Sự nối khớp giữa dạy học khái niệm giới hạn ở trường trung học phổ thông và ở trường đại học sư phạm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Bùi Thành Vinh

SỰ NỐI KHỚP GIỮA DẠY HỌC KHÁI
NIỆM GIỚI HẠN Ở TRƯỜNG TRUNG
HỌC PHỔ THÔNG VÀ Ở TRƯỜNG
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013
1


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Bùi Thành Vinh

SỰ NỐI KHỚP GIỮA DẠY HỌC KHÁI
NIỆM GIỚI HẠN Ở TRƯỜNG TRUNG
HỌC PHỔ THÔNG VÀ Ở TRƯỜNG
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học mơn Tốn
Mã số
: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS. LÊ VĂN TIẾN

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013
2


LỜI CẢM ƠN
Trước tiên, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS. Lê Văn Tiến, người đã
nhiệt tình hướng dẫn và giúp đỡ tơi hồn thành luận văn này.
Tơi xin chân thành cảm ơn đến q thầy cơ: PGS.TS. Lê Thị Hồi Châu, TS. Lê Thái
Bảo Thiên Trung, TS. Nguyễn Thị Nga, TS. Vũ Như Thư Hương, TS. Trần Lương Cơng
Khanh về những bài giảng Didactic Tốn sinh động và đầy ý nghĩa.
Tôi xin chân thành cảm ơn Phịng Sau Đại Học, Khoa Tốn - Trường Đại Học Sư
Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã tạo những điều kiện học tập tốt nhất cho chúng tôi.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn:
Khoa Toán – Trường đại học Tây Nguyên, tập thể lớp Sư Phạm Toán K38 Trường Đại
Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã giúp đỡ tôi tiến hành thực nghiệm.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các bạn lớp Didactic Tốn K22 vì những sẻ chia trong
thời gian suốt thời gian học tập.
Cuối cùng, tơi hết lịng cảm ơn gia đình đã quan tâm và động viên suốt q trình học
tập của tơi.
Bùi Thành Vinh

1


MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................. 1
MỤC LỤC .................................................................................................................... 2
PHỤ LỤCDANH MỤC VIẾT TẮT ........................................................................... 4
MỞ ĐẦU....................................................................................................................... 5
1. Ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát........................................................................ 5
2. Tổng quan về lịch sử nghiên cứu vấn đề....................................................................... 5
3. Mục đích nghiên cứu, phạm vi lý thuyết tham chiếu và phương pháp nghiên cứu . 7
4. Tổng kết các kết quả nghiên cứu về những đặc trưng khoa học luận của khái niệm
giới hạn................................................................................................................................. 8
5. Tổ chức của luận văn ................................................................................................... 12

CHƯƠNG 1: NGHIÊN CỨU SO SÁNH MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI KHÁI
NIỆM GIỚI HẠN Ở BẬC THPT VÀ Ở CÁC LỚP SƯ PHẠM TOÁN TRƯỜNG
ĐHSP........................................................................................................................... 13
1.1. Quan hệ thể chế với khái niệm giới hạn trong dạy học toán ở các lớp sư phạm
toán trường đại học sư phạm ........................................................................................... 14
1.1.1. Tiến trình đưa vào khái niệm giới hạn, cơ chế và hình thức thể hiện của khái niệm
giới hạn ............................................................................................................................ 14
1.1.2. Tổ chức toán học liên quan tới khái niệm giới hạn ............................................... 20
1.1.3. Quan điểm tiếp cận ................................................................................................ 31
1.1.4. Các đối tượng liên quan tới khái niệm giới hạn .................................................... 35
1.2. Quan hệ thể chế với khái niệm giới hạn trong dạy học toán ở trường trung học
phổ thơng ........................................................................................................................... 37
1.2.1. Tiến trình, cơ chế và hình thức thể hiện ................................................................ 37
1.2.2. Tổ chức toán học liên quan tới khái niệm giới hạn trong SGK.C11 và SGK.N1140
1.2.3. Quan điểm tiếp cận khái niệm giới hạn................................................................. 52
1.2.4. Đối tượng liên quan tới khái niệm giới hạn .......................................................... 54
1.3. Sự liên tục và ngắt quãng giữa THPT và ĐHSP về khái niệm giới hạn ............... 55
1.3.1. Tiến trình đưa vào khái niệm giới hạn, cơ chế và hình thức thể hiện của khái niệm
giới hạn ............................................................................................................................ 55

1.3.2. Các đối tượng liên quan tới khái niệm giới hạn .................................................... 57
1.3.3. Tổ chức toán học ................................................................................................... 59
1.3.4. Quan điểm tiếp cận khái niệm giới hạn................................................................. 66

CHƯƠNG 2 : THỰC NGHIỆM .............................................................................. 71
2.1. Mục đích thực nghiệm ............................................................................................... 71
2


2.2. Thực nghiệm trên giảng viên .................................................................................... 71
2.2.1. Hình thức thực nghiệm .......................................................................................... 71
2.2.2. Phân tích bảng câu hỏi thực nghiệm giảng viên.................................................... 71
2.2.3. Phân tích các trả lời của giảng viên ....................................................................... 74
2.3. Thực nghiệm đối với sinh viên .................................................................................. 78
2.3.1. Hình thức thực nghiệm .......................................................................................... 78
2.3.2. Phân tích tiên nghiệm (a priori) các bài toán thực nghiệm ................................... 78
2.3.3. Phân tích hậu nghiệm ............................................................................................ 82

KẾT LUẬN ................................................................................................................ 91
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 93
PHỤ LỤC ................................................................................................................... 95

3


DANH MỤC VIẾT TẮT

SGK.C11

: Sách giáo khoa chương trình chuẩn lớp 11 hiện hành

SGK.N11

: Sách giáo khoa chương trình nâng cao lớp 11 hiện hành

SGK.C12

: Sách giáo khoa chương trình chuẩn lớp 12 hiện hành

SGK.N12

: Sách giáo khoa chương trình nâng cao lớp 12 hiện hành

SBT.C11

: Sách bài tập chương trình chuẩn lớp 11 hiện hành

SBT.N11

: Sách bài tập chương trình nâng cao lớp 11 hiện hành

SBT.C12

: Sách bài tập chương trình chuẩn lớp 12 hiện hành

SBT.N12

: Sách bài tập chương trình nâng cao lớp 12 hiện hành

SGV.C11

: Sách giáo viên chương trình chuẩn lớp 11 hiện hành

SGV.N11

: Sách giáo viên chương trình nâng cao lớp 11 hiện hành

SGV.C12

: Sách giáo viên chương trình chuẩn lớp 12 hiện hành

SGV.N12

: Sách giáo viên chương trình nâng cao lớp 12 hiện hành

GTGT

: Giáo trình giải tích hàm một biến

THCC

: Tốn học cao cấp tập 2

SGV

: Sách giáo viên

ĐHSP

: Đại học sư phạm

THPT

: Trung học phổ thông

KNV :

kiểu nhiệm vụ

4


MỞ ĐẦU
1. Ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát
Một trong những mục tiêu của dạy học ở bậc phổ thông là chuẩn bị những kiến thức
nền tảng để học sinh có thể tiếp tục học tập tốt ở các bậc học sau (đại học, cao đẳng, trung
cấp). Như vậy, những kiến thức giải tích mà học sinh được truyền thụ ở trường trung học
phổ thông là yếu tố cơ sở cho việc tiếp cận giải tích ở trường đại học.
Thế nhưng, hiện nay, ở trung học phổ thông người ta nhấn mạnh trên tiếp cận trực
giác các khái niệm của giải tích nói chung và khái niệm giới hạn nói riêng. Ngược lại, ở Đại
học đó là một tiếp cận thiên về hình thức hóa với tính trừu tượng cao.
Từ những ghi nhận trên chúng tôi đưa ra những câu hỏi xuất phát sau:
- Có sự liên tục và ngắt quãng nào về dạy học khái niệm giới hạn ở bậc THPT và
bậc đại học.
- Giảng viên đại học có ý thức về sự liên tục và ngắt qng này khơng?
- Sự liên tục và ngắt qng đó tạo điều kiện và ràng buộc gì cho dạy học khái niệm
giới hạn ở bậc đại học? Ảnh hưởng của chúng trên sinh viên?

2. Tổng quan về lịch sử nghiên cứu vấn đề
Tổng hợp các cơng trình nghiên cứu đã có trong nước về khái niệm giới hạn, chúng

tơi có thể nêu ra các cơng trình nghiên cứu nổi bật sau:
- Luận văn thạc sĩ của tác giả Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004): Nghiên cứu về khái
niệm giới hạn hàm số trong dạy - học toán: Đồ án Didactic trong mơi trường máy tính bỏ
túi. Luận văn đã đạt được một số kết quả nổi bật sau: Tổng hợp một số kết quả nghiên cứu
đã có về khái niệm giới hạn nhằm làm rõ chướng ngại khoa học luận, quan niệm khoa học
luận về khái niệm giới hạn; Phân tích các chương trình và các sách giáo khoa của hai giai
đoạn “cải cách giáo dục” (từ những năm 1990) và giai đoạn “chỉnh lý và hợp nhất” (kể từ
năm 2000) để xác định các lựa chọn thể chế và các yếu tố của hợp đồng didactique; Nghiên
cứu thực nghiệm đã cho thấy rằng học sinh quan niệm khái niệm giới hạn chỉ trên quan
điểm đại số; Phân tích sự có mặt của của các yếu tố tính tốn và tin học trong các chương
trình Tốn ở THCS và THPT Việt Nam; Xây dựng đồ án với mục tiêu giới thiệu quan điểm
xấp xỉ của khái niệm giới hạn trong phạm vi số học với mơi trường máy tính bỏ túi.
- Luận văn thạc sĩ của tác giả Nguyễn Thành Long (2004): Nghiên cứu Didactic về
khái niệm giới hạn trong dạy học tốn ở trường trung học phổ thơng. Các kết quả chính của
5


luận văn: Tổng hợp và phân tích kết quả của một số cơng trình nghiên cứu về khoa học luận
nhằm làm rõ các đặc trưng khoa học luận của khái niệm giới hạn; Phân tích chương trình,
sách giáo khoa của giai đoạn “chỉnh lý và hợp nhất” (năm 2000) nhằm làm rõ mối quan hệ
thể chế với khái niệm giới hạn trong dạy học toán ở trường trung học phổ thơng; Dựa trên
vấn đề tính diện tích hình phẳng, tác giả đã xây dựng nên tình huống cho phép làm nảy sinh
một số yếu tố cấu thành nên nghĩa của khái niệm giới hạn từ quan điểm xấp xỉ.
- Luận văn thạc sĩ của tác giả Lê Thành Đạt ( 2010): Dạy học khái niệm giới hạn
hữu hạn của hàm số ở trường trung học phổ thông. Một số kết quả chính trong luận văn này:
Tổng hợp những đặc trưng khoa học luận của khái niệm giới hạn trong lịch sử, ghi nhận một
số kết quả chính trong việc phân tích mối quan hệ thể chế với khái niệm giới hạn của hàm
số trong các cơng trình nghiên cứu trước đây; Phân tích và đối chiếu giữa một bộ sách giáo
khoa Mỹ và bộ sách giáo khoa toán 11 ban cơ bản của Việt Nam về cách xây dựng và trình
bày tri thức giới hạn hữu hạn của hàm số; Phân tích, đánh giá tổ chức didactic được giáo

viên thiết lập trong giảng dạy giới hạn hữu hạn của hàm số ở trường phổ thông Việt Nam.
Các kết luận mà tác giả rút ra sau quá trình nghiên cứu: Giáo viên chỉ tập trung vào việc xây
dựng và củng cố kỹ thuật đại số trong việc tính giới hạn của hàm số. Hầu như giáo viên
không chú trọng đến các kiểu nhiệm vụ và kỹ thuật liên quan đến việc hình thành quan điểm
xấp xỉ của khái niệm giới hạn hàm số. Đặc biệt là không chú trọng đến vấn đề thực nghiệm
số đối với việc hình thành quan điểm xấp xỉ của khái niệm giới hạn hàm số ở học sinh ; Đặt
hướng nghiên cứu mở ra từ luận văn: xây dựng một đồ án didactic dạy học giới hạn hữu hạn
của hàm số nhằm hình thành quan điểm xấp xỉ của khái niệm giới hạn ở học sinh phổ thơng
Việt Nam mà trong đó bao gồm cả thực nghiệm số và đồ thị của hàm số.
- Luận văn thạc sĩ của tác giả Nguyễn Thị Kim Cúc (2010): Dạy học khái niệm giới
hạn vô hạn của hàm số ở trường trung học phổ thông. Một số kết quả chính trong luận văn :
Tổng hợp các kết quả nghiên cứu đã có trên phương diện khoa học luận và phương diện thể
chế dạy học trong chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000 ; Phân tích thể chế dạy học hiện
hành, làm rõ sự tiến triển của khái niệm giới hạn vô cực của hàm số trong các SGKHH so
với SGKCL hợp nhất và SGK Mỹ ; Sau khi thực nghiệm trên học sinh, tác giả đưa ra các
kết luận sau: Định nghĩa giới hạn vô cực của hàm số không “sống” được trong thể chế dạy
học hiện hành. Quan điểm đại số chiếm ưu thế hơn quan điểm xấp xỉ của giới hạn. Trong
học sinh tồn tại quy tắc hành động như sau: lim f ( x) = − lim f ( x) . Mối liên hệ giữa giới
x→a+

x→a−

hạn hàm số và đồ thị của nó mờ nhạt hơn mối liên hệ giữa giới hạn hàm số và hệ thống biểu
6


đạt đại số của hàm số đó. Máy tính bỏ túi có vai trị mờ nhạt trong việc dạy học khái niệm
giới hạn của hàm số ; Đặt hướng nghiên cứu mở ra từ luận văn: Xây dựng đồ án didactic
dạy học khái niệm giới hạn của hàm số trong mơi trường tích hợp cả phạm vi số và đồ thị.
Nghiên cứu về mức độ quan tâm của giáo viên đến sự tiến triển của SGKHH so với

SGKCLHN.
- Luận án tiến sĩ của tác giả Lê Thái Bảo Thiên Trung (2007): Nghiên cứu didactic
mối liên hệ giữa khái niệm giới hạn và sự thập phân hoá các số thực trong mơi trường máy
tính bỏ túi. Các kết quả chính của luận án: Nghiên cứu khoa học luận khái niệm giới hạn và
khái niệm số thực, từ đó làm rõ mối quan hệ biện chứng giữa khái niệm số thực và khái
niệm giới hạn ; Vai trò của các dạng viết thập phân trong sự xây dựng số thực; Các tổ chức
toán học quy chiếu đề cập hoặc trực tiếp hoặc gián tiếp đến mối liên hệ qua lại giữa khái
niệm giới hạn, khái niệm số thực và sự thập phân hóa các số thực; Các quan điểm khoa học
luận của khái niệm giới hạn; Mối liên hệ giữa giới hạn, số và sự thập phân hóa trong giảng
dạy Tốn ở phổ thơng Việt Nam.
Qua sự tổng hợp các cơng trình nghiên cứu trên, chúng tôi nhận thấy rằng, ở Việt
Nam, chưa có cơng trình nghiên cứu nào về dạy học khái niệm giới hạn ở bậc đại học, đặc
biệt là sự liên tục và ngắt quãng về dạy học khái niệm giới hạn ở trường trung học phổ
thông và dạy học khái niệm giới hạn đối với các lớp sư phạm tốn ở trường đại học sư
phạm. Do đó, việc tìm câu trả lời cho những câu hỏi xuất phát nêu trên trở nên thích đáng và
cần thiết đối với chúng tơi.

3. Mục đích nghiên cứu, phạm vi lý thuyết tham chiếu và phương pháp nghiên
cứu
Mục đích của luận văn là làm rõ sự liên tục và ngắt quãng trong tổ chức kiến thức
gắn liền với khái niệm giới hạn cần giảng dạy ở Trường THPT và ở các lớp sư phạm toán
trường đại học sư phạm, cũng như ảnh hưởng của sự liên tục và ngắt quãng này trên đối
tượng giảng viên đại học và sinh viên các lớp sư phạm toán.
Nghiên cứu sẽ đươc đặt trong phạm vi lý thuyết của Didactic Tốn.
Trong phạm vi lí thuyết này, theo chúng tôi, để đạt được mục tiêu nghiên cứu nêu
trên, cần thiết phải làm rõ sự tương đồng và khác biệt của mối quan hệ thể chế với khái
niệm giới hạn giữa cả hai thể chế : dạy học toán ở trường THPT và dạy học toán ở các lớp
sư phạm toán trường đại học sư phạm. Sự nghiên cứu so sánh này chắc chắn sẽ hiệu quả
hơn nếu nó được định hướng bởi kết quả nghiên cứu khoa học luận về khái niệm giới hạn.
7

Từ đó, phương pháp luận nghiên cứu của chúng tơi có thể được sơ đồ hóa như sau :
Nghiên cứu khoa học luận về khái niệm giới hạn
(Tổng hợp các cơng trình đã có)
Nghiên cứu so sánh mối quan hệ thể chế với khái
niệm giới hạn:
Thể chế dạy học
toán ở ĐHSP

Thể chế dạy học
toán ở THPT

Nghiên cứu quan niệm của Giảng viên Sư phạm về
sự nối khớp THPT-ĐH
Nghiên cứu ảnh hưởng trên sinh viên

Trong phạm vi lý thuyết và phương pháp nghiên cứu nêu trên, chúng tơi cụ thể hóa mục tiêu
nghiên cứu của luận văn thông qua hệ thống câu hỏi cần nghiên cứu sau đây:
Q1: Mối quan hệ thể chế đối với khái niệm giới hạn ở các lớp sư phạm tốn trường
đại học sư phạm có những đặc trưng cơ bản nào ?
Q2: Mối quan hệ thể chế đối với khái niệm giới hạn ở bậc trung học phổ thơng có
những đặc trưng cơ bản nào ?
Q3: Sự liên tục và ngắt quãng nào trong mối quan hệ thể chế với khái niệm giới hạn
có thể ghi nhận giữa thể chế dạy học toán THPT và thể chế dạy học toán ở các lớp sư phạm
toán trường đại học sư phạm ?
Q4 : Giảng viên ĐHSP quan niệm thế nào về sự liên tục và ngắt quãng nêu ở Q4.
Q5. Sự liên tục và ngắt quãng nêu trên, cùng với quan niệm của giảng viên ảnh
hưởng thế nào đối với sinh viên sư phạm toán khi học khái niệm giới hạn?

4. Tổng kết các kết quả nghiên cứu về những đặc trưng khoa học luận của
khái niệm giới hạn
• Các giai đoạn nảy sinh và phát triển
Theo những phân tích và tổng hợp kết quả nghiên cứu về lịch sử hình thành và phát
triển của khái niệm giới hạn của tác giả Nguyễn Thành Long trong [11] thì quá trình hình
thành và phát triển của khái niệm giới hạn chia làm 3 giai đoạn, bắt đầu với sự xuất hiện của
8


khái niệm vô hạn (thế kỷ VI TCN) cho đến chương trình số học hóa giải tích của
Weierstrass (thế kỉ XIX). Chúng tơi có thể tóm tắt 3 giai đoạn đó như sau:
- Giai đoạn 1: Tiến trình của khái niệm vô hạn (từ cổ Hy Lạp tới đầu thế kỷ XVII):
Trong giai đoạn này, các nhà toán học Hy Lạp lẫn tránh vấn đề vô hạn trong các bài tốn về
độ dài, diện tích, thể tích của các hình được giới hạn bởi những đường cong bằng phương
pháp vét cạn. Phương pháp vét cạn loại trừ tính vơ hạn bằng cách nhờ tới một số suy luận
kéo theo một số hữu hạn các bước và các thao tác với hữu hạn. Vấn đề là chọn ra một số
thực nào đó và chỉ ra rằng có thể giải bài tốn với số thực này. Sau đó chỉ ra là có thể giải
quyết bài toán theo cách tương tự cho mọi số thực bé tùy ý. Phương pháp này chứa đựng
ngầm ẩn tư tưởng chuyển qua giới hạn. Xuất phát từ phương pháp vét cạn, việc tính tổng vơ
hạn của chuỗi được phát triển mạnh vào thế kỷ 17 tạo mầm mống cho sự nảy sinh của khái
niệm giới hạn. Nhưng trong giai đoạn này, các nhà toán học quan tâm nhiều đến việc tính
tổng của chuỗi hơn là suy nghĩ về sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi. Khái niệm giới hạn vẫn
là công cụ ngầm ẩn để giải toán, chưa phải là đối tượng nghiên cứu.
- Giai đoạn 2: Sự ra đời của giải tích vơ cùng bé (từ thế kỉ XVII đến nửa đầu thế kỉ
XVIII): Giai đoạn này được đánh dấu bằng sự ra đời của phương pháp tọa độ được đề xuất
và nghiên cứu bởi Fermat (1601 – 1665) và Descartes (1596 – 1650). Đây là phương pháp
dùng để chuyển đổi các vấn đề hình học sang phạm vi số, cho phép phát huy khía cạnh thuật
tốn của giải tích các vơ cùng bé. Từ giữa thế kỷ XVII cho đến thế kỷ XVIII, toán học có
những bước tiến bộ quan trọng trong mặt lý thuyết. Đầu tiên là sự ra đời và phát triển của
phép tính vơ cùng bé được Newton (1642 – 1727) và Leibniz (1646 – 1716) hệ thống hóa.

Qua nửa đầu thế kỷ XVIII, một phân mơn mới của tốn học ra đời: Giải tích, được đánh dấu
bởi sự sát nhập vơ cùng chặt chẽ của phép tính vơ cùng bé và đại số. Người ta bắt đầu nắm
được việc cắt nhỏ các đại lượng ngày càng bé và tính tổng của chúng, đây là cơ sở của phép
tính vi phân. Tuy nhiên vì mãi theo đuổi những phép tính mới, các nhà toán học như
Newton, Leibniz, anh em nhà Bernoulli, Euler và những người khác đã ít quan tâm tới bất
kỳ lý thuyết nào về giới hạn, họ chỉ có ý tưởng trực giác về khái niệm giới hạn và sử dụng
điều đó một cách ngầm ẩn rất chính xác trong các khái niệm vô cùng bé, vô cùng lớn và tỉ
số hai vơ cùng bé. Giới hạn được chính thức đặt tên (limit) bởi Newton. Như vậy, trong giai
đoạn này khái niệm giới hạn vẫn lấy cơ chế công cụ mà chưa phải là đối tượng nghiên cứu.
- Giai đoạn thứ 3: Xây dựng lý thuyết giới hạn (nửa sau thế kỉ XVIII tới thế kỉ XIX):
Trong giai đoạn này, cùng với q trình đại số hóa giải tích, khái niệm giới hạn đã chuyển
9


hẳn sang lĩnh vực số. Nhưng vẫn chưa có sự nhất trí đối với khái niệm giới hạn và vơ cùng
bé. Điều đó đặt ra cho các nhà tốn học thời bấy giờ một nhiệm vụ là phải xây dựng được lý
thuyết giới hạn nhằm làm cho giải tích được chặt chẽ hơn. Đáp ứng nhiệm vụ đó, Cauchy
(1789-1857) đã phát triển lý thuyết giới hạn chấp nhận được rồi sau đó định nghĩa sự hội tụ,
tính liên tục, tích khả vi và tích phân theo quan niệm về giới hạn. Nhưng lý thuyết giới hạn
này được xây dựng trên trực giác đơn giản về hệ thống số thực. Muốn trình bày chặt chẽ
hơn lý thuyết giới hạn thì phải có sự hiểu biết sâu sắc về lý thuyết số thực. Thơng qua
chương trình “số học hóa giải tích”, Weierstrass và các môn đệ đã xây đựng nên được tập
hợp các định đề đặc trưng cho hệ thống số thực. Như vậy, giai đoạn này đã hoàn thành
nghiên cứu cơ sở của giải tích. Các khái niệm cơ bản như hàm số, giới hạn, liên tục, số
thực…đã được định nghĩa tường minh. Lý thuyết giới hạn chính thức trở thành nền tảng cho
giải tích.
• Các đối tượng có liên quan tới khái niệm giới hạn
Từ việc phân tích và tổng hợp các kết quả về quá trình hình thành và phát triển của
khái niệm giới hạn, trong luận văn của Nguyễn Thành Long (2004), tác giả chỉ ra một số đối
tượng toán học liên quan tới khái niệm giới hạn:

“Vị trí đầu tiên dành cho khái niệm vơ hạn. Lịch sử của giới hạn gắn bó với lịch sử
của khái niệm này. Ngay cả khi ngờ vực và chối bỏ thuật ngữ “vơ hạn” thì trong
bản thân phương pháp vét cạn của các nhà toán học cổ Hy Lạp cũng ngầm chứa sự
tác động của khái niệm vô hạn. Vô hạn có vai trị như vừa một chướng ngại, vừa
như một động cơ. Không thể hiểu được khái niệm giới hạn nếu khơng có quan niệm
thỏa đáng về vơ hạn. Nhưng vô hạn cũng là một nhân tố tiến bộ, thí dụ như chính
“nỗi sợ” sự vơ hạn, sự do dự khi sử dụng vơ hạn trong tốn học đã khiến người Hy
Lạp tìm đến phương pháp vét cạn và thúc đẩy D’Alembert tìm cách định nghĩa minh
bạch khái niệm giới hạn.
Những khái niệm khác có vai trị quyết định trong lịch sử của giới hạn như: diện
tích, thể tích, khái niệm thời gian (nhiều nhà toán học đã chuyên tâm nghiên cứu vai
trò của thời gian trong khái niệm toán học, và đặc biệt là sự kiện “giới hạn có đạt
được hay khơng?”).
Những khái niệm có tính kỹ thuật như dãy số, chuỗi số (vào thời D’Alembert thì các
thuật ngữ dãy số và chuỗi số là đồng nghĩa nhau), vô cùng bé hay những khái niệm
cực đại, cực tiểu, tiếp tuyến cũng đi cùng với lịch sử của khái niệm giới hạn.
10


Chắc chắn là khái niệm hàm số có vai trị quan trọng. Để làm cho giới hạn thành
một công cụ hoạt động trong lĩnh vực số, phải làm rõ khái niệm hàm số. Euler và
Lagrange đã có những đóng góp chính trong việc này. Khái niệm hàm số được phụ
thêm bởi khái niệm đạo hàm. Sau đó là các bài tốn về liên tục, về tích phân cho
phép xác định rõ hơn về khái niệm giới hạn. Đặc biệt là mối liên hệ sâu xa giữa khái
niệm giới hạn và số thực mà Weierstrass đã chứng tỏ: có làm chặt chẽ được hệ
thống số thực mới định nghĩa chặt chẽ được khái niệm giới hạn.
Chúng ta có thể kể ra những khái niệm của động học: chuyển động của chất điểm và
đặc biệt nhất là vận tốc tức thời.
Khi quan tâm đến mặt số lượng của khái niệm giới hạn, người ta đã phát triển các
khái niệm tốc độ hội tụ, chặn trên, chặn dưới.

Cuối cùng, về sau này, các khái niệm như cận trên, cận dưới, điểm tụ dần dần được
xác định rõ, phân biệt với khái niệm giới hạn.” [11, tr26-27]
•

Các quan điểm khoa học luận về khái niệm giới hạn

Luận văn của Nguyễn Thành Long (2004) đã làm rõ 3 quan điểm về khái niệm giới
hạn lim f ( x ) = l thông qua tổng hợp các kết quả nghiên cứu của Trouche (1996):
x →a

o Quan điểm xấp xỉ: độ xấp xỉ của f ( x ) với l mong muốn sẽ quyết định độ xấp
xỉ của x với a. Quan điểm này thể hiện trong nhiều phạm vi tác động của khái
niệm giới hạn:
-

Xấp xỉ hình học, chẳng hạn qua phương pháp vét cạn của Eudoxe, qua phép phân
hoạch của Fermat và Pascal để tính diện tích parabol.

-

Xấp xỉ đại số ( khi tính tổng chuỗi số,…)

-

Xấp xỉ số ( khi xấp xỉ một dãy số vô tỉ bởi dãy số thập phân,…)

Quan điểm xấp xỉ thể hiện rõ nét nhất trong định nghĩa khái niệm giới hạn theo ngôn
ngữ ε − δ , như BKOUCHE R. (1996) đã phân tích: “Định nghĩa này theo ( ε ,η ) khơng có
gì khác hơn là sự hệ thống hóa quan điểm xấp xỉ này”.
o Quan điểm động học: theo phân tích của BKOUCHE R. (1996): “Đúng như tên

gọi của nó, quan điểm này gắn liền với chuyển động. Nếu như một đại lượng
biến x dần về một giá trị a của đại lượng này (theo nghĩa nó lấy những giá trị
càng ngày càng gần giá trị a), thì một đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng x

11


( nghĩa là một hàm số của x) dần về một giá trị b nếu đại lượng x càng gần tới
giá trị a thì đại lượng y cũng gần tới b”.
BKOUCHE R. (1996) cũng làm rõ sự khác biệt giữa quan điểm xấp xỉ và quan
điểm động học: “Nếu khái niệm động học chính biến kéo theo hàm số, thì trong khái niệm
xấp xỉ, chính độ xấp xỉ mà người ta muốn sẽ xác định xấp xỉ của biến”.
o Quan điểm đại số hóa: “Manh nha từ khai triển hàm số thành chuỗi lũy thừa của
Newton, quan điểm này đã xuất hiện ở Leibniz khi đề ra những thuật toán, ngơn
ngữ hình thức trong phép tính vi phân. Đến thế kỷ 18, nó được Euler và
Lagrange phát triển rất mạnh trong cố gắng đại số hóa giải tích.
Trong quan điểm này, vấn đề là tìm cách xác định các quy tắc, các phép toán cho
phép thao tác trên các đối tượng mà không cần quan tâm tới bản chất của những đối tượng
này”. [11, tr27-28]

5. Tổ chức của luận văn
Luận văn được cấu trúc trong 5 phần:
Phần mở đầu
Chương 1: Nghiên cứu so sánh quan hệ thể chế với khái niệm giới hạn ở bậc THPT
và ở các lớp sư phạm toán trường đại học sư phạm
1.1. Quan hệ thể chế với khái niệm giới hạn trong dạy học toán ở các lớp sư
phạm toán trường đại học sư phạm
1.2. Quan hệ thể chế với khái niệm giới hạn trong dạy học tốn ở trường trung
học phổ thơng
1.3. Sự liên tục và ngắt quãng giữa THPT và ĐHSP về khái niệm giới hạn

Chương 2: Thực nghiệm
2.2. Điều tra quan niệm của giảng viên
2.3. Thực nghiệm trên sinh viên
Phần kết luận

12


CHƯƠNG 1: NGHIÊN CỨU SO SÁNH MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ
VỚI KHÁI NIỆM GIỚI HẠN Ở BẬC THPT VÀ Ở CÁC LỚP SƯ
PHẠM TỐN TRƯỜNG ĐHSP
Trong chương này chúng tơi sẽ làm rõ sự tương đồng và khác biệt của mối quan hệ
thể chế với khái niệm giới hạn giữa các thể chế : dạy học toán ở trường THPT và dạy học
toán ở các lớp sư phạm toán trường đại học sư phạm. Để thuận lợi cho việc nghiên cứu,
chúng tôi chọn hai trường đại học sư phạm cụ thể là: trường đại học Sư Phạm Thành Phố
Hồ Chí Minh và trường đại học Tây Nguyên.
Việc so sánh này dựa trên các tiêu chuẩn sau:
- Tiến trình đưa vào khái niệm giới hạn, cơ chế và hình thức thể hiện của khái niệm
giới hạn
- Đối tượng liên quan tới khái niệm giới hạn
- Tổ chức toán học
- Quan điểm tiếp cận
Lý thuyết giới hạn của dãy số thực và hàm số biến số thực được giảng dạy trong
chương trình giải tích dành cho các lớp sư pham tốn năm nhất đại học sư phạm. Vì vậy, tài
liệu chứng tơi sử dụng để phân tích trong mục này là:
- Giáo trình giải tích hàm một biến, Nguyễn Cam (2007), NXB Đại Học Quốc Gia
TP.HCM, TP HCM (kí hiệu là GTGT). Đây là giáo trình dành cho sinh viên tốn năm thứ
nhất đại học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh.
- Tốn học cao cấp tập 2: Phép tính giải tích một biến số. Nguyễn Đình Trí (2000),
NXB Giáo Dục (kí hiệu là THCC). Đây là giáo trình được dành cho sinh viên tốn năm nhất

đại học Tây Ngun.
• Bộ sách giáo khoa cơ bản gồm:
- SGK Đại số và giải tích 11 (SGK.C11) năm 2007 của nhóm tác giả Trần Văn Hạo,
Vũ Tuấn, Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến, Vũ Viết Yên.
- SGV Đại số và giải tích 11 (SGV.C11) năm 2007 của nhóm tác giả Trần Văn Hạo,
Vũ Tuấn, Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến, Vũ Viết Yên.
- SGK Giải tích 12 (SGK.C12) năm 2008 của nhóm tác giả Trần Văn Hạo, Vũ
Tuấn, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất.

13


- SGV Giải tích 12 (SGV.C12) năm 2008 của nhóm tác giả Trần Văn Hạo, Vũ
Tuấn, Lê Thị THiên Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất.
• Bộ sách giáo khoa nâng cao gồm:
- SGK Đại số và giải tích 11 nâng cao. (SGK.N11) Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy
Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đặng Hùng Thắng.
- SGV Đại số và giải tích 11 nâng cao. (SGV.N11) Đồn Quỳnh, Nguyễn Huy
Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đặng Hùng Thắng.
- SGK Giải tích 12 (SGK.N12) năm 2009 của nhóm tác giả Đoàn Quỳnh, Nguyễn
Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Trần Phương Dung, Đặng Hùng Thắng.
- SGV Giải tích 12 (SGV.N12) năm 2009 của nhóm tác giả Đồn Quỳnh, Nguyễn
Huy Đoan, Nguyễn Xn Liêm, Trần Phương Dung, Đặng Hùng Thắng

1.1. Quan hệ thể chế với khái niệm giới hạn trong dạy học toán ở các lớp sư
phạm toán trường đại học sư phạm
1.1.1. Tiến trình đưa vào khái niệm giới hạn, cơ chế và hình thức thể hiện của khái
niệm giới hạn
Trong GTGT khái niệm giới hạn được trình bày ở chương 3. Chương 1: Tập hợp và
ánh xạ. Chương 2: Số thực. Trong chương 2, tập hợp số thực được xây dựng theo phương

pháp tiên đề, bao gồm các nhóm tiên đề sau: nhóm tiên đề đại số, nhóm tiên đề thứ tự, nhóm
tiên đề sup-inf. Sau đó giáo trình trình bày topo trên tập hợp số thực R với các khái niệm
như: tập số thực mở rộng, khoảng, đoạn, lân cận, điểm giới hạn, điểm cô lập, điểm trong.
Chương 3: Giới hạn, gồm 3 bài học: dãy số, hàm số và hàm số liên tục.
Trong giáo trình THCC, khái niệm giới hạn của dãy số được trình bày trong chương
1: Số Thực. Khái niệm giới hạn của hàm số được trình bày ở chương 3: Giới hạn và sự liên
tục của hàm số một biến số.
Cả hai bộ giáo trình [GTGT] và [THCC] đều có chung một tiến trình đưa vào khái
niệm giới hạn và các khái niệm liên quan : Số thực → dãy số → giới hạn của dãy số → giới
hạn của hàm số → hàm số liên tục → đạo hàm → tích phân.
GTGT và THCC đều đưa vào khái niệm giới hạn theo con đường suy diễn, tức là
trình bày các định nghĩa khái niệm giới hạn trước sau đó mới đưa ra các ví dụ, phản ví dụ,

14


các vấn đề trong đó khái niệm giới hạn được sử dụng như là công cụ giải quyết hay thực
hiện nghiên cứu các tính chất khác của khái niệm giới hạn.
GTGT và THCC định nghĩa các khái niệm : giới hạn hữu hạn, giới hạn +∞ và giới
hạn −∞ của dãy số theo ngôn ngữ ( ε , N ) , các định nghĩa này trong hai giáo trình là tương
tự nhau.
« Số thực a được gọi là giới hạn của dãy số {x n } nếu: cho số ε > 0 bất kỳ thì tồn tại
số nguyên N > 0 sao cho với mọi n ≥ N thì thỏa x n − a < ε »[GTGT, tr 20]
« Dãy số {x n } có giới hạn là +∞ nếu:

∀A > 0, ∃N > 0 :n ≥ N ⇒ x n > A
Dãy số {x n } có giới hạn là −∞ nếu:

∀A > 0, ∃N > 0 :n ≥ N ⇒ x n < − A »

[GTGT, tr 29]

Định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm được GTGT trình bày như sau:
« Cho X ⊂ R với R là tập hợp các số thực, và hàm số f xác định trên X. Cho hàm số f xác
định trên X, với x 0 là điểm giới hạn của X. Ta nói f ( x ) → α khi x → x 0 nếu có điều sau
đây: ∀ε > 0, ∃δ > 0 ( phụ thuộc vào ε và vào x0) sao cho: với mọi x ∈ X thỏa
0 < x − x 0 < δ thì f ( x ) − α < ε . Lúc đó ta ghi là: lim f ( x ) = α ( hay vắn tắt hơn là
x →x0
x∈X

lim f ( x ) = α ) »[GTGT, tr 39]

x →x0

Định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm được THCC trình bày như sau:
« Cho hàm số f ( x ) xác định trên khoảng ( a, b ) ; nói rằng f ( x ) có giới hạn là L (hữu hạn)
khi x dần đến x 0 , x 0 ∈ [a, b] nếu bất kì ε > 0 cho trước tìm được δ > 0 sao cho khi
0 < x − x 0 < δ thì f ( x ) − L < ε » ([THCC, tr 71])

Khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm được THCC và GTGT định
nghĩa theo ngôn ngữ ( ε , δ ) , định nghĩa này độc lập với định nghĩa giới hạn của dãy số.
Điểm khác nhau trong hai định nghĩa này là : GTGT giả thiết hàm số f ( x ) xác định trên
X ⊂ R , với a là điểm giới hạn của X, THCC giả thiết hàm số f ( x ) xác định trên khoảng

( a, b ) ,

x 0 ∈ [a, b] .

GTGT và THCC trình bày đầy đủ các định nghĩa còn lại của khái niệm giới hạn hàm
số. Các khái niệm này trong hai bộ giáo trình là tương tự nhau.

15


« Định nghĩa:
Ta nói lim f ( x ) = ∞ nếu:
x →a

∀A > 0, ∃δ > 0 :0 < x − a < δ ( x ∈ X ) ⇒ f ( x ) > A
Ta nói lim f ( x ) = −∞ nếu:
x →a

∀A > 0, ∃δ > 0 :0 < x − a < δ ( x ∈ X ) ⇒ f ( x ) < − A
Ta nói lim f ( x ) = α nếu:
x →∞

∀ε > 0, ∃B > 0 :x > B ( x ∈ X ) ⇒ f ( x ) − α < ε

Ta nói lim f ( x ) = α nếu:
x →−∞

∀ε > 0, ∃B > 0 :x < − B ( x ∈ X ) ⇒ f ( x ) − α < ε

Ta nói lim f ( x ) = ∞ nếu:
x →∞

∀A > 0, ∃B > 0 :x > B ( x ∈ X ) ⇒ f ( x ) > A
Ta nói lim f ( x ) = ∞ nếu:
x →−∞

∀A > 0, ∃B > 0 :x < − B ( x ∈ X ) ⇒ f ( x ) > A

Ta nói lim f ( x ) = −∞ nếu:
x →∞

∀A > 0, ∃B > 0 :x > B ( x ∈ X ) ⇒ f ( x ) < − A
Ta nói lim f ( x ) = −∞ nếu:
x →−∞

∀A > 0, ∃B > 0 :x < − B ( x ∈ X ) ⇒ f ( x ) < − A

[GTGT, tr 46]

Theo phân tích khoa học luận thì quan điểm xấp xỉ thể hiện rõ nét nhất trong định
nghĩa khái niệm giới hạn theo ngôn ngữ ε − δ và nghĩa của khái niệm giới hạn
lim f ( x ) = l từ quan điểm này là: độ xấp xỉ của f ( x ) với l mong muốn sẽ quyết định độ
x →a

xấp xỉ của x với a. Sau các định nghĩa khái niệm giới hạn, GTGT và THCC đều đưa ra các
ví dụ củng cố cho các định nghĩa này, các ví dụ này đều thuộc các kiểu nhiệm vụ: “chứng
minh lim x n = a ” và “chứng minh lim f ( x ) = α ”. Nghĩa của khái niệm giới hạn không
n →∞

x →a

được làm rõ trong các ví dụ này.
Khi xét giới hạn của hàm số ta thường gặp tập A có dạng sau: trong lân cận bất kỳ
của a nhưng về bên phải (hoặc bên trái) điểm a ta ln tìm được các điểm x thuộc A. Vì vậy
khi thu hẹp định nghĩa về giới hạn đã đưa ra trên bằng cách chỉ xét các giá trị x > a (hoặc
16

x < a ) ta có định nghĩa giới hạn một bên. GTGT và THCC định nghĩa khái niệm giới hạn

một bên tương tự nhau.
“2. Ta gọi lim+ f ( x ) là giới hạn bên phải của f(x) khi x → a ( a > 0 ) và lim− f ( x ) là
x →a

x →a

giới hạn bên trái của f(x) khi x → a ( a < 0 ) thì có: lim+ f ( x ) ≠ lim− f ( x ) thì khơng tồn tại
x →a

lim f ( x ) ;
x →a

Còn

nếu

lim f ( x ) = lim− f ( x )

x →a +

x →a

thì

x →a

tồn

tại

lim f ( x )
x →a

và

lim
f ( x ) lim
f ( x ) lim− f ( x ) .” [GTGT, tr 40]
=
=
+
x →a

x →a

x →a

Khái niệm giới hạn của hàm số là phương tiện để định nghĩa các khái niệm : hàm số
liên tục, đạo hàm và tích phân.
Định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm trong GTGT : «Cho S ⊂ R , x 0 ∈ S và hàm
số f xác định trên S. Hàm số f được gọi là liên tục tại x 0 nếu lim f ( x ) = f ( x 0 ) »
x →x0

[GTGT, tr48]
Định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm trong THCC : « Cho hàm số f ( x ) xác
định trong khoảng ]a, b[ , ta nói rằng hàm số f ( x ) khả vi tại điểm c ∈ ]a, b[ nếu tồn tại giới

f ( x ) − f (c)

f ( x ) − f (c)
= A, x ≠ c . Số A ; giới hạn của tỉ số
, x ≠ c , khi x → c
x →c
x −c
x −c

hạn lim

được gọi là đạo hàm của hàm số f ( x ) lấy tại điểm x = c , kí hiệu f ' ( c ) » [THCC, tr111]
Định nghĩa tích phân xác định của hàm số f ( x ) lấy trên khoảng đóng [a,b] :

17


[GTGT, tr122]
GTGT trình bày định nghĩa tích phân xác định của hàm số f ( x ) lấy trên khoảng
đóng [a,b] mà không đưa ra hoạt động xây dựng khái niệm nào. Trong THCC, khái niệm
này nảy sinh nhờ vào thao tác khái quát hóa giới hạn được vận dụng trong bài tốn tính diện
tích hình thang cong : « Cho hàm số y = f ( x ) , xác định liên tục trên khoảng đóng [ a, b] ,
ngồi ra giả sử f ( x ) khơng âm trên [ a, b] . Xét hình thang cong AabB là hình giới hạn bởi
đồ thị hàm số f ( x ) (trên [ a, b] ) ; các đường thẳng=
x a;=
x b và trục hoành Ox ; ta đặt
vấn đề định nghĩa diện tích S của hình thang cong AabB »

[THCC, tr246]

Khi chia đoạn [ a, b] thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia :

=
λ : max ( ∆x i ) thì giới hạn
x 0 ≡ a < x1 < x 2 < ... < x i −1 < x i < ... < x ≡ b và đặt λi = ∆x i và
i≤i≤ n

n

lim ∑ f ( x i ) ∆x i ( 7.7 ) là công cụ cho phép xác định diện tích của hình thang cong AabB.
λ →0

i1

Trước khi trình bày định nghĩa tích phân xác định, THCC đưa ra nhận xét sau : « giới
hạn dạng (7.7) có một vai trị cực kỳ quan trọng trong giải tích và trong các ứng dụng đa
dạng của giải tích và bây giờ chúng ta nêu chi tiết hơn giới hạn dạng đó »
[THCC, tr249]
Giải quyết tương tự như trường hợp của bài toán xác định diện tích của hình thang
cong, GTGT và THCC đưa ra các định nghĩa :
Độ dài cung :

18


[GTGT, tr141]
Diện tích hình phẳng :

[GTGT, tr143]

[GTGT, tr144]
Thể tích vật thể :

19


[GTGT, tr145]
Diện tích xung quanh khối trịn xoay :

[GTGT, tr145]
Tiến trình đưa vào khái niệm giới hạn trong GTGT và THCC khơng tn thủ theo
lịch sử hình thành khái niệm giới hạn như chúng ta đã phân tích ở chương trước là: giới
hạn xuất hiện như một công cụ ngầm ẩn cho phép giải quyết một số bài toán (chủ yếu thuộc
phạm vi hình học), bài tốn tính đạo hàm, tích phân là khởi đầu cho sự phát triển của khái
niệm giới hạn và sau đó giới hạn mới chính thức có cơ chế của một khái niệm tốn học.
Trong GTGT và THCC, trước hết khái niệm giới hạn lấy cơ chế của một khái niệm tốn
học, sau đó là công cụ tường minh cho phép xác định độ dài cung phẳng, diện tích hình
phẳng, thể tích vật thể và diện tích xung quanh khối trịn xoay.
1.1.2. Tổ chức tốn học liên quan tới khái niệm giới hạn
Trong mục này, chúng tơi hệ thống và phân tích các ví dụ và bài tập có trong GTGT
và THCC để làm rõ các tổ chức toán học liên quan tới khái niệm giới hạn trong các giáo
trình này.
• Kiểu nhiệm vụ T1 : Tìm giới hạn của dãy số
o Kỹ thuật τ 11A :
- Thay các giới hạn cơ bản vào biểu thức xác định dãy số
20


 τ 11A có phạm vi hoạt động là các giới hạn dãy số không thuộc dạng vô định
o Kỹ thuật τ 11B :
- Biến đổi biểu thức dãy số (để khử dạng vô định) và đưa về dạng τ 11A
 τ 11A có phạm vi hoạt động là các giới hạn dãy số thuộc dạng vô định

Công nghệ θ11 :
- Các định lí đại số giới hạn của dãy số
- Các giới hạn cơ bản
Ví dụ : « 18. Tìm giới hạn của các dãy sau :
1. x n =−
n
n2 − n »

[THCC, tr39]

Giải

)

(

n
1
= lim = 1
n →∞
n + n 2 − n n →∞ 1 + 1 − 1
n

lim n −=
n 2 − n lim
n →∞

Nhận xét : THCC và GTGT chỉ trình bày và chứng minh định lý đại số giới hạn :
Tổng, hiệu, tích và thương. Các định lý khác và các giới hạn cơ bản khơng được các giáo
trình này nhắc tới trong phần lý thuyết. Tập hợp các định lý đại số giới hạn của dãy số và

các giới hạn cơ bản là công nghệ cho kỹ thuât là τ 11 :
+ Định lý đại số giới hạn: tổng, hiệu, tích, thương.

=
xn
+ lim x n = α khi đó: lim
n →∞

n →∞

α ( x n ≥ 0)

q n 0 ( q < 1)
+ lim=
n →∞

αβ
+=
lim x n α=
; lim y n β ⇒ lim x n yn =
n →∞

n →∞

n →∞

+ lim x n =
α ⇒ lim loga x n =
log a α
n →∞

n →∞

o Kỹ thuật τ 12 :
- Đặt
=
a lim
=
x n lim x n +1
n →∞

n →∞

- Lấy giới hạn hai vế của cơng thức truy hồi để có một phương trình theo a.
- Giải phương trình tìm a.
Cơng nghệ θ12 :
- Định lý về tính duy nhất của giới hạn dãy số
21


 τ 12 có phạm vi hoạt động là các dãy số truy hồi
Ví dụ : « 23. Xét sự hội tụ và tìm giới hạn (nếu có) của dãy :
xn =
1 + x n −1 , x 0 =
3 » [THCC, tr40]

Giải

[ THCC, tr42]
o Kỹ thuật τ 13 :

- Tìm chặn trên, chặn dưới của u n :
- Chứng minh

m un M
≤
≤
vn vn vn

- Chứng minh

m
M
→ L;
→L
vn
vn

m ≤ un ≤ M

- Kết luận lim x n = L
n →∞

Công nghệ θ13 :
- Định lý về giới hạn của dãy số bị kẹp giữa hai dãy có cùng giới hạn
 τ 12 có phạm vi hoạt động là các dãy số có dạng

un
với un bị chặn
vn

Ví dụ : « 18. Tìm giới hạn của các dãy sau :

sin 2 n − cos3n
5. x n =
»
n

[THCC, tr39]

Giải
sin 2 n 1
sin 2 n
cos3n 1
cos3n
≤ ⇒ lim = 0;
≤ ⇒ lim = 0
n
n n →∞ n
n
n n →∞ n
sin 2 n − cos3n
sin 2 n
cos3n
= lim
− lim
=0
n →∞
n →∞
n →∞
n

n
n

lim

o Kỹ thuật τ 14 :
- Chứng minh ( y n ) là dãy tăng nghiêm ngặt và lim y n = +∞
n →∞

22


x n +1 − x n
n →∞ y
n +1 − y n

- Tính lim

x
x n +1 − x n
= a ∈ R thì lim n = a
n →∞ y
n →∞ y
n
n +1 − y n

- Nếu lim

Công nghệ θ14 : Kết quả của bài tập 17 [GTGT, tr60]

 τ 14 có phạm vi hoạt động là các dãy số có dạng

xn
với ( y n ) là dãy tăng nghiêm
yn

ngặt và lim y n = +∞
n →∞

Ví dụ : « 18. Tính giới hạn của các dãy sau đây :

1p + 2 p + ... + n p
»
n →∞
n p +1

c) lim

[GTGT, tr61]

Giải
Đặt

x n = 1p + 2 p + ... + n p và y n = n p +1 , ∀n

thì

lim y n = +∞ .
n →∞

x n +1 − x n
=
y n +1 − y n

1
2

n
 n 
 n 
1+
+
 + ... + 

n +1  n +1
 n +1
i

p

x − xn
1
 n 
lim 
1=
i 1, p nên lim n +1
=
=

n →∞ n + 1

n →∞ y
p +1


n +1 − y n

(

)

1p + 2 p + ... + n p
1
=
+
p
1
n →∞
n
p +1

⇒ lim

o Kỹ thuật τ 15 :
-

1 n i
Biến đổi x n = ∑ f  
n i =1  n 

23

( y n ) tăng

nghiêm

ngặt

và