào đ truyền tải các kiến thức liên
quan đến ĐTLG đến HS? Những ràng buộc của hệ thống dạy học tại Việt Nam và cách
dạy của GV dẫn HS đến cách hi u và s dụng ĐTLG nhƣ thế nào?
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Phƣơng pháp phân tích chƣơng trình, SGK, SGV: Thơng qua nghiên cứu
chƣơng trình THPT, chúng tôi sẽ làm rõ sự xuất hiện của ĐTLG. Những đặc trƣng của


4

khái niệm ĐTLG đ trả lời câu hỏi 1a. Nghiên cứu các hoạt động, bài tập đ trả lời cho
câu hỏi 1b.
- Phƣơng pháp phỏng vấn: đặt câu hỏi về các dạy học mà ở đ ĐTLG xuất hiện
nhƣ một công cụ đ trả lời một phần câu hỏi nghiên cứu 2.
- Phƣơng pháp thực nghiệm đ

trả lời một phần câu hỏi nghiên cứu 2.


5

Chƣơng 1. ĐƢỜNG TRÒN LƢỢNG GIÁC TRONG THỂ CHẾ
DẠY HỌC Ở VIỆT NAM
Mục tiêu của chƣơng này đ trả lời cho câu hỏi 1:
1a. ĐTLG đƣợc định ngh a nhƣ thế nào và những tri thức nào c liên quan đến
ĐTLG trong dạy học Toán ở THPT?

1b. ĐTLG đƣợc nghiên cứu trong những KNV nào? Nó hiện diện trong những
yếu tố kỹ thuật, công nghệ nào trong các KNV?
Đ đạt đƣợc mục tiêu ở trên, chúng tôi tiến hành phân tích SGK, SGV CB và NC
đại số ở lớp 10, 11.
1.1. Vị trí và yêu cầu dạy học ĐTLG trong SGK
Mục tiêu của mục 1.1 cho thấy đƣợc các yêu cầu về kiến thức, chuẩn kỹ năng của
từng bài đối với ĐTLG trong các SGK Đại Số.
1.1.1 Sách giáo khoa và sách giáo viên Đại số lớp 10 cơ bản
Trong SGK CB 10, ĐTLG đƣợc đề cập ở chƣơng 6 : “G c lƣợng giác và công
thức lƣợng giác”. Trong phần chuẩn kiến thức và kỹ năng, SGV CB 10 đề cập đến chủ
đề, mức độ cần đạt, ghi chú đối với các kiến thức về góc LG, cung LG, ĐTLG, các giá
trị LG và các cơng thức LG. Vì chúng tôi chủ yếu xem xét đến đối tƣợng ĐTLG nên
chúng tôi chỉ đề cập đến bài 1 và bài 2.
CHỦ ĐỀ

MỨC ĐỘ CẦN ĐẠT

GHI CHÚ

VI – GÓC LƢỢNG GIÁC VÀ CÔNG THỨC LƢỢNG GIÁC
1. G c và cung lƣợng giác

Kiến thức

Ví dụ: Đổi số đo các g c sau

Độ và Radian.

Biết hai đơn vị đo g c và đây sang rađian

G c và cung lƣợng giác.

cung tròn là độ và rađian

Số đo của góc và cung Hi u đƣợc khái niệm đƣờng Ví dụ: Đổi số đo các cung
lƣợng giác.

trịn lƣợng giác ; góc và cung sau đây ra độ, phút, giây:

Đƣờng tròn lƣợng giác.

lƣợng giác ; số đo của góc và
cung lƣợng giác.
Kỹ năng
- Biết đổi đơn vị góc từ độ

Ví dụ: Một đƣờng trịn có
bán kính 10 cm. Tìm độ dài


6
sang rađian và ngƣợc lại.

của các cung trên đƣờng tròn

- Tính đƣợc độ dài cung trịn có số đo:
khi biết số đo của cung.

a)

b)

- Biết cách xác định đi m Ví dụ: Trên đƣờng trịn
cuối của một cung lƣợng giác lƣợng giác, hãy xác định
và tia cuối của một g c lƣợng đi m cuối của các cung có số
giác hay một học g c lƣợng đo:
giác trên đƣờng tròn lƣợng
giác

[6, tr.25]
Thông qua chuẩn kiến thức, kỹ năng đƣợc SGV CB 10 đề cập, chúng tôi nhận
thấy rằng khái niệm ĐTLG đƣợc SGK s dụng trong việc xây dựng một số nội dung
liên quan đến các kiến thức LG.
1.1.2. Sách giáo khoa và sách giáo viên Đại số lớp 10 nâng cao
ĐTLG đƣợc đề cập ở chƣơng 6: “G c lƣợng giác và công thức lƣợng giác” trong
bài số 2 : “Giá trị lƣợng giác của g c (cung) lƣợng giác”. Ở chƣơng này, SGV NC 10
c quy định về chuẩn kiến thức, kỹ năng. Tuy nhiên, ĐTLG chỉ xuất hiện trong phần
về kỹ năng mà SGV NC 10 yêu cầu.
Về kỹ năng
- Biết cách xác định điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn số thực , từ đó
xác định

,

,

,

(dấu, ý nghĩa hình học, giá trị bằng số và

mối liên hệ giữa chúng).

[12, tr.241]
1.1.3. Sách giáo khoa và sách giáo viên Đại số và giải tích lớp 11 cơ bản
Trong SGK CB 11, ĐTLG đƣợc đề cập ở chƣơng 1: “Hàm số lƣợng giác và
phƣơng trình lƣợng giác”.
Trong chƣơng 1, SGK trình bày các vấn đề về hàm số LG, giải phƣơng trình LG
CB, một số phƣơng trình LG thƣờng gặp.
ĐTLG đƣợc đề cập trong 2 bài:
Bài 1: “Hàm số lƣợng giác. SGK s dụng ĐTLG đ xét sự biến thiên của hàm
số sin”.


7

Bài 2 : “Phƣơng trình lƣợng giác cơ bản”. SGK s dụng ĐTLG đ đƣa ra công
thức nghiệm cho phƣơng trình LG CB (

và

).

1.1.4. Sách giáo khoa và sách giáo viên Đại số và giải tích lớp 11 nâng cao
Trong SGK NC 11, ĐTLG đƣợc đề cập ở chƣơng 1: “Hàm số lƣợng giác và
phƣơng trình lƣợng giác”. Trong chƣơng 1, SGK trình bày các vấn đề về hàm số LG,
giải phƣơng trình LG CB, một số phƣơng trình LG thƣờng gặp. ĐTLG đƣợc đề cập
trong 2 bài:
Bài 1 : Các hàm số lƣợng giác.
Bài 2 : Phƣơng trình lƣợng giác cơ bản.
Về vai trò của ĐTLG, SGV c đề cập trong phần phƣơng pháp nhƣ sau:

4. Những điểm mới về phương pháp
- Tận dụng tối đa phương pháp sử dụng đường tròn lượng giác một cách trực
quan để khảo sát sự biến thiên của các hàm số lượng giác, giải các phương trình
lượng giác cơ bản.

[13, tr.10]
Qua đ , chúng tôi thấy rằng ĐTLG là công cụ giúp khảo sát các tính chất của
hàm số LG.
Ở bài số 1, trong phần kiến thức SGV NC 11 yêu cầu phải dựa vào ĐTLG và các
yếu tố liên quan đến ĐTLG đ khảo sát sự biến thiên của các hàm số lƣợng giác. Tuy
nhiên, ở phần kỹ năng thì khơng c một yêu cầu đ vận dụng ĐTLG.
 Về kiến thức
Giúp học sinh
- Hiểu rằng trong định nghĩa các hàm số lượng giác y  sin x , y  cos x ,

y  tan x , y  cot x , x là số thực và là số đo radian (khơng phải số đo độ) của
góc (cung) lượng giác);
- Hiểu tính chất chẵn – lẻ, tính chất tuần hồn của các hàm số lượng giác; tập
xác định và tập giá trị của các hàm số đó.
- Biết dựa vào trục sin, trục côsin, trục tang, trục côtang gắn với đường tròn
lượng giác để khảo sát sự biến thiên của các hàm số tương ứng rồi thể hiện sự
biến thiên đó trên đồ thị.
 Về kỹ năng


8
Giúp học sinh nhận biết hình dạng và vẽ đồ thị của các hàm số lượng giác cơ bản
(thể hiện tính tuần hồn, tính chẵn – lẻ, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, giao với
trục hoành,…)

[13, tr.17]
Ở bài số 2, trong phần kiến thức SGV NC 11, yêu cầu phải dựa vào ĐTLG và các
yếu tố liên quan đến ĐTLG đ xây dựng công thức nghiệm của phƣơng trình LG CB.
Với cơng thức đã đƣợc xây dựng u cầu phải s dụng thành thạo công thức. Ở phần
kỹ năng, HS biết cách bi u diễn nghiệm của phƣơng trình LG CB trên ĐTLG; kỹ năng
này đã đƣợc xây dựng ở lớp 10 trong phần lý thuyết.
 Về kiến thức
Giúp học sinh
- Hiểu phương pháp xây dựng công thức nghiệm của các phương trình lượng giác
cơ bản (sử dụng đường trịn lượng giác, các trục sin, cơsin, tang, cơtang và tính
tuần hồn của các hàm số lượng giác)
- Nắm vững cơng thức nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản
 Về kỹ năng
Giúp học sinh
- Biết vận dụng thành thạo cơng thức nghiệm của các phương trình lượng giác cơ
bản ;
- Biết cách biểu diễn nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản trên đường trịn
lượng giác

[13, tr.31]
1.2. Định nghĩa đƣờng tròn lƣợng giác
Mục tiêu của mục 1.2 sẽ làm rõ định ngh a và các yếu tố gắn với ĐTLG.
1.2.1. Sách giáo khoa Đại số lớp 10 cơ bản
ĐTLG đƣợc SGK CB 10 định ngh a nhƣ sau:
Trong Oxy, vẽ đường trịn định hướng tâm O có bán kính R=1. Đường trịn
này cắt trục tọa độ tại 4 điểm A(1;0) B(-1;0) B(0;1) B’(0;-1). Ta lấy A(1;0) làm
điểm gốc của đường trịn đó. Đường trịn xác định như trên gọi là đường tròn
lượng giác.

[4, tr.135]

9

Nhƣ vậy, chúng tôi thấy rằng ĐTLG đặc trƣng bởi các yếu tố sau:
 Đƣờng tròn định hƣớng.
SGK CB 10 đƣa hình dung ban đầu về đƣờng trịn định hƣớng bằng cách dùng
trục số thực cuốn quanh một đƣờng tròn.

[4, tr.133]
Đồng thời SGK CB 10 đƣa ra hai nhận xét nhƣ sau:
a) Với cách đặt tương ứng này hai điểm khác nhau trên trục số có thể ứng
với cùng một điểm trên đường tròn. Chẳng hạn điểm 1 trên trục số ứng với điểm
, nhưng khi cuốn quanh đường tròn một vịng nữa thì có một điểm khác trên
trục số cũng ứng với điểm

.

b) Nếu ta cuốn tia At theo đường trịn như trên hình 39 thì mỗi số thực
dương t ứng với một điểm M trên đường tròn. Khi t tăng dần thì điểm M chuyển
động trên đường trịn theo chiều ngược chiều quay của kim đồng hồ. Tương tự,
nếu cuốn tia At’ theo đường trịn thì mỗi số thực âm t ứng với một điểm M trên
đường tròn và khi t giảm dần thì điểm M chuyển động trên đường tròn theo chiều
quay của kim đồng hồ.

[4, tr.133]
Từ đ SGK CB 10 đƣa ra định ngh a về đƣờng tròn định hƣớng:
Đường tròn định hướng là một đường trịn trên đó ta đã chọn một chiều
chuyển động gọi là chiều dương, chiều ngược lại là chiều âm. Ta quy ước chọn
chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ làm chiều dương.

[4, tr.134]


10

Cung LG đƣợc SGK CB 10 đƣa ra ngay sau đ .
Trên đường tròn định hướng cho hai điểm A và B. Một điểm M di động trên
đường trịn ln theo một chiều (âm hoặc dương) từ A đến B tạo nên một cung
lượng giác có điểm đầu A điểm cuối B.

[4, tr.134]
Nhƣ vậy, cung LG đƣợc định ngh a dựa vào đƣờng trịn định hƣớng. Ngồi ra,
SGK CB 10 cịn lƣu

về tính “xếp chồng đƣờng trịn” lên nhau cua cung LG:

Ta có thể hình dung một điểm M di động trên đường tròn từ A đến B theo chiều
ngược với chiều quay của kim đồng hồ, nó lần lượt tạo nên các cung tơ đậm trên
hình 41. Nếu dừng lại ngay khi gặp B lần đầu, nó tạo nên cung tơ đậm trên hình
41a), nếu nó dừng lại sau khi đi một vòng rồi đi tiếp gặp B lần thứ hai thì nó tạo
nên cung tơ đậm hình 41b)…
Khi M di động theo chiều ngược lại, nó tạo nên cung tơ đậm trên hình 41d) nếu
nó dừng lại khi gặp B lần đầu…

[4, tr.134]
 Bán kính bằng 1
Việc chọn bán kính bằng 1 đã đƣợc SGK CB 10 đƣa ra ở phần hoạt động ban đầu
liên quan đến ĐTLG và trục số. Với cách chọn bán kính của đƣờng trịn là 1 thì SGK
CB 10 đã đƣa ra định ngh a về đơn vị đo g c là rad nhƣ sau:

Trên hình 39 ta thấy độ dài cung nhỏ ⏜ bằng 1 đơn vị, tức là bằng độ dài
bán kính. Ta nói số đo của cung ⏜ (hay số đo của góc ở tâm ̂ ) bằng 1
rađian (viết tắt là 1 rad). Tổng quát
Trên đường tròn tùy ý, cung có độ dài bằng bán kính được gọi là cung có số
đo 1 rad

[4, tr.136]


11

Ngay sau đ đ đƣa ra công thức chuy n đổi từ độ sang rad (hay ngƣợc lại), SGK
CB 10 đã s dụng ĐTLG đ đƣa ra công thức:
Ta biết độ dài cung nửa đường trịn là
cung ⏜ (hay góc bẹt ̂ ) là
viết

, nên trong hình 43 số đo của

rad (vì R=1). Vì góc bẹt có số đo là 180 nên ta

rad.
Suy ra

rad và

(

)

[4, tr.136]
 Đi m gốc A(1;0)
Thông qua SGK CB 10 chúng tôi nhận thấy rằng SGK CB 10 luôn chọn đi m
gốc của ĐTLG tại giao đi m của ĐTLG với trục hoành. SGV đã giải thích điều này
nhƣ sau:
Thơng thường người ta định nghĩa đường trịn lượng giác là đường trịn
định hướng có bán kính R=1 và nhận một điểm A trên đường tròn làm điểm gốc.
Tuy nhiên để tiện sử dụng, SGK coi đường tròn lượng giác đã được đặt mặt
phẳng tọa độ Oxy tâm tại O và trên đó đã chọn một điểm A(1;0) làm điểm gốc của
đường tròn lượng giác và là điểm đầu của các cung lượng giác.

[6, tr.161]
1.2.2. Sách giáo khoa Đại số lớp 10 nâng cao
SGK NC 10 định ngh a ĐTLG nhƣ sau:
Đường tròn lượng giác là một đường trịn đơn vị (bán kính bằng 1), định
hướng, trên đó có một điểm A gọi là điểm gốc.

[10, tr.192]
Nhƣ vậy, ĐTLG trong SGK NC 10 đặc trƣng bởi các yếu tố sau:
 Đƣờng tròn đơn vị đƣợc SGK NC 10 định ngh a là đƣờng trịn có bán kính
bằng 1.
Ngoài ra, ở bài số 1 SGK NC 10 c đƣa ra cơng thức tính độ dài cung trịn cho
đƣờng trịn có bán kính là R:
Vậy cung trịn bán kính R có số đo
𝑙

𝛼𝑅

rađian thì có độ dài

[10, tr.185]


12

Và sau đ SGK NC 10 c đƣa ra một chú

nhƣ sau:

Và khi R=1 (tức là trên đường tròn đơn vị) thì độ dài cung trịn bằng số đo
Rađian của nó.

[10, tr.185]
 Đƣờng trịn định hƣớng đƣợc SGK NC 10 đƣa vào bài số 1 khi định ngh a g c
và cung LG
Vẽ một đường trịn tâm O bán kính R. Nếu tia Om cắt đường trịn tại M thì
việc cho tia OM quay quanh O cũng có nghĩa là cho điểm M chạy trên đường trịn
đó. Chiều quay của tia OM cho ta chiều di động của điểm M trên đường tròn :
chiều dương là chiều ngược chiều quay của kim đồng hồ và chiều âm là chiều
quay của kim đồng hồ như hình 6.6. Đường trịn với chiều di động đã được chọn
như thế gọi là đường tròn định hướng.

[10, tr.138]
 Đi m gốc A
Việc lựa chọn đi m gốc A, SGV NC 10 đã giải thích nhƣ sau:
Ð

Một số SGK coi cung lượng giác AM trên đường trịn lượng giác gốc A có
số đo  (cũng như góc lượng giác (

) có số đo  ) là cung lượng giác,
Ð

góc lượng giác “chuẩn tắc” có số đo  (so với cung lượng giác tùy ý UV (góc
lượng giác tùy ý) có số đo 

[12, tr.152]
Nhƣ vậy đi m gốc A trên ĐTLG đƣợc chọn đ có th bi u diễn một cung LG
(góc LG) t y sao cho chúng c c ng đi m đầu.


13

Với định ngh a đƣợc đƣa ra, SGK NC 10 đã kết hợp hệ trục tọa độ Oxy với
ĐTLG:
c) Hệ tọa độ vng góc gắn với đường trịn lượng giác
Cho đường trịn lượng giác tâm O, điểm góc A. Xét hệ tọa độ vng góc Oxy
sao cho tia Ox trùng với tia OA, góc lượng giác (Ox, Oy) là góc
(h.6.11). Hệ tọa độ đó được gọi là hệ tọa độ vng góc gắn với đường trịn lượng
giác đã cho.

[10, tr.193]
Việc gắn hai đối tƣợng này lại với nhau không đƣợc SGK và SGV NC 10 giải
thích. Theo chúng tơi việc gắn hai đối tƣợng này có th đƣợc d ng đ giải quyết các
vấn đề sau đ nhƣ giá trị LG của một cung, dấu của các giá trị LG, chứng minh cơng
thức cộng.
1.3. Vai trị của đƣờng trịn lƣợng giác
1.3.1. Sách giáo khoa Đại số lớp 10
1.3.1.1. Sách giáo khoa Đại số lớp 10 cơ bản
 Định nghĩa các giá trị sin, cosin.

SGK CB 10 s dụng ĐTLG đ định ngh a giá trị sin, cosin của góc LG:
Với cung LG có số đo , SGK CB 10 xác định đi m cuối M bi u diễn số đo cung
LG đã cho. Gọi H, K là hình chiếu của đi m M lên trục Ox và trục Oy. Khi đ độ dài
đại số của OH và độ dài đại số của OK lần lƣợt là giá trị

và

.

[4, tr.141]
Nhƣ vậy ĐTLG và hệ trục tọa độ vng góc Oxy gắn với nhau đ có th định
ngh a giá trị LG sin và cos. Nếu ĐTLG không gắn với hệ trục tọa độ vng góc Oxy


14

thì các giá trị LG sin và cos khơng th định ngh a đƣợc với góc LG bất kì.
Hoạt động 2 yêu cầu học sinh vận dụng trực tiếp định nghĩa để tính giá trị
lượng giác của một số cung cụ thể.

[6, tr.164]
Điều này cho thấy SGK CB 10 xem định ngh a giá trị LG của một cung là cần
thiết đối với HS. Tuy nhiên, trong phần bài tập khơng có bài tập nào đ HS vận dụng
định ngh a này. Sau đ , SGK CB 10 còn đƣa thêm bảng giá trị LG của các cung đặc
biệt.

√

0
1

0
Không xác định

√

√
√

√

1

√

0
√

1
1

Khơng xác định
0

√

[4, tr.164]
Nhƣ vậy, việc tính giá trị sin, cosin của một cung đều dựa vào bảng giá trị mà
SGK CB 10 đã đƣa ra và các số đo trên đều là những số đo đặc biệt.
 Dấu của các giá trị lƣợng giác
Việc xác định dấu của các giá trị LG của một cung dựa vào vị trí đi m cuối M

Ð

của cung AM trên ĐTLG. SGK chỉ đƣa ra một chú ý cho HS:
6) Dấu của các giá trị lƣợng giác của góc
Ð

phụ thuộc vào vị trí đi m cuối của cung AM  
trên đƣờng tròn lƣợng giác (h.49).

[4, tr.142]


15

Và sau đ SGK CB 10 đƣa ra bảng xác định dấu của các giá trị LG
Góc phần tƣ

I

II

III

IV

+

+

-

-

+

-

-

+

+

-

+

-

+

-

+

-

Giá trị lƣợng giác

[4, tr.143]

Nhƣ vậy trong phần xác định dấu của các giá trị LG của một cung SGK CB 10
tập trung cho HS ghi nhớ bảng xét dấu đ có th xác định dấu của các giá trị lƣợng
giác khi biết đi m cuối của cung LG thuộc cung phần tƣ nào. Tuy nhiên, SGV CB 10
lại chú trọng cho HS thấy đƣợc dấu của các giá trị LG:
Để chuẩn bị cho việc xác định dấu của các giá trị lượng giác cần làm cho
Ð

học sinh thấy điểm cuối M của cung AM nằm trong các phần tư khác nhau của
đường trịn lượng giác thì dấu của hồnh độ và tung độ của điểm M tuân theo
những quy luật xác định. Từ đó suy ra dấu của các giá trị lượng giác khi điểm
cuối của cung

nằm ở các cung phần tư khác nhau.

[6, tr.164]
 Sử dụng ĐTLG giải thích ý nghĩa hình học của giá trị tang, cotang
Giá trị tan và cotan cũng đƣợc định ngh a thông qua ĐTLG. Tuy nhiên, SGK CB
10 không n i rõ ràng đây là định ngh a mà chỉ là
ở phần định ngh a giá trị LG của cung

ngh a hình học của tan và cotan vì

SGK CB 10 đã định ngh a giá trị

và

.
đƣợc xây dựng thông qua tiếp tuyến của ĐTLG tại đi m gốc A

Giá trị của

Ð

và tia OM (M là đi m thuộc ĐTLG sao cho số đo AM   ) cụ th nhƣ sau:
Từ A vẽ tiếp tuyến t’At với đường tròn
lượng giác. Ta coi tiếp tuyến này là một trục số
bằng cách chọn gốc tại A và vectơ đơn vị

⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
Ð

Cho cung lượng giác AM có số đo là