TOÁN ÔN THI -HÌNH 12

ky niem DaLat1995
GV:BÙI NGỌC LINH

0 0 0
0
Ax By Cz D
d(M ,( ))
2 2 2
A B C
α
+ + +
=
+ +
o
x
y
z
M
0
H
n


Khoảng cách
1-Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho một điểm
M
o
= (x
o

; y
o
; z
o
) và một mặt phẳng (α):
Ax + By + Cz + D = 0
Gọi d(M
o
, (α)) là khoảng cách từ điểm M
o
đến mặt phẳng (α).
Tương tự như cách tính khoảng cách từ một điểm đến một
đường thẳng trong mặt phẳng ta tìm được :

α

2-Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Giả sử điểm M
1
không thuộc ∆. Khi đó hình bình hành M
o
M
1
M
2
M
3

với
                           

                                          
sẽ có diện tích
                           
                                        
Từ đó
                       
                                                            
                        
Khi M
1
∈ ∆ thì H ≡ M
1
nên M
1
H = 0 ; do đó công thức (*) cũng
đúng cho trường hợp M
1
thuộc đường thẳng ∆. Vậy nếu kí hiệu d(M
1
,
∆) là khoảng cách từ một điểm M
1
đến đường thẳng ∆ thì :

0
y
x
z
M
0

M
1
M
2
M
3
H
0 3 1 2
M MM M u= =
uuuuuur uuuuuur
r
0 1
1
0 3
M ,
(*)
M u
S
M H
M M u
 
 
= =
uuuuuur
r
r
0 1
M ,S M u
 
=

 
uuuuuur
r
0 1
1
M ,
( , )
M u
d M
u
 
 
∆ =
uuuuuur
r
r
∆
0 0 0
x-x y-y z-z
:
a b c
∆ = =

3-Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Cho hai đường thẳng ∆ và ∆’ chéo nhau. Đường thẳng ∆ đi qua điểm M
o
, có
vectơ chỉ phương . Đường thẳng ∆’ đi qua điểm M’
o
có vectơ chỉ phương .

Ta hãy tìm khoảng cách giữa ∆ và ∆’. Gọi H là hình hộp
M
0
M
1
M
2
M
3
.M’
0
M’
1
M’
2
M’
3
với
                           
                                                       
Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng ∆ và ∆’ bằng khoảng cách giữa hai
mặt phẳng đáy của hình hộp trên, tức là chiều cao của hình hộp.
Nếu gọi d(∆, ∆’) là khoảng cách giữa hai đường thẳng ∆ và ∆’ thì :
               
                                                                      
                                  
Vậy

u

r
u'
r
0 1
M M u=
uuuuuur
r
0 3
M' ' 'M u=
uuuuuuuur
r
0 1 2 3
0 1 0 3 0 0
0 0
H
M
0 1 0 3
M ,M .M '
[ , '].M '
V
d( , ')
[ , ']
S
[M ,M
M M M
M M M
u u M
u u
M M
 

 
∆ ∆ = = =
uuuuuur uuuuuur uuuuuuuur
uuuuuuur
r r
uuuuuur uuuuuur
r r
0 0
[ , '].M '
d( , ')
[ , ']
u u M
u u
∆ ∆ =
uuuuuuur
r r
r r

0 1 2 3
0 1 0 3 0 0 0 0
H
M
0 1 0 3
[M ,M .M ' [ , '].M '
V
d( , ')
[ , ']
S
[M ,M
M M M

M M M u u M
u u
M M
∆ ∆ = = =
uuuuuur uuuuuur uuuuuuur uuuuuuur
r r
uuuuuur uuuuuur
r r
0 0
[ , '].M '
d( , ')
[ , ']
u u M
u u
∆ ∆ =
uuuuuuur
r r
r r
x
z
y
o
∆
∆’
u

'u

M’
0

M’
3
M’
1
M’
2
M
0
M
3
M
1
M
2
Ố