Đại số - Nguyên hàm

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
1
Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân
NGUYÊN HÀM

VẤN ĐỀ 1: TÌM HỌ NGUYÊN HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA:
ĐN
1
: F(x) là một nguyên hàm của f(x) trong (a; b) ⇔ F’(x) = f(x); ∀x ∈ (a; b)
ĐN
2
: F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [a; b]
xa
xb
F'(x) f(x); x (a;b)
F(x) F(a)
F' (a) lim f(a)
xa
F(x) F(b)
F' (b) lim f(b)
xb
+
−
+
→
−
→
⎧
⎪
=∀∈
⎪

−
⎪
⇔= =
⎨
−
⎪
−
⎪
==
⎪
−
⎩

Ký hiệu hình thức gọi là một họ nguyên hàm của hàm số f(x) hay tích
phân bất đònh của hàm f(x).
f(x)dx = F(x)+C
∫

VẤN ĐỀ 2: BỔ SUNG VI PHÂN - DẠNG VI PHÂN HÀM HP:
y = f(x) ⇒ dy = d[f(x)] = f’(x)dx (1)
Giả sử tồn tại y = f(t) mà trong đó t = g(x); để cho hàm hợp y = f[g(x)] có vi phân được viết:
dy = d[f(t)] = f’(t)dt (2)

NHÓM HÀM LŨY THỪA NHÓM HÀM LƯNG GIÁC NGƯC
d(x
n
)=nx
n-1
dx
*Các trường hợp đặc biệt:

d(ax+b) = adx
2
1d
d=-
xx
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
x

()
dx
dx=
2x

2
dx
d(arc sinx) =
1-x

2
dx
d(arc cosx) = -
1-x

2
dx
d(arc tgx) =
1+x

2
dx
d(arc cotgx) = -
1+x

NHÓM HÀM LƯNG GIÁC NHÓM HÀM MŨ & LOGARITHM
d(sinx) = cosxdx
d(cosx) = -sinxdx
2
2
dx
d(tgx) = = (1+tg x)dx
cos x

2
dx
d(cotgx) = -
sin x

dx
d(lnx) =
x

a
dx
d(log x) =
xlna

d(e
x

) = e
x
dx
d(a
x
) = a
x
lnadx
A. BẢNG CÁC TÍCH PHÂN CƠ BẢN:
NHÓM I: DẠNG HÀM LŨY THỪA

1/
()
n+1
n
x
xdx= +C n¹-1
n+1
∫

Trường hợp đặc biệt của nhóm I
3/
dx = x+C
∫
2/
()
-1
dx
xdx= =lnx+C x 0
x

≠
∫∫

4/
2
dx 1
=- +C
xx
∫

www.kapakapy.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
2
Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân
5/
mm+
nn
n
xdx= x +C
m+n
∫
n

7/
n
n+1
n
n
xdx = x +C
n+1

∫

6/
()
nn-1
dx -1
=+
xn-1x
∫
C

8/
n
n-1
n
dx n
=x+
n-1
x
∫
C


NHÓM II: DẠNG HÀM LƯNG GIÁC

9/
sinxdx = -cosx+C
∫
11/
2

dx
=tgx+C
cos x
∫

13/
tgxdx = -ln cosx +C
∫

10/
cosxdx = sinx+C
∫

12/
2
dx
=-cotgx+C
sin x
∫

14/
cotgxdx = ln sinx +C
∫


NHÓM III: DẠNG HÀM MŨ – LOGARITHM

15/
xx
edx=e +C

∫
17/
()
x
x
a
a = +C 1 a > 0
lna
≠
∫

16/
-x -x
edx=-e +C
∫

18/
( )(
lnxdx=x lnx-1 +C x>0
)
∫


NHÓM IV: DẠNG HÀM PHÂN THỨC (a > 0)

19/
2
dx
=arctgx+C
x+1

∫

21/
22
dx 1 x
= arctg +C
x+a a a
∫

20/
2
dx 1 x-1
=ln +C
x-1 2 x+1
∫

22/
22
dx 1 x-a
=ln +
x-a 2a x+a
∫
C


NHÓM V: DẠNG HÀM CĂN THỨC (a > 0)

23/
2
dx

= arcsinx+C
1-x
∫
24/
22
dx x
=arcsin +C
a
a-x
∫

25/
2
2
dx
=lnx+ x ±1+C
x±1
∫
26/
22
22
dx
=lnx+ x ±a +C
x±a
∫

27/
2
22 22
xax

a -x dx = a -x + arcsin +C
22a
∫

28/
2
22 22 22
xa
x±adx= x±a± lnx+ x±a +C
22
∫



B. BẢNG THAM KHẢO CÁC TÍCH PHÂN MỞ RỘNG:

NHÓM I: DẠNG HÀM LŨY THỪA MỞ RỘNG (α ≠ 0)
www.kapakapy.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
3
Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân
1/
n+1
n
(ax+ b)
(ax+b) dx = +C (n -1)
a(n+1)
≠
∫

2/
-1
dx 1
(ax + b) dx = = ln (ax + b) +C (ax+ b 0)
(ax + b) a
≠
∫∫

Các trường hợp đặc biệt của nhóm I
3/ 4/
d(ax + b) = ax +b+C
∫
2
dx -1
=+
(ax+b) a(ax + b)
∫
C

5/
mm
nn
n
(ax+b) dx = (ax+ b) +C
a(m+ n)
∫
+n
6/
nn
dx -1

=+
(ax+b) a(n-1)(ax+b)
∫
-1
C

7/
n+1
n
n
n
(ax +b)dx = (ax + b) +C
a(n+1)
∫
8/
n-1
n
n
dx n
=(ax+b)
a(n-1)
(ax + b)
∫
+C


NHÓM II: DẠNG HÀM LƯNG GIÁC MỞ RỘNG (α ≠ 0)

9/
1

sin(ax+b)dx = - cos(ax+b)+C
a
∫
10/
1
cos(ax + b)dx = sin(ax + b) +C
a
∫

11/
2
dx 1
=tg(ax+b)+C
cos (ax+b) a
∫
12/
2
dx 1
=- cotg(ax+b)+C
sin (ax+ b) a
∫

13/
1
tg(ax+ b)dx = - ln cos(ax+ b) +C
a
∫
14/
1
cotg(ax+b)dx= lnsin(ax+b)+C

a
∫


NHÓM III: DẠNG HÀM MŨ - LOGARITHM MỞ RỘNG (α ≠ 0)

15/
(ax+b) (ax+b)
1
edx=e +
a
∫
C
16/
(ax+b)
(ax+b)
a
adx= +C (1 a>0
alna
≠
∫
)

17/
1
ln(ax+b)dx= (ax+b)[ln(ax+b)-1]+C (ax+b>0)
a
∫

NHÓM IV: DẠNG HÀM PHÂN THỨC MỞ RỘNG (α ≠ 0; a > 0)

18/
22
dx 1 ax+b
=arctg +
(ax+ b) +a aa a
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
∫
C
19/
22
dx 1 (ax+ b)-a
=ln +
(ax+ b) -a 2aa (ax + b) + a
∫
C


NHÓM V: DẠNG HÀM CĂN THỨC MỞ RỘNG ((α ≠ 0; a > 0)

20/
22
dx 1 (ax+b)
=arcsin +C
aa
a-(ax+b)
∫

21/
22
22
dx 1
=ln(ax+b)+(ax+b)±a+C
a
(ax + b) ±a
∫

22/
2
22 22
(ax + b) a (ax + b)
a -(ax+b) dx = a -(ax+b) + arcsin +C
2a 2a a
∫

www.kapakapy.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
4
Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân
23/
22 22 22
(ax + b)
(ax+b) ±a dx= (ax+b) ±a ±ln(ax+b)+ (ax+b) ±a +C
2a
∫

VẤN ĐỀ 3: THUẬT PHÂN TÍCH HÀM TRONG DẤU TÍCH PHÂN VỀ DẠNG CHUẨN
TRONG BẢNG TÍCH PHÂN CƠ BẢN:
Biến đổi hàm tích phân về dạng:
[Af(x)±Bf(x)+...]dx = A f(x)dx ±B g(x)dx+...
∫∫∫
B
B
1
: Cụ thể phải
1/ Nhân phân phối: (a + b)(c - d) = ac - ad + bc - bd
2/ Khai triển các hằng đẳng thức:

22 2
33 2 23
(A± B) = A ±2AB+B
(A±B) = A ± 3A B+ 3AB ± B ;...
3/ Thêm bớt hạng tử:
Xb
X=(X+B)-B;X= (b 0);...
b
≠

4/ Nhân lượng liên hợp:
llh
A ± B A m B;...←⎯→

5/ Biến đổi lượng giác sơ cấp bằng các công thức:
22
22

22
22
33
sinx cosx
1=sin x+cos x; tgx= ; cotgx= ;
cosx sinx
11
=1+tg x; =1+cotg x; tgxcotgx=1;
cos x sin x
1-cos2x 1+cos2x
sin x = ; cos x = ;
22
3sinx- sin3x 3cosx+cos3x
sin x = ; cos x = ;v.v...
44

B
B
2
: Mục đích là hàm số trong dấu tích phân được biến đổi:
• Tích thành tổng; đặc biệt một hàm phân thức phải có tử là tổng và mẫu là tích.
• Căn thức thành lũy thừa; ở đây ta áp dụng các tính chất lũy thừa sau:
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
x
m
x
n
-m m m n mn x x x

n
m x
1A
=A ; A =A ;(A ) =A ;AB =(AB); =
AB
A
B

B
B
3
: Một việc quan trọng là sử dụng được công thức tích phân hàm hợp
f[g(x)]d[g(x)]= F[g(x)]+C
∫
với F là một nguyên hàm của f thì bài toán giải quyết nhanh và
gọn.
Ghi chú: Khi tính toán ta dùng hàm y = f(x) = sgn(x) để thay dấu (±) cho gọn. Ta có đònh
nghóa:
mở rộng
1 khi x > 0 1 khi f(x) > 0
sgn(x) = sgn[f(x)]=
-1 khi x < 0 -1 khi f(x) < 0
⎡⎡
⎯⎯⎯⎯→
⎢⎢
⎣⎣

VẤN ĐỀ 4: HẰNG SỐ C TRONG HÀM NGUYÊN HÀM VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH
PHÂN BẤT ĐỊNH:
Dạng 1: Tìm hằng số C trong hàm nguyên hàm

Nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) trên [a;b] khi nó thỏa một giả thiết nào đó tại x
0
∈[a;b].
()
0
0
tại x
f(x)dx = F(x )+C
∫
(1)
www.kapakapy.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
5
Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân
Ghi chú: Thực tế ta viết một họ nguyên hàm của f(x) là
F(x) = f(x)dx
∫
mà vẫn không mất
tính tổng quát của nguyên hàm so với đònh nghóa họ nguyên hàm.
Dạng 2: Phân tích biểu thức thành tích
Dùng đònh nghóa nguyên hàm và ứng dụng cách xác đònh hằng số C qua 4 bước:
• Xem biểu thức A(x, a, b, c,...) đã cho là một đa thức một biến (giả sử biến đó là x) và
đặt f(x) = A(x, a, b, c,...).
• Tính f’(x) và đưa nó về dạng thừa số.
• Tính f(x) là một nguyên hàm của f’(x).
• Tìm hằng số C bằng cách thay x = x
0
là giá trò cụ thể nào đó vào nguyên hàm ở trên,
lúc đó xuất hiện các nhân tử và ta kết thúc bài toán bằng cách đặt nhân tử chung.
Ghi chú: Hằng số C ở bước 4 không phụ thuộc vào x nên viết C = g(a; b; c...).

Dạng 3: Tính tổng hữu hạn
B
B
1
: Xét một tổng f(x) có nguyên hàm là tổng liên tiếp các hạng tử của một cấp số nhân mà
số hạng đầu là a
1
, có n hạng tử và công bội q thì:
n
1
1-q
F(x) = a
1-q
.
B
B
2
: So sánh f(x) = F’(x) ta được tổng cần tìm.


VẤN ĐỀ 5: THUẬT ĐỔI BIẾN SỐ:
f(x)dx = f[ (t)] '(t)dtϕϕ
∫∫
∫
. Với x = ϕ(t)
f[ (x)] '(x)dx = f(t)dtϕϕ
∫
. Với t = ϕ(x) là biến mới.

A. BIẾN ĐỔI NGHỊCH ĐẶT t = ϕ(x)

DẠNG CÁCH BIẾN ĐỔI
1.
f(ax + b)dx
∫
Đặt t = ax + b ⇒ dt = dx
2.
n+1 n
f(x )x dx
∫
Đặt t = x
n+1
⇒ dt = (n + 1)x
n
dx
3.
dx
f( x)
x
∫
Đặt
dx
t= x dt=
2x
⇒

4.
f(cosx)sinxdx
∫
Đặt t = cosx ⇒ dt = -sinxdx

5.
f(sinx)cosxdx
∫
Đặt t = sinx ⇒ dt = cosxdx
6.
2
dx
f(tgx)
cos x
∫
Đặt t = tgx ⇒
2
dx
dt =
cos x

7.
2
dx
f(cotgx)
sin x
∫
Đặt t = cotgx ⇒
2
-dx
dt =
sin x

8.
xx

f(e )e dx
∫
Đặt t = e
x
⇒ dt = e
x
dx
9.
dx
f(lnx)
x
∫
Đặt t = lnx ⇒
dx
dt =
x

www.kapakapy.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
6
Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân
10.
2
2
1
f(arc tgx) dx
1+x
1
f(arc cotgx) dx
1+x

⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
∫

Đặt
2
t=arc tgx
dx
dt = ±
t=arc cotgx 1+x
⎡
⇒
⎢
⎣

11.
2
2
1
f(arc sinx) dx
1-x
1
f(arc cosx) dx
1-x
⎡
⎢

⎢
⎢
⎢
⎣
∫

Đặt
2
t=arc sinx
dx
dt = ±
t=arc cosx
1+x
⎡
⇒
⎢
⎣

12.
2
11
fx± 1 dx
xx
⎛⎞⎛ ⎞
⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠
∫
∓
Đặt
2

11
t=x± dt= 1 dx
xx
⎛⎞
⇒
⎜⎟
⎝⎠
∓


B. ĐỔI BIẾN SỐ THUẬN ĐẶT x = ϕ(t)

DẠNG CÁCH BIẾN ĐỔI
1.
()
22
fx,x+a dx
∫

2
a
x=atgt dx= dt
cos t
⇒

2.
()
22
fx,a-x dx
∫

x=asint dx=acostdt
⇒

3.
()
22
fx,x-a dx
∫

2
aasi
x= dx= dt
cost cos t
⇒
nt


VẤN ĐỀ 6: THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN RIÊNG PHẦN:
udv = uv- vdu
∫∫
⎥
⎥
(*) hay
uv'dx = uv- u'vdx
∫∫
Các dạng tích phân từng phần:

Dạng 1:
n

(ax+b)
sin(ax + b)
cos(ax+ b)
P(x) dx
e
...
⎡⎤
⎢⎥
⎢
⎢
⎢⎥
⎣⎦
∫
. Trong đó P
n
(x) là đa thức bậc n.
Ta đặt u = P
n
(x) và
(ax+b)
sin(ax + b)
cos(ax+b)
dv = dx
e
...
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥

⎣⎦
Chỉ số (n): cho ta số lần tính tích phân từng phân phải thực hiện cho dạng này.
Dạng 2:
n
ln(ax+b)
arcsin(ax+ b);arccos(ax + b)
I= P(x) dx
arctg(ax+b);arccotg(ax + b)
...
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
∫

www.kapakapy.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
7
Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân
Ta đặt và dv = P
ln(ax+ b)
arcsin(ax+ b);arccos(ax+b)
u=
arctg(ax+b);arccotg(ax + b)
...
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥

⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
n
(x)dx



TÍCH PHÂN

CHUYÊN ĐỀ 1: ĐIỀU KIỆN KHẢ TÍCH:

I. DIỆN TÍCH HÌNH THANG HỖN TUYẾN:
1. Đònh nghóa:

y
x
a
b
A
A'
B
B'
y=f(x)
O
Cho hàm số y = f(x) liên tục, không âm
xác đònh trên đoạn [a;b]. Khi đó hình
phẳng giới hạn bở trục hoành, đường
cong y = f(x) và các đường thẳng có
phươngtrình x = a vµ x = b được gọi là

hình thang cong (Hình thang hỗn
tuyến AA’B’B).


2. Diện tích hình thang cong:

Đònh lý: Nếu hàm số y = f(x) xác đònh, liên tục, không âm trên đoạn [a;b], thì diện tích S
của hình thang cong giới hạn bởi đồ thò y = f(x), trục hoành và các đường thẳng x = a vµ
x = b có giá trò là: . Với F(x) là một nguyên hàm của hàm số y = f(x) trên
[a;b].
b
a
S=F(b)-F(a)=S

II. ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH:
III.
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a;b] chia đoạn [a;b] thành n phần tùy ý bởi các điểm
chia: a = x
0
< x
1
< x
2
< ... < x
n
= b. Trên mỗi đoạn [x
k-1
;x
k
] với 1 ≤ k ≤ n lấy một điểm ξ

k
bất
kỳ. Ký hiệu: Δx
k
= x
k
- x
k-1
. Nghóa là: Δx
1
= x
1
- x
0
, Δx
2
= x
2
- x
1
, ...
Lập tổng Được gọi là tổng tích phân của hàm số
y = f(x) trên [a;b].
n
kk 11 22 n
k1
f( ) x f( ) x f( ) x ... f( ) x
=
ξΔ =ξΔ + ξΔ + + ξΔ
∑

n
www.kapakapy.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
8
Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân
Ta gọi tích phân xác đònh của hàm số y = f(x) trên [a;b] là giới hạn (nếu có) của tổng tích
phân khi maxΔx
k
→ 0.
Giới hạn này không phụ thuộc vào cách phân hoạch đoạn [a;b] và việc chọn ξ
k
. Ký hiệu:

k
b
n
kk
0
k1
a
f(x)dx lim f( ) x
Δ→
=
=ξ
∑
∫
Δ
Lúc đó ta bảo hàm f khả tích theo Riemann hay khả tích.
Chú ý:
• a được gọi là cận dưới và b được gọi là cận trên.

• Ý nghóa hình học của tích phân xác đònh: Nếu f(x) > 0 trên [a;b] thì chính là
diện tích của hình thang cong giới hạn bởi các đường:y = f(x), trục hoành, x = a, và
b
a
f(x)dx
∫
x = b.
• Từ trên ta có công thức Niutơn - Lépnit (Newton -
Leibnitz):
b
b
a
a
f(x)dx = F(b)- F(a) = F(x)
∫
. Trong đó: F’(x) = f(x).

VẤN ĐỀ 1: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG ĐỊNH NGHĨA (PHÂN HOẠCH) VÀ SỰ KHẢ
TÍCH:
Dạng 1: Tính tích phân
∫
bằng phép phân hoạch và bài toán ngược
b
a
dx)x(f
1) Điều kiện cần: Nếu hàm số y = f(x) khả tích trên đoạn [a;b] thì nó bò chặn trên đoạn
[a;b] đó.
2) Điều kiện đủ: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] thì nó khả tích trên đoạn
[a;b] đó.
• Khi tính tích phân bằng đònh nghóa cần thực hiện:

B
B
1
: Chia đoạn [a;b] thành n đoạn bằng nhau bởi các điểm chia
k
b-a
x=a+k
n
. Với k = 0, 1, 2,
..., n.
B
B
2
: Chọn ξ
k
bằng x
k
(hoặc x
k-1
) trong đoạn [x
k-1
,x
k
].
B
B
k
3
: Lập tổng tích phân
n

nkk-1
k=1
S = (x -x ).f(x )
∑
B
B
4
: Ta có
b
n
n
a
xf(x)dx limS
→∞
=
∫
Cần nhớ một số kết quả:
1)
n(n+1)
1+2 + 3 +...+ n =
2

2)
222 2
n(n+1)(2n+1)
1 + 2 + 3 +...+ n =
6

3)
2

333 3
n(n+1)
1 + 2 +3 + ...+ n =
2
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦

www.kapakapy.com