Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Sử dụng phần mềm Geogebra trong dạy Toán tạo hứng thú học tập cho học sinh lớp 12 trường THPT Võ Thành Trinh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO AN GIANG

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Trường THPT Võ Thành Trinh

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

An Giang, ngày 14 tháng 02 năm 2019

BÁO CÁO
Kết quả thực hiện sáng kiến, cải tiến, giải pháp kỹ thuật, quản lý, tác nghiệp,
ứng dụng tiến bộ kỹ thuật hoặc nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng

I. Sơ lược lý lịch tác giả:
-

Họ và tên: Nguyễn Thị Mỹ Trang

-

Ngày tháng năm sinh: 26/10/1986.

-

Nơi thường trú: Xã Khánh Hòa Huyện Châu Phú Tỉnh An Giang.

-

Đơn vị công tác: Trường Trung học phổ thông Võ Thành Trinh.

-

Chức vụ hiện nay: Giáo viên.

-

Trình độ chun mơn: Cử nhân Tốn.

-

Lĩnh vực cơng tác: Dạy Tốn, kiêm nhiệm.

Nam, nữ:

Nữ

II. Sơ lược đặc điểm tình hình đơn vị:
1. Thuận lợi:
-

Được sự quan tâm giúp đỡ của Ban Giám Hiệu, của giáo viên có nhiều kinh
nghiệm trong tổ và trong nhà trường.

-

Đa số học sinh có ý thức học tập tốt, được sự quan tâm của giáo viên chủ
nhiệm, giáo viên bộ môn và phụ huynh học sinh trong suốt quá trình học tập.

-

Hệ thống cơ sở vật chất đủ điều kiện để phục vụ cho việc dạy ứng dụng công
nghệ thơng tin.

2. Khó khăn:
-

Trình độ học sinh ở các lớp chưa đều, còn khá nhiều học sinh yếu.

1


3. Tên sáng kiến/đề tài giải pháp: “Sử dụng phần mềm Geogebra trong dạy
Toán tạo hứng thú học tập cho học sinh lớp 12 trường THPT Võ Thành
Trinh”.
4. Lĩnh vực: Tốn học.
III.

Mục đích u cầu của đề tài, sáng kiến:

1. Thực trạng ban đầu trước khi áp dụng sáng kiến
-

Đa số học sinh cảm thấy áp lực khi học môn Tốn.

-

Học sinh cịn thiếu kỹ năng tư duy trong một số bài tốn liên quan đến khơng
gian, “hình học động”

-

Đa số học sinh rất sợ học hình học khơng gian, các bài toán liên quan đến đồ
thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối hay những bài toán về thể tích khối đa
diện, khối trịn xoay…

-

Chưa có nhiều thời gian để quan sát hình ảnh trong thực tế.

-

Những mơ hình dụng cụ dạy học khá cồng kềnh, khó khăn trong việc di
chuyển.

2. Sự cần thiết phải áp dụng sáng kiến
Tạo cho học sinh sự hứng thú trong Toán học thơng qua các hình ảnh trực quan,
những mơ hình khơng gian hoặc những bài tốn có liên quan đến sự chuyển động là
việc vô cùng cần thiết trong việc phát huy khả năng tư duy và sáng tạo của học sinh
trong lĩnh vực Toán học và các lĩnh vực khoa học khác.
3. Nội dung sáng kiến
3.1. Đặt vấn đề
3.1.1. Lý do chọn đề tài
Những năm gần đây, công nghệ thông tin trở thành một công cụng không thể
thiếu đối với đời sống con người, trên tất cả mọi lĩnh vực nói chung và trong giáo dục
nói riêng, nhờ cơng nghệ phát triển chúng ta có thể nhìn thấy những hình ảnh mà
trước đây chỉ có trong trí tưởng tượng, trong những năm qua, cơng nghệ thơng tin
đóng vai trị hết sức to lớn trong việc phát triển trí tuệ, phát huy khả năng sáng tạo, tư
duy và khám phá của con người.
2

Trong lĩnh vực giáo dục nói chung, sự xuất hiện của nhiều phần mềm ứng dụng
giúp khả năng tư duy của người dạy và người học đạt đến trình độ cao nhất có thể,
những phần mềm hỗ trợ việc dạy và học mơn Tốn cũng xuất hiện khơng ít, và trong
đó một cơng cụ mới và đắt lực mà chúng tơi nhận thấy hiện nay chính là phần mềm
Geogebra, có thể nói đây là trợ thủ đắc lực cho giáo viên trong việc giảng dạy một số
nội dung có liên quan đến “hình học động”, những hình ảnh mà trước đây thế hệ
chúng tơi chỉ có thể nhìn thấy trong tưởng tượng của mỗi cá nhân, chưa được đồng bộ
một cách chính xác mà chỉ có thể hiểu theo cách riêng cuả mỗi người.
Đến thời điểm hiện tại, giáo dục của nước ta không ngừng đổi mới từ phương
pháp giảng dạy đến hình thức thi cử, địi hỏi người học phải tiếp thu kiến thức nhanh
chóng và chính xác, những nội dung liên quan đến “hình học động” cần có một sự mơ
tả rõ ràng từ phía giáo viên để người học có thể hình thành kiến thức một cách chân
thực nhất từ những hình ảnh đó. Và đáp ứng những nhu cầu đó, một số chuyên gia về
lĩnh vực phần mềm đã cho ra đời công cụ Geogebra giúp hỗ trợ giảng dạy mơn Tốn
hiệu quả nhất.
Việc khai thác và sử dụng các phương tiện dạy học luôn là một việc vơ cùng quan
trọng đối với giáo viên, nó làm tăng đáng kể hiệu quả giảng dạy. Phương tiện dạy học,
từ những tài liệu in ấn và những đồ dùng dạy học đơn giản cho đến những phương
tiện kỹ thuật hiện đại như thiết bị nghe, nhìn, cơng nghệ thơng tin và truyền thơng….
Giúp thiết lập những tình huống chứa đựng ý đồ sư phạm, tổ chức hoạt động học tập
giảng dạy và giao lưu giữa giáo viên và học sinh. Đặc biệt là việc ứng dụng phần mềm
dạy học đang được sử dụng rộng rãi vào quá trình giáo dục ở nhiều quốc gia trên thế
giới nói chung và ở nước ta nói riêng thu được kết quả cao. Với mục tiêu cho người
học nhìn ảnh những hình ảnh trực quan sinh động mà trước đây chưa từng thấy, nhằm
phát huy tối đa khả năng tư duy của người học chúng tôi chọn nghiên cứu đề tài “Sử
dụng phần mềm Geogebra trong dạy Toán tạo hứng thú học tập cho học sinh lớp
12 trường THPT Võ Thành Trinh”.
3.1.2. Cơ sở lí luận
Hiện nay, các em học sinh gặp rất nhiều khó khăn trong việc tiếp thu kiến thức

đặc biệt là mơn Tốn, chỉ tính riêng chương trình Giải Tích 12 cơ bản, học sinh phải
trải qua việc vẽ đồ thị của các hàm số từ đơn giản đến phức tạp, hình ảnh về sự tương
3


giao của đồ thị các hàm số, vị trí điểm chuyển động trên đồ thị, quỹ tích, tập hợp
điểm, những ứng dụng của tích phân trong hình học,…. địi hỏi người học phải có một
sức tập trung và tư duy cao độ để có thể tưởng tượng được các mối quan hệ về hình
dạng trong các bài tốn đó, sự hình thành các khối trịn xoay cho đến việc tính thể tích
hay diện tích của những hình ảnh phức tạp, những hình ảnh lúc động lúc tĩnh đó đã
gây khơng ít khó khăn cho người dạy lẫn người học….Ngày nay sự ra đời của công
nghệ thông tin đã từng bước đưa vào nhà trường những phần mềm hỗ trợ giảng dạy vơ
cùng đắc lực, nó nối dài và gắn kết khả năng truyền đạt - tiếp thu giữa giáo viên và
học sinh, thể hiện được toàn bộ ý tưởng của người truyền tải thông tin đến học sinh, là
cầu nối giúp học sinh liên kết được các phần kiến thức riêng biệt lại thành một thể
thống nhất để tư duy vấn đề hồn thiện nhanh chóng và chính xác.
Ngồi ra, một vấn đề mà không một giáo viên nào không trăn trở, đó là việc
đổi mới phương pháp giảng dạy thế nào cho hiệu quả nhất, làm thế nào để giáo dục
của chúng ta không bị lỗi thời mà phải bắt kịp thời đại, bắt kịp với nền giáo dục tiên
tiến trên thế giới, làm thế nào để học sinh có một nền tản kiến thức bền vững và kiên
cố nhất,… có như thế giáo dục mới thực sự gọi là “giáo dục”, cái mà người dạy học
chúng tôi muốn hướng đến là làm thế nào để dạy học mang một phong cách thoải mái
nhất, từng bước từng bước làm cho người học lấy được kiến thức một cách nhẹ nhàng
tự nhiên nhất, không phải là áp đặt, cũng không phải “vì thi mà học”, làm thế nào để
người học cảm nhận được việc tiếp thu một lượng kiến thức nào đó cũng như một
chuyến phiêu lưu đầy thú vị. Muốn thực hiện những mong muốn đó, chúng tơi khơng
thể khơng nói đến cơng nghệ thơng tin, và phần mềm Geogebra hiện nay với chúng
tôi vô cùng hữu hiệu để thực thi nhiệm vụ giáo dục đó.
Hiện nay, phần mềm Geogebra được phổ biến rộng rãi và được rất nhiều giáo
viên sử dụng đạt hiệu quả cao, nhằm thực hiện những mong muốn nêu trên và tạo cho

mình những cơng cụ giảng dạy hiệu quả, chúng tôi thiết kế sẵn một số công cụ
thường xuyên sử dụng trong các tiết dạy về vẽ đồ thị, sự tương giao giữa các đường,
hình học khơng gian, về khối trịn xoay, về ứng dụng tích phân trong hình học,…
nhằm giúp tiết kiệm thời gian vẽ hình và giúp học sinh nhìn thấy những hình ảnh trực
quan sinh động, tạo cho các em nguồn hứng khởi trong việc tiếp thu kiến thức mới
cũng như vận dụng nó vào từng tình huống cụ thể trong đời sống.
4


Cơ sở thực tiễn: Ngồi những lí luận nêu trên, với điều kiện học tập và cơ sở
vật chất hiện nay của nhà trường, chúng tơi hồn tồn có thể thực hiện giảng dạy
bằng công nghệ thông tin một cách dễ dàng. Hầu hết các phòng học của nhà trường
đều trang bị tivi để giáo viên trình chiếu các hình ảnh bằng các phần mềm hỗ trợ, có
thể thực hiện dạy ứng dụng công nghệ thông tin mọi lúc khi cần thiết, đó là điều tuyệt
vời để giáo viên và học sinh cùng nhau học tập và liên tục cập nhật những ứng dụng
mới có liên quan đến giáo dục để phục vụ tốt nhất cho việc giảng dạy cũng như việc
phát triển những tài năng tương lai của đất nước.
3.1.3. Mục đích nghiên cứu
-

Xây dựng cơng cụ hỗ trợ giảng dạy các bài tốn về “hình học động” tạo hứng
thú học tập cho học sinh, đồng thời đáp ứng cho kì thi Trung học phổ thơng
quốc gia.

-

Làm sáng tỏ các vấn đề liên quan đến kiến thức học sinh đang được học.

-

Xây dựng hình ảnh trực quan sinh động trong việc tiếp thu kiến thức mới cho
học sinh.

-

Làm tăng hứng thú học tập cho học sinh thông qua các mơ hình có màu sắc đẹp
mắt, có thể nhìn thấy một số đối tượng chuyển động như điểm, đường thẳng,
hoặc mặt phẳng, việc tạo thành các khối tròn xoay trong bài tốn về thể tích…

-

Học sinh tự mình thấy được những hình ảnh trừu tượng, từ đó giúp các em tự
tin hơn trong việc tiếp thu kiến thức hình khơng gian.

-

Rèn luyện khả năng tư duy và năng lực giải quyết vấn đề trong thực tiễn.

-

Tạo động lực để các em học sinh tự tin khi giải toán, nâng cao chất lượng dạy
và học.

-

Đáp ứng nhu cầu học tập trong giai đoạn mới.

-

Tạo ra nền tản kiến thức bền vững cho các em trong việc phát triển tư duy về

Toán học.
3.1.4. Phương pháp nghiên cứu
a. Nghiên cứu lí luận
Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo Toán, sách hướng dẫn sử dụng

phần mềm Geogebra, cách thiết kế công cụ giảng dạy trên phần mềm Geogebra…
q trình chỉnh lí sách giáo khoa Tốn phổ thơng qua các giai đoạn, nghiên cứu các
5


trang mạng về giáo dục, những đổi mới qua những năm gần nhất cho phù hợp tình
hình thực tế, ngồi ra nghiên cứu những thông tin cần thiết liên quan đến chuyên đề.
b. Nghiên cứu thực tế
Khảo sát chất lượng học tập mơn Tốn của học sinh vào đầu năm học, những
nguyện vọng của các em đối với Toán học. Làm kiểm tra nghiên cứu quá trình học
tập và rèn luyện tư duy giải tốn qua các giờ dạy chính khóa, trái buổi, tinh thần và
thái độ hợp tác khi làm việc nhóm để giải quyết tình huống của giáo viên đặt ra, tổ
chức thực nghiệm một số vấn đề cụ thể về các khối trịn xoay, các mơ hình “hình học
động”, tổ chức các cuộc thi đố vui nhỏ trong q trình hình thành kiến thức mới liên
quan Tốn học.
Khảo sát về cơ sở vật chất, điều kiện thực tế của nhà trường để có thể áp dụng
chuyên đề đạt hiệu quả tốt nhất.
c. Nghiên cứu phần mềm Geogebra
GeoGebra là một phần mềm “hình học động” hỗ trợ giảng dạy trong trường
học. Tác giả phần mềm là Markus Hohenwarter, quốc tịch Áo, giảng viên Toán - Tin
học thuộc trường đại học University of Salzburg, Cộng Hòa Áo. Dự án phần mềm
GeoGebrea được khởi tạo năm 2001 và đã trải qua nhiều năm liên tục phát triển.
Phần mềm GeoGebra đã đoạt nhiều giải thưởng tại nước chủ nhà Áo và Liên minh
châu Âu về phần mềm giáo dục tốt nhất trong nhiều năm liền.
Geogebra là một ứng dụng khá phức tạp nhằm mục đích nghiêm chỉnh với

những ứng dụng có tính tốn khó, nhưng lợi thế mà GeoGebra cung cấp trên các
ứng dụng tương tự là nó cung cấp nhiều biểu diễn của các đối tượng được liên kết
động. Ý tưởng là để kết nối các đại diện hình học, đại số và số theo cách tương tác.
Điều này có thể được thực hiện với các điểm, vectơ, đường thẳng và các phần conic.
GeoGebra cho phép người sử dụng trực tiếp nhập và thao tác các phương trình
và tọa độ , cho phép chúng ta vẽ các hàm; làm việc với thanh trượt để điều tra các
thơng số; tìm các dẫn xuất tượng trưng; và sử dụng các lệnh mạnh mẽ như Root hoặc
Sequence.
Một mặt, Geogebra là phần mềm hình học động, chúng ta có thể định nghĩa các
điểm, vectơ, đoạn thẳng, đường thẳng, đường cô-nic cũng như hàm số và thay đổi
chúng một cách linh động. Mặt khác, phương trình và tọa độ có thể được nhập trực
6


tiếp. Vì thế, GeoGebra có thể xử lý biến số, vectơ và điểm, tìm đạo hàm và tích phân
của hàm số và đưa ra những lệnh như Nghiệm hay Cực trị. GeoGebra là phần mềm
miễn phí. Trong tương lai, đây là phần mềm sẽ được sử dụng trong nhiều trường phổ
thông của Việt Nam, thay thế các phần mềm thương mại như Geometry Cabri,
Geometer's Skethpad. Hơn nữa, nó dễ dàng được sử dụng cho các ứng dụng web
(như các GeoGebra Applets) mà không cần quan tâm đến vấn đề bản quyền.
Một giao diện điển hình của Geogebra

Mặc dù thoạt nhìn, đây có vẻ là một ứng dụng phức tạp nhưng lợi thế của nó so
với các ứng dụng tương tự khác đó là: cung cấp nhiều đối tượng được liên kết chặt
chẽ. Mục đích của việc thiết kế ra GeoGebra đó là hỗ trợ kết nối hình học, đại số và
các yếu tố toán học khác theo một cách tương tác và chặt chẽ hơn.
Điều này có thể được thực hiện bằng cách sử dụng các điểm, vectơ, đường
thẳng, hình tam giác, hình nón, vv. Bên cạnh đó, GeoGebra cịn cho phép người dùng
trực tiếp nhập và thao tác các phương trình tốn học và tọa độ.
Với tất cả những đặc điểm trên, GeoGebra hiện đang là một trong những phần

mềm tốn học được u thích nhất trên thế giới và đã nhận được nhiều giải thưởng
quý giá. Nó đã mang lại những cải tiến và tiến bộ vượt bậc trong quá trình giảng dạy
và học tập của học viên trên toàn thế giới.

7


Ưu điểm nổi bật của GeoGebra
-

Phần mềm toán học này hồn tồn miễn phí và hỗ trợ hiệu quả cơng việc học
tập, giảng dạy và đánh giá.

-

Giao diện dễ dàng sử dụng và khả năng tương tác đầy đủ với nhiều tính năng
mạnh mẽ.

-

Có sẵn ở nhiều ngơn ngữ, bao gồm cả: tiếng Việt

-

Cung cấp một cách thú vị để xem và trải nghiệm các mơn tốn cũng như khoa
học.

-

Thích ứng tốt với bất kỳ chương trình học hoặc dự án nào.

-

Được sử dụng bởi hàng triệu người trên khắp thế giới.
Nhược điểm của GeoGebra

-

Một nhược điểm duy nhất của GeoGebra: hơi phức tạp cho người mới bắt đầu.
3.1.5. Nội dung và tiến trình thực hiện chuyên đề
a. N i dung của chu ên đề

Thiết kế công cụ dạy học cho các chương sau:
Giải tích 12 cơ bản:
Chương I: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
Chương III: Ngun hàm- tích phân.
Hình học 12 cơ bản:
Chương I: Khối đa diện.
Chương II: Mặt tròn xoay.
b.

iến t ình thực hi n

Thiết kế công cụ trình chiếu các hình ảnh chuyển động có liên quan đến nội dung
giảng dạy trong các chương đã nêu trên.
Thực hiện theo khung kế hoạch phân phối chương trình của Tổ chun mơn đã đề
ra từ đầu năm học.
c. Thời gian thực hi n

8

Thời gian thực hiện sáng kiến: năm học 2018 -2019 trên lớp 12C2 trường THPT
Võ Thành Trinh.
d. Bi n pháp tổ chức
Đặt vấn đề ở mỗi bài giảng về sự hình thành những hình ảnh có thể xuất hiện
trong từng bài học cụ thể.
Khảo sát sự hình thành ý tưởng về những hình ảnh mà học sinh phải học trong
từng bài, từng chương.
Thực nghiệm, cho học sinh quan sát hình ảnh “hình học động” bằng phần mềm
geogebra tạo ra hứng thú học tập và chính xác hố ý tưởng hình ảnh trong suy nghĩ
của các em. Cụ thể:
Hỗ trợ dạy học định lý tốn học
Quy trình dạy học định lý toán học với sự hỗ trợ của phần mềm GeoGebra
gồm các bước như sau:
Tiếp cận định lý: Trước hết, giáo viên gợi động cơ, sự tò mò, động viên và thu
hút học sinh. Thiết lập mục đích dạy học, gợi lại kiến thức cũ liên quan đến nội dung
dạy học. Tiếp theo, giáo viên đưa ra các ví dụ ở dạng động, trực quan và yêu cầu học
sinh quan sát các ví dụ và thực hiện các hoạt động sau:
+ Quan sát, đo đạc, thử nghiệm trên các ví dụ hoặc phản ví dụ.
+ Phân tích, so sánh, phân loại, tìm tịi, tìm kiếm và đưa ra các dự đốn về hướng
giải quyết bài toán.
Phát hi n a định lý, tạo đ ng cơ chứng minh: Nếu học sinh sử dụng phần
mềm để tạo ra đối tượng và sau đó cho đối tượng thay đổi mà vẫn giữ nguyên các giả
thiết ban đầu thì có thể sẽ phát hiện được những bất biến chứa ẩn trong đối tượng
trên cơ sở quan sát trực quan. Đây chính là q trình học sinh thể hiện năng lực quan
sát để tìm và dự đốn. Mặt khác, học sinh có thể sử dụng các công cụ của phần mềm
GeoGebra để kiểm tra ngay dự đốn đó. Đây chính là q trình trợ giúp học sinh phát
hiện ra định lý. Việc phát hiện ra định lý có thể hoặc học sinh tự mình khám phá và
phát hiện ra định lý hoặc học sinh phát hiện ra định lý thông qua một số bước kiểm

nghiệm theo sự định hướng của giáo viên.
9


Thể chế hóa: Giáo viên cho biết điều vừa phát hiện là một định lý cần học.
Yêu cầu học sinh phát biểu định lý. Giáo viên sử dụng phần mềm hỗ trợ học sinh
tìm cách chứng minh. Mặc dù phần mềm khơng có các chức năng để chứng minh tính
đúng đắn của một mệnh đề toán học, nhưng trong quá trình chứng minh định lý có thể
sử dụng phần mềm trong một số công đoạn.
Nhận dạng và thể hi n định lý: Trong dạy học định lý, hoạt động “nhận dạng”
và “thể hiện” có vai trị đặc biệt quan trọng, chức năng của phần mềm GeoGebra hỗ
trợ học sinh phân tích một tình huống nào đó cho khớp với định lý nào đó khơng hoặc
tạo ra những tình huống phù hợp với một định lý cho trước.
Củng cố và vận dụng định lý: Giáo viên đưa ra các bài tập củng cố và vận
dụng định lý.
Hỗ trợ dạy học giải bài tập toán học
Khai thác phần mềm GeoGebra hỗ trợ dạy học trong giải bài tập được tiến
hành theo các bước sau:
- Bước 1. Tìm hiểu bài tốn: Sử dụng phần mềm GeoGebra vẽ hình để tìm hiểu bài
tốn, xác định các yếu tố ban đầu.
- Bước 2. Xây dựng chương trình giải bài tốn: Cho thay đổi hình vẽ để quan sát các
yếu tố cần tìm hiểu để từ đó phát hiện ra những vị trí đặc biệt, những mối quan hệ,
tính chất bất biến của các đối tượng trong bài tốn.
- Bước 3. Thực hiện chương trình giải bài tốn: Trong q trình thực hiện lời giải,
phần mềm có thể giúp kiểm tra các giả thuyết, trả lời các câu hỏi phục vụ cho quá
trình lập luận và viết lời giải của bài toán.
- Bước 4. Kiểm tra lời giải của bài toán: Sau khi giải xong, chúng ta sử dụng các chức
năng của các phần mềm để minh họa, kiểm tra lại kết quả và toàn bộ q trình giải
tốn và cho thay đổi các yếu tố đầu bài của bài toán để nghiên cứu mở rộng bài tốn.
3.2. Nội dung chun đề

Giải tích 12: Chương I. Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Đúc kết kinh nghiệm qua các năm giảng dạy, trong chương này người dạy và
người học gặp rất nhiều khó khăn trong việc tương tác với nhau qua các bài toán về sự
10


tương giao giữa các đồ thị, giữa đường thẳng và đường cong hoặc giữa các đồ thị của
các hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối. Nó hạn chế rất nhiều về mặt kỹ thuật vẽ hình
và thời lượng giảng dạy. Để giải quyết những khó khăn đó, chúng tôi tiến hành thực
hiện ý tưởng giảng dạy như sau:
Trước hết, giáo viên cần hướng dẫn chi tiết cách vẽ các loại đồ thị theo
phương pháp tự luận trước đây, sau khi học sinh đã nắm vững các ý tưởng và thực
hành vẽ được các loại đồ thị cơ bản, giáo viên mới đưa vào giảng dạy sự tương giao
đồ thị hàm số bằng phần mềm Geogebra nhằm tiết kiệm thời lượng và tạo hứng thú
học tập giải toán nhanh chóng cho học sinh. Các dạng tốn thường gặp về sự tương
giao nhất thiết phải có hình ảnh minh hoạ trực quan để học sinh thấy và tư duy hình
ảnh chính xác.
Bài tốn 1: Sự tương giao giữa hàm số bậc ba y  ax3  bx 2  cx  d
một đường thẳng y  mx  n

C 

và

d .

Để minh hoạ rõ nét mối quan hệ giữa hai đồ thị hàm số và biện luận số nghiệm
3
2
của phương trình ax  bx  cx  d  mx  n , ta lần lượt thao tác trên công cụ

Geogebra đã được thiết kế sẵn như sau:

Hộp nhập dữ liệu
cho hàm số

Thanh trượt

Hộp nhập dữ liệu

cho hàm số

11


Lần lượt nhập các hệ số a,b,c,d của hàm số f  x   ax3  bx 2  cx  d và hộp
nhập dữ liệu ta được đồ thị hàm số f  x  nhanh chóng và trực quan.
Đối với đường thẳng y  mx  n ta cũng nhập các hệ số m,n tương ứng, trên
màn hình sẽ nhanh chóng hiển thị đồ thị của hai hàm số và thể hiện rõ ràng số giao
điểm của hai đường. Ngồi ra ta có thể thay đổi các hệ số m,n, p,q tương ứng trên
hộp nhập dữ liệu để tạo ra đường thẳng g  x  hoặc một hàm số khác hay một đường
thẳng song song với trục Ox .
Cơng cụ đắc lực chính là thanh trượt, nếu hàm số g  x  có chứa tham số giáo
viên có thể điểu chỉnh thanh trượt để cho đồ thị hàm số g  x  di chuyển để hiển thị số
giao điểm nếu có của hai đường tuỳ vào từng giá trị của tham số đã có trong hàm số

g  x .
Với công cụ này, giáo viên có thể minh hoạ nhanh chóng cho ý tưởng về đồ thị
và sự tương giao giữa chúng.
Bài toán 2: Sự tương giao giữa hàm số bậc bốn (trùng phương)

y  ax 4  bx 2  c  C  và một đường thẳng y  mx  n  d  .
Lần lượt nhập các hệ số a,b,c của hàm số f  x   ax 4  bx 2  c và hộp nhập
dữ liệu ta được đồ thị hàm số f  x  .
Đối với đường thẳng y  mx  n ta cũng nhập các hệ số m,n tương ứng, trên
màn hình sẽ nhanh chóng hiển thị đồ thị của hai hàm số và thể hiện rõ ràng số giao
điểm của hai đường.
Nếu hàm số g  x  có chứa tham số giáo viên có thể điểu chỉnh thanh trượt để
cho đồ thị hàm số g  x  di chuyển để hiển thị số giao điểm nếu có của hai đường tuỳ
vào từng giá trị của tham số đã có trong hàm số g  x  . Hoặc giáo viên có thể nhấp
chuột phải vào thanh trượt và chọn lệnh “hiệu ứng trên” để cho đường thẳng g  x  tự
chuyển động lên xuống và chỉ cần quan sát xem số giao điểm mà không cần trực tiếp
di chuyển thanh trượt.
12


Hộp nhập dữ
liệu cho hàm số

Hộp nhập dữ
liệu cho hàm

Thanh trượt

số
Hộp ẩn hiện

Hộp ẩn hiện

Bài toán 3. Sự tương giao của hàm nhất biến f  x  

ax  b
 ad  bc  0  và
cx  d

đường thẳng g  x   mx  n.
Tương tự như hai bài toán trên, ta thao tác tương tự cho hàm nhất biến
f  x 

ax  b
 ad  bc  0  , đối với hàm này có xuất hiện thêm hai đối tượng mới là
cx  d

hai đường tiệm cận, tuy nhiên, ta chỉ cần nhập các hệ số tương ứng a,b,c,d đồ thị sẽ
tự động hiển thị hai đường tiệm cận, các thao tác còn lại hồn tồn tương tự như hai
bài tốn trên.
Cơng cụ này hỗ trợ rất hiệu quả và tiết kiệm thời gian đối với việc vẽ đồ thị của
các hàm nhất biến hoặc các hàm nhất biến chứa dấu giá trị tuyệt đối.

13


Thanh trượt
Hộp nhập dữ
liệu cho hàm số

Hộp nhập dữ
liệu cho hàm
số

3
2
Bài toán 4. Sự tương giao của hàm số f  x   ax  bx  cx  d

và đường

thẳng g  x   mx  n.
Với nhu cầu học tập hiện nay, khối lượng bài tập là rất nhiều, vì vậy việc minh
hoạ cho học sinh thấy được đồ thị của các hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối là một
điều mà chúng tôi ln băn khoăn, vì trong thời lượng 45 phút thì thời gian vẽ hình sẽ
chiếm đáng kể, vì vậy với công cụ dưới đây, giáo viên chỉ cần nhập dữ liệu vào là
trên màn ảnh sẽ nhanh chóng hiển thị đồ thị tương ứng, thể hiện rõ ràng sự tương giao
nếu có giữa đồ thị các hàm số, tiết kiệm rất nhiều về thời gian và làm cho việc tương
tác của giáo viên và học sinh đạt hiệu quả cao.
Giáo viên có thể cho hiển thị theo như trình tự giải một bài tốn đồ thị thơng
thường, trước tiên là vẽ đồ thị hàm số f  x   ax3  bx 2  cx  d

nhấp vào hộp ẩn

hiện hàm số h  x  để hiển thị đồ thị hàm số ban đầu là f  x  , từ đồ thị f  x  suy ra
đồ thị hàm số f  x  nhấp vào hộp ẩn hiện hàm số f  x  để cho hiển thị đồ thị hàm

f  x  ,giáo viên có thể cho ẩn hoặc hiển thị đồ thị hàm số f  x  tuỳ theo tình hình
cụ thể, cuối cùng là hồn chỉnh bài tốn với một hình vẽ cuối cùng trên màn ảnh.

14


Nếu cần minh hoạ sự tương giao của đồ thị hàm số f  x 

với một đường

thẳng g  x   n ( n là hằng số) song song với trục Ox giáo viên chỉ cần điều chỉnh
thanh trượt thì học sinh sẽ thấy được số giao điểm ứng với những giá trị của tham số
n. Hoặc có thể cho thanh trượt tự di chuyển lên xuống để ta quan sát số giao điểm của

đồ thị hai hàm số và biện luận theo tham số n về số giao điểm đó của hai đồ thị.

Hộp nhập dữ
liệu cho hàm số

Hộp nhập dữ
liệu cho hàm số
Thanh trượt

Bài toán 5. Sự tương giao của hàm số f  x   a x  b x  c x  d và đường
3

2

thẳng g  x   mx  n.
Trước tiên vẽ đồ thị hàm số f  x   ax3  bx 2  cx  d ta nhập vào các hệ số
a,b,c,d trên hộp nhập dữ liệu và nhấp vào hộp ẩn hiện để hiển thị đồ thị h  x  , lúc

này chưa cho hiển thị đồ thị hàm số f  x  . Trên màn hình chỉ hiển thị đồ thị hàm số

f  x .
Từ đồ thị hàm số f  x  suy ra đồ thị hàm số f  x  , nhấp vào hộp ẩn hàm số

h  x  và hiển thị đồ thị hàm số f  x  ta được đồ thị hoàn chỉnh của hàm số f  x  .

15


Nếu cần minh hoạ sự tương giao của đồ thị hàm số f  x  với một đường
thẳng g  x   n ( n là hằng số) song song với trục Ox giáo viên chỉ cần điều chỉnh
thanh trượt thì học sinh sẽ thấy được số giao điểm ứng với những giá trị của tham số
n.

Hộp nhập dữ liệu
cho hàm số

Hộp nhập dữ liệu
cho hàm số

Hộp ẩn hiện

Hộp ẩn hiện

Bài toán 6. Sự tương giao của đồ thị hàm số f  x  

ax  b
 ad  bc  0 
cx  d

với đường thẳng g  x   mx  n.
Việc vẽ đồ thị hàm số nhất biến f  x  

ax  b
mất khá nhiều thời gian, bên

cx  d

cạnh đó đồ thị này xuất hiện thêm hai đối tượng nữa là hai đường tiệm cận, nên việc
suy từ đồ thị hàm số f  x  sang hàm số f  x  mất khá nhiều thời gian. Vì vậy, cơng
cụ dưới đây sẽ giúp chúng ta vẽ hình và suy đồ thị một cách nhanh chóng và tiết kiệm
thời gian để có thể giải quyết một khối lượng bài tập nhiều hơn,đồng thời học sinh
thấy được những hình ảnh trực quan sinh động sẽ làm cho các em hứng khởi hơn
trong việc giải toán.
Thao tác tương tự như những công cụ trên, ta nhập vào hộp nhập dữ liệu các hệ
số tương ứng a,b,c,d trên màn hình sẽ tự động hiển thị các đường tiệm cận và hình
16


dáng đồ thị tương ứng, tiếp đó là điều khiển thanh trượt để quan sát và biện luận số
giao điểm giữa đồ thị và đường thẳng theo tham số đã cho trong bài tốn, ngồi ra ta
có thể thay đổi các hệ số để có những bài tốn mới cho học sinh quan sát và khắc sâu
kiến thức hơn.

Hộp ẩn hiện

Hộp ẩn hiện

Hộp nhập dữ liệu
cho hàm số

Hộp nhập dữ liệu

Thanh trượt

cho hàm số

Bài toán 7. Sự tương giao của đồ thị hàm số f  x  

a x b
 ad  bc  0 
c x d

với đường thẳng g  x   mx  n.
Hộp ẩn hiện
Hộp ẩn hiện

Hộp nhập dữ liệu
cho hàm số

Thanh trượt
Hộp nhập dữ liệu
cho hàm số

17


Hình học 12 cơ bản: Chương I. Khối đa diện
Bài tốn 8. Minh hoạ cho khối chóp và phân chia khối chóp
Di chuyển thanh trượt để cắt và phân chia khối chóp

Bài tốn 9. Minh hoạ cho khối lăng trụ và phân chia khối lăng trụ
Di chuyển thanh trượt để tạo và phân chia khối lăng trụ, có thể di chuyển thêm
điểm J để tách rời khối lăng trụ thành hai khối chóp riêng biệt.

18

Hình học 12 cơ bản: Chương II. Khối nón, khối trụ, khối cầu
Bài toán 10. Minh hoạ sự tạo thành mặt tròn xoay.
Nhấp chuột phải vào điểm C và chọn “hiệu ứng trên” cho điểm C di chuyển để
quan sát sự tạo thành mặt tròn xoay.

19


Bài tốn 11. Minh hoạ sự tạo thành mặt nón tròn xoay
Nhấp chuột phải vào điểm C và chọn “hiệu ứng trên” cho điểm C di chuyển để
quan sát sự tạo thành mặt nón trịn xoay.

20


Bài toán 12. Minh hoạ sự tạo thành mặt trụ tròn xoay
Nhấp chuột phải vào điểm D và chọn “hiệu ứng trên” cho điểm D di chuyển để
quan sát sự tạo thành mặt trụ trịn xoay.

Bài tốn 13. Sự tạo thành mặt cầu
Nhấp chuột phải vào điểm C và chọn “hiệu ứng trên” cho điểm C di chuyển để
quan sát sự tạo thành mặt cầu.

21


GIẢI TÍCH 12: Chương III. NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
Trong chương này, học sinh phải làm quen với những bài tốn liên quan đến

hình học khơng gian và sự tạo thành các khối trịn xoay có hình dạng phức tạp. Vấn đề
là làm thế nào để minh hoạ trực quan nhất sự tạo thành của các khối tròn xoay đó.
Cơng cụ dưới đây sẽ hỗ trợ rất hiệu quả cho phần này.
Chúng tơi thiết kế sẵn mơ hình gồm hệ trục Oxyz và chỉ cần nhập vào hộp
nhập dữ liệu hàm số có một đồ thị là đường cong quay quanh trục Ox , sau đó điều
khiển thanh trượt là ta sẽ có một mặt trịn xoay trực quan sinh động.
Trường hợp 1. Sự tạo thành vật thể trịn xoay

Người sử dụng có thể thay đổi hàm số và kích thước độ dài đường cong tuỳ ý,
chỉ cần nhấp thay đổi giá trị cận trên và giá trị cận dưới ta sẽ có một đường cong theo
ý muốn, tiếp theo chỉ cần nhấp phải vào thanh trượt và chọn “hiệu ứng trên” ta sẽ thấy
đường cong di chuyển quay quanh trục Ox để tạo ra mặt tròn xoay vô cùng đẹp mắt.
Trường hợp 2: Sự tạo thành khối nón trịn xoay
Nhấp vào hộp nhập dữ liệu thay đổi hàm số

y  sin x thành hàm số y  a ( a

là hằng số), nhập giới hạn cận trên và cận dưới, sau đó cho di chuyển thanh trượt ta
được khối nón cần minh hoạ cho phần bài giảng về khối nón.
22


Trường hợp 3. Sự tạo thành khối trụ tròn xoay
Mở file lên và chỉ cần di chuyển thanh trượt ta quan sát được sự tạo thành khối
trụ tròn xoay

Trường hợp 4. Sự tạo thành khối cầu
Giáo viên mở file phần mềm Geogebra và chỉ cần di chuyển thanh trượt sẽ
quan sát được sự tạo thành khối cầu từ các phía trong không gian.
23

Bài toan 14. Minh hoạ cho việc tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
hàm số y  f  x  ,Ox,x  a,x  b.
Đầu tiên nhập vào hộp nhập dữ liệu hàm số f  x  .
Nếu đồ thị f  x  cắt trục hồnh tại 2 điểm A,B thì nhập cận dưới là giá trị
hoành độ điểm A, cận trên là giá trị hồnh độ điểm B ta sẽ có một hình ảnh thể hiện
phần diện tích cần tính và giá trị diện tích cũng được thể hiện là S.

24


Nếu đồ thị f  x  cắt trục hoành tại 3 điểm A,B,C thì nhập cận dưới là giá trị
hoành độ điểm A, cận trên là giá trị hoành độ điểm C ta sẽ có một hình ảnh thể hiện
phần diện tích cần tính và giá trị diện tích cũng được thể hiện là S.

Bài toán 15. Minh họa cho việc tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
hàm số y  f  x  , y  g  x  ,x  a,x  b.
Trường hợp f  x  và g  x  cắt nhau tại 2 điểm

25