TLTK: LT – TOÁN CAO C P A3 - GI I TÍCH 2 (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N
C TRUNG
TÀI LI U THAM KH O
TOÁN CAO C P A3 - GI I TÍCH 2
GI NG VIÊN: TS. NGUY N
C TRUNG
N M H C: 2016 -2017
TRANG CH :
/>
Link: />
1
TLTK: LT – TOÁN CAO C P A3 - GI I TÍCH 2 (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N
C TRUNG
L I NịI
CH
U
NG TRÌNH GI NG D Y TOÁN CAO C P
TRểN MOON.VN N M H C 2016 - 2017
Chúc m ng các b n đã b c vào m t ng ng c a m i c a cu c đ i. Vi c đ
i h c m ra cho các em m t trang m i v i đ y c h i nh ng không kém thách
th c. Thách th c không ch vi c h c xa nhà ho c môi tr ng mà c h i ti p
xúc đ h i đáp v i Gi ng viên r t h n ch trên nh ng gi ng đ ng l n hàng tr m
Sinh viên mà kh i l ng ki n th c đ x .
T i b c h c i h c, m t môn h c đ c chia ra làm các phân mơn (hay cịn
g i là h c ph n). Các h c ph n có tính đ c l p t ng đ i v n i dung ki n th c nên
đ c t ch c h c và đánh giá k t qu h c t p đ c l p hoàn.
Bài t p hoàn toàn đ c t p trung d n vào cu i ch ng ho c chuyên đ ch
không theo bài (các bu i h c). Các bài t p c ng đ c gi i theo tính ch đ ng h c
t p c a Sinh viên. R t nhi u b n Sinh viên ng ngàng v i vi c h c b c i h c
nên k t qu h c t p các môn h c
i c ng th ng th p h n nh ng môn h c
chuyên ngành n m th 3, th 4 (ho c th 5).
Tuy nhiên, ch ng trình gi ng d y Toán Cao C p t i Moon.vn v n thi t k
bài t p t i cu i các bài h c lý thuy t (qua Video theo truy n th ng Moon.vn) và
cu i các ch ng (Ph n luy n t p chuyên đ ). C ng nh m đ làm quen v i cách h c
i h c, m t s video bài t p đ c đ a ra v i m c đích h ng d n các em cách
làm bài t p và trình b y b c i h c.
Th y thi t k ch ng trình v i l ch phát sóng s m đ các em có c h i ti p
c n s m v i ki n và k n ng làm bài t p t t. Hy v ng v i s chu n b s m và t t,
các em s thành đ t b i theo kinh nghi m: 95% thành công do vi c chu n b .
Link: />
2
TLTK: LT – TOÁN CAO C P A3 - GI I TÍCH 2 (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N
C TRUNG
các b n Sinh viên ti n theo dõi ch ng trình h c, Th y thi t k ch ng
trình đào t o đ c đánh mã s chi ti t theo các phân đo n đ n v ki n th c tu n t
đ các em d dàng theo dõi. Các em có th vào đ ng link sau đ bi t rõ v tồn b
ch ng trình: />T i b c Ph thơng, các em h c m t ch ng trình Tốn duy nh t cịn đ i v i
Tốn Cao C p thì s khác bi t r t l n đ c th hi n t ng Tr ng, thâm chí t ng
kh i ngành h c trong Tr ng.
i v i các kh i ngành K thu t, Khoa h c (S ph m, KHTN), Công ngh ,
ch ng trình Tốn Cao C p đ c h c là Tốn A g m có 4 h c ph n riêng
bi t v i đ ng link chính cho Tốn A ( />o Tốn A1: i s tuy n tính
o Tốn A2: Gi i tích 1
o Tốn A3: Gi i tích 2
o Tốn A4: Gi i tích 3
i v i các kh i ngành Nông – Lâm – Y – D c, ch ng trình Tốn Cao
C p đ c h c là Tốn B g m có 2 h c ph n riêng bi t v i đ ng link chính
cho Tốn B ( />o Tốn B1: i s tuy n tính
o Tốn B2: Gi i tích
i v i các kh i ngành Kinh t , Th ng m i, Tài chính, Ngân hàng, Lu t
ho c Qu n tr kinh doan ... ch ng trình Tốn Cao C p đ c h c là Tốn C
g m có 2 h c ph n riêng bi t v i đ ng link chính cho Tốn C
( />o Tốn C1: i s tuy n tính
o Tốn C2: Gi i tích
T i Moon.vn, ki n th c lý thuy t đã đ c b trí v i các n i dung chi ti t cho
t ng kh i ngành thông qua h th ng video bài gi ng cùng giáo trình đ y đ c ng
nh các tóm t t lý thuy t v n d ng đ nhanh chóng có th gi i bài t p cho c Toán
A, Toán B và Toán C. i kèm lý thuy t c b n là m t kho d li u kh ng bài t p
đ c t ng h p t các
thi gi a và cu i H c k các n m g n đây c a các kh i
ngành:
Link: />
3
TLTK: LT – TOÁN CAO C P A3 - GI I TÍCH 2 (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N
C TRUNG
Toán A1, A2, A3 và A4: h n 3500 bài t p
Toán B1 và B2: g n 2000 bài t p
Toán C1 và C2: g n 2000 bài t p
Các bài t p tr ng y u đ c quay Video đi kèm l i gi i giúp các em ôn t p d
dàng, ti p c n ph ng pháp gi i nhanh chóng và chính xác.
Th y và đ i ng các Supper Mods (c ng đ u là các Gi ng viên d y i h c) r t
vui đ c trao đ i trên di n đàn Toán cao c p t i Moon.VN trên Facebook v i
đ ng link sau: />Các em c ng có th th c tr c ti p v i th y t i trang Facebook cá nhân v i
đ ng link sau: />Chúc các em nhanh chóng thu l
và v n d ng sáng t o !
mđ
c nh ng ki n th c, hoàn thi n k n ng
Link: />
4
TLTK: LT – TOÁN CAO C P A3 - GI I TÍCH 2 (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N
C TRUNG
M CL C
Ch
ng 1: Hàm s nhi u bi n ...................................................................................9
§1. T ng quan hàm s nhi u bi n ..............................................................................9
1.1.
nh ngh a hàm nhi u bi n .............................................................................9
1.1.1.
nh ngh a :..............................................................................................9
1.1.2. Bi u di n hình h c c a hàm hai bi n s . .................................................9
1.2 Gi i h n c a hàm s hai bi n s ....................................................................10
1.3. Tính liên t c c a hàm s hai bi n s :...........................................................10
1.3.1. Khái ni m: ..............................................................................................10
1.3.2. Chú ý: .....................................................................................................11
§2.
o hàm riêng. ...................................................................................................12
2.1.
o hàm riêng: ..............................................................................................12
2.1.1.
nh ngh a:.............................................................................................12
2.1.2. Ý ngh a hình h c c a đ o hàm riêng: ....................................................12
2.2.
o hàm riêng c p cao:.................................................................................13
2.2.1
nh ngh a :.............................................................................................13
2.2.2
nh lý : ..................................................................................................14
§3: Vi phân tồn ph n và vi phân c p hai ................................................................19
3.1 inh ngh a : ....................................................................................................19
3.2. i u ki n kh vi c a hàm s nhi u bi n : .....................................................19
3.3.
ng d ng c a vi phân toàn ph n vào tính g n đúng: ...................................20
3.4. i u ki n đ bi u th c P x, y dx Q x, y dy là m t vi phân toàn ph n: ..20
Link: />
5
TLTK: LT – TOÁN CAO C P A3 - GI I TÍCH 2 (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N
3.5. Ph
C TRUNG
ng trình c a ti p tuy n, pháp di n c a đ
3.5.1.
ng cong trong khơng gian. ..............................................................20
3.5.2. Ph
ng trình c a ti p tuy n. ..................................................................21
3.5.3. Pháp di n c a đ
§4.
ng cong : ...................................................................21
o hàm c a hàm s h p.
4.1.
ng cong t i m t đi m. .......20
o hàm c a hàm s
n. .........................................24
o hàm c a hàm s h p ..............................................................................24
4.1.1.
nh ngh a:.............................................................................................24
4.1.2.
nh ngh a 2:..........................................................................................24
4.2.
o hàm c a hàm s
n ................................................................................24
4.2.1.
nh ngh a hàm n: ................................................................................25
4.2.2.
o hàm c a hàm n ..............................................................................25
§5. C c tr .................................................................................................................30
5.1. C c tr t do c a hàm s hai bi n s :............................................................30
5.1.1.
nh ngh a ..............................................................................................30
5.1.2. i u ki n c n c a c c tr .......................................................................30
5.1.3. i u ki n đ c a c c tr : .......................................................................30
5.2. C c tr có đi u ki n: ......................................................................................31
5.2.1. Khái ni m: ..............................................................................................31
5.2.2.
nh lý: ..................................................................................................31
5.3. Giá tr l n nh t và bé nh t c a hàm hai bi n s trong m t mi n đóng gi i
n i.........................................................................................................................32
Ch
ng 2: Tích phân b i .........................................................................................34
§1. Tích phân kép: ....................................................................................................34
1.1. Phép đ i bi n s trong tích phân kép ............................................................34
1.1.1. Phép đ i bi n s t ng quát .....................................................................34
Link: />
6
TLTK: LT – TOÁN CAO C P A3 - GI I TÍCH 2 (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N
C TRUNG
1.1.2. Phép đ i bi n s trong t a đ c c ..........................................................37
1.1.3. Phép đ i bi n s trong t a đ c c suy r ng ...........................................43
§2. Tích phân b i ba................................................................................................45
2.1.
nh ngh a và tính ch t .................................................................................45
2.2. Tính tích phân b i ba trong h t a đ Descartes ..........................................46
2.3. Ph
ng pháp đ i bi n s trong tích phân b i ba ..........................................49
§3. Các ng d ng c a tích phân b i .........................................................................62
3.1. Tính di n tích hình ph ng ............................................................................62
3.2. Tính th tích v t th .....................................................................................68
Ch
ng 3: Tích phân đ
§1. Tích phân đ
1.1.
ng ....................................................................................75
ng lo i I .......................................................................................75
nh ngh a ....................................................................................................75
1.2. Các cơng th c tính tích phân đ
§2. Tích phân đ
2.1.
ng lo i I ..................................................75
ng lo i II......................................................................................78
nh ngh a .....................................................................................................78
2.2. Các cơng th c tính tích phân đ
ng lo i II ..................................................78
2.3. Cơng th c Green ...........................................................................................82
2.4.
ng d ng c a tích phân đ
2.5. i u ki n đ l y tích phân đ
Ch
ng lo i II ..........................................................88
ng không ph thu c đ
ng l y tích phân. ...89
ng 4:Tích phân m t .........................................................................................92
§1. Tích phân m t lo i I ...........................................................................................92
1.1.
nh ngh a ...................................................................................................92
1.2 Các cơng th c tính tích phân m t lo i I .........................................................92
2. Tích phân m t lo i II ............................................................................................95
2.1.
nh h
ng m t cong ...................................................................................95
Link: />
7
TLTK: LT – TOÁN CAO C P A3 - GI I TÍCH 2 (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N
2.2.
C TRUNG
nh ngh a tích phân m t lo i II ...................................................................95
2.3. Các cơng th c tính tích phân m t lo i II .......................................................95
2.4. Cơng th c Ostrogradsky, Stokes...................................................................98
2.5. Công th c liên h gi a tích phân m t lo i I và lo i II. ...............................102
Ch
ng 5: Lý thuy t tr
§1. Tr
ng vơ h
ng ..................................................................................105
ng .............................................................................................105
1.1.
nh ngh a ...................................................................................................105
1.2.
o hàm theo h
ng ...................................................................................105
1.3. Gradient .......................................................................................................106
§2. Tr
ng vecto ....................................................................................................110
2.1
nh ngh a ....................................................................................................110
2.2. Thơng l
ng, dive, tr
ng ng. ..................................................................110
2.3. Hồn l u, vecto xốy. .................................................................................110
2.4 Tr
ng th - hàm th v ...............................................................................111
Link: />
8
TLTK: LT – TOÁN CAO C P A3 - GI I TÍCH 2 (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N
Ch
C TRUNG
ng 1: HƠm s nhi u bi n
§1. T ng quan hƠm s nhi u bi n
1.1.
1.1.1.
nh ngh a hƠm nhi u bi n
nh ngh a :
Cho D R2 , ánh x f : D R đ
Kí hi u là :
c g i là hàm s hai bi n s .
f :DR
x, y Z f x, y
D là mi n xác đ nh c a f ; x,y là hai bi n s đ c l p.
f D z f x, y / x, y D g i là mi n giá tr c a hàm f
Hàm s n bi n f x1, x2 ,..., xn đ
c đ nh ngh a t
ng t .
Mi n xác đ nh :
Cho hàm s Z f x, y , mi n xác đ nh c a hàm f là t p h p các c p x, y
sao cho f x, y có ngh a. Ký hi u là D.
Dđ
c g i là liên thông trong R2 n u v i M1 , M2 b t k thu c D ln có
th n i v i nhau b i đ
ng cong liên t c n m hoàn toàn trong D
Dđ
c g i là m n u nh ng đi m biên L c a D không thu c D
Dđ
c g i là đóng n u m i đi m biên L c a D đ u thu c D
D đ c g i là đ n liên n u nó b gi i h n b i nhi u đ
t ng đôi m t.
ng cong kín r i nhau
1.1.2. Bi u di n hình h c c a hàm hai bi n s .
Gi s Z f x, y xác đ nh trong mi n D c a m t ph ng xOy
Link: />
9
TLTK: LT – TOÁN CAO C P A3 - GI I TÍCH 2 (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N
C TRUNG
MP // OZ và MP f x, y Z
Khi M bi n thiên trong D thì P bi n thiên trong R3 và
sinh ra m t S, S g i là đ th c a hàm Z f x, y và
Z f x, y còn g i là ph
ng trình c a m t S.
M i đ ng th ng song song v i tr c OZ c t m t S
không quá m t đi m.
1.2 Gi i h n c a hƠm s hai bi n s
nh ngh a :
Cho hàm s
f M f x, y , xác đ nh trong mi n D ch a đi m M0 x0 , y0
, có th tr đi m M 0 . Ta nói r ng L là gi i h n c a f x, y khi đi m M x, y
d n t i đi m M0 x0 , y0 n u v i m i dãy Mn xn , yn thu c D d n t i M 0 ta đ u có
lim f xn , yn L
n
Kí hi u :
lim
x, y x0 , y0
hay :
f x, y L
lim f M L
M M0
1.3. Tính liên t c c a hƠm s hai bi n s :
1.3.1. Khái ni m:
Cho hàm s
f M f x, y , xác đ nh trong mi n D, M0 x0 , y0 là m t
đi m thu c D. Ta nói hàm s
lim
f x, y
lim
f x, y f x0 , y0
x, y x0 , y0
và
Hàm s
f x, y liên t c t i M 0 n u t n t i :
x, y x0 , y0
f x, y g i là liên t c trong mi n D n u nó liên t c t i m i đi m thu c
D.
Link: />
10
TLTK: LT – TOÁN CAO C P A3 - GI I TÍCH 2 (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N
C TRUNG
1.3.2. Chú ý:
t x x0 x ; y y0 y ta có :
f x, y f x0 x ; y0 y và f f x0 x ; y0 y f x0 , y0
Có th phát bi u: Hàm s
lim
f x, y liên t c t i M0 x0 , y0 n u :
x , y 0,0
f 0
Ví d 1.1: Tìm gi i h n ( n u có ) c a hàm s sau
L i gi i:
Link: />
11
TLTK: LT – TOÁN CAO C P A3 - GI I TÍCH 2 (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N
C TRUNG
§2.
2.1.
o hƠm riêng.
o hƠm riêng:
2.1.1.
nh ngh a:
Cho hàm s z f x, y xác đ nh trong mi n D, đi m M0 x0 , y0 D . N u
cho y y0 , v i y0 là h ng s , mà hàm s m t bi n s x f x, y0 có đ o hàm
t i x x0 thì đ o hàm đó đ
c g i là đ o hàm riêng đ i v i x c a hàm s
f x, y
t i x0 , y0 .
Ký hi u : f 'x x0 , y0 hay
f
z
x0 , y0 hay x0 , y0
x
x
Ngh a là : f 'x x0 , y0 lim
x0
T
ng t :
f x0 x, y0 f x0 , y0
x
o hàm riêng đ i v i y c a hàm s
f x, y t i x0 , y0 , kí
hi u:
f ' y x0 , y0 lim
y0
f x0 , y0 y f x0 , y0
y
Chú ý :
o hàm riêng c a hàm s n bi n đ c l p ( n > 2) đ nh ngh a t
ng t .
Khi tính đ o hàm riêng c a m t bi n nào đó xem bi n còn l i nh m t
h ng s .
2.1.2. Ý ngh a hình h c c a đ o hàm riêng:
G i S là đ th c a hàm s z f x, y .
C1 là giao tuy n c a S v i m t ph ng y y0 .
T1 là ti p tuy n c a giao tuy n C1 c a m t ph ng S v i m t ph ng y y0 t i
đi m P x0 , y0 , z0 .
Link: />
12
TLTK: LT – TOÁN CAO C P A3 - GI I TÍCH 2 (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N
C TRUNG
( C1 là đ th c a hàm 1 bi n s y f x, y0 trên m t ph ng y y0 )
T2 là ti p tuy n c a giao tuy n C2 c a m t ph ng S v i m t ph ng x x0
f 'x x0 , y0 = H s góc c a ti p tuy n T1 c a C1 t i P x0 , y0 , z0 v i
z0 f x0 , y0 .
f ' y x0 , y0 = H s góc c a ti p tuy n T2 c a C2 t i P x0 , y0 , z0 v i
z0 f x0 , y0 .
2.2.
o hƠm riêng c p cao:
2.2.1
nh ngh a :
Cho hàm s z f x, y . Các đ o hàm f 'x , f ' y là nh ng đ o hàm riêng c p m t.
Các đ o hàm riêng c a đ o hàm riêng c p m t g i là các đ o hàm riêng c p hai.
Các đ o hàm riêng c a đ o hàm riêng c p hai g i là đ o hàm riêng c p ba,....
Ký hi u đ o hàm riêng c p hai nh sau :
f 2 f
//
2 fx2 x, y
x x x
f 2 f
f yx// x, y
x y xy
f 2 f
fxy// x, y
y x yx
f 2 f
//
2 f y2 x, y
y y y
Link: />
13
TLTK: LT – TOÁN CAO C P A3 - GI I TÍCH 2 (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N
2.2.2
C TRUNG
nh lý :
N u trong m t lân c n U nào đó c a đi m M0 x0 , y0 hàm s
z f x, y
có các đ o hàm riêng fxy// , fyx// và n u các đ o hàm y liên t c t i M 0 thì fxy// fyx//
t i M0 .
Ví d 2.1: Tính các đ o hàm riêng c a các hàm s sau
L i gi i:
Link: />
14
TLTK: LT – TOÁN CAO C P A3 - GI I TÍCH 2 (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N
C TRUNG
Ví d 2.2: Kh o sát s liên t c và s t n t i, liên t c c a đ o hàm riêng c a các
hàm s f x, y sau :
Link: />
15
TLTK: LT – TOÁN CAO C P A3 - GI I TÍCH 2 (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N
C TRUNG
L i gi i:
Link: />
16
TLTK: LT – TOÁN CAO C P A3 - GI I TÍCH 2 (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N
C TRUNG
Ví d 2.3:
L i gi i:
Ví d 2.4:
Link: />
17
TLTK: LT – TOÁN CAO C P A3 - GI I TÍCH 2 (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N
C TRUNG
L i gi i:
Link: />
18
TLTK: LT – TOÁN CAO C P A3 - GI I TÍCH 2 (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N
C TRUNG
§3: Vi phơn toƠn ph n vƠ vi phơn c p hai
3.1 inh ngh a :
Cho hàm s
z f x, y xác đ nh trong mi n D R2 , M0 x0 , y0 và
M x0 x ; y0 y là hai đi m thu c D.
N u s gia f x0 , y0 f x0 x ; y0 y f x0 , y0 có th bi u di n d
i d ng
f x, y kh
vi t i
f x0 , y0 A x By x y thì ta nói hàm s
M0 x0 , y0 , bi u th c A x B y g i là vi phân toàn ph n c a hàm s
f x, y t i
x0 , y0
ng v i các s gia x , y và đ
c ký hi u là df x0 , y0 hay dz.
Hàm s
f x, y g i là kh vi trong mi n D n u nó kh vi t i m i đi m c a mi n
y.
Chú ý :
N u f x, y kh vi t i x0 , y0 thì t n t i các đ o hàm riêng
f 'x x0 , y0 , f ' y x0 , y0 .
Khác v i hàm s m t bi n , n u hàm s hai bi n f x, y có các đ o hàm
riêng f 'x x0 , y0 , f ' y x0 , y0 thì ch a ch c nó đã kh vi t i x0 , y0 .
3.2. i u ki n kh vi c a hƠm s nhi u bi n :
nh lý :
N u hàm s
z f x, y có các đ o hàm riêng trong m t mi n D, ch a đi m
M0 x0 , y0 và n u các đ o hàm riêng y liên t c t i M 0 thì hàm s
t i M 0 , vi phân toàn ph n c a f x, y t i M 0 đ
f x, y kh vi
c tính theo cơng th c :
df x0 , y0 f 'x x0 , y0 x f ' y x0 , y0 y
Chú ý : Ta có x dx; y dy do đó :
df x0 , y0 f 'x x0 , y0 dx f ' y x0 , y0 dy
Link: />
19
TLTK: LT – TOÁN CAO C P A3 - GI I TÍCH 2 (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N
3.3.
C TRUNG
ng d ng c a vi phơn toƠn ph n vƠo tính g n đúng:
Khi x , y khá nh , ta có th xem f x0 , y0 x p x b ng df x0 , y0 t c là:
f x0 , y0 f 'x x0 , y0 x f ' y x0 , y0 y hay
f x0 x ; y0 y f x0 , y0 f 'x x0 , y0 x f ' y x0 , y0 y .
3.4. i u ki n đ bi u th c P x, y dx Q x, y dy lƠ m t vi phơn toƠn ph n:
nh lý:
Gi s các hàm s
P x, y , Q x, y có các đ o hàm riêng liên t c trong m t
mi n D nào đó. Bi u th c P x, y dx Q x, y dy là m t vi phân toàn ph n khi và
ch khi :
P Q
; x, y D
y x
3.5. Ph
ng trình c a ti p tuy n, pháp di n c a đ
3.5.1.
ng cong trong không gian.
Cho I R, t I , Ánh x cho t
ng cong t i m t đi m.
ng ng m i
s th c t v i m t vecto trong R3 duy nh t r t g i là
m t hàm vecto. N u x t , y t , z t là ba thành ph n
c a vecto r t thì ta vi t :
r t x t , y t , z t
hay
r t x t i y t j z t k .
t OM r t , đi m M có t a đ là x t , y t , z t .Gi s các hàm s
x t , y t , z t liên t c trên I.
Link: />
20
TLTK: LT – TOÁN CAO C P A3 - GI I TÍCH 2 (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N
C TRUNG
Khi t bi n thiên trong I đi m M v ch nên m t đ
R3 . Ta nói r ng x x t , y y t , z z t là các ph
ng cong C liên t c trong
ng trình tham s c a đ
ng
cong C.
r t x t i y t j z t k là ph
3.5.2. Ph
ng trình vecto c a đ
ng cong C.
ng trình c a ti p tuy n.
Gi s các đi m
M0 x t0 , y t0 , z t0 và M x t0 h , y t0 h , z t0 h
thu c đ
ng cong C. Các hàm s
x t , y t , z t kh
vi t i t0 thì
r ' t0 x ' t0 , y ' t0 , z ' t0 . V trí gi i h n c a cát tuy n M0 M khi M d n t i
M 0 trên đ
ng cong C n u t n t i là ti p tuy n c a C t i M 0 .
thu c ti p tuy n C t i M 0 khi và ch khi M0 P cùng ph
ph
ng trình ti p tuy n c a đ
i m P x, y, z
ng v i r ' t0 , ngh a là
ng cong C t i M 0 là :
x x t0 y y t 0 z z t 0
x ' t0
y ' t0
z ' t0
3.5.3. Pháp di n c a đ
ng cong :
M t ph ng đi qua M 0 vng góc v i ti p tuy n c a đ
g i là pháp di n c a đ
ng cong C t i M 0 .
ng cong C t i M 0
i m P x, y, z n m trên pháp di n
c ađ
ng cong C t i M 0 khi và ch khi M0 P r ' t0 hay M0 P.r ' t0 0 , ngh a
là ph
ng trình pháp di n c a đ
ng cong C t i M 0 là :
x x t0 x ' t0 y y t0 y ' t0 z z t0 z ' t0 0
Link: />
21
TLTK: LT – TOÁN CAO C P A3 - GI I TÍCH 2 (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N
C TRUNG
Ví d 3.1:
L i gi i:
Ví d 3.2:
L i gi i:
Link: />
22
TLTK: LT – TOÁN CAO C P A3 - GI I TÍCH 2 (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N
C TRUNG
Link: />
23
TLTK: LT – TOÁN CAO C P A3 - GI I TÍCH 2 (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N
§4.
4.1.
C TRUNG
o hƠm c a hƠm s h p.
o hƠm c a hƠm s
n.
o hƠm c a hƠm s h p
4.1.1.
nh ngh a:
Cho hàm s z f u, v , trong đó u u x , v v x là nh ng hàm s c a x.
Ta nói r ng z f u x , v x là hàm s h p c a x.
nh lý :
N u z f u, v là hàm s kh vi c a u, v và u u x , v v x là nh ng
hàm s kh vi c a x thì z là hàm s kh vi c a x và ta có :
dz f du f dv
dx u dx v dx
4.1.2.
(1)
nh ngh a 2:
Cho z f u, v , trong đó u u x, y , v v x, y là nh ng hàm s c a hai
bi n s đ c l p x,y. Khi đó z f u x, y , v x, y là hàm s h p c a x,y.
nh lý :
N u hàm s z f u, v là hàm s kh vi c a u,v và các hàm s u u x, y ,
v v x, y có các đ o hàm riêng u 'x , u ' y , v 'x , v ' y thì t n t i các đ o hàm riêng
z z
,
và ta có :
x y
z f u f v
x u x v x
z f u f v
y u y v y
4.2.
o hàm c a hàm s
n.
Link: />
24
TLTK: LT – TOÁN CAO C P A3 - GI I TÍCH 2 (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N
4.2.1.
C TRUNG
nh ngh a hàm n:
Gi s hai bi n s x,y r ng bu c v i nhau b i ph
ng trình F x, y 0 . Ta
nói y f x là m t hàm s xác đ nh trong m t kho ng nào đó sao cho khi th
y f x vào ph
4.2.2.
ng trình F x, y 0 ta đ
c m t đ ng nh t th c.
o hàm c a hàm n
N u F x, y kh vi tr m t s đi m, hàm s y f x kh vi thì :
Fx' x, y Fy' x, y y ' 0
hay
Fx' x, y
n u Fy' x, y 0
y'= y ' '
Fy x, y
Ví d 4.1:
L i gi i:
Link: />
25