Các dạng bài tập VDC phương trình đường thẳng

BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
A. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Phương trình đường thẳng
Vectơ chỉ phương của đường thẳng
Chú ý:

 
Cho đường thẳng . Vectơ u  0 gọi là vectơ chỉ phương của + Nếu u là vectơ chỉ phương của 

đường thẳng  nếu giá của nó song song hoặc trùng với .
thì k .u  k  0  cũng là vectơ chỉ
Cho đường thẳng  đi qua M  x0 ; y0 ; z0  và có vectơ chỉ phương của .

+ Nếu đường thẳng  đi qua hai điểm
phương là u   a; b; c  .

A, B thì AB là một vectơ chỉ phương.
Phương trình tham số của đường thẳng
Phương trình tham số của đường thẳng  có dạng

 x  x0  at

 y  y0  bt , t   (1)
 z  z  ct
0


Cho đường thẳng  có phương trình
(1) thì

+ u   a; b; c  là một vectơ chỉ

phương của .
+

Với

điểm

M 

thì

M  x0  at ; y0  bt ; z0  ct  trong đó t

là một giá trị cụ thể tương ứng với
từng điểm M.
Phương trình chính tắc

Nếu a, b, c  0 thì phương trình chính tắc của đường thẳng  có
dạng

x  x0 y  y0 z  z0


a
b
c

 2

2. Khoảng cách
Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Cho đường thẳng  đi qua M 0 , có vectơ chỉ phương u và điểm M   . Khi đó để tính khoảng

cách từ M đến  ta có các cách sau:
 
 MM 0 , u 


Cách 1: Sử dụng công thức: d  M , d  
.

u
Cách 2:

+ Lập phương trình mặt phẳng  P  đi qua M vng góc với .
+ Tìm giao điểm H của  P  với .
+ Khi đó độ dài MH là khoảng cách cần tìm.


Cách 3:

+ Gọi N  d , suy ra tọa độ N theo tham số t .
+ Tính MN 2 theo t .
+ Tìm giá trị nhỏ nhất của tam thức bậc hai.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cho hai đường thẳng chéo nhau  đi qua M 0 có vectơ chỉ phương u và  đi qua M 0 có vectơ


chỉ phương u  . Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng  và  được tính theo các cách sau:
  
u , u  .M 0 M 0


Cách 1: Sử dụng công thức: d  ,   
.
 
u , u  


Cách 2: Tìm đoạn vng góc chung MN . Khi đó độ dài MN là khoảng cách cần tìm.
Cách 3: Lập phương trình mặt phẳng  P  chứa qua  và song song với  . Khi đó khoảng cách

cần tìm là khoảng cách từ một điểm bất kì trên  đến  P  .
3. Vị trí tương đối
Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Trong

không

gian

Oxyz,

hai

đường

thẳng

x  x0 y  y0 z  z0
đi qua M 1  x0 ; y0 ; z0  có


a
b
c

vectơ chỉ phương u1   a; b; c  , và
d1 :

x  x0 y  y0 z  z0
đi qua M 2  x0 ; y0 ; z0  có


a
b
c

vectơ chỉ phương u2   a; b; c  .
d2 :

Để xét vị trí tương đối của d1 và d 2 , ta sử dụng
phương pháp sau:
Phương pháp hình học

 
 a1 a2 a3


u1 / / u2
 
+ d1 trùng d 2  
  b1 b2 b3
 M 1  d 2
M  d
2
 1
 

 u1 , u2   0


+ d1 / / d 2    
 hoặc



,
0
u
M
M
  1 1 2 
 
 a1 a2 a3

u1 || u2
 

  b1 b2 b3

 M 1  d 2
M  d
 1
2

Ta có thể dùng phương pháp đại số để xét vị
trí tương đối: Dựa vào số nghiệm của hệ
phương trình các đường thẳng.
Chú ý trường hợp vơ nghiệm
 
+ Nếu u1 ; u2 cùng phương thì d1 //d 2 .
 
+ Nếu u1 ; u2 không cùng phương thì d1 ; d 2
chéo nhau.


 

 u1 , u2   0


+ d1 cắt d 2     
 u1 , u2  .M 1M 2  0
  
+ d1 chéo d 2  u1 , u2  .M 1M 2  0

Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

Trong

không

gian

  : Ax  By  Cz  D  0

Oxyz,
có

cho

mặt

phẳng

Phương pháp đại số

vectơ

pháp

tuyến

Xét hệ phương trình

1
 2
 3

 4

 x  x0  at


n   A; B; C  và đường thẳng d :  y  y0  bt đi qua

 z  z0  ct

M  x0 ; y0 ; z0  có vectơ chỉ phương ud   a; b; c  .

 x  x0  at

 y  y0  bt

 z  z0  ct
 Ax  By  Cz  D  0


Để xét vị trí tương đối của d và   ta sử dụng phương

Thay (1), (2), (3) vào (4), ta được
A  x0  at   B  y0  bt   C  z0  ct   D  0 *

pháp sau:
Phương pháp hình học
 
u  n
 Nếu  d
thì d    .

 M  x0 ; y0 ; z0    
 
ud  n
 Nếu 
thì d //   .
 M  x0 ; y0 ; z0    




 Nếu ud và n cùng phương  ud  k .n với k  0

thì d    .
 


 Nếu ud .n  0 ; ud và n khơng cùng phương thì d
cắt   .

+) Nếu phương trình (*) vơ nghiệm t thì
d //   .

+) Nếu phương trình (*) có nghiệm t duy
nhất thì d cắt   .
+) Nếu phương trình (*) có vơ số nghiệm t
thì d    .
Chú ý: Để tìm điểm chung của đường thẳng
d và mặt phẳng   ta giải phương trình (*),

sau đó thay giá trị t vào phương trình tham số

của d để tìm  x; y; z 

Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng và mặt cầu
 x  x0  at

có phương trình lần lượt là: d :  y  y0  bt , t   và
 z  z  ct
0


 S  :  x  a   y  b   z  c
2

2

Để xét vị trí tương đối của
phương pháp sau:

2

 R2 .
d và   ta sử dụng


Phương pháp hình học

Phương pháp đại số

Bước 1: Tìm khoảng cách từ tâm I của  S  đến d .

thay x, y, z từ phương trình tham số của d vào

Bước 2:

phương trình  S  , khi đó ta được phương trình

+ Nếu d  I , d   R thì d khơng cắt  S  .

bậc hai theo t . Biện luận số giao điểm của

+ Nếu d  I , d   R thì d tiếp xúc  S  .

d 

+ Nếu d  I , d   R thì d cắt  S  .

bậc hai theo t .

và  S  theo số nghiệm của phương trình

Chú ý: Để tìm điểm chung của đường thẳng và

mặt cầu ta giải phương trình bậc hai theo t ,
sau đó thay giá trị của t vào phương trình
tham số của d để tìm  x; y; z  .
Chú ý: Góc giữa hai đường thẳng là góc nhọn.

4. Góc

Góc giữa hai đường thẳng

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1 , d 2
 
lần lượt có các vectơ pháp tuyến là u1 , u2 .

Góc giữa d1 và d 2 bằng hoặc bù với góc giữa u1 và

u2 .
 
u1.u2
 
Ta có: cos  d1 , d 2   cos u1 , u2    .
u1 . u2





Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Chú ý: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d có vectơ góc nhọn.

chỉ phương ud và mặt phẳng   có vectơ pháp tuyến

n .
Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng   bằng
góc giữa đường thẳng d với hình chiếu d  của nó trên

  .
 
ud .n
 
Ta có: sin  d ,     cos ud , n    .
ud . n






SƠ ĐỒ HỆ THỐNG
Đi qua M 0  x0 ; y0 ; z0  và có

vectơ chỉ phương là u  a; b; c 

Phương
trình đường

Tham số:
 x  x0  at

 y  y0  bt , t  
 z  z  ct
0




u



Chính tắc:
Nếu a, b, c  0 thì
x  x0 y  y0 z  z0


a
b
c

ĐƯỜNG THẲNG
Khoảng cách từ điểm
M đến đường thẳng

 
 MM 0 , u 


d  M ,  

u

Khoảng
cách

Khoảng cách 2 đường

thẳng chéo nhau , 
  
u , u  .M 0 M


d  ,    
 


Giữa hai đường thẳng
d và d 
 
cos  d1 , d 2   cos u1 , u2





Góc giữa đường thẳng
d và mặt phẳng  
 
sin  d ,     cos ud , n



Vị trí
tươn
g đối

Góc

Hai đường thẳng d1 , d 2
 
 
u1 / / u2
u1 / / u2
; d1 / / d 2  
d1  d 2  
 M 1  d 2
 M 1  d 2
;
d1
cắt
d2
 
  
 u1 , u2   0; u1 , u2  .M 1M 2  0
  
d1 chéo d 2  u1 , u2  .M 1M 2  0
Đường thẳng d và mặt phẳng  
 
d     ud  n ; M  x0 ; y0 ; z0    
 
d //    ud  n ; M  x0 ; y0 ; z0    
 
 
d cắt    ud .n  0 , ud , n
không cùng phương
Đường thẳng d và mặt cầu S  I , R 
d không cắt  S   d  I , d   R

d tiế

ú



S   d I d 

R


B. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng
1. Phương pháp


 Đường thẳng d đi qua điểm M 0  x0 ; y0 ; z0  và có vectơ chỉ phương a   a1 ; a2 ; a3  có phương
 x  x0  a1t

trình tham số là  y  y0  a2t  t    .
z  z  a t
0
3



 Đường thẳng d đi qua hai điểm A, B: Một vectơ chỉ phương của d là AB .
 Đường thẳng d đi qua điểm M 0  x0 ; y0 ; z0  và song song với đường thẳng  cho trước: Vì d //
nên vectơ chỉ phương của  cũng là vectơ chỉ phương của d .
 Đường thẳng d đi qua điểm M 0  x0 ; y0 ; z0  và vng góc với mặt phẳng  P  cho trước: Vì

d   P  nên vectơ pháp tuyến của  P  cũng là vectơ chỉ phương của d .
Đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng  P  ,  Q  .

Cách 1: Tìm một điểm và một vectơ chỉ phương
 Tìm toạ độ một điểm A  d bằng cách giải hệ phương trình mặt phẳng của  P  ,  Q  với việc
chọn giá trị cho một ẩn.

 
 Tìm một vectơ chỉ phương của d : a   nP , nQ  .

Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó.
 Đường thẳng d đi qua điểm M 0  x0 ; y0 ; z0  và vng góc với hai đường thẳng d1 , d 2 : Vì

 
d  d1 , d  d 2 nên một vectơ chỉ phương của d là: u  ud1 , ud2  .

2. Bài tập
Bài tập 1. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A  2;1; 1 , B  2;3;1 và C  0; 1;3 .
Gọi d là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và vng góc với mặt
phẳng  ABC  . Phương trình đường thẳng d là

A.

x  1 y 1 z  2


.
1
1
1

B.

x 1 y z
  .
1
1 1

C.

x
y2 z

 .
1
1
2

D.

x 1 y z
  .
1
1 1

Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ta có



AB   4; 2; 2   AB  16  4  4  2 6 .



AC   2; 2; 4   AC  4  4  16  2 6 .

BC   2; 4; 2   BC  4  16  4  2 6 .
Vậy tam giác ABC đều nên tâm đường tròn ngoại tiếp là trọng tâm G  0;1;1 .
 
Ta có  AB, AC   12;12;12   12 1;1;1 .

 
Đường thẳng d đi qua G  0;1;1 và có vectơ chỉ phương cùng phương với  AB, AC  , do đó

chọn u  1;1;1 .
x  t

Phương trình đường thẳng d là  y  1  t .
z  1 t


Với t  1 , ta có điểm A  1; 0;0   d .

Vậy đường thẳng d đi qua A  1; 0;0  và có vectơ chỉ phương u  1;1;1 .

Bài tập 2. Trong không gian Oxyz, cho hai

M 1; 2;3 , N  3; 4;5 

và mặt phẳng

 P  : x  2 y  3z  14  0 . Gọi  là đường thẳng thay đổi nằm trong mặt phẳng  P  , các điểm

H,K

lần lượt là hình chiếu vng góc của M , N trên . Biết rằng khi MH  NK thì trung điểm của HK
ln thuộc một đường thẳng d cố định, phương trình của đường thẳng d là
x  t

A.  y  13  2t .
 z  4  t


x  t

B.  y  13  2t .
 z  4  t


x  t

C.  y  13  2t .

 z  4  t

x  1

D.  y  13  2t .
 z  4  t


Hướng dẫn giải
Chọn A.
Gọi I là trung điểm của HK .
Do MH  NK nên HMI  KNI  IM  IN . Khi đó I thuộc mặt phẳng  Q  là mặt phẳng
trung trực của đoạn MN .

 1 
Ta có  Q  đi qua trung điểm của MN là điểm J  2;3; 4  và nhận n  MN  1;1;1 làm vectơ
2
pháp tuyến nên có phương trình là  Q  : x  y  z  9  0 .

x  y  z  9  0
Mà I  A   P  . Suy ra I  d   P    Q  : 
 x  2 y  3 z  14  0
Tìm được  0;13; 4   d và vectơ chỉ phương của d là 1; 2;1 .
x  t

Vậy d :  y  13  2t .
 z  4  t



Bài tập 3. Trong không gian Oxyz. Cho điểm E 1;1;1 , mặt cầu  S  : x 2  y 2  z 2  4 và mặt phẳng

 P  : x  3 y  5 z  3  0 . Gọi  là đường thẳng đi qua

E , nằm trong  P  và cắt  S  tại hai điểm

A, B sao cho OAB là tam giác đều. Phương trình tham số của  là

 x  1  2t

A.  y  1  t .
z  1 t


 x  1  4t

B.  y  1  3t .
z  1 t


 x  1  2t

C.  y  1  t .
z  1 t


x  1 t

D.  y  1  t .
 z  1  2t


Hướng dẫn giải
Chọn C.


Gọi u   a; b; c  là một vectơ chỉ phương của  với a 2  b 2  c 2  0 .


Ta có nP  1; 3;5  .
   
Vì    P  nên u  nP  u.nP  0  a  3b  5c  0  a  3b  5c .
Mặt cầu  S  có tâm O  0; 0; 0  và bán kính R  2 .
Gọi H là hình chiếu vng góc của O trên AB
Ta có OAB là tam giác đều cạnh R nên OH 

R 3
 3.
2

Suy ra khoảng cách từ O đến đường thẳng  bằng OH  3 .
 
u , OE 


 3
Khi đó

u
  a  b   b  c    c  a   3  a 2  b2  c2 
2

2

2

 a  b  c  0  a  b  c  0
2

(2)

Thay (1) vào (2) ta được:
3b  5c  b  c  0  b  c  a  2c .

Thay c  1 thì b  1 và a  2 .


Ta được một vectơ chỉ phương của  là u   2; 1; 1

 x  1  2t

Vậy phương trình của đường thẳng  là  y  1  t .

z  1 t

(1)


Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng bằng phương pháp tham số hóa
1. Phương pháp

 Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M 0  x0 ; y0 ; z0  , vng góc và cắt đường thẳng .
 
Cách 1: Gọi H là hình chiếu vng góc của M 0 trên đường thẳng . Khi đó H  , M 0 H  u .
Khi đó đường thẳng d là đường thẳng đi qua M 0 , H .
Cách 2: Gọi  P  là mặt phẳng đi qua M 0 và vng góc với d .  Q  là mặt phẳng đi qua M 0 và
chứa d . Khi đó d   P    Q 

 Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M 0  x0 ; y0 ; z0  và cắt hai đường thẳng d1 , d 2 .

Cách 1: Gọi M 1  d1  d , M 2  d 2  d . Suy ra M 0 , M 1 , M 2 thẳng hàng. Từ đó tìm được M 1 , M 2
và suy ra phương trình đường thẳng d .
Cách 2: Gọi  P  là mặt phẳng đi qua M 0 và chứa d1 ;  Q  là mặt phẳng đi qua M 0 và chứa d 2 .


 
Khi đó d   P    Q  . Do đó một vectơ chỉ phương của d có thể chọn là u   nP , nQ  .

 Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng  P  và cắt cả hai đường thẳng d1 , d 2 : Tìm các giao điểm
A  d1   P  , B  d 2   P  . Khi đó d chính là đường thẳng AB .

 Đường thẳng d song song với  và cắt cả hai đường thẳng d1 , d 2 : Viết phương trình mặt phẳng

P

song song với  và chứa d1 , mặt phẳng

Q 

song song với  và chứa d 2 . Khi đó

d   P   Q  .

 Đường thẳng d là đường vng góc chung của hai đường thẳng d1 , d 2 chéo nhau:
 MN  d1
Cách làm: Gọi M  d1 , N  d 2 . Từ điều kiện 
, ta tìm được M , N . Viết phương trình
 MN  d 2

đường thẳng MN chính là đường vng góc chung của d1 , d 2 .

2. Bài tập
Bài tập 1. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P  : x  y  z  1  0 và đường
thẳng d :

x  4 y  2 z 1


. Phương trình đường thẳng d  là hình chiếu vng góc của d trên
2
1
2

mặt phẳng  P  là

A.

x y  2 z 1


.
5
7
2

B.

x
y  2 z 1



.
7
2
5

C.

x
y  2 z 1


.
7
2
5

D.

x y  2 z 1


.
5
7
2


Hướng dẫn giảii
Chọn B.

 x  4  2t

Đường thẳng d có phương trình tham số là  y  2  2t  t    .
 z  1  t

Lấy điểm M  d   P   M  4  2t ; 2  2t ; 1  t   d . Thay đổi tọa độ điểm M vào phương
trình mặt phẳng  P  ta được: 4  2t  2  2t  1  t  0  t  2 .
Suy ra M  0; 2;1 .
Do đó d   P   M  0; 2;1 .
Lấy A  4; 2; 1  d . Gọi H là hình chiếu vng góc của A lên mặt phẳng  P  .

Đường thẳng AH đi qua A  4; 2; 1 và nhận n P   1;1; 1 làm vectơ chỉ phương nên AH có
 x  4  t1

phương trình là  y  2  t1  t1    .
 z  1  t
1


Suy ra H  4  t1 ; 2  t1 ; 1  t1  .
Thay tọa độ H vào phương trình mặt phẳng  P  được

2
 10 8 1 
4  t1  2  t1  1  t1  1  0  t1    H  ;  ;   .
3
 3 3 3

MH

là hình chiếu của d

lên mặt phẳng

  10 14 4 
2
MH   ;  ;      5;7; 2 
3
3
3
 3
x
y  2 z 1
.


5
7
2
Bài tập 2. Cho các đường thẳng d1 :

 P ,

MH

đi qua M  0; 2;1 và nhận

là vectơ chỉ phương nên có phương trình là

x 1 y 1 z
x2 y z 3


và đường thẳng d 2 :
 
.
1
2
1
2
2
1

Phương trình đường thẳng  đi qua A 1;0; 2  , cắt d1 và vng góc với d 2 là
A.

x 1 y z  2


.
2
1
2

B.

x 1 y z  2



.
4
1
1

C.

x 1 y z  2
.
 
2
3
4

D.

x 1 y z  2
.
 
2
2
1

Hướng dẫn giải
Chọn C.


Gọi I  d1   , I 1  t , 1  2t , t   AI   t ; 2t  1; t  2  là một vectơ chỉ phương của .

Do u d2  1; 2; 2  là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d 2 và   d 2 .

 
Suy ra AI .u d2  0  t  2  2t  1  2  t  2   0  3t  6  0  t  2 .

x 1 y z  2
 
.
Vậy AI   2;3; 4  . Phương trình đường thẳng  cần tìm là
2
3
4
Bài tập 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P  : 3x  y  2 z  0 và hai đường

thẳng d1 :

x 1 y  6 z
x 1 y  2 z  4
.Đường thẳng vng góc với  P  cắt cả hai

 và d 2 :


1
2
1
3
1
4

đường thẳng d1 và d 2 có phương trình là
A.

x  2 y 1 z


.
3
1
2

B.

x5 y z 4
 
.
3
1
2

C.

x  2 y  8 z 1


.
2
3
1

D.

x 1 y  2 z  2


.
2
3
1

Hướng dẫn giải
Chọn A.
 x  1  t
x 1 y  6 z

d1 :

   y  6  2t , t  
2
1
1
z  t

M  d1  M  1  t ; 6  2t ; t  .

 x  1  3t 
x 1 y  2 z  4

d2 :



  y  2  t , t  
3
1
4
 z  4  4t 

N  d1  N 1  3t ; 2  t ; 4  4t   .

MN   2  t  3t ; 4  2t  t ; 4  t  4t   .



 P  : 3x  y  2 z  0 có vectơ pháp tuyến n  3;1; 2  .
Đường thẳng  d  vng góc với  P  cắt cả hai đường thẳng d1 tại M và cắt d 2 tại N suy ra
2  t  3t   3k
t  2




MN  k n  4  2t  t   k  t   1
4  t  4t   2k
k  1


t  2  M 1; 2; 2 
 
Do  d    P  nên ud  n P  .
 x  1  3s


Phương trình đường thẳng d là  y  2  s ; s   .
 z  2  2 s


Chọn s  1  A  2;1;0   d  d :

x  2 y 1 z
.


3
1
2


Bài tập 4. Viết phương trình đường thẳng d qua A 1; 2;3 cắt đường thẳng d1 :

x y z2
và
 
2 1
1

song song với mặt phẳng  P  : x  y  z  2  0 .
x  1 t

A.  y  2  t .
z  3  t


x  1 t

B.  y  2  t .
z  3


x  1 t

C.  y  2  t .
z  3


x  1 t

D.  y  2  t .
z  3  t


Hướng dẫn giải
Chọn C.


Do d  d1  B  B  2m; m; m  2   AB   2m  1; m  2; m  1 .
d song song với mặt phẳng  P  nên
 

AB.n  P   0  1 2m  1  1.  m  2    m  1  0  m  1  AB  1; 1;0  .

x  1 t


Vậy phương trình đường thẳng  y  2  t .
z  3

Bài tập 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P  : 2 x  y  z  10  0 , điểm
A 1;3; 2  và đường thẳng d :

x  2 y 1 z 1
. Tìm phương trình đường thẳng  cắt  P  và d


2
1
1

lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm của MN .
A.

x  6 y 1 z  3
.


7
4
1

B.

x  6 y 1 z  3
.



7
4
1

C.

x  6 y 1 z  3


.
4
1
7

D.

x  6 y 1 z  3


.
4
1
7

Hướng dẫn giải
Chọn A.

Ta có N    d  N  2  2t ;1  t ;1  t  .

A là trung điểm của MN  M  4  2t ;5  t;3  t  .
Mà M   P  nên tọa độ M thỏa phương trình  P  , ta được:
2  4  2t    5  t    3  t   10  0  t  2  N  6; 1;3 , M  8;7;1 .

Suy ra MN  14;8; 2  .

 1 
Đường thẳng  đi qua hai điểm M và N nên có một vectơ chỉ phương u  NM   7; 4; 1
2
x  6 y 1 z  3
nên có phương trình là
.


7
4
1


Bài tập 6. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A  3;3; 3 thuộc mặt phẳng

  : 2 x  2 y  z  15  0 và mặt cầu  S  :  x  2    y  3   z  5
2

2

2

 100 . Đường thẳng  qua A ,

nằm trên mặt phẳng   cắt  S  tại M , N . Để độ dài MN lớn nhất thì phương trình đường thẳng
 là
A.

x 3 y 3 z 3


.
1
4
6

 x  3  5t

.
C.  y  3
 z  3  8t


B.

x 3 y 3 z 3


.
10
16
11

D.

x 3 y 3 z 3


.
1
1
3

Hướng dẫn giải
Chọn A.

Mặt cầu  S  có tâm I  2;3;5  và bán kính R  10 .

Mặt phẳng   có vectơ pháp tuyến n   2; 2;1 .
Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vng góc của I lên  và mặt phẳng   .
 IK    nên phương trình đường thẳng IK đi qua I và vng góc với mặt phẳng   là
 x  2  2t

 y  3  2t .
z  5  t


 x  2  2t
 y  3  2t

 K  2;7;3 .
Tọa độ điểm K là nghiệm hệ phương trình 
z  5  t
2 x  2 y  z  15  0

Vì     nên IH  IK . Do đó IH nhỏ nhất khi H trùng với K .
Để MN lớn nhất thì IH phải nhỏ nhất.


Khi đó đường thẳng  cần tìm đi qua A và K . Ta có AK  1; 4;6  .
Đường thẳng  có phương trình là:

x3 y 3 z 3


.
1
4
6

Bài tập 7. Trong khơng gian Oxyz, cho ABC có A  2;3;3 , phương trình đường trung tuyến kẻ từ

B

là

d:

x 3 y 3 z 2


, phương trình đường phân giác trong của góc
1
2
1

x2 y4 z2


. Đường thẳng AB có một vectơ chỉ phương là
2
1
1



A. u  2;1; 1 .
B. u 1; 1;0  .
C. u  0;1; 1 .

:

Hướng dẫn giải


D. u 1; 2;1 .

C

là


Chọn C.

 x  2  2t


Ta có phương trình tham số của  là:  y  4  t  C  2  2t ; 4  t ; 2  t  .
z  2  t


7t 5t 

Gọi M là trung điểm của AC nên M   2  t ;
;
.
2
2 

Vì M  d nên

 7t 
 5t 
3 
2
t 1 1  t 1  t
2 
2 





 t  1.
1
1

2
2
4

 2  t   3  
1

Suy ra C  4;3;1 .
Phương trình mặt phẳng  P  đi qua A và vng góc với  là: 2 x  y  z  2  0 .
Gọi H là giao điểm của  P  và   H  2; 4; 2  .
Gọi A là điểm đối xứng với A qua đường phân giác , suy ra H là trung điểm
AA  A  2;5;1 .

Do A  BC nên đường thẳng BC có vectơ chỉ phương là CA   2; 2;0   2  1;1;0  .
x  4  t

Suy ra phương trình của đường thẳng BC là  y  3  t .
z  1


Vì B  BM  BC  B  2;5;1  A .

Đường thẳng AB có một vectơ chỉ phương là AB   0; 2; 2   2  0;1; 1 .
Bài tập 8. Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng  :

x 1 y  2 z

 và hai điểm
2
1

1

A  4; 2; 4  , B  0;0; 2  . Gọi d là đường thẳng song song và cách  một khoảng bằng

đường thẳng AB nhất. Đường thẳng d cắt mặt phẳng  Oxy  tại điểm nào dưới đây?
A.  2;1;0  .

 2 14 
B.   ;  ;0  .
 3 3 

C.  3; 2;0  .

Hướng dẫn giải
Chọn D.

 x  4t

.
Phương trình tham số của đường thẳng AB có dạng:  y  2t

 z  2  6t
Để đường thẳng d thỏa mãn bài tốn thì ta có hình vẽ tương ứng

D.  0;0;0  .

5 , gần


Đoạn vng góc chung của hai đường thẳng AB và  là MN với M  0; 5;1 , N  3;1;1 .

Để d gần đường thẳng AB nhất thì d phải đi qua điểm D nằm trên đoạn MN mà


DN  d  d ,    5, MN  3 5 . Do đó MN  3DN  D   2; 1;1 .

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là u d    2; 1;1 .
 x  2  2t

Suy ra phương trình tham số của d là  y  1  t
z  1 t


x  0
Đường thẳng d cắt  Oxy  tại điểm có z  1  t  0  t  1  
.
y  0
Vậy giao điểm của d và  Oxy  là  0;0;0  .
Bài tập 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn đường thẳng

1 :

x  2 y  2 z 1
x 1 y 1 z


; 2 :


1
1

2
1
1
1

3 :

x
y  2 z 1
x 5 y a z b


; 4 :


1
1
1
1
3
1

Biết không tồn tại đường thẳng nào trong không gian mà cắt được đồng thời cả bốn đường thẳng
trên. Giá trị của biểu thức T  a  2b bằng
A. 2.

B. 3.

C. 2.
Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ta có: 1 // 3 .
Gọi  P  là mặt phẳng chứa 1 và  3   P  : x  2 y  z  3  0 .
Gọi I   2   P   I  0; 1;1 .
 2a  b  22 3b  24 2a  7b  8 
;
;
Gọi J   4   P   J 
.
6
6
6



D. 3.


  2a  b  22 3b  18 2a  7b  14 
;
;
 IJ  
.
6
6
6





Để thỏa mãn u cầu bài tốn thì IJ phải cùng phương với u1  1; 1; 1 .

Suy ra

2a  b  22 3b  18 2a  7b  14


 a  2b  2 .
6
6
6
Dạng 3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

1. Phương pháp

Cho đường thẳng

Ví dụ: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho

x  x0 y  y0 z  z0
x 3 y 2 z
và mặt phẳng
và mặt phẳng đường thẳng  :




2

1
1
a
b
c

 :

  : 3 x  4 y  5 z  8  0 .

  : Ax  By  Cz  D  0 .

Tính góc tạo bởi  và   .

Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng   
và   ta có cơng thức:
sin  

Hướng dẫn giải


 có vectơ chỉ phương u   2;1;1 .

  có vectơ pháp tuyến n   3; 4;5 .

Aa  Bb  Cc
A2  B 2  C 2 . a 2  b 2  c 2

Chú ý: A, B, C và a, b, c khơng đồng thời

bằng 0.





 

Ta có: sin 
,    cos n, u

 



3.2  4.1  5.1
3  4  5 . 2 1 1
2

2

2

2

2

2



3
.
2






,    60 .
Suy ra 

2. Bài tập
Bài tập 1: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng  :

 P  : x  y  2z  6  0 .

Biết  cắt mặt phẳng

 P

x  3 y 1 z  2
và mặt phẳng


1
1
4

tại A, M thuộc  sao cho AM  2 3 . Tính

khoảng cách từ M tới mặt phẳng  P  .

A.

2.

B. 2.

C.

3.

Hướng dẫn giải
Chọn B.

x  3 y 1 z  2
có vectơ chỉ phương u  1;1; 4  .


1
1
4

Mặt phẳng  P  : x  y  2 z  6  0 có vectơ chỉ phương n  1;1; 2  .

Đường thẳng  :

D. 3.


u.n
 
1
sin  ,  P    cos u , n    
 sin 
3
u.n

 

Suy ra d  M ,    MH  MA.sin   2 3.

1
 2.
3

Dạng 4: Góc giữa hai đường thẳng
1. Phương pháp
Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz, cho hai đường

Cho hai đường thẳng:

 1  :
 2  :

x  x0 y  y0 z  z0



a
b
c

thẳng

x  x0 y  y0 z  z0


a
b
c

Gọi  là góc giữa hai đường thẳng

 1 

x 1 y  2 z  3
;


1
2
2

2 :

x  3 y 1 z  2
.



1
1
4

Tính góc giữa hai đường thẳng trên.

 2  .
Ta có: cos  

và

1 :

aa  bb  cc
a 2  b 2  c 2 . a  2  b 2  c  2

.

Hướng dẫn giải

Vectơ chỉ phương của 1 là u1   2;1; 2  .

Vectơ chỉ phương của  2 là u2  1;1; 4  .

 
u1.u2
 
cos  1 ,  2   cos u1 , u2   

u1 . u2



 2  .1  1.1  2.  4 
2
2
 2   12  22 . 12  12   4 







9
2

.
2
3.3 2

Vậy góc giữa hai đường thẳng đã cho là 45 .
2. Bài tập
Bài tập 1. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng

d 

 P  : x  z.sin   cos   0;  Q  : y  z.cos   sin   0;    0;


A. 30 .

B. 45 .

C. 60 .
Hướng dẫn giải

Chọn B.


Mặt phẳng  P  có vectơ pháp tuyến là n P   1;0;  sin   .

Mặt phẳng  Q  có vectơ pháp tuyến là nQ    0;1;  cos   .

là giao tuyến của hai mặt phẳng



 . Góc giữa  d  và trục Oz là:
2
D. 90 .


 d  là giao tuyến của  P 

và  Q  nên vectơ chỉ phương của  d  là:
  
u d    n P  , n Q     sin  ;cos  ;1 .


Vectơ chỉ phương của  Oz  là uOz    0;0;1 .
Suy ra cos  d , Oz  

0.sin   0.cos   1.1
sin   cos   1 . 0  0  1
2

2

2

2



1
  d , Oz   45 .
2

Vậy góc giữa  d  và trục  Oz  là 45 .
Bài tập 2. Trong không gian Oxyz, d là đường thẳng đi qua điểm A 1; 1; 2  , song song với mặt

phẳng  P  : 2 x  y  z  3  0 , đồng thời tạo với đường thẳng  :

x 1 y 1 z

 một góc lớn nhất.
1
2
2

Phương trình đường thẳng d là
A.

x 1 y 1 z  2


.
4
5
3

B.

x 1 y 1 z  2


.
4
3
5

C.

x 1 y 1 z  2
.


4
5

3

D.

x 1 y  1 z  2
.


4
5
3

Hướng dẫn giải
Chọn D.


Mặt phẳng  P  : 2 x  y  z  3  0 có một vectơ pháp tuyến là n  P    2; 1; 1 .

x 1 y 1 z

 có một vectơ chỉ phương là u   1; 2; 2  .
1
2
2

Giả sử đường thẳng d có vectơ chỉ phương là u d .

Đường thẳng  :




Do 0   d ,    90 mà theo giả thiết d tạo  góc lớn nhất nên  d ,    90  u d  u  .

 


Lại có d //  P  nên u d  n P  . Do đó chọn u d  u  , n P     4;5;3 .

Vậy phương trình đường thẳng d là

x 1 y  1 z  2
.


4
5
3

Bài tập 3. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d :

x  2 y 1 z  2
và mặt phẳng


4
3
4

 P  : 2 x  y  2 z  1  0 . Đường thẳng  đi qua E  2;1; 2  , song song với  P 


phương u   m; n;1 , đồng thời tạo với d góc bé nhất. Tính T  m 2  n 2 .
A. T  5 .

B. T  4 .

C. T  3 .

có một vectơ chỉ

D. T  4 .

Hướng dẫn giải
Chọn D.


Mặt phẳng  P  có vectơ pháp tuyến là n   2; 1; 2  ; đường thẳng d có vectơ chỉ phương là

v   4; 4;3 .
 
 //  P   u  n  2m  n  2  0  n  2m  2 .



u.v
4m  4n  3

;d    
Mặt khác ta có: cos 
2

u v
m 2  n 2  1. 42   4   32

 

 4m  5  1 . 16m2  40m  25 .
1
.


2
5m2  8m  5
41 5m  8m  5
41
41 5m 2  8m  5 
2

4m  5

 

 

 




, d  90 nên 
, d bé nhất khi và chỉ khi cos 

, d lớn nhất.
Vì 0  

16t 2  40t  25
72t 2  90t

 f t  
Xét hàm số f  t  
.
2
5t 2  8t  5
 5t 2  8t  5
Bảng biến thiên:


x





f

f



5
4



0

0

+

0



5

16
5

16
5

0
Dựa vào bảng biến thiên ta có: max f  t   f  0   5 .

 


Suy ra 
, d bé nhất khi m  0  n  2 .

Do đó T  m 2  n 2  4 .

Dạng 5: Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng
1. Phương pháp
Ví dụ: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho

đường thẳng d :

x 1 y  2 z  2
.


1
2
2

Tính khoảng cách từ M  2;1; 1 tới d .
Cho

đường

thẳng



đi

qua

điểm Hướng dẫn giải

M 0  x0 ; y0 ; z0  và có vectơ chỉ phương


u   a; b; c  . Khi đó khoảng cách từ điểm M 1

đến    được tính bởi cơng thức:

 
 M 0 M1; u 


.
d  M1 ,   

u

Ta



A 1; 2; 2   d  AM  3; 1;1 , u 1; 2; 2  .

có

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d là:
 
 AM ; u  5 2



.
d M;d  


3
u

2. Bài tập
Bài tập 1. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A 1;1; 1 cho trước, nằm trong mặt

phẳng  P  : 2 x  y  z  2  0 và cách điểm M  0; 2;1 một khoảng lớn nhất.
A.

x 1 y 1 z  1
.


1
3
1

B.

x 1 y 1 z  1
.


1
3
1

C.

x 1 y 1 z  1
.


1
3
1

D.

x 1 y 1 z 1
.


3
1
1


Hướng dẫn giải
Chọn C.

Ta gọi B là hình chiếu của M lên đường thẳng d khi đó MB  MA .
Suy ra MBmax  MA nên đường thẳng d đi qua điểm A và vng góc với MA .
Đồng thời đường thẳng d nằm trong mặt phẳng  P  nên ta có
  
ud   MA, n P    1;3; 1 .
Bài tập 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A  2;1; 2  , B  5;1;1 và mặt cầu

 S  : x 2  y 2  z 2  6 y  12 z  9  0 .

Xét đường thẳng d đi qua A và tiếp xúc với  S  sao cho

khoảng cách từ B đến d nhỏ nhất. Phương trình của đường thẳng d là
x  2

A.  y  1  t .
 z  2  2t


x  2

B.  y  1  4t .
 z  2  t


 x  2  2t

C.  y  1  2t .

 z  2  t

x  2  t

D.  y  1  4t .
 z  2  t


Hướng dẫn giải
Chọn C.

Mặt cầu  S  : x 2  y 2  z 2  6 y  12 z  9  0 có tâm I  0; 3; 6  bán kính R  6 .

IA  6  R  A   S  , IB  3 10  R nên B nằm ngoài  S  .

Đường thẳng d đi qua A và tiếp xúc với  S  nên d nằm trong mặt phẳng  P  tiếp xúc với mặt
cầu  S  tại A .


Mặt phẳng  P  đi qua A và nhận IA làm vectơ pháp tuyến có phương trình là x  2 y  2 z  0 .
Gọi H là hình chiếu của B lên  P  thì tọa độ của H  4; 1; 1 .
Ta có: d  B; d   d  B;  P    BH .

 
Vậy khoảng cách từ B đến d nhỏ nhất khi d đi qua H . Ta có ud  AH   2; 2;1 .


 x  2  2t

Suy ra phương trình đường thẳng d là:  y  1  2t .

 z  2  t

Dạng 6: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
1. Phương pháp

Trong không gian Oxyz, cho hai đường Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz, tính khoảng cách
thẳng chéo nhau: 1 có vectơ chỉ phương giữa hai đường thẳng

 x  1  4t

u   a; b; c  và đi qua M 0  x0 ; y0 ; z0  ;  2 có
x 1 y  2 z

d1 :

 và d 2 :  y  1  2t , t   .

2
1
1
 z  2  2t
vectơ chỉ phương u   a; b; c  và đi qua


M 0  x0 ; y0 ; z0  .

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d1 đi qua điểm M 1; 2;0  và có

một vectơ chỉ phương u1   2; 1;1 .
Đường thẳng d 2 đi qua điểm N 1; 1; 2  và có

một
vectơ
chỉ
phương
u
2   4; 2; 2  .
Khi đó khoảng cách giữa 1 và  2 được tính



  
Do u1 cùng phương với u2 và M  d 2 nên
u , u  .M 0 M 0


.
bởi công thức d  1 ,  2  
 
d1 //d 2 .
u , u  


 


u1 , MN 


Nếu 1 // 2 ( u1 và u2 cùng phương và Suy ra d d ; d  d N ; d 
.

 1 2   1
u1
M 0   2 ) thì d  1 ,  2   d  M 0 ,  2 

 
Ta có MN   0;1; 2  , u , MN    3; 4; 2  .
 

2
2
u1 , MN 
 3   4   22 174


.


Suy ra

2
6
u1
22   1  1
Vậy d  d1 ; d 2  

174
.
6

2. Bài tập
Bài tập 1. Cho phương trình mặt phẳng  P  : 2 x  y  z  3  0 , đường thẳng d  :

x 1 y z
  và
1
2 1

điểm A  0; 2;1 . Viết phương trình đường thẳng d đi qua A , nằm trong  P  sao cho khoảng cách

d và d  đạt giá trị lớn nhất.

A.

x y  2 z 1


.
1
7
9

B.

x y  2 z 1


.
1
7
9


C.

x y  2 z 1
.


1

7
9

D.

x y  2 z 1
.


7
9
1

Hướng dẫn giải
Chọn A.

Gọi d1 là đường thẳng đi qua A và song song với d  .
x  t

Phương trình của d1 là:  y  2  2t .
z  1 t


Trên đường thẳng d1 lấy điểm B 1; 0;0  .
Gọi  Q  là mặt phẳng chứa d và d1 .
Ta có d  d , d    d  d ,  Q    d  B,  Q   .
Do d1 cố định cho nên d  d , d    d  B,  Q    d  B, d1  .
 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi nQ   BH trong đó H là hình chiếu của B lên d1 .
  5 2 1  

 2 2 1 
Ta tìm được H  ; ;  nên BH   ; ;   nQ    5; 2;1 .
 3 3 3
 3 3 3

 
Ta có ud   n P  ; nQ    1;7; 9  .
Vậy phương trình của đường thẳng d là

x y  2 z 1


.
9
1
7

Lưu ý : Vì đường thẳng d đi qua A nên ta có thể loại đáp án bằng cách thay tọa độ điểm A vào các
đáp án trong bài
Dạng 7: Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng
1. Phương pháp


Trong không gian Oxyz, xét đường thẳng    có vectơ chỉ phương là a   a1 ; a2 ; a3  và đi qua

M 0  x0 ; y0 ; z0  và mặt phẳng   : Ax  By  Cz  D  0 có vectơ pháp tuyến n   A; B; C  .

   cắt    a.n  0  Aa1  Ba2  Ca3  0 .


a.n  0
 Aa1  Ba2  Ca3  0
.

   //    
 Ax0  By0  Cz0  D  0
 M 0   P 

a.n  0
 Aa1  Ba2  Ca3  0

       
 Ax0  By0  Cz0  D  0
 M 0   P 


       a


và n cùng phương  a1 : a2 : a3  A : B : C .

Ta có thể biện luận vị trí tương đối dựa vào số nghiệm của phương trình đường thẳng    và
mặt phẳng   .
2. Bài tập
Bài tập 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :

x 1 y z  5



và mặt
1
3
1

phẳng  P  : 3 x  3 y  2 z  6  0 .
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. d cắt và không vng góc với  P  .

B. d song song với  P  .

C. d vng góc với  P  .

D. d nằm trong  P  .
Hướng dẫn giải

Chọn A.


Đường thẳng d nhận u  1; 3; 1 làm một vectơ chỉ phương.

Mặt phẳng  P  nhận n   3; 3; 2  làm một vectơ pháp tuyến.

Do u.n  0 và hai vectơ này không cùng phương nên đường thẳng d cắt và không vng góc
với  P  .
Bài tập 2. Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng có phương trình

d:

x  2 y 1 z 1

và mặt phẳng  P  : x  my   m 2  1 z  7  0 với m là tham số thực. Tìm


1
1
1

m sao cho đường thẳng d song song với mặt phẳng  P  .
A. m  1 .

B. m  1 .

 m  1
.
C. 
m  2

D. m  2 .

Hướng dẫn giải
Chọn B.


Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là u  1;1; 1 và mặt phẳng  P  có vectơ pháp tuyến là

n  1; m; m 2  1 .

 

 m  1

d //  P   u  n  u.n  0  1  m  m 2  1  0  m 2  m  2  0  
m  2


Thử lại ta thấy với m  2 thì d   P  (loại). Vậy m  1 .
Bài tập 3. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d :

x 1 y  2 z  3


và mặt phẳng
2
4
1

  : x  y  2 z  5  0 , mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. d //   .

B. d    .

C. d cắt   và khơng vng góc với   .

D. d    .

Hướng dẫn giải
Chọn B.
 x  1  2t

Ta có d :  y  2  4t , t   .
z  3  t



 x  1  2t

 y  2  4t
Xét hệ phương trình: 
z  3  t
x  y  2z  5  0


1
 2
 3
 *

Thay (1), (2), (3) vào (*) ta được 1  2t   2  4t   2  3  t   5  0 .
Phương trình này có vơ số nghiệm.
Do đó, đường thẳng d nằm trong mặt phẳng   .
Bài tập 4. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng

 P  : x  2 y  z  1  0,  Q  : 2 x  y  z  2  0
và hai đường thẳng 1 :

x y 1 z 1
x y  2 z 1


, 2 : 

.

2
1
2
1
2
1

Đường thẳng  song song với hai mặt phẳng  P  ,  Q  và cắt 1 ,  2 tương ứng tại H , K . Độ dài
đoạn HK bằng
A.

8 11
.
7

B.

5.

C. 6.
Hướng dẫn giải

Chọn A.

 
Ta có u   nP , nQ    1; 1; 3 .

Gọi H  2t ;1  t ; 1  2t  ; K  m; 2  m;1  2m 

 HK   m  2t ;1  m  t ; 2  2m  2t  .



Vì  song song với 2 mặt phẳng  P  ,  Q  nên HK  ku nên

D.

11
.
7