Đề và giải bài tập đại số tuyến tính

BÀI TẬP VỀ SỐ PHỨC
1. Biểu diễn

5 + 6i 4 + 2i
+
i ;
a) 3 + 2i
(1 + i)(3 + i) (1 − i)(3 − i)
−
3−i
3+i
b)
;
c) (1-2i) (2+i)2 + 5i ,
ở dạng đại số.
2. Tính in, với n nguyên.
3. Thực hiện các phép toán để đưa các biểu thức sau về dạng đại số :
a) (1+2i)6 ;
b) (2+i)7+(2-i)7 ;
c) (1+i)9 : (1-i)7 ;

(1 + 2i) 2 − (1 − i) 3
3
2
d) (3 + 2i) − (2 + i) ;
e) 1 + i + i2 + ... + in .
4. Đưa (x-1-i)(x-1+i)(x+1+i)(x+1-i) về dạng đại số.
5. Giải phương trình x2 + 6x + 25 = 0.
6. Tìm x, y ∈ R sao cho (1+2i)x + (3-5i)y = 1-3i .
7. Giải hệ phương trình với ẩn số thực
(1+i)x + (1+2i)y + (1+3i)z + (1+4i)t = 1+5i ;

(3-i)x + (4-2i)y + (1+i)z + 4it
= 2-i .
8. Giải hệ phương trình với ẩn số phức
(3-i)x + (4+2i)y = 2 + 6i ;
(4+2i)x- (2+3i)y = 5 + 4i .
9. Tìm các số thực x thoả mãn phương trình
4

x +i

 =1
x
−
i


.
10. Tìm các số thực a, b, c sao cho phương trình
(a + 2bi)z3 - (2c - ai)z2 + (b + ci)z - 1 = 0
có nghiệm ±1 và 2.
11. Hãy chia đa thức f(x) = x4 + ix3 - ix2 + x + 1 cho đa thức g(x) = x2 - ix + 1.
12. Đổi các số phức sau đây thành dạng lượng giác :
a) 1; b) -1 ; c) i ; d) -i ; e) 1 + i 3 ; f) -1 + i 3 ;


1 + itg ϕ
g) -1 - i 3 ; h) 1 - i 3 ; k) 1 − itg ϕ .
13. Hãy thu gọn

cos α + i sin α

cosβ − i sin β .
1+ 2 3 


 1− i 
25
n

14. Tính : a) (1+i) ; b) ( 3 − i ) ; c) 

(− 1 + i 3 )

15

e)

(1 − i )20

(− 1 − i 3 )
+

20


3 −i
1 −


 24
2

 ;
; d) 

15

(1 + i )20

; f) ( 1 + cosϕ + isinϕ )n.

15. Số phức sau đây có phải là số thực không ?

24


3 −i
1 −



2
 .
z= 
16. Biểu diễn qua sinx và cosx : a) cos5x; b) sin6x.
17. Biểu diễn sin3x dưới dạng đa thức bậc nhất của các hàm số lượng giác của các góc bội.
18. Tính các tổng :
a) 1 + z + z2 + ... + zn-1 với z = cosϕ + isinϕ;
b) sinx + sin2x + ... + sinnx ;
c) 1 + cosx + cos2x + ... + cosnx.
19. Biểu diễn tg6ϕ theo tgϕ.
20. Giải các phương trình :

a) x - x = 1 + 2i ;

b) x + x = 2 + i.

21. Chứng minh rằng nếu z + z-1 = 2cosϕ thì zn + z-n = 2cosnϕ, ∀ n ∈ N.
z1
z1
22. Chứng minh : a) z-1=z-1 ; b) Arg(z-1) = -Arg(z);

c)

z2

=

z2

;

z1
d) Arg( z 2 ) = Arg(z1) - Arg(z2); e) z1 + z2≤ z1 + z2.
23. Cho z1 = 2 + i, z2 = 3 - 2i. Tính


2z 2 + z1 − 5 − i
b)  2z1 − z 2 + 3 − i .

a)3z1 - 4z2;

3
+i
4
24. a) Cho số phức z =
. Tìm số phức x thoả mãn điều kiện :
 x = z −1

Arg ( x ) = −Arg (z) .
b) Cho số phức z = 3 + 4i. Tìm số phức x thoả mãn điều kiện :

x = z −3


π
Arg ( x ) = + Arg (z)

2
.
c) Tìm x , y ∈ C thoả hệ phương trình :

 x + y =1+ i

 x = y −1
Arg ( x ) = − Arg ( y)


.

25. Tìm các căn bậc 3 của 1+i, và 1- 3 i.
26. Tìm các căn bậc n của -1, i, 1-i, và 1+ 3 i.

27. Biết

a + bi = ± ( m + ni ) với a, b, m, n ∈ R. Tính

28. Tính : a)

3 − 4i ;

b)

4+i + 4−i ;

29. Đẳng thức sau đây có đúng khơng

ns

− a − bi và a − bi theo m, n.
1− i
5
c) 1 + i 3 .

zs = n z ?

30. Chứng minh rằng tổng của tất cả các căn bậc n (n > 1 ) của một số phức bất kỳ đều bằng 0.
31. Giải các phương trình :
a) x2 - ( 2 + i )x + ( -1 + 7i ) = 0;
b) x4 - 3x2 + 4 = 0.

32. Chứng minh :

z
a) z + z , z z ∈ R ;

 z2  z2
  =
 z1  z1 .

b)  z  = z ;

c) Arg( z ) = -Arg(z);

-1

d) z =

z

2

;

e)


33. Tìm đa thức với hệ số thực có bậc dương nhỏ nhất nhận 3 + 4i làm nghiệm.
34. Tìm các số phức liên hợp với :
a) Bình phương của chính nó.
b) Lập phương của chính nó.
35. Chứng minh rằng nếu x + yi = ( s + ti )n thì x2 + y2 = ( s2 + t2 )n.
36. Cho số nguyên dương m > 1 và số phức c có mơđun bằng 1. Chứng minh rằng phương trình

m

 1 + ix 

 =c
 1 − ix 

có các nghiệm đều thực.


BÀI TẬP VỀ ĐỊNH THỨC
1. Cho A = ( aij )n×n với aij là số nguyên, thoả mãn điều kiện : aij lẻ nếu i = j, chẵn nếu i ≠
j. Chứng minh rằng det(A) ≠ 0.
2. Cho ma trận A = (aij)∈M(4, R) thoả mãn điều kiện : aij = 0 nếu i = j, aij = ±1 nếu i ≠ j.
Chứng minh rằng det(A) ≠ 0.
3. Định thức thay đổi thế nào nếu ta nhân mỗi phần tử aij với ci-j ( c ≠ 0 ) ?
4. Giả sử
a b c 


A =  d e f  ∈ M(3
g h k 


R).
Chứng minh rằng khơng thể có sáu số hạng của det(A) = aek + bfg + cdh +
(-ceg) + (-afh) + (-bdk) đều dương.
5. Tìm các số hạng của định thức
5x 1 2 3
x x 1 2

1 2 x 3
x 1 2 2x
4
3
mà chứa x và x .
6. Tính các định thức sau bằng định nghĩa :
1
1 ε
2π
2π
1 ε2
a) 1
với ε = cos 3 + isin 3
ε2 ε 1
;
0 0 0 ... 0 1
0 0 0 ...1 0
b)
........................
1 0 0 ... 0 0

;

c)

f (0)

f (1)

f (2) ........f (n )

f (1)

f (2)

f (3) ... f (n + 1)

......................................................

với f(x) = x(x-1)(x-2)...(x-n+1)

f (n ) f (n + 1) f (n + 2) ... f (2n )

;


d)

f (a )

f ' (a )

f '' (a ) ..........f ( n ) (a )

f ' (a )

f '' (a )

f ''' (a ) ........f ( n +1) (a )

.....................................................

với f(x) như trên.

f ( n ) (a ) f ( n +1) (a ) f ( n +2 ) (a ) ... f ( 2 n ) (a )

e)

a 11 a 12

a 13

a 14

a 15

a 21 a 22

a 23

a 24

a 25

a 31

a 32

0

0

0

a 41 a 42

0

0

0

a 51

0

0

0

a 52

7.

Cho

a b c
d e f

= 7. Tính các định thức sau

g h i

a)

a b 4c
d e 4f
g h 4i

b)

a b c+a
d e f +d
g h i+g
g h i
d e f

c)

a b c
a b 2c + a
d e 2f + d
d)

g h 2i + g .
14 7
615

8. Không khai triển, chứng minh rằng ,

210

chia hết cho 3.


9. Biết rằng các số 325, 273, 455 chia hết cho 13. Chứng minh rằng định thức
3 2 5
2 7 3

4 5 5

cũng chia hết cho 13.

10. Giải phương trình
1
1 1... 1
1 1 − x 1... 1
1
1 2 − x... 1
= 0.
...............................
1
1
1... ........
1
1
1... n − x
11. Cho A = ( aij ) ∈ M(n, C) có aij = -aji. Chứng minh rằng det(A) = 0 nếu n lẻ.
12. Định thức thay đổi thế nào nếu ta :
a) viết các hàng theo thứ tự ngược lại ?

b) đổi dấu mọi phần tử của định thức ?
13. Cho ma trận A = ( aij ) ∈ M(n, C) mà các phần tử aij và aji liên hợp với nhau, ( i, j = 1,
..., n ). Chứng minh rằng det(A) là một số thực.
14. Chứng minh rằng :
b1 + c1 c1 + a 1 a 1 + b1
a 1 b1 c1
b 2 + c 2 c 2 + a 2 a 2 + b 2 = 2 a 2 b2 c2

b3 + c3

a)

c3 + a 3

a 3 + b3

a3

b3

c3

a + b ab a 2 + b 2
b + c bc b 2 + c 2
b)
c)
m

c+a

ca

n

s

c +a
2

m2 n 2 s2
ns sm mn

= ( a - b )( b - c)( c - a )( ab + bc + ca );

2

= ( m - n )( n - s )( s - m )( mn + ns + sm );

d)

1

1

a

b

a

3

b

3

1
c
c

= ( a + b + c )( b - a )( c - a )( c - b ).

3

15. Khơng khai triển, tính các định thức :


1)

a2

(a + 1) 2

(a + 2) 2

(a + 3) 2

b2

(b + 1) 2

(b + 2) 2

(b + 3) 2

c2

(c + 1) 2

(c + 2) 2

(c + 3) 2

d2

(d + 1) 2

(d + 2) 2

(d + 3) 2

a
b
c
b+c
2

2)

3)

b

c

c
a
c+a
2

1

a
1
b
1
a+b
1
2

(a 1 + b1 ) 2

a 12 + b12

a 1b1

(a 2 + b 2 )

2

a +b

2
2

a 2b2

2

a +b

2
3

a 3b3

(a 3 + b 3 )

2
2

2
3

sin 2 α cos 2α cos 2 α
sin 2 β cos 2β cos 2 β

4)

sin 2 γ cos 2γ cos 2 γ

16. Tính các định thức :
2 −5
3 −4
4 −9
1), − 3 2

2
1
1
1
4)
a1

7)

1
3
1
1

1
1
4
1

1 1
1 1
1 1
5 1

1 1 1 1

1

0

0 d1

1

0

c1

b2

0 c2

0

d2

0

0 c2

5 1

2 7

7 5

2 5

4 6

3 0

0 2

8 5

5 5

8 7

1 3

4 5

3

− 5 3 ; 2) 4 4

5 6 ; 3) 2 0

a − b − c 2a
2b b − c − a
; 5)
1

0 b1

3−3 −2 −5

4

2c
1
1

1 cos c

1

; 8) 1 cos b cos a

a2

c−a −b

; 6)
1 1

1

cos c cos b
1

( b + c) 2

2a
2b

2c

cos a
1

; 9)

0 3 ;

b2

c2

(c + a ) 2

a2

b2

x1

x2

0
0
cos α sin α

y1

y2

cos β sin β

z1

z2

cos γ

sin γ

c2
(a + b ) 2

;

;


1

1

1

0

0

1 2
0 1
0 x1

3
1
x2

0
1
x3

0
1
x4

2
1

x
10) 0 x
12
22

2

2

3

2
2

x

2

2
3

x

2
4

x ; 11)
3 2 ... n 2

4

2

y 0... 0 0

0 x y... 0 0
.........................
0 0 0... x y

y 0 0... 0 x

2

... (n + 1)

2

n (n + 1) (n + 2) ...(2n − 1)
13)
; 14)
17. Dùng khai triển Laplace chứng minh rằng
a − b − a b = 4( a2
2
2
b
a − b − a + b 2)( c
+d ).
c −d
c −d
2

2

2

2

2
1

3
2

4... n
3... n − 1

3

2

1

2... n − 2

4

3

2

1... n − 3

............................................
; 12) n

n − 1 n − 2 n − 3... 1

x

a1

a 2 ... a n

a1

x

a 2 ... a n

a1

a2

x... a n

2

3
4
5 ... (n + 2) 2
..................................................
2

1
2

........................
a 1 a 2 a 3 ... x

;

.

d
c
d
c
18. Chứng minh rằng nếu tất cả các định thức con cấp k của ma trận vng A đều bằng 0,
thì mọi định thức con cấp lớn hơn ( nếu có ) của A cũng bằng 0.
19. Tính các định thức sau đây bằng cách đưa về dạng tam giác
1 2 3... n − 1 n
1 x1 x 2 ... x n −1 x n
1 2 3... n
1 3 3... n − 1 n
1 x x 2 ... x n −1 x n
− 1 0 3... n
1 2 5... n − 1 n

− 1 − 2 0... n
..........................
1)

− 1 − 2 − 3...0

x a a... a
a x a... a
a a x... a
...................
4)

a

a

a... x

1 x1
; 2)

0... x

x

.........................
1 x
; 5) 1 x

xn

..................................
1 x1 x 2 ... x n −1 x

0 1 1... 1 1
1 0 x... x x
1 x

x ... x n −1

x... 0 x

x... x

a0

a1

................................
1 2 3... 2n − 3 n
; 3) 1 2 3... n − 1 2n − 1 ;

a0

a 2 ... a n

− x1

−x x
0 ... 0
0 − x x ... 0
........................

0 ; 6) 0

0

0... x

; 7)

20. Tính các định thức sau bằng cách sử dụng các quan hệ hồi qui :

a1

a 2 ... a n

x2

a 2 ... a n

0 − x2

x 2 ... a n

........................
0 0 0...
xn

.


0... 0
0... 0

1
0

1 + a1

1 1 a 2 ... 0

0

1

1 0
1 a1

..............................
1 0 0... a n −2 0
1)

1 0

5 3 0 0... 0 0

0... 1 a n −1

..............................

1 ...1

1

1 1 + a 2 1 ...1

1

1 1 + a 3 ...1

1

................................................
1
1
1... 1 + a n −1 1
1

; 2)

2 cos ϕ 1

0

1 2 cos ϕ 1

2 5 3 0... 0 0

1

1

1 ...1

0 ... 0

0

0 ... 0

0

......................................................

1+ a n

;
a 0... 0 b
0 a... b 0

....................
0 b... a 0
b 0... 0 a [2 n ]

0
0
0
0... 1 2 cos ϕ ; 5)
3) 0 0 0 0... 2 5 ; 4)
.
21. Tính các định thức sau bằng cách biểu diễn chúng thành tổng của các định thức :
0 1 1
1... 1 1
x + a1 a 2
a 3 ... a n
x1 a 1 0
0... 0 0

a1

x + a2

a1

a2

a 3 ... a n

x1

a 2 ... a n

x2

x2

a2

0 ... 0 0

x + a 3 ... a n

a1

x 2 ... a n

x3

x3

x3

a 3 ... 0 0

....................
a 1 a 2 ... x n

........................
a1
a2
a 3 ... x + a n

...........................................

x
xn
1)
; 2)
; 3) n
22. Tính các định thức sau bằng cách tách nhân tử bậc nhất
1
2
1
1
2
3
1 1+ x
0 x y z
x 0 z y
y z 0 x

1 2 − x2
2
3

2
1) z y x 0 ; 2)

3

2
1

x n ...x n

an

.

3... n
3... n
1
2 1 + x... n
................................

3
5

1 9 − x2

xn

; 3)

1

2

3... 1 + x

.

23. Giả sử A ∈M(n, R) sao cho A-1 = 3A2. Tính det(A2005 - A).
24. Chứng minh rằng đối với ma trận
a b

A = 
c d 
đẳng thức sau đúng A2 - (a + d)A + (ad - bc)E = O.

25. Giả sử A∈M(2, R). Chứng minh rằng, nếu An = O với số tự nhiên n nào đó thì A2 =
O.
26. Tìm tất cả những ma trận thực, cấp 2, mà bình phương bằng ma trận khơng.
27. Tính các luỹ thừa sau đây


i

 i
a) 
28. Tính các ma trận nghịch đảo của

1 2 


2
5

 ii)
i)
29. Tìm a để ma trận
2 1 0 0 


3 2 0 0 
A= 
1 1 1 1 


 2 −1 0 a 



a b


c d 

n

1 


− i 
, b)

n

2 −1 


3 − 2 ,

1 2 − 3 


0 1 2 
0 0 1 

iii) 

2

3
1


iv)  2

1 0 0 

2 0 0 

1 3 4 

− 1 2 3 

có nghịch đảo.
30. Tìm điều kiện mà ma trận với các phần tử nguyên phải thoả mãn để ma trận nghịch
đảo của nó cũng có các phần tử là nguyên.
31. Giải các phương trình ma trận :
a)  3 − 2   − 1 2 
=
X.  5 − 4   − 5 6 
 3 − 1   5 6  14 16 
 
 .= 

b) 
 5 − 2  .X  7 8   9 10 
.

2 3  1 2 −1 
2

 X

c)  1 − 1 0   0 1 − 2 
 −1 2 1  =  −1 0 1 

 

,

1 − 1 1 
  6 2 −7 
d) 

1 0 − 1 = 

X. 
15
2
−
13


.
1 1 − 2 


HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP VỀ ĐỊNH THỨC
3. Dùng định nghĩa định thức suy ra định thức không thay đổi.
4. Nhân 6 số hạng với nhau.
5. 10x4, -2x3 và -5x3.
n ( n −1)

n ( n +1)

n ( n +1)

2
2

2
6. a) -3. b) (−1)
. c) (n!)
. d) (n!)
. e) 0.
7. a) 28. b) 7. c) -7. d) 14.
8. Cộng tất cả các cột vào cột thứ nhất.
9. Cộng vào cột thứ 3 cột thứ nhất nhân với 100 và cột thứ hai nhân với 10.
10. Đây là đa thức bậc (n-1) nên có đúng (n-1) nghiệm trên C. Khi thay x = i-1 vào cột
thứ i ( i = 0, 1, ..., n-1 ) ta được định thức có hai cột giống nhau, nên x = i-1 ( i = 0, 1, ...,
n-1 ) là nghiệm.
11. det(A) = det(Ac). Đưa thừa số (-1) ở mỗi hàng của Ac ra ngoài, ta có det(Ac) = (1)ndet(A) = -det(A).
n ( n −1)
2
12. a) Định thức được nhân với (−1)
. b) Định thức được nhân với (-1)n.
13. Sử dụng tính chất của liên hợp phức, khi lấy liên hợp khai triển của det(A), ta có
det( A ) = det(Ac) = det(A).

14. a) Tách dần định thức thành tổng theo mỗi cột.
b) Thực hiện : hàng 1 - hàng 2, hàng 2 - hàng 3, rồi rút nhân tử chung, ...
c) Thực hiện : cột 1 - cột 2, cột 2 - cột 3, rồi rút nhân tử chung, ...
d) Thực hiện : hàng 3-a3×hàng 1, hàng 2-a×hàng 1, rồi rút nhân tử chung, ...
15. 1) Nhân cột đầu với (-1), cộng vào các cột sau. Tách dần định thức mới theo cột thứ
2, 3, 4 thành tổng những định thức có các cột tỉ lệ. Đáp số : 0.
2) Cộng cột 2, cột 3 vào cột 1. Rút thừa số chung a+b+c. Đáp số : 0.
3) Nhân cột 3 với 2 rồi cộng vào cột 2. Đáp số : 0.
4) Nhân cột đầu với (-1) rồi cộng vào cột cuối. Đáp số : 0.
16. 1) 4. 2) 90. 3) 10. 4) 394.
5) Cộng hai hàng sau vào hàng một, rút thừa số chung a+b+c. Nhân cột một với (-1) rồi

cộng vào hai cột sau. Đáp số : (a+b+c)3.
6) Nhân hàng cuối với (-1) rồi cộng lần lượt vào hàng 1 và hàng 2. Khai triển định thức
nhận được theo cột 1. Đáp số : 2abc(a+b+c)3.
7) Dùng định lý Laplace. Đáp số : (a1a2 - b1b2)(c1c2 - d1d2).
8) Nhân cột 1 với (-1) rồi cộng vào các cột sau. Rút thừa số chung ra ngoài dấu định thức
a
b
c
rồi khai triển theo cột 1. Đáp số : -16sin2 2 sin2 2 sin2 2 .
9) Dùng định lý Laplace. Đáp số :
(x2 - x1)sin(γ - β) + (y2 - y1)sin(α - γ) + (z2 - z1)sin(β - α).
10 ) Dùng định lý Laplace. Đáp số :
(x4 - x3)[(x3 - x2)(x4 - x2) - 2(x3 - x1)(x4 - x1)].
11) Khai triển định thức theo cột 1. Đáp số : xn - (-1)n+1yn.
12) Hàng thứ i - hàng thứ (i-1), với i ≥ 2. Trong định thức nhận được, cộng cột 1 vào mỗi
cột còn lại. Khai triển định thức nhận được theo cột cuối. Đáp số : (-1)n+1(n+1)2n-2.


13) Cột thứ j - cột thứ (j-1), với j ≥ 2. Trong định thức nhận được, cột thứ j - cột thứ (j-1),
với j ≥ 3. Đáp số : 0, nếu n ≥ 3. -7, nếu n = 2. 1, nếu n = 1.
n

∑a

i

14) Cộng tất cả các cột vào cột đầu, rút thừa số chung x + i =1 ra ngoài dấu định thức.
Nhận xét rằng định thức mới nhận sẽ triệt tiêu nếu ta lần lượt thay x bởi a1, ..., an, tức
định thức chia hết cho x-a1, ..., x-an, mà hệ số của xn+1 trong định thức mới là 1. Vậy đáp
n

∑a

i

số là (x + i =1 )(x-a1)...(x-an).
19. 1) Hàng i + hàng 1, với i ≥ 2. Đáp số : n!
n

∏ (x − x )
i

2) Hàng i - hàng 1, với i ≥ 2. Đáp số : i =1
.
3) Hàng i - hàng 1, với i ≥ 2. Đáp số : (n -1)!.
4) Cộng tất cả các cột vào cột đầu. Rút thừa số chung x+(n-1)a ra ngoài dấu định thức.
Trong định thức mới, hàng i - hàng 1, với i ≥ 2. Đáp số :
[x+(n-1)a](x-a)n-1.
5) Gọi định thức đã cho là ∆. Nhân hàng một và cột một với x, được định thức D = x2.∆.
Tính D theo phương pháp của câu 4). Đáp số :
∆ = (-1)n-1(n-1)xn-2.
n

6) Cộng tất cả các cột vào cột đầu, rút thừa số chung

∑a
i =0

i

ra ngoài dấu định thức. Khai

n

triển định thức nhận được theo cột 1. Đáp số :

∑a
i =0

i

xn.
n

7) Đưa xj ở mỗi cột thứ j ra ngồi dấu định thức, sau đó làm như câu 7). Đáp số :
n
ai
∑
i =1 x i .

∏x

i

i =1

20. 1) Khai triển định thức theo hàng 1. Trong định thức mới nhận được, thực hiện n-2
phép đổi chỗ các hàng để đưa hàng cuối lên hàng đầu, ta được
Dn = a1a2...an-1 - Dn-1.
Đáp số : Dn = a1a2...an-1 - a1a2...an-2 + ... + (-1)na1 + (-1)n+1.

2) Tách cột cuối (1 1 ... 1+ an)c = ( 1 1 ... 1)c + (0 0 ... an)c, thì định thức Dn tách thành
tổng. Ta có cơng thức
Dn = a1a2...an-1 + anDn-1.
n

∑a a
1

2

...aˆ i ...a n

Đáp số : a1a2...an +
( dấu " ∧" có nghĩa là "khơng có mặt" ).
3) Dn = 5Dn-1 - 6Dn-2. Đáp số : 3n+1 - 2n+1.
4) α := cosϕ + isinϕ, β := cosϕ - isinϕ, thì 2cosϕ = α+β, 1 = αβ. Ta có Dn = (α + β)Dn-1sin( n + 1)ϕ
sin ϕ .
αβDn-2. Đáp số : Dn =
i =1

5) D2n = (a2 - b2)D2n-2. Đáp số : (a2 - b2)n.


21. 1) Biểu diễn các phần tử bên ngoài đường chéo chính ở dạng ai = 0 + ai.
Đáp số : xn + (a1 + a2 + ... + an)xn-1.
n
n
ai
(x i − a i )
∑

∏
2) x := (x - a ) + a . Đáp số : i =1
(1+ i =1 x i − a i ).
i

i

i

i

3) Ở góc trên bên trái đặt 0 = 1-1 và biểu diễn định thức như tổng của hai định thức theo
n

hàng thứ nhất. Đáp số :

∏ (x

i

− ai )

i =1

- a1a2...an.

1
23. A-1 = 3A2 ⇒ A3 = 3 E. Do đó

 2004

1 − 3 668
1
 2004
A
−
E
=
E
= 668 E

A
3 668

3
⇒ 

| A |= 1
| A | 3 = 1
n
3


3
3n
.
n

1− 3 
1
 668 

3
 . 3 3n .
Vậy |A2005 - A| = |A2004-E||A| = 
24. Chứng minh bằng cách thay A vào vế trái đẳng thức, rồi tính tốn.
25. An = Θ ⇒ |A|n = |An| = |Θ| = 0, nên |A| = 0. Theo đẳng thức ở bài 24
A2 = Tr(A)A.
Vì vậy, An = An-2A2 = Tr(A)An-1 = ... = (Tr(A))n-1A.
Theo giả thiết, Θ = (Tr(A))n-1A, nên
* Hoặc Tr(A) = 0 : Từ A2 = Tr(A)A suy ra A2 = Θ.
* Hoặc A = Θ : suy ra A2 = Θ. 
26. Tìm tất cả những ma trận thực, cấp 2, mà bình phương bằng ma trận không.
668

a b


c
d

 thoả A2 = Θ. Thế thì |A| = 0. Theo đẳng thức ở bài 12
Giả sử A =
(a+d)A = Θ.
Từ đó, hoặc A = Θ, hoặc a + d = 0.

a b


c
−
a


 với điều kiện a2 + bc = 0 ( Θ2 là trường hợp đặc
Thử lại thấy rằng ma trận
biệt của ma trận dạng này ) có bình phương bằng Θ.
27.
a) Theo đẳng thức bài 24

i

 i

Từ đây suy ra

2

1 
 = ( i − 1) E
− i 


i

 i


1 

− i 

2n

i

 i


1 

− i 

2 n +1

n
= ( i − 1) E ,

= ( i − 1) n A

d) Theo đẳng thức bài 24
2

2 −1 

 = E
3
−
2


.
Từ đây suy ra

28.
i)

 5 − 2


− 2 1

1 − 2 7 


iii)  0 1 − 2 
0 0 1 



2 −1 


3 − 2

2n

2 −1


3 − 2

2 n +1

ii)

= E,

2 −1 

= 
3 − 2

1
ad − bc

 d − b


− c a 

0
 2 −1

0
− 3 2
iv) 
31 − 19
3

 − 23 14 − 2


0 

0 
− 4

3 

29. A khả nghịch ⇔ |A| ≠ 0 ⇔ a ≠ 0.
−a
 2a

2a
1  − 3a
A-1 =

a a+7 −a−4

− 7
4


0 

0
0
a − 1

0 1 

0

.
30. Nếu A và A là những ma trận với các phần tử nguyên, thì |A| và |A-1| là những số
nguyên. Từ |A||A-1| = 1, ta suy ra |A| = ±1.
Ngược lại, giả sử A là ma trận với các phần tử nguyên và |A| = ±1. Do các phần tử của
A nguyên nên PA có các phần tử là Aij cũng nguyên. Suy ra A-1 = |A|-1PA = ±PA cũng có
các phần tử nguyên.
31.
-1


−1
 −1 2  3 − 2 
3 − 2
 


a) X = 
=



 − 5 6 5 − 4
5 − 4

3 −1 
b) X = 

5 − 2

−1

−1
14 16   5 6 
1 2 

 


=



 9 10   7 8 
3 4

2 3
 2


c) X =  1 − 1 0 
−1 2 1 



−1

 6 2 −7 

d) X = 

 15 2 − 13 

 1 2 −1   1 − 4 − 3  1 2 −1 

 


 0 1 − 2 =  1 − 5 − 3  0 1 − 2
 −1 0 1   − 1 6 4   −1 0 1 

 


1 − 1 1 


1 0 − 1 
1 1 − 2 



−1

=...

1 − 1 1

 6 2 −7  
 1 − 3 2  =...
= 

 15 2 − 13  

1 − 2 1 


BÀI TẬP VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
1. Giải các hệ phương trình trên R sau đây bằng qui tắc Cramer :
a) x + 2y + 4z = 31,
b) 6x + 5y - 2z + 4t + 4 = 0
5x + y + 2z = 29,
9x - y + 4z - t -13 = 0,
3x - y + z = 10.
3x+ 4y + 2z - 2t -1= 0,
3x - 9y + 2t -11= 0.
x y
− + 2 = 0,
c) a b
d) x + y + z = a,
2 y 3z
−
+
− 1 = 0,
b
c
x + εy + ε2z = b,
x z
+ = 0.
a c
x + ε2y + εz = c.
(ε là một căn bậc ba của 1 khác 1).

2. Tìm tam thức bậc hai với hệ số thực f(x), biết :
f(1) = -1, f(-1) = 9, f(2) = -3.
3. Cho hệ
2x1 - 3x2 + 4x3 - 3x4 = 0,
3x1 - x2 + 11x3 - 13x4 = 0,
4x1 + 5x2 - 7x3 - 2x4 = 0,
13x1 - 25x2 + x3 + 11x4 = 0.
Thử để thấy hệ có nghiệm x1 = x2 = x3 = x4 = 1 và tính định thức của ma trận liên kết.
4. Cho A ∈ M(m×n, T). Chứng minh rằng rankA ≤ min{m, n}.
5. Giả sử A là ma trận con của ma trận B. Chứng minh rằng rankA≤ rankB.
6. Tìm hạng của các ma trận sau đây bằng phương pháp b.đ.s.c và phương pháp dùng định thức
con bao quanh :
2 5 
3 −1 3


 2 −1 3 − 2 4
5 −3 2
3 4 



1 − 3 − 5 0 − 7 
4 − 2 5 1 7 


 2 −1 1 8 2 
7 − 5 1 4 1 




.
a)
, b)
7. Tìm giá trị của λ sao cho ma trận sau đây có hạng thấp nhất :
3 1 1 4 


 λ 4 10 1 
 1 7 17 3 


 2 2 4 3

.


8. Chứng minh rằng mỗi ma trận hạng ≤ 1 đều có dạng
 a 1b1 a 1b 2 ... a 1b n 


 a 2 b1 a 2 b 2 ... a 2 b n 
 .............................. 


 a b a b ... a b 
m 2
m n .
 m 1

9. Chứng minh rằng nếu một hệ phương trình tuyến tính có hạng của ma trận liên kết bằng số
phương trình, thì hệ ấy có nghiệm.
10. a) Chứng minh rằng điều kiện cần để cho một hệ phương trình tuyến tính với số phương trình
lớn hơn số ẩn một đơn vị có nghiệm là định thức của ma trận bổ sung của hệ phương trình đó
bằng 0.
b) Chứng minh rằng điều kiện trên cũng là đủ nếu hạng của ma trận liên kết bằng số ẩn.
11. Với a là tham số, tìm điều kiện cần và đủ để hệ phương trình trên R sau có nghiệm :
2x1 + x2 - 2x3 + x4 = 3,
4x1 + 2x2 + 2x3 - x4 = 0,
2x1 + x2 + 4x3 - 2x4 = a.
Giải hệ với a đã tìm.
12. Cho hệ phương trình trên R
x + 2y + az = 3,
3x - y - az = 2,
2x + y + 3z = b.
i) Xác định a và b để hệ có nghiệm duy nhất.
ii) Xác định a và b để hệ vô nghiệm.
iii) Xác định a và b để hệ có vơ số nghiệm. Giải hệ với a, b đã tìm.
13. Giải, biện luận các hệ phương trình sau ( ẩn (x, y, z) ∈C3, tham số a∈C) :
a) x + 2y + az = 1, b) (2a+1)x - ay + (a+1)z = a-1,
2x + ay + 3z = -1,
(a-2)x + (a-1)y + (a-2)z = a,
x +2y - 2z = 1.
(2a-1)x + (a-1)y + (2a-1)z = a.
14. Giải, biện luận các hệ phương trình sau ( ẩn (x, y, z) ∈C3, các tham số a, b ∈C) :
a) ax + y + z = 4, b) x - 2ay - z = -3,
x + by + z = 3,
2x - ay + z = 9,
x +2by + z = 4.
3x - 3y = b.

c) 2x + y - z = 2,
x - y + z = 4,
3x + 3y - z = 4a,
(2-a)x + 2y - 2z = -2b.
15. Giải, biện luận các hệ phương trình sau ( ẩn (x, y, z) ∈C3, các tham số a, b, c, d ∈C) :
i) ax + y + z = b, ii) x + y +z = 1
x + ay + z = c,
ax + by + cz = d
x + y + az = d.
a2x + b2y + c2z = d2
16. Giải, biện luận các hệ phương trình sau ( ẩn (x, y, z, t) ∈C4, các tham số a, b, m ∈C) :
a) 2x - y + z + t = 1
b) mx + y + z + t = 1
x + 2y - z + 4t = 2
x + my + z + t = m


x+ 7y - 4z + 11t = m
x + y + mz + t = m+1
c) 2x + y + z + t = 3
d) ax + y + z + t = 1
x + 2y + z + t = 1
x + ay + z + t = b
x + y + 2z + t = 2
x + y + az + t = b2
x + y + z + 2t = 4
x + y + z + at = b3
4x - 3y + 3z - 4t = a
2x + 7y + 7z + 2t = b
17. Giải các hệ phương trình sau đây bằng phương pháp Gauss :

a) x + iy 2z = 10,
b) x1 - 2x2 + x3 + x4 = 1,
x - y + 2iz = 20,
x1 - 2x2 + x3 - x4 = -1,
ix + 3iy - (1+i)z = 30.
x1 - 2x2 + x3 + 5x4 = 5.
c) 8x + 6y + 5z + 2t = 21,
d) x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 7,
3x + 3y + 2z + t = 10,
3x1 + 2x2 + x3 + x4 - 3x5 = -2,
4x + 2y + 3z + t = 8,
x2 + 2x3 + 2x4 + 6x5 = 23,
3x + 5y + z + t = 15,
5x1 + 4x2 + 3x3 + 3x4 - x5 = 12.
7x + 4y + 5z + 2t = 18.

18. Giải và biện luận các hệ phương trình sau đây bằng phương pháp Gauss :
a) λx + y + z = 1,
b) x + y + (a + 1)z = a2 + 3a,
x + λy + z = λ,
x + (a + 1)y + z = a3 + 3a2,
2
x + y + λz = λ .
(a + 1)x + y + z = a4 + 3a3.
c) x1 - x2 + kx3 + x4 = k,
d) ax1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 = 3,
x1 + kx2 - x3 + x4 = -1,
2x1 + ax2 + 3x3 + 2x4 = 3,
kx1 + kx2 - x3 - x4 = -1,
2x1 + 3x2 + ax3 + 2x4 = 3,

x1 + x2 + x3 + x4 = -k.
2x1 + 3x2 + 2x3 + ax4 = 3,
2x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 = a.
19. Cho hệ phương trình trên R
x1 + λx2 - x3 + 2x4 = 0,
2x1 - x2 + λx3 + 5x4 = 0,
x1 + 10x2 - 6x3 + x4 = 0.
Tìm λ để hệ có nghiệm :
a) Phụ thuộc một tham số.
b) Phụ thuộc hai tham số.
20. Cho hệ phương trình trên R
3x + y + z + 4t = 0,
λx + 4y + 10z + t = 0,
x + 7y + 17z + 3t = 0,
2x + 2y + 4z + 3t = 0.
a) Tìm λ để hệ có nghiệm khơng tầm thường.
b) Tìm λ để hệ có nghiệm phụ thuộc vào nhiều ẩn tự do nhất.
21. Tìm điều kiện để hệ
y + az + bt = 0,
-x + cz + dt = 0,
ax + cy - et = 0,


bx + dy + ez = 0,
có thể nhận z và t làm ẩn tự do.
22. Tìm điều kiện của λ để hệ phương trình trên R
λx + ay + bz = 0,
-ax + λy + hz = 0,
-bx - hy + λz = 0,
có nghiệm khơng tầm thường.

n

∑ a ks

s =1

23. Giả sử A ∈ M(n, R) thoả mãn điều kiện akk > s≠ k
( k = 1, ..., n ). Chứng minh rằng
det(A) ≠ 0.
24. Cho hệ tuyến tính gồm 4 phương trình và 5 ẩn số. Biết rằng
(i) ( 2001, 2002, 2003, 2004, 2005 ) là một nghiệm của hệ;
(ii) Khi bỏ đi cột thứ j trong ma trận liên kết của hệ phương trình ta được một ma trận vng
có định thức bằng j ( j = 1, ..., 5).
Tìm tất cả các nghiệm của hệ này.
25. Cho
A 1 1 2 
=  0 − 1 0 
.
Chứng tỏ rằng phương trình AX = E2 có nghiệm, nhưng phương trình YA = E3 vơ nghiệm.
26. Giải các phương trình ma trận :
 2 1
a)  2 1 1 0  ,  2 1


X=
=
X.  2 1  0 1 b)  2 1
 2 1
.

27. Cho phương trình ma trận
1 1 
1 − 2 
1 




 
1 − 2  X +  1 − 1Y =.  − 1
1 a 
1 − 2 
5 




 
(a) Giải phương trình với a = 5.
(b) Tìm số thực a để phương trình vơ nghiệm.
28. Cho hệ gồm hai phương trình ma trận thực với hai ẩn X, Y sau đây
1 − 2  X  3 − 4  Y  4 

 
  
 0 1 +  − 1 1 =  − 3 

 0 − 3
1 3  X  1 
 Y+ 

  

3 1 
 0 m  =  − 3

.


(a) Giải hệ với m = -7.
(b) Tìm m ∈ R để hệ có nghiệm duy nhất.
29. Giải và biện luận phương trình XA = Θ2, trong đó A là ma trận cấp 2 cho trước, X là ma trận
phải tìm.
30. Tìm số thực m để tồn tại ma trận X sao cho
 − 2 1 − 3  − 6 

  
 1 0 5 X 6 
 − 3 2 − 1 =  m 

  
 0 1 3  2 

  

sau đó tìm X.

31. Giả sử a3 + b3 + c3 = 3abc. Chứng minh rằng tồn tại ma trận X ≠Θ thoả mãn
a b c 0

 X 

 b c a  = 0
c a b 0

  
.
32. Biết phương trình
 b a 0 c 

X 
c 0 a  = b
0 c b  a 

  
có nghiệm duy nhất. Chứng minh rằng abc ≠ 0 và tìm nghiệm.
33. Cho A∈M(n, R) có det(A) ≠ 0. Chứng minh rằng với x1, x2, ..., xn ∈R
( x1 x2 ... xn )AcA( x1 x2 ... xn )c = 0
khi và chỉ khi x1 = x2 = ... = xn = 0.
34. Tính các ma trận nghịch đảo của
 0 1 1 . . . 1


1 0 1 . . . 1
2 1 0 0 
1 1 1 1 




1 1 0 . . . 1
1 2 − 3 

3 2 0 0 
1 1 − 1 − 1






1 1 3 4 
 1 − 1 1 − 1
 .................. 
0 1 2 






0 0 1 
 2 −1 2 3
 1 − 1 − 1 1





 iv) 1 1 1 . . . 0  .
i)
ii)
iii)

HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
1. a) x = 3, y = 4, z = 5.
b) x = 2/3, y = -1, z = 3/2, t = 0.
c) x = -a, y = b, z = c. HD : Đặt x' = x/a, y' = y/b, z' = z/c.
d) x =

a+b+c
a + bε 2 + cε
a + bε + cε 2
,y=
,z=
3
3
3

.
2. Giả sử f(x) = ax2 + bx + c. Giải hệ :
a + b + c = -1,
a - b + c = 9,
4a + 2b + c = -3,
được a = 1, b = -5, c = 3. Vậy f(x) = x2 - 5x + 3.
3. Định thức của ma trận liên kết bằng 0 do hệ có nghiệm khơng tầm thường.
6. a) hạng =2.
7. Dùng phép biến đổi sơ cấp, suy ra λ = 0.
8. Phản chứng, nếu có hai hàng i và j khơng tỉ lệ, thì tồn tại bốn phần tử aih, aik, ajh, ajk sao
cho aih: aik ≠ ajh: ajk. Vì định thức cấp hai là aih. ajk- ajhaik ≠ 0, nên hạng ma trận > 1. Vô lý.
9. số phương trình = hạng của ma trận liên kết ≤ hạng của ma trận bổ sung ≤ số phương
trình,

nên hạng của ma trận liên kết = hạng của ma trận bổ sung. Theo tiêu chuẩn Kronecker Capelli, hệ có nghiệm.
10. a) Nếu hệ có nghiệm thì rank A = rankA. Do rankA ≤ số ẩn, nên rank A < số hàng
của A . Suy ra det( A ) = 0.
b) Nếu det( A ) = 0, thì rank A < số hàng của A ⇒ rank A ≤ số ẩn. Nhưng số ẩn =
rankA ≤ rank A , nên rankA = rank A . Theo tiêu chuẩn Kronecker - Capelli, hệ có
nghiệm.
11. Dùng phương pháp Gauss hoặc định lý Kronecker - Kapelli, có
a = -3.
Với giá trị a trên, nghiệm của hệ đã cho là
( x1, 1 - 2x1, -1 + 0,5x4, x4 )
∀x1, x4 ∈ R.
12. i) Hệ có nghiệm duy nhất ⇔ |A| ≠ 0 ⇔ a ≠ 21/2, còn b là số thực tuỳ ý.
ii) Dùng phương pháp Gauss hoặc định lý Kronecker-Kapelli, có :
* Hệ có nghiệm duy nhất ⇔ a ≠ 21/2, cịn b là số thực tuỳ ý.

21
* Hệ vô nghiệm ⇔ a = 2 , b ≠ 3.
21
* Hệ có vơ số nghiệm ⇔ a = 2 , b =3. Với a, b đó nghiệm của hệ là
3z
( 1- 6z, 1+ 2 , z ), ∀z ∈ R.


13. a) |A| = (4-a)(a+2).
* Nếu a ≠ 4, a ≠ -2 : hệ có nghiệm duy nhất
x = D1/D = (a+2)/(a-4), y = D2/D = 3/(4-a), z = D3/D = 0.
* Nếu a = -2 : rankA = rank A = 2. Hệ thu gọn :
2x - 2y + 3z = -1,
x +2y - 2z = 1.
1 2

3 6
−
− +
Hệ có nghiệm : ( 7 7 y, y, 7 7 y ), ∀y ∈ C.
* Nếu a = 4 : rankA = 2 < rank A = 3, hệ vô nghiệm.
b) |A| = a(a2-1).
* Nếu a ≠ 0, a ≠ ±1 : hệ có một nghiệm duy nhất tính theo qui tắc Cramer.
* Nếu a = 0 : rankA = 2 < rank A = 3, hệ vô nghiệm.
* Nếu a = 1 : rankA = 2 < rank A = 3, hệ vô nghiệm.
* Nếu a = -1 : rankA = rank A = 2, hệ có vơ số nghiệm phụ thuộc một tham số.
2b − 1
2ab − 4b + 1
1
14. a) * Nếu b(a-1) ≠ 0 : x = b(a − 1) , y = b , z = b(a − 1) .
* Nếu a = 1, b = 0,5 : hệ có vơ số nghiệm phụ thuộc một tham số.
* Trong các trường hợp khác : hệ vô nghiệm.
b) Dùng phương pháp khử Gauss.
* Nếu a ≠ 1 : hệ có một nghiệm duy nhất tính theo qui tắc Cramer.
1
3(1 − b) (6 - ab, 6 - b, 15 - 21a + ab).
* Nếu a = 1, b = 6 : rankA = rank A = 2. Hệ thu gọn :
3x - 3y = 6,
2x - y + z = 9.
Hệ có nghiệm : ( 7 - z, 5 - z, z ), ∀z ∈ C.
* Nếu a =1, b ≠ 6 : hệ vô nghiệm.
c) Hệ tạo bởi 3 phương trình đầu có nghiệm duy nhất ( 2, 2a - 2, 2a ) với mọi a ∈C. Thế
vào phương trình thứ 4, ta có : a = b. Vậy
* Khi a ≠ b : hệ vơ nghiệm.
* Khi a = b : hệ có nghiệm duy nhất ( 2, 2a - 2, 2a ).
15. i) |A| = (1-a)2(2+a).

* Nếu a ≠ 1, a ≠ -2 : hệ có một nghiệm duy nhất tính theo qui tắc Cramer.
* Nếu a = 1 : Dùng phương pháp khử Gauss, suy ra ( hệ có nghiệm ⇔ b = c = d ), và các
nghiệm là : ( b - y - z, y, z), ∀y, z ∈ C.
* Nếu a = -2 : Dùng phương pháp khử Gauss, suy ra ( hệ có nghiệm ⇔ b + c + d = 0 ), và
2b + c
2c + b
các nghiệm là : ( z - 3 , z - 3 , z), ∀ z ∈ C.
ii) * Nếu a, b, c đơi một khác nhau : hệ có nghiệm duy nhất, tính theo qui tắc Cramer.
* Các trường hợp hệ có nghiệm phụ thuộc một tham số :
a = b ≠ c, d = b hoặc d = c.
a = c ≠ b, d = c hoặc d = b.


b = c ≠ a, d = c hoặc d = a.
* Các trường hợp hệ có nghiệm phụ thuộc hai tham số :
a = b = c = d.
* Các trường hợp khác đều vô nghiệm.
− 7 x + 6 y + 2 − 3x − y + 3
5
5
16. a) * Nếu m = 5 : nghiệm (x, y,
,
), ∀(x, y)∈C2.
* Nếu m ≠ 5 : vô nghiệm.
m
m
b) * Nếu m ≠ 1 : nghiệm (x, x+1, x + m − 1 , -(m + 2)x - m − 1 ), ∀(x, y)∈C2.
* Nếu m =1 : vô nghiệm
c) Cộng 4 phương trình đầu tiên : x + y + z + t = 2. Từ đây suy ra hệ tạo bởi bốn phương
trình đầu có nghiệm duy nhất : x = 1, y = -1, z = 0, t =2. Thay

vào phương trình thứ 5 và 6, suy ra :
* Nếu a = b =-1, hệ có nghiệm duy nhất (1, -1, 0, 2).
* Các trường hợp khác đều vơ nghiệm.
d) Cộng các phương trình lại, suy ra : (a + 3)(x + y + z + t) = 1 + b + b2 + b3.
1 + b + b 2 + b3
a+3
* Nếu a ≠ 1, và a ≠ 3 : Đặt c =
, hệ có nghiệm duy nhất
1 − c b − c b 2 − c b3 − c
,
,
,
( a − 1 a − 1 a − 1 a − 1 ).
* Nếu a = b = 1 : nghiệm (x, y, z, 1 - x - y - z), ∀(x, y, z)∈C3.
* Nếu a = -3 và 1 + b + b2 + b3 = 0 : nghiệm
1 − b2
1 − b3
1− b
(x, x + 4 , x + 4 , x + 4 ), ∀x∈C.
* Các trường hợp khác đều vô nghiệm.
19. Dùng phương pháp khử ẩn Gauss, kết luận được
a) λ ≠ 3.
b) λ = 3.
20. a) Hệ có nghiệm khơng tầm thường ⇔ định thức của ma trận liên kết bằng 0 ⇔ λ =
...
b) Hệ có nghiệm phụ thuộc nhiều ẩn tự do nhất ⇔ hạng của ma trận liên kết nhỏ nhất ⇔
λ = 0 ( Xem bài 7 ).

21. Dùng phương pháp khử Gauss thấy điều kiện là : e = ad - bc.
22. Giả sử hệ có nghiệm không tầm thường ( x, y, z) ∈R3 : Lần lượt nhân phương trình 1,

2, 3 với x, y, z rồi cộng với nhau, ta có : λ(x2 + y2 + z2) = 0. Suy ra λ = 0.
Ngược lại, nếu λ = 0 thì ma trận liên kết là ma trận phản đối xứng cấp lẻ cho nên định
thức của nó bằng 0. Suy ra hệ có nghiệm không tầm thường.
n

∑ a ks x s
23. Nếu det(A) = 0, thì hệ thuần nhất s =1
= 0 ( k = 1, ..., n)
có nghiệm khơng tầm thường x = ( c1, ..., cn). Giả sử
max{|c1|, ..., |cn|} = |cj| ≠ 0.


n

n

Từ

∑a

c ⇒ ajjcj = -

js s

s =1

∑a

n

c

js s

s =1
s≠ j

, nên |ajj||cj|
≤

∑a

js

cs

s =1
s≠ j

do đó
n

|ajj| ≤

∑a

js

s =1
s≠ j

Mâu thuẫn với giả thiết đề bài.
24. Ký hiệu A = (aij)4×5 là ma trận liên kết của hệ. Từ giả thiết suy ra rankA = 4, nên
không gian nghiệm của hệ phương trình thuần nhất tương ứng có chiều bằng 1. Theo giả
thiết α = ( 2001, 2002, 2003, 2004, 2005 ) là nghiệm riêng của hệ, nên mọi nghiệm của
hệ đều có dạng
(x1, ..., x5) = α + tβ
β , t ∈R,
trong đó β =(x1*, ..., x5*) là nghiệm khơng tầm thường nào đó của hệ thuần nhất tương
ứng.
Ta tìm β . Cho x1* = -1, từ hệ thuần nhất nói trên ta có :
a12x2+ ... + a15x5 = a11
..................................
a42x1+ ... + a45x5 = a41
Theo công thức Cramer và giả thiết ta tìm được :
x2* = 2, x*3 = -3, x4* = 4, x5*= -5.
Vậy β =(-1, 2, -3, 4, -5). Nghiệm của hệ đã cho là
(x1, ..., x5) = ( 2001 - t, 2002 + 2t, 2003 - 3t, 2004 + 4t, 2005 - 5t ), t ∈R,
25. Cho

1 1 2 

A = 
 0 −1 0 

 x 1 + y 1 + 2z 1 = 1
 x 1 + 2z 1 = 1
 x + y + 2z = 0
 x + 2z = 1
 2

 2
2
2
2
⇔ 

− y 1 = 0
 y1 = 0
− y 2 = 1
 y 2 = −1

Với X
=

 x1 x 2 


 y1 y 2  , AX = E2 ⇔
z z 
2 
 1

Vậy X
=

1 − 2 z 1 1 − 2 z 2 


−1
 0

 , với z1, z2 tuỳ ý thuộc R.
 z

z2
1



 x1 x 2 


Với Y =  y1 y 2  , YA = E3 ⇒
z z 
2 
 1
26. Giải các phương trình ma trận :

x 1 = 1
, vô nghiệm.

2 x 1 = 0