Giới hạn - hàm số ( ôn thi học kỳ II)

Bài 1:Giới hạn
-Một số định lý về giới hạn
0
lim ( )
x x
f x a

=
;
0
lim ( )
x x
g x b

=
:

0
lim( ( ) ( ))
x x
f x g x a b

=

0
lim ( ). ( ) .
x x
f x g x a b

=

0
( )
lim
( )
x x
f x a
g x b

=
nếu:
0
lim ( )
x x
g x b

=
0

-Một số giới hạn đặc biệt:

0
sin
lim 1
x
x
x

=

0

1
lim(1 )
x
x
e
x

+ =

0
1
lim 1
x
x
e
x


=

0
ln(1 )
lim 1
x
x
x

+
=
-Ngoài ra ta còn chú ý đến giới hạn 0/0,để giải loại này ta có các phơng pháp nh sau:

+Phân tích thành nhân tử
+Nhân liên hợp
+Thêm bớt hạng tử
-Ta xét một số ví dụ cụ thể :
Ví dụ 1:
I=
3 2
2
3
4 4 3
lim
3
x
x x x
x x

+

Giải: Ta sử dụng phân tích thành nhân tử nh sau:
I=
2
3
( 3).( 1)
lim
( 3).
x
x x x
x x

+

=
2
3
( 1) 7
lim
3
x
x x
x

+
=
Ví dụ 2: I=
2
0
1 1
lim
x
x
x

+
Ví dụ 3: I=
3
2
2
1
5 7
lim

1
x
x x
x

+

Giải: Rõ ràng để liên hợp là rất khó khăn,nên ta dùng phơng pháp thêm bớt hạng
tử nh sau:
I=
3
2
2 2
1 1
5 2 7 2
lim lim
1 1
x x
x x
x x

+



5
24
=
Và từ đó có thể liên hợp để tính tổng giới hạn .
*Phơng pháp trên đuợc gọi là phơng pháp tách bộ phận kép.Nhiều khi ta phải

thêm vào một biểu thức chứ không phải là số hạng.
Ví dụ 4: I=
3
2
0
2 1 1
lim 1
sin
x
x x
x

+ +
=
Ví dụ 5: I=
3
0
2 1 8 13
lim
12
x
x x
x

+
=
Ví dụ 6: I=
0
lim
ax bx

x
e e
a b
x


=
(a,b

0)
1
Ví dụ 7: I=
1
lim .
x
x
x e x
+


ữ

Ví dụ 8: Xét hàm số:
( )y f x x= =
Tính giới hạn sau:
0
( ) ( )
lim
h
f x h f x

h

+
(
0x

)
-Ngoài các giới hạn cơ bản trên ta còn có giới hạn phải và trái :
+
0
lim ( )
x x
f x
+

:Giới hạn phải
+
0
lim ( )
x x
f x


:Giới hạn trái
-Hàm số có giới hạn tại
0
x
thì hai giới hạn này bằng nhau.
Ví dụ 9:
Cho

ln , 0
( )
, 0
x x x
y f x
a x
>

= =



Tìm a để tồn tại
0
lim ( )
x
f x

(a=0)
Ví dụ 10 (Đại học GTVT-94)
a) Cho f(x)=x(x-1)(x-2)(x-1994).
Tính I=
0
( 0) (0)
lim
x
f x f
x

+

b) Cho
2
sin
, 0
( )
0, 0
x
x
f x
x
x



=


=

Tìm I=
0
( 0) (0)
lim
x
f x f
x

+
.
Ví dụ 11: Cho

2000
x
y =
;
20
logy x=
.Tính
0
( ) ( )
lim
h
f x h f x
h

+
.
(Đại học Y)
Ví dụ: 12: Cho hàm số:
2
2 3
( )
3 1
x x
f x
x
+
=

Tính f(-3).
Bài 2:Đạo hàm

1-Đạo hàm tại một điểm:
-Cho hàm số y=f(x) xác định trên (a;b)
0
( ; )x a b
.Đạo hàm của hàm số tại điểm
0
x
Nếu tồn tại là giớii hạn sau:

0
0
0
0
( ) ( )
'( ) lim
x x
f x f x
f x
x x


=


0 0
0
0
( ) ( )
'( ) lim
x

f x x f x
f x
x

+
=


0
0
'( ) lim
x
y
f x
x


=


Với
0
x
0
( ) ( )y f x f x =

0
x x x =
Ví dụ 1: Cho f(x)=x(x-1).(x-2)(x-2008).
2

a.Tính f(0) b.Tính f(1004).
Ví dụ 2:
2
sin
, 0
( )
0, 0
x
x
f x
x
x



=


=

Tính f(0).
2-Đạo hàm một bên:
*)
0
0 0
0
0
0
0
0

( ) ( )
lim
( ) ( )
'( ) lim
lim
x
x x
x
f x x f x
x
f x f x
f x
x x
y
x
+
+
+

+



+





=

Đợc gọi là đạo hàm phải tại
0
x
Tơng tự với đạo hàm tráI tại
0
x
*)Từ đó hàm số có đạo hàm tại
0
x
nếu nó có đạo hàm tráI và phảI tại đó.
Ví dụ 3:Cho hàm số
( )
1
x
f x
x
=
+
.Tính f(0).
3-Đạo hàm trên khoảng,đoạn,tính liên tục.
*) Ta nói y=f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc
khoảng đó.

*) f(x) có đạo hàm tại
0
x


f(x) liên tục tại
0
x
.Điều ngợc lại không đúng.
*) Nh vậy hàm số y=f(x) có đạo hàm tại
0
x
thì trớc hết nó phải liên tục tại
0
x
.
Ví dụ 4: Cho hàm số

2
( ). , 0
( )
1, 0
bx
x a e x
f x
ax bx x


+ <

=

+ +


Tìm a,b để hàm số có đạo hàm tại 0.
Giải:-Ta cần tìm a,b mà thoả mãn:
+Hàm số liên tục tại 0
+Đạo hàm trái và phải tại 0 là bằng nhau
Ví dụ 5: Cho hàm số

2
2
, 1
( )
, 1
x a x
f x
x bx x

+

=

+ <


Tìm a,b để hàm số có đạo hàm tại x=-1
4-ý nghĩa hình học của đạo hàm:
- Giả sử y=f(x) có đồ thị (C) .Điểm

0 0 0
( ; )M x y
thuộc (C).Khi đó tiếp tuyến tại
0 0 0
( ; )M x y
sẽ có phơng trình nh sau:

0 0 0
'( ).( )y y f x x x =
-Điều này có thể thấy trên đồ thị (hv):
3
Ví dụ 6: Cho hàm số y=x
3
.Viết phơng trình tiếp tuyến tại
a. M(-1;-1).
b. Điểm có hoành độ x=3.
Bài tập tổng hợp:
Bài 1:Tính đậo hàm của các hàm số sau tại x=0.
a.
2 2
ln , 0
( )
2 4
0, 0
x x
x x
f x
x

>

=


=

b.
ln , 0
( )
0, 0
x x x
f x
x
>

=

=

.
Bài 2:Cho hàm số
.cos .sin ; 0
( )
1; 0
a x b x x
f x
ax b x
+

=

+ + >

Tìm a,b để hàm số có đạo hàm tại 0.
Bài 3:Cho hàm số
96
96
ln(1 )
; 0
( )
0; 0
x
x
f x
x
x

+


=


=

a.Tính f(0) b.
96
'( 1)f e
Bài 3:các công thức tính đạo hàm.
1.Đạo hàm các hàm số sơ cấp:

*)Các công thức:

' 0y c y= =

' 1y x y= =
.

'y ax y a= =

1
'y x y x



= =
(
; 0R x

>
)

2
1 1
'y y
x x
= =

1
'
2

y x y
x
= =

'
x x
y e y e= =

' .ln
x x
y a y a a= =

1
ln 'y x y
x
= =

1
log '
ln
a
y x y
x a
= =

sin ' cosy x y x= =

cos ' siny x y x= =
x
y

0
x
0
y
0 0 0
( ; )M x y
M
O
-Rõ ràng tiếp tuyến tại M chính là vị trí
giới hạn của cát tuyến ,và hệ số góc của
tiếp tuyến tại là

4

2
1
tan '
cos
y x y
x
= =

2
1
cot '
sin
y x y
x
= =
*)Đạo hàm của tổng tích hiệu thơng:

[ ]
( ) ( ) ' '( ) '( )u x v x u x v x =


[ ]
( ). ( ) ' '( ). ( ) ( ). '( )u x v x u x v x u x v x= +


'
2
( ) '( ). ( ) ( ). '( )
( ) ( )
u x u x v x u x v x
v x v x


=


Ví dụ 1:Tính các đạo hàm cấp một:
a.
2
( 1).(2 3)y x x= +
b.
2
( 1)( 1).(2 1)y x x x= + +
c.
tan .(1 sin )y x x= +
d.

3 5
7 8
x
y
x

=

e.
2
2
5 4 9
2 3 8
x x
y
x x

=
+
f.
sin cos
sin cos
x x
y
x x

=
+
g.
2

4
(1 3 ).lny x x x= +
.
2.Đạo hàm hàm số hợp:
Với:
[ ]
( )y f g x=
.Đặt g(x)=u khi đó y=f(u).
*)Ta có công thức tính đạo hàm nh sau:

Ví dụ 2:
( )
2
2
1y x= +
Đặt:
2
1u x= +



' 2
x
u x=
Hàm số trở thành y=u
2

' 2
u
y u=
.
Do đó:
2
' 2 .2 4 .( 1)y x u x x= = +
Ví dụ 3: Cho hàm số y=tan(x
2
+2x+2).
Đặt u= x
2
+2x+2


' 2 2
x
u x= +
Hàm số trở thành y=tanu
2
1
'
cos
u
y
u
=
Do đó:
2 2 2
1 2 2

' (2 2).
cos cos ( 2 2)
x
y x
u x x
+
= + =
+ +
Ví dụ 4: Cho hàm số
2
1y x x= +


2
2 1
'
2. 1
x
y
x x

=
+

Ví dụ 5:Tính các đạo hàm cấp 1
a.
( )
4
2
2 1y x= +

b.
2
( 5). 3y x x= +
c.
2
9
x
y
x
=

d.
2
sin 2y x=
e.
2 3
sin( 3 ) cos 2y x x x= +
f.
4
tany x=

Ví dụ 6: Tính các đạo hàm cấp 1:
a.
sin(cos ) cos(sin )y x x= +
b.
2
ln( 1 )y x x= + +
c.
2
1y x x x= + +

d.
2 2
.ln 1y x x= +
5
' ' . '
x u
y u f
=