Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Kĩ thuật nhân chia liên hợp đối với phương trình, hệ phương trình chứa căn thức

MỤC LỤC

1


BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. Lời giới thiệu
. Đất nước ta đang trên đà phát triển và hội nhập. Để đáp ứng nhu cầu
cơng nghiệp hố - hiện đại hoá đất nước, cùng với sự phát triển của
khoa học - công nghệ, giáo dục và đào tạo được xem là quốc sách
hàng đầu nhằm nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực và bồi dưỡng nhân
tài.
Trong chương trình giáo dục trung học phổ thơng, mơn tốn
chiếm vị trí đặc biệt quan trọng trong các mơn học, nó là cơ sở của
nhiều mơn học khác. Mơn tốn có khả năng to lớn giúp học sinh phát
triển năng lực và phẩm chất trí tuệ, rèn luyện cho học sinh tư duy biện
chứng, tư duy trừu tượng, tư duy logic…
Trong những năm gần đây, các bài toán về phương trình, hệ
phương trình thường xuất hiện nhiều trong các cuộc thi Học sinh giỏi
và Kì thi Trung học phổ thơng quốc gia. Phương trình, hệ phương trình
được đánh giá là bài tốn phân loại học sinh địi hỏi nhiều kĩ thuật.
Trong q trình cơng tác và giảng dạy tại trường THPT Nguyễn Viết
Xuân, tôi đã được ôn luyện đội tuyển học sinh giỏi và ôn tập kiến thức
cho học sinh Ôn luyện Kì thi THPT Quốc gia, nhận thấy rằng kĩ năng
giải phương trình, hệ phương trình của học sinh cịn nhiều hạn chế, vì
thế tơi viết sáng kiến kinh nghiệm: “ Kĩ thuật nhân chia liên hợp
đối với phương trình, hệ phương trình chứa căn thức ” với mong
muốn cung cấp cho học sinh một phương pháp hữu hiệu để giải
phương trình, hệ phương trình, đồng thời góp phần tích luỹ những kiến
thức cần thiết cho cơng tác giảng dạy của bản thân. Hy vọng sáng

kiến kinh nghiệm này sẽ là một tài liệu hữu ích cho giáo viên và học
sinh tham khảo trong việc ôn luyện thi THPT Quốc gia cũng như bồi
dưỡng học sinh giỏi
2. Tên sáng kiến
“ Kĩ thuật nhân chia liên hợp đối với phương trình, hệ phương
trình chứa căn thức ”
3. Tác giả sáng kiến:
- Họ và tên: Hoàng Tuyết Nhung
- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Nguyễn Viết Xuân – Vĩnh
Tường – Vĩnh Phúc

2


- Số điện thoại: 0986458989
- E-mail:
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Hoàng Tuyết Nhung
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến
Phần phương trình và hệ phương trình lớp 10
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử:
Tháng 09/2017.
7. Mô tả bản chất của sáng kiến
7.1. Các bước thực hiện sáng kiến
Bước 1: Xây dựng nội dung sáng kiến.
Bước 2: Áp dụng sáng kiến trong hoạt động dạy học.
Bước 3: Chỉnh sửa, bổ sung, rút kinh nghiệm.
Bước 4: Nhân rộng sáng kiến.
7.2. Nội dung sáng kiến
7.2.1. Các dạng liên hợp cơ bản
A− B

A− B =

A+ B

•

A−B=

A − B2

3

A−3 B =

A− B
3

•
3

A+3 B =

•

A−3 B =
•

A+3 B =
•

( A ≥ 0, B ≥ 0)

A+B

•

( A ≥ 0, B ≥ 0)

A + A.B + 3 B 2
2

3

A+ B
3

A 2 − 3 A.B + 3 B 2
A3 − B

A 2 + A3 .B + 3 B 2
A3 + B
A 2 − A3 .B + 3 B 2

7.2.2. Nội dung của phương pháp nhân chia liên hợp
Vận dụng kĩ thuật nhân chia liên hợp cơ bản khi giải phương trình
vơ tỉ cho ta kết quả nhanh gọn. Mục tiêu của phương pháp này như
sau:
-

Giả sử nhẩm được nghiệm của phương trình là

x=a

.
3


-

Nhân liên hợp một cách hợp lý sao cho xuất hiện nhân tử
và đưa phương trình về dạng:

( x − a). g ( x) = 0
g ( x) > 0

x−a

.
g ( x) < 0

Thông thường ta chứng minh được
hoặc
(Với mọi x
thuộc K là tập điều kiện xác định của phương trình). Trong trường hợp
g ( x) = 0

khó chứng minh phương trình
vơ nghiệm, địi hỏi khéo léo xử lý
phương trình bằng công cụ bất đẳng thức, đạo hàm, …

Khi vận dụng kĩ thuật nhân chia liên hợp giải thành thạo phương
trình vơ tỉ thì kĩ thuật này là cơng cụ hiệu quả để giải hệ phương trình
chứa ẩn trong dấu căn cho ta kết quả nhanh gọn.

4


7.2.3 KĨ THUẬT NHÂN CHIA LIÊN HỢP ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH
CHỨA ẨN TRONG DẤU CĂN
Ví dụ 1: Giải phương trình:
3 3 x 2 + x 2 + 8 − 2 = x 2 + 15

(1)

x = ±1
Phân tích: Dễ dàng nhẩm được
là nghiệm của phương trình (1),
dự đốn có thể giải phương trình bằng phương pháp nhân chia liên hợp
x2 −1

để xuất hiện nhân tử chung
. Tuy nhiên, quan sát các biểu thức
chứa ẩn trong dấu căn, ta không thể nhân chia liên hợp trực tiếp. Để
phát hiện được biểu thức nhân chia liên hợp ta thực hiện như sau:
3

Xét:

, cho

x2 + 8 − a = 0

Xét:

x 2 + 15 − 4

)

x =1

, cho

x 2 + 15 − a = 0

Xét:

(

x2 − a = 0

a =1

ta được

x =1

, cho

ta được
x =1

⇒ biểu thức liên hợp

a=3

(

3

⇒ biểu thức liên hợp

ta được

a=4

)

x2 −1

(

.

)

x2 + 8 − 3

.

⇒ biểu thức liên hợp

.

Giải:

( 1) ⇔ 3 ( 3 x 2 − 1) + (
⇔

3 ( x 2 − 1)
3

x4 + 3 x2 + 1

+

) (

x2 + 8 − 3 =

x2 − 1
x2 + 8 + 3

=

 x2 = 1
⇔ 
1
1
+
=

2
 3 x 4 + 3 x 2 + 1
x +8 +3

x 2 + 15 − 4

)

x2 −1
x 2 + 15 + 4

1
x + 15 + 4
2

(*)

Mặt khác, ta có:
x 2 + 15 > x 2 + 8 ⇒ x 2 + 15 + 4 > x 2 + 8 + 3 ⇒

1
x 2 + 15 + 4

<

1
x2 + 8 + 3

Nên phương trình (*) vơ nghiệm.
Vậy (1) có 2 nghiệm

x = 1, x = −1

.

Ví dụ 2: Giải phương trình:

5


3x 2 − 5x + 1 − x 2 − 2 = 3 ( x 2 − x − 1) − x 2 − 3x + 4

(2)

Phân tích:
Trước hết, kiểm tra ta thấy được rằng phương trình đã cho có một
nghiệm

x=2

nên ta sẽ cố gắng đưa phương trình trên về phương trình tích xuất
hiện nhân tử

( x − 2)

( 3x

2

. Ta có nhận xét rằng:

− 5 x + 1) − ( 3x 2 − 3 x − 3) = −2 ( x − 2 )

và

(x

2

− 2 ) − ( x 2 − 3x + 4 ) = 3 ( x − 2 )

Giải:
(2)
⇔

⇔ 3 x 2 − 5 x + 1 − 3 ( x 2 − x − 1) = x 2 − 2 − x 2 − 3 x + 4

−2 x + 4

3x 2 − 5 x + 1 + 3 ( x 2 − x + 1)

3x − 6

=

x 2 − 2 + x 2 − 3x + 4



2

3
=0
⇔ ( x − 2) 
+
2
2
 3x 2 − 5 x + 1 + 3 x2 − x − 1

x
−
2
+
x
−
3
x
+
4
(
)



Mặt khác, ta có:
2
3 x 2 − 5 x + 1 + 3 ( x 2 − x − 1)

3

+

x − 2 + x 2 − 3x + 4
2

> 0 với mọi x

Vậy phương trình (2) có một nghiệm duy nhất x = 2.
Ví dụ 3: Giải phương trình:
2 x 2 − 7 x + 10 = x + x 2 − 12 x + 20

(3)

Phân tích:
Cũng bằng cách kiểm tra, ta thấy phương trình (3) nhận x = 1 làm một
nghiệm nên ta có thể đưa phương trình (3) về dạng phương trình tích
xuất hiện nhân tử

( x − 1)

. Vì biểu thức dưới dấu căn là tam thức bậc hai

nên để xuất hiện nhân tử

( x − 1)

, ta thực hiện phân tích như sau:

6

x 2 − 7 x + 10 − ( x + a ) = 0

Xét:

, cho

⇒ biểu thức liên hợp
x 2 − 12 x + 20 − ( x + a ) = 0

Xét:

⇒ biểu thức liên hợp

x =1

ta được

x 2 − 7 x + 10 − ( x + 1)

, cho

x =1

a =1

.

ta được

x 2 − 12 x + 20 − ( x + 2)

a=2

.

Giải:

( 3) ⇔ 2 

x 2 − 7 x + 10 − ( x + 1)  =  x 2 − 12 x + 20 − ( x + 2 ) 
 


−18 ( x − 1)
x 2 − 7 x + 10 + x + 1

⇔

=

x = 1
⇔
9

=
2
 x − 7 x + 10 + x + 1

(*)

(4)

−16 ( x − 1)
x 2 − 12 x + 20 + x + 2

8
x 2 − 12 x + 20 + x + 2

(*)

⇔ 8 x 2 − 7 x + 10 − 9 x 2 − 12 x + 20 = x + 10

Đến đây ta có hai hướng giải quyết:
Hướng 1: Bình phương hai vế…(khơng khả thi).
Hướng 2: Kết hợp với phương trình (3) ta có hệ sau:

8 x 2 − 7 x + 10 − 9 x 2 − 12 x + 20 = x + 10

2 x 2 − 7 x + 10 − x 2 − 12 x + 20 = x
5

15 + 5 5
x ≥
5 x − 7 x + 10 = 4 x − 5 ⇔ 
⇔x=
4
2
 x 2 − 15 x + 25 = 0

2

⇒

x = 1, x =

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm

15 + 5 5
2

.

Ví dụ 4: Giải phương trình
3

162 x3 + 2 − 27 x 2 − 9 x + 1 = 1

Phân tích:

7


Dùng máy tính cầm tay ta có thể dễ dàng tìm được một nghiệm
x=

của phương trình là

1
3

. Nên ta sẽ thêm (bớt) đại lượng phù hợp để

có thể nhân chia liên hợp xuất hiện nhân tử chung

(3 x − 1)

.

Giải:
Phương trình đã cho tương đương với:

( 162 x
3

(

3

) (

)

+2 −2 −

27 x 2 − 9 x + 1 − 1 = 0

162 x3 − 6

)

162 x + 2

3

3

⇔

(

2

+ 2 162 x + 2 + 4
3

3

162 x + 2
3



⇔ ( 3 x − 1) 



(

)

27 x 2 − 9 x + 1 + 1

3

2 ( 3 x − 1) ( 9 x 2 + 3 x + 1)
2

3 x ( 3x − 1)

−

+ 2 162 x + 2 + 4
3

−

3

=0

3x ( 3x − 1)
27 x 2 − 9 x + 1 + 1

=0



−
2
=0

2
3
3
3
3
27 x − 9 x + 1 + 1 
162 x + 2 + 2 162 x + 2 + 4

2 ( 9 x 2 + 3 x + 1)

3x

)

Xét phương trình:

(

2 ( 9 x 2 + 3 x + 1)
3

162 x + 2

⇔

3

(

)

2

+ 2 162 x + 2 + 4
3

−

3

2 ( 9 x 2 + 3x + 1)
3

162 x 3 + 2

+ 2 3 162 x 3 + 2 + 4

a = 162 x + 2
3

Ta đặt

)

2

3x
27 x − 9 x + 1 + 1
2

=

(

3

suy ra:

=0

3x
3

162 x 3 + 2

)

(

)

2 9 x 2 + 3x + 1 3x
2 9 x 2 + 3 x + 1 a 2 + 2a + 4
=
⇔
=
a
3x
a
a 2 + 2a + 4

1
4
1
a 2


2  3 x + + 1÷ = a + + 2 ⇔ 3 x + + 1 = + + 1 ⇒ 3 x = a ⇔ x = 1
3x 
a
3x
2 a

2
3
x=

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất

1
3

.

Ví dụ 5: Giải phương trình sau:

8


x 2 + 12 + 5 = 3 x + x 2 + 5

Phân tích:
Ta nhận thấy x = 2 là một nghiệm của phương trình. Như vậy phương
trình đã cho có thể phân tích được về dạng

( x − 2) Q ( x ) = 0

.

Giải: Phương trình đã cho tương đương với:
x 2 + 12 − 4 = 3x − 6 + x 2 + 5 − 3

⇔

x2 − 4

x2 − 4

= 3( x − 2) +

x 2 + 12 + 4

x2 + 5 + 3



x+2
x+2
⇔ ( x − 2) 
−

− 3 ÷= 0
2
x2 + 5 + 3 
 x + 12 + 4
x = 2
⇔
x+2
x+2

−
− 3 = 0(*)
2
x2 + 5 + 3
 x + 12 + 4
1
x + 12 + 4
2

Do

<

1
x +5 +3
2

⇒

x+2
x + 12 + 4

2

−

x+2
x +5 +3
2

<0

nên (*) vơ nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2.
Ví dụ 6: Giải phương trình
5x − 1 + 3 9 − x = 2 x 2 + 3x − 1

Phân tích: Dễ nhẩm được x = 1 là một nghiệm của phương trình, bằng
cách phân tích đã nêu ở các ví dụ trên ta có thể thực hiện lời giải như
sau:
x≥

Giải: ĐK:

1
5

.

Phương trình đã cho tương đương với:
5 x − 1 − 2 + 3 9 − x − 2 = 2 x2 + 3x − 5

⇔

5 ( x − 1)
5x − 1 + 2

+

(

3

9− x

)

1− x
2

+2 9− x +4
3

= ( x − 1) ( 2 x + 5 )

9



5
+

( x − 1)  2 x + 5 −
5x −1 + 2

⇔


5 5x −1 + 5
⇔ ( x − 1)  2 x +
+

5x −1 + 2


(

(


=0
2

3
9 − x + 23 9 − x + 4

1

)


=0

2

3
9 − x + 23 9 − x + 4

⇔ x =1

)

1

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất x = 1.
Ví dụ 7: Giải phương trình

x3 − 3 x + 1 = 8 − 3 x 2
Phân tích:
Ở bài này, khó là ở chỗ ta không thể nhẩm ra ngay được nghiệm của
phương trình để dùng lượng liên hợp. Tuy nhiên với sự hỗ trợ đắc lực
của công nghệ là chiếc máy tính Casio fx570-ES thì mọi chuyện có vẻ
dễ dàng hơn!
Thật vậy, ta sẽ lần lượt dùng chức năng Shift Solve để tìm ra 2
nghiệm
x1 = −0, 6180339887...; x2 = 1, 618033989...
của phương trình là:
sau đó gán hai
nghiệm này vào hai biến A và B.

Bây giờ ta sẽ thử tìm xem A và B có mối quan hệ gì với nhau hay
khơng bằng cách tình A + B và AB, ta thu được kết quả “đẹp” sau:

A + B = 1, AB = −1

.

Điều đó đã chứng tỏ A, B là hai nghiệm của phương trình:
x2 − x −1 = 0

.

Và từ đây, ta có thể dự đốn được
phương trình.

x2 − x −1

chính là nhân tử của

Ta viết phương trình đã cho lại thành:
x3 − 3 x + 1 − ( px + q ) − 8 − 3x 2 + px + q = 0

⇔ x − 3 x + 1 − ( px + q ) +
3

( px + q )

2

− ( 8 − 3x 2 )

8 − 3 x 2 + px + q

= 0 ( 2)

10


⇔ x − ( p + 3)
3

(p
x +1 − q +

2

+ 3) x 2 + 2 pqx + q 2 − 8
8 − 3 x 2 + px + q

x2 − x −1

Đến đây, để xuất hiện nhân tử

( p + 3) x
2

2

+ 2 pqx + q 2 − 8 = ∂ ( x 2 − x − 1)

=0

thì

∂

∂

với là một hệ số. Chọn = 4 thì ta được
một cặp (p, q) thỏa mãn là (p, q) = (-1; 2). Khi đó ta có lời giải như
sau:
−

Giải: Đk:

2 6
2 6
≤x≤
3
3

.

x3 − 3 x + 1 = 8 − 3 x 2
⇔ x 3 − 2x − 1 −

⇔

[ 8 − 3x

x3 − 2 x − 1 + 4

2

]

− (2 − x) = 0

x2 − x − 1
8 − 3x 2 + 2 − x

=0



4
⇔ ( x 2 − x − 1)  x + 1 +
÷= 0
2
8
−
3
x
+
2
−
x


f ( x ) = 8 − 3x + 2 − x

f '( x) =

2

Xét

⇒ f '( x ) = 0 ⇔

−3 x
8 − 3x2

(*)

ta có:

=1⇔ x = −

−3 x
8 − 3x 2

−1

2
3

Ta có bảng biến thiên:

⇒ f ( x) ≤

6+4 6
3

x≤

kết hợp với

6+4 6
2 6
⇒ 0 < f ( x) ≤
3
3

11


⇒ x +1+

4

= x +1+

8 − 3x + 2 − x
2

(*) ⇔ x 2 − x − 1 = 0 ⇔ x =

Do đó:

4
2 6
4
≥−
+1+

>0
f ( x)
3
6+4 6
3
1± 5
2
x=

Vậy phương trình đã cho có nghiệm

1± 5
2

.

Ví dụ 8: Giải phương trình
x2 + x − 1 = ( x + 2) x2 − 2 x + 2

Giải:
Cũng bằng cách làm tương tự như Ví dụ 7, ta phân tích được như sau:
x2 − 2x − 7 + 3 ( x + 2) − ( x + 2) x2 − 2 x + 2 = 0

)

(

⇔ x2 − 2x − 7 + ( x + 2) 3 − x2 − 2x + 2 = 0



⇔ ( x − 2x − 7) 


2

x = 1+ 7
⇔
 x = 1 − 7

+ 1 − ( x − 1) ÷
=0
2
÷
x − 2x + 2 + 3


( x − 1)

2

.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là:

x = 1+ 7

và

x = 1− 7

.

Ví dụ 9: Giải phương trình
3 − x + 2 + x = x3 + x 2 − 4 x − 4 + x + x − 1
x = −1, x = 2

Phân tích: Dễ dàng nhẩm được
là nghiệm của phương trình
nên ta thực hiện nhân chia liên hợp để xuất hiện nhân tử chung
( x + 1)( x − 2)

Giải: ĐK:

.
−2 ≤ x ≤ 3

.

Phương trình đã cho tương đương với:

12


(

) (

3 − x − x −1 +

)

2 + x − x = x3 + x 2 − 4 x − 4

− x2 + x + 2
− x2 + x + 2
+
= ( x + 2 ) ( x + 1) ( x − 2 )
3 − x + x −1
2+ x + x

⇔



1
1
⇔ ( 2 − x ) ( x + 1) 
+
+ ( x + 2)  = 0
2+ x + x
 3 − x + x − 1

 x = −1
⇔
x = 2

.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là

x = −1

và

x=2

.

Nhận xét: Với bài này, việc xuất hiện thêm các đa thức chứa trị tuyệt
đối tưởng chừng như sẽ gây cho ta thêm khó khăn trong việc giải
quyết. Nhưng nhờ sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp, bài tốn
đã được giải quyết nhanh chóng! Khi ấy, ta chỉ cần chuyển các biểu
thức về vị trí phù hợp và sử dụng phương pháp nhân chia liên hợp là
đủ.
Ví dụ 10: Giải phương trình:
3

x2 −1 + x − 3 + x + 1 + x =

x+3
+5
x2 − 6

x≥3

Giải: Đk:

Phương trình đã cho tương đương với:

(

3

)

x2 −1 − 2 + x − 3 +

(

x2 −1 − 8

⇔
3

(x

2

− 1) + 2 3 x 2 − 1 + 4
2

)

x + 1 − 2 + ( x − 3) =
+ x−3 +

x+3
−2
x2 − 6

x +1− 4
15 + x − 2 x 2
+ ( x − 3) =
x2 − 6
x +1 + 2



x − 3 ( x + 3)
x − 3 ( 2x + 5) 
x −3

⇔ x−3 
+1+
+ x −3 +
2
=0
2
x
−
6
3 2
2
x
+
1
+
2
3
 ( x − 1) + 2 x − 1 + 4



⇔ x=3

.

Vậy phương trình đã có nghiệm

x=3

.

Bài tập tự luyện:
13


Giải các phương trình sau:
1.

2 x − 1 + x 2 − 3x + 1 = 0

ĐS:

x = 1, x = 2 − 2

pt ⇔ 2 x − 1 − 1 + x 2 − 3 x + 2 = 0

Hướng dẫn:
nhân tử chung x – 1.

(

)

x = 3; x =

3 2 + x − 2 = 2x + x + 6

2.

ĐS:
pt ⇔ 3

(

1 − x 2x + x2
=
x
1 + x2

Hướng dẫn:
tử chung là
9

4.

(

, nhân chia liên hợp xuất

x=

ĐS:

1
2

)

4 x + 1 − 3x − 2 = x + 3

Hướng dẫn:

ĐS:

(

Hướng dân:

x=6

)

4 x − 1 − 5 + 4 − 3x − 2 = x − 6

x = ±1; x =

2 x + 16 x + 18 + x − 1 = 2 x + 4
2

, nhân chia liên hợp xuất hiện nhân

.

pt ⇔ 9

5.

)

1− x
2 x + x2
pt ⇔
−1 =
−1
x
1 + x2
2x −1

11 − 3 5
2

x − 2 −1 = 2x − 6 + x + 6 − 3

Hướng dẫn:
hiện nhân tử chung x – 3.

3.

, nhân chia liên hợp xuất hiện

2

ĐS:

−32 + 513
7

pt ⇔ 2 x 2 + 16 x + 18 − ( 2 x + 4 ) + x 2 − 1 = 0

hiện nhân tử chung là

x2 − 1

, nhân chia liên hợp xuất

.

7.2.4. KĨ THUẬT NHÂN CHIA LIÊN HỢP ĐỐI VỚI HỆ PHƯƠNG
TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU CĂN
Kĩ thuật nhân chia liên hợp đã khá hiệu quả đối với một số
phương trình chứa ẩn trong dấu căn đã nêu ở chương 2, vận dụng kĩ
thuật này ta cũng có những cách giải nhanh gọn đối với hệ phương
trình chứa ẩn trong dấu căn. Sau đây là một số ví dụ minh họa cho
dạng tốn này:

14


Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:

 2 x + y − 1 − x + 2 y − 2 + x − y + 1 = 0 (1)
 2
(2)
4 x − y 2 + x + 4 = 2 x + y + x + 4 y

Phân tích: Quan sát phương trình (1) dễ nhận thấy:
(2 x + y − 1) − ( x + 2 y − 2) = x − y + 1

Do đó, ta thực hiện nhân liên hợp trực tiếp phương trình (1) xuất hiện
nhân tử chung

Giải: ĐK:
(1) ⇔

( x − y + 1)

.

2 x + y − 1 ≥ 0
x + 2 y − 2 ≥ 0


2 x + y ≥ 0
 x + 4 y ≥ 0
x − y +1

2x + y − 1 + x + 2 y − 2

+ x − y +1 = 0

x − y + 1 = 0
1
⇔ 
+ 1 = 0 (*)
 2 x + y − 1 + x + 2 y − 2

Dễ thấy phương trình (*) vơ nghiệm.
Với

x − y +1 = 0 ⇔ y = x +1

thay vào (2) ta được phương trình:

3 x + 1 + 5 x + 4 = 3x − x + 3

x≥−

2

(3)

ĐK:

1
3

x = 0, x = 1

Nhận xét: Dễ dàng nhẩm được
là nghiệm của phương trình

(3). Có thể sử dụng kĩ thuật nhân chia liên hợp để xuất hiện nhân tử
x( x − 1)
A−B

. Khi nhân liên hợp nhiều hơn một nghiệm biểu thức có dạng
thì B phải có chứa biến.

15


(3) ⇔

[

] [

3x + 1 − ( x + 1) +

]

5 x + 4 − ( x + 2) = 3x 2 − 3 x



1
1
⇔ ( x − x 2 )
+
+ 3  = 0
5 x + 4 + ( x + 2)

 3x + 1 + ( x + 1)

2
x − x = 0

⇔
1
1
1
+
+ 3 = 0 ( PTVN ∀x ≥ − )
 3 x + 1 + ( x + 1)
3
5 x + 4 + ( x + 2)
x = 0
⇔
x = 1

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm

( x; y )

là

(0;1), (1;2)

.

16

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:
y
 2
(1)
 x −x− y = 3 x− y

 2
2
2( x + y ) − 3 2 x − 1 = 11 (2)

Phân tích: Quan sát hai phương trình trong hệ, ta gặp khó khăn trong
việc nhân chia liên hợp để xuất hiện nhân tử chung. Kĩ thuật sau sẽ
giúp ta “mò” được nhân tử chung:
x2 − x − y =

y
x− y

3

Xét phương trình:
3

Cho

x=2

Cho

x=3

y
x −x− y
2

(*)

y

2− y =

2− y

, (*) trở thành
3

⇔3 x− y =

, dùng MTCT tìm được

y =1

.

y

3− y =

6− y

, (*) trở thành

, dùng MTCT tìm được

Từ phân tích trên ta phát hiện quy luật:

y=2

.

y = x −1

Ta sẽ thêm bớt lượng tử hai vế của (1) để nhân chia liên hợp làm xuất
hiện nhân tử

Giải: ĐK:

( x − y − 1)


x 2 − x − y ≥ 0

x − y ≠ 0

1
x ≥
2


(1) ⇔ 3 x − y − 1 =
⇔

y
x2 − x − y

x − y −1
3

( x − y)

2

.

+ 3 x − y +1

=−

x − y −1 = 0

1
⇔
+
 3 ( x − y) 2 + 3 x − y + 1


−1
( x + y )( x − y − 1)

(

x − x − y y + x2 − x − y
2

( x + y)

(

x2 − x − y y + x2 − x − y

y<0

)

) = 0 (3)

Để ý phương trình (1) nếu
, kết hợp điều kiện
đó vế phải của (1) âm, suy ra (1) vơ nghiệm.

x≥

1
2

thì

x− y >0

do

17


Ta phải có
Với

y≥0

. Vì vậy phương trình (3) vơ nghiệm.

x − y −1 = 0 ⇔ y = x −1

thay vào (2) ta được:

2( 2 x 2 − 2 x + 1) − 3 2 x − 1 = 11
⇔ (2 x − 1) 2 − 3 2 x − 1 = 10
⇔ 2x − 1 = 2
5
⇔x=
2

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm

5 3
( x; y ) =  ; 
2 2

.

Ví dụ 3: (TSĐH Khối B-2014) Giải hệ phương trình:
(1 − y ) x − y + x = 2 + ( x − y − 1) y
(1)
 2
2 y − 3 x + 6 y + 1 = 2 x − 2 y − 4 x − 5 y − 3 (2)

Giải: ĐK:

x ≥ 2 y ≥ 0,4 x − 5 y − 3 ≥ 0

.

Phương trình (1) tương đương với:
(1 − y )( x − y − 1) + x − y + 1 = 2 + ( x − y − 1) y

⇔ (1 − y )

x − y −1
+ ( x − y − 1) − ( x − y − 1) y
x − y +1

 1− y

⇔ ( x − y − 1) 
+1− y  = 0
 x − y + 1


1

1 
⇔ ( x − y − 1)(1 − y ) 
+
=0
 x − y + 1 1+ y ÷
÷


y =1
⇔
 y = x −1

TH1: Nếu

y =1

thay vào phương trình (2) của hệ ta được:

y = x −1

TH2: Nếu
, khi đó điều kiện trở thành
trình (2) của hệ ta được:

1≤ x ≤ 2

x=3

, thay vào phương

2x 2 − x − 3 = 2 − x

18


2 x 2 − x − 3 ≥ 0
⇔
2
 2 x 2 − x − 3 = 2 − x

(

)

1≤ x ≤ 2
2 x 2 − x − 3 ≥ 0
1+ 5
⇔ 2
⇔
x
=
2
(4 x − 7)( x 2 − x − 1) = 0

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm

( x; y )

là:

(3;1)

và

1+ 5 −1+ 5 


 2 ;

2



.

Ví dụ 4: Giải hệ phương trình:
 x 2 + y 2 + x 2 − y 2 = 2 y

 x + y 5 = 3

(1)
(2)

Giải:
x ≥ 0
 2
2
x − y ≥ 0

ĐK:

Từ phương trình (1) ta suy ra
Nhận thấy

y=0

y≥0

.

khơng thỏa mãn hệ phương trình nên ta chỉ xét

y>0

.

Viết lại phương trình (1) như sau:
3y   2
y
 2
2
2
 x + y − + x − y −  = 0
2  
2

x2 −

⇔

5y2
4

x2 + y2 +

3y
2

+

x2 −

5y2
4

x2 − y2 +


 2 5 y 2 
1
 
⇔  x −
+
3y
4  2
2

x +y +
2


5y2
y 5
⇔x −
=0⇔ x=
4
2

y
2

=0



=0
y 
2
2
x −y +
2 
1

x =1⇒ y =

2

Thay vào phương trình (2) ta được

2
5

19


Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

 2 
( x; y ) = 1;

5


.

Cách 2: Ta có thể phân tích (1) về dạng tích như sau:
x 2 + y 2 = 2 y − x 2 − y 2 ⇒ x2 + y 2 = x2 + 3y 2 − 4 y x2 − y 2

(

⇔ 2y y − 2 x2 − y2

)

y = 0
y = 0

=0⇔
⇔  y 2 = 4( x 2 − y 2 )
2
2

 y = 2 x − y
 y ≥ 0


Xét từng trường hợp thay vào phương trình (2) ta cũng được kết quả
tương tự như trên.
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình:
 x − 3 x + 3 = 3 y − 5 − y
 2
 x + 16( y − x) + y = 2 xy

(1)
( 2)

Phân tích: Quan sát phương trình (2) thấy rằng

x=y

thỏa mãn phương

trình nên có thể phân tích (2) xuất hiện nhân tử chung
Giải: ĐK:
( 2) ⇔
⇔

( x − y)

.

x ≥ 0, y ≥ 5

x 2 + 16( y − x) − y = 2 xy − 2 y

x 2 + 16( y − x) − y 2
x + 16( y − x) + y
2

=

2 y( x − y)
xy + y


x − 16
⇔ ( x − y)
−
 x 2 + 16( y − x) + y


 = 0 (*)
xy + y 
2y

2

Từ (1) ta có:

3
11


x−3 x+3 = 3 y −5 − y ⇔  y −5 −  + x−3 x+3 + = 0
2
4

2

11
11 
7 + 6 10

⇒ x − 3 x + 3 + ≤ 0 ⇔  x +  ≤ 9( x + 3) ⇔ −3 ≤ x ≤
< 16
4
4
4


Do đó:

(

(*) ⇔ x = y

. Thay vào (1) ta được:

)

(

2 x = 3 x + 3 + x − 5 ⇔ 4 x 2 = 9 2 x − 2 + 2 x 2 − 2 x − 15

)
20


⇔ 9 x 2 − 2 x − 15 = 2 x 2 − 9 x + 9

2 x 2 − 9 x + 9
⇔
⇔ x=6
81( x 2 − 2 x − 15) = (2 x 2 − 9 x + 9) 2

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

( x; y ) = (6;6)

.

Ví dụ 6: Giải hệ phương trình:
 2 x + 1 − 2 y + 1 = y − x
 2 2
16 x y + 5 = 63 4 x 2 y + x
x≥

Giải: ĐK:

1
1
,y≥
2

2

x=−

Nhận thấy
đó:
(1) ⇔

1
2

(1)
(2)

.
y=−

hoặc

1
2

khơng là thỏa mãn hệ phương trình khi



2
+ x − y = 0 ⇔ ( x − y )
+ 1 = 0 ⇔ x = y
 2x + 1 + 2 y + 1 

2x + 1 + 2 y + 1


2( x − y )

Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được
16 x 4 + 5 = 63 4 x 3 + x = 33 2.4 x.( 4 x 2 + 1) ≤ 2 + 4 x + 4 x 2 + 1

(

)

⇔ ( 2 x − 1) 2 x 2 + 2 x + 1 ≤ 0 ⇔ x =
2

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

1
2
1 1
 ; 
2 2

.

Ví dụ 7: Giải hệ phương trình:
 x 3 + x 2 + 2 y + 1 = x 2 y + y + 1

( x + y − 1) y + 1 = 10

(1)
(2)

Phân tích: Quan sát phương trình (1), nếu x = y thì phương trình (1)
được thỏa mãn. Dự đốn nhân tử chung của (1) là
Giải: ĐK:

x 2 + 2 y + 1 ≥ 0, y > −1

( x − y)

.

.

21


(1) ⇔ x 2 ( x − y ) + x 2 + 2 y + 1 − ( y + 1) = 0
x2 − y 2

⇔ x2 ( x − y) +

=0

x 2 + 2 y + 1 + ( y + 1)



x+ y

÷ = 0 (*)
⇔ ( x − y)  x 2 +
2

÷
x
+
2
y
+
1
+
(
y
+
1)



Từ phương trình (2) ta có
x=y

Với

x + y >1

nên

, phương trình (2) trở thành:

(*) ⇔ x = y
( 2 x − 1) x + 1 = 10 ⇔ x = 3

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

( x; y ) = (3;3)

.

Ví dụ 8: Giải hệ phương trình:
x

 x + y − y = 1+ y

x 2 + y 2 + 2 x − y − 2 = 0


(1)
(2)

Phân tích: Nhiều em học sinh sẽ dự đốn khai thác phương trình số (2),
nhưng ta rất khó khăn phân tích phương trình (2) về dạng phương
( x + y) − y = x

trình tích. Quan sát phương trình (1) lại thấy
, nên ta có thể
dùng kĩ thuật nhân chia liên hợp để phân tích (1) xuất hiện nhân tử
x

chung là

Giải: ĐK:
(1) ⇔

.

x + y ≥ 0

y ≥ 0

x+ y − y =

(

x
1+ y

⇔

) (

)

( x + y) − y
x+ y + y

(

=

x
1+ y

)

x = 0
⇔ x 1+ y = x x + y + y ⇔ x x + y −1 = 0 ⇔ 
x + y = 1

Với
Với

x=0

, (2) trở thành

x + y = 1 ⇔ x = 1− y

 y = −1 ( KTM )
y2 − y − 2 = 0 ⇔ 
y = 2

, thay vào (2) ta được:

22


(1 − y ) 2



5 + 17
y =
2
+ y 2 + 2(1 − y ) − y − 2 = 0 ⇔ 2 y 2 − 5 y + 1 = 0 ⇔ 

5 − 17
y =
2



Vậy nghiệm

( x; y )

17 5  17 

;
4
4 

( 0;2) ,  − 1 ±


của hệ phương trình là:

.

Ví dụ 9: Giải hệ phương trình:
 x + y + 2 x + 3 y = 5


 2 y + 2 + x + 4 y + 2 = 5

(1)
(2)

Phân tích: Nhận thấy rằng, rất khó để khai thác từng phương trình
trong hệ, nhưng nếu kết hợp cả hai phương trình trong hệ ta thấy:
( x + y ) − (2 y + 2) = x − y − 2
(2 x + 3 y ) − ( x + 4 y + 2) = x − y − 2

Vế phải của hai phương trình đều là hằng số 5, nên trừ vế với vế của
hai phương trình sẽ xuất hiện biểu thức liên hợp.

Giải: ĐK:

x + y ≥ 0
2 x + 3 y ≥ 0


 y ≥ −1
 x + 4 y + 2 ≥ 0

Trừ vế với vế của (1) cho (2) ta được:
x + y − 2 y + 2 + 2x + 3y − x + 4 y + 2 = 0

⇔

x− y−2
x + y + 2y + 2

+

x− y−2
2x + 3y + x + 4 y + 2

=0



1
1
⇔ ( x − y − 2) 
+
=0
2 x + 3 y + x + 4 y + 2 
 x + y + 2 y + 2
⇔ y = x−2

Thay

y = x−2

vào phương trình (2) ta được:

2 x − 2 + 5x − 6 = 5

(Nhẩm nghiệm

x=3

)

23


⇔ 2x − 2 − 2 + 5x − 6 − 3 = 0
2x − 6
5x − 6 − 9
⇔
+
=0
2x − 2 + 2
5x − 6 + 3


2
5
⇔ ( x − 3) 
+
 = 0
5x − 6 + 3 
 2x − 2 + 2
⇔ x=3

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

( x; y ) = (3;1)

.

Ví dụ 10: Giải hệ phương trình:
 x 2 + y + 1 = x 2 − 2 x + 1 + 2 x + y
 2
2 x + 4 x + 4 y + 1 = 0

(x

2

(1)
(2)

)

+ y + 1 − (2 x + y ) = x 2 − 2 x + 1

Phân tích: Phương trình (1) có
chính là biểu
thức khơng nằm trong dấu căn. Điều này định hướng dùng kĩ thuật
nhân chia liên hợp phân tích (1) xuất hiện nhân tử chung là

Giải: ĐK:
(1) ⇔
⇔

(x

2

)

− 2x + 1

.

x 2 + y + 1 ≥ 0

2 x + y ≥ 0

x 2 + y + 1 = x 2 − 2x + 1 + 2x + y

x 2 + y + 1 − 2x + y = x 2 − 2x + 1
x 2 − 2x + 1

⇔

x + y + 1 − + 2x + y
2

= x 2 − 2x + 1



1
⇔ x 2 − 2x + 1 
− 1 = 0
 x 2 + y + 1 + 2x + y





(

)

x 2 − 2x + 1 = 0
⇔
 x 2 + y + 1 + 2 x + y = 1
x =1⇒ y = −

Trường hợp 1:

Trường hợp 2:

7
4

.

 x 2 + y + 1 + 2 x + y = 1
 2
2 x + 4 x + 4 y + 1 = 0

Hệ phương trình trên tương đương với:
24


 x 2 + y + 1 + 2 x + y = 1
 2

2( x + y + 1) + 2(2 x + y ) = 1

Đặt:

a = x 2 + y + 1

b = 2 x + y

( a ≥ 0, b ≥ 0)

Hệ phương trình trên trở thành:

Khi đó:

1

a=

a
+
b
=
1


2
⇔
 2
2
2a + 2b = 1

b = 1

2

1
 2
x = 1
 x + y + 1 = 4

⇔

7
2 x + y = 1
 y = − 4

4

( x; y ) = 1;− 7 


Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

4

.

Bài tập tự luyện:
Giải các hệ phương trình sau:

1.

 x 2 + 2 x + x = y 2 − 1 + y − 1

 x + y = 2 y − 3

Hướng dẫn:

(1) ⇔

ĐS:

( x − y + 1)

 x 2 − y + 2 x − y − 1 = x − 1

 2 x − 3 + x = 2 y + 3
(1) ⇔

( 2)

ĐS:

( 2;3)

x 2 − y − ( x − 1) + 2 x − y − 1 = 0

3.

( x + 1) y 2 + y + 2 + ( y − 1) x 2 + x + 1 = x + y
 2

 x + x x − y + 3 = 2 x 2 + x + y + 1

)

, nhân chia liên hợp vế trái làm

.

Hướng dẫn:
hiện nhân tử chung 2x – y - 1.

(

3 5
 ; 
2 2

x 2 + 2x − y 2 − 1 = x − y + 1

xuất hiện nhân tử chung

2.

(1)

, nhân chia liên hợp làm xuất

(1)
( 2)

ĐS:

1 1
7 1
 ;− , ( − 1;−2 ) ,  ;− 
2 2
8 8

Hướng dẫn:

25