Sử dụng hằng đẳng thức giải phương trình vô tỉ

I. CƠ SỞ ĐỀ XUẤT GIẢI PHÁP
1. Sự cần thiết hình thành giải pháp
Khi dạy học sinh giải bài tập, hay một dạng bài tập không chỉ đơn thuần là
giúp các em học sinh có được lời giải bài tốn đó, mà cần giúp học sinh khái
quát, tổng quát lên thành phương pháp giải dạng tốn đó và hướng dẫn học sinh
thủ thuật giải tốn.
Trong qt trình dạy và học hệ thống bài học về phương trình vơ tỉ tơi nhận
thấy rằng: Có khá nhiều loại phương trình vơ tỉ nhưng trong sách giáo khoa chỉ
mới đề cập đến một số dạng cơ bản, vận dụng nhiều kiến thức khác nhau ta có
thể đưa ra được những phương pháp giải cho từng dạng phương trình vơ tỉ đặc
biệt trong các kì thi phương trình vơ tỉ chiếm một vị trí rất quan trọng.
Khi học phương trình vơ tỉ học sinh hiểu được tính chặt chẽ trong tốn học
một cách vững vàng hơn. Nếu giải quyết được bài toán này sẽ mang lại lợi ích
thiết thực trong tốn học nói riêng cũng như các mơn khác như: Hóa học, vật
lý... nói chung.
Giải phương trình vơ tỉ xuất hiện trong các sách tham khảo, trong các kì thi
(đặc biệt là thi học sinh giỏi) nhưng trong sách giáo khoa ít đề cập đến và chỉ đề
cập một số bài cơ bản.Thực chất có nhiều cách giải phương trình vơ tỉ như: nâng
lên lũy thừa, đặt ẩn phụ, đánh giá hai vế, sử dụng bất đẳng thức, nhân biểu thức
liên hợp…Tất cả những phương pháp trên đều một mục đích là đưa về phương
trình hữu tỉ (hữu tỉ hóa). Song qua đọc các bài tập ở sách giáo khoa và sách bài
tập toán 9 thì việc sử dụng hai hằng đẳng thức (A + B) 2 =A2+ 2AB + B2 và
(A-B)2 = A2 - 2AB+B2 quen thuộc để giải được là khá phổ biến.Và nhận thấy khi
sử dụng nó vào cụ thể các bài toán cho những kết quả rất đẹp.Mặt khác đây là
hai hằng đẳng thức rất quan trọng nên ta có thể củng cố lại cho học sinh hai
hằng đẳng thức này. Bên cạnh đó,nhằm khắc sâu cho học sinh khi đưa biểu thức
ra ngoài dấu căn, cũng như việc mở dấu giá trị tuyệt đối. Và tôi cũng đã khắc
sâu được cho học sinh có những bài chỉ sử dụng phương pháp này. Bởi những lý
do trên nên trong quá trình dạy tốn 9 tơi đã cố gắng tìm tịi nghiên cứu,thực

nghiệm và rút kinh nghiệm nhỏ là: “ Sử dụng hai hằng đẳng thức (A + B)2 =
A2+2AB+B2 và (A-B)2 = A2 - 2AB+B2 để giải phương trình vơ tỉ”
2. Mục tiêu của giải pháp
Phương pháp giải phương trình vơ tỉ trong đề tài này thích hợp với một
diện rộng học sinh khối 9, giúp học sinh trung bình khá luyện tập để vươn lên
khá giỏi, giúp các em khá giỏi nắm vững các kiến thức kỹ năng, và nắm được
một cách khái quát từng phương pháp đáp ứng yêu cầu trong các kỳ thi nhất là
kì thi chọn học sinh giỏi khối 9, và dùng để bồi dưỡng học sinh vào các lớp chọn
của trường THPT.
Giúp học sinh hứng thú kích thích tính ham học, lịng đam mê tự khám
phá tìm ra kiến thức từ đó tích lũy thêm nhiều kiến thức bổ ích cho bản thân.
3. Phương pháp nghiên cứu:
Trong quá trịnh nghiên cứu đề tài này tôi đã sử dụng một số phương pháp
sau:
- Tìm hiểu kĩ lưỡng sách giáo khoa, sách bài tập, thường xuyên đọc thêm
các tài liệu tham khảo và một số đề thi học sinh giỏi khối 9.
-Thực nghiệm đối với việc bồi dưỡng học sinh giỏi khối 9 và trong quá
trình giảng dạy hằng ngày trên lớp.
-Bên cạnh đó tơi cịn thường xuyên trao đổi, tranh luận, góp ý với các đồng
nghiệp trong tổ, đặc biệt là những giáo viên có nhiều kinh nghiệm giảng dạy
mơn tốn 9.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Trong chương trình Tốn bậc THCS, chun đề về phương trình là một
trong những chuyên đề xuyên suốt 4 năm học của học sinh, bắt đầu từ những bài
tốn “ Tìm x biết…” dành cho học sinh lớp 6,7 đến việc củ thể hóa vấn đề về
phương trình ở cuối năm học lớp 8 và hoàn thiện cơ bản các nội dung về phương
trình đại số ở lớp 9. Đây là một nội dung quan trọng bắt buộc học sinh THCS
phải nắm bắt thành thạo và có kỹ năng giải thành thạo tạo tiền đề bước vào cấp
THPT.

2


Để thực hiện đề tài này tôi thực hiện nghiên cứu tại đơn vị công tác là
trường THCS Nguyễn Thái Bình
II.

Q TRÌNH HÌNH THÀNH VÀ NỘI DUNG GIẢI PHÁP

1. Cơ sở lý luận
Dạy toán là một hoạt động nghiên cứu về toán học của học sinh và giáo
viên bao gồm day khái niệm, dạy định lý, giải tốn..., trong đó giải tốn là cơng
việc quan trọng. Bởi giải tốn là q trình suy luận nhằm khám phá ra quan hệ
lơgic giữa cái đã cho và cái chưa biết (giữa giả thiết và kết luận). Mỗi bài tốn
có thể có nhiều cách giải, mỗi cách giải là một định hướng suy luận riêng nên
khi đứng trước một bài toán học sinh thường không biết bắt đầu từ đâu? phải
làm như thế nào? Quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi nếu bắt đầu từ bài tốn khó,
rất khó dạy đối với thầy và khó học đối với trị. Mặt khác chúng ta không thể
dạy hết cho học sinh tất cả các bài tập cũng như các em không thể làm hết các
bài tập đó. Vì vậy để tạo mối liên hệ giữa các bài tập, khi hướng dẫn cho học
sinh giải một bài toán, giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh biết khai thác, mở
rộng kết quả những bài toán đơn giản và khai thác bài toán gốc để xây dựng các
bài toán mới liên quan. Điều này giúp học sinh rèn luyện tư duy lơgic óc, sáng
tạo, tự tìm tịi, suy nghĩ ra những bài tốn mới và có những cách giải hay. Ngồi
ra cịn tạo điều kiện cho giáo viên và học sinh không nhất thiết phải mua nhiều
tài liệu bởi trên thực tế có rất nhiều đầu sách có nội dung gần giống nhau. Mặt
khác muốn học giỏi tốn thì u cầu học sinh cần nắm chắc kiến thức và đứng
trước một bài tốn phải có cách nhìn,cách tiếp cận, đánh giá và giải quyết các
vấn đề của bài tốn một cách triệt để chứ khơng đơn thuần là giải cho xong. Bởi
việc tìm ra lời giải của bài tốn nhiều khi khơng phải là khó nhất là những bài

tốn ở sách giáo khoa. Vì thế, đối với học sinh nhất là học sinh khá giỏi thường
mang tâm lý xem nhẹ bài toán ở sách giáo khoa, nhưng thực ra đằng sau mỗi bài
tốn có bao nhiêu điều hấp dẫn, lý thú. Quá trình này phải bắt đầu từ các bài
toán đơn giản đến phức tạp để rèn luyện năng lực tư duy cho học sinh. Như nhà
toán học Đề Các đã nói: “Mỗi vấn đề mà tơi giải quyết đều sẽ trở thành ví dụ
mẫu mực dùng để giải quyết vấn đề khác”. Từ đó giúp các em có cơ sở khoa học
3


khi phân tích, định hướng tìm lời giải cho các bài toán khác và đặc biệt là củng
cố cho các em lịng tin vào khả năng giải tốn của mình.
Để rèn luyện kỹ năng giải tốn cho học sinh, ngồi việc trang bị tốt hệ
thống kiến thức cơ bản và rèn luyện kỹ năng giải bài tập,Nhiệm vụ của người
thầy ngoài việc cung cấp kiến thức, rèn luyện kỹ năng cho học sinh cịn có một
nhiêm vụ quan trọng đó là rèn luyện năng lực tư duy cho học sinh trong quá
trình giảng dạy của mình. Nếu người thầy chỉ dừng lại khi giải xong bài tốn thì
khơng thể khơi dậy học sinh óc tị mị, tính sáng và sự tìm tịi khám phá những
điều lý thú ẩn sau mỗi bài tốn, như thế khơng thể phát triển được năng lực tư
duy của học sinh và làm cho tiết học trở nên nhạt nhẽo và nhàm chán.
Nếu sau mỗi bài toán, người thầy hướng dẫn học sinh khai thác sâu các
kết quả. Từ đó tìm ra được chuỗi bài tốn từ dễ đến khó thì khơng những rèn
luyện được năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh mà còn gây hứng thú làm cho
giờ học trở nên hấp dẫn hơn, giúp cho kiến thức của học sinh có tính hệ thống,
được mở rộng và sâu hơn. Trong quá trình giảng dạy ở cũng như bồi dưỡng học
sinh giỏi, tôi nhận thấy biện pháp tốt và rất hữu hiệu để bồi dưỡng năng lực tư
duy theo định hướng đổi mới phương pháp dạy học của Bộ Giáo Dục và Đào
tạo: "Phương pháp giáo dục phổ thơng phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ
động, sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm chung của từng lớp học, mơn
học ...”(Trích “Một số vấn đề đổi mới phương pháp dạy học ở trường THCS"Bộ Giáo dục và Đào tạo ).
2. Cơ sở thực tiễn.

Trong chương trình đại số cấp hai,phương trình có dạng như: Phương
trình bậc nhất một ẩn số ax + b = 0( a ≠ 0).Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số,
phương trình bậc hai một ẩn số ax2 +bx+ c =0( a ≠ 0)
Ngoài ra cịn các phương trình quy về dạng chính tắc như:
+ Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức
+ Phương trình tích dạng : f(x).g(x)….h(x)=0
+ Phương trình giải băng cách đặt ẩn phụ
4


+ Phương trình quy về phương trình bậc hai.
+ Phương trình được đưa về phương trình bậc nhất.
………..
Trong chương trình đại số 9,việc tìm nghiệm của một phương trình có
chứa ẩn số trong dấu căn(phương trình vơ tỉ) đối với học sinh cịn gặp những
khó khăn như chưa trình bày được lời giải của một phương trình một cách đầy
đủ và chính xác, học sinh thường mắc các sai lầm như: chưa tìm được tập xác
định của phương trình (điều kiện có nghĩa của phương trình) đã thực hiện các
phép biến đổi phương trình như:bình phương hai vế,lập phương hai vế….Hoặc
khi chọn được nghiệm thì kết luận ngay mà khơng đối chiếu nghiệm với tập xác
định để chọn nghiệm rồi mới kết luận.Học sinh thường bỏ qua các phép biến đổi
tương đương một phương trình với hệ điều kiện và trinh bày rời rạc khơng theo
một quy trình(Angoorit )
Mặt khác ,việc định dạng các phương trình thường gặp trong chương trình
cũng như trong các tài liệu ơn tập tham khảo khác học sinh chưa có được cách
giải phù hợp với từng dạng đó,chỉ áp dụng máy móc như bình phương liên tục
(nhiều lần) các phương trình, làm cho việc trình bày lời giải dài dòng ,thiếu hiệu
quả.
Hơn nữa,do thực tế của chương trình đại số 9,việc giải phương trình vơ tỉ
cũng chỉ dừng ở những bài tập quen thuộc, đơn điệu nên nhiều giáo viên chủ

quan, không đề cập cho học sinh những dạng phương trình vơ tỉ khác sách giáo
khoa và bài tập quy định,v ì thế khi dự thi các kì thi học sinh giỏi nhiều học sinh
khơng giải được các phương vơ tỉ địi hỏi vận dụng các kiến thức trong chương
trình.
Để khắc phục tình trạng nói trên,đồng thời nhằm giúp học sinh lớp 9 có được
một cách nhìn nhận mới về các phương pháp giải một phương trình vơ tỉ trên
nền tảng các kiến thức cơ bản đã được trang bị của cấp học,qua đó giúp các em
trau dồi được những phẩm chất trí tuệ như: tính độc lập, sáng tạo, linh hoạt trong
q trình giải tốn, góp phần bồi dưỡng các em trở thành học sinh khá, giỏi.

5


3. Các kiến thức liên quan:
1. Các hằng đẳng thức:
(A + B)2 =A2+ 2AB + B2
(A- B)2 = A2 - 2AB + B2
A2 = A

2.

 AnêuA ≥ 0
− AnêuA < 0

3. A = 

A = 0

4. A + B + C =0 ⇔ B = 0
C = 0


2

2

2

A xác định ⇔ A ≥ 0

5.

6. Cách tạo bình phương: Ưu tiên cho 2AB trong hằng đẳng thức để xác
định A và B
A = B

7. A2 = B2 ⇔ 
 A = −B
4. Nội Dung
Bắt đầu là bài tập cơ bản sau:
Bài 1( Bài 9 SGK tốn 9 trang 11)
Tìm x biết:
a) x 2 = 7
b) 4 x 2 = 6
c) x 2 = − 8
d) 9 x 2 = 12
Giải:
Ở đây ta có những cách giải khác nhau nhưng tơi thấy cách giải sau thường dùng
nhất cho dạng bài 1 này:
x = 7

a) x 2 = 7 ⇔ x = 7 ⇔ 
x = −7


Vậy phương trình có tập nghiệm là: S = { − 7;7}

6


Sau đó tiếp theo từ những câu giải thật sự đơn giản đó ta đưa ra cho học sinh các
bài toán sau dựa vào bài toán trên.
Bài 2( Bài 25 SGK toán 9 trang 16)
4(1 − x) 2 − 6 = 0
⇔ 2(1 − x) = 6
 x = −2
⇔
x = 4

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = { − 2;4} .
Đến đây học sinh đã cảm thấy bắt đầu quen thuộc với dạng toán này nên tiếp tục
ra bài tập nâng cao lên một tí, ta có thể đưa ra bài toán sau:
x 2 + 6 x + 9 = 3x − 1
⇔ ( x + 3) 2 = 3 x − 1
⇔ x + 3 = 3x − 1
 x + 3 = 3x − 1
⇔
 x + 3 = 1 − 3x
 x = 2(TM )
⇔
x = − 1

2


1
3

(ĐK: x ≥ )

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = { 2} .
Bài tốn sau tương tự bài tốn 3, chỉ có điều có hai, ba căn bậc hai học sinh có
thể khó nhìn hơn một chút.
Bài 4: Giải phương trình sau:
x 2 − 2x + 1 + x 2 + 4x + 4 = 3
⇔ ( x − 1) 2 + ( x + 2) 2 = 3
⇔ x − 1 + x + 2 = 3(1)

* Với x ≤ −2 : (1) ⇔ 1 –x –x -2 = 3
⇔ -2x =4
⇔ x = -2(TMĐK)

* Với -2(1) ⇔ 1- x + x +2 = 3
⇔ 3= 3(Đúng). Vậy phương trình có nghiệm là: -2 7


Với x ≥ 1 :
(1) ⇔ x-1 + x +2 =3
⇔ 2x = 2
⇔ x=1 (TMĐK)

Vậy phương trình có nghiệm là: − 2 ≤ x ≤ 1 .
Bài 5: Giải phương trình: x 2 − 6 x + 9 + x 2 + 4 x + 4 + x 2 − 2 x + 1 = x + 1
⇔ ( x − 3) 2 + ( x + 2) 2 + ( x − 1) 2 = x + 1
⇔ x − 3 + x + 2 + x −1 = x +1

(5)

*Với x<-2 thì (5) ⇔ 3-x-x-2+1-x=x+1
⇔ 4x=1
⇔ x=

1
(loại)
4

*Với -2 ≤ x ≤ 1 thì (5) ⇔ 3-x+x+2+1-x=x+1
⇔ 2x=5
⇔ x=

5
(loại)
2

* Với 1⇔ 4=1(vơ lý)

*Với x ≥ 3 thì (5)

⇔ x-3+x+2+x-1=x+1

⇔ 2x=3
⇔ x=

3
(loại)
2

Vậy phương trình đã cho vơ nghiệm.
Đến đây ta đưa ra bài tốn sau, trước hết muốn làm được bài này thì phải sắp
xếp các hạng tử trong dấu căn và phải sử dụng x=( x )2. Hướng dẫn học sinh
cách tạo bình phương ln ưu tiên hạng tử 2AB.
Bài 6: Giai phương trình: x + 4 − 4 x + x + 9 − 6 x =1.
Ở đây hướng dẫn cho học sinh để ý đến hai hạng tử là : -4 x và
⇔

x − 4 x + 4 + x − 6 x + 9 = 1 ( đk : x ≥ 0 )

⇔

( x − 2) 2 + ( x − 3) 2 = 1

-6 x

8


⇔

x −2 +

x − 3 = 1 (6)

* Với 0 ≤ x ≤ 4 ta có
Phương trình (6) ⇔ 2- x + 3 − x = 1
⇔2 x =4
⇔

x =2

⇔

x =4 (thỏa mãn)

* Với 4⇔

x −2+3− x =1

⇔ 1= 1 (đúng)

Vậy phương trình có nghiệm : 4* Với x ≥ 9 phương trình
⇔
⇔
⇔

x −2+ x −3 =1

2 x =6
x =9 (thỏa mãn)

Vậy nghiệm phương trình đã cho là : 4 ≤ x ≤ 9
Qua bài toán trên ta đưa ra một đề thi sát với các em mà lại vận dụng kiến thức
vừa làm ở bài trên để học sinh hứng thú hơn trong việc chiếm lĩnh tri thức đó là
bài tốn sau:
Bài 7: Giải phương trình :
x − 6 x + 2 + 11 + x + 10 x + 2 + 27 = 8 (7)

(ĐK: x ≥ 2 )
(7) ⇔ ( x + 2) − 2.3 x + 2 + 9 + ( x + 2) + 2.5. x + 2 + 25 = 8
⇔ ( x + 2 − 3) 2 + ( x + 2 + 5) 2 = 8
⇔

x+2 −3 +

x+2 +5 =8

⇔

x + 2 − 3 + x + 2 + 5 = 8 (*)

*Với -2 ≤ x ≤ 7
(*) ⇔ 3 − x + 2 + x + 2 + 5 = 8
⇔ 8 = 8 (đúng)

9


Vậy phương trình có nghiệm: -2 ≤ x ≤ 7
*Với x>7

(*) ⇔ x + 2 − 3 + x + 2 + 5 = 8
⇔ 2 x+2 =6
⇔ x+2 =3
⇔ x = 7( KTM )

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: -2 ≤ x ≤ 7
Cách 2: Ta thấy:
x+2 −3 +

x + 2 +5 = 3− x + 2 +

x+2 +5

≥ 3− x + 2 + x + 2 +5 = 8

Dấu “=” xảy ra ⇔ (3 − x + 2 )( x + 2 + 5) ≥ 0
⇔ −2 ≤ x ≤ 7

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là -2 ≤ x ≤ 7
Bài 8: Giải phương trình
x − 4 x − 4 + x + 4 x − 4 = 2 (ĐK: x ≥ 4 ) (8)
(8) ⇔

x − 4 − 2.2. x − 4 + 4 + x − 4 + 2.2 x − 4 + 4 = 2

⇔ ( x − 4 − 2) 2 − ( x − 4 + 2) 2 = 2
⇔
⇔

x−4 −2 −

x−4 +2 =2

x − 4 − 2 − x − 4 − 2 = 2 (*)

* Với 4 ≤ x ≤ 8

(*) ⇔ 2 − x − 4 − x − 4 − 2 = 2
⇔ − x − 4 = 1(VN )

*Với x>8
(*) ⇔ x − 4 − 2 − x − 4 − 2 = 2
⇔ -4 =2 (VN)

Vậy phương trình đã cho vơ nghiệm.
Bài 9: Giải phương trình:
x + 2 x − 5 − 2 + x − 3 2 x − 5 + 2 = 2 2 (9)

10


5
2

(ĐK: x ≥ )
Ta nhận thấy muốn giải phương trình này, ta đưa biểu thức dưới dấu căn về hằng
đẳng thức, nhưng lại khuyết hệ số 2 của hạng tử 2AB nên ta nhân hai vế của
phương trình với 2 .
(9) ⇔ 2 x + 2 2 x − 5 − 4 + 2 x − 6 2 x − 5 + 4 = 4
⇔ ( 2 x − 5 + 1) 2 + ( 2 x − 5 − 3) 2 = 4

⇔

2x − 5 + 1 +

2x − 5 − 3 = 4

⇔ 2x − 5 + 1 +

2x − 5 − 3 = 4

(*)

5
≤x≤7
2
(*) ⇔ 2 x − 5 + 1 + 3 − 2 x − 5 = 4
⇔
4
= 4 (đúng)
5
Phương trình có nghiệm : ≤ x ≤ 7
2
*Với

* Với 7(*) ⇔ 2 x − 5 + 1 + 2 x − 5 − 3 = 4
⇔ 2 2x − 5
=6
⇔ 2x − 5
=3

⇔x
=7 (loại )
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là :

5
≤x≤7
2

Qua các ví dụ trên học sinh có thể nhận thấy ngay cách biến đổi nếu là học sinh
khá. Vì vậy tiếp tục tơi đưa ra bài tốn sau để học sinh tìm tòi và biến đổi để đưa
về dạng trên đã làm. Ta có bài tốn sau:
Bài 10: Giải phương trình
x + 2x + 3 + 2 =

2
( x + 1)
2

(10)

Với phương trình này học sinh chưa thấy ngay biểu thức trong dấu căn có dạng
hằng đẳng thức. Vì vậy ta phải hướng cho học sinh vào hạng tử

2 x + 3 , vậy thì

bình phương của nó là: 2x+3 nên phải dung thủ thuật nào để có 2x+3. Đến đây
chắc chắn học sinh sẽ giải được một cách dễ dàng giải được dựa vào các bài tập
trên.
Giải: Đk : x ≥ -

3
2
11


Khi đó : (10) ⇔ 2 . x + 2 x + 3 + 2 = x + 1
⇔ 2x + 3 + 2 2x + 3 + 1 = x + 1
⇔ ( 2 x + 3 + 1) 2

=x+1

⇔

=x+1
=x+1

2x + 3 + 1

⇔ 2x + 3 + 1

x ≥ 0
x ≥ 0
x ≥ 0

⇔
⇔ 2
⇔  x = −1 ⇔ x = 3
2
2 x + 3 = x
x − 2x − 3 = 0

 x = 3


Vậy phương trình có nghiệm là : x=3
Chú ý : Nếu phương trình có dạng f ( x) + g ( x) + c = h( x) thì thơng thường ta
đưa về dạng ( g ( x) + d ) 2 = h( x) .
Nếu trong phương trình có dạng

x + ax + b + c thì thơng thường ta

nhân cả hai vế với a có thể để làm xuất hiện dạng ( ax + b + d ) 2 rồi biến đổi
tiếp.
Sau đó ta có thể đưa ra bài tốn ở dạng tham số để học sinh khá giỏi có
thể làm nhằm hướng cho các em đến những bài toán mang tình tổng hợp.Ta đư
ra bài tốn 11.
Bài 11: Giải phương trình
x + 2 x −1 + x − 2 x −1 = a

a, Giải phương trình
b, Giải và biện luận phương trình
Giải:
x + 2 x − 1 + x − 2 x − 1 = a (đk:x ≥ 1 )
⇔

x −1+ 2 x −1 +1 + x −1− 2 x −1 +1 = a

⇔ ( x − 1 + 1) 2 + ( x − 1 − 1) 2 = a
⇔

x −1 +1 +

x −1 −1 = a

⇔

x −1 +1+

x − 1 − 1 = a (*)

a ,Với a=2 (*) trở thành :

x −1 +1+

x −1 −1 = 2 .

( x − 1 + 1)(1 − x − 1) ≥ 0
⇔1≤ x ≤ 2
Vậy phương trình có nghiệm là : 1 ≤ x ≤ 2

Nhận thấy : VT ≥ 2 dấu "=" xẩy ra khi :
b , Với x>2 (*) trở thành :

12


x −1 +1+ x −1 −1 = a
⇔ 2 x −1 = a
a
⇔ x −1 =
2

a ≥ 0

⇔
a2
x
−
1
=


4
a ≥ 0

⇔
a2
x
=
+ 1(**)

4


Để (**) là nghiệm của phương trình thì :
a2
+1 > 2
4
a2
⇔
>1
4

a > 2
⇔ a2 > 4 ⇔ 
a < −2(loai )

Vậy với a>2 phương trình có nghiệm là : x=

a2
+1
4

Kết luận:
a < 2 phương trình vơ nghiệm
a =2 phương trình có vơ số nghiệm: 11 ≤ x ≤ 2
a >2 phương trình có nghiệm duy nhất x=

a2
+1
4

7: Giải và biện luận phương trình:
x + 1 + 4 x − 3 + x + 6 − 6 x − 3 = 3m − 1 (10)

Đk : x ≥ 3
(10) ⇔ x − 3 + 2.2 x − 3 + 4 + x − 3 − 2.3. x − 3 + 9 = 3m − 1
⇔ ( x − 3 + 2) 2 + ( x − 3 − 3) 2 = 3m − 1
⇔

x−3 +2 +

x − 3 − 3 = 3m − 1

⇔

x−3 +2+

x − 3 − 3 = 3m − 1

Biện luận tương tự bài 11
Bài 13: Giải phương trình:

13


x+ x+

1
1
+ x + = 2 (11)
2
4
1
4

(ĐK: x ≥ − )
1
4

(11) ⇔ x + ( x + ) + 2.
⇔ x+ ( x+

1
1 1
x+ + =2
2
4 4

1 1 2
+ ) =2
4 2

x+

1 1
+ =2
4 2

⇔ x+ x+

1 1
+ =2
4 2

⇔ x+

⇔

x+

1 3
= −x

4 2

3

3

x
≤
3


2
 x ≤ 2
x ≤

⇔
⇔
⇔ 
2
x = 2 + 2 (TM )
 x + 1 = ( 3 − x) 2
x 2 − 4x + 2 = 0



 x = 2 − 2 ( KTM )
4
2


Vậy x= 2 - 2 là nghiệm của phương trình
Dựa vào bài tốn 13 ta có thể đưa ra bài tốn 14 khá hay và mang tính tổng để
học sinh làm thì giáo viên có thể định hướng cho các em làm với biểu thức trong
cùng trước tức là:
x+

1
1
+ x+
2
4

Bài 14: Giải phương trình:
x + x + ... + x +

1
1
+ x+
= 2018 (12)
2
4

1
4

ĐK: x ≥ − .Khi đó phương trình (12)

14

⇔

x + x + ... + ( x +

1 1 2
+ ) = 2018
2 4

⇔ ....................................................
⇔

x+

1
1
+ x + = 2018
2
4

⇔ ( x+

1 1 2
+ ) = 2018
4 2

1 1
+ = 2018
4 2
⇔ x = 4070306
⇔

x+

Qua bài này ta thấy rằng có những phương trình qua một số biến đổi thì mới đi
đến dạng quen thuộc. Yêu cầu học sinh giải bài sau:
Bài 15: Giải phương trình:
x 2 − 4 x = 8 x − 1 (13). ĐK: x ≥ 1

Khi đó phương trình (13) trở thành
x2
− x = 2 x −1
4
x2
= x −1+ 2 x −1 +1
4
x2
⇔
= ( x − 1 + 1) 2 (*)
4
⇔

Do x ≥ 1 nên (*) ⇔

x
= x −1 +1
2

⇔ ( x − 1 − 1) 2 = 2
 x −1 −1 = 2
 x −1 = 2 +1

⇔
⇔
 x − 1 − 1 = − 2
 x − 1 = − 2 + 1(loai )
⇔ x = 4 + 2 2 (TM )

Bài 16: Cho phương trình:

x +1+ x +

3
+ x = a (16)
4

a, Tìm x để phương trình có nghĩa
b, Tìm a để phương trình có nghiệm? Tính x theo a.
Giải:

15


3

 x + 4 ≥ 0
3
⇔x≥
a , Điều kiện 
4
x + 1 + x + 3 ≥ 0


4
3
4

b, Với x ≥ − khi đó (16) trở thành:
⇔ ( x+
⇔

x+

x+

3
3 1
+ x+ + +x=a
4
4 4

3 1 2
+ ) +x=a
4 2

3 1
+ + x−a =0
4 2

Đặt x +

1
3

2
= t (t ≥ 0) khi đó phương trình trở thành: t + t − (a + ) = 0
4
4

Ta có: ∆ = 4a + 2 = 2(2a + 1)
1
2

*/ ∆ < 0 ⇔ a < − thì phương trình vơ nghiệm
1
1
thì phương trình có nghiệm t 1 = t 2 = −
2
2

*/ ∆ = 0 ⇔ a = −

− 1 − 4a + 2
(loai )
1
2
*/ ∆ > 0 ⇔ a > − thì phương trình có nghiệm :
2
− 1 + 4a + 2
t2 =
2
t1 =

Để t 2 là nghiệm ⇔

Phương trình có
Vậy : Nếu a ≥ −
Nếu a < −

− 1 + 4a + 2
1
≥0⇔a≥−
2
4

x+

3
=
4

4a + 2 − 1
2 a − 4a + 2
⇔x=
2
2

1
thì phương trình có nghiệm
4

1
thì phương trình vơ nghiệm
4

** Các bài tập tương tự:
1, Giải phương trình :
a , x 2 − 2x + 1 + 4x 2 − 4x + 4 = 3
b , x + 2− 4 x − 2 + x + 7 −6 x − 2 =1
c , x + 6x − 9 + x − 6x − 9 = 6
16


2 ,Tìm m để phương trình có nghiệm
x−6 x−9 + x+ x−9 = m
1
2

3 ,Giải phương trình : x + x + + x +

1
=1
4


5
 x − x +1 + + y = 1
4
4 ,Giải hệ phương trình : 
4 x + y = 2


Ngoài việc sử dụng 2 hằng đẳng thức trên để đưa biểu thức trong dấu căn
ra ngồi dấu căn thì ta cịn có thể sử dụng nó để đưa phương trình về dạng
tổng các biểu thức không âm.

Từ bất đẳng thức A 2 + B 2 ≥ 0 ,ta có thể hướng cho học sinh và đưa ra cho
học sinh các phương trình về dạng A 2 + B 2 = 0 .Hoặc có thể đưa phương trình
về dạng A 2 = B 2
Đầu tiên tơi đưa ra bài tốn sau :
Bài 1: Giải phương trình :
x 2 + 4 x + 4 + 2 x − 1 = 0 (1)

Đk: x ≥

1
2

⇔ ( x + 2) 2 + 2 x − 1 = 0
( x + 2) 2 = 0
⇔
 2 x − 1 = 0
 x = −2

⇔
1 ⇔ vn
 x = 2

Vậy phương trình đã cho vơ nghiệm
Bài 2: Giải phương trình
x 2 − 5 x − 2 x + 1 + 11 = 0 (2)

Đk x ≥ −1

17

⇔ x 2 − 6x + 9 + x + 1 − 2 x + 1 + 1 = 0
⇔ ( x − 3) 2 + ( x + 1 − 1) 2 = 0
( x − 3) 2 = 0
x − 3 = 0
x = 3
⇔
⇔
⇔
⇔ x=3


x
=
3
x
+
1
−
1
=
0
( x + 1 − 1) 2 = 0



Đối chiếu điều kiện thấy thỏa mãn,vậy x = 3 là nghiệm của phương trình.
Bài 3 : Giải phương trình
4 x + 1 = x 2 − 5 x + 14 (3).

Đk : x ≥ −1
⇔ x 2 − 5 x + 14 − 4 x + 1 = 0
⇔ x 2 − 6x + 9 + x + 1 − 4 x + 1 + 4 = 0
⇔ ( x − 3) 2 + ( x + 1 − 2) 2 = 0
x − 3 = 0
x = 3
⇔
⇔
⇔ x=3
x
=
3
x
+
1
−
2
=
0



Đối chiếu điều kiện thấy thỏa mãn,vậy x = 3 là nghiệm của phương trình.
Bài 4 : Giải phương trình
x 2 + 4 x + 5 = 2 2 x + 3 (4)

Đk x ≥ −

3
khi đó (4) trở thành:

2

( x 2 + 2 x + 1) + (2 x + 3) − 2 2 x − 3 + 1 = 0
( x + 1) 2 = 0
⇔ ( x + 1) + ( 2 x + 3 − 1) = 0 ⇔ 
⇔ x = −1(TM )
( 2 x − 3 − 1 = 0
2

2

Vậy phương trình có nghiệm là x = −1
Bài 5 : Giải phương trình.
2 x 3x − 2 + 2 x − 1 = x 2 + 4 x − 2

Với bài này nếu học sinh thấy khó khăn thì có thể hướng học sinh vào hai hạng
tử là: 2 x 3x − 2 và 2 x − 1 để tạo bình phương tức là: 2 x 3x − 2 = 2.x. 3x − 2 còn
2 x − 1 = 2.1. x − 1 .

Giai: Đk x ≥ 1 khi đó phương trình trở thành

18


( x 2 − 2 x 3x − 2 + 3x − 2) + ( x − 1 − 2 x − 1 + 1) = 0
⇔ ( x − 3x − 2 ) 2 + ( x − 1 − 1) 2 = 0
 x − 3 x − 2 = 0
 x = 3x − 2
⇔
⇔

⇔ x = 2(TM )
 x − 1 − 1 = 0
x = 2

Vậy phương trình có nghiệm là x = 2
Bài 6 : Giải phương trình : x 2 + x + 2004 = 2004
Giai : Đk x ≥ −2004 , khi đó phương trình trở thành
1
1
= x + 2004 − 4 x + 2004 +
4
4
1
1
⇔ ( x + ) 2 = ( x + 2004 − ) 2
2
2
1
1

 x + 2 = x + 2004 − 2 (a)

 x + 1 = − x + 2004 − 1 (b)
2
2

x2 + x +

− 1 + 8013
Giai (a) ta được nghiệm của phương trình là : x =

(*)
2

1 − 8017
Giai (b) ta được nghiệm của phương trình là : x =
2

(**)

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là (*) và (**)
Bài 7 : Giải phương trình : x + y + z + 4 = 2 x − 2 + 4 y − 3 + 6 z − 5 (*)
x ≥ 2

ĐK:  y ≥ 3
z ≥ 5


Khi đó (*) trở thành:
( x − 2 − 2 x − 2 + 1) + ( y − 3 − 2 y − 3 + 4) + ( z − 5 − 2.3. z − 5 + 9) = 0
⇔ ( x − 2 − 1) 2 + ( y − 3 − 2) 2 +( z − 5 − 3) 2 = 0
 x − 2 −1 = 0
 x = 3(TM )


⇔  y − 3 − 2 = 0 ⇔  y = 7(TM )

 z = 14(TM )

 z − 5 − 3 = 0

Vậy nghiệm của phương trình là: (3;7;14)
Ngồi ra chúng ta cũng có thể sử dụng bất đẳng thức:
a2 + b2 + c2 + d 2 ≥

( a + c ) 2 + (b + d ) 2
19


Dấu “=” xảy ra ⇔

a b
= . Để giải phương trình dạng này, ở đây chúng ta
c d

cũng ử đã sử dụng đến hằng đẳng thức trên hoặc đánh giá hai vế (cũng có sử
dụng hằng đẳng thức trên. Tuy nhiên ở dạng này đòi hỏi học sinh phải thật
sự có lối tư duy và cách nhìn nhận bài tốn để đánh giá.
Bài 8: Giải phương trình:
x 2 − 8 x + 816 + x 2 + 10 x + 267 = 2003

Giải:
VT=
( 4 − x) 2 + ( 800 ) 2 + ( x + 5) 2 + ( 242 ) 2 ≥ (4 − x + x + 5) 2 + ( 800 + 242 ) 2 = 2003

Dấu “=” xảy ra khi:

4−x
800 20
− 56
=

=
⇔x=
x+5
242
11
31

Bài 9: Giải phương trình:
3x 2 + 6 x + 7 + 5 x 2 + 10 x + 14 = 4 − 2 x − x 2 (*)
VT = 3(x 2 + 2 x + 1) + 4 + 5( x 2 + 2 x + 1) + 9 = 3( x + 1) 2 + 4 + 5( x + 1) 2 + 9 ≥ 5
VP = 5 − ( x 2 + 2 x + 1)  ≤ 5

Dấu “=” xảy ra khi x= -1
Vậy phương trình có nghiệm x = -1
Các bài tập tương tự: Giải các phương trình sau:
1/ x2 -2x + x 2 − 4 + 1 = 0
2/ x 2 + 4 x + 5 = 2 2 x + 3
3/ x 2 + x + 2010 + 3x + 2012 = 0
4/ x 2 + 4 x + 5 = 2 2 x + 3
1
( x + y + z ) − 3000
2

5/

x − 2000 + y − 2001 + z − 2002 =

6/

16

+
x −3

7/

2 x 2 − 2 x + 5 + 2 x 2 − 4 x + 4 = 13

8/

3x 2 + 6 x + 7 + 4 x 2 + 8 x + 64 = 5 − 2 x − x

4
1225
+
= 82 − x − 3 − y − 1 − z − 665
y −1
z − 665

2

20


9/ 4 x 2 + 12 + x − 1 = 4( x 5 x − 1 + 9 − 5 x )

III. KẾT LUẬN
1. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI:
Sau khi nghiên cứu và áp dụng đề tài tôi nhận thấy học sinh đạt được những
hiệu quả rất đáng khích lệ :
- Học sinh có ý thức hơn, cẩn thận hơn,trình bày lời giải bài tốn khoa học

chặt chẽ hơn.
- Học sinh rất hứng thú về đề tài của tôi, các em đã nắm được hệ thống kiến
thức về bất đẳng thức một cách vững chắc.
- Các em đã có định hướng suy nghĩ khi tìm tịi sáng tạo cái mới
- Biết cách chuyển một bài tốn khó đưa về các bài tốn đơn giản để giải và
đó chính là “chìa khóa” cho các em làm được rất nhiều bài toán khác.
- Cách suy nghĩ, định hướng trong học toán đã có sự thay đổi một cách tích
cực.
- Các em đã có phương pháp học tập một cách chủ động tích cực sáng tạo.
- Tạo được sự hứng thú niềm say mê học toán cho các em
2. NHẬN ĐỊNH VỀ CÁCH ÁP DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM VÀ
KHẢ NĂNG MỞ RỘNG ĐỀ TÀI:
- SKKN được áp dụng cho đối tượng là học sinh khá giỏi ở cấp THCS và có thể
cả học sinh THPT
- Có thể được thực hiện trong q trình dạy thêm, bồi dưỡng học sinh giỏi, ơn
thi vào lớp 10 THPT
- Khi tiến hành áp dụng đề tài chúng ta nên hướng dẫn học sinh giải bài tốn gốc
theo nhiều cách nhìn nhận để mở rộng bài tốn, tổng qt hóa, đặc biệt hóa, lật
ngược vấn đề, ......
- Từ bài toán gốc sáng tạo ra các bài tốn mới theo nhiều hướng khác nhau như
q trình biến đổi tương đương, đổi biến.
- Hướng dẫn cho học sinh cách quy lạ về quen biết biến đổi đưa về dạng hằng
đẳng thức
- Các phương trình vơ tỉ rất đa dạng và phương pháp nhìn có vẻ khó nhưng thực
chất nếu ta biết hướng đi đề tài có thể được áp dụng trong dạy học giải phuong
trình vơ tỉ nói riêng và cả bộ mơn tốn nói chung
3. BÀI HỌC KINH NGHIỆM VÀ ĐỀ XUẤT:
1. Giáo viên cung cấp kiến thức vững chắc cho học sinh
21

2. Khi giải các bài toán thường giải theo nhiều cách khác nhau
3. Rèn luyện cho học sinh khi gặp bài tốn thì có thói quen nghiên cứu bài chứ
khơng đơn thuần là giải quyết yêu cầu của bài toán.
4. Giúp học sinh biết cách khi gặp một bài toán khó nên tìm cách đưa nó về các
bài tốn gốc bằng cách biến đổi tương đương hoặc là đổi biến.
Và một lời khun như nhà tốn học G.Pơlya đã nói “Giải bài toán là một nghệ
thuật được thực hành giống như bơi lội, trượt tuyết hay chơi đàn vậy. Có thể học
được nghệ thuật đó, chỉ cần bắt chước theo những mẫu mực đúng đắn và thường
xuyên thực hành. Nhưng xin nhớ rằng: Nếu bạn muốn tập bơi thì hãy mạnh dạn
nhảy xuống nước, còn nếu bạn muốn học giỏi tốn thì hãy bắt tay vào giải đi”
Trên đây là một số kinh nghiệm tơi tích lũy được trong q trình dạy và bồi
dưỡng học sinh mơn tốn đặc biệt là phương trình vơ tỉ nhằm khắc sâu cho học
sinh hai hằng đẳng thức quan trọng và cách khai căn cũng như mở giá trị tuyệt
đối.
Tuy nhiên cách trình bày đề tài khơng tránh khỏi những thiếu sót rất mong các
cấp chun mơn các đồng nghiệp góp ý, bổ sung để đề tài được hoàn thiện hơn
cũng như trong quá trình giảng dạy được tốt hơn.
Tơi xin chân thành cảm ơn!

22


23