Đề thi hsg lớp 9 môn toán Huyện Nghi Xuân - Hà Tĩnh có đáp án

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (259.2 KB, 5 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

UBND HUYỆN NGHI XUÂN
PHÒNG GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2013 -2014

Mơn: Tốn. Thời gian làm bài: 150 phút

Câu 1: a. Tính giá trị của biểu thức: A  6 2 5  14 6 5
b. Tìm x; y thỏa mãn: 2x y  2 xy 4 x 4 0

Câu 2: a. Giải phương trình nghiệm nguyên: 5x4y2 4x y2  85 0

b. Cho x ; y ; z là các số nguyên và



2012





2 2013





3 2014



2 3 2013.

P x y z

S x y z

      




   




Chứng minh rằng P chia hết cho 30 khi và chỉ khi S chia hết cho 30.
Câu 3: Cho ba số x, y, z khác 0 và thoả mãn:

2 2 2

1
x y z

1 1 1 1

x y z xyz

1 1 1
0
x y z


  





   





  


 .

Tính giá trị của biểu thức:



 



2009 2009 2011 2011 2013 2013

P



y



z



x



y

Câu 4: a. Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H, trọng tâm I; Giao điểm 3 đường trung
trực là O, trung điểm của BC là M.

Tính giá trị biểu thức:

2 2

IO OM

IH HA




b. Cho góc xOy. Một đường thẳng d thay đổi luôn cắt các tia Ox; Oy tại M và N.

Biết giá trị biểu thức

1 1

OM ON không thay đổi khi đường thẳng d thay đổi. 
Chứng minh rằng đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định.

Câu 5: a. Cho các số x; y; z không âm, không đồng thời bằng 0 và thỏa mãn:

1 1 1

1
x 1 y 2 z 3      .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

1
P x y z

x y z
   

 

b. Cho các số dương x, y, z thoả mãn điều kiện: xy + yz + zx = 671.

Chứng minh rằng: 2 2 2

2013 2013 2013

x y z

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Họ và tên thí sinh ... SBD ...

PHỊNG GD-ĐT NGHI XN

---

HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN

THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 
 NĂM HỌC 2013-2014

Câu 1:(4 điểm) . a) 1,5 điểm. b) 2,5 điểm BIỂU ĐIỂM









2 2

6 2 5 14 6 5 5 1 3 5 5 1 3 5 2

A              1,5

b) ĐKXĐ:

0;
0; 0

x y

 


  

 0,5

Xét x = 0. Suy ra y = - 4 ( Thỏa mãn) 0,75

Xét x0;y0. Biến đổi PT về dạng:



 



2 2

2 0

x y  x 

Lập luận tính được x = y = 4 ( Thỏa mãn).

1,0

KL:



x y ;

 

0; 4



hoặc



x y ;

 

4;4



0,25

Câu 2: (4,5 điểm) a) 2,25 điểm. b) 2,25 điểm

a) Phương trình đã cho tương đương với





4 85 2 2

x   y x 0,5

Lập luận

x 4 85 4 4

Mà

x Z

Suy ra

x 4

{

0 ;1 ; 2 ;34 4 4 4

}

1,0

4 04

x  thì y  ( loại)2 85

4 14

x  thì



y  2



2 84 ( loại)

4 24

x  thì



y  8



2 71 ( loại)

4 34

x  thì



y 18



2  4 ⇔

18 2
18 2

y
y

 



  

 ⇔

20
16

y
y



 

 Khi đó 
3

x
x



 


Vậy phương trình có 4 nghiệm nguyên



x y;



là: (3 ; 20); (-3 ; 20); (3 ; 16); (-3 ; 16)

0,75

b) Đặt a x 2012;b2y 2013;c3z2014. Ta có:

5 5 5

P a b c

S a b c

  

  
( a ; b ; c là các số nguyên )

Xét



 



5 5 5

P S  a  a  b  b  c  c

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Ta có : với mọi số ngun m thì m5 m chia hết cho 30 
Thật vậy:

5 ( 4 1) ( 2 1)( 2 1) ... ( 1)( 1)( 2)( 2) 5 ( 1)( 1)
m m m m   m m  m   m m m m m  m m m (1)

Với mọi số nguyên m thì m m;( 1);(m1);(m 2);(m2) là 5 số nguyên liên tiếp
nên trong đó có 1 thừa số chia hết cho 2; 1 thừa số chia hết cho 3;1 thừa số chia
hết cho 5 mà 2; 3; 5 nguyên tố cùng nhau từng đôi một nên tích của chúng chia
hết cho 2.3.5. Hay m m( 1)(m1)(m 2)(m2) chia hết cho 30 (2)

Và m m;( 1);(m1) m m;( 1);(m1);(m 2);(m2) là 3 số nguyên liên tiếp nên 
trong đó có 1 thừa số chia hết cho 2; 1 thừa số chia hết cho 3 mà 2; 3 nguyên tố
cùng nhau nên tích của chúng chia hết cho 2.3. Hay 5 (m m1)(m1) chia hết cho
30 (3)

Từ (1); (2); (3) Suy ra với mọi số nguyên m thì m5 m chia hết cho 30

Do đó



 



5 5 5

P S  a  a  b  b  c  c

chia hết cho 30 với a; b; c là các số nguyên

1,75

Câu 3: (2,5 điểm)
Từ giả thiết suy ra:

2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 2(x y z) 1 1 1 1 1 1 1 1 1

4 2

x y z xyz x y z xyz x y z xy yz zx x y z

   

 

                  

   

Mà

1 1 1
0

x y z  suy ra

1 1 1
2
x y z   (1)

Mặt khác

1
x y z

2
  

suy ra
1

x y z   (2)

Từ (1) và (2) suy ra

1 1 1 1

x y z x y z  (3)

1,0

Biến đổi (3) 



x y y z z x

 



 





0 1,0



2013 2013 2013 2013

2009 2009 2009 2009

2011 2011 2011 2011

0 0

x y x y x y x y

z y y z y z y z

x z z x z x z x

 

     

 

 

          

 

       

    nên P = 0

0,5

Câu 4 :(5,5 điểm) a) 3 điểm. b) 2,5 điểm

a) Ta có MO // HA (cùng vng góc với BC)
OK // BH (cùng vng góc với AC)

KOM = BHA(góc có cạnh tương ứng song song)

MK // AB (M, K là trung điểm BC và AC)
 HAB = OMK(góc có cạnh tương ứng song song)
 ABH đồng dạng với MKO (1,0)



MO MK 1

AH AB 2 ( 0,5)
A

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Xét AIH và MIO có

MO MI 1

AH AI 2 và OMI = HAI (so le trong)

 AIH đồng dạng với MIO 

IO 1

IH 2   

IO OM 1

IH HA 2

1,0





  



2 2 2 2

IO OM IO OM 1

IH HA IH HA 

2 2

1
2

IO OM

IH OA





 0,5

b) Giả sử

1 1 1

OM ON a (1) ( a là số dương cho trước). Lấy điểm D trên Oy sao
cho OD = a thì OD < ON. Vẽ DI song song với Ox ( Iđoạn MN ). Lấy E trên Ox

sao cho OE = ID. Khi đó OEID là hình bình hành.

1,0

Ta có 1

OE OD NI EI NI MI

OM ON NM ON NM MN  =>

1 1 1

OE

ON OD OM OD a (2) 0,75

Từ (1) và (2) =>
1

OE

OM OD OM => 1

OE

OD => OE = OD = a không đổi, mà
D Oy; E Ox nên D; E cố định. Mặt khác O cố định và OEID là hình bình hành

nên I cố định. Vậy d ln đi qua I cố định (ĐPCM)

0,75

CÂU 5 (3,5 điểm) Câu a) 2 điểm. Câu b) 1,5 điểm

a) Trước tiên ta chứng minh bất đẳng thức: Với a, b, c  R và x, y, z > 0 ta có





2 2 2 a b c

a b c

x y z x y z

 

  

  (*) Dấu “=” xảy ra 

a b c

x y z

Thật vậy, với a, b  R và x, y > 0 ta có





2 2 a b

a b

x y x y



 

 (**)















2 2

a y b x x y  xy a b 



bx ay



20 (ln đúng)

áp dụng bất đẳng thức (**) ta có









2 2 2 a b 2 a b c

a b c c

x y z x y z x y z

  

    

   Dấu “=” xảy ra 

a b c

x y z

Áp dụng với a = b= c = 1 ta có



1 1 1



1 1 1 9

1 2 3 6 6

x y z x y z x y z

 

    

        

=> x y z   6 9 => x y z  3

( Có thể chứng minh BĐT trên nhờ áp dụng BĐT Bunhicopski )

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

1 8(x y z) x y z 1 8.3 x y z 1 10

P x y z 2. .

x y z 9 9 x y z 9 9 x y z 3

     

         

     

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi các số x; y; z không âm và không đồng thời bằng 0

thỏa mãn :

x y z 3

x y z 1

9 x y z

x 1 y 2 z 3

1 1 1

1
x 1 y 2 z 3

  


  

 

 




    




  



  



⇔ x 2

y 1
z 0






 



( Thỏa mãn)

Vậy Min
10
P

 ⇔

x = 2; y = 1; z = 0.

0,25

b) Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có

2 2013 2 2013 2 2013

x y z

VT

x yz y zx z xy

  

     













2 2 2

2 2013 2 2013 2 2013

x y z

x x yz y y zx z z xy

  

     









3 3 3 3 2013

x y z

x y z xyz x y z

 


      (1)
Chú ý: xy + yz + zx = 671 nên





2013

x x  yz





1342 0

x x xy zx  





2013 0

y y  zx 

và



2 2013



0

z z  xy 

0,75

Chứng minh:









3 3 3 2 2 2

x y z  xyz x y z x  y z  xy yz zx 



x y z

 

 x y z



2 3



xy yz zx





       

  (2)





3 3 3 3 2013

x y z  xyz x y z  



x y z 

 

 x y z 



2 3



xy yz zx 



2013



 



3.671 2013

x y z   x y z    

  =





x y z  (3)

0,5

Từ (1) và (3) ta suy ra









2
3

x y z
VT

x y z
x y z

 

 

 
 

Dấu “=” xảy ra  x = y = z =

2013
3 .

0,25

( Ghi chú: Mọi cách giải khác đúng và hợp lí đều cho điểm tối đa tương ứng)

</div>

Đề thi hsg lớp 9 môn toán Huyện Nghi Xuân - Hà Tĩnh có đáp án

<b> </b>















 

 



<i>P</i>



<i>y</i>



<i>z</i>

<i>z</i>



<i>x</i>

<i>x</i>



<i>y</i>

<b>PHỊNG GD-ĐT NGHI XN </b>

<b> --- </b>

<b> </b>











 





 





 







Lập luận

<sub> Mà </sub>

<sub> Suy ra </sub>

<sub>{</sub>

<sub>} </sub>



















 

 





 

 





 

 























<sub></sub>

<sub></sub>



