Đề thi tuyển chọn hệ Kỹ sư tài năng năm 2007 - Môn Toán

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TÀI NĂNG
ĐỀ THI TUYỂN SINH 2007
MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1:
Cho phương trình:
m)x1(x)xx1(
3
=−−+−
(1) (m là tham số)
1. Giải phương trình (1) khi m = 1
2. Tìm m để phương trình (1) có nghiệm
Câu 2:
Với người sử dụnglà số nguyên dương, đặt:
∫
π
−
=
4
n21n2
n
dx)x(sinxU
và
∫
π
−−
=
4
1n21n2

n
dx)x2(cosxV

Chứng minh rằng:
1.
0VlimUlim
n
+n
n
+n
==
∞→∞→

2.
1n
32
VU2
2
nn
≥∀
π
≤+

Câu 3:
Ký hiệu R
+
là tập các số thực dương. Giả sử f: R
+
→ R
+

là một hàm số
liên tục thoả mãn
5
5
1)1x())x(f(f ++=
. Chứng minh rằng:
1. Nếu
)x(f)x(f
21
=
thì
21
xx =

2. Hàm số f(x) đơn điệu tăng và
1
)x(f
)1x(f
lim
x
=
+
+∞→

Câu 4:
Cho mặt phẳng (P) và hai điểm C, D ở về 2 phía đối với (P) sao cho
CD không vuông góc với (P). Hãy xác định vị trí 2 điểm A, B thuộc (P) sao
cho AB = a (a > 0 cho trước) và tổng độ dài CA + AB + BD đạt giá trị nhỏ
nhất.
Câu 5:

Cho k
1
, k
2
, … , k
n
là các số thực dương khác nhau từng đôi một.
Chứng minh rằng:
Rx0)xkcos(...)xkcos()xkcos(
nn2n11
∈∀=λ++λ+λ
khi và chỉ
khi
0...
n21
=λ==λ=λ