Toán 8 Học Sinh Giỏi đề thi va dap an hoc sinh gioi lop 678 huyen TinhGia Thanh Hoa

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (455.9 KB, 10 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Giáo viên : Mai Huy Dũng

Phòng GD- ĐT
huyện Tĩnh Gia

Đề thi học sinh giỏi cấp huyện 
Năm học 2007-2008

Môn : Toán học Lớp 6

( Thi gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề )

Câu I(2 điểm)

1- TÝnh nhanh: A =

15
7
9
4
11

2
15

8
9

5 









2- So s¸nh 2 phân số :

20082008
20072007

và

08
2008200820

07
2007200720

3- Rút gọn phân số A=

180
71
.
530

53
52
.
71

mà không cần thực hiện phép tính ở tử

Câu II( 3 điểm)

1-T×m x ,y Z :
a-

3
4
3
4 



y
x

víi x – y =5
b- (x + 1 ) .( 3y – 2 ) = -55
2- Cho A=

4
5
3




n
n

Tìm nZ để A có giá trị nguyên

Câu III( 3,0 điểm)

Trªn cïng nưa mặt phẳng cho tr-ớc có bờ Ox vẽ hai tia Oy và Oz sao cho số đo
xOy=700 và số đo yOz = 300

a. Xác định số đo của xOz

b. Trên tia Ox lấy 2 điểm A và B

(điểm A không trùng với điểm O và độ dài

OB lớn hơn độ dài OA )

Gọi M là trung điểm của OA . Hãy so sánh độ dài
MB với trung bình cộng độ dài OB và AB.

C©u IV ( 2,0 ®iĨm )

Tìm 2 số tự nhiên a và b biết tổng BCNN với -CLN của chúng là 15
H-ớng dẫn chấm đề thi HSG lớp 6 năm hc 2007 2008

Câu Nội dung yêu cầu §iĨm

1-I
0.5®

TÝnh nhanh A=

7
9
4
11

2
15

8
9









15
7
15

8
11

2
9

4
9









=-1 + 1
112 


11
2


0,25
0,25

2-I

0.5đ

So sánh 2 phân số

20082008
20072007

và

08
2008200820

07
2007200720

Ta có P/S :

20082008
20072007

2008
2007
10001

10001
.
2008

2007 

P/s :

08
2008200820

07
2007200720

2008
2007
100010001

100010001
.

2008
2007



VËy 2 ph©n sè trên bằng nhau

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Giáo viên : Mai Huy Dịng

1.0®

Rót gän A=

180
71
.

530  không biến đổi tử số

=
)
18
71
.
53
.(
10
53
52
.
71


=
]
18
71
).
1
52
.[(

10
53
52
.
71



=
]
18
71
52
.
71
.[
10
53
52
.
71



=
]
53
52
.
71

.[
10
53
52
.
71


=
10
1
0,25
0,25
0,25
0,25
1-II
a-1-II
0,75đ
b-1-II
1,5đ
Tìm x

§iỊu kiƯn y 3 ta cã : 3x –12 = 4y-12  3x=4y
Tõ x-y=5  x=5+y

Ta cã : 3y+15 = 4y y=15
x=5+15 = 20

VËy x=20 ; y=15

(x + 1 ) .( 3y – 2 ) = -55

 (x + 1 ) .( 3y – 2 ) = (-11).5 =(-5).(11)
*NÕu : (x + 1 ) .( 3y – 2 ) = (-11).5

Ta cã
















3
7
12
5
2
3
11
1

y
x
y
x
(Loại)
Hoặc

3
4
11
2
3
5
1
y
x

y
x

* Nếu : (x + 1 ) .( 3y – 2 ) = (-5)(11)

Ta cã :

















3
13
6
11
2
3
5

1
y
x
y
x
(Loại )
Hoặc














1
10
5
2
3
11
1
y
x

y
x

VËy (x=4 , y=-3) hc ( x=-6 , y=-1)

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
2-II
1.0 đ

Tỡm nZ A=

4
5
3

n
n

có giá trị nguyên
A=
4

5
3


n
n

= 3 +

4
17



n
để A có giá trị nguyên khi

4
17



n có giá trị nguyên . Vy 4
17

n có giá trị
nguyên thì n+4 phải là -ớc của 17 .

Ta có các -ớc của 17 là U-17=

1;1;17;17

Lập bảng

x+4 -1 1 -17 17

n -5 -3 -21 13

VËy víi n = -5 ; n=-3 ; n=-21 ; n=13 thì A có giá trị nguyên

0,25

0,5

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Giáo viên : Mai Huy Dũng

a-III

1.0đ

- Tr-ờng hợp hình ( A) khi Oz nằm giữa 2 tia Ox và Oy ta có :
Số đo góc xOz = 700-300 = 400

- Tr-ờng hợp hình (B) khi Oz không nằm giữa 2 tia Ox và Oy ta cã
Sè ®o gãc xOy = 700+300 = 1000

Vẽ
đúng
đ-ợc
1
tr-ờng

hợp
cho
0,25 đ
0,25
0,25
b-III

2.0đ

- Ta có trung bình cộng sđ của BO và BA là

2
2
2

BA
BO
AB
BO

- Ta lại có BO=BA+AO nên BOBA BA AO BA AO BA

2
2
2

2 (I)

- Mặt khác ta cã BM = BA + AM mà M là trung điểm của OA nên
BM = AO BA

2 (II)

- Tõ (I) vµ (II) suy ra BM =

BA
BO 

. Hay số đo BM bằng trung bình cộng
số đo cđa BO vµ BA

0,25

0,25
0,5

0,5
0,5

2.0®

Tìm 2 số t- nhiên a, b biết tổng BCNN và UCLN của chúng bằng 15
- Gọi UCLN (a,b)=d suy ra a=d.m và b=d.n khi đó (m,n)=1.

ta cã a.b = d.m.d.n.

-Mặt khác ta có tích của 2 số bằng tích của BCNN với UCLN của 2 số đó
nên .

-Ta cã BCNN [a,b] =

d
n
m
d
b
a

b

a . .

)
,
(

. 2

 =d.m.n

-Vậy BCNN[a,b] + UCLN(a,b) = d.m.n+d=d.(m.n+1) = 15
Giả sử ab khi đó m n và m.n+12

LËp b¶ng

d m.n+1 m.n m n a b

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Giáo viên : Mai Huy Dòng

1 15 14

2 7 2 7

3 5 4 1 4 3 12

5 3 2 1 2 5 10

VËy ta t×m đ-ợc các số sau:

(a=1 ; b=14) ; (a=2 ,b=7) ; (a=3 ; b=12 ) và (a=5 , b=10)

0,25

Phòng GD- ĐT
hun TÜnh Gia

§Ị thi häc sinh giái cÊp hun 
Năm học 2007-2008

Môn : Toán học Lớp 7

( Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề )

Câu 1(2 điểm ):

So s¸nh A vµ B biÕt :

A=[0,8 .7+(0,8)2] . (1,25 . 7 - 
5
4

. 1,25 ) – 47,86









9
8
.
65
,
16
9
,
18

4
5

.
29
,
0
09
,
1




Câu II( 2,5 điểm )

1) Tìm n N biÕt 32  2n > 4

2) T×m x biÕt: a) 4 0

1978
30
1973
35
1968
40
1963

45x  x  x  x  

b) x-

11
3
55
.
53

20
...

17
.
15

20
15

.
13

20
13

.
11

20     

C©u III: (1,5đ)

Tìm x , y z biÕt

5
4
4
3
3

2x y z



 vµ x+y+z = 49

Câu IV (2 đ) Cho tam giác ABC có  A= 600 ; BM , CN

( M thuộc AC và N thuộc AB

) lần 
l-ợt là phân giác của góc ABC và góc ACB . BM và CN cắt nhau tại I

a) TÝnh  BIN

b) Chøng minh  INM = IMN
Câu V ( 2 điểm )

Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có 3 chữ số mà khi chia cho 11 d- 5 vµ chia 13 d- 8.

HÕt

( Gi¸m thị coi thi không giải thích gì thêm )

H-ng dn chấm đề thi học sinh giỏi lớp 7 
năm học 2007 2008

Câu Nội dung yêu cầu Điểm

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Giáo viên : Mai Huy Dũng

5
B=
2
1
9
8
.
4
9
4
5
.
5
4
9
8
.
25
,
2
4
5
.
8
,

0


 = 0,5

VËy A=B

0,75®
0,25®
1-II  25 2n > 22

Nên 5 n > 2

Mà n  N nªn n =



3;4;5



0,25
0,25
a-2-II T×m x

 1
1978
30
1
1973
35
1
1968
40
1
1963

45x  x  x   x
= 0
0
1978
2008
1973
2008
1968
2008
1963
2008









 x x x x







1978
1
1973
1
1968

1
1963
1
.

2008 





   
 x

 2008 – x = 0

x = 2008

0,25®
0,25
0,25đ

0,25đ

b-2-II Tìm x

11
3
55

.
53
2
.
...
15
.
13
2
13
.
11
2



 x
11
3
55
1
53
1
53

1
51
1
...
15
1
13
1
13
1
11
1

10 





        

 x
11
3
55
1
11
1

10 





 

 x
1

 x
0,25
0,25
0,25
0,25

III Ta cã:

4
5
3
4
2
3
5
4
4
3
3

2x y z x y z







Theo d·y tû sè b»ng nhau ta cã:

4
5
3
4
2
3
z
y
x  

= 12
12
49
49
4
5
3
4
2

3  






 y z

x
x=12. 18
2
3 
y=12.
3
4
=16
z=12. 15
4
5 

VËy x=18 ; y=16 vµ z = 15

0,5

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Giáo viên : Mai Huy Dũng

a-IV

b-IV

-XÐt tam giác IBC có NIB =IBC +ICB ( t/c ngoài )

- XÐt Tam gi¸c ABC ABC+ACB = 1800-600 =1200(vì BAC=600) 
- Mặt khác do BM và CN là phân giác nên

IBC=1/2ABC và ICB=1/2ACB

 IBC +ICB =

2
60
1800  0

= 60 0
- Vậy NIB = 600

- Kẻ phân giác IH của góc BIC

- CM đ-ợc Tam giác INB = Tam Gi¸c IHB (g.c.g)  IH=IN (1)
- CM đ-ợc Tam giác INB = Tam Gi¸c IHB (g.c.g)  IH=IM (2)
- Từ (1) và(2) Tg IMN cân vậy INM =IMN

0,25
0,25
0,25

0,25

0,5
0,25
0,25

V - Giả sử số cần tìm là a khi đó theo bài ra ta sẽ có:
+ a + 6  11  (a+6)+77  11 a+83  11 (1)
+ a + 5  13  (a+5) + 78  13  a+83  13 (2)

Tõ (1) vµ (2) suy ra a+ 83  BCNN (11, 13 ) mµ BCNN ( 11,13) = 143
Ta cã : a+ 83  143

 a= 143.k – 83

( k N

)

Để a nhỏ nhất thì 143.k nhỏ nhất hay k nhá nhÊt
NÕu k=1 thì a= 60 là số có 2 chữ số ( Loại )
Nếu k=2 th× a = 203 .

Vậy số 203 là số nhỏ nhất thỏa mãn đầu bài đã cho

0,5
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25

Phòng GD- ĐT
huyện Tĩnh Gia

Đề thi học sinh giỏi cấp huyện

Năm học 2007-2008

Môn : Toán học Lớp 8

( Thi gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề )

Câu I (2 điểm ) :

1) Tính giá trị biểu thức : A= x5- 5x4+5x3-5x2+5x –1 với x=4 
2) Tìm điều kiện để phân thc : B=

12
7

7
5

2
2

x
x

x

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Giáo viên : Mai Huy Dịng

1- Víi giá trị nào của a ph-ơng trình

1 .

2

2
2

x

a

x

a

x

cã mét

nghiƯm duy nhÊt .

2- T×m giá trị lớn nhất của B =

3

2

10

6

3

2
2

x

3- Ng-i ta đặt một vòi n-ớc chảy vào bể n-ớc và một vòi chảy ra ở l-ng chừng bể .
Khi bể cạn , nếu mở cả 2 vịi thì sau 2 giờ 42 phút bể đầy n-ớc . Cịn nếu đóng vòi
chảy ra , mở vòi chảy vào thì sau 1 giờ 30 phút bể đầy n-ớc . Biết vòi chảy vào
mạnh gấp 2 lần vịi chảy ra .

Tính thời gian n-ớc chảy vào từ lúc bể cạn đến lúc n-ớc ngang ch t vũi chy
ra?

Câu III (2 điểm ): Cho tam giác vuông ABC ( 0
90

A ) Một đ-ờng thẳng song song với BC
lần l-ợt cắt AB và AC tại D và E .

a- Chøng minh CB2 – CD2 = EB2 – ED2

b- Hãy xác định điểm D thoả mãn DC2=BC.DE. 
Câu IV :( 2 điểm ) cho a,b,c > 0 . Chứng minh rằng

a
c

a
c
c
b

c
b

b
a










< 1
HÕt

(Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)

H-ng dn chm thi hc sinh gii lp 8 
Năm học 2007 – 2008

Câu Nội dung cần đạt Điểm

a-I Thay x=4 vµo biĨu thøc A ta cã
A= 45- 5.44 +5.43- 5.42 + 5.4 –1

= 45 – (4+1).44 +(4+1).43 -(4+1).42 + (4+1).4 –1 
= 45- 45 – 44+ 44 + 43 – 43 – 42 + 42 +4 – 1

A = 3

0,25
0,25
0,25
0,25
b-I

Tìm điều kiện để phân thức B=

12
7

7
5
2

2





x
x

x

cã nghÜa
§Ĩ B cã nghÜa khi x2- 7x + 12  0

 x2 – 4x – 3x + 12 0 
 x(x-4) –3(x-4)  0
 (x-4).(x-3)  0
 x 4 ; x 3.

Vậy điều kiện để B có nghĩa là mọi x 3 và x 4

0,25
0,25
0,25

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Giáo viên : Mai Huy Dũng

Điều kiện để PT

1

2
2









x

a

x

a

x

nÕu cã nghiƯm lµ x-1 ; 1
ta viÕt PT d-íi d¹ng

1
1

1 2

2
2
2









x
x

x
a
x
a
x
x-a2x+a = 1

(1-a2).x = 1- a. 
- NÕu a -1: 1 th× x=

a


1

lµ nghiƯm nÕu
a


1

1  1 ; -1 hay a0 và a -2

- Nếu a=1 thì 0x = 0 ph-ơng trình có vô số nghiệm khác 1 và 1
- Nếu a=-1 thì 0x=2 PT v« nghiƯm

Vậy để ph-ơng trình có nghiệm duy nhất thì a1 , a-1 , a0 và a -2

0,1

0,2

0,1
0,2
0,2
0,2
2-II

* Tìm giá trÞ lín nhÊt cđa B=

3

2

10

6

3

2
2



x

3
2

1
)
3
2
(
3

2
2









x
x

B= 3 +

3
2

2 

x
x

B= 3 +

2
)

1
(

x

Để B có giá trị lớn nhất khi

2
)

1
(

2 



x (I) có giá trị lớn nhất . Mà để
(I) có giá trị lớn nhất khi (x+1)2+ 2 (II) có giá trị bé nhất . (II) có giá trị bé 
nhất khi (x+1)2 = 0 hay x=-1

VËy Max B =

2
7

khi x= -1

0,2
0,2

0,2

0,2
3-II - Gọi thể tích bể n-ớc quy -ớc là 1

( đơn vị thể tích )

. Gọi Thời gian vòi

n-ớc chảy vào từ lúc bể cạn đến mực n-ớc nơi vòi chảy ra là x

( x>0 ; đv

thời gian)

Theo bµi ra ta cã:

- Trong 1 giờ vòi chảy vào đ-ợc là

3
2
5
,

11  (thÓ tÝch bÓ)

- Trong 1 giờ vòi chảy ra chảy đ-ơc

3
1

2
:
3

2

( thể tÝch bĨ)

- Vậy nếu mở đồng thời cả vịi chảy vào và vịi chảy ra thì l-ợng n-ớc trong
bể trong thời gian chảy 1 giờ là :

3
1
3
1
3
2

(thể tích bể)

- Trong x giờ đầu , chỉ có 1 vòi chảy vào nên l-ợng n-ớc trong bể là .x

3
2

(I)
-Thời gian cả 2 vòi chảy vào và ra sẽ là (2h42 x) hay 2,7h x

- L-ợng n-ớc trong khoảng thời gian (2,7h x) ở trong bể khi cả 2 vòi chảy
ra , chảy vào là : .(2,7 )

3
1

x

(II)

0,1

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Gi¸o viªn : Mai Huy Dịng

- Từ (I) và (II) ta có ph-ơng trình : .x

3
2

+ .(2,7 )
3

x

 = 1
- Gi¶i ph-ơng trình x=0,3 .

- Tr li : vòi chảy vào từ khi bể cạn đến mực n-ớc đầy đến nơi đặt vòi
chảy ra là 0,3 h

0,1

III

a-III

1.0®

b-III

2.0®

a) *-XÐt  ADC cã DC2 = AC2+AD2 (Pitago) 
-XÐt ABC cã BC2=AC2+AB2 ( Pitago)

- VËy BC2- CD2 = AC2+AB2 – AC2-AD2 = AB2-AD2 ( I) 
*- XÐt  ADE cã ED2 = EA2+AD2

- XÐt  ABE cã BE2= EA2+AB2

- EB2-ED2 = EA2 +AB2 – EA2 – AD2 = AB2-AD2 (II) 
Tõ (I) vµ (II) suy ra CB2 – CD2 = EB2 – ED2

( ®pcm)

Phân tích

: Giả sử Ta xác định đ-ợc điểm D thoả mãn DC2=BC.DE

khi đó ta có :

DC
DE
BC

DC  (I)

Mặt khác ta có EDC= DCB (so le trong ) (II)

Từ I và II ta suy ra đ-ợc tam giác EDC phải đồng dạng với tam giác DCB
Từ đó suy ra đ-ợc Góc ACD = Góc ABC

Vậy để xác định điểm D thoả mãn DC2=BC.DE . Qua điểm C vẽ góc 
ACx về phía nửa mf chứa điểm B sao cho góc ACx bằng góc B. Tia Cx cắt
AB tại đâu thì đó là điểm D

C¸ch dùng :

- Dùng gãc ACy= Gãc B Cắt AB tại D

Chứng minh

0,25

0,25
0,25
0,25
0,25

0,25

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Giáo viên : Mai Huy Dòng

- CED Đồng dạng với BDC có

DC
DE
BC

DC CD2=BC.DE

Biện luận :

- Bài toán có duy nhÊt mét ®iĨm D

0,25

0,25
0,25
0,25
IV

Ta biÕt nÕu x<1  -1< x < 1 










1
1

x
x

Ta cã chøng tá

c
b
a

c
b
a
b
a

b
a










ThËt vËy a b a b c a b a b c bc bc

c
b
a

c
b
a
b
a

b

a          










)
)(

(
)

)(

( lu«n

đúng

VËy

c
b
a

c
b
a
b
a

b
a










( 1)
T-¬ng tù

a
c
b

a
c
b
c
b

c
b










(2)

b
a

c

b
a
c
a
c

a
c










(3)

Cộng vế với vế của 3 bất đẳng thức (1) ,(2),(3) ta đ-ợc

a
c

a
c
c

b

c
b
b
a

b
a










c
b
a






=1
T-¬ng tự ta cũng có

a
c

c
a
c
b

b
c
b
a

a
b

Suy ra đ-ợc

a
c

a
c
c
b

c
b
b
a

b
a

< 1

( ®.p.c.m)

0,25

0,25
0,25
0,25

</div>

Toán 8 Học Sinh Giỏi đề thi va dap an hoc sinh gioi lop 678 huyen TinhGia Thanh Hoa

Giáo viên : Mai Huy Dũng

( Thi gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề )

Câu I(2 điểm)

Câu II( 3 điểm)

Câu III( 3,0 điểm)

(điểm A không trùng với điểm O và độ dài

OB lớn hơn độ dài OA )

C©u IV ( 2,0 ®iĨm )

Giáo viên : Mai Huy Dịng

Giáo viên : Mai Huy Dũng

Giáo viên : Mai Huy Dòng

( Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề )









<sub>( M thuộc AC và N thuộc AB</sub>

( Gi¸m thị coi thi không giải thích gì thêm )

Giáo viên : Mai Huy Dũng









Giáo viên : Mai Huy Dũng

( k N

<sub>)</sub>

( Thi gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề )

Giáo viên : Mai Huy Dịng

1

1

1

.

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>a</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>a</i>

<i>x</i>

3

2

10

6

3

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

(Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)

Giáo viên : Mai Huy Dũng

1

1

1













<i>x</i>

<i>x</i>

<i>a</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>a</i>

<i>x</i>

3

2

10

6

3









<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>