Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Vận dụng khoảng cách trong bài toán tính góc giữa hai mặt phẳng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (734.18 KB, 25 trang )
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI: VẬN DỤNG KHOẢNG CÁCH TRONG BÀI
TỐN TÍNH GĨC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
Năm học 2019 - 2020
MỤC LỤC
Trang
I. Đặt vấn đề
2
1. Lý do chọn đề tài
2
2. Mục tiêu, đối tượng nghiên cứu
2
3. Giả thiết khoa học
2
4. Dự báo những đóng góp của đề tài
2
II. Giải quyết vấn đề
3
1. Cơ sở lý thuyết
3
2. Cơ sở thực tiễn
4
3. Nội dung
4
a. Ví dụ mở đầu
4
b. Các bài tập vận dụng
6
Vấn đề 1. Tính góc giữa hai mặt phẳng trong hình chóp
6
Vấn đề 2. Tính góc giữa hai mặt phẳng trong hình lăng trụ
12
c. Một số bài tập đề nghị
20
d. Đánh giá hiệu quả của đề tài
22
III. Kết luận
22
IV. Kiến nghị23
1
I. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lý do chọn đề tài
Trong quá trình giảng dạy, ơn thi THPT Quốc gia chúng ta thường gặp các bài
tốn liên quan đến góc, trong đó có bài tốn về góc giữa hai mặt phẳng. Với nhiều học
sinh, cũng như giáo viên nhiều khi còn lúng túng trong việc xác định phương pháp để
giải quyết bài tốn. Thơng thường khi tính góc giữa hai mặt phẳng, chúng ta thường sử
dụng định nghĩa, sử dụng cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau, phương
pháp tọa độ hóa…Tuy nhiên, trong q trình giải có nhiều bài u cầu nhận định và
tính tốn phức tạp, mất rất nhiều thời gian.
Với những lý do trên, cùng với mong muốn góp phần phát triển tư duy, kỹ năng
cho học sinh, tơi xin giới thiệu một phương pháp mà ít giáo viên và học sinh sử dụng
đó là “Vận dụng khoảng cách trong bài tốn tính góc giữa hai mặt phẳng”.
2. Mục tiêu, đối tượng nghiên cứu
Phát triển tư duy và rèn luyện kỹ năng giải các bài tập liên quan đến góc giữa
hai mặt phẳng cho học sinh khá, giỏi.
Nâng cao hiệu quả trong việc ôn thi THPT Quốc gia.
Đề tài áp dụng hiệu quả cho đối tượng học sinh khá, giỏi lớp 11, 12.
3. Giả thiết khoa học
Nếu đưa đề tài “Vận dụng khoảng cách trong bài toán tính góc giữa hai mặt
phẳng” vào giảng dạy ơn thi THPT Quốc gia sẽ tạo được hứng thú và kích thích sự
đam mê trong học tập bộ mơn cho học sinh. Đồng thời học sinh sẽ tự tin hơn trong
việc giải quyết các dạng bài tập mới. Riêng về phần bài tập tính góc giữa hai mặt
phẳng, học sinh sẽ khắc sâu kiến thức và có kỹ năng giải nhanh hơn khơng chỉ các bài
tốn về góc mà cả những bài tốn liên quan đến tính khoảng cách thường gặp trong
các đề thi.
4. Dự báo những đóng góp của đề tài
Đề tài “Vận dụng khoảng cách trong bài tốn tính góc giữa hai mặt phẳng”
giúp chúng ta nắm thêm một cách để tính góc giữa hai mặt phẳng, đồng thời củng cố
thêm phương pháp tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng và mặt phẳng trong
khơng gian. Từ đó rèn luyện tư duy kỹ năng trong việc dạy và học toán.
2
Đề tài giúp giải quyết các bài toán liên quan đến góc một cách nhanh chóng,
đặc biệt trong những bài khó xác định góc giữa hai mặt phẳng thì đây thực sự là một
công cụ hữu hiệu.
Qua một số bài tập điển hình được trình bày trong chuyên đề, các ví dụ được
sắp xếp từ dễ đến khó sẽ giúp học sinh nhận ra được sự ưu việt khi vận dụng phương
pháp này vào giải quyết các bài tập.
II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1. Cơ sở lý thuyết
Phương pháp vận dụng khoảng cách trong bài tốn tính góc giữa hai mặt phẳng.
A � ,
Giả sử hai mặt phẳng và cắt nhau theo giao tuyến a . Lấy
A �a, dựng AK a, K �a , AH , H � .
Khi đó,
a AHK
suy ra HK a. Do đó,
sin j =
Từ đó suy ra
AK , HK �
AKH .
, �
�
AH d ( A,( b) )
=
( 1) .
AK
d ( A, a )
Như vậy, các bước để tính tính góc giữa hai mặt phẳng thơng qua khoảng cách
bao gồm:
Bước 1: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng.
Bước 2: Chọn một điểm A bất kỳ thuộc một trong hai mặt phẳng và không nằm trên
giao tuyến, sau đó tính khoảng cách từ điểm A đến giao tuyến và mặt phẳng cịn lại.
(Ở đây có rất nhiều cách lựa chọn điểm A , do đó học sinh sẽ tự tin hơn trong q trình
tính tốn của mình. Thơng thường để dễ dàng tính khoảng cách thì chúng ta vẫn hay
chọn điểm A là hình chiếu vng góc của đỉnh xuống mặt đáy. Tuy nhiên trong nhiều
3
bài tốn thì phụ thuộc vào cách nhìn nhận của mỗi người, vấn đề chọn điểm này tơi sẽ
trình bày ở phần nhận xét sau các bài tập cụ thể).
1
Bước 3: Thay vào cơng thức ( ) tính và kết luận.
2. Cơ sở thực tiễn
Trong q trình ơn thi THPT Quốc gia tôi nhận thấy dạng bài tập liên quan đến
góc giữa hai mặt phẳng được khai thác khá nhiều trong các đề thi. Tại đơn vị tôi công
tác, học sinh khi gặp dạng bài toán này thường hay lúng túng và khó khăn trong việc
đưa ra phương hướng giải kể cả đối tượng học sinh giỏi.
Sau khi học sinh tiếp thu nội dung đề tài này và vận dụng vào các bài toán cụ
thể trong các đề thi (đề thi THPT Quốc Gia 2018, đề thi thử Sở GD – ĐT Hà Tĩnh
2019…) các em đều giải quyết bài tốn khá nhanh chóng và tự tin. Từ đó tư duy, kỹ
năng giải bài tập của các em được nâng lên rõ rệt.
3. Nội dung
a. Ví dụ mở đầu: ( Đề thi thử Sở GD – ĐT Hà Tĩnh năm 2019) Cho hình chóp
S . ABCD có đáy là hình vuông, SA ABCD , SA 3 AB. Gọi là góc giữa hai
mặt phẳng
SBC
và
SDC , giá trị cos
bằng
1
.
2
B.
A. 0.
1
.
3
C.
1
.
4
D.
Lời giải
Cách 1: Sử dụng cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau.
Đặt
DC = a ( a > 0)
Dễ thấy
. Kẻ
BH ^ SC ( H �SC ) .
BD ^ ( SAC ) � BD ^ SC
Từ đó suy ra
.
SC ^ ( BDH ) � DH ^ SC
.
SBC ) �( SDC ) = SC.
Ta có (
Khi đó
�
a = ( ( SBC ) ,( SDC ) ) = (�
BH , DH ) .
Xét tam giác SBC vuông tại B, đường cao BH , ta
có
4
1
1
1
1
1
1
1
5
2a
=
+
=
+
=
+
=
�
BH
=
.
2
2
2
2
BH 2 SB 2 BC 2 SA2 + AB 2 BC 2
a
4
a
5
a 3 +a
(
Ta lại có D SBC = D SDC
� DH = BH =
)
2a
5.
BD là đường chéo của hình vuông nên BD = a 2 .
4a 2 4a 2
+
- 2a 2
2
2
2
BH
+
DH
BD
1
5
� =
cos BHD
= 5
=2 a 2a
2 BH .DH
4
2. .
5 5
Xét tam giác HBD , ta có
.
� = 1.
cos a =- cos BHD
4 Chọn D.
Suy ra
Cách 2: Vận dụng khoảng cách để tính góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau.
Đặt
DC a, a 0
sin
. Ta có
d B, SDC
d B, SC
Khi đó
SBC � SDC SC.
d A, SDC
d B, SC
.
Gọi H là chân đường cao hạ từ đỉnh A của tam
giác SAD , K là chân đường cao hạ từ đỉnh B của
tam giác SBC .
Ta có
d ( B, SC ) = BK .
DC ^ ( SAB )
AH ^ ( SDC )
(vì
DC ^ AB, DC ^ SA ( SA ^ ( ABCD ) )
hay
). Suy ra AH ^ DC . Do đó
d ( A,( SDC ) ) = AH .
Xét tam giác SAD vuông tại A , đường cao AH , ta có
1
1
1
1
1
2 2
2
2
AH
AB
SA
a
a 3
2
4
a 3
� AH
.
2
3a
2
Xét tam giác SBC vuông tại B , đường cao BK , ta có
1
1
1
1
1
5
2a
�
BK
.
2
BK 2 SB 2 BC 2 2a
a 2 4a 2
5
5
a 3
AH
15
sin a =
= 2 =
2a
1
BK
4
� cos 1 sin 2 .
5
4 Chọn D.
Từ đó suy ra
Nhận xét: Ở đây việc xác định và tính AH , BK rất dễ dàng, do đó vận dụng khoảng
cách vào tính góc trong bài này được giải quyết rất gọn nhẹ và nhanh chóng.
Thay vì lựa chọn điểm B như ở trên, chúng ta có thể chọn điểm D với vai trị
hồn tồn tương tự.
Qua hai cách giải trên, chúng ta có thể dễ dàng nhận thấy, nếu sử dụng cách 1
thì chúng ta cần phải xác định được góc cụ thể, cịn nếu sử dụng cách thứ 2 chúng ta
khơng cần chỉ ra góc mà vẫn tính được thông qua khoảng cách.
b. Các bài tập vận dụng.
Vấn đề 1: Tính góc giữa hai mặt phẳng trong hình chóp.
Bài 1: ( Đề thi thử Sở GD – ĐT Thành Phố Hồ Chí Minh năm 2019) Cho hình chóp
tại B , AB a, AC 2a , SA 2a,
S . ABC có đáy ABC là tam giác vng
SA ABC
SAC
SBC
. Gọi a là góc giữa hai mặt phẳng
và
. Khi đó cosa bằng
1
B. 2 .
3
A. 2 .
C.
15
5
3
D. 5 .
Lời giải
Ta có
SAC � SBC SC .
sin
d A, SBC
Khi đó
Kẻ
AH SB, H �SB
Vì
BC AB, BC SA SA ABC
d A, SC
.
� BC SAB � BC AH
Từ đó suy ra
Kẻ
AH SBC
hay
d A, SBC AH .
AK ^ SC ( K �SC ) � d ( A, SC ) = AK
.
Xét tam giác SAB vuông tại A , đường cao AH , ta
có
6
.
1
1
1
1
1
5
2a
�
AH
.
AH 2 AB 2 SA2 a 2 4a 2 4a 2
5
Xét tam giác SAC vuông tại A , đường cao AK , ta có
1
1
1
1
1
1
� AK a 2.
AK 2 AC 2 SA2 4a 2 4a 2 2a 2
2a
10
15
sin 5
� cos
.
5
5
a
2
Từ đó suy ra
Chọn C.
SBC )
Nhận xét: Trong bài này, việc tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (
là
một bài toán cơ bản và quen thuộc. ( A là chân đường cao hạ từ đỉnh xuống mặt đáy).
Tuy nhiên, chúng ta có thể chọn điểm B để tính và cơng việc cũng dễ dàng khơng kém
hơn việc tính từ điểm A . Đây là một điểm thực sự rất nổi bật trong phương pháp này.
Bài 2: Cho hình chóp S . ABCD có ABCD là hình vng cạnh a . Tam giác SAD đều
và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy. Gọi M là trung điểm của AD , a là góc
SCM )
SAB)
tạo bởi hai mặt phẳng (
và (
. Khi đó, cot a bằng
6
A. 3 .
6
B. 2 .
2 6
C. 3 .
D.
6.
Lời giải
Ta có M là trung điểm của AD , tam giác SAD đều nên SM ^ AD.
Mặt khác tam giác SAD nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy suy ra
SM ^ ( ABCD )
.
Kẻ CM cắt AB tại E. Khi đó, A là trung
điểm của BE , suy ra AE = AB = a .
SCM ) �( SAB ) = SE.
Ta có (
sin a =
Suy ra
d ( A,( SCM ) )
d ( A, SE )
.
d A, SE ) = AK .
Gọi K , H lần lượt là hình chiếu vng góc lên SE và EM . Ta có (
7
Vì
AB ^ AD, AB ^ SM � AB ^ ( SAD ) � AB ^ SA
.
Mặt khác AE = SA = a nên tam giác SAE vuông cân tại A .
1
a 2
AK = SE = SA2 + AE 2 =
.
2
2
Do đó
Ta lại có,
AH ^ CM , AH ^ SM ( SM ^ ( ABCD ) )
� AH ^ ( SCM )
hay
d ( A,( SCM ) ) = AH
.
Xét tam giác AME vuông tại A, đường cao AH
1
1
1
1
4
5
a 5
=
+
= 2 + 2 = 2 � AH =
2
2
2
AE
AM
a
a
a
5 .
Ta có AH
a 5
AH
10 � cot a =
sin a =
= 5 =
AK
5
a 2
2
Suy ra
1
6
1
=
2
2
�10 �
�
�
�
�
�
�
�
�
�5 �
. Chọn B.
Nhận xét: Ở bài này, việc chỉ ra góc khó hơn ở bài trên. Do đó vận dụng khoảng cách
để tính là hợp lý. Việc lựa chọn tính khoảng cách từ điểm A hay B đến mặt phẳng
( SCM )
=
thì
d ( M ,( SAB ) )
d ( M , SE )
đều
=
như
nhau.
d ( C ,( SAB ) )
d ( C , SE )
Ngồi
ra
chúng
ta
có
thể
tính
sin a
.
Việc tính theo cơng thức này cũng đơn giản như cách
tính ở trên.
Bài 3: (Đề thi thử trường THPT Hà Huy Tập – Hà Tĩnh năm 2019) Cho hình chóp
� 1200.
S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, AB 3, AD 4, BAD
Cạnh
SA 2 3 vng góc với đáy. Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh
SA, AD, BC . Gọi a là góc giữa hai mặt phẳng SBC và MNP . Tính a .
8
0
A. a = 60 .
0
B. a = 45 .
0
C. a = 90 .
0
D. a = 30 .
Lời giải
MNP ) �( SBC ) = PQ
Gọi Q là trung điểm của SB . Khi đó (
.
sin a =
Ta có
Kẻ
d ( B,( MNP ) )
d ( B, PQ )
=
d ( A,( MNP ) )
d ( B, PQ )
.
d ( A,( MNP ) ) = AH
AI ^ PN ( I �PN ) AH ^ MI ( H �MI )
,
. Khi đó
.
� = 2. 3 = 3
AI
=
AN
.sin
ANP
�
�
2
Ta có BAD = 120 � ANP = 60 ,
.
Xét tam giác AIM vuông tại A, đường cao
AH , ta có
0
0
1
1
1
1 1 2
6
=
+ 2 = + = � AH =
2
2
AH
MA
AI
3 3 3
2 .
BK ^ QP ( K �QP ) � d ( B, QP ) = BK
Kẻ
.
2
2
2
�
Ta có AC = AD + DC - 2 AD.DC cos ADC
1
� AC 2 =16 + 9 - 2.4.3. = 13
2
.
2
2
Suy ra SC = SA + AC = 12 +13 = 5 .
SB 2 = SA2 + AB 2 = 12 + 9 = 21 .
2
2
2
� = cos SCB
� = SC + CB - SB = 25 +16 - 21 = 1 � sin QPB
� = 3.
cos QPB
2SC.CB
2.5.4
2
2
� = 2. 3 = 3
BK = BP sin QPB
2
Ta có
.
6
AH
2
sin a =
= 2 =
� a = 450
BK
2
3
Từ đó suy ra
. Chọn B.
Nhận xét: Ở bài này việc xác định góc giữa hai mặt phẳng là rất khó. Do đó, ta nên
vận dụng khoảng cách để tính góc. Lựa chọn tính khoảng cách từ điểm B đến giao
MNP )
tuyến PQ và mặt phẳng (
hay tính khoảng cách từ các điểm N , M đến giao
SBC )
tuyến PQ và mặt phẳng (
trong trường hợp này tùy thuộc vào cách nhìn bao
9
quát và toàn diện của mỗi học sinh. Tuy nhiên nếu các em lựa chọn điểm ngẫu nhiên
thì các bước đi đến kết quả của phương pháp này cũng khá đơn giản và gọn nhẹ.
0
�
Bài 4: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, góc BAD 120 . Hình
ABCD
chiếu vng góc của đỉnh S lên mặt phẳng
là điểm H nằm trên đoạn thẳng
0
AB sao cho HA 2 HB. Góc giữa SC và mặt phẳng ABCD bằng 60 . Gọi a là
góc giữa hai mặt phẳng
7
A. 4 .
SAC
và
SCD . Tính cot a .
7
B. 5 .
5
C. 7 .
4
D. 7 .
Lời giải
SAC � SCD SC
Ta có
. Khi đó
sin a =
d ( A,( SCD) )
d ( A, SC )
.
Gọi M là trung điểm của AD . Vì ABCD là
0
�
hình thoi cạnh a, BAD 120 nên ABC và
ACD là các tam giác đều cạnh a.
Do đó,
AM
a 3
.
2
Xét tam giác ACH , ta có
CH 2 AC 2 AH 2 2 AC. AH .cos60 0
a2
4a 2
2a 1 7 a 2
a 7
2.a. .
� CH
.
9
3 2
9
3
0
�
ABCD
Góc giữa SC và
là góc SCH 60 .
Từ đó suy ra
SH CH .tan 60o
a 21
2a 7
, SC
.
3
3
d A, SCD d AB , SCD d H , SCD
Vì AB / / CD nên
.
Kẻ
HI / / AM ( I �DC )
. Khi đó
Kẻ
HK ^ SI ( K �SI )
.
HI = AM =
10
a 3
2 và HI ^ DC .
Ta có
DC ^ HI , DC ^ SH ( SH ^ ( ABCD) ) � DC ^ ( SHI ) � HK ^ DC
Từ đó suy ra
.
d ( A,( SDC ) ) = HK
HK ^ ( SDC )
hay
.
Xét tam giác SHI vuông tại H , đường cao HK , ta có
1
1
1
1
1
4
3
37
a 21
2 2
� HK
.
2
2
2
2
2
2
HK
HI
SH
AM
SH
3a
7a
21a
37
Ta có
d ( H , AC ) HA 2
2
2 a 3 a 3
=
= � HL = d ( B , AC ) = .
=
d ( B, AC )
BA 3
3
3 2
3
2
,
2
�a 3 � �a 21 � 2a 6
SL HL SH � � �
.
�
3
3
3
� � �
�
2
Ta lại có
S SAC
Vì
2
d A, SC AT .
2a 6
.a
1
1
SL. AC
a 6
3
SL. AC AT .SC � AT
.
2
2
SC
2a 7
7
3
a 21
HK
7
5
sin
37
� cot .
AT
7
a 6
74
7
Suy ra
Chọn C.
Nhận xét: Việc xác định góc giữa hai mặt phẳng trong bài này rất phức tạp. Do đó vận
dụng khoảng cách để tính rất phù hợp. Tương tự, ở bài này lựa chọn tính khoảng cách
SCD )
từ điểm A tới đường thẳng SC , mặt phẳng (
hay từ điểm D tới đường thẳng
SC , mặt phẳng ( SAC ) đều khá dễ dàng như nhau.
Bài 5: (Đề thi thử trường THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội 2019) Cho hình chóp
S . ABCD có đá ABCD là hình vng cạnh, hình chiếu vng góc của đỉnh S nằm
SAD , SBC
trong hình vng ABCD . Hai mặt phẳng
vng góc với nhau; góc
11
SAB
giữa hai mặt phẳng
SAD
và
SBC
0
SAB
là 60 ; góc giữa hai mặt phẳng
và
0
( SAB) và ( ABCD) , giá trị cosa là
là 45 . Gọi a là góc giữa hai mặt phẳng
1
B. 2 .
2
A. 2 .
3
C. 2 .
D. 0 .
Lời giải
Kẻ
SH ABCD SM AD, SN BC , HK AB
,
.
SAB ) �( ABCD ) = AB
Ta có (
.
sin a =
Khi đó
d ( H ,( SAB ) )
d ( H , AB )
.
�
� 90
SAD , SBC MSN
Ta có
.
0
BC SM , BC SN � BC SMN
Vì
� MN BC � MN / / AB.
Khi đó
d H , SAB d M , SAB d N , SAB x x 0 .
SAB , SBC 60
�
� sin 600
0
3 d N , SAB
2x
� d N , SB
.
2
d N , SB
3
3
1
1
1
1
1
2
2
2
2
SN
BN
SN
HK 2
Suy ra 4x
SAB , SAD 45
�
0
� sin 450
2 d M , SAB
� d M , SA x 2
2
d M , SA
1
1
1
1
1
2
2
2
2
SM
AM
SM
HK 2
Suy ra 2x
Từ
1
và
2
.
2
ta được
5
1 � 2
1 � 1
1
1
�1
�1
� 2
� 2
2
� HK 2 x.
2
2 �
2
2 �
2
4x
SN � HK
HK � HK
x
HK 2
�SM
�SH
Từ đó suy ra
sin �
SAB , ABDC
d H , SAB
d H , AB
12
x 1
.
2x 2
Vậy
cos �
SAB , ABDC
3
.
2 Chọn C.
Nhận xét: Đây là một bài toán rất hay, nếu chúng ta xác định góc cụ thể của từng cặp
mặt phẳng thì sẽ rất rối hình. Tuy nhiên, như chúng ta nhìn thấy, vận dụng khoảng
cách để giải quyết thì bài tốn này trở nên nhẹ nhàng, đơn giản hơn nhiều.
Vấn đề 2: Tính góc giữa hai mặt phẳng trong hình lăng trụ.
Bài 1: (Đề minh họa kỳ thi THPT Quốc Gia 2018) Cho hình lăng trụ tam giác đều
ABC. A���
B C có AB = 2 3 và AA�
= 2 . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các
C)
MNP )
B , A��
C và BC . Cơsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng ( AB ��
cạnh A��
và (
bằng
6 13
A. 65 .
13
B. 65 .
17 13
C. 65 .
18 13
.
D. 65
Lời giải
MNP )
MNBC )
Vì P �BC , BC / / MN nên mặt phẳng (
chính là mặt phẳng (
.
�BM , J = AC �
�CN .
Gọi I = AB �
Khi đó
C ) �( MNP ) = IJ ( IJ / / BC / / MN )
( AB ��
.
C)
( AB ��
Gọi a là góc tạo bởi hai mặt phẳng
và
( MNP ) . Ta có
sin a =
d ( B�
,( MNP ) )
d ( B�
, IJ )
.
B C là lăng trụ tam giác đều nên tam
Vì ABC. A���
C cân tại A . Suy ra AK ^ B ��
C .
giác AB ��
Do đó
d ( B, IJ ) = d ( K , IJ ) = KE
2
2
= AB 2 + BB �
= 4, AK = AB �
- B�
K 2 = 13 .
Ta có AB �
1
B�
I = B�
A
3
A . Suy ra
Dễ thấy I là trọng tâm tam giác BB �
.
13
1
13
KE = AK =
3
3 .
Từ đó ta có
Gọi Q, H lần lượt là hình chiếu vng góc của B �lên MN và BQ . Khi đó
d ( B�
,( MNP ) ) = B �
H
.
1
3
B�
Q = A�
K=
2
2 .
Ta có
Q vng tại B �
H , ta có
Xét tam giác BB �
, đường cao B �
1
1
1
4 1 25
6
=
+
= + = � B�
H=
2
2
2
B�
H
B�
Q
B�
B
9 4 36
5.
6
B�
H
18 13
13
sin a =
= 5 =
� cos a =
KE
65
65
13
3
Suy ra
. Chọn B.
Nhận xét: Vai trò của B �và C �như nhau nên chúng ta có thể lựa chọn điểm C �để
thực hiện các bước hoàn toàn tương tự.
Bài 2: (Đề thi thử trường THPT Cẩm Bình – Hà Tĩnh năm 2018) Cho hình lăng trụ
ABC. A���
B C có đáy là tam giác đều cạnh 2a . Hình chiếu vng góc của A�lên mặt
ABC )
phẳng (
là trung điểm H của cạnh AB . Biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng
B)
ABC )
600 . Gọi j là góc giữa hai mặt phẳng ( BCC ��
và (
. Khi đó cosj bằng
1
A. 3 .
1
B. 5 .
C.
Lời giải
Ta có
B ) �( ABC ) = BC
( BCC ��
.
14
4
17 .
D.
1
17 .
sin j =
Khi đó
d ( A,( BCC ��
B ))
d ( A, BC )
.
Gọi M là trung điểm của BC .Vì tam giác
ABC
đều cạnh
2a
nên
AM ^ BC ,
AM = a 3 � d ( A, BC ) = AM = a 3.
Gọi D là chân đường cao hạ từ đỉnh B �
ABC )
xuống mặt phẳng (
. Khi đó B là trung điểm của HD .
d ( A,( BCC ��
B ))
Ta có
d ( D,( BCC ��
B ))
=
AB
=2
DB
hay
d ( A,( BCC ��
B ) ) = 2d ( D ,( BCC ��
B ))
.
I . Khi đó
Gọi I , K lần lượt là hình chiếu vng góc của D lên BC và B �
d ( D,( BCC ��
B ) ) = DK .
DI
DB 1
1
a 3
=
= � DI = AM =
AB 2
2
2 .
Ta có AM
�AH = 600 � B �
D = A�
H = AH .tan 600 = a 3 .
Vì góc giữa cạnh bên và mặt đáy là A�
DI vng tại D, đường cao DK ta có
Xét tam giác B �
1
1
1
4
1
5
a 15
= 2+
= 2 + 2 = 2 � DK =
2
2
DK
DI
B�
D
3a
3a
3a
5 .
a 15
2 DK
5 = 2 � cos j = 1
sin j =
=
AM
a 3
5
5 . Chọn B.
Suy ra
2.
Nhận xét: Trong q trình giải quyết bài tốn tính góc theo khoảng cách ngồi cách
, C �để tính khoảng cách tới
chọn cách điểm như trên ta có thể chọn các điểm H , B �
giao tuyến và các mặt phẳng tương ứng cũng hoàn toàn đơn giản.
B C D . Gọi M là trung điểm của cạnh BC , a
Bài 3: Cho hình lập phương ABCD. A����
là góc giữa hai mặt phẳng
0
A. 30 .
AM )
( B�
và
B CD)
( A��
. Khi đó, số đo của góc a
0
B. 45 .
0
C. 60 .
15
0
D. 75 .
bằng
Lời giải
Kẻ AM cắt DC tại N .
Ta có
AM ) �( A��
B CD) = B �
N.
( B�
Khi đó
sin a =
Kẻ
d ( C ,( B �
AM ) )
d ( C, B�
M)
=
d ( B ,( B �
AM ) )
d ( C , B�
M)
.
BH ^ AM ( H �AM ) , BK ^ SH
.
Suy ra
d ( B, ( B �
AM ) ) = BK
.
BH vuông tại B , đường cao BK , ta có
Xét tam giác B �
1
1
1
1
1
1
1
4
1
6
a 6
=
+
=
+
+ 2 = 2 + 2 + 2 = 2 � BK =
.
2
2
2
2
2
BK
BB � BH
BB � BM
BA
a
a
a
a
6
Kẻ
CP ^ B �
N ( P �B �
N)
. Khi đó
d ( C , B�
N ) = CP
.
CN vng tại C , đường cao CP , ta có
Xét tam giác B �
1
1
1
1
1
3
a 6
=
+
= 2 + 2 = 2 � CP =
.
2
2
2
CP
CB � CN
2a
a
2a
3
a 6
BK
1
sin a =
= 6 = � a = 300.
CP a 6 2
3
Vậy
Chọn A.
Nhận xét: Việc tính tốn trong bài này cũng đơn giản và nhẹ nhàng, thay vì lựa chọn
AM )
N và mặt phẳng ( B �
tính khoảng cách từ điểm C đến giao tuyến B �
chúng ta
cũng có thể lựa chọn là tính khoảng cách từ điểm A đến giao tuyến và mặt phẳng
B CD)
( A��
, việc này cũng hoàn toàn đơn giản, tương tự như ở câu 2.
B C có đáy là tam giác đều và tất cả các cạnh bằng
Câu 4: Cho lăng trụ đứng ABC. A���
a , M là trung điểm của A��
B . Cơsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng
A�
ACC �
bằng
16
MBC�
và
5
.
A. 10
3 5
.
B. 5
5
.
C. 5
D.
15
.
5
Lời giải
MBC �
A�
D.
� ACC�
C�
Kẻ AA�cắt BM tại D. Ta có
MBC �
A�
và ACC �
.
Gọi là góc tạo bởi hai mặt phẳng
sin
Khi đó
d B, ACC �
A�
d B, C �
D
.
Gọi N là trung điểm cạnh AC .
Ta có
Hay
BN ^ AC , BN ^ AA�
� BN ^ ( ACC �
A�
)
d ( B,( ACC �
A�
) ) = BN
.
Tam giác ABC đều cạnh a nên
Kẻ
BN C �
M
BK ^ DC �( K �DC �
) � d ( B, DC �
) = BK
a 3
.
2
.
Ta có
1
1
C�
M .BD
SC �
C�
M .BD BK .C �
D � BK
.
BD
2
2
C�
D
BD a 2 2a a 5.
2
Xét tam giác ABD vng tại A , ta có
2
�a 3 � �a 5 �
C�
D �
� �
� a 2.
2
2
�
��
�
Xét tam giác DMC �
vuông tại M , ta có
a 3
.a 5
a 30
BK 2
.
4
a
2
Do đó,
a 3
BN
10
15
sin
2
� cos
.
BK a 30
5
5
4
Suy ra
Chọn D.
17
Nhận xét: Ở bài này, vận dụng khoảng cách để tính tốn cũng rất đơn giản. Và như tơi
đã trình bày, chúng ta có nhiều cách lựa chọn điểm để tính khoảng cách tới giao tuyến
và mặt phẳng cịn lại. Với bài trên, thay vì lựa chọn điểm
B , ta chọn điểm A�thì cơng việc lại gọn nhẹ hơn rất là
nhiều.
MBC �
A�
D.
� ACC�
C�
Kẻ AA�cắt BM tại D. Ta có
MBC �
A�
và ACC �
.
Gọi là góc tạo bởi hai mặt phẳng
sin
Khi đó
Kẻ
d A�
, BCM
d A�
, C�
D
.
A�
H ^ BD ( H �BD )
.
Ta có
C�
M ^ ( ABB ��
A ) � A�
H ^C�
M
Từ đó suy ra
.
H
) ) = A�
A�
H ^ ( MBC �
) hay d ( A,( MBC �
.
DM vng tại A�
H , ta có
Xét tam giác A�
, đường cao A�
1
1
1
1
4
5
a 5
=
+
= 2 + 2 = 2 � A�
H=
.
2
2
2
A�
H
A�
D
A�
M
a
a
a
5
Kẻ
A�
K ^ DC �( K �DC �
, DC �
K
) � d ( A�
) = A�
.
DC vng tại A�
K , ta có
Xét tam giác A�
, đường cao A�
1
1
1
1
1
2
a 2
�
=
+
=
+
=
�
A
H
=
.
A�
K 2 A�
D 2 A�
C 2 a2 a2 a2
2
a 5
A�
H
10
15
sin
5
� cos
.
A�
K a 2
5
5
2
Từ đó suy ra
Chọn D.
B C có AB = a , AC = a 3 , AA�
=a ,
Bài 5: Cho hình lăng trụ đứng ABC. A���
M)
� =1500
( AB �
BAC
. Gọi M là trung điểm của CC �
, a là góc giữa mặt phẳng
và
ABC )
mặt phẳng (
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
18
A.
sin
66
.
22
sin
B.
66
.
11
C.
sin
418
.
44
D.
sin
Lời giải
N.
M tại N . Khi đó M là trung điểm của B �
Kẻ BC cắt B �
Ta có
M ) �( ABC ) = AN .
( AB �
sin a =
Khi đó
Ta có
Kẻ
d ( B�
,( ABC ) ) d ( B �
,( ABC ) )
=
d ( B�
, AN )
2d ( M , AN )
d ( B�
,( ABC ) ) = BB �
=a
.
.
MH ^ AN ( H �AN ) � d ( M , AN ) = MH
.
Xét tam giác ABC ta có
�
BC 2 = AB 2 + AC 2 - 2 AB. AC.cos BAC
� 3�
�
�
� BC 2 = a 2 + 3a 2 - 2.a.a 3.�
= 7 a 2 � BC = a 7
�
�
�
�
�
� 2 �
AB 2 + BC 2 - AC 2 a 2 + 7a 2 - 3a 2 5 7
�
cos ABC =
=
=
.
2 AB.BC
14
2a.a 7
2
1
� = 1 a.a 3. 1 = a 3 .
SD ABC = AB. AC.sin BAC
2
2
2
4
2
2
2
�
Xét tam giác ABN có AN = AB + BN - 2 AB.BN .cos ABC
� AN 2 = a 2 + 28a 2 - 2.a.2a 7.
5 7
=19a 2 � AN = a 19.
14
a2 3
a 3 1
4 = 57 .
=
= CH . AN � CH =
4
2
38
a 19
2.
2
Ta lại có
SD ACN = SD ABC
a 2 3a 2 11a 2
a 418
MH = MC + CH = +
=
� MH =
.
4
76
38
38
Suy ra
2
sin a =
Vậy
2
BB �
=
2 MH
2
a
2.
a 418
38
=
418
.
22
Chọn D.
19
418
.
22
Nhận xét: Với bài này chúng ta cũng có thể lựa chọn cách tính khoảng cách từ điểm
M)
C đến giao tuyến AN và mặt phẳng ( AB �
tương tự như cách ở trên.
B C có đáy là tam giác đều cạnh 3a , hình chiếu vng
Bài 6: Cho lăng trụ ABC. A���
ABC )
góc của A� lên mặt phẳng (
là điểm H thuộc cạnh AB thỏa mãn
7
uuur
uuur r
tan j =
AH + 2 BH = 0 , j là góc giữa AA�và mặt đáy, biết
2 . Khi đó tan góc giữa
hai mặt phẳng
HC )
( ABC �
) và ( A�
bằng
6
B. 12 .
A. 2 6 .
6
D. 18 .
C. 3 6 .
Lời giải
HC ) = HI .
) �( A�
C . Ta có ( ABC �
Gọi I là giao điểm của AC �và A�
Gọi a
HC )
( ABC �
) và ( A�
là góc giữa hai mặt phẳng
. Khi đó
sin a =
d ( C ,( ABC �
))
d ( C , HI )
Xét tam giác BCH ta có
�
CH 2 = BC 2 + BH 2 - 2 BC .BH .cos ABC
1
� CH 2 = 9a 2 + a 2 - 2.3a.a. = 7 a 2 � CH = a 7.
2
�AH = j .
ABC )
Góc giữa AA�và (
là A�
Ta có
tan j =
A�
H
7
=
� A�
H = a 7.
AH
2
HC vuông cân tại H .
Từ đó suy ra tam giác A�
C ^ HI hay
Do đó, A�
d ( C , HI ) = CI =
A�
C a 14
=
.
2
2
ABC )
Gọi N là hình chiếu vng góc của C �lên mặt phẳng (
. Khi đó CN / / AB .
20
.
Kẻ
NK ^ AB ( K �AB )
, khi đó
NK = CM =
3a 3
2 ( CM là trung tuyến trong tam
giác đều cạnh 3a ).
Kẻ
NT ^ C �
K ( T �C �
K )
, dễ thấy
d ( C ,( ABC �
) ) = d ( N ,( ABC �
) ) = NT .
NK vuông tại N , đường cao NT , ta có
Xét tam giác C �
1
1
1
1
4
55
3 1155
=
+
= 2+
=
� NT =
2
2
2
2
2
NT
C�
N
NK
7a
27 a
189a
55 .
NT
sin a =
=
CI
Suy ra
3a 1155
3 330
55
=
� tan a = 3 6
55
a 14
2
. Chọn C.
Nhận xét: Đây là một bài xác định góc khó, vì vậy sử dụng khoảng cách để tính góc
giữa hai mặt phẳng có thể coi là phương pháp tối ưu. Cũng như các bài tập ở trên,
chúng ta cũng có thể có nhiều lựa chọn khác nhau trong việc chọn tính khoảng cách từ
điểm tới đường thẳng và mặt phẳng để giải quyết bài toán.
c. Một số bài tập đề nghị
Bài 1: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường
SA ABCD
trịn đường kính AB 2a ,
và SA a 3 . Khi đó tan góc giữa hai mặt
SAD
SBC
phẳng
và
bằng
A. 2 7.
B. 7.
C. 2 14.
D. 14.
Bài 2: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vng cạnh a, cạnh bên SA a và
vng góc với mặt phẳng đáy. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SB và SD , là
góc giữa hai mặt phẳng
AMN
và
SBD . Giá trị sin
bằng
1
2 2
7
.
.
.
B. 3
C. 3
D. 3
Bài 3: Cho hình chóp S . ABCD có ABCD là hình thang vng tại A và D, AB 2a,
AD DC a, SA vng góc với đáy. Góc giữa hai mặt phẳng SCD và ABCD
2
.
A. 3
0
SBC
ABCD
bằng 60 . Khi đó, tan góc giữa hai mặt phẳng
và
bằng
6
.
2
A.
6
.
3
B.
C.
21
6.
D.
2.
Bài 4: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang vng tại A và B , SA
vng góc với mặt phẳng
phẳng
ABCD
ABCD ,
AB BC a, AD 2a. Biết góc giữa SC và mặt
0
SAD
SCD
bằng 45 . Khi đó góc giữa hai mặt phẳng
và
bằng
0
A. 30 .
�6�
arccos � �
.
3 �
�
C.
0
B. 45 .
0
D. 60 .
Bài 5: Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng a 2 .
Khi đó, sin góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng
10
.
5
15
.
5
6
.
C. 2
6
.
A.
B.
D. 3
Bài 6: Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD , có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng
a 5
.
2 Gọi M là trung điểm của SC. Khi đó, sin góc giữa hai mặt phẳng MBD và
ABCD
A.
bằng
10
.
5
B.
15
.
5
6
.
C. 2
6
.
D. 3
Bài 7: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ' có AB = 2a, AD = a, AA ' = a 3.
C B)
C D) .
( A��
( A��
Gọi a là góc giữa hai mặt phẳng
và
Tính sin a.
A.
sin a =
4 15
.
19
B.
sin a =
11
.
19
C.
sin a =
2 15
.
19
D.
sin a =
3 15
.
19
B C có BA�
= CA�
= AA�
= 2a , BA = BC = a ,
Bài 8: Cho hình lăng trụ ABC. A���
A)
B)
�
( BCC ��
ABC =1200 . Gọi a là góc giữa hai mặt phẳng ( ABB ��
và
, tính sin a .
A.
sin a =
2 5
5 .
B.
sin a =
2 3
4 .
C.
sin a =
6+ 2
3
sin a =
4
2 .
. D.
B C D có tâm O
Bài 9: (Đề thi THPT Quốc gia 2018) Cho hình lập phương ABCD. A����
B C D và M là một điểm thuộc đoạn thẳng OI sao
. Gọi I là tâm của hình vng A����
22
D)
( MC ��
( MAB)
cho MO = 2MI . Khi đó, cơsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng
và
bằng
6 85
.
A. 85
7 85
.
B. 85
17 13
.
C. 65
6 13
.
D. 65
d. Đánh giá hiệu quả của đề tài
Với việc vận dụng đề tài này vào ôn luyện thi THPT Quốc Gia và bồi dưỡng
học sinh giỏi kết hợp với giảng dạy những phần kiến thức khác trong chương trình bộ
mơn Tốn thì đã đạt được những hiệu quả nhất định, kết quả thi của học sinh được
nâng cao rõ rệt.
Tôi đã tiến hành dạy thực nghiệm đề tài ở lớp 12B8 và đã kiểm tra kỹ năng giải
các bài tập phần tính góc giữa hai mặt phẳng ở các lớp 12B6 và 12B8( 12B6 có mặt
bằng tư duy tốt hơn) thì nhận thấy kết quả:
Số HS giải bài toán theo
Lớp
Sĩ số
12B6
40
phương pháp truyền thống
SL
TL(%)
38
95%
Số HS giải được bài toán theo
phương pháp mới
SL
TL(%)
2
5%
12B8
38
3
7,9%
35
92,1%
Trong 2 học sinh lớp 12B6 giải bài toán theo phương pháp vận dụng khoảng
cách để tính góc thì cả 2 em đều thuộc đội tuyển ôn thi học sinh giỏi đã được tiếp thu
nội dung đề tài. Đồng thời nhận thấy những em vận dụng phương pháp truyền thống
trong q trình giải cịn lúng túng, nhiều em chưa đưa đến kết quả chính xác. Các học
sinh vận dụng khoảng cách vào tính góc giữa hai mặt phẳng thì đưa ra kết quả nhanh
và chính xác hơn.
Từ những kết quả đánh giá như trên, có thể rút ra kết luận rằng: Đề tài có tính
khoa học, hiệu quả cao, có thể vận dụng tốt trong dạy học.
3. KẾT LUẬN
Trong quá trình giảng dạy cho học sinh, tôi thấy việc vận dụng khoảng cách vào
bài tốn tính góc giữa hai mặt phẳng giúp học sinh dễ dàng và nhanh chóng tìm ra kết
quả. Cũng thơng qua cách giải này học sinh thành thạo hơn kỹ năng tính khoảng cách
từ một điểm đến đường thẳng và mặt phẳng. Qua đó, vận dụng nhiều trong cái bài toán
23
hình học khơng gian có trong các đề thi THPT Quốc gia, giúp các em tự tin để giải
quyết các bài tốn nhanh gọn, phù hợp với hình thức thi cử hiện nay.
Thông qua đề tài này, chúng ta dễ dàng nhận thấy rằng có rất nhiều lựa chọn để
chúng ta tính góc thơng qua khoảng cách, bằng việc lấy điểm phù hợp để tính khoảng
cách tới giao tuyến và mặt phẳng tương ứng, qua đó giúp học sinh tự tin hơn để giải
quyết các dạng toán này.
Với nội dung đề tài này, giáo viên có thể triển khai giảng dạy ở đối tượng học
sinh khá, giỏi với thời lượng 2 buổi. Đồng thời đề tài cũng chỉ ra phương pháp mà ít
giáo viên và học sinh sử dụng, từ đó để mọi người cùng thảo luận, đóng góp ý kiến và
phát triển thêm từ đó làm phong phú hơn về phương pháp giải các bài tốn về góc giữa
hai mặt phẳng và hơn nữa là các bài toán liên quan đến hình học khơng gian.
Trong thực tế giảng dạy tơi thấy cịn có nhiều dạng bài tập liên quan tới tính góc
giữa hai mặt phẳng có thể vận dụng khoảng cách để tính nhanh gọn hơn ... Tuy nhiên
tơi chưa thể đề cập tới các vấn đề một cách sâu rộng được rất mong được sự góp ý của
các đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn.
Trong quá trình thực hiện đề tài tơi có tham khảo một số tài liệu như sau:
- Sách Hình học 11 – Trần văn Hạo.
- Sách chuyên đề trọng điểm bồi dưỡng học sinh giỏi hình học khơng gian –
Nguyễn Quang Sơn.
- Hệ thống đề thi THPT Quốc Gia, đề thi thử Sở GD – ĐT Hà Tĩnh, các trường
THPT trong toàn Quốc.
- Các trang web www.toanmath.com; www.mathvn.com; www.facebook.com;
4. KIẾN NGHỊ
Qua thực tế dạy học Tốn ở truờng THPT tơi có một số kiến nghị, đề xuất sau:
- Cần triển khai buổi học chuyên đề phân tích đề thi THPT Quốc Gia ngay sau
khi có đề minh họa và đề thi chính thức của bộ giáo dục.
- Các bài viết và các đề tài hay cần được Sở GD - ĐT chia sẽ rộng rãi trong các
buổi chuyên đề để các đồng nghiệp cùng học hỏi trao đổi kinh nghiệm.
Trên đây là một số ý kiến của bản thân tôi rút ra được trong quá trình dạy học tại
trường THPT. Vì thời gian có hạn, ứng dụng đề tài ở phạm vi một đơn vị nên việc
kiểm chứng gặp nhiều khó khăn. Mặc dù vậy tôi cũng mạnh dạn đề xuất mong được sự
góp ý của các đồng nghiệp để đề tài hồn thiện hơn.
Tơi xin chân thành cảm ơn!
24
