TỌA ĐỘ HÓA HÌNH KHÔNG GIAN (STRONG) - FULL ĐÁP ÁN CHI TIẾT - Sách Toán - Học toán

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.58 MB, 61 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Page | 1 – Gv: Lương Văn Huy – Sp: Strong VD VDC

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Câu 1: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh . a và SA vng góc với mặt phẳng đáy. 
Góc giữa mặt bên (SBC với mặt phẳng đáy bằng 45 . Gọi ) M N lần lượt là trung điểm của AB và ,

SB. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng MD và CN .
A. 3

4a. B.

21
3
a

. C. 2a . D. 2 21

21
a

.
Lời giải

Chọn D

Gọi



là giữa hai mặt phẳng



SBC



và



ABCD .



Ta cóBC



SBC

 

 ABCD



và BC AB BC



SAB



BC SA




 





.
Suy ra   ABS45 .



SAB vuông cân tại Anên SA . a

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz (như hình vẽ) sao cho A O (0;0;0),D a



;0;0



B



0; ;0 ;a

 

S 0;0;a



.

Khi đó



; ; 0 ,



0; ; , 0; ; 0

2 2 2

a a a

C a a N  M 

   .

O
z

y

x

45°

N

M

C

A B

D

S

CHINH PHỤC 8,9,10 ĐIỂM THI ĐẠI HỌC

TỌA ĐỘ HĨA HÌNH KHƠNG GIAN (STRONG) - FULL ĐÁP ÁN CHI TIẾT 
LỚP TOÁN THẦY HUY – NGỌC HỒI – THANH TRÌ – HN – 0969141404

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Page | 2 – Gv: Lương Văn Huy – Sp: Strong VD VDC 
Suy ra





2 2

; ; 0
2

; ; ;

4 2
; ;

2 2

. ;

0; ; 0 2

a
MD a

a a

MD NC a

a a
NC a

a
CD MD NC

CD a

   

  

 

 

 

   

 

 

      

 

   

 

  

 

     









 






. , 2 2 21

21
21

4
a

CD MD NC a

d MD NC

a
MD NC

 

 

   

 

 

  

  .

Cách khác.

Dựng hình bình hành DMEC .

Ta có MD//



CNE



nên d MD CN





d MD CNE





d M CNE





.
Gọi I là hình chiếu của M lên CE và H là hình chiếu của M lên NI.

Suy ra MH



CNE



hay d MD CN





d M CNE





MH.

Gọi



là giữa hai mặt phẳng



SBC



và



ABCD .



Ta cóBC



SBC

 

 ABCD



và BC AB BC



SAB



BC SA




 





.
Suy ra   ABS45 .



SAB

vuông cân tại Anên SAa.

Ta có sin . 2

MI BC BC ME a

MEC MI

ME CE CE

     .

2 2

. 2 21

MI MN a

MH

MI MN

 



Câu 2: Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , ABC 60o, BC2a. Gọi D là điểm 
thỏa mãn 3SB2SD. Hình chiếu của S trên mặt phẳng



ABC



là điểm H thuộc đoạn BC sao cho

BC BH. Tính góc giữa hai đường thẳng AD và SC biết SA tạo với mặt đáy một góc 60o.

A. 60 . o B. 45 . o C. 90 . o D. 30 . o

Lời giải

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Page | 3 – Gv: Lương Văn Huy – Sp: Strong VD VDC 
Ta có AH2BH2BA22.BH BA. .cos 60o

2 2

2 1 3

2. . .

4 2 2 4

a a a

a a

    3

2
a
AH

  .

tan 60 SH
AH

 SH  AH. 3 3
2

a
 .

3
.sin 60 2 . 3

ACBC   a a , 3 3

4 2

a
HC BC .

Ta có

2 2

2 2 9 3 2 2

4 4

a a

AH HC    a AC nên tam giác AHC vuông tại H , tức là AH HC.

Chọn a  và chọn hệ trục tọa độ Oxyz (như hình vẽ) sao cho 1 OH



0;0;0



, 3; 0; 0
2
C 

 ,
3

0; ; 0
2
A 

 

, 0;0;3
2
S 

 .

Suy ra 1; 0;0
2
B 

 .

1 3

;0;

2 2

SB   

 

 3 9

; 0;

4 4

SD  

    

 

 3 3

; 0;

4 4

D 

   

 .

Ta có 3; 3 3;
4 2 4
DA  

 





3; 2; 3



u

  là một véctơ chỉ phương của AD .

3 3

; 0;

2 2

SC  

 





1;0; 1



v

   là một véctơ chỉ phương của SC .

Ta có .u v   0 ADSC.

Vậy góc giữa hai đường thẳng AD và SC bằng 90o.

O

y

x
z

B

H
S

A

C

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Page | 4 – Gv: Lương Văn Huy – Sp: Strong VD VDC

Câu 3: Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vng cạnh 5a, cạnh bên SA10a và vng góc với
mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm cạnh SD. Tính tan của góc tạo bởi hai mặt phẳng



AMC



và



SBC



A. 3

2 . B.

2 3

3 . C.

5 . D.

2 5
5 .
Lời giải

Chọn D

Chuẩn hóa với a 1.

Xét hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ sau:

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.



0; 0;0 ;





0;5;0 ;





5; 0; 0 ;





5;5; 0 ;

 

0; 0;10 ;



0; ;55
2

A D B C S M 

 .



0;5; 0 ,





5; 0;10



BC BS 

 





, 50;0; 25
BC BS

   

 

 

một véctơ pháp tuyến của



SBC



là n 1



2;0;1







5;5; 0 ,



0; ;55
2
AC AM   

 

 

.
25

, 25; 25;

AC AM  

    

   

 

một véctơ pháp tuyến của



AMC



là n 2



2; 2;1



.
Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng



AMC



và



SBC











1 2

2 2 2 2 2

1 2

2.2 0. 2 1.1

. 5

cos

. 2 0 1 . 2 2 1 3 5

n n
n n

     

    

 

  .

Suy ra: tan 12 1 1 2 1 2 5

cos 5 5

3 5




    

 

 

 

Cách khác.

x

y

z

(0;5
2;5)

(0;0;10)

(5;5;0)
(0;5;0)

(5;0;0)
A≡O

M

C
D

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Page | 5 – Gv: Lương Văn Huy – Sp: Strong VD VDC

Dựng hình bình hành SADS'. Khi đó (SBC)(AMC)S C .
Dựng AH SB tại H và HK BC// (KS C ).

Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng



AMC



và



SBC



.
Khi đó ta có (AHK)S C 



HKA.

Ta có

2 2

2 5
AB AS

AH a

SA AB

 



Do đó tan 2 5

5
AH
HK

  .

Câu 4: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vng, tam giác SAB đều. Hình chiếu của S lên mặt .
phẳng



ABCD



trùng với trung điểm I của AB . Gọi H K lần lượt là trung điểm của DC và SB , ,

biết 7

2
a

SH  .Tính khoảng cách giữa HK và SC.

A. 3

8 . B.

2 . C.

8 D.

5
10 .
Lời giải

Chọn D

H

M

S'

D

B

C

A

S

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Page | 6 – Gv: Lương Văn Huy – Sp: Strong VD VDC 
Đặt

AB



x

Ta có 2 2 2

SH SI IH

2 2

7 3

2 2

a x

x

   

    

   

x AB a

  

Chuẩn hóa a 1. Chọn hệ toạ độ Oxyz sao cho



0;0;0



OI , 1; 0; 0
2
B 

 

, 1;1; 0
2
C 

 

, 0;0; 3
2
S 

 

(0;1; 0)

H

 , 1; 0; 3

4 4

K 

 

1 3

; 1;

4 4

HK   

 



, 1;1; 3

2 2

SC  

 



, 0; 1; 3

2
HS  

 



3 3 3

, ; ;

4 4 4

HK SC  

    

   

 

 

, , . 3.0 3.

 

1 3. 3 3

4 4 4 2 8

HK SC HS

      

 

  





, . 5

10
,

HK SC HS
d HK SC

HK SC

 

 

 

 

 

  

  .

Câu 5: Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh bên SA vng góc với
đáy, ABa AD, 2 ,a SA3a. Gọi M N, lần lượt là hình chiếu của A lên SB SD, và

P là giao điểm của SC với mặt phẳng



AMN



. Tính thể tích khối chóp S AMPN. .
A.

1869
140

a

. B.

5589
1820

a

. C.

181
120

a

. D.

1863
1820

a
.
Lời giải

K

H
I

A D

B C

S
z

x

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Page | 7 – Gv: Lương Văn Huy – Sp: Strong VD VDC 
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Ta có tọa độ các điểm A



0;0;0 ,



B a



;0;0 ,



D



0;2 ;0 ,a



C a a



;2 ;0 ,

 

S 0;0;3a



.
Suy ra SB



a;0; 3 a SD



, 



0;2 ; 3a  a SC



, 



a a; 2 ; 3 a



  

Phương trình : 0
3
x a t
SB y
z t
 





  




;0; 3





;0; 3



M a t t AM a t t

      .

Mà . 0





9 0

10
a

AM SB AM SB  at  t  t  9 ;0;3

10 10

a a

M 

  

 .

Tương tự vậy ta tìm được 0;18 ;12
13 13

a a

N 

 .

Suy ra





2
1

, 1;2; 3

65
a

n AM AN   .

Do đó ta có phương trình của



AMN



:x2y3z0.

Phương trình : 2

3 3

x t
SC y t

z a t






  


nên tọa độ điểm P là nghiệm của hệ

2 9 9 15 9 9 15

, , ; ;

3 3 14 7 14 14 7 14

2 3 0

x t

y t a a a a a a

x y z P

z a t

x y z



 
  

    
  
   

   

.

Ta có:





, 1; 2; 3

70
a
AM AP
    
 
 
,





2
27

, 1;2; 3

91
a

AN AP
   
 
 
Suy ra
2

1 621 14.

, ,

2 1820

AMPN

a
S  AM AP AN AP

 

   

và









9
14

a
d S AMN  .

Vậy

2 3

1 9 621 14. 1863.

. .

3 14 1820 1820

S AMPN

a a a

V   .

Cách khác (Cơng thức tính nhanh – trắc nghiệm).

1
SA
a
SA
  ;
2
2
10
9
SB SB
b
SM SA

   ; c SC

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Page | 8 – Gv: Lương Văn Huy – Sp: Strong VD VDC

Ta có 14

9
a c  b d c .

3
.

. .

1863 1863 1863 1 1863

. .

4 . . . 3640 3640 3640 3 1820

S AMPN

S AMPN S ABCD ABCD

S ABCD

V a b c d

V V SA S a

V a b c d

  

      .

Câu 6: Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vng cạnh bằng

2

,SA vng góc với mặt phẳng đáy



ABCD



và SA2. Gọi

M

, N lần lượt là hai điểm thay đổi trên hai cạnh

AB

AD

sao cho mặt
phẳng



SMC



vng góc với mặt phẳng



SNC



. Thể tích khối chóp S AMCN. đạt giá trị nhỏ nhất
bằng

A. 4 3 4
3



. B. 8 3 8

3


. C. 2 3 2. D. 4 3 4

3


Lời giải

Chọn B

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ trên sao cho A



0;0;0



, B



2;0;0



, D



0;2;0



, S



0;0; 2



, suy
ra C



2;2;0



Đặt AM m, ANn, m n ,



0; 2



, suy ra M m



;0;0



, N



0; ;0n





;0; 2



SM  m 


, SC 



2; 2; 2





, SN 



0; ; 2n 





.
SMC ,



4; 2 4; 2



n SM SC m m

   , nSNC  SN SC, 



4 2 ; 4; 2 n   n



.
Do



SMC

 

 SNC



nên n SMC.nSNC 04 4 2



 n



4 2



m4



4mn0





2 8

mn m n

    .

Mặt khác









2 2

2
m n

mn mn     mn

  nên ta có









2 8 0

4
m n

m n



   

4 3 4
4 3 4
m n

m n

   

 

    



. Do ,m n 0nên m n 4 3 4.



 



4 2 2 4 3 4

AMCN ABCD BMC DNC

S S S S   m  n m n   .





8 3 8

1 2

3 3 3

S AMCD AMCN

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Page | 9 – Gv: Lương Văn Huy – Sp: Strong VD VDC

Vậy thể tích nhỏ nhất của khối chóp S AMCN là . 8 3 8
3


.

Câu 7: Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình thang vuông tại A và B, ABBCa, AD2a; cạnh bên
SA vng góc với mặt phẳng đáy và SA a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SB, CD. Tính
cosin của góc giữa MN và



SAC



A. 2

5 . B.

10 . C.

3 5

10 . D.

1
5 .
Lời giải

Chọn B

Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ, với OA.

Tọa độ các đỉnh của hình chóp là : A



0;0;0



, B a



;0;0



, C a a



; ;0



, D



0;2 ;0a



, S



0;0;a



.
; 0;

2 2

a a

M 

  

 ,

3
; ; 0
2 2

a a
N 

 .

Ta có: 1SA



0; 0;1



u
a

   ; 1SC



1;1; 1



v

a   

 

Một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng



SAC



là n



u v ,



 



1;1;0



.
Lại có: 2MN



0;3; 1



w

a   

 

Gọi  là góc giữa MN và



SAC



ta có: sin . 3

. 2 5

n w

 

 

   cos 55

10
  .

Câu 8: Cho hình chóp

S ABC

.

có



ABC

vng tại B, AB1,BC  3,



SAC

đều, mặt phẳng



SAC



vuông
với đáy. Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng



SAB



và



SBC



. Giá trị của cos bằng

A. 2 65

65 B.

20 C.

10 D.

65
65
Lời giải

Chọn D

a

2a

a
a

z

y

x

N
M

D
A

B

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Page | 10 – Gv: Lương Văn Huy – Sp: Strong VD VDC 
Gọi H M N, , lần lượt là trung điểm của AC AB BC, , .



SAC

 

 ABC



SH



ABC



SH  HM SH, HN.
ABC

 vuông tại B HMHN.

ABC

 vuông tại B AC2SH  3.

1 3

2 2

HM  BC ; 1 1

2 2

HN  AB .

Chọn hệ trục tọa độ như sau: H



0;0;0



; S



0; 0; 3



; 0; 3; 0
2
M 

 

; 1; 0; 0
2
N 

 ,

1 3

; ; 0
2 2

B 

 

1
; 0;0
2

1 3

; ; 3

2 2

BM

BS

 

  

 

 

   

 





3
0; ; 0

1 3

; ; 3

2 2

BN

BS

 

  

 

 

   

 



3 3

, 0; ;

2 4

n BM BS  

 

  

; 2 , 3; 0; 3

2 4

n BN BS   

 

  



1 2



cos  cos n n ;

65
16

3 3 9 3

4 16 4 16


 

 

Chú ý: Ta có thể chứng minh cơng thức tổng qt sau:

Cho hình chóp S HMBN. có đáy HMBN là hình chữ nhật có HM m HN,  và n SH (HMBN) và
SH  . Gọi h là góc giữa hai mặt phẳng



MSB



và



NSB



thì

2 2 2 2

cos mn

m h n h



 

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Page | 11 – Gv: Lương Văn Huy – Sp: Strong VD VDC

Ta có: BN (SHN) nên dựng HESN tại Nthì HE(SNB).

Dựng hình bình hành HEKM  MK (SNB) Hình chiếu của MSB trên



SNB



là KSB.

Ta có: 1 . 1 2 2

2 2

MSB

S  MB MS n m h 

2 2

cos KSB KSB

MSB

S S

S n m h

 


Gọi F EKSB ta có:

. . . 1 .

KSB ESB

ESB NSB

S S FK SE KE EF SE KE SE

S S FE SN FE SN EF SN

  

    

 

2 2

2 2 2 2

1 1

SN SE h n

SE SN n h n h

 

   

 

 

  (vì

2 2

2 2 2 2

SE SE SN SH h
SN  SN  SN n h )


2 2 2 2 2

2 2 2 2. 2 2

2 2

KSB NSB

n n m n h mn

S S

n h n h n h



  

   .

Vậy

2 2 2 2

cos KSB

MSB

S mn

S m h n h

  

 

Áp dụng vào bài toán với 3, 3, 1

2 2

h m n ta được cos 65
65
  .

Câu 9: Cho hình lập phương ABCD A B C D.     có các cạnh bằng 2 , gọi điểm M là tâm của mặt bên ABB A  ,
các điểm N P Q K, , , lần lượt là trung điểm của các cạnh AC DD D C B C, ,  ,  . Tính cosine góc giữa
hai mặt phẳng



MNP và





AQK .



A. 2

2 . B.

2. C.

102

34 . D.

3
4 .

Lời giải

Chọn C

m n

h

K
F

N

M

B
H

S

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Page | 12 – Gv: Lương Văn Huy – Sp: Strong VD VDC

Ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz với gốc A O cạnh A B nằm trên Ox , cạnh A D  nằm trên Oy và cạnh
A A nằm trên Oz . Từ các dữ kiện đề bài đã cho ta tìm được tọa độ các điểm



1; 0;1 ,





1;1; 2 ,





0; 2;1 ,





2;1; 0 ,





1; 2; 0 ,





0; 0; 2



M N P K Q A

Ta có MN



0;1;1 ,



NP 



1;1; 1 ,



AK



2;1; 2 ,



AQ



1; 2; 2



Gọi u u 1, 2 lần lượt là 2 vector pháp tuyến của mặt phẳng



MNP



và



AQK



Như vậy ta tính được u1



 2; 1;1 ,



u2



2; 2;3



 

Ta gọi góc giữa hai mặt phẳng



MNP



và



AQK



là  .

Như vậy được tính theo cơng thức .

Câu 10: Cho hình chóp có đáy là hình vng cạnh bằng . vng góc với mặt phẳng
đáy. và là hai điểm lần lượt nằm trên hai cạnh và sao cho ,
. Tìm giá trị của để hai mặt phẳng và tạo với nhau một góc bằng
.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải 
Chọn A

M

N

K

Q

P
C

B

D
A

A' D'

B' C'

cos  1 2

2 2 2 2 2 2

1 2

. 2.2 1.2 1.3 102

cos

2 1 1 2 2 3

u u
u u

  

   

   

 
 

S A BC D

ABCD

a S A

H K

BC

CD

4
a
BH 

(0 )

KDx xa x



SAH





SAK



45

7
a
x 

5
a

x  2

7
a

x  2

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Page | 13 – Gv: Lương Văn Huy – Sp: Strong VD VDC 
Ta chọn hệ tọa độ như hình vẽ.

Khi đó .

Qua đó ta có tọa độ các điểm .

Ta có: .

Ta có .

Gọi là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng thì .

Ta có .

Gọi là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng thì .
Gọi là góc giữa hai mặt phẳng và , khi đó

Vậy .

Cách khác.

Ta có:  .

Gọi là góc giữa hai mặt phẳng và .

Suy ra .

Oxyz



0;0;0 ;

 

;0;0 ;





0; ;0 ;



A B a D a SOz



; ; 0 ;



;3 ; 0 ;



; ; 0



4
a

C a a H a  K x a

 





; ; 0 ; ; ; 0
4

a

AH a  AK  x a

 

 



0; 0;1



3
; ;0

4
k

a
AH a
 


  



  

 




 , 3 ; ; 0

4
a
k AH  a 

 

   

 

 

n



SAH



3;1; 0

4
n  

 











0; 0;1
; ; 0
k

AK x a
 








 k AK ,  



a x; ; 0



n




SAK



n  



a x; ;0







SAH





SAK











2 2

. 4 3 25

cos cos 45 2

4 16

. 3

1.
4

a
x

n n a

x a x

n n

a x




  

         

    

  

 
 
 

 





2 2

7 48 7 0 0 .

7
a

x ax a x do x

      

7
a
x 

( )

SA ABCD SA AH SA, AK





SAH





SAK



 45

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Page | 14 – Gv: Lương Văn Huy – Sp: Strong VD VDC

Ta có ; và .

Áp dụng định lí Cosin cho tam giác ta có:



 



Vậy .

Câu 11: Trong không gian, cho tam giác cân ở có . Điểm di động trên
tia vng góc , gọi là trực tâm của tam giác . Khi di động trên tia thì
ln thuộc một đường trịn cố định. Bán kính của đường trịn đó bằng:

A. . B. . C. . D. .

Lời giải
Chọn A

Chọn hệ trục tọa độ có gốc , tia trùng tia , tia nằm trong mặt phẳng sao
cho tia nằm giữa hai tia như hình vẽ. Khi đó và .

2 3 5

4 4

a a

AH  a   
 

2 2

AK a x





4
a

HK     ax
 

AHK

2 2 2 2 . cos 450

HK  AH AK  AH AK

2 2

2 25 2 2 5 2 2 2

( ) 2. . .

16 16 4 2

a a a

a x a x a x

      

2 2

3 5 2

2 .

2 4

a

x a x

    5 2 a2x2 6a8x

2 2 2 2

50(x a )64x 96ax36a

2 2

14x 96ax14a 0 7 2 48 7 2 0



0 .



7
a

x ax a x do x

      

7
a
x 

OAB O 5; tan 4

OAOB AOB C

Oz



OAB



H ABC C Oz H

5
4

3
2

2 3

x

z

H

E

y

A

O

B
C

K

Oxyz

O

Ox

OA

Oy



OAB



</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Page | 15 – Gv: Lương Văn Huy – Sp: Strong VD VDC

Giả sử . Dễ thấy tam giác cân tại . Gọi là trung điểm của . Ta có
mặt phẳng vng góc với và là mặt phẳng cố định.

Gọi là trực tâm tam giác , do , và cùng nằm trong mặt phẳng .

Giả sử , ta có . Tìm được .

Do .

Do đó thuộc mặt cầu đường kính và thuộc mặt phẳng cố định. Vậy

ln thuộc một đường trịn cố định có bán kính .

Cách khác.

Gọi là trung điểm . Ta có nên do đó thuộc nên luôn nằm
trong mặt phẳng cố định.

Gọi là trực tâm , ta có:

mà

nên  mà 

  thuộc đường trịn đường kính nằm trong cố định.

Ta có:   .

 (N là trung điểm MB)



0;0;



C c ABC C E 



4; 2;0



AB



OCE



AB

K

OAB

A B K



Oxy





; ;0



K x y

. 0

OK AB
BK OA

 








 

  .

 

2 .4 0
3 0

x y

x

  



 

 



3
3
2
x
y




 





3
3; ;0

2
K   

 









AB OEC HK AB

HK CA
CA BHK



  



 

 



 








 90

KH  CAB KH HEKHE 

H 1 1 5

4 2

KE   



OCE



H

5
4
R 

N

K

E
O

A

B
C

M
H

E AB AB(OCE) ABCE H CE H

(OCE)

K OAB

( )

AK OB

AK OBC AK BC

AK OC



   





AHBC

( )

BC AHK HKBC HK AB HK (ABC)

 0

KHE  H KE (OCE)



1 1 9

cos

16 25

1 tan 1

9
AOB

AOB

  

 

 3

cos

AOB  OM 3,AM 4

1, 4, 2

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Page | 16 – Gv: Lương Văn Huy – Sp: Strong VD VDC

 .

Lại có .

Vậy bán kính của đường trịn đường kính là .

Câu 12: Cho hình chóp có đáy là hình thoi tâm cạnh , góc . .
Thể tích khối chóp S ABCD là . . Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SOD . Hãy tính 
khoảng cách h từ tới mặt phẳng theo .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Cách 1: phương pháp dựng hình

Tam giác vng tại nên là trung điểm của .

Ta có ; .

. Vậy

Gọi là trung điểm của , do tam giác đều nên , lại có
nên

Dựng .

Diện tích hình thoi ABCD là:

Từ đó suy ra . Tính được

Tam giác SAH vng tại A, đường cao AK nên:

2 2

2 5
OE ON NE 

1 5

4 4 2

KE NM OE

KE

OE  ON    

KE 5

2 4

KE
R  

.

S ABCD

ABCD

O

a BCD 120 SA



ABCD



3 3

3
a

M



SBC



a

19
a

h  57

38
a

h  2 5

5
a

h  2 5

19
a
h 

SOD O M SD













1 1

, ,

2 2

DM

d M SBC d D SBC

DS   

AD BC

//













2
//

AD SBC d D SBC d A SBC

  

















d M SBC  d A SBC

H

BC

ABC

AH



BC





SA ABCD SABC BC



SAH







SBC

 

 SAH











AK SH AK  SBC d A SBC AK

0 3

. .sin 60
2

ABCD

a

S  AB BC 

S ABCD

ABCD
V

SA a

S

  3

2
a
AH 
K

M

H

D
S

A

B C O x

y
z

M
D
S

A
B

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Page | 17 – Gv: Lương Văn Huy – Sp: Strong VD VDC

Vậy .

Cách 2: Phương pháp tọa độ

Không mất tính tổng quát, ta giả sử a  . 1

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, . Khi đó ta có
.

Ta có .

Phương trình mặt phẳng là: .

Suy ra .

Vậy .

Câu 13: Cho tam giác vuông tại và đường thẳng  vng góc với mặt phẳng tại điểm . Các
điểm thay đổi trên đường thẳng  sao cho . Biết . Giá trị nhỏ
nhất của thể tích tứ diện theo và bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải
Chọn D

Chọn hệ trục tọa độ sao cho , các tia lần lượt trùng với các tia
.

Đặt ( không đổi).

2 2 2 2 2 2

1 1 1 4 1 19 228

3 4 12 19

a
AK
AK  AH SA  a  a  a  









1 57

2 19

a
d M SBC  AK 

//

Oz SA



0; 0; 0 ,



1; 0; 0 , 0; 3; 0 , 1; 0; 0

2 2 2

O A  B   C 

     

3 1 1 3

0; ; 0 ;0 ; 2 , ; ;1

2 2 4 4

D S  M 

     

   





1 3

; ; 2 , 1; 0; 2
2 2

SB    SC

     

 

 

 

, 3 ; 1;

2
SBC

n SB SC  

 

 



SBC



3 3 3 0

2 2

xy z 









19
3
3 1

d M SBC  

 









19
a
d M SBC 

ABC A



ABC



A

M N



MBC

 

 NBC



ABb AC, c

MNBC b c

2 2

3b c
b c

2 2

b c

b c 3 2 2

bc
b c

2 2

3
b c
b c

Oxyz O A Ox Oy Oz, , AB AC AM, ,

, ,

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Page | 18 – Gv: Lương Văn Huy – Sp: Strong VD VDC

Khi đó . Giả sử Ta có:

có một véctơ pháp tuyến là .

Vậy .

Mặt khác nên . Vậy và nằm về hai phía của .

Ta có ,

Vậy VMNBC = .

Ta có khơng đổi.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có VMNBC = .

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .

Vậy VMNBC nhỏ nhất khi nằm về hai phía của và .

Khi đó giá trị nhỏ nhất của thể tích tứ diện bằng .

Cách khác.



0;0;0 ,





;0;0 ,





0; ;0 ,





0; 0;



A B b C c M m N



0; 0; .n





MBC



: x y z 1 0
b cm 

1 1 1
; ;
b c m
 

 





NBC



: x y z 1 0
b cn 

1 1 1
; ;
b c n
 

 





MBC

 

 NBC



. 0 12 12 1 0
b c mn
 

     

2 2

. b c

m n

b c


 





mn



0 m 

n 

0 M

N

A



; ;0 ,





; 0;





; 0;



BC b c BM  b m BN  b n

  









, 0; ; 0 .

BM BN b n m

   

 

 





1 1

. ,

6 BC BM BN   6 bc n m
  





6bc m n

 

2 2

. b c

m n

b c













2 2

1 1 1

. .2 . .

6 6 3

b c
bc m n bc m n

b c

   


m  n

2 2

bc
b c

M N

A

AM AN AB AC.

BC

 

MNBC

2 2

1
.
3

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Page | 19 – Gv: Lương Văn Huy – Sp: Strong VD VDC

Dựng , ta có nên vng tại H.

Do đó

Khi đó thể tích tứ diện là

Dấu “=” xảy ra  .

Vậy .

Câu 14: Cho hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vng cạnh , tâm . Gọi và lần
lượt là trung điểm của hai cạnh và . Biết , tính sin của góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

N
M

B
A

AHBC BC(MHN) HMN

2 2
2

2 2

. b c

AM AN AH

b c

 


MNBC

1 1

. .

3 3

MNBC MABC NABC ABC ABC

V V V  AM S  AN S 1





3 AM AN SABC

  1





6bc AM AN

 

2 2

.2 .

6 3

b c
bc AM AN

b c

 



2 2

bc

AM AN

b c

 



2 2

min

MNBC

b c
V

b c



.

S ABCD ABCD a O M N

SA BC 6

2
a

MN  MN



SBD



2
5

3
3

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Page | 20 – Gv: Lương Văn Huy – Sp: Strong VD VDC

Gọi hình chiếu của lên , suy ra là trung điểm của .

Khi đó .

Áp dụng định lý cosin ta có:

Do vuông tại nên .

Mà .

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Khi đó ta có tọa độ các điểm: , , , ,

, , , .

Khi đó , , .

Vectơ pháp tuyến mặt phẳng : .

Suy ra .

I M



ABCD



I AO

3 3 2

4 4

a
CI  AC

2 2

2 2 2 . .cos 45 9 2. .3 2. 2 10

4 8 2 4 2 4

o a a a a a

NI  CN CI  CN CI    

MIN

 I

2 2

2 2 3 5 14

2 8 4

a a a

MI MN NI   

1 14

/ / ,

2 2

a
MI SO MI  SOSO

Oxyz



0 ; 0; 0



O 0; 2; 0

2
B 

 

2
0; ; 0

2
D  

 

2
; 0; 0
2
C 

 

2 2

; ; 0

4 4

N 

 

2
; 0; 0
2
A 

 

14
0; 0;

2
S 

 

2 14

; 0;

4 4

M 

 

2 2 14

; ;

2 4 4

MN  

 

 2 14

0 ; ;

2 2

SB  

 

 2 14

0; ;

2 2

SD   

 





SBD



nSB SD ,  



7 ; 0; 0















. 7

. 2 3

sin ,

3
6

. 7
2
MN n

MN SBD

MN n



  

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Page | 21 – Gv: Lương Văn Huy – Sp: Strong VD VDC

Câu 15: Cho hình chóp có đáy là hình vng cạnh . Gọi và lần lượt là trung điểm
các cạnh và ; là giao điểm của và . Biết vng góc với mặt phẳng

và . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và theo .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Tọa độ các đỉnh:

Suy ra phương trình

Vì

Ta có:

Vậy .

S ABCD ABCD a M N

AB AD H CN DM SH (ABCD)

SH a DM SC a

2 57
19

a 57

a 2 13

a 7

19
a

z

x

y
H

N

M
B

A D

C
S





(0;0; 0), ; 0; 0 , (0; ;0), ( ; ; 0), ;0; 0 , 0; ;0

2 2

a a

A B a D a C a a M  N 

   

; ; 0
2
a

DM  a 

 







: 2 ; 2 ; 0

0
x t

DM y a t H t a t
z





   


 




; 2 ;0 ,



; ; 0
2
a

CH t a t CN  a 

       

 

 

2 3 3

4 ; ;0 ; ; 3

5 5 5 5 5

t a t a a a a a

H CN t a t t H S a

a
a

     

             



    





2 2

4 2 3

; ; 3 , ;0; 0 , 3; ;

5 5 2

a a a

SC a  DC  a DM SC a a 

   

   

, . 3

DM SC DC a

 

   





, . 3 2 57

19
19

DM SC DC a a

d SC DM

a
DM SC

 

 

  

 

 

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Page | 22 – Gv: Lương Văn Huy – Sp: Strong VD VDC

Câu 16: Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Gọi lần lượt là trung
điểm các cạnh là góc tạo bởi đường thẳng và mặt phẳng . Tính .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Gọi . Vì hình chóp tứ giác là hình chóp đều nên .

Đặt . Vậy và đáy của hình chóp là hình vng có cạnh bằng .
Do giả thiết hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng nhau nên .

Xét tam giác vng tại có .

Chọn hệ trục tọa độ sao cho .

Khi đó ta có: .

Do lần lượt là trung điểm các cạnh nên .

nên mặt phẳng nhận là một vectơ pháp tuyến.

Đường thẳng nhận là một vectơ chỉ phương.

Gọi là góc tạo bởi đường thẳng và mặt phẳng .
.

S ABCD E M,

, ,

BC SA 

EM



SBD



sin

6
sin

  sin 1



 sin 3

 sin 2

2


 

AC



BD



O

S ABCD.

SO





ABCD



OA  AC 2 S ABCD. 2

S ABCD SA  2

SAO O

 

2 2 2

2 1 1

SO SA AO   

Oxyz OxOC Oy, OB Oz, OS



1;0;0 ,





1;0;0 ,





0;1;0 ,





0;0;1



C

A



B

S

E M BC SA, 1 1; ; 0 , 1; 0;1

2 2 2 2

E  M 

   





AC



SBD



SBD



AC



2; 0;0





EM

1; ;1 1

2 2
ME  

 



</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Page | 23 – Gv: Lương Văn Huy – Sp: Strong VD VDC

Vậy ta có: .

Câu 17: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng và chiều cao bằng . Gọi là trung điểm
cạnh bên . Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Gọi là giao điểm của và . Ta có .

Chọn hệ trục tọa độ có gốc tọa độ , tia chứa , tia chứa , tia chứa .

Khi đó: , , , .

Gọi là giao điểm của và . Tam giác có là giao điểm của hai đường trung tuyến
nên là trọng tâm, do đó .

Mặt phẳng đi qua nên có phương trình: .

2 2

1 1

1.2 .0 .0

. 2 2 6

sin

. 1 1 3

1 . 2

2 2

ME AC
ME AC



 

   

 

  

   

    

   

 

S ABCD a h I

SC S



AIB



2 2

4 9

ah

h  a 2 2

4 9

ah

h  a 4 2 9 2

ah

h  a 2 2

2 3

ah
h  a

O AC BD 2

2
a
OAOBOC

Oxyz O Ox A Oy B Oz S

2
; 0; 0
2
a

A 

 

2
0; ; 0

2
a
B 

 

2
; 0; 0
2
a

C 

 



0;0;



S

h

M SO AI SAC M

M 0; 0;

3
h
M 

 



AIB



A B, , M 1

2 2

x y z

h
a  a  

2 2 3

1 0

x y z

a a h

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Page | 24 – Gv: Lương Văn Huy – Sp: Strong VD VDC

Do đó khoảng cách từ đến mặt phẳng là: .

Câu 18: Cho hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vng cạnh , tâm . Gọi là điểm đối xứng
với qua trung điểm của , là trung điểm của , là trung điểm của . Tính khoảng
cách giữa hai đường thẳng và .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Đặt và gọi là trung điểm của .

Ta có tọa độ các đỉnh là: , , ,

, lần lượt là trung điểm , , .

đối xứng với qua .

là trung điểm .

Do đó , ,

S



AIB



2 2

2 2 2

3
. 1

2 2 9 4 9

h

ah
h

d

h a

a a h



 



 

S ABCD a O E

D SA M AE N BC

MN AC

2
4

a 2

a 3

4
a

8
a

SOh I SA

0; ; 0

2
a
A  

 

 

2
;0; 0
2
a

B 

 

 

0; ;0

2
a
C 

 

 

2
; 0; 0
2
a

D 

 

 



0;0;



S h

I N SA BC 0; 2;

4 2

a h

I 

   

 

2 2

; ;0

4 4

a a

N 

 

E D I 2; 2;

2 2

a a

E h

   

 

M AE 2; 2;

4 2 2

a a h

M 

   

 

3 2

0; ;

4 2

a h

MN   

 

 





0; 2;0



AC a

 2 3 2

; ; 0

4 4

a a

AN   

 

 

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

Page | 25 – Gv: Lương Văn Huy – Sp: Strong VD VDC

Vậy .

Câu 19: Cho hình lăng trụ có là tứ diện đều cạnh . Gọi , lần lượt là trung điểm
của và . Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng và .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Khơng mất tính tổng qt ta chọn .

Gọi là trung điểm của . Gọi là tâm của .

Chuẩn hóa và chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho .

Khi đó: , , . Dễ thấy mp có vtpt .

Do: , . Ta có .

là trung điểm , là trung điểm
2

, ; 0;0

2
ah

MN AC  

 

   

 

  2

, .

a h
MN AC AN

 

   





, . 2

4
,

MN AC AN a
d MN AC

MN AC

 

 

 

 

 

  
 

ABC A B C   A ABC. a M N

AA BB



ABC





CMN



2
5

3 2
4

2 2
5

4 2
13

H
M
N

O
B'

A'

C'

C

A
B

1
a 

O A B H ABCA H 



ABC





0;0;0



O

1
; 0; 0
2
A 

 

1
; 0; 0
2
B 

 

3
0; ; 0

2
C 

 



ABC



n 1



0; 0;1





3
0; ;0

6
H 

 

6
3

A H  0; 3; 6

6 3

A 

  

 

ABA B 

  3 6

1; ;

6 3

B 

  

 

M AA 1; 3; 6

4 12 6

M 

  

 

N BB 3; 3; 6

4 12 6

N 

  

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

Page | 26 – Gv: Lương Văn Huy – Sp: Strong VD VDC

, có vtpt

Đặt

( do góc nhọn).

Câu 20: Cho hình chóp có đáy là tam giác cân tại và , . .
Gọi là góc của hai mặt phẳng và sao cho . Khi đó thể tích của khối chóp

là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Vì Hình chiếu của lên trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp là
(với là đỉnh của hình thoi )

Đặt .

Gắn hệ tọa độ: . Vì .

Ta có ,

là một vecto pháp tuyến của



1;0; 0



MN  

 1 5 3 6

; ;

4 12 6

CM    

 







CMN



n 2



0; 2 2;5







 





ABC , CMN





cos  1 2

1 2

. 5 5

1. 33 33
n n

n n

 

 

  tan 12 1

cos




   2 2

 

SABC ABC A ABa BAC120 SASBSC





SAB





SBC



cos 5

7
 
SABC

3
3
12

a 3

2a

3
3

a 2 3

5
a

SASBSC S



ABC



ABC

D D ABDC



SD x



x 0





0; 0; 0 ,





; 0; 0 ,





0; 0;



D B a S x 3 0; 3; 0

2 2

a a

DI   I 

 



; 0; 0 ,



1 ; 3; 0

2 2 2

a a
DB a IA DB A 

 

   3

; ;0

2 2

a a
C 

 





3 3

; ; , ; 0; , ; ;

2 2 2 2

a a a a

SA x SB a x SC  x

   

  





3 3

, ; ; 3; ; 3

2 2 2

ax xa a

SA SB     n x x a

 

  

 

  

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Page | 27 – Gv: Lương Văn Huy – Sp: Strong VD VDC

là vecto pháp tuyến của

Câu 21: Cho hình chóp có đáy là tam giác vng cân tại , , tam giác và tam
giác lần lượt vuông tại , . Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng . Cơsin của
góc giữa hai mặt phẳng và bằng:

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Chọn hệ trục tọa độ sao cho: , , , , .

Ta có , , , ,

Do .

Mà . Từ đó .

Ta có , , .

có 1 vtpt , có 1 vtpt .





, 0; ; 0; 2 ; 3

2
a

SA SC  ax  n x a

   

   

 

  



SAC



2 2

1 2

2 2

1 2

. 2 3 5

4 3 7

n n x a

c x a

x a
n n

      


 

 

2 3

1 1 3 3

. .

3 3 4 12

  

SABC ABC

V SD S a a a

S ABC ABC B AC2a SAB

SCB A C S



ABC



2a



SAB





SCB



1
3

1
2

1
3



0;0;0



B

A a



2;0; 0



C



0;a 2;0



S x y z



; ;





z 

0 



ABC



:

z 

0

AB 



a 2; 0; 0



CB



0;a 2; 0



AS



x a 2; ;y z





; 2;



CS x ya z

. 0

AS AB 
 



x a 2



a 2



    xa 2

. 0

CS CB   



ya 2



a 2



0 ya 2







,



2 d S ABC



a

z2a S a



2;a 2; 2a





0; 2; 2



AS a a




2;0; 2



CS a a




2; 2; 2



BS a a a


</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

Page | 28 – Gv: Lương Văn Huy – Sp: Strong VD VDC

Vậy .

Câu 22: Cho hình chóp đều có cạnh đáy bằng , cạnh bên bằng . Gọi lần lượt là các điểm

thuộc sao cho . Khoảng cách giữa và bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Gọi là giao điểm của .

Chọn hệ trục như hình vẽ. ( )

Tọa độ điểm , , , , .

Từ giả thiết ta có .

Tương tự tọa độ điểm .

Suy ra .

cos 1

3. 3

 1



SABCD 2 3 2 M N,

SB SD SB3SM SD, 3DN AM CN

40
857

72
857

24
153

40
257

O AC BD, SO



ABCD



2, 18 2 4

OA SO

    

Oxyz Ox AB Oy AD Oz// , // , OS



1; 1; 0



A   B



1; 1; 0



C



1;1; 0



D 



1;1; 0



S



0; 0; 4















1
1 0
3

1 1 1 1 8

1 0 ; ;

3 3 3 3 3

4 0 4

M

M
x

SM SB y M

z


 




  

        

 




  



 

2 2 4
; ;

3 3 3
N 

 





4 2 8 5 1 4

; ; , ; ; , 2; 2; 0

3 3 3 3 3 3

AM   CN    AC

   

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

Page | 29 – Gv: Lương Văn Huy – Sp: Strong VD VDC

Chọn vectơ chỉ phương của đường thẳng là , chọn vectơ chỉ phương của đường

thẳng là .

Ta có .

Khoảng cách giữa hai đường thẳng bằng

Câu 23: Cho hình chóp tam giác đều có , . Gọi là trung điểm cạnh . Tính

khoảng cách từ tới mặt phẳng .

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn A

Gọi là hình chiếu của trên , ta suy ra là trọng tâm tam giác .

Do là trung điểm nên . Suy ra và .

Xét tam giác vuông tại , ta có .

Ta chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với trùng với gốc tọa độ, khi đó ta được:

, , , .

AM u 1



2;1; 4





CN u 2



5;1; 4









1; 2 8; 28; 3

u u

    

 

 

,
AM CN





 

1 2

2 2 2

1 2

; . 16 56 0 40

;

857

; 8 28 3

u u AC
d AM CN

u u

    

 

  

     

 

  
 

S ABC SA2a ABa M BC

d M



SAB



165
.
30
a

d  15.

3
a

d  65.

15
a

d  65.

10
a
d 

O S



ABC



O ABC

M BC 3

2
a

AM  3

3
a

OA  3

6
a
OM 

SOA O

2 2 2 33

3 3

a a
SO SA OA  a  

Oxyz O



0 ; 0; 0



O 3; 0;0

3
a

A 

 

 

33
0; 0;

3
a
S 

 

 

3
;0; 0
6
a

M 

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

Page | 30 – Gv: Lương Văn Huy – Sp: Strong VD VDC

Suy ra ,

Ta có

Suy ra .

Phương trình măt phẳng là .

Suy ra .

Câu 24: Cho hình chóp có đáy là hình thang cân, . Hai mặt
phẳng và cùng vng góc với mặt phẳng . Gọi lần lượt là trung điểm

của và . Tính cosin góc giữa và , biết thể tích khối chóp bằng .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải 
Chọn C

Cách 1

Vì là hình thang cân có

; .

nên

Gắn hình chóp vào hệ trục tọa độ như hình vẽ
3

; ;0

6 2

a a
B 

 

3
; ; 0

6 2

a a

C  

 

3 33 3 33

; 0; , ; ;

3 3 6 2 3

a a a a a

SA   SB   

   

   

 

 

2 33 2 11 2 3

; ; ;

6 2 6

SAB

a a a

n SA SB  

 

 




SAB



33 11 3 11 0

6 2 6 6

a
x y z 









33 3 11

6 6 6 165

30
33 11 3

36 4 36

a a

a
d M SAB



 

 

 

.

S ABCD

ABCD

AD



2 AB



2 BC



2 CD



2 a



SAB





SAD





ABCD



M N,

SB CD MN



SAC



S ABCD.

4
a

5
10

3 310
20

310
20

3 5
10

ABCD AD2AB2BC2CD2a



AD2 ;a ABBCCDa



2
a
CH 

2 3 3 3

2 2 4

ABCD

a a a a

S   

2 3

1 3 3 3

. .SA

3 4 4

ABCD

a a

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

Page | 31 – Gv: Lương Văn Huy – Sp: Strong VD VDC 
Ta có:

. Chọn cùng phương với

Nhận xét:

là vtpt của .Chọn cùng phương với

Gọi là góc góc giữa và . Ta có .

Cách 2:

Gọi là mp đi qua và song song với mp . Khi đó cắt tại , cắt tại ,
cắt tại . Gọi là giao điểm của và .

Suy ra: , , lần lượt là trung điểm của , và .

Lại có: là hình thang cân có



0; 0; 0 ,



K ;0;0 ,

2
a
B 

 

3
0; ; 0 ,

2
a
C 

 

 

3
0; ; 0 ,

2
a
A  

 

3
; ; 0 ,

2 2

a a
N 

 

 

0; ; ,

2
a
S  a

 

; ;

4 4 2

a a a

M  

 

3 3 3

; ;

4 4 2

a a a

MN   

 

 







1 3;3 3; 2

u   



MN






BK SA

BK SAC
BK AC




 





; 0;0
2

a
BK   

 





SAC



n 1



1; 0;0





BK




MN



SAC



1 1

1 2

. 3 10

sin

20
u n

u u

  

 

  cos 310

20


 

 



MN



SAD



 

 AB P SC Q

AC K I MN QK  I



SAC



P Q K AB SC AC

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

Page | 32 – Gv: Lương Văn Huy – Sp: Strong VD VDC

; .

Nên và .

Xét tam giác vuông tại P:

lần lượt là đường trung bình của tam giác

là đường trung bình của tam giác .

Xét tam giác vuông tại H:

Suy ra: tam giác vng tại là hình chiếu vng góc của lên . 
góc giữa và là góc

Khi đó:

Xét tam giác vng tại :

.

Câu 25: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại , , . Các mặt bên

, , cùng tạo với đáy một góc . Biết chân đường vng góc hạ từ xuống 
mặt phẳng nằm ở miền trong tam giác . Gọi góc tạo bởi hai mặt phẳng và

là . Tính .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A



AD2 ;a ABBCCDa



2
a
CH 

2 3 3 3

2 2 4

ABCD

a a a a

S   

2 3

1 3 3 3

. .

3 4 4

ABCD

a a

V  SA



SA a



2 2

a
MP SA

   3

2
a
NP 

MNP

2 2

3 10

2 2 2

a a a

MN      

   

MP KQ SAB,SAC



MP KQ SA// //

KN 1

ACD KN AD a

   

AHC

2 2

3 3

2 2

a a

AC     a

 

3
2
a
KC

 

KNC

C



C N



SAC



 MN



SAC



NIC

2 2 2 10 10

. .

3 3 3 2 3

IN KN a a

IN MN

MN  NP     

NIC

C ; 10

2 3

a a

NC IN 

2 2

10 31

3 2 6

a a a

IC    

      

 



cos 31: 10 310

6 3 20

IC a a

NIC
IN

  

SABC ABC A AB3a AC4a



SAB





SAC





SBC





ABC



45 S



ABC



ABC



SAC





SBC



 cos
1
cos

  cos 1

  cos 3

  cos 1

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

Page | 33 – Gv: Lương Văn Huy – Sp: Strong VD VDC

Gọi là hình chiếu của lên mặt phẳng . Gọi lần lượt là hình chiếu của trên
, và . Ta có góc giữa và là góc . Tương tự ta có

Do đó

Mà nằm ở miền trong tam giác nên là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Gọi là bán kính đường trịn nội tiếp tam giác , khi đó

Tam giác vuông cân tại nên .

Chọn hệ trục Đề-các vng góc như hình vẽ. Khi đó ta tìm được tọa độ các điểm như sau

, , , , . Suy ra:

Mặt phẳng có véc tơ pháp tuyến

Do đó

H S



ABC



M N P, , H

AB AC BC (SAB) (BAC) SMH

   0

45
SMH SNH SPH 

SMH SNH SPH HM HN HP

       

H ABC H

r ABC





1
.

3 .4
2

1 3 4 5

ABC

AB AC

S a a

r a

p AB BC CA a a a




   

 

SHM H SHHM r

Axyz



0;0;0



A B



3 ;0;0a



C



0;4 ;0a



H r r



; ;0

 

 a a; ;0



S x



H;yH;SH

 

 a a a; ;





SAC



1 12 ,



1;0;1



n AS AC

a  

  

 

  



SBC



2 2





, 4;3;5

n AS AC

a


 

  

  

 

2 2 2 2 2 2

1.4 0.3 1.5 1

cos

1 0 1 4 3 5

     

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

Page | 34 – Gv: Lương Văn Huy – Sp: Strong VD VDC

Câu 26: Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh Hình chiếu vng góc của trên mặt phẳng
là điểm thuộc cạnh sao cho . Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
bằng . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và theo .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Chọn hệ trục tọa độ có gốc tại , trục hoành là , trục tung là , trục cao là (xem
hình vẽ).

Ta có:

Do đó tọa độ các điểm là , , ,

, ,

.
.

S ABC a. S



ABC



H AB HA2HB SC



ABC



60o h SA BC a

42
8

a 42

a

M MC MB Mz/ /HS

2 2 7

6 6 3

AB a a

MH   CH  CM MH 











 o o 21

, 60 . tan 60

3
a
SC ABC SCH  SH CH 

0; ;0
2
a
A  

 

21
0; ;

6 3

a a
S 

 

0; ; 0
2
a
B 

 

3
;0; 0
2
a

C 

 

2 21

0 ; ;

3 3

a a

SA  

    

 

 3

; ; 0

2 2

a a

BC  

 





0; ; 0



AB a


2 2 2

21 7 3

, ; ;

6 2 3

a a a

SA BC  

 

    

 

 





, . 42

8
,

SA BC AB a
d SA BC

SA BC

 

 

  

 

 

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

Page | 35 – Gv: Lương Văn Huy – Sp: Strong VD VDC

Câu 27: Cho hình lăng trụ đứng có , góc , góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng bằng . Gọi , lần lượt là trung điểm của và . Cosin của góc
giữa mặt phẳng và mặt phẳng bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Ta có nên vng cân tại

Gọi là trung điểm

Lại có lần lượt là trung điểm của và

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ có , suy ra , , ,

, .

có một VTPT là
.

ABC A B C   ABACa ABC 30 A B



ABC



450 M

N

B C

 

CC



AMN





ABC



1
2

3
2

13
4

3
4

y
x

N
M

H

A C

B
A'

B'

C'







A B ABC ,







A B AB ,



ABA



45 

A AB A

AA



AB

a





H

BC

.sin 30

2
a

AH BC AH AB

     

2 2

2 2 3

BC BH  AB AH a
,

M H

B C

 

BC





; //

MH BB AA a MH BB MH ABC

     

Oxyz H O H



0;0;0



; 0; 0

2
a
A 

 

0; ; 0

2
a
B 

 

 



0;0;



M a



0; 3; 0

2
a
C  

 

0; ;

2 2

a a
N  

 

;0; , ; ;

2 2 2 2

a a a a

AM a AN 

     

   

  2 3 2 2 3

, ; ;

2 4 4

a a a

AM AN  

 

   

 

 



AMN





n



3; 1; 3

2 4 4

  

  

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

Page | 36 – Gv: Lương Văn Huy – Sp: Strong VD VDC

Ta có , có một VTPT

Gọi là góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng .

từ đó .

Câu 28: Cho hình lăng trụ tam giác có đáy là tam giác đều cạnh và các mặt bên đều là
các hình vng cạnh . Gọi là trọng tâm của tam giác và là trung điểm của đoạn thẳng
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Chọn hệ trục tọa độ sao cho trục nằm trong mặt phẳng

và vuông góc với trục . Khi đó gọi lần lượt là hình chiếu của lên các trục khi đó

góc nên nên . Vì là

trọng tâm tam giác nên ta có . Đồng thời là trung điểm của nên

. Suy ra .

Ta có và

HM




0;0;a



 HM



ABC







ABC



n 1



0; 0;1









AMN





ABC



cos

.
n n
n n
 

 
 

2 2 2

3
4

3 1 3

2 4 4



     

  

     

 

   

3
4


. ' ' '

ABC A B C ABC a

a

G

ABC

I

CC

'

A B

GI

a 3 11

a 11

a 3 11

.
22
a



0;0;0 ,





;0;0 ,



' 0;0;





A C a A a Ay



ABC



Ax

H K, B Ax Ay,

30
BAy

  cos 300 3; cos 600

2 2

a a

AK AB  AH AB  ; 3; 0

2 2

a a
B 

 

 

G

ABC

; 3;0

2 6

a a
G 

 

 

I

CC

'

, ;0;
2
a
I a 

 

3 3

' ; ; ; ; ; ; ' ;0;

2 2 2 6 2 2

a a a a a a

A B a IG    A I a  

 

   

  

2 2 2 3

3 3 3 3

' , ; ; ' , '

12 4 3 4

a a a a

A B IG   A B IG A I

      

     

 

     2 33

' , .

6
a
A B IG

  

 

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

Page | 37 – Gv: Lương Văn Huy – Sp: Strong VD VDC 
Vậy

Câu 29: Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác vng cân tại , cạnh . Góc giữa
mặt phẳng và mặt phẳng bằng . Tính thể tích của khối lăng trụ

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn D

Vì tam giác vng cân tại , cạnh nên .

Chọn hệ trục tọa độ sao cho , , , .

; , .

VTPT của là: .

, .

VTPT của mặt phẳng là: .

Vì góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng bằng nên:



' ,



' , ' 3 11.

22
' ,

A B IG A I a
d A B GI

A B IG

 

 

 

 

 

  
 

. ' ' '

ABC A B C ABC A BCa 6



AB C'





BCC B' '



V

. ' ' '
ABC A B C

2 3

.
3
a
V 

3 3

.
2
a
V 

3 3

.
4
a
V 

3 3

.
2
a
V 

ABC

A BCa 6 ABAC a 3

Oxyz A



0;0;0



C a



3; 0; 0



B



0;a 3; 0



A



0;0;z





z 0





0; 3;



B a z

 BC



a 3;a 3;0



BB 



0; 0;z





BCC B 



1 1 ,



1;1; 0



  



  

  

n BC BB

za



3; 0;0



AC a




0; 3;



AB  a z






BA C



2 1 ,



0; ; 3



n AC AB z a

a

 

   

  

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

Page | 38 – Gv: Lương Văn Huy – Sp: Strong VD VDC

Vậy thể tích của khối lăng trụ là: .

Câu 30: Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác cân, với và góc
, cạnh bên . Gọi là trung điểm của . Cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng
và bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Cách 1:

Ta có .

Trong tam giác vng , ta có .

Trong tam giác vng ,ta có .

Xét tam giác có vng tại



1 2



60 ,

cos   cos n n 



2 2



1
2

2 3

z
z a

 



3
z a

 

. ' ' '

ABC A B C

1 3 3

. .

2 2

a
V  AC AB AA

ABC A B C   ABC ABACa

 120

BAC   AA a M CC 



ABC





AB M



33
11

10
10

30
10



2 2 2

2 . .cos

BC AB AC  AB AC BAC 2 2 2. . . 1
2
a a a a 

    

 

2
3a

 BCa 3

B AB 2 2

AB BB AB  a2a2 a 2

MAC

MA MC2AC2

2
2

a
a

  5

2
a


MB C

 

2 2

B M  B C  C M

2
2

3
4
a
a

  13

2
a


MB A

2 2 2 5

2
4
a
B A MA  a 

13
4

a

 2

B M

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

Page | 39 – Gv: Lương Văn Huy – Sp: Strong VD VDC 
.

Lại có .

Gọi là góc tạo bởi hai mặt phẳng và .

Ta có là hình chiếu vng góc của trên mặt phẳng .

Do đó .

Cách 2: Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

( trong đó gốc tọa độ trùng với trung điểm của ).

, , , ,

;

Có:

Mặt phẳng có véc tơ pháp tuyến là .

 1 .

2
MB A

S   AB AM

1 5

. 2.

2 2

a
a


2 10

4
a



1

. .sin
2

ABC

S  AB AC BAC 1 . . 3
2a a 2


3
4
a






ABC





AB M



ABC

 AB M



ABC



.cos
ABC MB A
S S 



2 2

3 10

.cos

4 4

a a



  cos 30

10


 

Oxyz

O BC

0; ;0

2
a
A 

 

3
; 0;
2
a

B a

 

3
; 0; 0
2
a

C 

 

3
; 0;
2
a

C  a

 

3
; 0;

2 2

a a

M 

 





; ; 3; 1; 2

2 2 2

a a a

AB  a

    

 







3 1

; ; = 3; 1;1

2 2 2 2

a a a

AM     a  

 







2 3 2 3 2 3 2

; ; ; 1; 3 3 ; 2 3

4 4 2 4

a a a a

AB AM    

     

   

 

 



ABC



n1k



0;0;1



</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

Page | 40 – Gv: Lương Văn Huy – Sp: Strong VD VDC

Mặt phẳng có véc tơ pháp tuyến là .

Chọn véc tơ pháp tuyến là

Câu 31: Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vng tại , và có cạnh bên
bằng . Gọi lần lượt là trung điểm . Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Chọn hệ trục tọa độ sao cho điểm trùng với gốc tọa độ, điểm nằm trên trục , điểm
nằm trên trục , điểm nằm trên trục . Ta có:

Do lần lượt là trung điểm

Suy ra : là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng 
Phương trình mặt phẳng là :



AB M







; 1; 3 3 ; 2 3

4
a
AB AM

    

 

 





2 1; 3 3 ; 2 3

n   



 















1 2

2 2 2 2 2

1 2

0.1 0.( 3 3) 1. 2 3

. 30

cos ;

. 0 0 1 1 ( 3 3) 2 3

n n
ABC AB M

n n

   



   

     

 
 

ABC A B C   A

AB



AC



a

2a

M N, BB CC', ' A

( 'A MN)

a 2 3

a 3

2
a

3
a

Oxyz A B

Ax

C

Ay A' Az

(0; 0; 0), B( ; 0; 0), C(0; ; 0), A'(0; 0; 2 a), B'( ; 0; 2 a), C'(0; a; 2 a)

A a a a

M N BB CC', 'M(a; 0; a), N(0; ; )a a

2 2 2

' ( ;0; ), ' (0; ; )

' , ' ( ; ; )

A M a a A N a a
n A M A N n a a a

   

 

  

 

   

1 (1;1;1)

n  ( 'A MN)

( 'A MN)

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

Page | 41 – Gv: Lương Văn Huy – Sp: Strong VD VDC 
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là:

Câu 32: Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác cân tại , , , góc giữa
và bằng . Gọi là trung điểm và là trung điểm . Tính khoảng cách
từ điểm đến mặt phẳng .

A. . B. . C. . D. .

Lờigiải

Chọn A

Gọi lần lượt là là trung điểm cạnh và . Từ giả thiết ta có:

Mặt khác: đơi một vng góc nhau. Chọn hệ trục như hình vẽ có

Tọa độ hóa: , , , , , , ,

Xét mặt phẳng có

Phương trình là: .

A ( 'A MN) (A;(A'MN))

2 2 2

2 2 3

1 1 1

a a

d   

 
.

ABC A B C   ABC C AB2a AA a

BC



ABB A 



60 N AA M BB

M



BC N



2 74
37

a 74

a 2 37

a 37

37
a

H K A B  AB

2 . tan 60o 6

HBaHBa HCHB a

, v a

HC HB  HK Oxyz H O

(0;0; 0)

H C(0;a 6;0) A ( a; 0;0) A a( ;0; )a ;0;
2
a
Na 

  B a( ; 0; 0) B a( ; 0; )a

;0;

2
a
M a 

 

(BC N )

( ; 6; )

( 6; 3; 4 6 )
2 ; 0;

2
C B a a a

vtpt n
a

BN a

   


   

  

  

  

 







(BC N ) 6( ) 3 4 6 0

2
a
xa  y z 

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

Page | 42 – Gv: Lương Văn Huy – Sp: Strong VD VDC 
Khoảng cách từ M đến là:

Câu 33: Cho hình lăng trụ đứng có , góc bằng , . Gọi , N lần
lượt là trung điểm và . Khoảng cách giữa 2 đường thẳng và là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Gọi là trung điểm . Áp dụng định lí cosin cho tam giác ta có:

Vì tam giác cân tại có là đường trung tuyến nên tại hay 3 cạnh ,
và đơi một vng góc với nhau. Ta chọn hệ trục tọa độ sao cho điểm , điểm

và điểm . Khi đó ta có tọa độ các điểm như sau: , ,

, , , .

Ta có: ; ;

(BC N )

6 ( ) 3.0 4 6( )

2 6 2 74

2 2
( ; ( ))

6 9 96 111

a a
a a

a a

d M BC N

   

   

 
.

ABC A B C   ABACa BAC 120 AA a M

B C  CC

MN

AH

3
2

a 3

a 6

4
a

H BC ABC







2 2 2 2 2 2

2. . .cos 2. . .cos120 3 3

BC AB AC  AB AC BAC a a  a a   a BCa



2 2





2 2



2 2

2 2. 2. 3

4 4 4 2

AB AC BC a a a a a

AH        AH 

ABC A AH AH BC H MH

HA HB Hxyz AHx

BHy MHz H



0; 0; 0



;0; 0

2
a

A 

 

3
0; ; 0

2
a
B 

 

 

0; ; 0

2
a
C  

 

 



0; 0;



M a 0; 3;

2 2

a a
N  

 

 

0; ;

2 2

a a

MN    

 



; 0; 0
2
a
AH   

 

 3

; ;

2 2 2

a a a
AN   

 

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

Page | 43 – Gv: Lương Văn Huy – Sp: Strong VD VDC 
Suy ra:

Áp dụng cơng thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, ta có:

Câu 34: Cho hình lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh . và vuông góc với mặt phẳng
. Gọi là trung điểm của , di động trên cạnh . Giá trị lớn nhất của diện tích

là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

+ Chọn hệ trục tọa độ sao cho ; ; .

Khi đó , , và

Do di động trên , tọa độ với

Ta có:

2 2

; 0; ;

4 4

a a

MN AH  

    

   

 

 





, . 6

32
,

4
,

4
a

MN AH AN a

d MN AH

a
MN AH

 

 

  

 

 

  
 

1 1 1

ABC A B C a AA1 2 a



ABC



D BB1 M AA1

MC D


15
4

a 2 15

a 2 5

a 2 10

4
a

Oxyz

A O



BOy A1Oz



0;0;0



A B



0; ;0a



A1



0;0; 2a



3
; ; 2

2 2

a a
C  a

 

 



0; ;



D a a

M AA1 M



0;0;t



t



0; 2a



1 1

1
,
2

   

 
DC M

S DC DM

( ; ; )

2 2

(0; ; )

a a

DC a

DM a t a


 




   




 DC DM1, 

</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

Page | 44 – Gv: Lương Văn Huy – Sp: Strong VD VDC

Xét ( )

Lập BBT giá trị lớn nhất của khi hay .

Câu 35: Cho lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng , là điểm di chuyển trên đường
thẳng ; Tính khoảng cách lớn nhất giữa và

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Khơng mất tính tổng qt chọn ; Chọn hệ trục tọa độ sao cho gốc tọa độ trùng ; trùng
; trùng với ; Sao cho:

Khi đó:



( 3 ; 3( ); 3



a

t a t a a


  

2 2 2

1, ( 3 ) 3( ) 3

2
a

DC DM t a t a a

 

     

 

 

2 2

4 12 15

2
1

. . 4 12 15

2 2



  

DC M
a

t at a

a

S t at a

 

2 2

4 – 12 15

f t  t at  a t



0; 2a



 

' 8 – 12
f t  t a

3
'( ) 0

   a

f t t

15
4


DC M

a

S t 0 M  A

. ' ' '

ABC A B C

a M

' '

A C

AM

BC

'

34
6

a 17

a 14

a 21

6
a

1 a 

C' Ox

' '

C A Oz C C'

1 3 1 3

'(1;0; 0); '(0; 0;0); B'( ; ; 0); (1;0;1); ( ; ;1); (0; 0;1); M(m;0; 0)

2 2 2 2

A C A B C

, ' . '
( ; ' )

, '
AM C B AC
d AM C B

AM C B

 

 



 

 

</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>

Page | 45 – Gv: Lương Văn Huy – Sp: Strong VD VDC 
Ta có:

( vì nếu thì trùng dẫn đến khoảng cách bằng 0)

Khoảng cách đó lớn nhất khi nhỏ nhất ; Khi đó: khoảng cách

lớn nhất là: ; Vậy: trong trường hợp tổng quát, khoảng cách lớn nhất là khi .

Chọn đáp án: C

Câu 36: Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông, , cạnh bên
. Gọi M là trung điểm của . Tính theo khoảng cách giữa hai đường thẳng và .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc như sau:

; A ; C ; B’ ; M

; ;

Ta có:

+) Khoảng cách giữa

1 3

( 1;0; 1); ' ; ;1 ; ' ( 1;0; 1)
2 2

AM  m  C B  AC   

 

  

2 2 2

3
2
( ; ' )

3 1 3

( ) ( ) ( 1) .

2 2 4

m
d AM C B

m m



    2 2

3 3

2 2

7 5 7 7 1 5 1 7

. .

4 2 4 4 2 4

m

m m



   

m  m 0 M C'

7 1 5 1 7

. .

4 m 2 m4

1 5 7

7 m 5

m

   

14
4

a 7

'
5

a
MC 

ABC A B C   ABC

AB



BC



a

AA'a 2

BC a AM B C

3
7

a 21

7
a

a 7

7
a

Oxyz

(0; 0;0)

B



0; ; 0a





a;0; 0





0;0;a 2



; 0; 0
2
a

 

 

 

; ; 0
2
a

AM  a 

 







' ; 0; 2

B C a a






' 0; ; 2
AB  a a


2 2

, ' 2; ;

2
a
AM B C a a 

    

 

 

 

</div>
(46)<div class='page_container' data-page=46>

Page | 46 – Gv: Lương Văn Huy – Sp: Strong VD VDC

Vì: nên chéo nhau.

Câu 37: Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác vng tại và .Gọi là góc
tạo bởi đường thẳng và mặt phẳng có số đo lớn nhất. Biết ( với nguyên
tố cùng nhau ). Giá trị tổng là

A. . B. . C. . D.

Lời giải

Chọn D

Giả sử . Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ:

Phương trình mặt phẳng là:

véc tơ pháp tuyến mặt phẳng là:

là véc tơ chỉ phương của đường thẳng

Áp dụng bất đẳng thức cô si cho 2 số và :

, ' '

2
a
AM B C AB

  

 

  

, '
AM B C



, '



, ' '

, '
AM B C AB
d AM B C

AM B C

 

 



 

 

  
 

4 4 4

7
2

7
1

2
a

a

a a a

 

 

ABCA B C   ABC A AB1,AC2 

BC (A BC ) sin p

q

  p q,

p q



11 7 5 9

AA

 

m

(m 0)

(0; 0; 0), (1; 0; 0), (0; 2; 0), (0; 2; ), (0; 0; )

A B C C m A m

(A BC ) 1 2 2 2 0

1 2

x y z

mx my z m
m

       

 (A BC ) n m m(2 ; ; 2)


( 1; 2; )
BC  m


BC

2 2 4 2

2 2

sin cos( ; )

5 4. 5 (5 20) 29

m m

n BC

m m m m

    

   

 

</div>
(47)<div class='page_container' data-page=47>

Page | 47 – Gv: Lương Văn Huy – Sp: Strong VD VDC

Dấu “=” xảy ra khi . Vậy

Câu 38: Cho hình lăng trụ tam giác đều có độ dài cạnh đáy bằng a. Góc giữa và
bằng . Gọi là trung điểm của và Tính khoảng cách giữa và

A. . B. C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Do vng góc với mặt phẳng nên góc giữa 2 mặt phẳng và là góc
bằng ,

Trong tam giác vuông :

Trong mặt phẳng kẻ đường thẳng song song với , khi đó 3 đường đơi
một vng góc với nhau.

Xét hệ tọa độ sao cho:

Ta có:

suy ra:

Áp dụng cơng thức tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau, ta có:

Cách giải theo hình học cổ điển:

2 2

4 2

2 2 2

sin

20 29

2. 5 .20 29

m m

   




5m 20m 2 p2,q7 pq9

.

ABC A B C

  

A BC  ABC

60

M N,

BC

CC

.

A M

AN

.

6 97
97

a 3 97

.
97

a 6 65

a 3 65

65
a

BC



A MA





ABC





A BC



A MA 60

A AM tan 600 ' ' 3. 3 3

2 2

AA a a

AA
AM

   



ABC



Ay BC AM Ay A A, , 

Axyz MAx A, 'Az

3 3 3 3

(0; 0;0), '(0; 0; ), ( ; 0; 0), ( ; ; )

2 2 2 2 4

a a a a a

A A M N

2 2 2

3 3 3 3 3 9 3 3

' ( ;0; ), ( ; ; ) ' , ( ; ; )

2 2 2 2 4 4 8 4

a a a a a a a a

A M  AN A M AN 

   

3
2

' , . 3 3 / 8 3 97

( ' , )

97
291 / 8
' ,

A M AN AM a a

d A M AN

a
A M AN

 

 

  

 

 

</div>
(48)<div class='page_container' data-page=48>

Page | 48 – Gv: Lương Văn Huy – Sp: Strong VD VDC 
Kẻ

Có

+Có góc giữa và là

+Dễ thấy , với .

mà

Vậy

Câu 39: ( Mức độ 3) Cho lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng . là một điển thỏa
mãn . Côsin của góc giữa hai mặt phẳng và bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Xét hình lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng . Gắn hệ trục như hình vẽ quy
ước ( đơn vị ).

 

A E AN E AC  AN//A ME  d A M AN



 ,



d AN



,A ME 



d A A ME



,  





AK

.

2 2 2

1 1 1

AK  AA  AH

A BC  ABC A MA 60 A A' tan 60 .AM 3. 3 3 .

2 2

a a

 

' 2

AEA F AC FA N' AC
2

. ;

AME
AME

S

S AH EM AH

EM

  

2 2 1 3

.3. .

3 3 2 4

AME MEC ABC ABC

a

S  S  S S 

2 2 31

2 . .cos150 .

2
a

EM  AE AM  AE AM   53

31
a
AH

 

2 2 2 2

1 1 1 97

9
AK  AH  AA  a

3 97
.
97

AK a

 

.

ABC A B C

  

a M

1
2

CM  AA



A MB





ABC



30
10

30
8

30
16

1
4

.

ABC A B C

  

a

</div>
(49)<div class='page_container' data-page=49>

Page | 49 – Gv: Lương Văn Huy – Sp: Strong VD VDC 
Gọi là giao điểm của và .

Vì tam giác là tam giác cân cạnh bằng nên ta suy ra độ dài các đường trung tuyến là .
Suy ra tọa độ các điểm như hình vẽ.

Theo giả thiết ta có vậy

Vậy tọa độ của điểm là:

Ta có mặt phẳng ( ) có phương trình

Mặt khác mặt phẳng là mặt phẳng đi qua ba điểm và .

Ta có: và

Vậy cơ sin góc tạo bởi hai mặt phẳng và là:

. .

Cách khác:

, ,

D A M AC

A B C

  

a 3

2
a

1
2

CM  AA  ADACDM AD 2 DA 2DC
CD

    

D 0;2;1
3
D 

 

ABC

 0   



0; 0;1




ABC

z n



A MB



A, D B

2
0; ;1

3
A D   

 

 3 1

; ;1
2 2
A B   

 

 



 

1 3 3

n , ; ;

6 2 3

A BM A D A B

  

   

    

 

 






A MB





ABC







 









   




cos A BM' , ABC  cos nA BM ,nABC

3 3 30

1 3 1 10

. 1
36 4 3



  

 

3 1
; ;1
2 2
A B   

 

 

 3

0;1;
2

 

   

 



A M , 1; 3 3; 3 1



1;3 3; 2 3



4 4 2 4

  

       

   

 

</div>
(50)<div class='page_container' data-page=50>

Page | 50 – Gv: Lương Văn Huy – Sp: Strong VD VDC

 mp có một vectơ pháp tuyến là .

Mp(ABC) là mp(Oxy): z=0 có vtpt

Câu 40: (Mức độ 3) Cho hình hộp có thể tích bằng . Gọi , , lần lượt là trung
điểm của các cạnh , , . Tính thể tích khối tứ diện .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Đây là bài toán tổng quát, ta đưa về cụ thể, giả sử hình hộp đã cho là hình lập phương có cạnh bằng
. Khi đó .

Chọn hệ trục như hình vẽ, là gốc toạ độ, các trục nằm trên các cạnh
.

Khi đó,

; ; ;

Ta có , , .

Khi đó 



A MB



nA BM  



1;3 3; 2 3



 



0; 0;1





ABC
n





 









   



 2 3 30

cos ' , cos ,

10
1 27 12





  

 

 

A BM ABC

A BM ABC n n

.

ABCD A B C D

   

V

M

N

P

AB A C  BB CMNP

5
48V

1
8V

7
48V

1
6V

1
1

V 

Oxyz A Ox Oy Oz, , AB AD AA, ,



1;1;0



C



1; 0 ; 0



1; 0 ; 0
2
B M 

 





1
1; 0 ;1 1; 0 ;

2
B P 

 



0; 0;1 ,





1;1;1



1 1; ;1
2 2
A C N 

 

1
; 1; 0
2

CM    

 

 1 1

; ;1

2 2

CN    

 

 1

0 ; 1;
2
CP  

 



1 1 5 5

, .

6 6 8 48

CMNP

V  CM CN CP      5
48

CMNP

</div>
(51)<div class='page_container' data-page=51>

Page | 51 – Gv: Lương Văn Huy – Sp: Strong VD VDC

Câu 41: (Mức độ 3) Cho hình hộp , có đáy là hình thoi cạnh , tâm , và
. Hình chiếu vng góc của lên mặt phẳng trùng với tâm . Gọi là trung
điểm . Khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

+) Đáy là hình thoi cạnh , tâm , nên tam giác là tam giác đều cạnh

+) Giả sử . Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ , ,

và . Khi đó, ,

Ta có: nên tìm được và

là trung điểm

+) Ta có:

ABCD A B C D    2a O  0

60
BAD 
2

AA  a A



ABCD



O M

CD A M B D 

21
7

2 21
7

3 21
7

4 21
7

z

y

x M

C'
D'

B'

O
C
A

B

D

A'

ABCD 2a O  0

BAD  ABD

2a 3.2 3

AO a a

  

2 2 2 2

4 3

A O  AA AO  a  a a
1

a  OO



0 ; 0 ; 0



D



1; 0 ; 0



Ox C



0; 3 ; 0



Oy



0; 0;1



A Oz B 



1;0; 0



A



0; 3 ;0





0; 3 ;1



BBDDAA

  



1; 3 ;1



B  D



1; 3 ;1



M CD 1; 3;0

2 2

M 

  

 



;



; .

;

A M B D A B
d A M B D

A M B D
     

 

   

   

 

  
 









1 3

; ; 1

2 2 ; 0; 2; 3

2; 0; 0
A M

A M B D
B D



 

   

   

   



   



   



</div>
(52)<div class='page_container' data-page=52>

Page | 52 – Gv: Lương Văn Huy – Sp: Strong VD VDC

Mà nên .

Câu 42: (Mức độ 3) Cho hình hộp chữ nhật , có góc giữa và mặt
phẳng bằng . Gọi là hình chiếu vng góc của trên và là hình chiếu vng
góc của trên Tính góc giữa hai mặt phẳng và .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải 
Chọn B

Do là hình hộp chữ nhật nên là hình chiếu vng góc của trên

Ta có

Kết hợp với giả thiết ta được là hình vng và có là tâm.
Gọi lần lượt là hình chiếu vng góc của trên

Ta có

Ta chọn hệ trục tọa độ thỏa mãn còn theo thứ tự thuộc các tia
Khi đó ta có tọa độ các điểm lần lượt là:

Mặt phẳng là mặt phẳng nên có VTPT là



1; 3 ; 0



A B   





;



0 2 3 0 2 21

7
0 4 3
d A M B D      

 
.

ABCD A B C D    AB a AD, a 2 , A C



ABCD



30

H A A B K

A A D .



AHK





ABB A 



60

45

90

30

.

ABCD A B C D

   

A C

' '

A C

'

 0

(ABCD)( ' , (A C ABCD))( ' ,A C A C' ')CA C' '30 .


2 2 3; tan ' ' ' ' .

' '

CC

AC AB AD a CA C CC a

A C

     

' '

ABB A H

,

E F

K A D' '& ' .A A

2 2 2

1 1 1 6

;

' 3

a
AK
AK  A A AD  

2 2

' ' ;

3
a
A K A A AK 

2 2

2 2 2

1 1 1 2

; ' .

' 3 3

a a

KF KE A K KF KE

KF  KA  A K      

Oxyz

O



A

'

D B A



, ,



Ox Oy Oz

,

.

2 2 2

(0; 0; ), '(0; ; 0), (0; ; ), ( ; 0; ), ( ; 0; 0), (0; 0; ).

2 2 3 3 3 3

a a a a a a

A a B a H K E F



ABB A' '



(

yOz

)

n 1 (1; 0; 0);

</div>
(53)<div class='page_container' data-page=53>

Page | 53 – Gv: Lương Văn Huy – Sp: Strong VD VDC 
Ta có

Mặt phẳng có VTPT là

Gọi là góc giữa hai mặt phẳng và .

Ta có

Câu 43: (Mức độ 3) Cho lăng trụ có đáy là hình vng cạnh . Hình chiếu vng
góc của lên trùng với giao điểm của và . Tính khoảng cách từ điểm đến mặt

phẳng .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Chọn hệ trục toạ độ sao cho tâm O của hình vng ABCD là gốc toạ độ, OA là trục Ox, OB là trục 
Oy, OA1 là trục Oz như hình vẽ

Vì nên có phương trình:

cắt tại trung điểm



Câu 44: (Mức độ 3+) Cho hình lập phương cạnh . Gọi là trung điểm của . Tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng và .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

2 2

, , (2; 2; 2).

6
a

AK AH n n

  

 

   

(

AKH

)

n 2 (2; 2; 2 );







AHK





ABB A 



0
1 2

( , ) 45 .

cos cos n n    

1 1 1 1

ABCD A B C D ABCD a

A



ABCD



AC BD B1



A BD1



2
4

a 2

a 21

a 3

2
a

 2; 0;0

2
a

A 

 

 





 ( )

mp A BD mp Oyz mp A BD



1



x 0

AB mp A BD



1



AB1

1 1 1

2 2

(B ;( )) ( ; ( ))

2 2

a a

d A BD d A A BD  

. ' ' ' '

ABCD A B C D a K DD'

CK A D'

3
a

4
a

5
a

</div>
(54)<div class='page_container' data-page=54>

Page | 54 – Gv: Lương Văn Huy – Sp: Strong VD VDC 
Chọn A

Chọn hệ trục tọa độ với gốc trùng với điểm , các tia , , lần lượt trùng với các tia

, , . Khi đó , , , , ,

Gọi là trung điểm của

Suy ra nhận làm vec tơ pháp tuyến và đi qua điểm
:

Do là trung điểm của nên

Vậy chọn A

Câu 45: (Mức độ 3+) Cho hình hộp chữ nhật có . Lấy điểm
thuộc đoạn , điểm thuộc đoạn sao cho ,. Tìm theo

để đoạn nhỏ nhất.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Oxyz O A Ox Oy Oz

AB AD AA' A



0; 0; 0



B a



; 0; 0



D



0; ; 0a



A' 0; 0;



a



B a'



; 0;a



C a a



; ; 0



M BB' ; 0;

2
a
M a 

  

 

' ; 0;
2
a
A M a  

 







' 0; ;
A D a a






2 2

' , ' ; ; 1; 2; 2

2 2

a a

A M A D  a a 

 

  

 

 



A DM'



n 



1; 2; 2









' 0; 0;

A a



A DM'



x2y2z2a0

M BB' A M' / /CK



, '











2 2 2 2 2

1 2 2

a a a a

d CK A D d CK A DM d C A DM    

 

ABCD A B C D    AB3 ,a ADAAa M
AB N A C  AM  A N x, 0



x 10a



x

a MN

0 30

a 10

</div>
(55)<div class='page_container' data-page=55>

Page | 55 – Gv: Lương Văn Huy – Sp: Strong VD VDC

Ta có .

Gọi là hình chiếu của lên .

Ta có .

Gọi là hình chiếu của lên .

Tương tự ta tính được , , .

Chọn hệ trục tọa độ sao cho , các điểm , , lần lượt nằm trên các tia , ,
. Khi đó ta có tọa các điểm lần lượt là: , , , ,

, .

Ta có .

GTNN của là khi .

Câu 46: ( Mức độ 3+) Cho hình hộp chữ nhật có Gọi
lần lượt là trung điểm của Tính khoảng cách từ đến mp

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

D'

C'

B'

A'

F

N

M

E

z

y

x

D

C

B

A

2 2 2 2

9 10

AB AB BB  a a  a

E M AB

. 3 3

10 10

AE AM AB AM ax x

AE

AB  AB   AB  a 
.

10 10

ME AM BB AM ax x

ME

BB AB AB a



    

  

F N A B 

A C   a 3

10
x
A F 

10
x
NF 

Oxyz OA B D A Ox Oy

Oz A



0; 0; 0



B



3 ; 0; 0a



D



0; ; 0a



A



0; 0;a



; 0;

10 10

x x

M 

 

; ;

10 10
x x
N a

 

2
2

2 2 2

10 10 10 10 10 2 2 2

x x x ax x a a a

MN   a   a      

 

   

MN
2

a 2 10

10 2

x a a

x

  

. ' ' '

'

ABCD A B C D

AB , a AD2 , a AA'3 .a

, ,

M N P BC C D và DD, ' ' '. A



MNP



15
22a

9
11a

3
4a

</div>
(56)<div class='page_container' data-page=56>

Page | 56 – Gv: Lương Văn Huy – Sp: Strong VD VDC

Chọn hệ trục tọa độ với gốc trùng với điểm , tia lần lượt trùng với tia
Khi đó

Suy ra .

Ta có , vectơ pháp tuyến của là:

Suy ra . Vậy

Câu 47: ( Mức độ 3+) Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông cân, ,
. Gọi và lần lượt là trọng tâm của tam giác và tam giác , là tâm
của hình chữ nhật . Thể tích của khối .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Oxyz O B Ox Oy Oz; ;

; ; '.

BA BC BB B



0; 0;0 ;



A a



;0; 0 ;



C



0; 2 ; 0 ;a



D a



; 2 ; 0 ;a



C' 0; 2 ;3



a a



;D a'



; 2 ;3a a





0; ; 0 ;



; 2 ;3

2 2; 2 ;3
a

M a P a a  và Na a a

 



 



; ; ; ; ;3

2 2

a a

MP a a  MN a a

   

 



MNP







2 3 9 1

; ; ; 6; 9; 2

2 4 2 4

a
nMP MNa    

 

  



MNP



:6x9y2z9a0; A a



;0;0











2 2 2

6 9 15

; .

6 9 2

a a a

d A MNP   

 

ABC A B C   AA 2a

AB ACa G G ABC A B C   I

ABB A  A IGCG.

a 3

a 3 5

a 3 5

</div>
(57)<div class='page_container' data-page=57>

Page | 57 – Gv: Lương Văn Huy – Sp: Strong VD VDC

Chọn hệ trục tọa độ thỏa mãn trùng với điểm , các tia , , trùng với các tia
, và .

Suy ra , , , , , , ,

, (vì là trung điểm của và ).

Ta có và . Suy ra và cùng phương.

Do đó bốn điểm , , , đồng phẳng.

Mặt khác

Vì nên mặt phẳng có véc-tơ pháp tuyến .

Vậy phương trình mặt phẳng : .

Suy ra .

Diện tích tứ giác bằng .

Trong đó , ,

Vì nên .

Suy ra .

Thể tích cần tìm bằng .

Oxyz O A Ox Oy Oz

AB AC AA



0;0;0



A B a



;0;0



C



0; ;0a



A



0;0;2a



B a



;0; 2a



C



0; ;2a a



; ; 0
3 3
a a
G 

 

; ; 2
3 3
a a
G a

  2; 0;

a
I a

 

I AB A B

; ;
6 3
a a

IG   a

 

 2

; ; 2
3 3
a a
G C    a

 



IG


G C


I G C G
2
; ; 0
3 3
a a
GC  

 



2 2

4 2

, ; ; 0

3 3

a a

G C GC  

    

 

 

 



IGCG



n 



2;1;0







IGCG



2xya0









d ,

5
4 1

a a

h A IGCG   


IGCG 1



 

.d ,



IGCG

S   IGG C IG G C

41
6
a

IG  41

3
a

G C 









d , d ,

G C GC
IG G C G G C

G C

  

 

   


 



2 2

4 2

, ; ; 0

3 3

a a

G C GC  

     

   

 





d , 2

41
IG G C  a

1

41

5 .2

2

6

3

41

2

IGCG

a

S



a































1 1 5 5

. .d , . .

3 3 2 5

A IGCG IGCG

a

V  S  A IGCG  a 3

a

</div>
(58)<div class='page_container' data-page=58>

Page | 58 – Gv: Lương Văn Huy – Sp: Strong VD VDC 
Cách khác:

Gọi là trung điểm , kẻ vng góc tại 

là hình chữ nhật,

, ,

Câu 48: (Mức độ 3+) Cho hình hộp có đáy là hình vng cạnh a. Mặt phẳng

vng góc với đáy, tam giác vng tại , góc giữa và đáy bằng . Gọi là tâm
của hình vng . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải
Chọn C

Gọi là hình chiếu vng góc của lên cạnh . Vì mặt phẳng vng góc với

nên .

Ta có góc giữa và mặt phẳng là góc

Ta có , ,

Chọn hệ tọa độ như hình vẽ. Khi đó

E , E  AB, A B 

AH

C E

H

CEE C 

2
EE CC' a

2 5

4 2

a a
CEC E  a  
5

3
a

CGC G  5

6
a

GE G E   5

5
E

A .AC a
AH

CE

 

5

1

5

1

5

2

6

2

3

2

IGCG CEE C IEG IE G CG C

a

S





S

 



S



S

 



S

 



a.







a.







. a.











2 3

1 1 5 5

. . . .

3 3 2 5 6

A IGCG IGCG

a a

V  S AH a 

' ' ' '

ABCDA B C D (ABB A' ')

'

A AB

A

'

BA

'

6 0

I

ABCD

IA

'

DB

'

2 55

a

55 a

a 3

2
a

O

A

'

AB

(ABB A' ')

(ABCD) A O' (ABC D)

'

BA

(ABCD)



A BO

'

' .cos 60
2
a

BA AB  0

' .cos 60
4
a

BOA B  ' ' .sin 600 3

4
a
OA A B 

O xyz

G'

I
E'

E H

C'
B'

A'

G C

</div>
(59)<div class='page_container' data-page=59>

Page | 59 – Gv: Lương Văn Huy – Sp: Strong VD VDC

, , ,

Ta có .

Khi đó: .

Ta có: .

Câu 49: (Mức độ 4) Cho hình chóp có đáy là hình vng cạnh , cạnh bên và vng
góc với mặt phẳng đáy. Gọi là trung điểm cạnh . Tang của góc tạo bởi hai mặt phẳng

và bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Để thuận tiện trong việc tính tốn ta chọn .

Trong không gian, gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho gốc trùng với điểm , tia
chứa đoạn thẳng , tia chứa đoạn thẳng , tia chứa đoạn thẳng . Khi đó:

, , , , .

Vì là trung điểm nên tọa độ là .

Ta có .

Gọi là góc giữa hai mặt phẳng và .

Suy ra .

(0; 0; 0 )

O '(0;0; 3)

4
a

A ( ; 0; 0)

4
a

B ( ; ;0), ( 3 ; ;0), '( ;0; 3)

4 2 4 4

a a a a

I  D  a B a





3

7

3 '

;

,

'

;

; ' '

;0;0

4 2

4 a

a a

a

IA













DB









a





A B



a























2 2 2

3 3

3 5

';

'

;

8 a

IA DB







  





 







 

3
3
2
4
3

'; ' . ' ' 8 3 8 3

(A'I; DB') .

8 55 55

3 27 25
'; '

64 64 64
a

IA DB A B a a

d
a
IA DB
a
 
 
   
   
     
 
  
 
.

S ABCD ABCD

a

SA2a

M

SD (AMC)

(S B C)

3
2
2 5
5
2 3
3
5
5
1
a 

O xyz O

A

O x

AB

O y

AD

Oz AS

(0 ; 0 ; 0)

A B(1; 0 ; 0) C(1;1; 0) S(0; 0; 2) D(0;1; 0)

M

SD

M

0; ;11

 

 

 

M

(1; 0; 2)
(0 ;1; 0)

  





SB
BC


 nSBC  [ SB BC ; ] =(2;0;1)

 

0; ;1 1

2 [ ; ] = 1;1;

2
(1;1;0)
  
 
    
  

 
  
 
 

AMC
AM

n AM AC

AC


 






(AMC) (S B C)

   





   

. 5

cos cos ;

3
.



 SBC AMC  SBC AMC 

</div>
(60)<div class='page_container' data-page=60>

Page | 60 – Gv: Lương Văn Huy – Sp: Strong VD VDC

Mặt khác, .

Vậy

Câu 50: (Mức độ 4) Hai quả bóng hình cầu có kích thước khác nhau được đặt ở hai góc của một căn nhà hình
hộp chữ nhật sao cho mỗi quả bóng đều tiếp xúc với hai bức tường và nền của nhà đó. Biết rằng trên
bề mặt của hai quả bóng đều tồn tại một điểm có khoảng cách đến hai bức tường và nền nhà mà nó tiếp
xúc bằng . Tổng độ dài đường kính của hai quả bóng đó là?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải:

Chọn C

Xét 1 quả bóng tại góc nhà

Chọn hệ trục như hình vẽ, ở đó các trục là ba mép tường nhà; là góc nhà.
Tâm của quả bóng là .

Vì mỗi quả bóng đều tiếp xúc với hai bức tường và nền của nhà nên chúng tiếp xúc với ba mặt

phẳng tọa độ, do đó .

Gọi là điểm nằm trên quả bóng có khoảng cách đến hai bức tường và nền nhà mà nó
tiếp xúc bằng , ta suy ra .

Điểm nằm trên quả bóng khi:
2

2 2

1 1

1 tan tan 1

cos cos



    

1 2 5

tan 1 .

5
5

   

 

 

 

1; 2; 4

12

14

a

a
z

y

x

, ,

O x O y O z O



; ;



I a b c







;





;







;





0 d I Oxy



d I Oyz



d I Oxz



R

   

a b c

R





; ;



M x y z

1; 2; 4

M



1;2;4



M



1  

2  

4 

IM



R a

 

a





a





a





a

2a 14a 21 0

   

7 7

2
a

a

 






 

</div>
(61)<div class='page_container' data-page=61>

Page | 61 – Gv: Lương Văn Huy – Sp: Strong VD VDC

Vì hai quả bóng có vai trị và tính chất như nhau nên chúng lần lượt có bán kính là:

Vậy tổng đường kính của hai quả bóng là .

1 2

7 7 7 7

;

2 2

R   R  



1 2



2

14

</div>


Đồ họa trong không gian ba chiều

Các bài toán về tọa độ vector trong không gian

Gián án De+ Dap an chi tiet HSG TOAN 7 0910

VẤN ĐỀ 10 : TOẠ ĐỘ VECTƠ, TOẠ ĐỘ ĐIỂM TRONG KHÔNG GIAN potx

Các bài toán về tọa độ Vectơ trong không gian doc

Báo cáo nghiên cứu khoa học: "BÌNH SAI LƯỚI GPS TRONG HỆ TOẠ ĐỘ VUÔNG GÓC KHÔNG GIAN ĐỊA DIỆN CHÂN TRỜI" pdf

Chuyên đề V: Phương pháp toạ độ trong trong không gian. pdf

De va dap an chi tiet HSG toan 12 Tinh Thanh Hoa

Thi tuyển công chức chuyên ngành Văn hóa - Thừa Thiên Huế 2015 (có đáp án chi tiết )

HỆ THỐNG KIẾN THỨC HÌNH HỌC TỌA ĐỘ TRONG PHẲNG & KHÔNG GIAN

TỌA ĐỘ HÓA HÌNH KHÔNG GIAN (STRONG) - FULL ĐÁP ÁN CHI TIẾT - Sách Toán - Học toán

<i></i>





<sub></sub>

<sub></sub>



 







<i></i>





<sub></sub>

<sub> </sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

















































<i></i>





<sub></sub>

<sub></sub>



 







<i></i>

<i>SAB</i>







































 









