Đề thi tuyển sinh trường đại học bách khoa hà nội môn toán năm 2007

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TÀI NĂNG
ĐỀ THI TUYỂN SINH 2007
MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1:
Cho phương trình:
m)x1(x)xx1(
3
=−−+−
(1) (m là tham số)
1. Giải phương trình (1) khi m = 1
2. Tìm m để phương trình (1) có nghiệm
Câu 2:
Với người sử dụnglà số nguyên dương, đặt:
∫
π
−
=
4
n21n2
n
dx)x(sinxU
và
∫
π
−−
=
4
1n21n2

n
dx)x2(cosxV

Chứng minh rằng:
1.
0VlimUlim
n
+n
n
+n
==
∞→∞→

2.
1n
32
VU2
2
nn
≥∀
π
≤+

Câu 3:
Ký hiệu R
+
là tập các số thực dương. Giả sử f: R
+
→ R
+

là một hàm số
liên tục thoả mãn
5
5
1)1x())x(f(f ++=
. Chứng minh rằng:
1. Nếu
)x(f)x(f
21
=
thì
21
xx =

2. Hàm số f(x) đơn điệu tăng và
1
)x(f
)1x(f
lim
x
=
+
+∞→

Câu 4:
Cho mặt phẳng (P) và hai điểm C, D ở về 2 phía đối với (P) sao cho
CD không vuông góc với (P). Hãy xác định vị trí 2 điểm A, B thuộc (P) sao
cho AB = a (a > 0 cho trước) và tổng độ dài CA + AB + BD đạt giá trị nhỏ
nhất.
Câu 5:

Cho k
1
, k
2
, … , k
n
là các số thực dương khác nhau từng đôi một.
Chứng minh rằng:
Rx0)xkcos(...)xkcos()xkcos(
nn2n11
∈∀=λ++λ+λ
khi và chỉ
khi
0...
n21
=λ==λ=λ