on thi lop 12
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (516.81 KB, 67 trang )
Chuyên đề : khảo sát hàm số và các bài toán có
liên quan.
Bài 1 :Cho hàm số
2
1
1
x mx
y
x
+ −
=
+
có đồ thò
( )
m
C
, m là tham số.
a.Đònh m để hàm số đạt cực đại tại
3x = −
.
b.Tìm các giá trò của m để đường thẳng d:y=m cắt
( )
m
C
tại hai điểm A và B sao cho
0AB∆
vuông tại gốc toạ độ 0.
c.ks và vẽ đồ thò (C) của hàm số khi m=-1.
d. Tìm những điểm trên đồ thò (C) có tọa độ nguyên.
e. Tính dthp giới hạn bởi (C) ,TCX của (C),trục Oy và đt x=2.
Bài 2 : Cho hàm số
1
2
m
y x
x
= − + +
−
có đồ thò
( )
m
C
, m là tham số.
a.Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số khi m=1.
b. Tìm m để
( )
m
C
đạt cực đại tại điểm A sao cho tiếp tuyến với
( )
m
C
tại A cắt trục Oy
tại B mà
0AB∆
vuông cân.
Bài 3: Cho hàm số
2
(3 10) 2 1
2
x k x k
y
x
− − + +
=
−
(C
k
)
A. Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số với
4k =
.
B.Tìm các giá trò của m để đt d :
( 5) 10y m x= − +
cắt (C) tại 2 điểm phân biệt M,N
nhận A(5;10) làm trung điểm.
C.Viết pt tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x=5.
D. Viết pt tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua B(4;4).
E. Viết pt tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đt
∆
:8y-x+3=0.
F. Viết pt tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đt: 5x+4y-1=0.
G. Chứng minh rằng đồ thò (C) nhận giao điểm của hai đường tiệm cận làm tâm đối
xứng.
H. Tìm những điểm nằm trên đồ thò (C) có tổng các khoảng cách đến hai đường
tiệm cận là nhỏ nhất.
I. Tìm toạ độ hai điểm T ; R trên đồ thò (C) và đối xứng nhau qua đường thẳng :
x+y+4 = 0.
J. Tìm toạ độ hai điểm E ; F trên đồ thò (C) và đối xứng nhau qua điểm K(1;
17
8
).
K. Tìm các giá trò của m để pt
2
2
2 9
4 3
2
x x
m m m
x
− +
= + + +
−
có 4 nghiệm phân biệt.
K
’
. Tìm các giá trò của m để pt
2
2
2 9
1
2 2 2
x x
m
x m
− +
−
=
− +
có đúng hai nghiệm phân biệt.
L . Tìm các giá trò của m để pt
2
2 9
3 2
2
x x
m
x
− +
= −
−
có đúng một nghiệm trên đoạn
[-2; 0].
M.Tìm các giá trò của m để pt
2 2
2 9 ( 2 11)( 2)x x m m x− + = − + + −
có hai nghiệm dương
phân biệt.
N.Đònh các giá trò của m để đt :
2y m x= −
cắt (C) tại hai điểm phân biệt, tìm tập hợp
các trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó khi m thay đổi.
O.Xác đònh hệ số góc k của đường thẳng đi qua điểm J(4;9) và cắt (C) tại hai điểm
thuộc hai nhánh khác nhau .
P.Tính dthp giới hạn bởi (C),trục Oy và tiếp tuyến của (C) đi qua giao điểm của trục
Ox và tiệm cận đứng của (C).
Q.Tìm các giá trò của k để hàm số có cực đại và cực tiểu,tìm GTLN và GTNN của
đại lượng
2 2
cd ct
y y+
.
R. Tìm các giá trò của k để hàm số có cực đại và cực tiểu và khoảng cách của chúng
bằng 5.
S. Tìm các giá trò của k để đường thẳng nối hai điểm cực trò của (C
k
) tạo với hai trục
toạ độ một tam giác có diện tích bằng 1.
T.Tìm các giá trò của k để hàm số có cực trò tại các điểm C và D sao cho đoạn thẳng
CD nhận điểm I(2;3) làm trung điểm.
U. Tìm các giá trò của k sao cho qua điểm G(0;1) không có đường thẳng nào tiếp
xúc với (C
k
).
V. Tìm các giá trò của k sao cho(C
k
) cắt Ox tại hai điểm phân biệt và tiếp tuyến tại
hai điểm đó vuông góc với nhau.
X. Chứng minh rằng(C
k
) luôn đi qua một điểm cố đònh với mọi giá trò của k. Viết pt
tiếp tuyến của (C
k
) tại điểm cố đònh đó.
Y. Tìm các giá trò của k để góc tạo bởi hai đường tiệm cận của (C
k
) bằng
4
π
.
Z. Tìm các giá trò của k để TCX của (C
k
) tạo với hai trục toạ độ một tam giác có
diện tích bằng 18.
Bài 4:cho hàm số
3 2
2 3( 1) 6( 2) 4y x m x m x= + − + − +
( )
m
C
a. Chứng minh rằng(C
m
) luôn đi qua hai điểm cố đònh với mọi giá trò của m. Viết pt
tiếp tuyến của (C
m
) tại điểm cố đònh đó.
b.Xác đònh giá trò của m để
( )
m
C
có hai cực trò và đường thẳng nối hai điểm cực trò
vuông góc với đt d:
2009y x= +
.
c. Tìm các giá trò của m sao cho(C
m
) tiếp xúc với trục Ox.
GV : Vũ Thanh Tú, THPT Nguyễn Trân Năm học 2008-2009
2
d.Đònh các giá trò của m để hàm số đạt cực đại tại
0x
=
.
e. Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số với m=2.
f. Tìm các giá trò của m sao cho pt:
3 2
2 3 4 ln( 2) 0x x m+ + − + =
có nhiều nghiệm nhất.
g. Tính dthp giới hạn bởi (C),trục Ox và đt x=1.
Bài 5:cho hàm số
2
( 1)[ (2 1) 2 3 ]y x x m x m= − − − + −
,với m là tham số,có đồ thò là (C
m
).
a. Đònh các giá trò của m sao cho (C
m
) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt.
b. Tìm các giá trò của m sao cho (C
m
) nhận điểm I( 2;-13 )làm điểm uốn.
c. Tìm m để đường thẳng d:
1y x= −
cắt (C
m
)tại ba điểm phân biệt A(1;0),B,C sao
cho độ dài
3 2BC =
.
d. Ks và vẽ đồ thò (C) của hàm số khi m =0.
e. Từ đồ thò (C) hãy suy ra đồ thò hàm số
2
1 ( 2)y x x x= − + +
.
Bài 6: Cho hàm số
3 2
3 3 3 4y x x mx m= − + + +
(C
m
).
a.Ks và vẽ đồ thò (C) của hàm số khi m =0. Từ đó xác đònh k để phương trình sau có
ba nghiệm phân biệt :
3 2 3 2
3 3x x k k− = −
.
b. Tìm điều kiện của m để trên (C
m
) có cặp điểm đối xứng nhau qua gốc toạ độ.
c. Tìm các giá trò của m sao cho pt:
2
2 ( 3 2) log 0x x x m− − + + =
vô nghiệm.
Bài 7: Cho hàm số
3
3 1y x x= − + −
.
a. Ks và vẽ đồ thò (C) của hàm số.
b. Xác đònh m để đt :
2 3y mx m= − −
cắt (C) tại ba điểm phân biệt, trong đó có đúng
hai điểm có hoành độ dương.
c. Tìm các giá trò của m sao cho pt
3
3 2 2 0
m
x x− + − + =
có 4 nghiệm dương phân biệt.
d. Tìm các giá trò của m sao cho pt
3
3 1 2ln( 2) 0x x m− + − − + =
có 6 nghiệm phân biệt.
Bài 8: cho hàm số
3 2 2 3
4 12 3(4 1) 4 3 1.y x mx m x m m= − + − − + +
a. Ks và vẽ đồ thò (C) của hàm số khi m=1.
b. Chứng minh rằng với mọi m hàm số luôn có hai điểm cực trò , đồng thời khoảng
cách giữa hai điểm đó không phụ thuộc vào m.
Bài 9: Cho hàm số
4 2
2 3y x x= − −
a. Ks và vẽ đồ thò (C) của hàm số.
b.Xác đònh m để đt : y =m cắt (C) tại bốn điểm A,B,C,D thoả mãn AB=BC=CD.
c. Viết pt tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua A(2; 5).
d. Viết pt tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với d:
24 2 0y x+ + =
.
e. Lấy điểm M trên (C) ,có hoành độ a và
∆
là tiếp tuyến với (C) tại điểm M. Xác
đònh a để
∆
cắt (C) tại một điểm nữa khác M.
Bài 10: Cho hàm số
4 2
2 5y x mx= − +
,có đồ thò (C
m
).
a. Ks và vẽ đồ thò (C) của hàm số khi m=3.
b.Xác đònh m để (C
m
) có ba cực trò là ba đỉnh của một tam giác đều.
GV : Vũ Thanh Tú, THPT Nguyễn Trân Năm học 2008-2009
3
Bài 11: Cho hàm số
2
(3 1)m x m m
y
x m
+ − +
=
+
, có đồ thò (C
m
),
0m ≠
.
a. Với giá trò nào của m thì tại các giao điểm của (C
m
) với trục hoành , tiếp tuyến
của (C
m
) song song với đt:
10y x= −
. Viết pt tiếp tuyến ấy.
b. Tìm trên đường thẳng
1x
=
những điểm mà không có đường nào của họ (C
m
) đi
qua.
c. Ks và vẽ đồ thò (C) của hàm số khi m=-1.
d. Chứng minh rằng đồ thò (C) nhận giao điểm của hai đường tiệm cận làm tâm đối
xứng.
CMR các tiếp tuyến của (C) đều không đi qua tâm đối xứng đó.
e.Tìm 2 điểm M,N thuộc hai nhánh của đồ thò (C) sao cho độ dài đoạn MN ngắn
nhất.
f.Tìm hai điểm A,B nằm trên (C) đối xứng nhau qua gốc toạ độ.
g. Tìm điểm H nằm trên (C) sao cho độ dài KH ngắn nhất với K(-2;1).
h. Tìm các giá trò của m sao cho pt
2 2
1 2 0
1
x
m
x
+
+ − =
−
có hai nghiệm âm phân biệt.
k. Tìm các giá trò của m sao cho pt
2 2
1 2 0
1
x
m
x
− −
+ − =
−
có hai nghiệm dương phân biệt.
Bài 12: Cho hàm số
2
2 (1 ) 1x m x m
x m
+ − − +
− +
có đồ thò (C
m
),
a . Ks và vẽ đồ thò (C) của hàm số khi m = 1.
b.Xác đònh m để hàm số nghòch biến trên từng khoảng xác đònh của nó.
c. Chứng minh rằng với mọi
1m
≠ −
,(C
m
) luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố đònh
tại một điểm cố đònh.
Bài 13: Cho hàm số
3 2 3
3 1
2 2
y x mx m= − +
có đồ thò (C
m
),
a. Ks và vẽ đồ thò (C) của hàm số khi m = 1.
b. Xác đònh m để đường thẳng d: y = x cắt đồ thò (C
m
) tại 3 điểm phân biệt A,B,C
sao cho AB=BC.
Khảo sát hàm số
Câu 1: Cho hàm số
( )
3
2 1 1y m x mx m= + − + +
1/ Khảo sát hàm số khi m = 1, gọi đồ thò là (C).
2/ Tìm tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất.
3/ Xác đònh m để hàm số có hai điểm cực trò nhỏ hơn 1.
Câu 2: Cho (C
m
):
3 2
4y mx x m= − + −
.
1/ Khảo sát hàm số khi m=1/3, đồ thò là (C) .
GV : Vũ Thanh Tú, THPT Nguyễn Trân Năm học 2008-2009
4
2/ Tìm trên Oy những điểm mà từ đó kẻ được đường thẳng vuông góc với (d):y = -x
+5 và tiếp xúc với (C)
3/ Xác đònh m để (C
m
) chứa hai điểm phân biệt đối xứng qua Oy.
Câu 3: Cho
( )
m
C
:
4 2
4y x x m= − +
1/ Khảo sát hàm số khi m = 3.
2/ Tìm k để pt
( ) ( )
2 2 2 2
4 4x x k k− = −
có bốn nghiêïm phân biệt.
3/Tìm m để
( )
m
C
cắt Ox tại 4 điểm phân biệt. Khi đó xác đònh m sao cho hình phẳng
giới hạn bỡi
( )
m
C
và Ox có diện tích phần phía trên Ox và phía dưới Ox bằng nhau.
Câu 4: Cho hàm số
2 3
3
x
y
x
−
=
−
1/Khảo sát hàm số, đồ thò (C) .
2/ Biện luận theo m số nghiệm của pt
2 3
1
3
x
m
x
−
= +
−
.
3/Tìm điểm M trên Oy từ đó kẻ được đường thẳng có hệ số góc k = 3 tiếp xúc với
(C).
Câu 5: Cho (C) :
2 4
1
x
y
x
− −
=
+
.
1/Khảo sát hàm số.
2/Tìm trên (C) những điểm cách đều hai tiệm cận.
3/Xác đònh m để đường thẳng
( ) : 2 0d x y m− + −
cắt (C) tại hai điểm A, B thoả
5AB =
Câu 6: Cho
( )
C
:
2
2 2
1
x x
y
x
+ +
=
+
.
a) Khảo sát hàm số.
b) Viết pt tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với tiệm cận xiên.
c) Xác đònh m để
( )
: 3 2d y mx m= + −
cắt (C) tại hai điểm phân biệt có hoành độ
dương.
Câu 7: Cho hàm số :
2
1
1
x x
y
x
+ −
=
+
.
a) Khảo sát hàm số, gọi đồ thò là (C) .
b) Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của (C) đi qua giao điểm của hai
tiệm cận.
c) Xác đònh m để đường thẳng y = m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
OA OB
⊥
.
Câu 8: Cho hàm số:
2
6 5
2 1
x x
y
x
− +
=
−
1) Khảo sát hàm số, gọi đồ thò
( )
C
2) Xác đònh k để pt
2
6 5 1 2x x k x− + = −
có 4 nghiệm phân biệt.
GV : Vũ Thanh Tú, THPT Nguyễn Trân Năm học 2008-2009
5
3) Tìm trên
( )
C
điểm M có tổng các khoảng cách từ đó đến hai tiệm cận nhỏ
nhất.
Câu 9: Cho hàm số:
( )
2
1 1x m x m
y
x m
+ + − +
=
−
(1)1. Khảo sát hàm số khi m = 2, gọi đồ thò
là
( )
C
2. Tìm trên Oy các điểm từ đó kẻ được đúng một tiếp tuyến với
( )
C
.
3. Với giá trò nào của m thì hàm số (1) có cực đại, cực tiểu đồng thời giá trò cực đại
và giá trò cực tiểu cùng dấu.
Câu 10: Cho hàm số:
( )
( )
2
2 1 1
1
x m x m
y
m x
+ − + +
=
−
1/ Khảo sát hàm số khi m = 1, gọi đồ
thò là
( )
C
.
2/ Tìm trên Oy những điểm mà từ đó có thể kẻ được ít nhất một đường thẳng
vuông góc với đường thẳng
( )
1
: 1
2
d y x= − +
và tiếp xúc với
( )
C
.
3/ Tìm m để đồ thò của hàm số (1) cắt Ox tại hai điểm phân biệt có hoành độ
dương .
Câu 11: Cho (C) :
2
1
−
+
=
x
x
y
. Tìm điểm M
)(C
∈
để :
1) Tổng khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận nhỏ nhất.
2) Tổng các khoảng cách từ M đến 2 trục tọa độ là nhỏ nhất..
3) Khảo sát hàm số đã cho.
Câu 12: Cho (C) :
1
22
2
−
+−
=
x
xx
y
1) Tìm m để đường thẳng (d) : y = -x + m cắt (C ) tại 2 điểm A, B đối xứng nhau
qua (∆) : y = x+3.
2) Tìm k để trên (C) có hai điểm P, Q thỏa :
=+
=+
kyx
kyx
PP
Chứng minh rằng : P, Q nằm trên cùng một nhánh của (C).
Câu 13: Cho hàm số (C) :
1
63
2
−
+−
=
x
xx
y
1. Khảo sát và vẽ đồ thò (C).
2. Suy ra đồ thò (C’) :
1
63
2
−
+−
=
x
xx
y
.
3. Dùng (C’) biện luận số nghiệm số của phương trình :
( ) ( )
08cos4sin
2
=+−++
ktkt
( )( )
π
;0
∈
t
Câu 14 Cho hàm số
( )
143
23
++=
mxmxy
, m là tham số.
1/Khảo sát hàm số (1) khi
3
1
=
m
, đồ thò (C)
GV : Vũ Thanh Tú, THPT Nguyễn Trân Năm học 2008-2009
6
2/Tìm m để đồ thò hàm số (1) nhận điểm
( )
2;1
−
I
làm điểm uốn.
Câu 15. 1/Khảo sát hàm số
1
22
2
−
+−
=
x
xx
y
2/Giả sử A và B là hai điểm trên đồ thò của hàm số có hoành độ tương ứng là
x
1
, x
2
thỏa mãn hệ thức
2
21
=+ xx
. Chứng minh rằng các tiếp tuyến với đồ
thò tại các điểm A và B song song với nhau.
Câu 16. Cho hàm số
( )
1
1225
2
−
++−−
=
x
mxmx
y
(1)
1) Khảo sát hàm số (1) với m = 1.
2) Tìm m để hàm số (1) có cực trò và khoảng cách giữa hai điểm cực đại, cực
tiểu nhỏ hơn
52
.
Câu 17. Cho hàm số
( ) ( ) ( )
12323
23
mxmxmxy
−+++−=
1. Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số với
2
3
−=
m
.
2. Tìm trên mặt phẳng các điểm cố đònh mà đồ thò hàm số luôn đi qua với mọi m.
3. Tìm m để đồ thò hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập
thành một cấp số cộng theo một thứ tự nào đó.
Câu 18 Cho hàm số
( )
21
24
−+−+=
mxmxy
1. Tìm m để đồ thò hàm số không có điểm chung với trục hoành.
2. Tìm m để trên Ox nó chắn ra ba đoạn thẳng bằng nhau.
3. Biện luận số điểm cực trò của hàm số.
4. Tìm m để có ba cực trò tạo thành tam giác vuông.
Câu 19 Cho hàm số
α
α
sin2
1cos2
2
+
++
=
x
xx
y
1. Xác đònh tiệm cận và tâm đối xứng của đồ thò.
2. Tìm α để hàm số có cực trò.
3. Tìm α để từ gốc tọa độ kẻ được hai tiếp tuyến đến đồ thò. Gọi tọa độ các tiếp điểm
( ) ( )
2211
;; yxvàyx
. Chứng minh
0.
2121
=+
yyxx
.
Câu20 Cho hàm số
1
1
2
−
−+
=
x
xx
y
1. Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số. Tìm các điểm thuộc đồ thò mà khoảng cách
đến trục hoành bằng hai lần khoảng cách đến trục tung.
2. Tìm m để trên đồ thò có hai điểm
( ) ( )
222111
;;; yxMyxM
mà
myxyx
=+=+
2211
. Khi ấy chứng tỏ rằng M
1
, M
2
ở cùng một nhánh của đồ
thò.
3. Tìm k để
2
+−=
kkxy
cắt đồ thò ở hai điểm cùng một nhánh.
Câu 21 Cho hàm số
( )
213
23
+++−=
mxxmxy
1. Chứng minh hàm số đã cho luôn luôn có cực trò.
2. Tìm m để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
2
=
x
.
GV : Vũ Thanh Tú, THPT Nguyễn Trân Năm học 2008-2009
7
3. Khảo sát hàm số khi m = 0.
4. Biện luận theo k số nghiệm của phương trình:
( )
( )
kxxx
=−−−
221
2
Câu 22 Cho hàm số
1
−
+
=
x
bax
y
1. Tìm a, b để đồ thò hàm số đi qua điểm
( )
3;2A
mà tiếp xúc với đường thẳng
72
+−=
xy
.
2. Khảo sát hàm số khi a = b = 1.
3. Tìm tiếp tuyến ở câu 2) song song với
72
+−=
xy
.
4. Cho a = b = 1. Tìm các điểm trên đồ thò có tổng khoảng cách đến các đường
tiệm cận là nhỏ nhất.
Câu 23 Cho hàm số :
( )
121
24
−+−−=
mmxxmy
1. Chứng minh hàm số đi qua hai điểm cố đònh. Tìm các điểm cố đònh đó.
2. Tìm m để đồ thò hàm số tiếp xúc với
22
−=
xy
tại điểm x = 1.
3. Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số khi m = 2. Chứng minh khi đó đồ thò có trục
đối xứng
Câu 24 Cho hàm số
2
45
2
−
+−
=
x
xx
y
1. Khảo sát hàm số.
2. Chứng tỏ đường thẳng
mxy
+−=
luôn cắt ở hia điểm A, B ở hai nhánh.
3. Tìm m để các tiếp tuyến tại A, B ở câu 2 song song với nhau.
4. Tìm cặp điểm trên đồ thò đối xứng nhau qua đường thẳng y = x.
Câu 25 Cho hàm số
ax
axx
y
+
++−
=
2
1. Tìm a để đồ thò hàm số có tiệm cận xiên đi qua điểm
( )
0;2A
.
2. Khảo sát hàm số khi a = 1. Tìm các điểm trên đồ thò này mà cách đều hai
trục tọa độ.
3. Tìm a để đồ thò hàm số cắt đường thẳng
1
−=
xy
tại hai điểm phân biệt có
tung độ là y
1
, y
2
. Tìm một hệ thức liên hệ giữa y
1
và y
2
mà không phụ
thuộc vào a.
Câu 26 Cho hàm số :
1
322
2
+
−++
=
x
mmxx
y
1. Tìm m để hàm số đồng biến trong từng khoảng xác đònh của nó.
2. Với giá trò nào của m thì hàm số có cực trò tại x
1
, x
2
mà
2121
.xxxx
=+
3. Biện luận số tiếp tuyến kẻ qua gốc tọa độ O.
4. Khảo sát hàm số khi m = 7. Tìm các điểm trên Ox mà từ đó kẻ được hai
tiếp tuyến vuông góc với nhau.
Câu 27 Cho hàm số
2
5
3
2
2
4
+−=
x
x
y
;Khảo sát hàm số.
1. Viết phương trình tiếp tuyến (d) tại điểm M với x
M
= a.
GV : Vũ Thanh Tú, THPT Nguyễn Trân Năm học 2008-2009
8
2. Chứng minh rằng hoành độ giao điểm của (d) với đồ thò là các nghiệm của
phương trình :
( )
( )
0632
22
2
=−++−
aaxxax
3. Tìm a đề (d) cắt đồ thò hàm số đã cho tại P, Q khác điểm M. Tìm tập hợp
trung điểm của PQ.
Câu 28 Cho hàm số
( )
mx
mxmx
y
+
−+++
=
112
2
1. Tìm m để:
a) hàm số có cực đại, cực tiểu. Chứng minh
14
++=
mxy
tròcựctròcực
.
b) hàm số có
dấutráiyvày
CTCĐ
.
2. Tìm m để tiệm cận tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng
9(đvdt).
3. Cho
1
−=
m
.
a) Lập phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với trục Oy.
b) Khi nào đường thẳng đi qua điểm
( )
0;1A
có hệ số góc k cắt đồ thò
(C
-1
) ở hai điểm ở hai nhánh.
c) Tìm cặp điểm trên hai nhánh để có khoảng cách giữa chúng là nhỏ nhất.
Câu 29 Cho hàm số
( )
1
41
2
−
+−−+
=
x
mxmx
y
1. Với giá trò nào của m thì hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu?
2. Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số khi m = 1.
3. Đònh sao cho phương trình:
a
x
x
=
−
+
1
3
2
có hai nghiệm phân biệt.
Câu 30 Cho hàm số
3
4
++−=
mmxxy
Tìm m để đồ thò hàm số không có cực đại.
1. Tìm m để đồ thò hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ
lập thành một cấp số cộng.
2. Cho
2
3
=
m
a) Khảo sát hàm số.
b) Chứng minh đồ thò hàm số có hai điểm uốn và tiếp tuyến tại hai điểm
uốn đó vuông góc với nhau.
Câu 31 Cho hàm số
( )
143
23
++=
mxmxy
, m là tham số.
1) Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số (1) khi
3
1
=
m
.
2) Tìm m để đồ thò hàm số (1) nhận điểm
( )
2;1
−
I
làm điểm uốn.
Chuyên đề lượng giác
I.phương trình lượng giác cơ bản,thường gặp(xem lại công thức,nhận dạng pt).
II.phương trình lượng giác khác.
1.Đưa về dạnh tích:nhóm nhân tử chung,phân tích nghiệm…
GV : Vũ Thanh Tú, THPT Nguyễn Trân Năm học 2008-2009
9
Bài tập1: giải các pt sau Bài tập 2 : giải các pt sau
a.
1 cos cos2 cos3 0x x x
+ + + =
a.
cos2 2sin 2 9cos 2sin 5 0x x x x
− + − + =
b.
1 cos cos2 sin sin 2 0x x x x
+ + + + =
b.
2sin 2 2cos sin 3 1 0x x x
+ + − =
c.
1 cos 2cos 2 sin sin 2 0x x x x
+ + + + =
c.
2 3
cos cos 3sin 3 0x x x+ − + =
d.
2
sin 2 cos 0x x+ =
d.
4 6
sin cos cos 2 0x x x+ + =
e.
2sin (1 cos 2 ) sin 2 1 2cosx x x x+ + = +
e.
3 3
sin cos sin 2 sin cosx x x x x+ = + +
.
f.
2
sin sin .cos 1 cos cosx x x x x+ = + +
f.
2
(sin cos ) cos 2 sin 3 0
2 2
x x
x x+ − + =
Bài tập 3:(đặt điều kiện cho pt,kết luận nghiệm trên đường tròn lg)
a.
1 2
tan
sin 2 sin 4
x
x x
+ =
k.
1 1
2sin 3 2cos3
sin cos
x x
x x
− = +
b.
3cot 3tan 4sin 2 0x x x− + =
l.
1 1
sin 2 sin 2cot 2
2sin sin 2
x x x
x x
+ − + =
c.
5
3cot 3tan 2sin 0
sin
x x x
x
− + − =
m.
3
2 2
sin 1
2cos cot 2.
1 cos 2
x
x x
x
+
+ =
−
d.
1
tan cot
sin 4
x x
x
+ =
n.
2
2(sin cos )
1 tan 2
1 cos 4
x x
x
x
−
+ =
+
e.
tan 2 cot 3 cot 5 0x x x
− + =
0.
tan cot 2(sin 2 cos 2 )x x x x+ = +
f.
2
cot 1
cos 4 .cot 2 cos
2cot
x
x x x
x
−
− =
p.
3(cot cos ) 5(tan sin ) 2x x x x− − − =
g.
tan 3cot 4( 3 cos sin ) 0x x x x− + + =
q.
tan 3cot 4( 3 cos sin ) 0x x x x− + + =
h.
2
tan cot 4sin 2
sin 2
x x x
x
− + =
.
2. Nhận dạng dựa vào công thức lượng giác,dạng asinx+bcosx=c,đưa về cùng
một góc…
Bài tập 4: giải các pt sau
a.
3
3sin 5 3 cos15 1 4sin 5x x x− = +
(dùng công thức sin3x=3sinx-4sin
3
x)
b.
3 3
5
cos cos3 sin sin 3
8
x x x x− =
c.
cos3 sin 3(cos sin 3 )x x x x− = −
(đưa về dạng asinx+bcosx=c)
d.
10cos 3cot 4x x
= +
e.
3
4sin 2 3cos 2 5cos(3 ) 0
2
x x x
π
− − + =
f.
4sin 2 3cos 2 3(4sin 1)x x x− = −
g.
cos 2 3sin 1 0x x
+ + =
h.
2 2
cos 2 cos 2 0x x+ − =
k.
cos9 2cos6 2 0x x
− − =
l.
5 8
2cos( )sin( ) cos3 3
2 2
x x
x
π π
+ −
= −
.
3.Dạng chia hai vế cho một lượng sau khi kiểm tra lượng này khác 0.
GV : Vũ Thanh Tú, THPT Nguyễn Trân Năm học 2008-2009
10
Bài 5: Giải các pt sau
a.
sin 3cos 0x x
+ =
(chia hai vế cho
cos 0x
≠
)
b.
2sin 2 3tan 5x x
+ =
( chia hai vế cho
2
cos 0x ≠
)
c.
3 3
sin 3 sin 0x cos x x+ + =
( chia hai vế cho
3
cos 0x ≠
)
d.
2
cos sin 4cos sin 0x x x x− − =
.
e.
2
sin (tan 1) sin (cos sin ) 1 0x x x x x+ − − − =
( chia hai vế cho
2
cos 0x ≠
hoặc nhóm nhân
tử chung).
− + =
3
5)sin 4sin cos 0x x x
4. Dạng ptlg bậc cao: áp dụng công thức hạ bậc, hoặc hằng đẳng thức, đánh giá
đại lượng, phương pháp tổng bình phương…
Bài 6: Giải các pt sau :
a.
2 2 2
sin sin 2 sin 3 2x x x+ + =
,
b.
2 2 2
sin sin 3 3cos 2 0x x x+ − =
,
c.
3 3
3
1 sin cos sin 2
2
x x x+ + =
(áp dụng
3 3 2 2
( ) ( )( )a b a b a ab b+ = + − +
),
d.
4 4 4
9
sin sin ( ) sin ( )
4 4 8
x x x
π π
+ + + − =
,
e.
2
4
4
(2 sin 2 )sin 3
tan 1
cos
x x
x
x
−
+ =
,
Bài 7: Giải các pt sau :
a.
1979 1991
sin cos sin 2 cos 2 1 2x x x x+ + + = +
,( áp dụng
,VT a VP a≤ ≥
thì VT=VP khi
VT a
VP a
=
=
.
b.
2 2
4cos 3tan 2 3 tan 4sin 6x x x x− + + = −
, ( áp dụng
2 2
0
0
0
A
A B
B
=
+ = ⇔
=
)
c.
2
(sin 3 cos ) 5 cos(4 )
3
x x x
π
+ = + +
,
d.
cos7 .sin 2 1x x = −
, e.
5
cos6 sin 2
2
x
x + =
.
Chun đề tích phân
1. Phương pháp đổi biến số:
GV : Vũ Thanh Tú, THPT Nguyễn Trân Năm học 2008-2009
11
1.1 Đổi biến số dạng thuận : nhận dạng
( )
b
a
f x dx
∫
theo
,
[ ( )] ( )
b
a
f u x u x dx
∫
đặt
( )t u x=
. Cụ thể
( osx)sinxdxf c
∫
đặt
os( )t c x=
.
x
( )e dx
x
f e
∫
đặt
x
t e=
;
2
1
(tanx) dx
cos x
f
∫
đặt
tanxt =
;
2
1 1
( )dx.(1 )
x
f x
x
+
∫
m
đặt
1
t x
x
= ±
; … Một số trường hợp khó:
A.Tích phân hàm căn thức
Dạng 1:
ax+b
( , )
cx+d
b
n
a
R x dx
∫
, đặt
ax+b
cx+d
n
t =
Bài 1: Tính các tích phân sau:
a)
1
0
2 1
xdx
x +
∫
b)
2
3
0
1
3 2
x
dx
x
+
+
∫
c)
2
3
0
1
dx
x x+
∫
d)
1
5 3
0
1x x dx−
∫
e)
2
2 2
2
3
1
dx
x x −
∫
f)
ln 2
2
0
1
x
x
e
dx
e +
∫
g)
2
2 2
0
sin 2
os 4sin
x
dx
c x x
π
+
∫
h)
1
ln
1 ln
e
xdx
x x+
∫
Bài 2: Dạng trục căn thức ở mẫu (mẫu có dạng tổng chứa căn thức)
a)
1
3
2
0
1
x dx
x x+ +
∫
b)
1
2
1
1 1
dx
x x
−
+ + +
∫
c)
1
2
3
0
( 4 )
2 8 2
x x dx
x
−
− −
∫
d)
1
0
1
xdx
x+
∫
e)
1
2
0
1
( )
1
x
e dx
x x
−
+
+ +
∫
f)
2
1
2 2
1 2
x dx
x
−
+ +
+ +
∫
g)
1
0
1
1
x
dx
x
−
+
∫
Dạng 2:Hàm
ax+b ax+b
( , , )
cx+d cx+d
b
n m
a
R x dx
∫
đặt
ax+b
cx+d
K
t = với K=BCNNcủa m và n.
Bài 3 : Tính các tích phân sau
a)
0
3
1
1 1
1 1
x
dx
x
−
− +
+ +
∫
b)
0
6 3
1
1 1
1
x x
dx
x x
−
+ + +
+ +
∫
c)
8
3
3
1
(1 )
dx
x x+
∫
d)
4
3
1 1
1 1
x x
dx
x x
+ − −
+ + −
∫
Dạng 3: Hàm
2
( )
(ax+b) Ax
b
a
f x dx
Bx C+ +
∫
phân tích
2
Ax Bx C+ +
theo
2
(ax+b)
, phân
tích tử f (x) theo ( ax +b) sau đó đặt t = ax+b hoặc
1
x
t
=
hoặc
2
Axt Bx C= + +
tùy
vào bài cụ thể.
Bài 4 : Tính các tích phân sau
GV : Vũ Thanh Tú, THPT Nguyễn Trân Năm học 2008-2009
12
a)
1
2
2
1
2
(2 3) 4 12 5
dx
x x x
−
+ + +
∫
b)
0
2
1
(2 1)
( 1) 3 3
x dx
x x x
−
−
− + +
∫
c)
1 2
2 2
1 3
( 1) 2 3
xdx
x x x
−
−
− − + +
∫
B. Tích phân các hàm lượng giác
1. Dạng 1:
m n
sin x. os
b
a
c xdx
∫
tuỳ thuộc vào bậc của m,n.
Nếu m và n chẵn dương ta dùng công thức hạ bậc. Còn m và n chẵn âm ta dựa
vào hệ thức cơ bản và đặt t=tanx hoặc t=cotx.
Nếu hàm lẻ đối với sinx thì ta đặt t=cosx; hàm lẻ đối với cosx ta đặt t=sinx.
Bài 1 : tính các tích phân sau
a)
2
4 3
0
(sin 2cos )x x dx
π
+
∫
b)
2
2
0
cos . os4xx c dx
π
∫
c)
2
5 4
0
cos .sin xx dx
π
∫
d)
2
4 3
0
cos .sin xx dx
π
∫
e)
4
4 4
0
(cos sin ).sin 2x x xdx
π
+
∫
f)
2
2
3
sinx
( )
sinx sin
dx
x
π
π
=
∫
Bài 2: tính các tích phân sau
a)
3
6
6
sin
dx
x
π
π
∫
b)
3
4
6
sin . osx
dx
x c
π
π
∫
c)
6
3
4
6
os
sin
c xdx
x
π
π
∫
d)
3
2
6
os
sin
c xdx
x
π
π
∫
e)
3
8
2 2
8
sin cos
dx
x x
π
π
∫
f )
3
3
6
sin . osx
dx
x c
π
π
∫
g)
3
2 4
6
sin . os x
dx
x c
π
π
∫
h)
3
3
0
os
dx
c x
π
∫
k)
4
3 5
6
sin os
dx
xc x
π
π
∫
l)
4
0
1 t anx
dx
π
+
∫
M .
2
6
0
os
os2
c xdx
c x
π
∫
N.
4
3 3
6
sin cos
dx
x x
π
π
∫
Dạng 2:
(sinx,cosx)dx
b
a
f
∫
; f là hàm số theo sinx và cosx
1. Nếu
( sinx,cosx)= -f(sinx,cosx) thì ta f −
đặt t =cosx
Nếu
(sinx,-cosx)= -f(sinx,cosx) thì ta f
đặt t =sinx
Nếu
( sinx,-cosx)= f(sinx,cosx) thì ta f −
đặt t =tanx hoặc t =cotx.
2. Nếu f là hàm đơn giản đặt
tan
2
x
t =
, khi đó viết
2
2 2
1 2t
cos ;sinx=
1 1+t
t
x
t
−
=
+
3) Liên kết với một tích phân khác : tính I+J và I-J để tìm I.
GV : Vũ Thanh Tú, THPT Nguyễn Trân Năm học 2008-2009
13
4) Đổi biến
t x
π
= −
hoặc
2
t x
π
= −
.
5) Dùng đồng nhất thức: mẫu ở dạng tích và ta tách ra theo từng thừa số.
Bài 1: Tính các tích phân sau
a)
3
2
0
os
4
sin 1
c xdx
x
π
+
∫
b)
2
0
sin3
1 osx
xdx
c
π
+
∫
c)
3
4
4
0
4 os
1 sin
c xdx
x
π
+
∫
d)
2
0
sin 2 osx
1 osx
xc dx
c
π
+
∫
d)
3
6
0
tan
os2x
xdx
c
π
∫
(t=tanx)e)
3
0
tanxdx
sinx+2cosx+2
π
∫
f)
2
2
3
os
(1 osx)
c xdx
c
π
π
−
∫
(
tan
2
x
t =
) g)
2
0
2 osx
dx
c
π
+
∫
h)
4
2 2
0
sin 3cos
dx
x x
π
+
∫
Bài 2: Tính các tích phân sau( dùng cả 3 và 4)
a)
2
3
0
4sin
(sinx osx)
xdx
c
π
+
∫
b)
2
3
0
(5cos 4sin )
(sinx osx)
x x dx
c
π
−
+
∫
c)
8
0
os2
sin2x os2x
c xdx
c
π
+
∫
d)
2
0
sinx 1
xdx
π
+
∫
(
x t
π
= −
) e)
2
0
sin
( )
sin2x 1 2
xdx
theo x t
π
π
= −
+
∫
f)
2
2
0
sin
sinx 2cos
xdx
x
π
+
∫
C.Tích phân hàm hữu tỷ
( )
( )
b
a
P x
dx
Q x
∫
, tuỳ thuộc vào nghiệm của
( )Q x
mà phân tích
theo tích hoặc hằng đẳng thức hoặc phân tích tử theo đạo hàm mẫu với cộng trừ
một lượng thích hợp.
Bài 1: Tính các tích phân sau
a)
2
2
1
2 3
dx
x x− −
∫
b)
8
2
5
2 2
dx
x x− −
∫
c)
2
2
1
2 2
dx
x x− +
∫
d)
2
2
1
( 3)
2 2
x dx
x x
+
− +
∫
Bài 2 : Cho
sinx
( )
sinx+cosx
f x =
Tìm A và B sao cho
osx-sinx
( )
cosx+sinx
c
f x A B= +
và tính
2
0
( )f x dx
π
∫
.
Bài 3: Tìm các số a và b sao cho
2 2
1
( 1)( 1) 1 1
x a bx
x x x x
−
= +
+ + + +
GV : Vũ Thanh Tú, THPT Nguyễn Trân Năm học 2008-2009
14
Từ đó tính
2
2
0
(1 sinx)cosxdx
(1+sinx)(2-cos )x
π
−
∫
( đặt t=sinx).
Bài 4 : Tìm các số A và B sao cho
2 3
( 2)( 3) 2 3
x A B
x x x x
−
= +
− + − +
từ đó tính
2
2
0
(2sinx-3)cosxdx
sin sinx-6x
π
+
∫
; tương tự
4
2 2
0
sin 2xdx
2sin os 2x-11x c
π
+
∫
.
Bài 5: Tìm các số A ;B;C sao cho
2 2
2 3
( 2)( 3) 2 3 ( 3)
x A B C
x x x x x
−
= + +
− + − + +
từ đó tính
2
2
0
(2sinx-3)cosxdx
(sinx-2)(sinx+3)
π
∫
; tương tự
4
2 2
0
sin 2xdx
8sin os 2x-4x c
π
+
∫
.
Bài 6 : Dạng
1 1 1
2 2 2
sinx+b osx+c
a sinx+b osx+c
b
a
a c
dx
c
∫
thì dùng đồng nhất thức phân tích tử theo
A( đạo hàm mẫu)+B(mẫu)+C.
a)
2
0
9sin 2cos
osx-2sinx+1
x x
dx
c
π
−
∫
b)
2
0
2sin 4cos 7
sinx+3 osx+2
x x
dx
c
π
− +
∫
1.2 Đổi biến số dạng nghịch
Tích phân
( )
b
a
f x dx
∫
được đưa về tích phân đơn giản hơn với phép đặt
( )x t
ϕ
=
.
2 2
( , )
b
a
f x x a dx+
∫
đặt
.tanx a t
=
,
( , )
2 2
t
π π
−
∈
.
2
( , )
b
a
f x x a dx+
∫
đặt
2
.tanx a t=
,
( , )
2 2
t
π π
−
∈
2 2
( , )
b
a
f x a x dx−
∫
; đặt
.sinx a t=
,
[ , ]
2 2
t
π π
−
∈
2
( , )
b
a
f x a x dx−
∫
; đặt
2
.sinx a t=
,
[ , ]
2 2
t
π π
−
∈
Bài 1: Tính các tích phân sau
a)
1
3
8
0
3
x dx
x +
∫
b)
2 2
2
0
4
ln
x
x
e dx
e
−
−
∫
c)
3
2
2
1
1 x dx
x
+
∫
d)
1
2 3
3
1
2
(1 )x dx
x
−
∫
Bài 2 : Tính các tích phân sau
GV : Vũ Thanh Tú, THPT Nguyễn Trân Năm học 2008-2009
15
a)
1
2
2
0
x x dx−
∫
(đặt
2
sinx t=
) b)
2
0
( 2)
4
x
x dx
x
−
−
∫
c)
2
2
0
osx
3 os
c dx
c x
π
+
∫
2. Phương pháp tích phân từng phần
Xác định
( )
b
a
f x dx
∫
theo
.
b
a
U dV
∫
và dựa vào
. .
.
b b
b
a
a a
U dV V dU
U V
= −
∫ ∫
Thứ tự ưu tiên của U là Lô-đa-mũ-lượng.
Bài 1 : Tính các tích phân sau
a)
2
0
.sin 2xx dx
π
∫
b)
3
3
1
.logx xdx
∫
c)
1
2
0
( 3 2).
x
x x e dx
−
+ −
∫
d)
2
0
.sin 2x
x
e dx
π
∫
Bài 2 : Tính các tích phân sau
a)
2
4
3
0
os .c x dx
π
∫
b)
3
2
0
sinx
os
x
dx
c x
π
∫
c)
4
2
0
.ln( 9)x x x dx+ +
∫
d)
3
2
2
0
1
x
dx
x +
∫
e)
3
2
0
sinx
os
x
dx
c x
π
+
∫
f)
3
4
sinx. ln(tanx)dx
π
π
∫
g )
0
osx
x
xe c dx
π
∫
( đặt
; osx)
x
u x dv e c= =
h)
1
2
0
2 2
1
x x dx
x
+ +
+
∫
( đặt
1t x= +
sau đó dùng tích phân từng phần).
3. Một số kỹ năng khác như thêm bớt một lượng ( thường áp dụng cho tử của
phân thức) hoặc nhân vào một lượng xác định, nhóm nhân tử chung, chia đa thức
dựa vào bậc của tử không bé hơn bậc mẫu( hàm phân thức).
Bài 1 : Tính các tích phân sau
a)
1
3 3
0
3 1 3( 1) 2
( )
( 1) ( 1)
x x
dx
x x
+ + −
=
+ +
∫
b)
2
2 2 2
1
( )
5 5
dx x
x x x x
=
+ +
∫
c)
1
5
2
0
1
x dx
x +
∫
d)
1
2 2
4 2 2 2
0
1 ( 3) ( 1)
( . )
4 3 2 ( 3)( 1)
dx x x
x x x x
+ − +
=
+ + + +
∫
e)
1
3 3
3 3
0
( 1)
( )
( 1) ( 1)
dx x x
x x x x
+ −
=
+ +
∫
f )
1
2007
2007
2009 2
0
(2 1) 2 1 1
( ( ) . )
( 2) 2 ( 2)
x x
dx
x x x
− −
=
− − −
∫
g)
2
4
3
1
1x dx
x
+
∫
Bài 2 : Tính các tích phân sau
a)
1
2
2
0
2 3
4 5
x x dx
x x
− +
+ +
∫
b)
2
10 2
1
( 1)
dx
x x +
∫
c)
1
2009
2 2010
0
( 1)
x dx
x +
∫
d)
2
2
2 4
1
1 x dx
x x
−
+
∫
GV : Vũ Thanh Tú, THPT Nguyễn Trân Năm học 2008-2009
16
Bài tập tổng hợp
1. Tính các tích phân sau:
a)
2
2
0
4
dx
x x+ −
∫
b)
1
2
2
0
1
1
x
dx
x
−
+
∫
c)
2
5 2
2
1
dx
x x −
∫
d)
1
2
6
2
2
1 x
dx
x
−
∫
e)
1
2
1
2
2
dx
x x x−
∫
f)
1
0
2
x
x dx
x−
∫
( đặt
2
2cos )x t=
g)
1
7
4 2
0
( 1)
x dx
x +
∫
h)
1
2
1
2
8 2
dx
x x
−
+ −
∫
k)
1
2
1
2
( 1) 2 2
dx
x x x+ + +
∫
( đặt
2
2 2t x x= + +
).
2. Tính các tích phân sau:
a)
1
0
6
9 4
x
x x
dx
−
∫
b)
1
0
2
ln
2
x
x dx
x
+
−
∫
c)
2
2
1
1 1
( )
ln ln
e
e
dx
x x
−
∫
d)
2
3 5
1
dx
x x+
∫
e)
4
5
0
tan xdx
π
∫
f)
4
4
0
tan xdx
π
∫
g)
2
0
( osx sinx )c dx
π
−
∫
h)
1
3
0
(3 2)
( 1)
x dx
x x
+
+
∫
4. Tích phân truy hồi : Lập hệ thức giữa
n
I
với
;
k
I k n<
Ví dụ 1 : Cho n là số tự nhiên, lập công thức truy hồi cho
1
0
n x
n
I x e dx=
∫
Đặt
1n n
x x
u x du nx dx
dv e dx v e
−
= =
⇒
= =
thì
1
1
1
1
0
0
n x
n x
n n
I n x e dx e nI
x e
−
−
= − = −
∫
Kết luận
1n n
I e nI
−
= −
.
Bài 1: Cho n là số tự nhiên, lập công thức truy hồi cho
a)
2
n n-1
0
os ( os . osx)
n
I c xdx c x c
π
= =
∫
b)
1
0
1
n
n
I x xdx= −
∫
c)
2
1
2 1
0
(2 1)
n x x
n
I x e dx
+ −
= −
∫
Bài 2: Cho n là số tự nhiên. Tính
1
2
0
(1 )
n
n
I x dx= −
∫
Dùng tích phân từng phần ta được
1
2
2 1
n n
n
I I
n
−
=
+
GV : Vũ Thanh Tú, THPT Nguyễn Trân Năm học 2008-2009
17
Ta cú
1
0
0
1I dx= =
v theo cụng thc truy hi thỡ ta c cỏc tớch phõn thnh phn
1 0 2 1 1
2 4 2
; ,...,
3 5 2 1
n n
n
I I I I I I
n
= = =
+
.
Vy
2.4.6.2
3.5.7.(2 1)
n
n
I
n
=
+
.
Bi 3 : Tớnh
n
2
n
0
os
os sin
n
c x
dx
c x x
+
( khụng phi truy hi, t
2
x t
=
v tớnh I+J).
5. Bt ng thc v gii hn ca tớch phõn.
chng minh
( )
b
a
A f x dx B
( hoc tớnh
lim ( )
b
x c
a
f x dx
)ta tỡm cỏch ỏnh giỏ
( )f x
trờn on [a,b] hoc tỡm GTLN v GTNN ca
( )f x
trờn on [a,b] sau ú ly
tớch phõn cỏc v (hoc
lim ( )
b
x c
a
f x dx
da vo cỏc quy tc ca gii hn , c bit l
gii hn kp).
Bi 1: Chng minh rng 1, 0
x
e x x> + ; t ú chng minh rng
2
1
1
1
0
4
4
x
e dx
+
+
>
.
Bi 2 : chng minh rng
1
2
0
8 8
dx
x x
<
+ +
( da vo
2 2
1 1
, [0,1]
2 2(1 )
x
x x x
+ + +
).
Bi 3:
Chng minh rng
3
1
1
1 2 4
x
dx
v
11
7
54 2 ( 7 11 ) 108x x dx
+ +
.
Bi 4 : Chng minh
1
0
lim sin 0, ( 0 sin )
n n n
x
x x n N do x x x
=
.
Bi 5: Cho
ln10
3
2
x
x
a
e
I dx
e
=
vi
ln2b >
. Tỡm
ln 2
lim
a
I
.Bi 6 : Cho
1
0
1
nx
n
x
e
I dx
e
=
+
vi
n N
a) Tớnh
1
I
b) Chng minh rng
1
1 1
(1 )
n n
n
I I
n e
+
+ =
c) Tớnh
lim
n
n
I
.
Bi 7 :Cmr
3
6
3 sinx 1
4 x 2
dx
v
1
4
4
0
2
1( 1 1 2, [0,1])
2
1
dx
do x x
x
+
+
.
TCH PHAN VAỉ ệNG DUẽNG
GV : V Thanh Tỳ, THPT Nguyn Trõn Nm hc 2008-2009
18
TÓM TẮT GIÁO KHOA
I. Bảng tính nguyên hàm cơ bản:
Bảng 1 Bảng 2
Hàm số f(x) Họ nguyên hàm
F(x)+C
Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C
a ( hằng
số)
ax + C
x
α
1
1
x
C
α
α
+
+
+
( )ax b
α
+
a
1
1
( )
1
ax b
C
α
α
+
+
+
+
1
x
ln x C+
1
ax b+
1
ln ax b C
a
+ +
x
a
ln
x
a
C
a
+
x
e
x
e C+
ax b
e
+
1
ax b
e C
a
+
+
sinx -cosx + C sin(ax+b)
1
cos( )ax b C
a
− + +
cosx Sinx + C cos(ax+b)
1
sin( )ax b C
a
+ +
2
1
cos x
tgx + C
2
1
cos ( )ax b+
1
( )tg ax b C
a
+ +
2
1
sin x
-cotgx + C
2
1
sin ( )ax b+
1
cot ( )g ax b C
a
− + +
'
( )
( )
u x
u x
ln ( )u x C+
2 2
1
x a−
1
ln
2
x a
C
a x a
−
+
+
tgx
ln cos x C− +
2 2
1
x a+
2 2
ln x x a C+ + +
cotgx
ln sin x C+
•
• bài 1 : Tính các tích phân sau:
GV : Vũ Thanh Tú, THPT Nguyễn Trân Năm học 2008-2009
19
1)
1
3
0
x
dx
(2x 1)+
∫
2)
1
0
x
dx
2x 1+
∫
3)
1
0
x 1 xdx−
∫
4)
1
2
0
4x 11
dx
x 5x 6
+
+ +
∫
5)
1
2
0
2x 5
dx
x 4x 4
−
− +
∫
6)
3
3
2
0
x
dx
x 2x 1+ +
∫
7)
6
6 6
0
(sin x cos x)dx
π
+
∫
8)
3
2
0
4sin x
dx
1 cosx
π
+
∫
9)
4
2
0
1 sin2x
dx
cos x
π
+
∫
10)
2
4
0
cos 2xdx
π
∫
11)
2
6
1 sin2x cos2x
dx
sinx cosx
π
π
+ +
+
∫
12)
1
x
0
1
dx
e 1+
∫
.
13)
dxxx )sin(cos
4
0
44
∫
−
π
14)
∫
+
4
0
2sin21
2cos
π
dx
x
x
15)
∫
+
2
0
13cos2
3sin
π
dx
x
x
16)
∫
−
2
0
sin25
cos
π
dx
x
x
17)
∫
−+
−
0
2
2
32
4
dx
xx
18)
∫
++
−
1
1
2
52xx
dx
Bài 2:
1)
3
2
3
x 1dx
−
−
∫
2)
4
2
1
x 3x 2dx
−
− +
∫
3)
5
3
( x 2 x 2 )dx
−
+ − −
∫
4)
2
2
2
1
2
1
x 2dx
x
+ −
∫
5)
3
x
0
2 4dx−
∫
6)
0
1 cos2xdx
π
+
∫
7)
2
0
1 sinxdx
π
+
∫
8)
dxxx
∫
−
2
0
2
Bài 3:
1) Tìm các hằng số A,B để hàm số
f(x) Asin x B= π +
thỏa mãn đồng thời các điều kiện
'
f (1) 2=
và
2
0
f(x)dx 4=
∫
2) Tìm các giá trò của hằng số a để có đẳng thức :
2
2 3
0
[a (4 4a)x 4x ]dx 12+ − + =
∫
I. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ :
1) DẠNG 1:Tính I =
b
'
a
f[u(x)].u (x)dx
∫
bằng cách đặt t = u(x)
Công thức đổi biến số dạng 1:
[ ]
∫
=
∫
)(
)(
)()('.)(
bu
au
b
a
dttfdxxuxuf
Cách thực hiện:
Bước 1: Đặt
dxxudtxut )()(
'
=⇒=
GV : Vũ Thanh Tú, THPT Nguyễn Trân Năm học 2008-2009
20
Bước 2: Đổi cận :
)(
)(
aut
but
ax
bx
=
=
⇒
=
=
Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được
[ ]
∫
=
∫
=
)(
)(
)()('.)(
bu
au
b
a
dttfdxxuxufI
(tiếp tục tính tích phân mới)
Tính các tích phân sau:
1)
2
3 2
0
cos xsin xdx
π
∫
2)
2
5
0
cos xdx
π
∫
3)
4
2
0
sin4x
dx
1 cos x
π
+
∫
4)
1
3 2
0
x 1 x dx−
∫
5)
2
2 3
0
sin2x(1 sin x) dx
π
+
∫
6)
4
4
0
1
dx
cos x
π
∫
7)
e
1
1 ln x
dx
x
+
∫
8)
4
0
1
dx
cosx
π
∫
9)
e
2
1
1 ln x
dx
x
+
∫
10)
1
5 3 6
0
x (1 x ) dx−
∫
11)
6
2
0
cosx
dx
6 5sinx sin x
π
− +
∫
12)
3
4
0
tg x
dx
cos2x
∫
13)
4
0
cos sin
3 sin2
x x
dx
x
π
+
+
∫
14)
∫
+
2
0
22
sin4cos
2sin
π
dx
xx
x
15)
∫
−+
−
5ln
3ln
32
xx
ee
dx
16)
∫
+
2
0
2
)sin2(
2sin
π
dx
x
x
17)
∫
3
4
2sin
)ln(
π
π
dx
x
tgx
18)
∫
−
4
0
8
)1(
π
dxxtg
19)
∫
+
−
2
4
2sin1
cossin
π
π
dx
x
xx
20)
∫
+
+
2
0
cos31
sin2sin
π
dx
x
xx
21)
∫
+
2
0
cos1
cos2sin
π
dx
x
xx
22)
∫
+
2
0
sin
cos)cos(
π
xdxxe
x
23)
∫
−+
2
1
11
dx
x
x
24)
∫
+
e
dx
x
xx
1
lnln31
25)
∫
+
−
4
0
2
2sin1
sin21
π
dx
x
x
2) DẠNG 2: Tính I =
b
a
f(x)dx
∫
bằng cách đặt x =
(t)ϕ
Công thức đổi biến số dạng 2:
[ ]
∫
=
∫
=
β
α
ϕϕ
dtttfdxxfI
b
a
)(')()(
Cách thực hiện:
GV : Vũ Thanh Tú, THPT Nguyễn Trân Năm học 2008-2009
21
Bước 1: Đặt
dttdxtx )()(
'
ϕϕ
=⇒=
Bước 2: Đổi cận :
α
β
=
=
⇒
=
=
t
t
ax
bx
Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được
[ ]
∫
=
∫
=
β
α
ϕϕ
dtttfdxxfI
b
a
)(')()(
(tiếp tục tính tích phân mới)
Tính các tích phân sau:
1)
1
2
0
1 x dx−
∫
2)
1
2
0
1
dx
1 x+
∫
3)
1
2
0
1
dx
4 x−
∫
4)
1
2
0
1
dx
x x 1− +
∫
5)
1
4 2
0
x
dx
x x 1+ +
∫
6)
2
0
1
1 cos sin
dx
x x
π
+ +
∫
7)
2
2
2
2
0
x
dx
1 x−
∫
8)
2
2 2
1
x 4 x dx−
∫
9)
2
3
2
2
1
dx
x x 1−
∫
10)
3
2
2
1
9 3x
dx
x
+
∫
11)
1
5
0
1
(1 )
x
dx
x
−
+
∫
12)
2
2
2
3
1
1
dx
x x −
∫
13)
2
0
cos
7 cos2
x
dx
x
π
+
∫
14)
1
4
6
0
1
1
x
dx
x
+
+
∫
15)
2
0
cos
1 cos
x
dx
x
π
+
∫
17)
∫
++
1
0
311 x
dx
18)
∫
−
−
2
1
5
1
dx
x
xx
16)
∫
++
−
0
1
2
22xx
dx
II. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
Công thức tích phân từng phần:
[ ]
∫ ∫
−=
b
a
b
a
b
a
dxxuxvxvxudxxvxu )(').()().()(').(
Hay:
[ ]
∫ ∫
−=
b
a
b
a
b
a
vduvuudv .
Cách thực hiện:
GV : Vũ Thanh Tú, THPT Nguyễn Trân Năm học 2008-2009
22
Bước 1: Đặt
)(
)('
)('
)(
xvv
dxxudu
dxxvdv
xuu
=
=
⇒
=
=
Bước 2: Thay vào công thức tích phân từng từng phần :
[ ]
∫ ∫
−=
b
a
b
a
b
a
vduvuudv .
Bước 3 : Tính
[ ]
b
a
vu.
và
∫
b
a
vdu
Tính các tích phân sau:
1)
2
5
1
lnx
dx
x
∫
2)
2
2
0
xcos xdx
π
∫
3)
1
x
0
e sinxdx
∫
4)
2
0
sin xdx
π
∫
5)
e
2
1
xln xdx
∫
6)
3
2
0
x sinx
dx
cos x
π
+
∫
7)
2
0
xsinxcos xdx
π
∫
8)
4
2
0
x(2cos x 1)dx
π
−
∫
9)
2
2
1
ln(1 x)
dx
x
+
∫
10)
1
2 2x
0
(x 1) e dx+
∫
11)
e
2
1
(x lnx) dx
∫
12)
2
0
cosx.ln(1 cosx)dx
π
+
∫
13)
2
1
ln
( 1)
e
e
x
dx
x +
∫
14)
1
2
0
xtg xdx
∫
15)
∫
−
1
0
2
)2( dxex
x
16)
∫
+
1
0
2
)1ln( dxxx
17)
∫
e
dx
x
x
1
ln
18)
∫
+
2
0
3
sin)cos(
π
xdxxx
19)
∫
++
2
0
)1ln()72( dxxx
20)
∫
−
3
2
2
)ln( dxxx
MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍCH PHÂN QUAN TRỌNG VÀ ỨNG DỤNG
Bài 1: 1) CMR nếu f(x) lẻ và liên tục trên [-a;a] (a>0) thì :
a
a
f(x)dx 0
−
=
∫
2) CMR nếu f(x) chẵn và liên tục trên [-a;a] (a>0) thì :
a a
a 0
f(x)dx 2 f(x)dx
−
=
∫ ∫
Bài 2: 1) CMR nếu f(t) là một hàm số liên tục trên đọan [0,1] thì:
a)
2 2
0 0
f(sinx)dx f(cosx)dx
π π
=
∫ ∫
b)
0 0
xf(sinx)dx f(sinx)dx
2
π π
π
=
∫ ∫
GV : Vũ Thanh Tú, THPT Nguyễn Trân Năm học 2008-2009
23
ÁP DỤNG: Tính các tích phân sau:
1)
n
2
+
n n
0
cos x
dx với n Z
cos x sin x
π
∈
+
∫
2)
4
2
4 4
0
cos x
dx
cos x sin x
π
+
∫
3)
6
2
6 6
0
sin x
dx
sin x cos x
π
+
∫
4)
5
0
xsin xdx
π
∫
5)
2
2
2
4 sin
x cosx
dx
x
π
π
−
+
−
∫
6)
1
4
2
1
sin
1
x x
dx
x
−
+
+
∫
7)
2
0
xsinx
dx
4 cos x
π
−
∫
8)
4 3
0
cos sinx x xdx
π
∫
Bài 3:CMR nếu f(x) liên tục và chẵn trên R thì
+
0
( )
( ) với R và a > 0
1
x
f x
dx f x dx
a
α α
α
α
−
= ∈
+
∫ ∫
;
a 1≠
ÁP DỤNG : Tính các tích phân sau:
1)
1
4
1
2 1
x
x
dx
−
+
∫
2)
1
2
1
1
1 2
x
x
dx
−
−
+
∫
3)
2
sin
3 1
x
x
dx
π
π
−
+
∫
III .ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG :
Công thức:
( ) ( )
b
a
S dy
f y g y
=
−
∫
Tính diện tích của các hình phẳng sau:
GV : Vũ Thanh Tú, THPT Nguyễn Trân Năm học 2008-2009
24
=∆
=∆
=
=
bx
ax
xgyC
xfyC
H
:
:
)(:)(
)(:)(
:)(
2
1
2
1
=∆
=∆
=
=
by
ay
ygxC
yfxC
H
:
:
)(:)(
)(:)(
:)(
2
1
2
1
x
y
)(H
a
b
)(:)(
1
xfyC
=
)(:)(
2
xgyC
=
ax
=
bx
=
O
x
y
)(H
a
b
)(:)(
1
yfxC
=
)(:)(
2
ygxC
=
ay
=
by
=
O
( ) ( )
b
a
S dx
f x g x
=
−
∫
1) (H
1
):
2
2
x
y 4
4
x
y
4 2
= −
=
2) (H
2
) :
2
y x 4x 3
y x 3
= − +
= +
3) (H
3
):
3x 1
y
x 1
y 0
x 0
− −
=
−
=
=
4) (H
4
):
2
2
y x
x y
=
= −
5) (H
5
):
2
y x
y 2 x
=
= −
6) (H
6
):
2
y x 5 0
x y 3 0
+ − =
+ − =
7) (H
7
):
lnx
y
2 x
y 0
x e
x 1
=
=
=
=
8) (H
8
) :
2
2
y x 2x
y x 4x
= −
= − +
9) (H
9
):
2
3 3
y x x
2 2
y x
= + −
=
10) (H
10
):
2
y 2y x 0
x y 0
− + =
+ =
11)
−=
=
)(
2:)(
:)(
Ox
xyd
xyC
12)
=∆
=
=
1:)(
2:)(
:)(
x
yd
eyC
x
IV. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY.
Công thức:
[ ]
dxxfV
b
a
2
)(
∫
=
π
[ ]
dyyfV
b
a
2
)(
∫
=
π
Bài 1: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : x
2
+ x - 5 = 0 ; x + y - 3 = 0
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 2: Cho miền D giới hạn bởi các đường :
y x;y 2 x;y 0= = − =
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Oy
GV : Vũ Thanh Tú, THPT Nguyễn Trân Năm học 2008-2009
25
a
b
0
=
y
)(:)( xfyC
=
b
ax
=
bx
=
x
y
O
b
a
x
y
0
=
x
O
)(:)( yfxC
=
by
=
ay
=
