de thi hk2 k11(co dap an)

Câu 1 (3 điểm). Tính các giới hạn sau:
1)
( )
2
3
4
lim
3
x
x
x
→
−
−
; 2)
(
)
2
lim 4 2 1
x
x x x
→+∞
− + +
;
3)
3
2
2
8
lim
4

x
x
x
→
−
−
; 4)
0
tan 2
lim
x
x
x
→
;
5)
2
2
1
lim
2 1
n
n n
n n
→+∞
+ +
+ +
; 6)
1 2
lim

1 2
n
n
n→+∞
−
+
.
Câu 2 (1,5 điểm). Cho hàm số
( )
3
3
2 1 , 0
( )
, 0
x khi x
f x
x a khi x

+ ≥

=

− + <


trong đó a là tham số.
1) Chứng minh rằng với a=0 hàm số không có đạo hàm tại điểm x=0.
2) Tìm a để hàm số liên tục tại điểm x=0.
3) Tính
'(3)f

.
Câu 3 (2,5 điểm).
1) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
3
1
2y x x
x
= + −
; b)
4
1
sinx
x
y x= + −
; c)
6 7 8
3 4 5
y
x x x
= − +
.
2) Cho hàm số
1
( )y f x
x
= =
.
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A(-1;-1).
Câu 4 (3 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD và SA vuông góc với mặt

phẳng đáy (ABCD).
1) Chứng minh rằng
( ) ( )
SAC SBD⊥
,
SC BD
⊥
.
2) Gọi O là giao điểm của AC và BD, I là trung điểm cạnh SD.
Chứng minh
( )
/ /IO SBC
.
3) Cho SA=
2a
, SC=2a. Tính
sin
của góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).
******************** Hết ******************
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:……………………………. Giám thị số 1:………………………………...
SBD:…………………………………………… Giám thị số 2:………………………………..
SỞ GD&ĐT THÁI NGUYÊN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II NĂM HỌC 2009 – 2010
Trường THPT Nguyễn Huệ Môn TOÁN- Lớp 11- Ban cơ bản
Thời gian làm bài 90 phút (không kể thời gian giao đề)
Trường THPT Nguyễn Huệ
TỔ TOÁN - TIN
HƯỚNG DẪN CHẤM KIỂM TRA HỌC KỲ II
NĂM HỌC 2009 – 2010
Môn TOÁN- Lớp 11- Ban cơ bản

Câu Ý Nội dung Điểm
1
1
Ta có:
( )
3
lim 4 7 0
x
x
→
− = − <
;
( )
2
3
lim 3 0
x
x
→
− =
;
( )
2
3 0, 3x x− > ∀ ≠
0,25
( )
( )
2
3
4

lim
3
x
x
x
→
−
⇒ = −∞
−
0,25
2
(
)
2
2
2 1
lim 4 2 1 lim 4 1
x x
x x x x
x x
→+∞ →+∞
 
− + + = − + +
 ÷
 ÷
 
0,25
Ta có
lim
x

x
→+∞
= +∞
;
2
2 1
lim 4 1 3 0
x
x x
→+∞
 
− + + = >
 ÷
 ÷
 
(
)
2
lim 4 2 1
x
x x x
→+∞
⇒ − + + = +∞
0,25
3
( )
( )
( ) ( )
2
3 2

2
2 2 2
2 2 2
8 2 2 10 5
lim lim lim .
4 2 2 2 4 2
x x x
x x x
x x x
x x x x
→ → →
− + +
− + +
= = = =
− − + +
0,5
4
0 0 0
0 0
tan 2 sin 2 sin 2 2
lim lim lim .
. os2 2 os2
sin 2 2
lim .lim 1.2 2
2 os2
x x x
x x
x x x
x x c x x c x
x

x c x
→ → →
→ →
 
= =
 ÷
 
= = =
0,25
0,25
5
2
2
2
2
3 2
3 2
1 1
1 1
lim 1
1
1 1
lim lim .
2
2 1 1 1
1 1
2
lim 2
n
n n

n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
→+∞
→+∞ →+∞
→+∞
 
+ +
+ +
 ÷
+ +
 
= = =
 
+ +
+ +
+ +
 ÷
 
0,5
6
1
1
1 2 1
2
lim lim 1

1 2 1
1
1
2
n
n
n
n
n n→+∞ →+∞
 
−
 ÷
− −
 
= = = −
+
 
+
 ÷
 
0,5
2
1
Với a=0 thì
( )
3
3
2 1 , 0
( )
, 0

x khi x
f x
x khi x

+ ≥

=

− <


.
Ta có:
( )
3
0 0
lim ( ) lim 2 1 1
x x
f x x
+ +
→ →
= + =
;
( )
3
0 0
lim ( ) lim 0
x x
f x x
− −

→ →
= − =
.
0,25
⇒
Hàm số không liên tục tại x = 0
⇒
Hàm số không có đạo hàm tại x=0.
0,25
2
( )
3
0 0
lim ( ) lim 2 1 1
x x
f x x
+ +
→ →
= + =
;
( )
3
0 0
lim ( ) lim
x x
f x x a a
− −
→ →
= − + =
;

( )
3
(0) 2.0 1 1f = + =
.
0,25
Vậy để hàm số liên tục tại x = 0 thì a=0. 0,25
3
Với
0x
≥
ta có
( )
( ) ( ) ( )
3
2 2
( ) 2 1 ;
'( ) 3. 2 1 . 2 1 ' 6 2 1 ;
f x x
f x x x x
= +
= + + = +
0,25
( )
2
'(3) 6 2.3 1 294f⇒ = + =
. 0,25
3 1a
( )
( )
'

3 2
2
1 1
' ' 2 ' 3 2 .y x x x
x x
 
= + − = + +
 ÷
 
0,5
1b
( )
( ) ( )
4
3
2 2
4 4
1 '
'.sinx . sinx '
4 sinx .cos
'
sin sin
2 1 2 1
x
x x
x x x
y
x x
x x
+

−
−
= − = −
+ +
0,5
1c
' ' '
5 6 7
6 7 8 12 14 16
7 8 9
1 1 1 6 7 8
' 3. 4. 5. 3. 4 5
18 28 40
x x x
y
x x x x x x
x x x
     
     
= − + = − − − + −
 ÷  ÷  ÷
 ÷  ÷  ÷
     
     
= − + −
0,25
0,25
2
Phương trình tiếp tuyến tại A(-1; -1) có dạng
( )

0 0 0
'( )y y f x x x− = −
,
Ta có
0 0
1; 1x y= − = −
;
'
0
2
1 1
'( ) ; '( ) '( 1) 1f x f x f
x x
 
= = − = − = −
 ÷
 
0,5
Phương trình tiếp tuyến:
( )
1 1. 1 2y x y x+ = − + ⇔ = − −
. 0,5
4
Vẽ hình 0,5
1
Ta có:
BD AC
BD SA
⊥



⊥


( )
BD SAC⇒ ⊥
0,5
( )
( )
( ) ( )
BD SAC
SAC SBD
BD SBD
⊥

⇒ ⊥

⊂


0,5
Ta có
( )
( )
BD SAC
BD SC
SC SAC
⊥

⇒ ⊥


⊂


.
0,5
2
Có IO là đường trung bình tam giác DSB suy ra IO song song với SB.
( )
( )
( )
/ /
/ / .
IO SB
SB SBC IO SBC
IO SBC


⊂ ⇒


⊄

0,5
Do SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại A nên đường thẳng SC có hình
chiếu là AC lên mặt phẳng (ABCD). Vậy góc giữa SC và (ABCD) là
·
SCA
.
Trong

SAC
∆
, vuông tại A có:
·
2 2
sin .
2 2
SA a
SCA
SC a
= = =
0,25
0,25
Ghi chú: Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa./.
(Vì AC, BD là hai đường chéo của hình thoi ABCD)
(Vì
( )SA ABCD⊥
)