Luyện thi nhận diện đồ thị hàm số có lời giải chi tiết

Chuyên tài liệu file word, lời
giải chi tiết
CHỦ ĐỀ 5: NHẬN DẠNG ĐỒ THỊ HÀM SỐ
I. HÀM SỐ BẬC BA: y  ax3  bx 2  cx  d

 a  0

1. Giới hạn, đạo hàm và cực trị
Giới hạn:
- Với a  0 thì lim y   và lim y   .
x 

x 

- Với a  0 thì lim y   và lim y   .
x 

x 

Đạo hàm và cực trị: y  3ax2  2bx  c . Khi đó:
- Hàm số có hai điểm cực trị khi y  0 có hai nghiệm phân biệt  y  0 .

Gọi A  x1; y1  và B  x2 ; y2 

2b

 x1  x2  3a
là hai tọa độ điểm cực trị thì theo định lý Viet ta có: 
x x  c
 1 2 3a

- Hàm số khơng có cực trị khi y  0 vơ nghiệm hoặc có nghiệm kép  y  0
Chú ý: Đối với hàm số bậc ba ta ln có yCĐ  yCT và:
- Nếu a  0 thì xCĐ  xCT .
- Nếu a  0 thì xCĐ  xCT .
2. Bảng biến thiên
TH1: Hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2 .


- Chuyên tài liệu file
word, lời giải chi tiết
1/85


Chuyên tài liệu file word, lời
giải chi tiết
x



y



0



0

CÑ

y



x2

x1

x
y









y



0



0



CÑ





CT

CT



x2

x1

Hệ số a  0

Hệ số a  0
TH2: Hàm số không có điểm cực trị

x





x





y

y



y

y






Hệ số a  0

Hệ số a  0

3. Đồ thị hàm số
a0

a0

- Chuyên tài liệu file
word, lời giải chi tiết
2/85


Chuyên tài liệu file word, lời
giải chi tiết
y  0

xCÑ  xCT

xCÑ  xCT

y  0

4. Phương pháp giải toán


- Chuyên tài liệu file
word, lời giải chi tiết
3/85


Chuyên tài liệu file word, lời
giải chi tiết
Để nhận diện đồ thị hàm số bậc ba: y  ax3  bx 2  cx  d

 a  0

ta làm như sau:

Ta có y  3ax2  2bx  c
Dựa vào lim y để xác định hệ số a :
x 

- Nếu a  0 thì nhánh cuối của đồ thị đi lên x; y tiến về vô cùng.
- Nếu a  0 thì nhánh cuối của đồ thị đi xuống x   và y   .
Dựa vào giao điểm với trục tung  0; d  suy ra tính chất của hệ số d
Dựa vào số điểm cực trị của đồ thị hàm số suy ra số nghiệm của phương trình y  0
Dựa vào vị trí của các điểm cực trị, tọa độ các điểm cực trị và các điểm mà đề bài đã cho thuộc đồ thị hàm số.

2b

 x1  x2  3a
Trong trường hợp đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị x1 ; x2 ta có: 
(định lý Viet)
c
x x 
 1 2 3a
Khi đó dựa vào x1  x2 

2b
c
suy ra tính chất của b; dựa vào x1 x2 
suy ra tính chất của c.
3a
3a

II. CÁC DẠNG TỐN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

- Chuyên tài liệu file
word, lời giải chi tiết
4/85


Chuyên tài liệu file word, lời
giải chi tiết
Ví dụ 1: [Đề THPT QG năm 2017] Đường cong hình bên là đồ thị của
hàm số nào trong bốn hàm số dưới đây?
A. y  x3  3x 2  2 .
B. y  x 4  x 2  1 .
C. y  x 4  x 2  1.
D. y   x3  3x 2  2 .
Lời giải
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy
Hàm số đã cho có 2 điểm cực trị nên ta loại đáp án B và C.
Mặt khác lim y   nên hệ số. Chọn A.
x 

Ví dụ 2: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên

x



y
y

và có bảng biến thiên như hình vẽ.

0



0



0





2




2

2

Hàm số y  f  x  là hàm số nào trong các hàm số sau:
A. y  x3  3x 2  2 .

B. y   x3  3x 2  2 .

C. y   x3  3x 2  2 .

D. y  x3  3x 2  2 .


- Chuyên tài liệu file
word, lời giải chi tiết
5/85


Chuyên tài liệu file word, lời
giải chi tiết
Lời giải
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy

lim y    Hệ số a  0 do đó loại B và C.

x 

Mặt khác hàm số đạt cực trị tại x  0, x  2 nên loại D. Chọn A.
Ví dụ 3: Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số nào trong bốn hàm
số dưới đây?
A. y  x3  4 x  1 .

B. y  x3  3x 2  1.

C. y  x3  4 x  1 .

D. y   x3  4 x  1 .

Lời giải

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm  0; d   d  0 nên ta loại đáp án C
lim y    a  0 nên ta loại đáp án D.

x 

Mặt khác hàm số đạt cực trị tại hai điểm x1 , x2 dựa vào hình vẽ ta thấy x1 , x2 trái dấu nên đáp án ta loại đáp án
B. Chọn A.


- Chuyên tài liệu file
word, lời giải chi tiết
6/85


Chuyên tài liệu file word, lời
giải chi tiết
Ví dụ 4: Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số nào
trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D
dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
A. y   x3  3x 2  1.
B. y   x3  3x  1 .
C. y  x3  3x  1 .
D. y   x3  3x  1 .
Lời giải
Hàm số có hệ số a  0 do lim y   nên loại đáp án C.
x 

Hàm số có 2 điểm cực trị x1  0  x2 nên y  0 có 2 nghiệm phân biệt trái dấu.

x  0
Xét đáp án A. y   x3  3x 2  1  y  3x 2  6 x  0  
(loại).
x  2
Xét đáp án D. y   x3  3x  1  y  3x 2  3x  0  x 



(loại). Chọn B.


- Chuyên tài liệu file
word, lời giải chi tiết
7/85


Chuyên tài liệu file word, lời
giải chi tiết
Ví dụ 5: Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số
y  ax3  bx 2  cx  d . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. a  0, b  0, c  0, d  0 .
B. a  0, b  0, c  0, d  0 .
C. a  0, b  0, c  0, d  0 .
D. a  0, b  0, c  0, d  0 .
Lời giải
Dựa vào đồ thị ta thấy: lim y    a  0 ; đồ thị hàm số đi qua điểm  0; d   d  0 .
x 

Hàm số đạt cực trị tại hai điểm x1 , x2 dựa vào hình vẽ ta thấy x1  0, x2  0

2b

a 0
x1  x2 
 0 
b0


3a
2

Mặt khác: y  3ax  2bx  c  
. Chọn A.
a 0
 x x  c  0 
c0
 1 2 3a


- Chuyên tài liệu file
word, lời giải chi tiết
8/85


Chuyên tài liệu file word, lời
giải chi tiết
Ví dụ 6: Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số
y  ax3  bx 2  cx  d . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. a  0, b  0, c  0, d  0 .
B. a  0, b  0, c  0, d  0 .
C. a  0, b  0, c  0, d  0 .
D. a  0, b  0, c  0, d  0 .
Lời giải
Dựa vào đồ thị ta thấy: lim y    a  0 ; đồ thị hàm số đi qua điểm  0; d   d  0 .
x 

Hàm số đạt cực trị tại hai điểm x1 , x2 dựa vào hình vẽ ta thấy x1  0, x2  0 và x1  x2  0

2b

a 0
x1  x2 
 0 
b0


3
a
2
Mặt khác: y  3ax  2bx  c  
. Chọn B.
a 0
 x x  c  0 
c0
 1 2 3a


- Chuyên tài liệu file

word, lời giải chi tiết
9/85


Chuyên tài liệu file word, lời
giải chi tiết
Ví dụ 7: Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số
y  ax3  bx 2  cx  d . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. a  0, b  0, c  0, d  0 .
B. a  0, b  0, c  0, d  0 .
C. a  0, b  0, c  0, d  0 .
D. a  0, b  0, c  0, d  0 .

Lời giải
Dựa vào đồ thị ta thấy: lim y    a  0 ; đồ thị hàm số đi qua điểm  0; d   d  0 .
x 

Hàm số đạt cực trị tại hai điểm x1 , x2 dựa vào hình vẽ ta thấy x1  0, x2  0

2b

a 0
x1  x2 
 0 
b0


3
a

2
Mặt khác: y  3ax  2bx  c  
. Chọn D.
c
a

0
x x 
 0  c  0
 1 2 3a


- Chuyên tài liệu file
word, lời giải chi tiết
10/85


Chuyên tài liệu file word, lời
giải chi tiết
Ví dụ 8: Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số
y  ax3  bx 2  cx  d . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. a  0, b  0, c  0, d  0 .
B. a  0, b  0, c  0, d  0 .
C. a  0, b  0, c  0, d  0 .
D. a  0, b  0, c  0, d  0 .
Lời giải
Dựa vào đồ thị ta thấy: lim y    a  0 (loại đáp án A).
x 

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm  0; d   d  0

 x1  0
 x1  0
Hàm số có 2 điểm cực trị trong đó 
nên y  0 có 2 nghiệm thỏa mãn 
.
 x2  0
 x2  0
Ta có: y  3ax 2  2bx  c  y  0   0  c  0  x2 

2b
 0  b  0 . Chọn C.
3a

Ví dụ 9: Cho hàm số y  ax3  bx 2  cx  d có các điểm cực trị thỏa mãn x1   1;0  , x2  1;2  . Biết hàm
số đồng biến trên khoảng  x1 ; x2  đồng thời đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm. Mệnh đề
nào dưới đây là đúng?
A. a  0, b  0, c  0, d  0 .

B. a  0, b  0, c  0, d  0 .


- Chuyên tài liệu file
word, lời giải chi tiết
11/85


Chuyên tài liệu file word, lời
giải chi tiết

D. a  0, b  0, c  0, d  0 .

C. a  0, b  0, c  0, d  0 .

Lời giải
Dựa vào giả thiết, ta có các nhận xét sau:
- Đồ thị hàm số y  f  x  cắt trục tung tại điểm có tung độ âm  f  0   d  0
- Hàm số y  f  x  đồng biến trên khoảng  x1; x2   f  x1   f  x2   x1 là điểm cực tiểu và x2 điểm cực đại
 xCT  xCÑ  hệ số a  0 .

- Ta có f   x   3ax 2  2bx  c có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn tổng x1  x2 
nghiệm x1.x2 

2b
 0  b  0 và tích hai
3a

1  x1  0  x1  x2  0
c

. Chọn D.
 0  c  0 vì 
3a
1  x2  2
 x1.x2  0

II. HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG: y  ax 4  bx 2  c  a  0 
1. Giới hạn, đạo hàm và cực trị
Giới hạn
- Với a  0 thì lim y   .

x 

- Với a  0 thì lim y   .
x 

x  0
Đạo hàm và cực trị: y  4ax  2bx  2 x  2ax  b  nên y  0   2
x   b
2a

2

2


- Chuyên tài liệu file
word, lời giải chi tiết
12/85


Chuyên tài liệu file word, lời
giải chi tiết
- Với ab  0 thì hàm số có một điểm cực trị x  0 .
- Với ab  0 thì hàm số có 3 điểm cực trị x  0, x  

b
2a

2. Bảng biến thiên

x
y
y





0
0

–

x
y



y



a  0, b  0

0

x1



y'





a  0, b  0



–

y

CT

x



0
0

CÑ







0



0



0

CÑ


CT



x2





0

x1



y'


CT

x

0





0



0



CÑ

CÑ

y



x2

CT



a  0, b  0

a  0, b  0

3. Đồ thị hàm số
ab  0

ab  0


- Chuyên tài liệu file
word, lời giải chi tiết
13/85


Chuyên tài liệu file word, lời
giải chi tiết
a0

a0

Đồ thị hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng.
4. Phương pháp giải toán
Để nhận diện đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương: y  ax 4  bx 2  c  a  0  ta làm như sau:

- Chuyên tài liệu file
word, lời giải chi tiết
14/85


Chuyên tài liệu file word, lời
giải chi tiết
Dựa vào lim y để xác định hệ số a :
x 

Dựa vào giao điểm với trục tung  0; d  suy ra tính chất của hệ số d
Dựa vào số điểm cực trị của đồ thị hàm số và hệ số a để xác định hệ số b.
- Với ab  0 thì hàm số có một cực trị.
- Với ab  0 thì hàm số có 3 cực trị.
II. CÁC DẠNG TỐN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Ví dụ 1: [Đề THPT QG năm 2018] Đường cong trong hình vẽ là

đồ

thị của hàm số nào dưới đây?
A. y  x 4  3x 2  1.
B. y  x3  3x 2  1 .
C. y   x3  3x 2  1 .
D. y   x 4  3x 2  1 .
Lời giải
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:

lim y    Hệ số a  0 nên ta loại đáp án A và B.

x 

Mặt khác hàm số có 3 điểm cực trị nên loại đáp án C. Chọn D.


- Chuyên tài liệu file
word, lời giải chi tiết
15/85


Chuyên tài liệu file word, lời
giải chi tiết
Ví dụ 2: Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
A. y  x 4  2 x 2  1 .
B. y   x 4  2 x 2  1 .
C. y  x3  x 2  1 .
D. y   x3  x 2  1 .
Lời giải
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:
lim y    Hệ số a  0 do đó loại đáp án B và D.

x 

Mặt khác hàm số có 3 điểm cực trị nên loại đáp án C. Chọn A.
Ví dụ 3: Cho hàm số y   x 4  bx 2  c có bảng biến thiên như hình vẽ. Tính giá trị của biểu thức
T  b  2c

x
y





1
0
2



0
0



1
0
2





y
3



A. T  4 .

B. T  1 .



C. T  2 .

D. T  1 .

Lời giải


- Chuyên tài liệu file
word, lời giải chi tiết
16/85


Chuyên tài liệu file word, lời
giải chi tiết
Do y  0  2  c  3  y   x 4  bx 2  3
Mặt khác f 1  2  1  b  c  2  b  c  1  b  2
Suy ra b  2c  2  6  4 . Chọn A.
Ví dụ 4: Cho hàm số y  ax 4  bx 2  c có đồ thị như hình
vẽ. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. a  0, b  0, c  0 .
B. a  0, b  0, c  0 .
C. a  0, b  0, c  0 .
D. a  0, b  0, c  0 .
Lời giải
Dựa vào đồ thị ta thấy
lim y    a  0 ; đồ thị hàm số đi qua điểm  0; d   d  0 .

x 

a 0
b0
Hàm số có ba cực trị suy ra ab  0 

Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ  0; c   c  0 . Chọn C.


- Chuyên tài liệu file
word, lời giải chi tiết
17/85


Chuyên tài liệu file word, lời
giải chi tiết
Ví dụ 5: Cho hàm số y  ax 4  bx 2  c có đồ thị như hình vẽ.
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. a  0, b  0, c  0 .
B. a  0, b  0, c  0 .
C. a  0, b  0, c  0 .
D. a  0, b  0, c  0 .
Lời giải
Dựa vào đồ thị ta thấy: lim y    a  0 ; đồ thị hàm số đi qua điểm  0; d   d  0 .
x 

a 0
Hàm số có ba cực trị suy ra ab  0 
b0

Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ  0; c   c  0 . Chọn D.
Ví dụ 6: Cho hàm số y  ax 4  bx 2  c có đồ thị như hình vẽ.
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. a  0, b  0, c  0; b2  4ac .
B. a  0, b  0, c  0; b2  4ac .
C. a  0, b  0, c  0; b2  4ac .
D. a  0, b  0, c  0; b2  4ac .


- Chuyên tài liệu file
word, lời giải chi tiết
18/85


Chuyên tài liệu file word, lời
giải chi tiết
Lời giải
Ta có: lim y   nên a  0 ; đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm  0;c   c  0 .
x 

Hàm số có ba cực trị suy ra ab  0  b  0
Giá trị cực trị của hàm số là yCT

 b 
b2 b2
 y  
 c  0  b 2  4ac . Chọn B.
  a. 
4a 2a
 2a 

Ví dụ 7: Cho hàm số y  ax 4  bx 2  c cắt trục hoành tại 4 điểm
phân biệt A, B, C, D như hình vẽ bên. Biết rằng AB  BC  CD ,
mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a  0, b  0, c  0,100b2  9ac .
B. a  0, b  0, c  0,9b2  100ac .
C. a  0, b  0, c  0,9b2  100ac .
D. a  0, b  0, c  0,100b2  9ac .
Lời giải
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy

lim y  lim  ax 4  bx 2  c     a  0

x 

x 


- Chuyên tài liệu file
word, lời giải chi tiết
19/85


Chuyên tài liệu file word, lời
giải chi tiết
 b
 a  0 b  0
- Đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại 4 điểm như trong hình khi đó 
. Gọi x1 , x2 là nghiệm


c  0
c  0
 a
b

x

x


1
1
2

a

c

phương trình ax4  bx2  c  0 suy ra  x1. x2   2 
a
 2
2
 x A  xD  x1
 2
2
 xB  xC  x2
Ta có AB  BC  CD  xA  xC  2 xB  x1 

x2  2 x2  x1  3 x2  x1  9 x2 (3)

b

 x1  x2   a
9b


x1  

c
c
9b 2


10a

 
 9b 2  100ac
Từ (1), (2), (3) suy ra  x1. x2 
2
a
a 100a

x   b
2

 x1  9 x2
10a




Suy ra a  0, b  0, c  0,9b2  100ac . Chọn C.
III. HÀM SỐ PHÂN THỨC: y 

ax  b
với c  0, ad  bc  0
cx  d

1. Đạo hàm


- Chuyên tài liệu file
word, lời giải chi tiết
20/85


Chuyên tài liệu file word, lời
giải chi tiết
Tập xác định D 
Đạo hàm y 

 d
\  
 c

ad  bc
d
, x   suy ra:
cx  d
c

- Nếu ad  bc  0  hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định.
- Nếu ad  bc  0  hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.
2. Giới hạn, tiệm cận
ax  b a
a
  y  là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
x  cx  d
c
c

- lim y  lim
x 

- lim y  lim
d
x 
c

d
x 
c

ax  b
d
   y   là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
cx  d
c

3. Bảng biến thiên

x



f  x
f  x





d
c

+
a
c

ad  bc  0





y

+



x

a
c

y





d
c
–

–
a
c




a
c

ad  bc  0

4. Đồ thị hàm số

- Chuyên tài liệu file
word, lời giải chi tiết
21/85


Chuyên tài liệu file word, lời
giải chi tiết

ad  bc  0

ad  bc  0

 d a
Đồ thị hàm số nhận I   ;  là giao điểm của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.
 c c

5. Phương pháp giải toán
Để nhận diện hàm số phân thức bậc nhất: y 
Dựa vào các đường tiệm cận đứng x  

ax  b
cx  d

 c  0  ta làm như sau:

a
d
và tiệm cận ngang y  .
c
c

- Chuyên tài liệu file
word, lời giải chi tiết
22/85


Chuyên tài liệu file word, lời
giải chi tiết
 b 
Dựa vào giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm  ;0  và giao điểm của đồ thị hàm số với trục
 a 
 b
tung là điểm  0;  .
 d

Chú ý: Với các bài toán xác định dấu của a, b, c, d ta có thể chọn a  0 (vì y 

ax  b ax  b
) từ đó suy ra

cx  d cx  d

dấu của b, c, d .
Ví dụ 1: Đường cong hình bên là đồ thị của một hàm số nào trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương
án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
A. y 

x 1
.

x 1

B. y 

x2
.
x 1

C. y 

2x 1
.
x 1

D. y 

x 3
.
x2

Lời giải
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x  1 và tiệm cận ngang là y  1 do vậy ta
loại hai đáp án là C và D.


- Chuyên tài liệu file
word, lời giải chi tiết
23/85

Chuyên tài liệu file word, lời
giải chi tiết
Xét đáp án A có y 

x 1
2
 y 
 0 nên hàm số nghịch biến. Chọn B.
2
x 1
 x  1

Cách 2: Dựa vào giao điểm của đồ thị hàm số với các trục tọa độ để loại đáp án A.
Ví dụ 2: Đường cong hình bên là đồ thị của một hàm số

nào

trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D
dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
A. y 

2x
.
x 1

B. y 

2x  3
.
x 1

C. y 

x2
.
x 1

D. y 

2x 1
.
x 1

Lời giải
Đồ thị hàm số nhận các đường thẳng x  1 và y  2 là đường tiệm cận nên loại đáp án C.
Hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng xác định. Mặt khác với y 

2x  3
1
0
có y 
2
x 1
 x  1

Loại đáp án B. Đồ thị hàm số không đi qua gốc tọa độ nên loại A. Chọn D.


- Chuyên tài liệu file
word, lời giải chi tiết

24/85


Chuyên tài liệu file word, lời
giải chi tiết
Ví dụ 3: Cho hàm số y 


x
y
y

ax  b
có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Hỏi hàm số đã cho là hàm số nào?
cx  d



2

–

–


1


A. y 

x 3
.
x2

B. y 

1

x3
.
x2

C. y 

x 3
.
x2

D. y 

x  3
.
x2

Lời giải
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:
Đồ thị hàm số nhận các đường thẳng x  2 và tiệm cận ngang y  1 (loại đáp án C và D).
Hàm số đã cho nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.
Xét hàm số y 

x 3
1
 y 
 Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định nên ta loại đáp án A.
2
x2
 x  2

Chọn B.
Ví dụ 4: Cho hàm số y 

ax  b
có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Hỏi hàm số đã cho là hàm số nào?
cx  d


- Chuyên tài liệu file
word, lời giải chi tiết
25/85