Luyện thi tiệm cận của đồ thị hàm số có lời giải chi tiết

Chuyên tài liệu file word, lời
giải chi tiết
CHỦ ĐỀ 4: TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
▪ Định nghĩa 1: Cho hàm số y  f  x  xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng  a;   ;  ;b 
hoặc  ;   ). Đường thẳng y  y0 là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số

y  f  x  nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: lim y  y0 ; lim y  y0 .
x 

x 

▪ Định nghĩa 2: Đường thẳng x  x0 là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số

y  f  x  nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
lim y  ;

x  x0

lim y  ;

x  x0

lim y  ;

x  x0

lim y  .

x  x0

II. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
 Dạng 1: Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số khơng chứa tham số
Phương pháp giải:
Để tìm tiệm cận của đồ thị hàm số y  f  x  ta thực hiện các bước sau:
▪ Bước 1: Tìm miền xác định (tập xác định) của hàm số y  f  x 
▪ Bước 2: Tìm giới hạn của f  x  khi x tiến đến biên của miền xác định.
▪ Bước 3: Từ các giới hạn và định nghĩa tiệm cận suy ra phương trình các đường tiệm cận.


- Chuyên tài liệu file
word, lời giải chi tiết
1/85


Chuyên tài liệu file word, lời
giải chi tiết
Đặc biệt: Để tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y 

f  x
ta có thể làm như sau:
g  x

- Bước 1: Tìm tập xác định D.
- Bước 2:
+) Tìm tiệm cận ngang: Ta tính các giới hạn: lim y; lim y và kết luận tiệm cận ngang
x 

x 

+) Tìm tiệm cận đứng: Sử dụng phương pháp nhân liên hợp hoặc phân tính nhân tử để đơn giản biểu thức

f  x
về dạng tối giản nhất có thể từ đó kết luận về tiệm cận đứng.
g  x
Chú ý:
- Nếu bậc của f  x  nhỏ hơn hoặc bằng bậc của g  x  thì đồ thị hàm số có tiệm cận ngang.
- Nếu bậc của f  x  lớn hơn bậc của thì g  x  đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang.

Ví dụ 1: Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của các đồ thị hàm số sau:
a) y 

2 x
C .
1  x2

b) y 

2 x2  5x  1
C .
x2  5x  4

Lời giải


- Chuyên tài liệu file
word, lời giải chi tiết
2/85


Chuyên tài liệu file word, lời

giải chi tiết
a) TXĐ: D 

2 1

2 x
x 2 x 2  0  y  0 là tiệm cận ngang của đồ thị
\ 1;1 . Ta có: lim y  lim

lim
x 
x  1  x 2
x 
1
2
x 1

hàm số.
Mặt khác lim y   và lim y   nên x  1 và x  1 là các đường tiệm cận của đồ thị hàm số.
x  1

x 1

b) TXĐ: D 

\ 1; 4 .

Ta có: lim y  lim
x 1

x 1

2 x2  5x  1
2 x2  5x  1
  ) nên đường thẳng x  1 là tiệm
  (hoặc lim y  lim
x 1
x 1  x  1 x  4 
 x  1 x  4 

cận đứng của (C).
Tương tự đường thẳng x  4 cũng là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

5 1
2  2
2x2  5x  1
x x  2 nên đường thẳng y  2 là tiệm cận ngang của đồ thị
Lại có: lim y  lim 2
 lim
x 
x  x  5 x  4
x 
5 4
1  2
x x
hàm số đã cho.
Ví dụ 2: Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của các đồ thị hàm số sau
a) y 

x  3  2x

.
x2  1

b) y 

x2  4 x  3
x2  7  4

.

Lời giải


- Chuyên tài liệu file
word, lời giải chi tiết
3/85


Chuyên tài liệu file word, lời
giải chi tiết

a) TXĐ: D   3;   \ 1.

x  3  2x
 0  y  0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
x2  1

Ta có: lim y  lim
x 

x 

1  x  3  4 x 

x  3  4 x2

Mặt khác lim y  lim
x 1

 lim
x 1

x 1

x  3  2x
 lim x  3  2 x  lim
2
x 1  x  1 x  1
x 1
x 1

3  4x

 x  1 

x  3  2x

Ta có: lim y  lim
x  1

x  1





7
 x  1 không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
8

x  3  2x
   x  1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
x2  1

b) TXĐ: D  . Ta có: lim y  lim
x 

Lại có: y 

x  3  2x
 x  1 x  1

 x  1 x  3
x 2  7  16




x 

x2  4 x  3
x2  7  4



   Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang.

x 2  7  4  x  1 x  3

 x  3 x  3






x 2  7  4  x  1
x3

x 7 4
2

Khi đó đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x  3.
Ví dụ 3: Cho hàm số y  f  x  có lim f  x    và lim f  x    . Khẳng định nào sau đây là khẳng
x 0

x 2


- Chuyên tài liệu file

word, lời giải chi tiết
4/85


Chuyên tài liệu file word, lời
giải chi tiết
định đúng?
A. Đồ thị hàm số đã cho khơng có tiệm cận đứng.
B. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận đứng.
C. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận đứng là các đường thẳng y  0 và y  2.
D. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận đứng là các đường thẳng x  0 và x  2.
Lời giải
Ta có lim f  x     đồ thị hàm số đã cho có TCĐ x  0
x 0

Lại có lim f  x     đồ thị hàm số đã cho có TCĐ x  2 . Chọn D.
x 2

Ví dụ 4: Tìm đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y 
1
A. x  1, y  .
2

B. x  1, y  2.

C. x  1, y  2.

2x  1
.
x 1

D. x 

1
, y  1.
2

Lời giải
TXĐ: D 

\ 1 .

Ta có: lim y    x  1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
x  1

Mặt khác lim y  lim
x 

x 

2x  1
 2  y  2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Chọn B.
x 1


- Chuyên tài liệu file
word, lời giải chi tiết
5/85

Chuyên tài liệu file word, lời
giải chi tiết
Ví dụ 5: Trong các hàm số được nêu trong các phương án A, B, C, D đồ thị hàm số nào nhận đường thẳng
x  2 và y  1 là các đường tiệm cận?

A. y 

2x  2
.
x 1

B. y 

x2
.
x 1

C. y 

1
.
x x2
2

D. y 

x 1
.
x2

Lời giải
Đồ thị hàm số y 

ax  b
d
a
với ad  bc  0 nhận x   là tiệm cận đứng và y  là tiệm cận ngang. Chọn
cx  d
c
c

D.

Ví dụ 6: Cho hàm số y 

2 x 2  3x  2
. Khẳng định nào sau đây sai?
x2  2 x  3

A. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y 

1
.
2

B. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y  2 .
C. Đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận.
D. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x  1; x  3.
Lời giải
TXĐ: D 

\ 1;3.


- Chuyên tài liệu file
word, lời giải chi tiết
6/85


Chuyên tài liệu file word, lời
giải chi tiết
3 2

2 x  3x  2
x x 2  2  y  2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
 lim
Ta có lim y  lim 2
x 
x  x  2 x  3
x 
2 3
1  2
x x
2

2

Lại có: lim y  , lim y   do đó x  1; x  3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Chọn A.
x  1

x  3

Ví dụ 7: Đồ thị nào sau đây khơng có tiệm cận ngang?

x2  1
A. y 
.
x 1

B. y 

x 1
.
x2  1

C. y 

x 1
.
x2

D. y 

1
.
x 1

Lời giải

x2  1

 lim
Ta có lim y  lim
x 
x  x  1
x 

1
x  lim x    đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang. Chọn A.
1 x
1
x
x

Ví dụ 8: [Đề thi THPT QG 2017] Tìm số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y 
A. 2.

B. 3.

C. 0.

x 2  3x  4
.
x 2  16
D. 1.

Lời giải
TXĐ: D 

\ 4 . Khi đó: y 

x 2  3x  4  x  1 x  4  x  1


.
x 2  16
 x  4  x  4  x  4


- Chuyên tài liệu file
word, lời giải chi tiết
7/85


Chuyên tài liệu file word, lời
giải chi tiết
Suy ra đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng là x  4. Chọn D.

Ví dụ 9: [Đề thi THPT QG 2017] Tìm số tiệm cận của đồ thị hàm số y 
A. 2.

B. 3.

x2  5x  4
.
x2  1

C. 0.

D. 1.

Lời giải
TXĐ: D 

y 1
lim
x 2  5 x  4  x  4  x  1 x  4
 x
\ 1 . Khi đó y 



y
x2  1
 x  1 x  1 x  1  xlim
 1

Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  1 và tiệm cận ngang y  1 . Chọn A.

Ví dụ 10: [Đề thi THPT QG 2017] Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y 
A. 3.

B. 2.

C. 0.

x9 3
là:
x2  x

D. 1.

Lời giải
TXĐ: D   9;   \ 0; 1. .

Khi đó: y 

x 99
x9 3
1
 x9 3 
2
x x
x  x  1
 x  1 x  9  3






- Chuyên tài liệu file
word, lời giải chi tiết
8/85


Chuyên tài liệu file word, lời
giải chi tiết
Suy ra lim y  lim
x  1

x  1

 x  1 

1
x9 3



 Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng là x  1.

Chọn D.

Ví dụ 11: Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y 
A. y  2.

B. x  1.

C. y  2 và y  0.

x2  2x  3  x
.
x 1
D. y  1.

Lời giải


2 3
1  2 1


2
x

2
x

3

x
x x
 lim y  lim
 lim
0
x

x

x

1
x 1

1

x
 Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận
Ta có 
2
3


 1  2 1

x2  2x  3  x
x x
y  lim
 lim
 2
 xlim

x 
x 
1
x 1

1

x
ngang là y  2 và y  0 . Chọn C.

Ví dụ 12: [Đề thi tham khảo năm 2018] Đồ thị hàm số nào dưới đây có tiệm cận đứng?


- Chuyên tài liệu file
word, lời giải chi tiết
9/85


Chuyên tài liệu file word, lời
giải chi tiết

A. y 

x 2  3x  2
.
x 1

B. y 

x2
.
x2  1

C. y  x 2  1.

D. y 

x
.
x 1

Lời giải
Phân tích các đáp án:
Đáp án A. Ta có y 

x 2  3x  2  x  1 x  2 

 x  2 nên hàm số khơng có tiệm cận đứng.
x 1
x 1

Đáp án B. Phương trình x2  1  0 vơ nghiệm nên hàm số khơng có tiệm cận đứng.
Đáp án C. Đồ thị hàm số y  x 2  1 khơng có tiệm cận đứng.
Đáp án D. Đồ thị hàm số y 

Ví dụ 13: Cho hàm số y 
A. 1.

x
có tiệm cận đứng là x  1 .Chọn D.
x 1

x2  4
. Đồ thị hàm số có mấy đường tiệm cận?
x 1

B. 0.

C. 2.

D. 3.

Lời giải
Tập xác định của hàm số là D   ;2   2;   .
Ta thấy rằng x  1  D  đồ thị hàm số khơng có đường tiệm cận đứng.


- Chun tài liệu file
word, lời giải chi tiết
10/85

Chuyên tài liệu file word, lời
giải chi tiết
4
 lim y  1
x 4
x 2  lim x   x
Và lim y  lim
 lim
 y  1; y  1  đồ thị hàm số có hai

x 
x 
x 
lim
y


1
x 1
 1  x x

 x
x 1  
x

x 1

2

đường tiệm cận ngang. Chọn C.

x2  x  1
có bao nhiêu tiệm cận?
x

Ví dụ 14: Đồ thị hàm số y 
A. 3.

B. 1.

C. 0.

D. 2.

Lời giải
TXĐ: D 

\ 0.

lim y  lim

x  x 1
 lim
x 
x

x 

x 

2

Và lim y  lim
x 0

x 0

1 1

lim y  1

 x
x x2

 đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang.
lim y  1
x

 x

x 1

x2  x  1
   x  0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Chọn A.
x

Ví dụ 15: Đồ thị hàm số y 

x4

x2  4

có bao nhiêu tiệm cận?


- Chuyên tài liệu file
word, lời giải chi tiết
11/85


Chuyên tài liệu file word, lời
giải chi tiết
A. 3.

B. 1.

C. 2.

D. 4.

Lời giải
TXĐ: D 

\ 2.


y  lim
 xlim
x 
 

Ta có: 
 lim y  lim
x 
 x 

x4
x2  4
x4
x2  4

1
 Đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang là y  1 .
 1

lim y    Đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng là x  2. .

x 2

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 4 đường tiệm cận. Chọn D.

Ví dụ 16: Đồ thị hàm số y 
A. 3.

2  x 1

có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

x  x  4 x  3
2

B. 0.

C. 2.

D. 1.

Lời giải
Hàm số có tập xác định: D   ;2 \ 0;1
Khi đó y 

2  x 1

x  x 2  4 x  3

Suy ra x  x  3





1 x
x  x  1 x  3





2  x 1



x  x  3



1



2  x 1

.



2  x  1  0  x  0 . Suy ra đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận đứng. Chọn D.


- Chuyên tài liệu file
word, lời giải chi tiết
12/85


Chuyên tài liệu file word, lời
giải chi tiết
Ví dụ 17: Tìm tất cả các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y 
B. x  3.

A. x  3; x  2.

2 x 1  x2  x  3
.
x2  5x  6
D. x  3.

C. x  3; x  2.
Lời giải

Hàm số có tập xác định D 
Ta có: y 

 2 x  1

2

\ 2;3 .

  x 2  x  3

x  5x  6
2



3x 2  5 x  2

 x  2  x  3  2 x  1 

x2  x  3





 3x  1

 x  3  2 x  1 

x2  x  3



Do vậy chỉ có đường thẳng x  3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho. Chọn D.

Ví dụ 18: Tìm tất cả các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y 
A. x  1, y  0.

B. x  1, y  1.

x2  3  2
.
x2 1
D. x  1.

C. y  0.
Lời giải

Hàm số có tập xác định D 
Ta có y 

x2  3  2

x2 1



\ 1 .

x2  3  2





x2  3  2



x 2  3  2  x 2  1





x2 1



x 2  3  2  x 2  1



1
x2  3  2

.


- Chuyên tài liệu file
word, lời giải chi tiết
13/85


Chuyên tài liệu file word, lời
giải chi tiết
Khi đó lim y  lim
x 

x 

1
x 3 2
2

 0  Đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang y  0 . Chọn C.

Ví dụ 19: Số đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị y 
A. 2.

B. 3.

C. 4.

4 x 2  1  3x 2  2
là
x2  x
D. 1.

Lời giải
1 1


Tập xác định của hàm số là D   ;     ;   \ 1 .
2 2




4 x 2  1  3x 2  2
3
 lim y  lim
x 
 x 
x2  x
 Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y  3 .
Khi đó 
4 x 2  1  3x 2  2

y  lim
3

 xlim

x 
x2  x
Lại có: lim y    Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  1 .
x 1

Suy ra đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận. Chọn A.

Ví dụ 20: Tìm tất cả các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y 
A. x  3 .

B. x  1 và x  3 .

3x  1  x  3
x2  2 x  3

C. x  1 và x  3.

D. x  3

Lời giải


- Chuyên tài liệu file
word, lời giải chi tiết
14/85


Chuyên tài liệu file word, lời

giải chi tiết
Hàm số có tập xác định D   3;   \ 1.

3x  1   x  3

3x  1  x  3
9 x2  7 x  2
Khi đó y 


x2  2 x  3
 x 2  2 x  3 3 x  1  x  3  x 2  2 x  3  3 x  1  x  3
2



 y

9x  2

 x  3  3 x  1 



Ta thấy  x  3 3x  1 








x  3   0  x  3  Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  3 . Chọn A.

x3

Ví dụ 21: Cho hàm số y 

2x  3  2x  3
. Hãy chọn mệnh đề đúng.
x2  4 x  3

A. Đồ thị hàm số có các đường tiệm cận ngang là y  1 và y  3 .
B. Đồ thị hàm số có các đường tiệm cận đứng là y  1 và y  3 .
C. Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng là đường thẳng x  1 .
D. Đồ thị hàm số có các đường tiệm cận đứng là x  1 và x  3 .
Lời giải
 3

Ta có: D    ;   \ 1;3 .
 2



- Chuyên tài liệu file
word, lời giải chi tiết
15/85

Chuyên tài liệu file word, lời
giải chi tiết
2 x  3   2 x  3

2x  3  2x  3 
x2  4 x  3

Khi đó y 





2

1 2x



2 x  3  2 x  3  x  1



1  2 x  x  3
2 x  3  2 x  3  x  1 x  3

. Suy ra lim y   nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  1 .
x 1

Lại có: lim y  0 nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y  0 .

x 

Ví dụ 22: Cho hàm số y 
A. 2

2x  3
x  2x  3
2

B. 3

. Đồ thị hàm số có bao nhiêu tiệm cận?
C. 4

D. 5

Lời giải

x  3
Hàm số xác định khi và chỉ khi x 2  2 x  3  0  
 x  1

3

x2  
 lim y  2
2x  3
x
x 


Ta có lim y  lim
 lim

 đồ thị hàm số có hai TCN.
2
x 
x 
x 
y  2
2 3
 xlim
x  2x  3

x 1  2
x x
 x2  2x  3  0
x  3

Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là số nghiệm của hệ phương trình 
 x  1
2 x  3  0

 đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng. Vậy đồ thị hàm số đã cho có bốn đường tiệm cận. Chọn C.


- Chuyên tài liệu file
word, lời giải chi tiết
16/85

Chuyên tài liệu file word, lời
giải chi tiết
Ví dụ 23: Tìm tất cả các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y 

C. x  2 và x  1.

B. x  2.

A. x  2.

x  1  x2  x  2
.
x2  x  2
D. x  2 và x  1.

Lời giải

 x  1
TXĐ: D 





\ 2;1 . Khi đó: y 

x  1  x2  x  2

x2  x  2

x 1
x  1  x2  x  2



 x  1 x  2 





2

  x2  x  2

x  1  x2  x  2
 x  1 x  2 

1

 x  2 x  1  x2  x  2



và

Ta có: lim y    x  2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho. Chọn B.
x  2

Ví dụ 24: Đồ thị hàm số f  x  

3x 2  1  x 4  x  2
có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là
x 2  3x  2

A. Tiệm cận đứng x  2, x  1; tiệm cận ngang y  2 .
B. Tiệm cận đứng x  2 ; tiệm cận ngang y  2 .
C. Tiệm cận đứng x  2, x  1; tiệm cận ngang y  2, y  3 .
D. Tiệm cận đứng x  2 ; tiệm cận ngang y  2, y  3 .


- Chuyên tài liệu file
word, lời giải chi tiết
17/85


Chuyên tài liệu file word, lời
giải chi tiết
Lời giải
TXĐ: D 

\ 1; 2 .

3x 2  1  x 4  x  2
Ta có lim f  x   lim
 2  Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y  2 .
x 
x 
x 2  3x  2





3x 2  1  x 4  x  2 3x 2  1  x 4  x  2
3x 2  1  x 4  x  2
Mặt khác f  x  

x 2  3x  2
 x 2  3x  2  3x 2  1  x 4  x  2

 f  x 

 f  x 

8x4  7 x 1

x

2



 3x  2  3x 2  1 



 x  1 8x3  8x 2  8x  1

x 4  x  2   x  1 x  2   3x 2  1  x 4  x  2 

8 x3  8 x 2  8 x  1

 x  2   3x 2  1 





x4  x  2



Suy ra lim f  x     Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  2 . Chọn B.
x 2

 Dạng 2: Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số dựa vào bảng biến thiên
Phương pháp giải:
▪ Bước 1: Dựa vào bảng biến thiên tìm tập xác định của hàm số.
▪ Bước 2: Quan sát bảng biến thiên để suy ra giới hạn khi x đến beien của miền xác định.
▪ Bước 3: Kết luận.


- Chuyên tài liệu file
word, lời giải chi tiết
18/85


Chuyên tài liệu file word, lời
giải chi tiết

Chú ý: Đồ thị hàm số y 

f  x
nhận đường thẳng x  a là tiệm cận đứng khi hàm số xác định tại x  a và
g  x

f  x   x  a  .h  x 
trong đó m  n và h  x  , k  x  khơng có nghiệm x  a .
y

g  x   x  a m .k  x 
n

(Tức là số lần lặp lại nghiệm x  a của g  x  nhiều hơn số lần lặp lại nghiệm x  a của f  x  ).
Ví dụ 1: [Đề thi tham khảo năm 2019] Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như sau:
x
f(x)





1


2

5
3

Tổng số tiệm cận ngang và số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là
A. 4.

B. 1.

C. 3.

D. 2.

Lời giải

 lim f  x   2  TCN : y  2
 x 

Ta có  lim f  x   5  TCN : y  5  Chọn C.
x 

f  x     TC§ : x  1
 xlim
1


- Chuyên tài liệu file
word, lời giải chi tiết
19/85


Chuyên tài liệu file word, lời
giải chi tiết
\ 1 , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có

Ví dụ 2: Cho hàm số y  f  x  là hàm số xác định trên
bảng biến thiên như sau. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
x



y’
y

0
+

0



1



+

2

5


0

3

A. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là y  0 , y  5 và tiệm cận đứng là x  1 .
B. Giá trị cực tiểu của hàm số là yCT  3 .
C. Giá trị cực đại của hàm số là yCD  5 .
D. Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận.
Lời giải
Do lim  0; lim  5 nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là y  0 , y  5 và tiệm cận đứng là x  1 .
x 

x 

Chọn A.
Ví dụ 3: [Đề thi tham khảo năm 2017] Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.
Hỏi đồ thị của hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận?
x
y’



2



0
+



- Chuyên tài liệu file
word, lời giải chi tiết
20/85


Chuyên tài liệu file word, lời
giải chi tiết


y
A. 1

1



B. 3

0
C. 2

D. 4

Lời giải

 lim f  x   
 x 0
Dựa vào bảng biến thiên ta có: 
 x  0, x  2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Mặt
lim

f
x






 x 2
khác: lim f  x   0  y  0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
x 

Vậy đồ thị đã cho có 3 tiệm cận. Chọn B.

Ví dụ 4: Cho hàm số y  f  x  xác định trên khoảng  1;   và có bảng biến thiên như hình vẽ
x
y’

1



2



+

0



+



0

y



4

3



1

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y  f  x  là:
A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

Lời giải

- Chuyên tài liệu file
word, lời giải chi tiết
21/85


Chuyên tài liệu file word, lời
giải chi tiết
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy lim  f  x    và lim f  x   
x  1

x 4

Do đó đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứng là x  1; x  4.
Lại có: lim f  x   1  y  1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Chọn B.
x 

Ví dụ 5: Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.
x
y’
y

2





+





3
0

+



4

5

0

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y  f  x  là:
A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 1.

Lời giải
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: lim  y    x  2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
x  2 

Lại có: lim y  5  y  5 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
x 

Do đó đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận. Chọn A.
Ví dụ 6: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên

\ 1 có bảng biến thiên như hình vẽ. Tổng số đường tiệm


- Chuyên tài liệu file
word, lời giải chi tiết
22/85


Chuyên tài liệu file word, lời
giải chi tiết
cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  f  x  là
x

1





y’

0

+

+



1
y
A. 1.



1

1


 2
B. 4.

C. 2.

D. 3.

Lời giải
Ta có: lim f  x     x  1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
x 1

Lại có lim f  x   1, lim f  x   1  y  1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
x 

x 

Do đó đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận. Chọn D.
Ví dụ 7: Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.
x
y’
y

1



+

+


1



1
0

-

0


3


- Chuyên tài liệu file
word, lời giải chi tiết
23/85


Chuyên tài liệu file word, lời
giải chi tiết
Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y 
A. 2.

4
là:
f  x  2

B. 3.

C. 4.

D. 5.

Lời giải
Ta có phương trình f  x   2 có 2 nghiệm phân biệt suy ra đồ thị hàm số y 

4
có 2 đường tiệm cận
f  x  2

đứng.
Khi x    y 

4
 4  y  4 là một đường tiệm cận ngang.
3  2

Khi x    y 

4
4
4
  y  là một đường tiệm cận ngang.
1 2 3
3

Do đó đồ thị hàm số y 

4
có 4 đường tiệm cận. Chọn C.
f  x  2

Ví dụ 8: Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.
x
y’
y

1





+


5



1
0



+
5

3


- Chuyên tài liệu file
word, lời giải chi tiết
24/85


Chuyên tài liệu file word, lời
giải chi tiết
Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y 
A. 4.

2
là:
f  x   2018

B. 2.

C. 5.

D. 3.

Lời giải
Ta có phương trình f  x   2018 có 2 nghiệm phân biệt
Suy ra đồ thị hàm số y 

2
có 2 đường tiệm cận đứng.
f  x   2018

Khi x    f  x   5  y 
Khi x    f  x   5 
Vậy đồ thị hàm số y 

2
2

f  x   2018
2013

2

2

f  x   2018
2013

2
có 1 tiệm cận ngang. Chọn D.
f  x   2018

Ví dụ 9: Cho hàm số y  f  x  xác định trên
x



y’
y

\ 1 và có bảng biến thiên như hình vẽ.
1



+


2



2

0



+


1


- Chuyên tài liệu file
word, lời giải chi tiết
25/85