TÀI LIỆU THAM KHẢO TOÁN 9

Biến đổi đồng nhất
A. Kiến thức cần nhớ
I. Tìm ĐKXĐ: Tìm các gía trị của biến thoả mãn đồng thời các ĐK:
- Các biểu thức dới dấu căn bậc chẵn không âm.
- Các biểu thức dới dấu mẫu khác 0.
II. Phân tích đa thức thành nhân tử:
1) Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử:
- Phơng pháp đặt nhân tử chung.
- Phơng pháp dùng hằng đẳng thức.
- Phơng pháp nhóm nhiều hạng tử.
- Phơng pháp tách, thêm bớt.
(Chú ý các cách tách đa thức bậc hai, đa thức bậc cao)
- Phơng pháp đặt biến phụ.
- Phơng pháp xét gía trị riêng.
2) Chú ý:
- Kết quả phân tích phải là tích các nhân tử.
- Phân tích phải triệt để.
III. Rút gọn biểu thức: (Tuỳ theo đặc điểm mỗi biểu thức mà thực hiện)
- Sử dụng các phép biến đổi đa thừa số ra ngoài dấu căn, khử mẫu của biểu
thức lấy căn, trục căn thức ở mẫu, đa các căn thức về các căn thức đồng dạng (nếu có
thể) rồi cộng trừ các căn thức đồng dạng.
- Rút gọn các phân thức trớc khi tính.
- Qui đồng mẫu, thực hiện các phép tính trong ngoặc trớc.
- Rút gọn kết quả.
- Sử dụng hằng đẳng thức =
IV. Tìm gía trị nguyên của biến để biểu thức có gía trị nguyên.
- Tách phần nguyên.
- Lập luận tìm gía trị nguyên của biến để phân thức kèm theo có gía trị nguyên.
V. Chứng minh gía trị của biểu thức không phụ thuộc vào gía trị của biến:
Rút gọn biểu thức, kết quả không chứa biến.
VI. Chứng minh đẳng thức:

- Biến đổi vế phức tạp về vế đơn giản.
- Biến đổi cả vế về cùng một biểu thức.
- Biến đổi tơng đơng.
VII. Căn bậc hai.
1. Định nghĩa căn bậc hai.
GV: Trần Văn Nội Tr ờng THCS Thọ Lộc
1
Căn bậc hai của số a không âm là số x sao cho x
2
= a.
2. Số căn bậc hai của một số.
- Số âm không có căn bậc hai.
- Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0.
- Số dơng a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau: Số dơng kí hiệu là và số
âm kí hiệu là - .
3. Định nghĩa căn bậc hai số học.
Với số dơng a, số đợc gọi là căn bậc hai số học của a. Số 0 cũng đợc gọi là căn
bậc hai số học của 0.
4. Chú ý.
Với a

0, ta có:
+ Nếu x = thì x

0 và x
2
= a.
+ Nếu thầ x

0 và x

2
= a thì x = .
5. Định nghĩa phép khai phơng.
Phép toán tìm căn bậc hai số học của số không âm gọi là phép khai phơng (gọi
tắt là khai phơng)
6. So sánh các căn bậc hai số học.
Định lí: Với hai số a và b không âm, ta có a < b

< .
7. Định nghĩa căn thức bậc hai.
Với A là một biểu thức đại số, ngời ta gọi là căn thức bậc hai của A, còn A đ-
ợc gọi là biểu thức lấy can hay biểu thức dới dấu căn.
8. Điều kiện để có nghĩa (hay xác định)
có nghĩa (hay xác định) khi A lấy gía trị không âm.
9. Hằng đẳng thức
2
A
=
A
.
a. Định lí: Với mọi số a, ta có =
a
b. Chú ý: với A là một biểu thức ta có
2
A
=
A
, có nghĩa là:
2
A

= A nếu A

0
2
A
= - A nếu A < 0.
10. Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phơng.
a. Định lí: Với hai số a và b không âm, ta có = . .
* Chú ý: + Định lí trên có thể mở rộng cho tích của nhiều số không âm.
+ Với hai biểu thức A và B không âm ta có = .
Đặc biệt, với biểu thức A không âm ta có ()
2
=
2
A
= A.
b. Qui tắc khai ph ơng một tích.
Muốn khai phơng một tích của các số không âm, ta có thể khai phơng từng
thừa số rồi nhân các kết quả với nhau.
c. Qui tắc nhân các căn bậc hai.
Muốn nhân các căn bậc hai của các số không âm, ta có thể nhân các số dới dấu
căn với nhau rồi khai phơng kết quả đó.
GV: Trần Văn Nội Tr ờng THCS Thọ Lộc
2
11. Liên hệ giữa phép chia và phép khai phơng.
a. Định lí: Với số a không âm và số b dơng, ta có:
a

b
=

a

b
b. Qui tắc khai ph ơng một th ơng.
Muốn khai phơng một thơng , trong đó số a khong âm và số b dơng, ta có thể
khai phơng lần lợt số a và số b, rồi lấy kết quả thứ nhất chia cho kết quả thứ hai.
c. Qui tắc chia hai căn thức bậc hai.
Muốn chia căn bậc hai của số a không âm cho căn bậc hai của số b dơng, ta có thể
chia số a cho số b rồi khai phơng kết quả đó.
d. Chú ý: Với biểu thức A không âm và biểu thức B dơng, ta có
A

B
=
A

B
12. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai.
a. Đ a thừa số ra ngoài dấu căn . Với a

0; b

0 ta có : = a
* Tổng quát: Với hai biểu thức A, B mà B

0, ta có =
A

Nếu A

0 và B

0 thì = A
Nếu A < 0; B

0 thì = - A
b. Đ a thừa số ra ngoài dấu căn.
Nếu A

0 và B

0 thì A =
Nếu A < 0; B

0 thì - A =
c. Khử mẫu của biểu thức lấy căn.
Với các biểu thức A, B mà A.B

0 và B

0 thì
A

B
=
AB
B
d. Trục căn thức ở mẫu.
+ Với các biểu thức A, B mà B > 0 ta có
A A B

=
B
B
+ Với các biểu thức A, B, C mà A

0 và A

B
2
, ta có
m
2
C C( A B)
=
A B
A- B
+ Với các biểu thức A, B, C mà A

0 và A

B, ta có
m
2
C C( A B)
=
A - B
A B
13. Căn bậc ba.
a. Định nghĩa.
Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x

3
= a.
b. Chú ý:
+ Mỗi số a đều có duy nhất một căn bậc ba.
+
( )
3
3 3
3
a = a = a

c. Nhận xét.
- Căn bậc ba của số dơng là số dơng.
- Căn bậc ba của số âm là số âm.
- Căn bậc ba của số 0 là chính số 0.
GV: Trần Văn Nội Tr ờng THCS Thọ Lộc
3
d. TÝnh chÊt.

⇔
≠
3 3
3 3 3
3
3
3
a < b a < b
ab = a b
a a
= (b 0)

b
b
GV: TrÇn V¨n Néi Tr êng THCS Thä Léc
4
B. Bài tập
Đối với mỗi bài tập, dạng mới thì GV chữa mẫu, nếu không, HS làm tại chỗ, (nếu bài
nào không có HS nào làm đợc thì GV gợi ý dần cho HS suy nghĩ), HS khác nhận xét,
bổ sung, sau đó GV chữa bài, chốt cách làm.
1. Phân tích đa thức thành nhân tử: A = x
2
- y
2
- z(2x - z)
B = x
3
+ 4x - 5
C = x
3
+ 3x
2
+ 6x + 4
D = x
4
+ 3x
2
+ 4
E = x
4
+ x
2

y
2
+ y
4
R = 64x
4
+ 81
2. Cho đa thức A = n
5
- 5n
3
+ 4n
a) Phân tích đa thức thành nhân tử.
b) Chứng minh với n

Z thì A chia hết cho 120.
3. Cho a - b = 5 Tính M = b(b + 3) + a(a - 3) - 2ab
N =
4a b 3b a
3a 5 2b 5

+
+
4a. Tìm x để các biểu thức sau có nghĩa:
2 2 2 2 2
2 2 2
9 ; 2 . ; 2 1; 2 1; 3 5 ;
1
5 6; 4 5; 4 5;
2

x a a x x a x x x
x x x x x x
x
+ + +
+ +

4b. Tính gía trị của biểu thức A =
13 30 2 9 4 2+ + + +
B =
30 2 16 6 11 4 4 2 3 + +
5. Chứng minh: a)
3 3 1
1
2 2
+
+ =
.
b)
10 60 24 40 5 3 2+ + + = + +

6. Cho x

1. Rút gọn y =
x 2 x 1 x 2 x 1+ +
7. Cho x =
+

3
10 6 3( 3 1)
6 2 5 5

Tính P = (x
3
- 4x +1)
2007
8. Chứng minh số a =
2( 3 1) 2 3+
là một số hữu tỉ.
GV: Trần Văn Nội Tr ờng THCS Thọ Lộc
5
số b =
( )
6 2 ( 3 2) 3 2+ +
là một số hữu tỉ.
9. Tính gía trị của biểu thức
A 3 5 3 5= +
B =
2 3 2 3
2 3 2 3
+
+
+

C =
4 7 2 4 + 7
D =
2 3 2 3 2 3 2 3
2 3 2 3 2 3 2 3
+ + +

+ + +

E = .
G =
3 3
20 14 2 20 14 2+ +

H =
( )
3
2 1 5 2 7
4 2 3 3
+
+
.
10. So sánh A =
3 5 3 5
2 2 3 5 2 2 3 5
+
+
+ +

và B =
4 7 4 7
3 2 4 7 3 2 4 7
+
+
+ +
11. Tính A =
2 3. 2 2 3 . 2 2 2 3 . 2 2 2 3+ + + + + + + +

12. Rút gọn A =

1 1 1 1
...
2 3 3 4 4 5 2006 2007
+ +

13. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x:
A =
6x (x 6) x 3 3 1
2(x 4 x 3)(2 x) 2x 10 x 12 3 x x 2
+

+ +

GV: Trần Văn Nội Tr ờng THCS Thọ Lộc
6
C. Hớng dẫn
1. A = (x - z)
2
- y
2
= (x - z - y)(x - z + y)
B = (x - 1)(x
2
+ x + 5)
C = (x + 1)(x
2
+ 2x + 4)
D = (x
2
+ 2)

2
- x
2
= (x
2
- x + 2)( x
2
+ x + 2)
E = (x
2
+ y
2
)
2
- (xy)
2
= (x
2
+ xy + y
2
)( x
2
- xy + y
2
)
R = (8x
2
+ 9)
2
- (12x)

2
= (8x
2
+ 9 - 12x) (8x
2
+ 9 + 12x)
2. . a) A = (n - 2) (n - 1) n (n + 1) (n + 2)
b) A chia hết cho 3; 5; 8 (xét 2 trờng hợp n chẵn và n lẻ)
3. Cách 1: Thay a = b + 5 hoặc b = a - 5
Cách 2: Biến đổi M, N làm xuất hiện a - b rồi thay vào
ĐS: M = 10; N = 2.
4a.Điều kiện để một biểu thức có nghĩa là mẫu thức khác không và biểu thức lấy căn
bậc hai không âm.
4b. Tính từ trong ra. ĐS: A = 5 + 3; B =
3 3 1
.
5. a) Cách 1: Biến đổi vế trái.
Cách 2: Biến đổi vế phải.
Cách 3: Bình phơng hai vế.
b) Cách 1: Bình phơng hai vế.
Cách 2: Sử dụng hằng đẳng thức =
A
6. y = + 1 +
x 1- 1
+ Nếu x

2 thì y = 2
+ Nếu 1

x < 2 thì y = 2.

7. x =
( 3 1)( 3 1)
5 1 5
+
+
= 2

P = 1
8. a =
( 3 1) 4 2 3 ( 3 1)( 3 1) 2+ = + =
b =
2
( 3 1)( 3 2) 4 2 3 ( 3 1) ( 3 2) 2
+ + = + =
9. a) Cách 1: Tính A
2
(Chú ý A < 0).
GV: Trần Văn Nội Tr ờng THCS Thọ Lộc
7
Cách 2: Tính A
Cách 3: Sử dụng công thức căn thức phức tạp (hai chiều)
Cách 4: Sử dụng hằng đẳng thức
2
A
=
A
Đáp số: A = -
b) Cách 1: Trục các căn thức ở các mẫu của các biểu thức dới dấu căn.
Cách 2: Nhân cả tử và mẫu của mỗi biểu thức dới căn với 2 rồi sử dụng qui tắc khai
phơng một thơng. ĐS: B = 4

c) Cách 1: Tính C
Cách 2: Sử dụng công thức căn thức phức tạp (hai chiều)
Đáp số: C = 0.
d) Cách 1: Nhân tử và mẫu mỗi phân thức với .
Cách 2: Qui đồng mẫu.
Cách 3: áp dụng công thức căn thức phức tạp.
Cách 4: Tính số bị trừ bằng , số trừ bằng nghịch đảo của số bị trừ.
e) E = - 2 + - 1 = + - 3.
g) G = + 2 + - 2 = 4;
h) H = 1.
10. Nhân cả tử và mẫu mỗi phân thức với ta có A = B ( = )
11. Nhân từ phải qua trái ta có A = 1.
12. Trục căn thức ở mẫu của mỗi phân thức ta đợc A = -
2007 2
13. Đặt
x
= a ta có A =
(a 1)(a 2)(a 3) 1
2(a 1)(a 2)(a 3) 2

=


*************************
GV: Trần Văn Nội Tr ờng THCS Thọ Lộc
8
Phơng trình
A. Kiến thức cần nhớ
I. Ph ơng trình một ẩn.
1. Định nghĩa:

Khi nói A(x) = B(x) là một phơng trình thì ta hiểu rằng cần tìm gía trị của
x để gía trị của hai biểu thức A(x) và B(x) bằng nhau. x là ẩn, gía trị tìm đợc của x là
nghiệm của phơng trình, mỗi biểu thức A(x); B(x) là một vế của phơng trình.
2. Tập nghiệm của phơng trình:
Là tập tất cả các nghiệm của phơng trình.
3. Giải phơng trình: Là tìm tập hợp nghiệm của phơng trình đó.
4. Số nghiệm của phơng trình: Một phơng trình có thể có một, nhiều hay vô số
nghiệm, phơng trình cũng có thể không có nghiệm nào (phơng trình vô nghiệm).
II. Ph ơng trình ax + b = 0
1. Phơng trình bậc nhất một ẩn số.
a. Định nghĩa: Phơng trình bậc nhất một ẩn số là phơng trình có dạng ax + b = 0.
Trong đó x là ẩn, a và b là các số đã biết, a khác 0.
b. Số nghiệm của ph ơng trình bậc nhất một ẩn số : Một phơng trình bậc nhất một ẩn
số bậc nhất một ẩn số luôn có một nghiệm duy nhất x = -
2. Cách giải phơng trình ax + b = 0.
+ Nếu a = 0; b = 0 thì phơng trình nghiệm dúng với mọi x
+ Nếu a = 0; b

0 thì phơng trình vô nghiệm.
+ Nếu a

0 thì phơng trình có một nghiệm duy nhất x = -
III. Ph ơng trình bậc nhất hai ẩn.
1. Định nghĩa:
Phơng trình bậc nhất hai ẩn là phơng trình có dạng ax + by = c trong đó x và y là ẩn,
a và b là các số đã cho, a và b không đồng thời bằng 0.
2. Nghiệm của phơng trình bậc nhất hai ẩn:
- Nghiệm của phơng trình bậc nhất hai ẩn là cặp gía trị (x; y) thoả mãn phơng
trình.
- Phơng trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiêm, khi biểu diễn tập nghiệm

của phơng trình bậc nhất một ẩn trên mặt phẳng toạ độ ta đợc một đờng thẳng gọi là
đờng thẳng ax + by = c.
+ Nếu a = 0; b

0 thì đờng thẳng ax + by = c song song với trục hoành.
GV: Trần Văn Nội Tr ờng THCS Thọ Lộc
9
+ Nếu a

0; b = 0 thì đờng thẳng ax + by = c song song với trục tung.
+ Nếu a

0; b

0 thì đờng thẳng ax + by = c cắt hai trục toạ độ.
IV. Ph ơng trình bậc hai một ẩn.
1. Định nghĩa:
Phơng trình bậc hai một ẩn là phơng trình có dạng ax
2
+ bx + c = 0 trong đó a; b; c là
các số đã cho, a

0.
2. Cách giải phơng trình bậc hai một ẩn.
- Đối với phơng trình bậc hai khuyết b hoặc c ta thờng đa về phơng trình tích
hoặc sử dụng tính chất của BĐT, so sánh gía trị hai vế.
- Đối với phơng trình bậc hai đầy đủ:
. Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm là 1; .
. Nếu a - b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm là 1; - .
. Nhẩm theo hệ thức Vi ét: Nếu phơng trình bậc hai ax

2
+ bx + c = 0 có
hai nghiệm x
1
; x
2
thì
x
1
+ x
2
= - ; x
1
. x
2
=
. Nếu b = 2b' thì sử dụng công thức nghiệm thu gọn:
'
= b'
2
- ac
Nếu
'
< 0 thì phơng trình vô nghiệm.
Nếu
'
= 0 thì phơng trình có 1 nghiệm kép x = -
b'
a
.

Nếu
'

> 0 thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt
x
1; 2
=

'
-b '
a
.
. Trong trờng hợp tổng quát thì sử dụng công thức nghiệm tổng quát :

= b
2
- 4ac
Nếu

< 0 thì phơng trình vô nghiệm.
Nếu

= 0 thì phơng trình có 1 nghiệm kép x = - .
Nếu

> 0 thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt
x
1; 2
=
2

4
2
b b ac
a

Cũng có thể đa về phơng trình tích.
V. Cách giải ph ơng trình chứa ẩn ở mẫu.
Cách 1: + Tìm ĐKXĐ.
+ Qui đồng mẫu rồi khử mẫu.
+ Giải phơng trình tìm đợc.
+ Trong các gía trị tìm đợc của ẩn, gía trị nào thoả mãn ĐKXĐ là
nghiệm của phơng trình, gía trị nào không thoả mãn ĐKXĐ thì loại rồi kết luận.
Cách 2: Đặt ẩn phụ đa về phơng trình bậc hai (nếu có thể)
VI. Cách giải ph ơng trình chứa dấu gía trị tuyệt đối.
GV: Trần Văn Nội Tr ờng THCS Thọ Lộc
10
Cách 1: Xét khoảng để bỏ dấu gía trị tuyệt đối (lu ý đối chiếu gía trị tìm đợc của ẩn
với khoảng đang xét).
Cách 2: Đa về phơng trình tích.
Cách 3: Bình phơng hai vế (Lu ý: Phép biến đổi này chỉ tơng đơng khi và chỉ khi cả
hai vế cùng dấu)
Cách 4: Đặt ẩn phụ.
Cách 5: Biến đổi tơng đơng

a = b a = b
b 0
a = b
a = b
Cách 6: Sử dụng tính chất BĐT:

0 a a
. Dấu "=" xảy ra

a = 0.
a
a với mọi a. Dấu "=" xảy ra

a

0.
a
- a với mọi a. Dấu "=" xảy ra

a 0.
+a + b a b
. Dấu "=" xảy ra

ab

0.
VII. Cách giải ph ơng trình bậc cao.
Cách 1: Đa về phơng trình tích.
Cách 2: Đặt ẩn phụ.
Cách 3: Sử dụng tính chất của BĐT, so sánh gía trị hai vế.

VIII. Giải ph ơng trình vô tỉ.
Cách 1: Bình phơng hai vế
(Lu ý: Phép biến đổi này chỉ tơng đơng khi và chỉ khi cả hai vế cùng dấu)
Cách 2: Đa về phơng trình chứa dấu gía trị tuyệt đối.
Cách 3: Biến đổi tơng đơng
Cách 4: Đặt ẩn phụ.
Cách 5: Sử dụng tính chất BĐT.
IX. Ph ơng trình nghiệm nguyên.
Cách 1: Biến đổi về phơng trình có 1 vế là tích các nhân tử chứa ẩn có gía trị nguyên,
1 vế là 1 hằng số.
Cách 2: Rút ẩn.
Cách 3: Biến đổi về phơng trình có 1 vế là tổng các bình phơng, các lập phơng của
các hạng tử chứa ẩn có gía trị nguyên, 1 vế là 1 hằng số.
Cách 4: Xem phơng trình là phơng trình bậc hai một ẩn.
GV: Trần Văn Nội Tr ờng THCS Thọ Lộc
11
Cách 5: Sử dụng tính chất BĐT:
Cách 6: Sử dụng tính chất chia hết.
Cách 7: Phơng pháp xuống thang.
Cách 8: Sử dụng liên phân số.
X. Giải bài toán bằng cách lập ph ơng trình
+ Lập phơng trình.
- Chọn ẩn, xác định đơn vị và điều kiện cho ẩn.
(Có thể chọn bất kì 1 số liệu cha biết nào làm ẩn cũng đợc, chú ý chọn thích hợp để
phơng trình lập đợc đơn giản, thờng ta dựa vào điều đòi hỏi của bài toán để chọn ẩn).
- Biểu diễn các số liệu cha biết qua ẩn.
(Chú ý về quan hệ giữa các đại lợng trong bài toán).
- Dựa vào mối quan hệ giữa các đại lợng để lập phơng trình.
+ Giải phơng trình.
+ Chọn kết quả thích hợp và trả lời.

XI. Dạng toán về số nghiệm của ph ơng trình ax
2
+ bx + c = 0.
- Xét trờng hợp a = 0.
- Trờng hợp a

0
. Nếu ac < 0 thì phơng trình có hai nghiệm.
. Phơng trình vô nghiệm khi và chỉ khi

' < 0 hoặc

< 0.
. Phơng trình có nhiệm kép khi và chỉ khi

' = 0 hoặc

= 0.
. Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

' = 0 hoặc

= 0.
XII. Dạng toán về dấu các nghiệm của ph ơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0.
- Phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 vô nghiệm khi và chỉ khi

' < 0 hoặc

< 0.
- Phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 có 2 nghiệm trái dấu khi và chỉ khi
P < 0.
- Phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 có 2 nghiệm cùng dấu khi và chỉ khi

'
> 0 hoặc

> 0 và P > 0. Khi đó 2 nghiệm cùng dơng khi và chỉ khi S > 0;
2 nghiệm cùng âm khi và chỉ khi S < 0.
- Phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 có 1 nghiệm kép dơng khi và chỉ khi

'
= 0 hoặc

= 0 và - > 0, có 1 nghiệm kép âm khi và chỉ khi

' = 0
hoặc

= 0 và - < 0.
XIII.Tính gía trị của biểu thức chứa x

1
; x
2
là 2 nghiệm của ph ơng trình bậc hai.
Cách 1: + Chỉ ra điều kiện để phơng trình có nghiệm.
+ Biểu diễn biểu thức chứa x
1
; x
2
qua x
1
+ x
2
; x
1
x
2
rồi sử dụng hệ thức Vi ét.
Cách 2: Giải phơng trình, tìm x
1
; x
2
rồi tính.
GV: Trần Văn Nội Tr ờng THCS Thọ Lộc
12
XIV.Chứng minh biểu thức chứa x
1
; x
2
là 2 nghiệm của ph ơng trình bậc hai thoả

mãn một điều kiện cho tr ớc.
+ Chỉ ra điều kiện để phơng trình có nghiệm.
+ Biểu diễn biểu thức chứa x
1
; x
2
qua x
1
+ x
2
; x
1
x
2
rồi sử dụng hệ thức Vi ét,
tính gía trị của biểu thức theo tham số.
+ Chứng minh biểu thức chứa x
1
; x
2
là 2 nghiệm của phơng trình bậc hai thoả
mãn điều kiện cho trớc.
XV.Tìm gía trị của tham số để biểu thức chứa x
1
; x
2
là 2 nghiệm của ph ơng trình
bậc hai thoả mãn một điều kiện cho tr ớc.
+ Chỉ ra điều kiện để phơng trình có nghiệm.
+ Sử dụng hệ thức Vi ét và điều kiện cho trớc để tìm gía trị của tham số.

XVI. Tìm hệ thức liên hệ giữa x
1
; x
2
không phụ thuộc vào tham số.
+ Chỉ ra điều kiện để phơng trình có nghiệm.
+ Sử dụng hệ thức Vi ét biểu diễn x
1
+ x
2
; x
1
x
2
qua tham số.
+ Khử tham số bằng phơng pháp cộng hoặc phơng pháp thế.
XVII. Lập ph ơng trình bậc hai.
- Phơng trình bậc hai có hai nghiệm x
1
; x
2
là (x - x
1
)(x - x
2
). Sau đó, đa về dạng
chính tắc.
- Nếu x
1
+ x

2
= S; x
1
x
2
= P thì x
1
; x
2
là hai nghiệm của phơng trình bậc hai
x
2
- Sx + P = 0
B. Bài tập
GV: Trần Văn Nội Tr ờng THCS Thọ Lộc
13
I. Dạng 1: Các bài toán về số nghiệm của phơng trình

B i toán 1 : Chứng minh phơng trình x(x - m) + x(x - n) + (x - m)(x - n) = 0 (1) luôn
có nghiệm với mọi m; n.
H ớng dẫn:
'

= (m - )
2
+

0 với mọi m.

B i toán 2 : Chứng minh phơng trình 2x

2
- 3(m + n)x - m
2
- 1 = 0 (1) luôn có nghiệm
với mọi m; n.
H ớng dẫn:
a và c trái dấu.
B i toán 3. Với gía trị nào của a thì các phơng trình sau có nghiệm, vô nghiệm, có
nghiệm kép, có hai nghiệm phân biệt:
a) 3x
2
- 2x + m = 0
b) 4x
2
+ m + m
2
= 0
c) 48x
2
+ mx - 5 = 0
d) m
2
x
2
- mx + 2 = 0
e) (m - 1)x
2
- 2 (m + 1)x + m - 2 = 0
H ớng dẫn:
a) Phơng trình có nghiệm khi m

Phơng trình vô nghiệm khi m >
Phơng trình có nghiệm kép khi và chỉ khi m =
Phơng trình có hai nhiệm phân biệt khi m < .
b) Phơng trình có nghiệm khi m + m
2

0

- 1 m

0
Phơng trình vô nghiệm khi m + m
2
> 0

m < - 1 hoặc m > 0
Phơng trình có hai nhiệm phân biệt khi m + m
2
< 0

- 1 < m < 0.
Phơng trình có nghiệm kép khi và chỉ khi m = 0 hoặc m = - 1
c)

= m
2
+ 960 > 0 với mọi m nên với mọi m thì phơng trình luôn có hai nghiệm
phân biệt.

d) Phơng trình vô nghiệm khi m = 0 hoặc m

0 và

< 0

m

R.
e) Phơng trình có nghiệm khi m


Phơng trình vô nghiệm khi m <
Phơng trình có nghiệm kép khi và chỉ khi m =
Phơng trình có hai nhiệm phân biệt khi m >
GV: Trần Văn Nội Tr ờng THCS Thọ Lộc
14
B i toán 4: Không tính , chứng minh mỗi phơng trình sau có hai nghiệm phân
biệt.
a) (1 - )x
2
- 2x + = 0
b) x
2
- 2( + )x + - = 0
c) (1 - )x
2
- 2(1 + )x + 1 + = 0

H ớng dẫn:

ac < 0.
B i toán 5 : Tìm a để phơng trình (x - 1)(x
2
+ ax + a - 1) = 0 (1)
a) Có 3 nghiệm phân biệt.
b) Có 1 nghiệm kép.
H ớng dẫn:
Cách 1: (1)

(x - 1)(x + 1)(x + a - 1) = 0
Phơng trình (x - 1)(x
2
+ ax + a - 1) = 0 (1) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
1 - a

1 hoặc 1 - a

- 1

a

0 hoặc a

2.
Cách 2: Phơng trình (x - 1)(x
2
+ ax + a - 1) = 0 (1) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ
khi phơng trình x
2
+ ax + a - 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1.

b) x
2
+ ax + a - 1 = 0 có 1 nghiệm kép khi và chỉ khi phơng trình
x
2
+ ax + a - 1 = 0 có

= 0 và 1 không phải là nghiệm của nó hoặc

> 0 và 1 là
nghiệm của nó

a = 0 hoặc a = 2.
B i toán 6 : Tìm m để phơng trình (x
2
+ 3x + 1)(x
2
+ 3x - 1) = m
2
- 1 có nghiệm.
H ớng dẫn:
Đặt x
2
+ 3x = y ta có y =

m
Phơng trình (x
2
+ 3x + 1)(x
2

+ 3x - 1) = m
2
- 1 có nghiệm khi và chỉ khi phơng trình
x
2
+ 3x - m = 0 hoặc phơng trình x
2
+ 3x + m = 0 có nghiệm

m

2,25 hoặc m

- 2,25

m

R.
Vậy với mọi m thì phơng trình (x
2
+ 3x + 1)(x
2
+ 3x - 1) = m
2
- 1 có nghiệm.
II. Dạng 2: Giải phơng trình
B i toán 1a : Giải phơng trình:
a) x
2
- 5x +12 = 0

b) x
2
- 4x + 3 = 0
c) - x
2
+ 4x + 5 = 0
d) - = 3
e) + = 10
Hớng dẫn:
GV: Trần Văn Nội Tr ờng THCS Thọ Lộc
15
a) áp dụng công thức nghiệm x
1
= 3; x
2
= 2
b) áp dụng công thức nghiệm x
1
= 3; x
2
= 1
c) áp dụng công thức nghiệm x
1
= - 1; x
2
= 5
d) x
2
+ 9 = 0 Phơng trình vô nghiệm.
e) x =

5
B i toán 1b: Bằng phơng pháp đồ thị (phơng pháp hình học). Giải phơng trình:
a) x
2
+ x - 6 = 0
b) 0,5x
2
- 2x - 6 = 0
B i toán 1 c: Giải và biện luận phơng trình:
a) x
2
- 2(1 + 3m)x - m
2
= 0
b) 2m
2
x
2
- 3x - 1 = 0
c) mx
2
- 2(m + 1)x - 2m = 0
Hớng dẫn:
a)

= 10m
2
+ 6m + 1 > 0 với mọi m. Phơng trình có hai nghiệm phân biệt
x

1; 2
= 1 + 3m


b) - Nếu m = 0 thì x = -
- Nếu m

0 thì

= 9 + 8m
2
> 0. Phơng trình có hai nghiệm phân biệt
x
1; 2
=
c) - Nếu m = 0 thì x = 0
- Nếu m

0 thì

= 3m
2
+ 2m + 1 > 0 với mọi m.
Phơng trình có hai nghiệm phân biệt
x
1; 2
=
m 1
m
+

B i toán 1d : Xác định gía trị của m để phơng trình mx
2
+ 2(m - 1)x + 2 = 0 (1)
có 1 nghiệm.
Tìm nghiệm của phơng trình (1) trong các trờng hợp đó.
H ớng dẫn:
- Nếu m = 0 thì phơng trình có một nghiệm x = 1
- Nếu m

0 thì phơng trình có một nghiệm khi và chỉ khi
,

= 0

m = 2


. Khi m = 2 + thì x = 1 -
. Khi m = 2 - thì x = 1 +
B i toán 2 : Tìm m để hai phơng trình x
2
+ 3x + 2 = 0 (1) và x
2
- 3x + m = 0 (2) có ít
nhất một nghiệm chung.
H ớng dẫn:
GV: Trần Văn Nội Tr ờng THCS Thọ Lộc
16
(1)

x = - 1; x = - 2
Hai phơng trình x
2
+ 3x + 2 = 0 và x
2
- 3x + m = 0 có ít nhất một nghiệm chung khi
và chỉ khi x = - 1 hoặc x = - 2 là nghiệm của phơng trình (2)
ĐS: m = - 4; m = - 10
B i toán 3 : Giải phơng trình 3x
2
+ (3 - 2m)x - 2m = 0 (1)
H ớng dẫn:
a - b + c = 0
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = {- 1; }
B i toán 4 : Giải phơng trình mx
2
+ (1 - m)x - 1 = 0 (1)
H ớng dẫn:
a + b + c = 0
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = {1; - }
B i toán 5 : Giải phơng trình x
2
- (
2 3+
)x +
6
= 0 (1)
H ớng dẫn:
Dùng phơng pháp phân tích hoặc sử dụng hệ thức Vi ét.
ĐS:

2; 3

B i toán 6 : Cho phơng trình ax
2
- 2(a - 1)x + a + 1 = 0 (1)
a) Giải phơng trình (1) khi a = 1
b) Tìm a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt.
c) Tìm a để phơng trình (1) có nghiệm duy nhất.
H ớng dẫn:
a) Khi a = 1 thì (1)

x



b) Phơng trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi a

0 và

> 0

a

0 và a <
c) Phơng trình (1) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi a = 0 hoặc

= 0

a = 0 hoặc a = .
B i toán 7 : Giải phơng trình x

2
- (4a - 1)x - 3a
2
- a - 2 = 0 (1)
H ớng dẫn:
( )
( )
2
2 2
4a 1 4 3a a 2 28a 4a 9 = + + + = +
> 0 với mọi a.
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = {
4a 1
2

}
GV: Trần Văn Nội Tr ờng THCS Thọ Lộc
17
B i toán 8 : Tìm m để phơng trình x
2
-3(m + 1)x - m - 4 = 0 có hai nghiệm x
1
; x thoả
mãn x
1
< 2 < x
2
H ớng dẫn:
a - b + c = 0 nên phơng trình có hai nghiệm - 1; m + 4
Để phơng trình x

2
-3(m + 1)x - m - 4 = 0 có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn x
1
< 2 < x
2
thì m + 4 > 2

m > - 2.
B i toán 9 : Cho phơng trình (2m - 1)x
2
- 2mx + 1 = 0 (1)
a) Xác định m để phơng trình có các nghiệm thuộc khoảng (-1; 0)
b) Xác định m để phơng trình có 2 nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn

2 2
1 2
x x
= 1
H ớng dẫn:
a) - Nếu m = 0,5 thì (1) có nghiệm x = 1 thuộc khoảng (-1; 0)
- Nếu m

0,5 thì (1) là phơng trình bậc 2 có a + b + c = 0 với mọi m.

phơng trình có 2 nghiệm là 1 và
Ta thấy x = 1 thuộc khoảng (-1; 0)
Phơng trình có các nghiệm thuộc khoảng (-1; 0) khi và chỉ khi -1 < < 1

m < 0
Tóm lại, Phơng trình có các nghiệm thuộc khoảng (-1; 0) khi và chỉ khi m < 0
b)
2 2
1 2
x x
= 1

2
2
2
2
1
1 1
2m 1
1 2 2
1 1 m
2m 1 4
1
1 1
2m 1


=

ữ





= =
ữ





=
ữ




B i toán 10 : Giải và biện luận phơng trình (m - 2)x
2
- 2(m + 1) x + m = 0 (1)
H ớng dẫn:
- Nếu m = - 2 thì (1)

x =
- Nếu m < - thì (1) vô nghiệm.
- Nếu m

- thì (1)

x =
m 1 4m 1
m 2
+ +

B i toán 11 : Tìm m để phơng trình (m - 3)x
2
-2(m + 1)x - 3m + 1 = 0 có các nghiệm
đều là số nguyên.
H ớng dẫn:
- Nếu m = 3 thì phơng trình có nghiệm x = - 1 Z.
- Nếu m

3 thì phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có a - b + c = 0

phơng trình có nghiệm x = - 1

Z và x = .
Để phơng trình (m - 3)x
2
-2(m + 1)x - 3m + 1 = 0 có các nghiệm đều là số nguyên thì

Z

3 +

Ư(8)

m = - 5; - 1; 1; 2; 3; 4; 5; '; 11.
GV: Trần Văn Nội Tr ờng THCS Thọ Lộc
18
B i toán 12 (Thi vào 10 chuyên Nga- Pháp Lam Sơn 1997- 1998):
Giải phơng trình 2x
2
+ 2xy + y
2
- 6x + 9 = 0 (1)
H ớng dẫn:
(1)

(x + y)
2
+ (x - 3)
2
= 0
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = {(3; - 3)}
B i toán 13 : Tìm các gía trị của x thoả mãn 1 < x < 4 đồng thời là nghiệm của ph-
ơng trình
x 1 3 x 4 7 + =
(1)
H ớng dẫn:
Với 1 < x < 4 thì (1)

x - 1 + 3 (x - 4) = 7

x = 2
(thoả mãn điều kiện 1 < x < 4)
Vậy, gía trị của x thoả mãn 1 < x < 4 đồng thời là nghiệm của phơng trình

x 1 3 x 4 7 + =
là x = 2.

B i toán 14 (Thi vào 10 chuyên tin Lam Sơn 2002- 2003):
Giải phơng trình
x 1 x 1+
= x (1)
H ớng dẫn:
Xét khoảng.
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = {- 2; 0; 2}
B i toán 15 : Giải phơng trình
( )
2
x 3 x 3 =
(1)
H ớng dẫn:
(1)


x 3 (1 x 3) 0 =
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = {2; 3; 4}

B i toán 16 : Giải phơng trình
2x 1 x 2 + =
(1)
H ớng dẫn:
Xét khoảng
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = {

1}

Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = {

}
B i toán 17 : Giải phơng trình
2
x 2x 2+ +
+
x 1 0 =
(1)
H ớng dẫn:
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S =

B i toán 18 : Giải phơng trình 3x
2
+ 2
x
- 1 = 0 (1)
GV: Trần Văn Nội Tr ờng THCS Thọ Lộc
19
H ớng dẫn:
Đặt
x
= y
B i toán 19 : Giải phơng trình 2(x
2
+ ) +3(x + ) - 16 = 0 (1)
H ớng dẫn:
Đặt x + = y
B i toán 20 : Giải phơng trình a) x
2

- x -
2
4
x x 1
= 5 (1)
b)
+
2
5
x 4x 5
- x
2
+ 4x - 1 = 0 (2a Tr30 Tuyển tập)
H ớng dẫn:
Đặt
+
2
x 4x 5
= y ta có phơng trình
5
y
- y + 4 = 0

y = 5
Phơng trình có nghiệm 0; 4.
B i toán 21 : Giải phơng trình y
2
- 2y + 3 =
2
6

x 2x 4 +
(1)
H ớng dẫn:
y
2
- 2y + 3 = (y - 1)
2
+ 2

2 với mọi y. Dấu ''=" xảy ra khi và chỉ khi y = 1
2
6
x 2x 4 +
2 với mọi x. Dấu ''=" xảy ra khi và chỉ khi x = - 1
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = {(- 1; 1)}
B i toán 22 : Giải phơng trình + = 10 (- ) (1)
H ớng dẫn:
Đặt - = y thì (1)

y = 2 hoặc y =
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = {-2; 6; 3

}
B i toán 23 : Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình
x
4
- mx
2
+ 3m - 8 = 0 (1)
H ớng dẫn:

Đặt x
2
= t đợc t
2
- mt + 3m - 8 = 0 (2)

= m
2
- 12m + 32; P = 3m - 8; S = m.
- Nếu m < thì

> 0; P < 0


(2) có hai nghiệm trái dấu

(2) có 2 nghiệm.
- Nếu m = thì

> 0; P = 0; S > 0


(2) có 1 nghiệm là 0; 1 nghiệm dơng
(2) có 3 nghiệm.
- Nếu <m < 4 thì

> 0; P > 0; S > 0


(2) có hai nghiệm dơng

(2) có 4 nghiệm.
- Nếu m = 4 thì

= 0; S > 0


(2) có 1 nghiệm dơng

(2) có 2 nghiệm.
GV: Trần Văn Nội Tr ờng THCS Thọ Lộc
20
- Nếu 4 <m < 8 thì

< 0

(2) vô nghiệm

(2) vô nghiệm.
- Nếu m = 8 thì

= 0; S > 0


(2) có 1 nghiệm dơng

(2) có 2 nghiệm..
- Nếu 8 < m thì

> 0; P > 0; S > 0

(2) có hai nghiệm dơng

(2) có 4 nghiệm.
B i toán 24 : (Thi vào 10 Chu Văn An và Hà Nội - Amsterdam 1997- 1998)
Cho phơng trình (x + 1)
4
- (m- 1)(x + 1)
2
- m
2
+ m - 1 = 0 (1)
a) Giải phơng trình với m = - 1.
b) Chứng minh phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi gía trị của m.
H ớng dẫn:
a) Với m = - 1 ta có phơng trình (x + 1)
4
+ 2(x + 1)
2
-3 = 0
Đặt (x + 1)
2
= t đợc t
2
+ 2t - 3 = 0 (2)

t = - 3 (loại); t = 1
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = {0; - 2}
b) Đặt (x + 1)

2
= t đợc t
2
+ (m - 1)t - m
2
+ m - 1 = 0 (3)
Vì (3) là phơng trình bậc 2 có ac < 0 nên (3) có hai nghiệm trái dấu với mọi m

phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi gía trị của m.
B i toán 25 : Giải phơng trình 2x
3
- x
2
+3x + 6 = 0 (1)
H ớng dẫn:
(1)

(x + 1)( 2x
2
- 3x + 6) = 0
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = {- 1}
B i toán 26 : Giải phơng trình 2x
3
- 8x
2
+11x - 5 = 0 (1)
H ớng dẫn:
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = {- 1}
B i toán 27 : Giải `hơng trình
x

4
- (2m + 1)x
3
+ (m
2
+ m - 1)x
2
+ (2m + 1)x - m(m + 1) = 0 (1)
H ớng dẫn:
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = {

1; m; m + 1}
B i toán 28 : Giải phơng trình 2(x
2
- 2x)
2
= 3x
2
- 6x + 9 (1)
H ớng dẫn:
Đặt t = x
2
- 2x
B i toán 29 : Giải phơng trình (x
2
+ x + 1)
2
- 3x
2
- 3x - 1 = 0 (1)

H ớng dẫn:
GV: Trần Văn Nội Tr ờng THCS Thọ Lộc
21
Đặt x
2
+ x + 1 = t

(1)

x = - 1; 0;
1 5
2

Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = {- 1; 0;
1 5
2

}
B i toán 30 : Giải phơng trình x(x + 1)( x +5)( x + 4) = 12 (1)
H ớng dẫn:
(1)

(x
2
+ 5x)( x
2
+ 5x + 4) - 12 = 0
Đặt t = x
2
+ 5x + 2 ta có t =

4
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = {- 2; - 3;
5 33
2

}
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = {- 1; 3}.
B i toán 31 : Giải phơng trình (x + 1)( x +2)( x + 3)( x + 4) = 3 (1)
H ớng dẫn:
(1)

(x
2
+ 5x + 4)( x
2
+ 5x + 6) - 3 = 0
Đặt t = x
2
+ 5x + 4 ta có t
2
+ 2t - 3 = 0

t = 1; t = - 3
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = {
5 13
2

}
B i toán 32 : Giải phơng trình 4x

4
+ 12x
3
- 47x
2
+ 12x + 4 = 0 (1)
H ớng dẫn:
Chia cả hai vế cho x
2


0 và đặt x +
1
x
= t ta có phơng trình 4t
2
+ 12t - 56 = 0

t =
5 11
;t
2 2

=
Với t = thì x = 2;
Với t =
11
2

thì x =

B i toán 33 : Giải phơng trình x
4
- 5x
3
- x
2
-5x + 1 = 0 (1)
H ớng dẫn:
Chia cả hai vế cho x
2


0 và đặt x +
1
x
= t ta có t =
1 11
;t
2 2

=
Với t =
1
2

thì phơng trình vô nghiệm.
Với t =
11
2
thì x =

11 105
2

GV: Trần Văn Nội Tr ờng THCS Thọ Lộc
22
B i toán 34 (Thi vào 10 chuyên toán tin Vinh vòng 1- 2001):
Giải phơng trình x
4
- 2x
3
- x
2
- 2x + 1 = 0 (1)
H ớng dẫn:
Chia hai vế cho x
2


0 rồi đặt x +
1
x
= y

2 ta có y = - 1 (loại); y = 3
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = {
3 5
2

}
B i toán 35 : Giải phơng trình 2x

4
- 13x
3
- 24x
2
- 13x + 2 = 0 (1)
H ớng dẫn:
Chia cả hai vế cho x
2


0 và đặt x +
1
x
= t
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = {2;
1
;2 3
2

}
B i toán 36 : Giải phơng trình x
4
- 5x
3
+ 10x
2
- 10x + 4 = 0 (1)
H ớng dẫn:
Cách 1: Chia cả hai vế cho x

2


0 và đặt x +
2
x
= t
Cách 2: Nhân cả 2 vế với x

0 ta có (x - 1)
5
- (x - 1) = 0
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = {2; 1}
B i toán 37 : Giải phơng trình (x
2
+ 2x + 4)(y
2
- 2y + 3) = - z
2
+ 4z + 2 (1)
H ớng dẫn:
(1)

(x
2
+ 2x + 4)(y
2
- 2y + 3)

6 với mọi x; y.

Dấu ''=" xảy ra khi và chỉ khi x = - 1; y = 1
- z
2
+ 4z + 2

6 với mọi z. Dấu ''=" xảy ra khi và chỉ khi z = 2
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = {(- 1; 1; 2)}

B i toán 38 : Tìm nghiệm nguyên của phơng trình x
2
- y
2
+ 2y = 1994 (1)
H ớng dẫn:
(1)

x
2
- (y - 1)
2
= 1993

(x - y + 1)(x + y - 1) = 1993
GV: Trần Văn Nội Tr ờng THCS Thọ Lộc
23


+ =

+ =



+ =



+ =



+ =




+ =


+ =




+ =


x y 1 1

x y 1 1993
x y 1 1
x y 1 1993
x y 1 1993
x y 1 1
x y 1 1993
x y 1 1
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm nguyên là
S = {(997; 997); (-997; 997); (997; -995); (-997; -995)}
B i toán 39 : Giải phơng trình a)
x 1 x 1+ =
(1)
b)
123
2
=+
xxx
H ớng dẫn:
a) (1)


Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = {3}
b) PT




=++

01

)1(23
22
x
xxx




=

1
1
x
x
1
=
x
B i toán 40 : Giải phơng trình
x 3 5 x 2+ =
(1)
H ớng dẫn:
ĐKXĐ: x

2
(1)


x 3 x 2 5+ + =
Bình phơng 2 vế (không âm) ta có
2

x x 6+
= 12 - x
2 2
x 12
x x 6 144 24x x




+ = +



x = 6 (Thoả mãn ĐKXĐ)
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = {6}
B i toán 41 : Giải phơng trình

1 1 1
x 3 x 2 x 2 x 1 x 1 x
+ +
+ + + + + + + +
= 1 (1)
H ớng dẫn:
ĐKXĐ: x

0
(1)


GV: Trần Văn Nội Tr ờng THCS Thọ Lộc

24
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = {1}
B i toán 42 : Giải phơng trình
x 1 x 7 12 x+ =
(1)
H ớng dẫn:
ĐKXĐ: 7

x

12
(1)


x 1 12 x x 7+ = +
Bình phơng hai vế (không âm) ta đợc
2
2 x 19x 84 x 4 + =
Bình phơng hai vế (không âm) ta đợc 5x
2
- 84 x + 352 = 0

x = ; x = 8 (thoả mãn ĐKXĐ)
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = {; 8}
B i toán 43 : Giải phơng trình (1)
H ớng dẫn:
(1)


3 3

( x) ( 4 x)
4
x 4 x
x 4 x 0
+
=
+
=
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = {0; 4}
B i toán 44 ( Thi chuyên tin vòng 1 năm học1995 - 1996):
Giải phơng trình x + = 3 (1)
H ớng dẫn:
(1)

()
3
= 3 - x

9 - x
3
= 27 - 27x + 9x
2
- x
3

9x
2
- 27x + 18 = 0

x

2
- 3x + 2 = 0

x = 1; x = 2
B i toán 45 : Giải phơng trình x + - 4 (
1
x
x
+
) + 6 = 0 (1)
H ớng dẫn:
ĐKXĐ: x > 0. (1)

(
1
x
x
+
)
2
- 4 (
1
x
x
+
) + 4 = 0

(
1
x

x
+
- 2)
2
= 0

x = 1
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = {1}
B i toán 46 : Giải phơng trình
( )
1
x y 1 z 2 x y z
2
+ + = + + (1)
H ớng dẫn:
GV: Trần Văn Nội Tr ờng THCS Thọ Lộc
25