Nghiên cứu về khái niệm giới hạn hàm số trong dạy học toán một công trình didactique trong môi trường máy tính bỏ túi

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HCM

LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG

NGHIÊN CỨU VỀ KHÁI NIỆM GIỚI HẠN HÀM SỐ TRONG DẠY –
HỌC TOÁN : ĐỒ ÁN DIDACTIC TRONG MÔI TRƯỜNG MÁY TÍNH
BỎ TÚI
LUẬN VĂN THẠC SĨ

CHUYÊN NGÀNH:
LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC TOÁN
CODE: 60.14.10
GIÁO SƯ HƯỚNG DẪN:
Annie BESSOT

TP. HCM – 2004


LỜI CẢM ƠN
Xin chân thành cảm ơn Ban Lãnh đạo và các Cán bộ của phòng Sau Đại học ĐHSP TP.HCM; Ban Chủ nhiệm và các
Giáo sư của Khoa Toán – Tin học ĐHSP TP. HCM; Ban Lãnh đạo và các Nhà Nghiên cứu của nhóm DDM thuộc Phòng Nghiên
cứu Leibniz của INPG (Nước Cộng Hòa Pháp) đã giúp đỡ và động viên tôi thực hiện luận văn này. Đặc biệt, xin gởi lời cảm
ơn sâu sắc đến:
- Giáo sư hướng dẫn Bà PGS TS Annie BESSOT. Với đầy nhiệt huyết và sự nghiêm khắc, Bà đã không tiếc công sức
hướng dẫn tôi thực hiện nghiên cứu didactic và giúp đỡ tôi trong việc trình bày ngôn ngữ cho luận văn.
- TS Alain BIREBENT và TS LÊ VĂN TIẾN, những người đã giúp đỡ tôi như những Giáo sư đồng hướng dẫn bằng
những lời khuyên đầy chất lượng và những tài liệu bổ ích.
- PGS TS Annie BESSOT và PGS TS Claude COMITI, những người đã bảo hộ tôi trong những ngày ở Pháp.
- GS.TS Annie BESSOT, GS.TS Claude COMITI, TS LÊ THỊ HOÀI CHÂU, TS LÊ VĂN TIẾN và TS ĐOÀN HỮU HẢI vì sự
giảng dạy đầy nhiệt tình và hiệu quả trong suốt khóa Cao học Thạc só Didactic Toán.

- Các anh: CÔNG KHANH, CHÍ THÀNH, ANFONSO, những người luôn giúp đỡ và động viên tôi trong những ngày làm
việc trong nhóm DDM của INPG tại Grenoble.
- Các bạn Học viên Cao học khóa 12, nhất là hai cô THỦY và HÀ, những người đã giúp tôi rất nhiều trong quá trình
học tập và nghiên cứu.
- Bà Claudine MERCIER, chủ nhà của tôi ở Grenoble, người đã rất hiếu khách và đón tiếp tôi như một thành viên
trong gia đình.
- Ban Giám hiệu Trường PTTH Chuyên TRẦN ĐẠI NGHĨA (QI) đã cho phép chúng tôi tiến hành các thực nghiệm trong
các lớp của trường.


LỜI GIỚI THIỆU
Khái niệm giới hạn, trung tâm của giải tích, là một trong những khái niệm cơ bản của toán
học. Trong chương trình toán học phổ thông Việt nam, khái niệm này xuất hiện ở lớp 11; người ta
nhận thấy học sinh gặp nhiều khó khăn khi học khái niệm này. Đây là một khái niệm kiểu mới đối
với học sinh bởi vì đây là những lần đầu tiên các tiến trình vô hạn xuất hiện.
Trong phần đầu của công việc, chúng tôi đặt ra các câu hỏi sau đây: đâu là thực chất của
những khó khăn trong việc lónh hội khái niệm giới hạn? Khái niệm này tồn tại thế nào trong thể
chế dạy học Việt nam?
Thứ nhất, chúng tôi tổng hợp một số kết quả nghiên cứu đã có ở nước Cộng hòa Pháp về chủ
đề này nhằm hiểu được các chướng ngại cơ bản trong việc học khái niệm này và nhằm làm rõ các
quan niệm khoa học luận về khái niệm này. Những kết quả nghiên cứu này sẽ dùng làm tham
chiếu cho việc nghiên cứu thể chế Việt nam về vấn đề dạy và học khái niệm giới hạn.
Thứ hai, chúng tôi phân tích các chương trình và các sách giáo khoa của hai giai đoạn “cải
cách giáo dục” (từ những năm1990) và giai đoạn “chỉnh lý và hợp nhấ” (kể từ năm 2000) dưới các
kiến thức của lý thuyết nhân chủng học được phát triển bởi Y.Chevallard và nhóm nghiên cứu của
ông (Chevallard, 1992) và của khái niệm hợp đồng didatique được giới thiệu bởi G.Brousseau
(Brousseau, 1980).
Việc nghiên cứu một phần “sinh thái học” của khái niệm giới hạn trong thể chế Việt nam
cho phép chúng tôi xác định các lựa chọn thể chế và đặc biệt là các yếu tố của hợp đồng
didactique. Từ đó, chúng tôi phát biểu thành các giả thiết nghiên cứu như là hiệu ứng của các lựa

chọn thể chế đã nghiên cứu ở trên.
Thứ ba, chúng tôi kiểm chứng sự hợp thức của các giả thiết nghiên cứu thông qua một thực
nghiệm trong lớp 12.
Các kết quả nghiên cứu trong phần đầu tiên đặt ra cho chúng tôi đến vấn đề về sự mở rộng
mối quan hệ thể chế của học sinh với khái niệm giới hạn.
Kể từ giai đoạn chống cải cách toán học hiện đại ở CH Pháp (1980 –1998), quan điểm về
dạy học giải tích ở trường PTTH là giảng dạy liên tiếp các vấn đề xấp xỉ. Như vậy, máy tính bỏ túi
đóng vai trò rất lớn đối với quan điểm dạy học này.
Ở Việt nam, trong những năm gần đây, chúng ta ghi nhận sự tiến triển đáng kể của máy
tính bỏ túi trong các chương trình phổ thông (PTCS và PTTH) . Trong khi mà học sinh (ngày càng
đông) sở hữu các máy tính bỏ túi (trên bàn học) với màn hình (ngày càng lớn); thầy giáo vẫn chỉ có
cái bảng đen , bục giảng, viên phấn và dẻ lau bảng. Môi trường làm việc của ngøi thầy vẫn không
có gì thay đổi từ hơn 25 năm qua.
Điều này đặt ra câu hỏi về vai trò của máy tính bỏ túi (bên cạnh những công cụ khác) trong
thể chế phổ thông Việt nam. Chính vì vậy, trong phần thứ hai của luận văn, chúng tôi phân tích sự
có mặt của của các yếu tố tính toán và tin học trong các chương trình Toán ở PTCS và PTTH Việt
nam.
Cuối cùng, chúng tôi xây dựng một công đoạn dạy học khái niệm giới hạn kết hợp máy tính
bỏ túi. Sự xây dựng công đoạn này dựa trên phương pháp luận của công nghệ didactique mà chúng
ta có thể tìm thấy các tài liệu tham khảo ở M. Artigue (1988) và Y.Chevallard (1982).


Lời tựa: một số yếu tố về khái niệm đồ án didactic
Tài liệu tham khảo: Artigue (1988) và Chevallard (1982).
Khái niệm đồ án didactic:
Đồ án didactic là một tình huống giảng dạy được soạn thảo bởi nhà nghiên cứu, một dạng công
việc didactic tương tự như công việc của ngườiø kỹ sư: dựa trên và tuân theo các kiến khoa học trong
lónh vực của mình, nhưng để làm việc trên những đối tượng thực tế phức tạp hơn nhiều so với những
đối tượng thuần túy khoa học.
Hai chức năng của đồ án didactic:

Đồ án didactic cho phép:
- thực hành trên hệ thống giảng dạy, dựa trên các phân tích didactic khởi đầu.
- kiểm chứng phần lý thuyết đã được soạn thảo bằng cách nghiên cứu sự thực hiện nó trên một
hệ thống giảng dạy.
Các pha khác nhau của phương pháp luận đồ án didactic:
1. Các phân tích khởi đầu:
Chúng dựa trên:
các kết quả nghiên cứu trong lónh vực;
phân tích khoa học luận tri thức nhắm đến;
phân tích các quan niệm và chướng ngại của học sinh;
phân tích thể chế dạy học (chương trình, sách giáo khoa).
2. Xây dựng công đoạn dạy học và phân tích tiên nghiệm và tổ chức thu thập các dữ liệu
3. Thực nghiệm và tổ chức quan sát
4. Phân tích hậu nghiệm và hợp thức nội tại
Sự hợp thức nội tại được thực hiện bằng việc đối chiếu hai mô hình của phân tích tiên nghiệm và phân
tích hậu nghiệm


Giới thiệu luận văn:
Chúng tôi tiến hành các nghiên cứu về chủ đề: giảng dạy khái niệm giới hạn trong môi trường
máy tính bỏ túi ở trường PTTH, dựa trên phương pháp luận của đồ án didactic.
Luận văn gồm hai phần:
Trong phần thứ nhất (Phần I), chúng tôi thực hiện các nghiên cứu khởi đầu về vấn đề dạy và học
khái niệm giới hạn ở trường THPT:
- tổng hợp một số kết quả nghiên cứu thực hiện ở Pháp nhằm hiểu được các chướng ngại khoa học
luận cơ bản trong việc học khái niệm này và nhằm làm rõ các quan niệm khoa học luận về khái niệm này.
Một số kết quả được dùng làm tham chiếu cho việc nghiên cứu thể chế Việt nam.
- phân tích các chương trình và các sách giáo khoa của hai giai đoạn “cải cách giáo dục” và giai
đoạn “chỉnh lý và hợp nhất” bằng cách sử dụng các công cụ của lý thuyết nhân chủng học và hợp đồng
didatic.

Các kết quả của phân tích thể chế được hợp thức bằng một thực nghiệm thực hiện cho các học sinh
lớp 12.
Đặc biệt, phần thứ nhất này cho phép khẳng định sự vắng mặt của quan điểm khoa học luận
xấp xỉ về khái niệm giới hạn, quan điểm cho phép hình thành khái niệm giới hạn theo nghóa “giải
tích”, trong mối quan hệ các nhân của học sinh.
Trong khi đó ở Pháp, về vấn đề giảng dạy Giải tích ở cấp độ THPT, cuộc chống cải cách toán
học hiện đại (1980 –1998) đã định hướng phải tổ chức giảng d liên tục các vấn đề xấp xỉ được hổ trợ
bởi sự có mặt của máy tính bỏ túi.
Chính vì lý do này, trong phần II, chúng tôi dự định xây dựng và thực hiện một đồ án didactic
trong đó mục tiêu dạy học là giới thiệu quan điểm “xấp xỉ” của khái niệm giới hạn trong môi trường
máy tính bỏ túi.
Để thực hiện, đầu tiên chúng tôi xác định các yếu tố tính toán và tin học có mặt trong các
chương trình liên tiếp ở cấp II và cấp III cho các câu hỏi: trong số các yếu tố tính toán này máy tính
bỏ túi đóng vai trò gì và chiếm vị trí thế nào? vai trò và vị trí của máy tính bỏ túi tiến triển ra sao?
Kế đến, dựa trên phân tích tiên nghiệm, chúng tôi xây dựng một đồ án didactic về khái niệm
giới hạn hàm số, kết hợp máy tính bỏ túi.
Sau đó, chúng tôi thực nghiệm đồ án này trong một lớp 11 mà ở đó khái niệm giới hạn đã được
giảng dạy.
Cuối cùng, chúng tôi tiến hành phân tích hậu nghiệm từ các dữ kiện thu được và đối chiếu với
phân tích tiên nghiệm.


PHẦN I
I. Tổng hợp các công trình nghiên cứu didactique về khái niệm giới hạn
Chúng tôi tổng hợp lại các nghiên cứu lịch sử và khoa học luận cùng các kết quả thực
nghiệm ở CH Pháp về khái niệm này từ bốn công trình: Cornu (1983), Robert (1982), Trouche
(1996) và Bosch, Espinoza, Gascon (2002).
I.1 Luận án của Cornu (1983). Mục tiêu của nghiên cứu là nhằm hiểu rõ thực chất của những khó
khăn trong việc lónh hội khái niệm giới hạn và nhằm cải thiện việc dạy và học khái niệm này.
 Nghiên cứu lịch sử khái niệm giới hạn

B.Cornu chứng minh rằng sự xuất hiện của khái niệm giới hạn một cách tất yếu gắn với
một trường rất nhiều khái niệm khác: khái niệm về sự vô hạn (tính xác đáng của việc sử dụng vô
hạn trong toán học); các đại lượng hình học (các diện tích và các thể tích …); khái niệm thời gian
(giới hạn có đạt được hay không?); các khái niệm về dãy, chuỗi; khái niệm hàm số, đạo hàm, giá
trị lớn nhất vá giá trị nhỏ nhất, tiếp tuyến; các vất đề về tính liên tục, về tích phân; cùng với: vận
tốc tức thời, tốc độ hội tụ, chặn trên và chặn dùi, điểm tụ …
Cornu nghiên cứu các chướng ngại khoa học luận xuất hiện và phát triển trong suốt lịch sử
của khái niệm giới hạn:
- “Sự chuyển đổi sang phạm vi số” xuất hiện trong tiến trình trừu tượng ngữ cảnh hình học
và ngữ cảnh chuyển động học, “ các đại lượng” được quy về phạm vi số mà ở đó khái niệm giới
hạn được hợp nhất.
- Khía cạnh “siêu hình” của khái niệm giới hạn: một kiểu mới của những suy luận toán học
đòi hỏi phải áp dụngï. Ở đây không chỉ còn là một dãy các suy luận logic, mà là suy luận trên các
tiến trình vô hạn.
- Khái niệm “vô cùng bé” hay “vô cùng lớn”: có tồn tại hay không các đại lượng chưa bằng
không, nhưng chúng không thể “gán được” nữa ? có tồn tại hay không các đại lượng “tan dần” mà
chỉ cần qua một “khoảnh khắc” thì chúng bằng không? có phải một số nhỏ hơn tất cả các lượng
(dương) cho trước thì bằng không?
- Một giới hạn có thể đạt tới hay không ?
- Ngoài ra còn có các chướng ngại khác: mô hình đơn điệu. Một tổng vô hạn có thể là một số
hữu hạn. Hai đại lïng tiến về không vậy mà tỷ số giữa chúng lại tiến về một lượng hữa hạn”.
 Từ các nghiên cứu lịch sử, Cornu xây dựng rất nhiều bài Test về vấn đề các cụm từ “tiến
về” và “giới hạn” nhằm quan sát các “quan niệm tự nhiên1” của học sinh. Các bài test này, được
đề nghị cho những học sinh chưa học khái niệm giới hạn, đã cho thấy sự đa dạng về các ý nghóa mà
học sinh gán cho các cụm từ trên cũng như sự đa dạng về quan niệm gắn với khái niệm giới hạn :
- Cụm từ “giới hạn” trước hết đối với học sinh mang ý nghóa về sự cố định: một “giới hạn”
được đặt trong không gian và thời gian; không được phép hay là không thể vượt qua giới hạn này.
Người ta khó mà tiếp cận một giới hạn và khó mà có thể đạt được nó. “Giới hạn” hoặc là cái chia
cắt thành hai phần hay là cái “cuối cùng”.
- Cụm từ “tiến về” nói chung mang nghóa “động” hơn.

1

Các “quan niệm tự nhiên” là những quan niệm không được xây dựng từ một sự giảng dạy có tổ chức (Cornu, 1983)


Theo Cornu, các quan niệm tự nhiên để lại những ảnh hưởng rất mạnh mẽ và dai dẳng.
Chúng hòa lẫn với các từ vựng toán học cùng với khái niệm toán học và hình thành nên những
quan niệm riêng ở học sinh.
 Sau khi nghiên cứu lịch sử và các quan niệm riêng của học sinh, Cornu xây dựng một
công đoạn dạy học. Công đoạn này được lồng vào trong tiến trình dạy học toán với mong muốn
giúp học sinh vït qua các chướng ngại trong khi học khái niệm giới hạn. Những phân tích của
Cornu cho thấy rằng:
 Các học sinh (ở Pháp) vẫn gặp phải ba chướng ngại khoa học luận:
- Khía cạnh “siêu hình” của khái niệm giới hạn: làm sao chắc chắn rằng một số tồn tại nếu
ta không thể tính được nó?
- Các vô cùng bé và các vô cùng lớn: có tồn tại hay không những số rất nhỏ, nhỏ hơn bất kì
số một số “thất sự” nào, nhưng chưa bằng không?
- Một giới hạn có thể đạt tới hay không?
Chướng ngại khoa học luận quan trọng về “sự chuyển đổi sang phạm vi số” không xuất
hiện ở học sinh ngày nay bởi vì từ khi còn nhỏ học sinh đã có thói quen sử dụng số để giải quyết
các bài toán về các “đại lượng”.
Những chướng ngại không có nguồn gốc khoa học luận: bất đẳng thức, điều kiện đủ, giá trị
tuyệt đối, bước chuyển từ sự hội tụ đơn điệu sang sự hội tụ vv…
Đâu là những quan niệm riêng của học sinh ?
I.2. Robert A.(1982)
A. Robert nêu ra ba kiểu mô hình2 của khái niệm giới hạn, theo những biểu hiện về quan
niệm riêng của học sinh, từ một thực nghiệm trên các sinh viên đại học về khái niệm giới hạn của
dãy số:
 Các mô hình “sơ khai” tương ứng với những miêu tả không đầy đủ của học sinh về sự

hội tụ: không tính đến chỉ số n. Các dãy số hội tụ được xem là các dãy số có các số hạng không thể
vượt qua một con số nào đó (mô hình thanh chắn).
 Các mô hình “động” có tính đến chỉ số n và sự biến thiên của nó. Các mô hình này
được học sinh diễn tả bằng các động từ về sự tiến triển trong không gian và thời gian
Ví dụ: n càng tăng , un càng dần về một số
n càng tăng, khoảng cách từ un đến L càng nhỏ.
Trường hợp riêng của mô hình “động” là mô hình động “đơn điệu”: một dãy số hội tụ là dãy
tăng dần đến giới hạn của nó.
 Các mô hình “tónh” tương ứng với sự miêu tả về sự hội tụ thể hiện mối liên hệ giữa  và
N: mọi khoảng bé tùy ý chứa tất cả các un kể từ một chỉ số n nào đó hay kể từ một chỉ số n nào đó
tất cả các số hạng của dãy phải thuộc một lân cận của L nhỏ tùy ý.
Các mô hình “tiền tónh” không thể hiện mối liên hệ giữa  và N: với n đủ lớn, các un chứa
trong một khoảng chứa L, hay rất gần với L.
I.3. Làm rõ ba “quan điểm khoa học luận”3 về khái niệm giới hạn
2

Được kể ra bởi A. Bessot trong cour Thạc só (2002)


Quan điểm “chuyển động học”:
“Chính là biến số sẽ kéo hàm số” (Bkouche, 1996)
“Nếu một đại lượng biến x tiến về một giá trị a của đại lượng này (theo nghóa x nhận các giá
trị ngày càng gần giá trị a), thì một đại lượng y, đại lượng phụ thuộc vào đại lượng x (y là một hàm
số của đại lượng x) tiến về một giá trị b. Nếu x dần dần xích gần lại giá trị a, đại lượng y xích gần
lại b” (Bkouche, 1996)
 Quan điểm “xấp xỉ”:
“Chính là độ xấp xỉ mong muốn sẽ kéo biến số ”( Bkouche, 1996)
Quan điểm này được minh họa bởi sự xấp xỉ thập phân của một số a bằng một dãy các số
thập phân (an):
“Định nghóa bằng (, ) không gì khác hơn là sự hệ thống hoá của khái niệm xấp xỉ này”

(Bkouche, 1996)
Đây chính là quan điểm cho phép hình thành một khái niệm giới hạn ổn định ngày nay.
Như vậy, có một một sự đối lập giữa quan điểm chuyển động học và quan điểm xấp xỉ:
“Nếu trong khái niệm chuyển động học, biến số sẽ kéo hàm số thì trong khái niệm xấp xỉ,
chính độ xấp xỉ mong muốn sẽ quy định độ xấp xỉ của biến”
Tuy nhiên, Bkouche bổ sung thêm mối liên hệ giữa hai quan điểm:
“Nếu đúng là quan điểm này4 thực sự có ưu thế, đó là vì giá trị hình thức của nó và tính hiệu
quả của nó trong các chứng minh giải tích; sẽ là rất nguy hiểm nếu ta bỏ đi quan điểm chuyển động
học như một phương tiện của một phạm vi trực quan mà ở đó người ta nghó về khái niệm giới hạn”.
 Quan điểm “đại số” (thao tác): nó vận hành theo các quy tắc, nó “không làm rõ bản
chất của các đối tượng mà trên đó quan điểm đại số vận hành (Dahan-Dalmédico, 1982).
Thật vậy, người ta thao tác các định lý, sử dụng các kết quả liên quan đến các “giới hạn
thông dụng”, nó không mang quan điểm chuyển động học và xấp xỉ. Quan điểm này chỉ còn là
việc tính toán trên các giới hạn.
 Ghi chú:
Nếu chúng ta đối chiếu ba quan điểm này với các mô hình diễn tả bởi các sinh viên, các mô
hình “động” tương ứng với quan điểm “chuyển động học”,ø các mô hình “tónh” và “tiền tónh” tương
ứng với quan điểm “xấp xỉ”.
Khái niệm giới hạn được giảng dạy ở phổ thông như thế nào ?
I.4. Bosch, Espinoza và Gascon (2002) cung cấp một phương pháp luận để phân tích chuyển đổi
didactique về khái niệm giới hạn hàm số trong thể chế phổ thông Tây Ban Nha. Chúng tôi tóm
tắt các bước phân tích và một vài kết quả:
 Mô tả tổ chức toán học (TCTH) tham chiếu
- Mô tả tổ chức toán học tham chiếu cho phép phân tích trở lại sự xây dựng có thể của các
TCTH trong chương trình chính thức và trong các SGK (ở đây liên quan đến khái niệm giới hạn
hàm số).
3
4

trình bày trong luận án của L. Trouche, 1996

quan điểm xấp xỉ


Từ sự phân tích chương trình chính thức và các SGK, ta mô hình hoá hai TCTH địa phương
tham chiếu xoay quanh các giới hạn hàm số:
 OM1, xoay quanh vấn đề đại số của các giới hạn, xuất phát từ việc giả sử sự tồn tại giới
hạn của hàm số và chỉ đặt vấn đề làm sao xác định giá trị giới hạn của những hàm số quen thuộc.
Vấn đề này được xử lý qua các kiểu nhiệm vụ như: tính giới hạn của hàm số f(x) khi x->a, với a là
số thực hữu hạn hay là vô cực; xác định giới hạn của một hàm số tại một điểm hay ở vô cực.
Những kỹ thuật toán học gắn với kiểu nhiệm vụ này về cơ bản dựa trên sự thực hiện các thao tác
đại số trên biểu thức f(x). Công nghệ tối tiểu của OM1 giải thích cho các kỹ thuật có thể được miêu
tả, chẳng hạn, bằng một hệ thống tiên đề của Serge Lang trong quyển Calculus (1986)5 .
 OM2, xoay quanh bản chất topo của khái niệm giới hạn, có ý định muốn đề cập đến bản
chất của đối tượng “giới hạn hàm số” và trả lời chủ yếu cho câu hỏi về sự tồn tại giới hạn của một
kiểu xác định các hàm số. Câu hỏi này được xử lý qua một số kiểu nhiệm vụ như: chứng minh sự
tồn tại (hay không tồn tại) giới hạn của một hàm số f(x) khi x -> a, với a là hữu hạn hay vô hạn;
chứng minh sự tồn tại (hay không tồn tại) các giới hạn tại các biên của một khoảng cho một số lớp
xác định các hàm số; chứng minh các tính chất về các phép toán trên các giá trị giới hạn hàm số,
một cách đặt biệt bao gồm sự chứng minh “các quy tắc tính toán” là công nghệ tối tiểu của OM1.
Công nghệ tối tiểu của OM2 (giải thích cho các kỹ thuật toán học gắn với các kiểu nhiệm vụ này)
được tập trung trên việc sử dụng các tính chất giới hạn dãy số và trên định nghóa cổ điển bằng
ngôn ngữ , . Công nghệ này đến lượt mình lại dựa trên lý thuyết số thực.
Vậy là, ta có thể nói OM1 là một phần chứa trong OM2. Hai TCTH này chứa đựng một hệ
thống lý thuyết nhỏ xoay quanh vấn đề xây dựng các số thực. Hai TCTH địa phương này được kết
hợp trong một TCTH miền trả lời, chẳng hạn, cho câu hỏi về sự khả vi của một số kiểu hàm số,
hay trả lời cho câu hỏi về sự khả tích.
 Người ta sử dụng cấu trúc đã mô tả của TCTH tham chiếu để giải thích cho TCTH cần
giảng dạy bằng cách xác định:
- Những gì là dấu vết của OM1 trong thể chế dạy học
- Những gì là dấu vết của OM2 trong thể chế dạy học

Làm rõ TCTH thật sự được giảng dạy và xác định quy trình xây dựng (tri thức):
 Nhận xét
Việc giảng dạy khái niệm giới hạn đòi hỏi phải tính đến các yếu tố khoa học luận (trường
quan niệm, các chương ngại khoa học luận và các quan niệm riêng của học sinh.
Cần thiết phải nghiên cứu “trường sinh thái” khái niệm giới hạn trong thể chế Việt
nam:
Chúng tôi sẽ nghiên cứu chương trình và SGK hiện hành (như một phần sinh thái) để trả lời
các câu hỏi sau:

5

Mỗi tiên đề biểu thị một “quy tắc tính toán”


Làm sao mà khái niệm giới hạn được giảng dạy trong thể chế phổ thông Việt nam? (chúng tôi
sẽ sử dụng tổ chức toán học tham chiếu như các TCTH trong bài báo của Bosch và nhóm nghiên
cứu (2002)).
Quan điểm khoa học luận nào của khái niệm giới hạn ngự trị trong thể chế phổ thông Việt
nam?
II. Phân tích các chương trình và các SGK Việt nam
II.1. Phân tích tổ chức toán học
Để trả lời cho câu hỏi “ khái niệm giới hạn được giảng dạy trong thể chế trung học hiện tại
như thế nào?”, chúng tôi phân tích chương trình6 và SGK hiện hành7:
II.1.1. Cấu trúc của chương trình và cấu trúc của SGK hiện hành xoay quanh khái niệm giới
hạn là tương tự nhau
 Phần II bao gồm các chương sau đây:
- Chương III: dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân.
- Chương IV nhan đề “giới hạn” : giới hạn của dãy số, giới hạn của hàm số, hàm số liên
tục.
- Chương V : hàm số mũ và chương VI: hàm số logarit.

 Trong SGK , chúng ta nhận thấy rằng:
- Khái niệm dãy số được định nghóa như một hàm số có tập xác định là tập hợp các số tự
nhiên đầu tiên khác không
- Khái niệm giới hạn của dãy số được định nghóa bằng ngôn ngữ  và N dẫu rằng bảng kế
hoạch của chương trình chỉ rằng “không sử dụng ngôn ngữ , ”.
- Khái niệm giới hạn hàm số được định nghóa thông qua khái niệm giới hạn của dãy số, sử dụng
“ngôn ngữ giới hạn dãy số”.
 Các câu hỏi đặt ra:
Tại sao định nghóa truyền thống bằng ngôn ngữ (, N) vẫn còn được sử dụng dẫu rằng dự định
của chương trình là tránh nó? Tại sao người ta chọn cách định nghóa khái niệm giới hạn hàm số qua
khái niệm giới hạn của dãy số? Đâu là lý do xuất hiện và lý do của những chọn lựa nội dung toán về
khái niệm giới hạn trong SGK hiện hành?
Hai định hướng chính của chương trình hiện hành được được Bộ Giáo dục và Đào tạo phê
duyệt:
1) Không thay đổi chương trình CCGD được thể hiện qua ba bộ SGK Toán THPT.
2) Giảm tải, nghóa là giảm nhẹ mức độ yêu cầu, đồng thời giản lược những nội dung quá phức tạp
hoặc xét thấy không cần thiết.
Để tìm câu trả lời cho các câu hỏi đặt ra ở trên, chúng tôi cố gắng xác định sự tiến triển của
các nội dung toán học và những lý do của sự tiến triển này thông qua việc so sánh với các SGK của
chương trình CCGD (1989).

6

Chương trình chỉnh lý hợp nhất áp dụng từ năm 2000.
Đại số và Giải tích 11 của nhóm các tác giả Trần Văn Hạo – Cam Duy Lễ – Ngô Thúc Lanh- Ngô Xuân Sơn – Vũ Tuấn, nhà
xuất bản Giáo dục, 2001

7

Phần II
I. Quan điểm dạy học Giải tích ở Pháp
Kết quả nghiên cứu của chúng tôi trong phần I phù hợp với kết luận về vấn đề giảng dạy
giải tích trong thể chế trung học Việt nam của Lê Văn Tiến:
“Về phần giải tích, đó là một giải tích đại số hóa, nghóa là một giải tích không đặt vấn đề xấp
xỉ và không có các kỹ thuật của những chặn trên và chặn dưới (…)”(Lê Văn Tiến, 2001, tr 224).
Như vậy, đâu là quan điểm về giảng dạy giải tích ở Pháp ngày nay?
Dự định của các nhà cải cách những năm 1981 ở Pháp về vấn đề giảng dạy giải tích được
miêu tả bởi Artigue (1996) như sau:
“Giải tích được xem như một trường của sự xấp xỉ và vấn đề là sắp đặt một sự gặp gỡ liên
tiếp giữa học sinh với trường này, không nên giới hạn các khía cạnh sử dụng công cụ máy tính”
(được kể ra trong luận án của Birebent, 2001, tr 147).
Trong bản tin Inter-irem về vấn đề giảng dạy giải tích (1981, tr 6), Lazet và Ovaert nhấn
mạnh mối liên hệ giữa định tính và định lượng (của giải tích):
“Các vấn đề lớn và các khái niệm (của giải tích) bao gồm cả khía cạnh định lượng và định
tính. Sự đào sâu của hai khía cạnh này phải đi đôi. Những hoạt động trên số, sự nghiên cứu và việc
khai thác các algorit rất hữu hiệu về mặt sư phạm” (được kể ra trong luận án của Birebent, 2001, tr
147).
II. Vấn đề sử dụng máy tính bỏ túi trong giảng dạy Giải tích (tổng quát) và trong giảng dạy khái
niệm giới hạn (đặc biệt) ở Pháp.
II.1. Cũng theo Lazet và Ovaert, mối liên hệ giữa định tính và định lượng (của giải tích) chỉ hoàn
toàn tìm thấy hiệu quả didactique của nó với sự can dự của máy tính bỏ túi, bởi vì:
“ Trong triển vọng này, sử dụng máy tính bỏ túi rất đáng giá bởi nhiều lẽ:
 về tâm lý: công cụ sắc bén đầy thuận lợi cho học sinh, giới thiệu sự cụ thể, sự thực nghiệm;
> về kỹ thuật: để có một dãy từ những kết quả có lợi đến những ghi nhận đúng đắn, những tính toán
dài dòng và chán ngắt thường phải thực hiện. Máy móc sẽ loại bỏ khía cạnh khó chịu này;
> về sư phạm: trong giải tích, nói chung, sự định tính có thể chỉ được hiểu thấu đáo thông qua một
sự thực hành đầy đủ về định lượng;
> về văn hoá: người công dân tương lai sẽ không ngại trước sự tràn ngập các máy vi tính. Những
đối tượng này sẽ không còn là điều bí ẩn đối với anh ta” (được kể ra trong luận án của Birebent,

2001, tr 147).
Theo “Hoạt động chủ đề cho lớp 10” của IREM Grenoble, năm 1981 –1982:
“(…) máy tính bỏ túi là một công cụ sư phạm cho phép học sinh chiếm lónh một số tri thức
toán học. Máy tính bỏ túi cho phép thực hiện các thực nghiệm chuẩn bị để giới thiệu một khái niệm.
Máy tính bỏ túi hoàn toàn cho phép minh họa và kiểm chứng. Ví dụ, ta có thể kể ra khái niệm dãy và
giới hạn mà ở đó máy tính mang đến một “hình ảnh” cụ thể. Với khái niệm hàm số, máy tính bỏ túi
mang đến một sự tiếp cận bổ xung tạo thuận lợi cho sự chiếm lónh khái niệm. Cuối cùng máy tính
cho phép phát triển ở học sinh một số thái độ đối với toán học, và đặc biệt cho sự suy luận toán hoïc:


máy tính bỏ túi cho phép thực hiện các dự đoán. Dự đoán là những hành vi chính yếu trong toán học,
nhưng thường xuyên bị xoá đi trong các phương pháp thường dùng khi trình bày các “bài học hàn
lâm”. Máy tính bỏ túi cho phép làm rõ một số kết quả mà ít nhiều bí ẩn (ví dụ: e0,01 = 1,01005… là
một sự làm rõ của công thức ex = 1 + x + x2/2 + …). Cuối cùng máy tính bỏ túi cho phép kiểm tra
các kết quả nhận được bằng cách đối chiếu với thực nghiệm hay với áp dụng số (…)”.
Tuy nhiên, việc sử dụng máy tính bỏ túi dựa trên một sự xử lý các số hiện thỉ trên màn hình.
Cũng theo bài báo này:
“(…) công cụ tính toán này chứa đựng một số nguy cơ, đặc biệt về sự chính xác của các phép
tính: việc làm tròn thập phân là một vấn đề mà chúng ta phải kiểm soát (…). Ta phải hoàn toàn kiểm
soát các sai số (do việc làm tròn và do phương pháp tính) tạo ra bởi máy tính bỏ túi (…)”
Đâu là sự tiến triển của các chương trình ở Pháp liên quan đến vai trò và vị trí của máy tính
bỏ túi? Máy tính bỏ túi đóng vai trò gì trong việc nghiên cứu khái niệm giới hạn trong giảng dạy
phổ thông ở Pháp?
II.2. Luận án của Trouche (1996) về việc học khái niệm giới hạn hàm số trong môi trường máy tính
bỏ túi.
 L.Trouche đã phân tích các chương trình Pháp từ năm 1960 đến 1996 về vấn đề các công
cụ tính toán trong các chương trình (trang 93 đến trang 101) và chứng tỏ rằng:
- Có một sự tiến triển quan trọng trong các dự định chương trình. Máy tính bỏ túi chiếm một
vị trí ngày càng lớn: năm 1971, người ta nói về việc sử dụng các máy tính trong văn phòng. Năm
1982, người ta yêu cầu sử dụng rộng rãi các máy tính bỏ túi. Kể từ năm 1986, việc sử dụng có hệ

thống các máy tính bỏ túi được thúc đẩy và các máy tính lập trình được khuyên dùng. Giữa những
năm 1991 và 1996, các máy tính đồ thị ngày càng được học sinh sử dụng nhiều hơn nhưng thể chế
dạy học phổ thông vẫn chưa hoàn toàn tính đến nó.
- Bên cạnh sự tiến triển của máy tính bỏ túi, L.Troche ghi nhận việc giảm đáng kể việc trình
bày toán học hình thức. Sự sử dụng các đồ thị, các phép tính số và các công cụ tính toán cho một
khả năng xây dựng cách “cụ thể và trực quan” các khái niệm toán học.
- Với khái niệm giới hạn, sự chuyển đổi didactique, kể từ khi có sự tiến triển của các chương
trình, trình bày một khái niệm giới hạn gắn với hai quan điểm: quan điểm chuyển động học, bắt
nguồn từ việc nhận xét đồ thị và các hiện tượng; quan điểm xấp xỉ (không được kiểm soát), bắt
nguồn từ sự quan sát số.
III. Giả thuyết công việc
Từ đó, chúng tôi phát biểu các giả thuyết công việc:
Giả thuyết công việc:
 Các vấn đề xấp xỉ số cho phép hiểu được nghóa của khái niệm giới hạn theo nghóa topo có
mặt một cách hình thức trong định nghóa bằng (, ): quan điểm xấp xỉ được xuất hiện nhờ các thực
nghiệm số.


 Về máy tính bỏ túi, chúng tôi dùng lại một giả thuyết được phát biểu trong bài giảng của
Laborde (M2 EIAHD, 2003). Giả thuyết này được nhà tâm lý học Rabardel đồng tình:
“Trong một số trường hợp, các kiến thức toán học được xây dựng một cách đồng thời với việc
nảy sinh công cụ”.
Như vậy, việc giảng dạy khái niệm giới hạn trong “môi trường máy tính bỏ túi” đòi hỏi phải
tính đến :
- Mối quan hệ cá nhân của học sinh với máy tính bỏ túi.
- Vị trí của máy tính bỏ túi trong hệ thống dạy học được xem xét.
- Tiến trình dạy học khái niệm giới hạn trong đó máy tính bỏ túi có thể “sống được” .
Cần thiết phải nghiên cứu “trường sinh thái” các công cụ tính toán trong thể chế Việt nam:
Chúng tôi nghiên cứu các chương trình liên tiếp ở Việt nam để trả lời cho các câu hỏi: đâu là
sự tiến triển của chương trình liên quan đến vai trò và vị trí của máy tính bỏ túi? Máy tính bỏ túi

đóng vai trò gì trong chương trình hiện hành?
IV. Sự có mặt của các yếu tố tính toán và tin học trong các chương toán trình liên tiếp của cấp
THCS và THPT Việt nam
IV.1. Giai đoạn trước cải cách giáo dục (trước năm 1985)
Chúng ta hãy tập trung vào chương trình những năm 1960 của miền Bắc Việt nam (hệ 10
năm)
Đối với chương trình này, một trong những mục tiêu dạy Toán là “ bồi dưỡng cho học sinh
những kỹ năng thói quen thành thạo để áp dụng các kiến thức vào các vấn đề thực tế ” (trang 1).
Chương trình xác định: “cần phải rèn luyện cho học sinh kỹ năng làm tính và vẽ, sử dụng bảng số,
các dụng cụ vẽ và dụng cụ đo đạc” (trang 1).
Chúng tôi giới thiệu trong bảng sau các đề mục kiến thức theo cấp lớp phổ thông gắn với
các nhiệm vụ tính toán hay các công cụ tính toán.
C

Đề mục

ấp lớp

cầu
5

HCS

8

8

Các yếu tố tính toán yêu

Tính nhẩm, tính nhanh

và bàn tính.
Các công cụ đo khoảng
cách, ước lượng bằng mắt một
khoảng cách, chế tạo bàn tính.
6
Hình học. Nội dung 1
Các công cụ đo góc, ước
Các khái niệm cơ bản. Đường lượng bằng mắt độ lớn một góc.
thẳng và góc
7
Đại số. Nội dung 5
Bảng bình phương và
Sơ lược về phép khai phương
bảng khai phương.

Lớp đầu tiên của THCS

Số học. Nội dung 1
Số nguyên
Số học. Nội dung 7
Công tác thực hành


8
HPT

0

Hình học. Nội dung 4
Bảng lượng giác, thước

Các hàm số lượng giác của một tính logarit.
góc nhọn
9
Đại số. Nội dung 3
Bảng logarit
Logarit thập phân
Lượng giác. Nội dung 1
Bảng lượng giác.
Các hàm số lượng giác của một
góc bất kỳ
1
Lượng giác. Nội dung 4
Bảng lượng giác và bảng
Giải tam giác
logarit.

Các công cụ tính toán có mặt chính thức trong chương trình này là các bảng số và bàn
tính.Bàn tính xuất hiện trong phần đầu tiên của số học ngay trong lớp đầu (lớp 5) với sự lưu ý như
sau:
“Trong mục này9 cần chú ý đến việc sử dụng thành thạo bàn tính để làm các phép tính (nhất
là cộng và trừ). Việc sử dụng bàn tính không phải chỉ bó hẹp trong mấy giờ đã quy định trong
chương trình mà phải chú ý đến luôn cả trong khoá trình số học”. (trang 4).
Ở thời điểm này, bàn tính được sử dụng rộng rãi trong đời sống thường nhật, nhất là trong
thương mại của những người Việt gốc Hoa nhờ vào các tính chất như: dễ chế tạo, dễ sử dụng (trong
khi chưa có máy tính bỏ túi) và giá thành thấp. Hơn nữa, việc học sử dụng bàn tính một cách ngầm
ẩn dựa trên các tính chất của số nguyên, ví dụ, lý thuyết đồng dư .
Một lời bình chú khác của chương trình:
“ (…) Một điểm trọng yếu nữa của số học là tập cho học sinh tính nhẩm thông thạo về số
nguyên, phân số, số thập phân và tính nhanh.
Tính nhẩm không những gắn liền toán học với thưc tế, mà còn có tác dụng giáo dục (phát

triển óc suy nghó, trí nhớ, sức chú ý, sự nhanh trí, tính tháo vát v.v…). cần quan niệm rằng bất cứ ở
lớp nào, giờ nào, nếu có điều kiện dạy thêm những quy tắc mới hoặc áp dụng tính nhẩm được thì
không nên bỏ qua (…)” (trang 7)
Hiện tại, bàn tính đã biến mất trong nhà trường và đời sống thường nhật.
Vậy phương tiện tính toán nào đã thay thế? Dường như là máy tính bỏ túi đã thay
thế bàn tính.
Chương trình của những năm 1960 ở miền Bắc Việt nam rất nhấn mạnh việc
dạy cho học sinh tính nhẩm và tính nhanh. Liệu chương trính hiện hành có quan
tâm đến những kỹ năng này? Máy tính bỏ túi có vai trò gì so với các kỹ năng này?
IV.2 Giai đoạn CCGD từ 1986 đến 1999
Chương trình THCS của giai đoạn này đã được soạn thảo vào cuối những năm 1970. Tiếp
theo, nó được triển khai áp dụng lần lượt từ những năm 1986. Sau một số điều chỉnh và bổ sung, nó
ổn định trong những năm 1994. Ở THPT, chương trình CCGD được áp dụng trong những năm 1990.

9

Mục số nguyên


Chương trình của những năm 1994
C

Đề mục

6

Số học. Phần I
Tập hợp các số tự hiên

Các yếu tố tính toán yêu cầu

ấp lớp
TH
CS

TH
PT

1

Tính nhẩm, tính nhanh, bảng
tích của hai số tự nhiên có hai chữ
số và máy tính bỏ túi
Số học. Chương II. Phần
Bảng phần trăm của một số ,
II
bảng tỷ số phần trăm của hai số
Phép tính vế phân số
8
Hình học 8. Chương II
Bảng lượng giác
Tỷ số lượng giác của
một góc nhọn
9
Đại số 9. Chương I
Bảng căn bậc hai, bảng căn
Số thực – căn bậc hai bậc ba và máy tính bỏ túi
(căn bậc ba)
1
Đại số 11. Chương I

Bảng lượng giác và máy tính
Hàm số lượng giác
bỏ túi
Đại số 11. Chương VI
Bảng lượng giác và máy tính
Hàm số mũ
bỏ túi.

- Trong phần hướng dẫn giảng dạy về số học lớp 6, người ta đọc thấy rằng: “phải chú trọng
đến các loại hình tính nhanh, tính nhẩm một cách thông minh” (tr13)
Bàn tính đã biến mất trong chương trình này. Thay vào đó, ngay từ đầu cấp II (lớp 6), trong
phần số học (Chương I. Bổ túc về số tự nhiên), là phần D, Bảng số – biểu đồ – máy tính bỏ túi, gồm
các bài học sau:
§19 – Bảng tích đúng của các số có hai chữ số
§20 –Biểu đồ
§21 – Hệ nhị phân. Ordinateur
§22 –Máy tính bỏ túi
Hệ nhị phân và máy tính điện tử xuất hiện trong chương trình mà không có lời giải thích nào.
Hơn nữa, chúng là những nội dung không quan trọng của chương trình bởi vì với bài kiểm tra
chương I (tiết thứ 34), “nội dung chủ yếu là các bài toán trong N” (trang 17). Bảng căn bậc hai được
giới thiệu trong phần đại số lớp 9, ở bài học 6, bảng căn bậc hai, của chương I, số thực – căn bậc
hai. Mục đích của nó là “học sinh phải biết cách khai căn, biết sử dụng bảng căn bậc hai, bậc ba,
máy tính bỏ túi”. (tr 50)
Chúng ta bắt gặp các kiến thức tin học trong chương IV của lớp 10 với nhan đề: Khoa học và
kỹ thuật tính toán, bao gồm các nội dung: phương pháp tính, thuật toán, máy tính điện tử và tin học.


Một số dấu vết còn lại của bàn tính
Chúng tôi không thể tìm thấy chương trình của những năm 1986. tuy nhiên, trong một quyển
SGK toán lớp 6 của nhóm các tác giả Lê Hải Châu – Nguyễn Gia Cốc, tập I, phần số học, chúng

tôi ghi nhận:
- Bàn tính được giảng dạy rất kỹ lưỡng trong các bài học sau của chương I, bổ túc về số tự
nhiên: §15. Bàn tính; §16.Cộng bằng bàn tính; §17. Trừ bằng bàn tính.
- Máy tính bỏ túi chỉ xuất hiện trong bài đọc thên nhan đề “ máy tính bỏ túi”.
Máy tính bỏ túi có mặt rất sớm nhưng không có chỉ thị hay giải thích gì:
những máy tính bỏ túi nào được chương trính cho phép sử dụng? Trong mỗi bài học
thì chức năng nào của máy tính bỏ túi được phép sử dụng?
Tồn tại cùng lúc các bảng số và máy tính bỏ túi trong chương trình năm
1994 đồng thời số lượng các bảng số tăng lên. Làm sao để giải thích cho hiện
tượng này? Điều này còn tiếp diễn trong chương trình hiện hành hay không?
IV.3 Chương trình hiện hành, được áp dụng kể từ năm 2000 (Chương trình chỉnh lý và hợp
nhất).
Sự thay đổi này đặt trên tư tưởng làm giảm tải chương trình trước đó
 Chương trình THCS vẫn còn là chương trình của những năm 1994
Chúng tôi đã có những thăm dò không chính thức với các giáo viên cấp II ở TP HCM và
những học sinh đầu lớp 10. Những điều sau đây còn phải được xác nhận lại trong một cuộc điều tra
chính thức và hệ thống hơn:
- Phần lớn các giáo viên cấp II cho phép học sinh của mình sử dụng máy tính bỏ túi để tính
các tỷ số lượng giác, khai căn bậc hai và căn bậc ba. Ngược lại, các bảng số rất ít khi được đề cập
đến.
- Vào đầu lớp 10, nhiều học sinh đã sở hữu và biết sử dụng máy tính bỏ túi Casio fx-500A có
các chức năng lượng giác, khai căn bậc hai và căn bậc ba … ngoài ra máy tính này còn có chức
năng giải các hệ phương trình bậc nhất hai, ba ẩn và phương trình bậc hai một ẩn.
Ở cấp II, máy tính bỏ túi có được giáo viên và học sinh sử dụng hay không?
Sử dụng để làm gì? Khi nào và như thế nào? Kiểu máy tính bỏ túi nào là nhiều
nhất? Như vậy, các bảng số đóng vai trò gì?
 Chương trình THPT
Hai định hướng chính của chương trình hiện hành được được Bộ Giáo dục và Đào tạo phê
duyệt:
1) Không thay đổi chương trình CCGD năm 1989 được thể hiện qua ba bộ sách giáo khoa Toán

THPT.
2) Giảm tải, nghóa là giảm nhẹ mức độ yêu cầu, đồng thời giản lược những nội dung quá phức tạp
hoặc xét thấy không cần thiết.
So với chương trình CCGD, các kiến thức về tin học và máy tính điện tử không còn nữa.
Ngược lại, mỗi năm học được dự kiến ba buổi học sử dụng máy tính Casio


fx-500A10 với lưu ý như sau: “việc sử dụng máy tính bỏ túi không chỉ bó buộc trong 3 buổi quy định
nhưng cần phải sử dụng máy tính bỏ túi trong suốt chương trình, giáo viên phải lợi dụng những thời
điểm thích hợp để giải thích cho học sinh cách sử dụng máy tính bỏ túi”11 (SGV 10)
Ở THPT, máy tính bỏ túi Casio fx-500A được cho phép rõ ràng trong chương
trình. Các bảng số đã biến mất.
Xem xét chương trình dự kiến trong tương lai, ta có thể nhận thấy rằng có
một sự lưỡng lự của các noosphère Việt nam giữa việt kết hợp môn tin học vào
Toán học hay đặt độc lập như một môn học , “Tin học”.
IV.4. Chương trình thí điểm
Sự cải cách dự kiến của chương trình tương lai, trước hết, vẫn tiếp tục ý tưởng “giảm tải”
nhưng cùng với mong muốn thay đổi phương pháp dạy và học.
 Chương trình THCS
- Một căn cứ để xây dựng chương trình này là “đối chiếu với xu thế của thế giới hiện này thì
chương trính và SGK môn Toán THCS của nước ta còn quá coi trọng về lý thuyết kinh viện và chưa
quan tâm đúng mức đến thực hành(…)” (tr 14).
- Một trongnhững mục tiêu của môn Toán đối với chương trính này là “hình thành và rèn
luyện các kó năng: tính toán sử dụng bảng số và máy tính bỏ túi (…)”(tr 4)
- Các kiến thức tin học đã hoàn toàn biến mất. Tin học tách khỏi môn Toán.
- Cũng không còn bài học nào về máy tính bỏ túi.
- Tuy nhiên, trong phần về phân số, các bảng phần trăm và tỷ số phần trăm đã biến mất thay
cho chúng giáo viên “chú ý thích đáng đến yêu cầu hùng dẫn HS sử dụng máy tính bỏ túi để giảm
nhẹ tính toán và để ứng dụng thiết thực trong đời sống”.(tr18)
Trong chương trình này, các tỷ số lượng giác đã biến mất cùng với bảng lượng giác.

Ở lớp 9, bảng khai căn bậc hai vẫn còn tồn tại trong phần đại số chương I: Bảng căn bậc hai.
Khai phương bằng máy tính bỏ túi.
Máy tính bỏ túi chỉ được hiểu như một công cụ giúp đỡ tính toán có thể thay
thế cho các bản số. Giáo viên được khuyến khích hướng dẫn học sinh sử dụng máy
tính bỏ túi. Nhưng không biết khi nào? Loại máy nào? Và hướng dẫn thế nào?
 Chương trình THPT
Chương trình này vẫn đang được thảo luận và sửa chữa. Dựa trên bảng định hướng của
chương trình, chúng tôi ghi nhận các điểm sau đây:
- Các bảng số đã hoàn toàn biến mất.
- Chương trình cho phép học sinh sử dụng máy tính Casio fx-500MS (C2), hiện đại và nhiều
chức năng hơn máy Casio fx-500A (C1)12.
10

Máy tính bỏ túi Casio fx – 500A (hay tương đương) được cho phép trong cuộc thi Tú tài và thi Tuyển đại học
Trong những năm gần đây, Bộâ GD-ĐT và các sở GD địa phương cùng với sự tài trợ của công ty xuất nhập khẩu Bình Tây (một
công ty phân phối các máy tính bỏ túi Casio) tổ chức thường niên cuôc thi giải toán nhanh với máy tính bỏ túi cho học sinh. Quy
mô và chất lượng cuộc thi ngày càng lớn, điều này khuyến khích việc sử dụng máy tính bỏ túi và xuất hiện nhiều kiểu máy tính
mới gồm cả kiểu máy lập trình và đồ thị.
12
So với C1 thì C2 có đặc điểm sau :
 Trình tự soạn thảo như cách viết tự nhiên (với C1 phải thao tác với tiến trình ngược ).
11


- Lần đầu tiên người ta nói đến việc sử dụng máy tính bỏ túi giải gần đúng các phương trình
và hệ phương trình trong thể chế phổ thông Việt nam.
- Tin học trở thành một môn học độc lập và tách khỏi môn Toán.
IV.5. So sánh và nhận xét
ăm

960

994

Tín
B
h nhẩm,
àn tính
tính
nhanh
Có
C
vị trí rất ó vị trí
quan trọng rất quan
trọng
Vị
Bi
trí
quan ến mất
trọng

Tươ
000

ng tự

Các bảng
số

bình

phương, căn bậc
hai, lượng giác,
logarit
Tích
của
hai số tự nhiên có
hai chữ số, phần
trăm của một số,
tỷ số phần trăm
của hai số, căn bậc
hai, căn bậc ba,
lượng giác, logarit

Máy tính
bỏ túi

Kiến thức
tin học

Chưa xuất
hiện
hiện

THCS
Xuất hiện
đầu lớp 6, không
có quy định gì
THPT
Cho phép,
không có quy định

gì

Chưa

THCS
Xuất hiện
trong phần số học
6.
THPT
Xuất hiện
trong phần Đại số
10.

K
Các bảng
THCS
THCS
hông còn số đã biến mất ở
Tương
tự
Tương
tự
THPT
năm 1994
1994
THPT
THPT
Cho phép
biến mất
C1

Có
T
Căn
bậc
Tin
THCS
ương vị trí ít ương tự hai (chỉ có ở cấp
GV phải tách khỏi
II)
lai
quan
hướng dẫn HS sử Toán
trọng hơn
dụng máy tính bỏ
túi, không quy có
định gì
THPT
Cho phép
C2



xuất

học
môn

Có thêm dòng soạn thảo. Như vậy, ta có thể sửa chữa hay kiểm tra dòng lệnh đã soạn thảo (trong khi C1 chỉ hiện thị
kết quả).

Có nhiều chức năng hơn :
- Các hệ đếm : 2, 8, 10, 16
- Nhập các công thức (ta có thể xem như một kiểu của lập trình)
- Giải gần đúng phương trình bậc ba một ẩn.
- Số phức …


Nhận xét
- Sự có mặt và tiến triển của máy tính bỏ túi đi cùng với sự biến mất của bàn tính và sự giảm
yêu cầu về tính nhẩm và tính nhanh.
- Ở THCS, máy tính bỏ túi chỉ đóng vai trò hổ trợ các phéo tính số và nhất là thay thế các bảng số. Ở
THPT, việc quy định kiểu máy tính bỏ túi sử dụng đồng nghóa với việc được phép sử dụng máy tính bỏ túi này
trong các cuôc thi Tú tài và thi Tuyển Đại học. Nhưng máy tính bỏ túi không được tính đến trong tiến trình
dạy học.

- Mặc dù máy tính bỏ túi xuất hiện và tiến triển, các bảng số vẫn tồn tại. Như vậy, máy tính
bỏ túi chỉ được kuyến khích chứ không bắt buộc.
- Các kiến thức tin học không được tính đến trong việc giảng dạy với máy tính bỏ túi (máy đồ
thị, máy lập trình …). Khi nói về Tin học, các chương trình ám chỉ sử dụng máy tính điện tử.
Trong hoàn cảnh như vậy của thể chế, bây giờ chúng tôi sẽ xây dựng một đồ án didactic với
mục tiêu là giảng dạy khái niệm giới hạn hàm số trong quan điểm xấp xỉ và trong môi trường
máy tính bỏ túi. Chúng tôi nhắc lại các giả thiết công việc hướng dẫn việc xây dựng đồ án:
 Các vấn đề xấp xỉ số cho phép hiểu được nghóa của khái niệm giới hạn trong cách đặt vấn
đề topo có mặt một cách hình thức trong định nghóa bằng (, ): quan điểm xấp xỉ xuất hiện từ sự
thực nghiệm số.
 Trong một số trường hợp, các kiến thức toán học được xây dựng một cách đồng thời với
việc nảy sinh công cụ.
V. Đồ án dạy học
Mục tiêu của đồ án: tổ chức một lần gặp gỡ mới với khái niệm giới hạn hàm số. Lần gặp
gỡ này cho phép giới thiệu một quan niệm xấp xỉ (một nghóa topo) của khái niệm.

Vấn đề tổng quát: lim f ( x )  L  “với mọi lân cận VL của L cho trước, tồn tại một lân cận
x a

Va của a sao cho mọi ảnh của Va thuộc vào VL”.
Lựa chọn một hàm số f tiến về L (hữu hạn hay vô hạn) khi x tiến về a (hữu hạn hay vô hạn):
Phân tích SGK hiện hành cho phép trình bày một hợp đồng thể chế (CI) liên quan đến giới
hạn của các hàm số như sau:
Người ta chỉ đề nghị các hàm số hữu tỷ hay vô tỷ mà các hằng số của nó hoặc là các số
nguyên hoặc là các n ( n  N ) . Về vấn đề tính giới hạn của hàm số, a và L luôn luôn hoặc là số
nguyên hoặc vô cực.
 Giới hạn trên bản chất của hàm số f và giá trị L (giá trị cố định của các biến)
Chọn lựa một hàm số hữu tỷ tiến về 3 khi x tiến về a
Ax 2  Bx  C
Chọn một hàm số f(x) định nghóa bởi f ( x) 
sao cho:
x2  a2
( x  a)( Dx  E )
với D.a + E = 6a
f ( x) 
( x  a )( x  a )


Nếu a khác không thì D 

E
6
a

Dx  E
Da  E

Da  E
 g ' ( x) 



g
x
"
(
)
2
.
xa
( x  a) 2
( x  a) 2
Vì thế, a càng gần 0 thì tốc độ hội tụ của hàm số f(x) tại a càng tăng.
 Chọn lựa a vô tỷ hay thập phân hay nguyên:
Một vài ví dụ: với cặp tham soá (D, E/a)
5 x 2  4 2 x  2 ( x  2 )(5 x  2 )

 a = 2 : f 51 ( x) 
x2  2
( x  2 )( x  2)
g ( x) 

x 2  5,4 x  9,1125 ( x  1,35)( x  6,75)
 a =1,35 : f 15 ( x ) 

x 2  1,8225
( x  1,35)( x  1,35)

2,5 x 2  2,4 x  0,72 ( x  1,2)(2,5 x  0,6)
 a =1,2 : f 51 ( x) 

0,5 x 2  0,72
0,5( x  1,2)( x  1,2)
2
x x2
( x  1)( x  2)
 a = 2 : f 42 ( x) 

2
0,25 x  1 0,25( x  2)( x  2)
x 2  0,1x  0,02 ( x  0,2)(4 x  0,4)
 a = 0,2 : f 42 ( x) 

0,25 x 2  0,01
( x  0,2)( x  0,2)
 Tốc độ hội tụ tại a trên một số dữ liệu được cho bởi máy tính bỏ túi C2
Ví dụ : a = 1,2 và a = 0,2
2,5 x 2  2,4 x  0,72 ( x  1,2)(2,5 x  0,6)
5 x  1,2
f 1 ( x) 

 g1 ( x) 
2
x  1,2
0,5 x  0,72
0,5( x  1,2)( x  1,2)
2
x  0,1x  0,02 ( x  0,2)(4 x  0,4)

4 x  0,4
f 2 ( x) 

 g 2 ( x) 
2
x  0,2
0,25 x  0,01
( x  0,2)( x  0,2)
0,199999

0,1999999999 0,19999999999

2,999999167 2,999999917 2,999999992 2,999999999 2,999999999 2,99999999999

x
g2(x)

0,199999
2,9999975

x =x –a 10-6

0,1999999

0,19999999 0,199999999

x
g1(x)

0,1999999 0,19999999 0,199999999 0,1999999999 0,19999999999

2,99999975 2,999999975 2,999999998 3
3
10-7

10-8

10-9

10-10

10-11

 Cố định giá trị của f và a
x 2  0,1x  0,02 ( x  0,2)(4 x  0,4)
Hàm số f ( x) 
tiến về 3 khi x tiến về 0,2

0,25 x 2  0,01
( x  0,2)( x  0,2)
Khảo sát hàm soá
Df = R \ {-0,2; 0,2}
0,4
> 0 x   0,2
f ' ( x) 
( x  0,2) 2
Bảng biến thiên của hàm số f


x
f'(x)

f(x)

-
+
+
4

-0,2

0,2
+

4
+

+
+

3

 Lý do lựa chọn
 Chọn a
 Việc lựa chọn a hữu hạn (thay vì vô hạn) cho phép khảo sát một lân cận (một khoảng) của a
như là tập hợp các giá trị gần đúng của a bằng máy tính bỏ túi.
 Việc lựa chọn a thập phân (thay vì nguyên hay vô tỷ) làm chấm dứt hợp đồng thể chế CI , vì thế
tạo thuận lợi cho việc sử dụng máy tính bỏ túi.
 Chọn L
 Việc chọn L hữu hạn (thay vì vô hạn) có cùng lý do như việc chọn a hữu hạn.
 Việc chọn L nguyên (thay vì thập phân hay vô tỷ) tôn trọng CI cho phép sự trở lại lónh vực đại
số trong pha thể chế hoá.

 Chọn hàm số f
 Chọn f là hàm số là hữu tỷ hay vô tỷ hay lượng giác hay logarit hay lũy thừa.
Việc chọn hàm số f hữu tỷ, “nhân tử hóa được” và bổ sung được cho tính liên tục tại điểm a
cho phép sự khởi đầu trong lónh vực đại số quen thuộc và cuối cùng quay lại lónh vực này để hợp
thức hoá.
 Việc chọn lựa các hằng số của f(x) và giá trị a thập phân là ngoài hợp đồng CI bởi vì chúng tôi
muốn giấu đi vấn đề giới hạn, thúc đẩy sự sử dụng máy tính bỏ túi cho các công việc xấp xỉ số
như một lối tiếp cận giải tích.
Mô tả diễn tiến
Máy tính bỏ túi được cho phép trong mọi hoạt động
 Công việc cá nhân
Giáo viên ghi lên bảng: cho hàm số f xác định bởi công thức f ( x) 

x 2  0,1x  0,02
0,25 x 2  0,01

Hoạt động 1:
 Yêu cầu (trên phiếu 1): Giải phương trình f(x) = 3
 Tổ chức:
- Phát phiếu 1 và yêu cầu học sinh làm việc độc lập trong 10 phút.
- Thu các phiếu 1 và cùng lớp học tổng kết trên bảng (5 phút) :
Vì 0,2  Df =R\{0,2} (hay 0,2 không thỏa điều kiện x  0,2}. Nên không tồn tại giá trị nào của
x sao cho f(x) = 3.
Hoạt động 2:
Yêu cầu ( trên phiếu 2A và 2B):
Vấn đề 1 (trên phiếu 2A): Hãy tìm ba giá trị của x sao cho 2,99  f(x) < 3,01.
Vấn đề 2 (trên phiếu 2B): Hãy tìm ba giá trị của x sao cho 2,99 < f(x)  3,01.


 Tổ chức:

- Phát các phiếu 2A và 2B (một nửa lớp làm việc trên phiếu 2A, nửa còn lại trên 2B) và yêu
cầu học sinh làm việc độc lập trong 20 phút.

 Công việc nhóm
Hoạt động 3:
 Yêu cầu (trên phiếu 3A và 3B) :
Vấn đề 1 (trên phiếu 3A) : Hãy đề nghị một cặp số (x; f(x)) sao cho giá trị f(x) gần số 3 nhất
mà em có thể tìm được và x < 0,2.
Vấn đề 2 (trên phiếu 3B) : Hãy đề nghị một cặp số (x; f(x)) sao cho giá trị f(x) gần số 3 nhất
mà em có thể tìm được và x < 0,2.
 Tổ chức:
- Yêu cầu học sinh giữ lại các phiếu 2A và 2B trong 10 phút đầu của hoạt động 3.
- Chia học sinh thành các nhóm (khoảng 4 hs/nhóm). Một nửa các nhóm đầu tiên (gồm những
học sinh đã là việc trên vấn đề 2A) sẽ làm việc theo nhóm trên vấn đề 3A, nửa còn lại làm việc
trên vấn đề 3B. Thời gian làm việc theo nhóm là 20 phút.
- Giáo viên thông báo rằng nhóm thắng cuộc là nhóm có cặp (x; f(x)) tốt nhất. Các nhóm phải
ghi cặp (x; f(x)) của mình vào thông báo R và cách tìm vào thông báo F.
- Dán các phiếu R lên bảng.
- Cùng lớp quyết định một tiêu chuẩn để kết luận cặp số nào tốt nhất: đại diện của nhóm có cặp
số tốt nhất sẽ trình bày về cách tìm cặp số này.
V.1. Phân tích tiên nghiệm đồ án
Vấn đề toán học ngầm ẩn: không có giá trị x nào sao cho f(x) = 3. Tuy nhiên, để có giá trị
f(x) thật gần 3 với một độ xấp xỉ quy định trước, điều kiện đủ là chọn x gần 0,2 với một độ xấp xỉ
thích hợp.
Hoạt động 1
Mục tiêu didactic: không tồn tại giá trị nào của x để f(x) = 3 bởi vì 0,2  Df
Các câu trả lời:
Df =R\{0,2} (hay điều kiện x  0,2}
x 2  0,1x  0,02
Câu trả lời1 :

 3  x 2  0,1x  0,02  0,75 x 2  0,03  0,25x2 – 0,1x + 0,01  x =
2
0,25 x  0,01
0,2  Df (hay không thoả điều kiện)
x  0,1
x 2  0,1x  0,02
( x  0,2)( x  0,1)
Câu trả lời 2 :
x=
3
3
 3
2
0,25 x  0,01
0,25( x  0,2)( x  0,2)
0,25( x  0,2)
0,2  Df (hay không thoả điều kiện)
Vậy phương trình vô nghieäm.


Các hằng số thập phân của phương trình tạo thuận lợi cho các chiến lược đại số với sự trợ giúp của
công cụ máy tính bỏ túi như trong những tính toán đối với các bài toán vật lý.
Chúng ta có thể giả thiết rằng sẽ không có sự đặt nhân tử chung và đơn giản trong phương trình trên
bởi vì học sinh không được yêu cầu tính giới hạn: thế là, chúng tôi đặt học sinh ở ngoài phạm vi vận
hành của quy tắc hành động RA3.
Hoạt động 2
Mục tiêu didactic:
Tồn tại các giá trị của x sao cho f(x) nhận các giá trị trong một lân cận (cụ thể) cho trước của
3.
Khái niệm lân cận.

Các chiến lược dự kiến để tìm mỗi giá trị của x
S1. Chiến lược đại số phương trình:
Tìm x bằng cách giải một phương trình, ví dụ, f(x) =2,99 có (hay không có) sự giúp đỡ của máy
tính bỏ túi.
S2. Chiến lược đại số bất phương trình:
Bằng cách giải các bất đẳng thức, chẳng hạn, 2,99  f(x) < 3,01
S3. Chiến lược giải tích ngầm ẩn (với các kiến thức ngầm ẩn của tính liên tục và tính đơn điệu):
Chẳng hạn, lấy một giá trị x (b; 0,2), xét xem f(x) có thỏa mãn yêu cầu hay không với (hay không
cần) sự giúp đỡ của máy tính bỏ túi.
Một số tiến trình dự kiến để tính 3 giá trị của x
[S13]: Giải ba phương trình f(x) = m với m [2,99; 3) (hay (3; 3,01]).
[S12-S3]: Giải hai phương trình để tìm x1 và x2; sau đó lấy một giá trị x (x1; x2).
[S1- S32]:Giải 1 phương trình để tìm x1 sau đó lấy x2, x3 trong (x1; 0,2) (hay (0,2; x1)).
[S33]: Thực hiện 3 lần “thành công” chiến lược S3.
[S2]: Cho một khoảng các giá trị của x.
Biến didactic
V1. Số lượng các giá trị x cần tìm: n = 1, n =2, n =3 hay nhiều hơn hay tất cả.
Với n = 1 hay 2, học sinh chỉ sử dụng chiến lïc đại số S1. Với n quá lớn hay tất cả, sẽ khiến cho
học sinh giải các bất phương trình theo chiến lược S2.
Việc lựa chọn n = 3 cho phép tạo thuận lợi bước chuyển từ các chiến lược đại số sang chiến lược
giải tích ngầm ẩn. Trong trường hợp này chiến lược S2 rất tốn kém.
V2. Độ xấp xỉ f(x) - 3  : (trong trường hợp này  = 0,01)
  = 0,01 hay  = 0,0r (1Với  = 0,05 , chẳng hạn, để tìm 3 giá trị của x sao cho 2,95  f(x) < 3,05 (tương ứng 2,99 <
f(x)  3,05), người ta có thể giải các phương trình f(x) = m với m bằng 2,95 ; 2,96 et 2,97 (tương
ứng 3,05 ; 3,04 ; 3,03). Trong khi  = 0,01, với 2,99  f(x) < 3,01 (2,99 < f(x)  3,01), việc áp dụng
tiến trình S13 đòi hỏi phải chọn m trong D3 (thí dụ 2,991). Điều này hy vọng làm tăng khả
năng thay đổi từ chiến lược đại số sang giải tích ngầm ẩn.
  = 10-2 hay  rất nhỏ

Nếu ta chọn  quá nhỏ, sự thực hiện các tính toán dù với sự trợ giúp của máy tính bỏ túi
gặp rất nhiều khó khăn, thậm chí, có thể vït khỏi phạm vi tính toán của máy tính bỏ túi.
Với  = 10-2 , ta giả sử, đầu tiên, học sinh giải phương trình:
x 2  0,1x  0,02
 2,99 (tương ứng 3,01)  0,2525x2 – 0,1x + 0,0099 = 0 (tương ứng
2
0,25 x  0,01
0,2475x 2 – 0,1 x + 0,0101) với x   0,2
Kết quả:
- Nếu sử dụng chức năng giải phương trình bậc hai của máy tính bỏ túi :
Với C1 : x1 = 0,2 và x2  0,19604 (tương ứng 0,20404)
Với C2 : x1 = 0,2 và x2  0,196039604 (tương ứng 0,204040404)
- Nếu tính  =10-6 :
0,099 99
ta có x1 = 0,2 và x 2 

 0,196039604 với cả hai máy C1 và C2 (tương ứng
0,505 505
0,101 101

 0,204040404 ).
0,495 495
4 x  0,4
0,19 19

- Nếu đặt nhân tử chung rồi đơn giản: (1) 

 2,95 với x  0,2  x 
1,05 105

x  0,2
0,196039604 (với cả C1 và C2).
Trong trường hợp này, các giá trị gần đúng của x2 (cung cấp bởi máy tính bỏ túi) chưa
trùng với 0,2 , tạo thuận lợi cho các chiến lược S313.
Một vài giá trị gần đúng cho bởi máy tính bỏ túi :
Bên trái 0,2:
x
0,196
0,199
0,199999
g(x)(C2) 2,98989899 2,997493734 2,9999975
2,98989899 2,997493734 3

f(x)(C2)

g(x)(C1) 2,98989899 2,997493734 2,9999975
2,98989899 2,997493734 2,9999975

f(x)(C1)

0,199999999

0,1999999999 0,19999999999

2,999999998 3

3

3

3

3

2,999999997 không thể

không thể

3

không thể

không thể

13

So sánh với phương trình khác
5x 2  4 2 x  2

 2,99  2,01x2 – 4 2 x + 3,98 = 0 avec x  
x2  2
Nếu sử dụng chức năng giải phương trình bậc hai của máy tính bỏ túi:
với C2 : x1  1,414213562 et x2  1,400141786
với C1 : x1  1,414 et x2  1,40036
Những bất lợi xuất hiện

Thí dụ( với a= 2 ):

- Việc nhậnr ra giá trị gần đúng của 2 .
- Sự phức tạp trong các thao tác bằng máy tính, nhất là với C1.

- Sự khác nhau giữa x2 trong hai loại máy tính bỏ túi .
Điều này gây nên sự nhiễu loạn không phù hợp với mục đích của chúng tôi.

2


Bên phải 0,2 :
x
0,204
0,201
0,200001
g(x)(C2) 3,00990099 3,002493766 3,0000025
3,00990099 3,002493766 3

f(x)(C2)

g(x)(C1) 3,00990099 3,002493766 3,0000025
3,00990099 3,002493766 3,0000025

f(x)(C1)

0,200000001

0,2000000001 0,20000000001

3,000000003 3

3

3

3

3

3,000000002 không thể

không thể

3

không thể

không thể

V3. Dạng của lân cận :
 Lân cận là một khoảng đóng hay không đóng. Nghóa là, 2,99; 3,01 hay 2,99; 3,01) hay (
2,99; 3,01 hay ( 2,99; 3,01)
Nửa lớp làm việc trên nửa khoảng 2,99; 3,01) (và nửa còn lại trên ( 2,99; 3,01 ). Giả sử
rằng, đa số HS xuất phát từ việc giải phương trình f(x) = 2,99 (tương ứng f(x) =3,01) và còn
phải tìm hai giá trị còn lại theo yêu cầu.
Nếu ta chọn khoảng đóng 2,99; 3,01 , sẽ tạo thuận lợi cho việc giải các phương trình
f(x) = 2,99 et f(x) =3,01. như vậy là ít có khả năng sử dụng chiến lược khác.
 Lân cận có đối xứng qua 3 hay không
Việc chọn một lân cận đối xứng muốn mang đến một sự cân bằng về thời gian, về chi
phí công việc... chư3 học sinh khi làm việc trên hai vấn đề khác nhau.
Hoạt động 3
Mục tiêu didactic :
E1: Với mọi giá trị b gần 3, luôn tồn tại một giá trị a gần 0,2 sao cho f(a) = b
E2 : Mối liên hệ giữa E1 với ký hiệu lim f ( x)  3

x   0, 2

E3 : kết quả 3 được cho bởi máy tính bỏ túi tương ứng với một khoảng tâm 3, (3-; 3+), với  rất
nhỏ.
Hai chiến lược dự kiến
- Chiến lược lân cận của 0,2 (gắn với chiến lược S3 của hoạt động 2): tính các f(0,199…9r)
(tương ứng f(0,200…0r).
- Chiến lược lân cận của 3 (gắn với chiến lược S1 và S2 của hoạt động 2) : tìm x bằng cách
giải phương trình f(x) = 2,99…9r (tương ứng 3,00…00r).
Pha thể chế hoá:
Đánh giá sự xấp xỉ của f(x) với 3 bằng khoảng cách f(x) - 3.
 Chiến lược lân cận của 0,2 : Việc máy tính bỏ túi cho kết quả 3 trong các phép tính
...
99 ) (tương ứng f(0,1 00
...
01 ) )(n >8) gây ra bởi khoảng cách f(0,1 99
...
99 ) (resp.
f(0,1 99



n

...
01 ) ) với 3 “khá” nhỏ.
f(0,2 00

n

n

n