Đề thi và đáp án thi học sinh giỏi lớp 12 môn toán hệ bổ túc năm 2007 - 2010

Sở Giáo dục và đào tạo
thanh hoá

Đề chính thức
Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh
Năm học 2006-2007

Môn thi: toán
Ngày thi: 28/03/2007
Lớp: 12 Trung học Bổ túc.
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề thi)
Đề thi này có 4 câu, gồm 1 trang.


Câu 1: (6,0 điểm)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
2
1
1
x
x
y
x
+
+
=
+

(

)

1
2. Tìm để đờng thẳng:
k
(
)
21kx y 0

+=
cắt đồ thị
(
)
1
tại hai điểm phân
biệt
,
A
B
thuộc hai nhánh của đồ thị hàm số
(
)
1
.
Câu 2: (6,0 điểm)
1. Gii bt phng trỡnh:
22 3
2
16
10
2
xx x

AA C
x

+.
2. Cho . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng có phơng trình
là:
0a >
22
4
3
1
x
a
y
a
+
=
+
và
2
4
3
1
aa
y
a

=
+
x

0
.
Câu 3: (6,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng
vi h toạ độ cho đờng tròn Oxy
(V): tâm
22
463xy xy++=
I
và đờng thẳng
(
)
20: xby+=
.
Chứng minh rằng v (V) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt với
mọi
b. Tìm b để có độ dài lớn nhất.
()

, PQ
PQ
2.
Trong không gian với hệ toạ độ cho các điểm Oxyz
(
)
200;;A
,
(
)
080;;B

,
(
)
003;;C
v là điểm thoả mãn: N
23ON OA OB OC
=
++
u
uur uuuruuur uuur
. Tính thể tích tứ
diện .

NABC
Câu 4: (2,0 điểm)
Tỡm giỏ tr ln nht v nh nht ca hm s:
2
33yx x
=
+


Hết
Thí sinh không đợc sử dụng tài liệu gì.
Cán bộ coi thi không đợc giải thích gì thêm.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HOÁ

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 NĂM 2007
Môn: TOÁN. THBT
(Đáp án - Thang điểm gồm 2 trang)

Câu Ý Nội dung Điểm
I (6,0 điểm)
1
(3,0 điểm)

• TXĐ:
{
}
\1−

• Sự biến thiên:
()
2
2
2
02
1
' , ' hoÆc
xx
yyx
x
+
==⇔=−
+
0x=

.

(
)
(
)
23 01,
CT
yy=− = =
CD
yy=−

1,0
Bảng biến thiên:





1,0

• Đồ thị:

1,0








2
(3,0 điểm)

Phương trình hoành độ giao điểm:
() ()() (
2
2
1
21 1 20
1

xx
kx k x k x x
)
1
x

++
=− +⇔⇔− +− = ≠−
+

1,5

Gọi
(
)
(
)
(
)
2
12
f
xkxk=− +−x
. Thoả mãn yêu cầu bài toán khi:
(
)

(
)
(
)
(
)
110 11 20kf k k k k− −<⇔ − −−+ <⇔<1
.
1,5
II

(6,0 điểm)
1
(3,0 điểm)



Điều kiện:
3 vµ
x
x≥∈N. Bất phương trình tương đương với

x
y
'
y

−

∞

−

∞

−

∞

+ ∞
+ ∞ +
∞

−
3
1
0
0 0
−
2
−1
2
−

−

+
+
y
O

−1
1
−2
x
−
3
(
)
()() ()
2
16
10
22 2 2 3 3
!
!!

!!!!
x
xx
xxxx
−≤
−− −
+

1,5
4
x
⇔⇔≤. Kết hợp với điều kiện suy ra 34vµ
x
x

=
= .
1,5
2 (3,0 điểm)
Xét phương trình:
222
44
33
2
11
hoÆc
xaaax
x
ax
aa
+−
a
=
⇔ ⇔ =− =−
++
có
Vì
[
]
22
320 2,;
x
ax a x a a++≤∀∈−−
nên diện tích là:
()

22 22
44
22
11
32 32
11
aa
aa
S x ax a dx x ax a dx
aa
−−
−−
=++=−++
++
∫∫


1,5


()
32 3
2
4
4
2
13
2
132
61

a
a
xax a
ax
a
a
−
−
⎛⎞
=− + + =
⎜⎟
+
+
⎝⎠

1,5
III

(6,0 điểm)
1
(3,0 điểm)

Tâm , bán kính
(
23;I −
)
4
R
=
, khoảng cách từ

I
đến
(
)
Δ
là
2
3
1
b
d
b
=
+
,
suy ra
222
91616 7160dR b b b b<⇔ < + ⇔ + >∀
1,5

Độ dài lớn nhất khi PQ
()
Δ
đi qua tâm
I
23 20 0bb
⇔
−−=⇔=
1,5
2

(3,0 điểm)

()()
2169 2169;; ;;ON N=⇔
uuur
.
()
()( ) (
0169
289 2166 721832
;;
;; , ; ; , ;;
NA
NB NC NA NB
=−−
⎡⎤
=− − − =− − − ⇒ = −
⎣⎦
uuur
uuuruuur uuuruuur

)

1,5

Thể tích tứ diện là
()
1
40
6

,. ®vt
VNANBNC
⎡⎤
==
⎣⎦
t
u
uuruuuruuur

1,5
IV

(2,0 điểm)

TXĐ:
33;
⎡⎤
−
⎣⎦
,
()
()
22
2
3
30330
2
3
','
x

yyxxx
x
=− =⇔ −= ≥⇒=
−
x

1,0


() ()
3
33 33 2
2
, ,
yyy
⎛⎞
−=− = =
⎜⎟
⎝⎠
3
.
1,0
Suy ra hàm số có GTLN là
23
và GTNN là 3
−


Hết