Chuyên đề ôn thi ĐH số 9: Phương pháp tọa độ trong không gian

CHUYÊN ĐỀ 9
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Các bài toán về tọa độ trong không gian thường có các yêu cầu xác đònh tọa độ của điểm,
vectơ, độ dài đoạn thẳng, tính góc 2 vectơ, các vấn đề về mặt phẳng và đường thẳng trong không gian
(phương trình, vò trí tương đối, song song, vuông góc, số đo góc, khoảng cách,… ). Tùy theo từng
trường hợp ta cần lưu ý vận dụng các kiến thức cơ bản sau đây :
I. Toạ độ điểm. Toạ độ vectơ
Trong không gian tọa độ vuông góc Oxyz có 3 vectơ đơn vò trên ba trục Ox, Oy, Oz lần lượt là
, , .
1
e
G G G
JJJJG
G
2
e
3
e
* Cho M(x, y, z) thì
OM
= x. + y.
1
e
2
e
G
+ z.
3
e
G

.
* Cho
a
= (a
1
, a
2
, a
3
) thì
a
= a
1
.
G G
1
e
G
+ a
2
.
2
e
G
+ a
3
.
3
e
G

.
II. Các phép toán trên tọa độ điểm, vectơ
1. Các phép toán trên tọa độ điểm
Cho hai điểm A(x
1
, y
1
, z
1
) và B(x
2
, y
2
, z
2
). Ta có nhóm công thức tính tọa độ vectơ
AB
JJJG
, khoảng
cách giữa hai điểm A, B và tọa độ điểm M là chia đoạn AB theo tỉ số k
≠
1
*
AB
JJJG
= (x
2
– x
1
, y

2
– y
1,
z
2
– z
1
)
* AB
JJJG
=
()()()
22
21 21 21
xx yy zz−+−+−
2

*
(
x =
1
1
xkx
k
−
−
2
, y =
1
1

yky
k
−
−
2
, z =
12
1
zkz
k
−
−
)

2. Các phép toán trên tọa độ vectơ
Cho hai vectơ
a
= (a
1
, a
2
, a
3
), = (b
1
, b
2
, b
3
). Với

G
G
b
α
và
β
là 2 số thực ta có các công thức tính
và công thức quan hệ sau :
a) Công thức tính toán
. +
β
. = (
α
.a
1
+ .b
1
, .a
2
+
α
a
G
G
b
β
α
β
.b
2

,
α
.a +
3
β
.b )
3

a
G
.
b
= a
1
.b
1
+ a
2
.b
2
+ a
3
.b
3

G
)
cos =
n
(

a, b
G
G
11 2 2 33
22222
123123
a.b a.b a.b
aaa.bbb
++
++ ++
2

b) Công thức quan hệ

1
=
a
G
b
G
⇔
11
22
33
ab
ab
ab
=
⎧
⎪

=
⎨
⎪
=
⎩
cùng phương
a
G
b
G
⇔
(
1
1
a
b
=
2
2
a
b
=
3
3
a
b
)
(b
1
, b

2
, b
3
≠
0)

⊥
a
1
.b
1
+ a
2
.b
2
+ a
.
b
= 0
a
G
G
b
⇔
3 3

Chú ý :
Góc hai đường thẳng chéo nhau trong không gian là góc nhọn tạo bởi hai vectơ chỉ phương của
2 đường thẳng đó.
MẶT PHẲNG

I. Phương trình mặt phẳng
1.* Phương trình tham số của mặt phẳng
α
qua M(x
0
, y
0
, z
0
) có cặp vectơ chỉ phương
a
G
= (a
1
,
a
2
, a
3
),

G
= (b
1
, b
2
, b ) viết là :
b
3
t

1
, t
2

01121
0122
01323
xx ta tb
yy ta tb
zz ta tb
=+ +
⎧
⎪
=+ +
⎨
⎪
=+ +
⎩
2
∈
R
2.* Phương trình tổng quát của mặt phẳng
α
là :
Ax + By + Cz + D = 0 với A
2
+ B
2
+ C
2

> 0
Mặt phẳng
α
có : pháp vectơ :
n
G
= (A, B, C)
3.* Phương trình mặt phẳng qua M(x
0
, y
0
, z
0
) và vuông góc với vectơ
n
G
G
G
= (A, B, C) viết là : (x – x
0
)A + (y – y
0
)B + (z – z
0
)C = 0
4.* Phương trình mặt phẳng qua M(x
0
, y
0
, z

0
) và nhận 2 vectơ chỉ phương
a
= (a
1
, a
2
, a )
,
= (b
1
, b
2
, b
3
) viết là
3
b

() () ()
23 31
12
00
23 31
12
0
aa aa
aa
xx yy zz
bb bb

bb
−+ −+ −=
0
.
5.* Phương trình mặt phẳng cắt ba trục tọa độ tại A(a, 0, 0);
B(0, b, 0); C(0, 0, c) với a.b.c
≠
0 viết là :

x
a
+
y
b
+
z
c
= 1
II. Toán trên mặt phẳng
1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Khoảng cách từ M(x
0
, y
0
, z
0
) đến

2
α

: Ax + By + Cz + D = 0 là :
MH =
000
222
AxByCzD
ABC
+++
++

2. Vò trí tương đối giữa hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng
α
,
β
có 2 pháp vectơ lần lượt là
n
G
= (A, B, C),
= (A
1
, B
1
, C
1
)
1
n
G
Vò trí giữa hai mặt phẳng , là vò trí giữa 2 pháp vectơ
α

β
n
G
,
1
n
G
:
//
β
//
α
⇔
n
G
G
G
1
n

α
⊥
β
⇔
n ⊥
1
n
G

cắt

β
khác phương
α
⇔
n
G
1
n
G

ĐƯỜNG THẲNG
I. Phương trình đường thẳng
1.* Phương trình tham số của đường thẳng
Δ
qua
M(x
0
, y
0
, z
0
) có vectơ chỉ phương
a
G
= (a
1
, a
2
, a ) viết là
3

01
0
03
2
x xta
yyta
zz ta
=+
⎧
⎪
=+
⎨
⎪
=+
⎩
,t
∈
R (Hệ I).
Nếu a
1
.a
2
.a
3
≠
0 ta có phương trình chính tắc là:

xx
a

y y
a
zz
a
−
=
−
=
−
0
1
0
2
0
3

2.* Phương trình tổng quát của đường thẳng
Δ
xác đònh bởi giao tuyến 2 mặt phẳng
α
và
β

viết là :

1111
0
0
Ax By Cz D ( )
A xByCzD ()

+++= α
⎧
⎨
+++=
⎩
β
(II)
Ghi chú:
Cho phương trình đường thẳng
Δ
xác đònh bởi hệ (II). Để viết thành phương trình tham
số của đường thẳng ta có thể đặt z = t và tính x, y theo t từ hệ (II) và nhờ hệ (I) ta có được vectơ
chỉ phương và điểm của (hoặc x = t,
Δ
hoặc y = t, nên chọn lựa ẩn phụ t để phép tính hai biến còn lại theo t được đơn giản).
3.*Phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d) :

Ax By Cz D
Ax By Cz D
1111
2222
0
0
+++=
+++=
⎧
⎨
⎩

3

Có dạng : m(A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
) + n(A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
) = 0 (*) với m, n không đồng thời
bằng 0. Phương trình (*) gọi là phương trình của chùm mặt phẳng xác đònh bởi đường thẳng (d).
Chú ý :Nếu m= 0 thì n khác 0, chia hai vế của (*) cho n ta có
(*) thành A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
= 0
Nếu m khác 0 chia hai vế của (*) cho m ta có:
A

1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
+ h (A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
) = 0 với
n
h
m
=
.
Vậy chùm mặt phẳng chứa đường thẳng (d) có dạng:
A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1

+ h (A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
) = 0.
hay A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
= 0.
Vấn đề 1
TÌM PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
¾ Phương pháp
:
Thông thường ta có 3 cách sau :
- Cách 1
: Tìm một điểm và một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng.
- Cách 2 : Tìm một điểm và một pháp vectơ của mặt phẳng.
- Cách 3 : Dùng phương trình chùm mặt phẳng.

Vấn đề 2 :
TÌM PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

¾ Phương pháp :
Thông thường ta có 2 cách sau :
- Cách 1 : Tìm một điểm và một vectơ chỉ phương của đường thẳng.
- Cách 2 : Tìm phương trình tổng quát của 2 mặt phẳng phân biệt cùng chứa đường thẳng cần tìm.
- Ghi chú : Trong 2 cách, thực chất của việc tìm phương trình đường thẳng là tìm phương trình 2 mặt
phẳng cùng chứa đường thẳng ấy. Cái khó là phải xác đònh được 2 mặt phẳng phân biệt nào cùng
chứa đường thẳng cần tìm. Thông thường ta hay gặp 3 giả thuyết sau :
+ Đường thẳng (
Δ
) đi qua điểm A và cắt đường thẳng d : Khi đó đường thẳng (
Δ
) nằm trong mặt
phẳng đi qua A và chứa d.
+ Đường thẳng (
Δ
) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d : Khi đó đường thẳng (
Δ
) nằm
trong mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d.
+ Đường thẳng (
Δ
) song song với d
1
và cắt d
2
: Khi đó đường thẳng (
Δ
) nằm trong mặt phẳng chứa d
2

và song song với d
1
.
Chẳng hạn :
1. Lập phương trình đường thẳng (
Δ
) đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng a và cắt đường thẳng
ấy.
ª Cách giải :
- (
Δ
) đi qua A và vuông góc với d nên (
Δ
) nằm trong mặt phẳng
α
đi qua A và vuông góc với d.
- (
Δ
) đi qua A và cắt d nên (
Δ
) nằm trong mặt phẳng
β
đi qua A và chứa d. Khi đó (
Δ
) chính là giao
tuyến của
α
và
β

.
2. Lập phương trình đường thẳng (
Δ
) đi qua điểm A và cắt cả hai đường thẳng d
1
và d
2
.
ª Cách giải :
- (
Δ
) đi qua A và cắt d
1
nên (
Δ
) nằm trong mặt phẳng
α
đi qua A và chứa d
1
.

4
- (
Δ
) đi qua A và cắt d
2
nên (
Δ
) nằm trong mặt phẳng
β

đi qua A và chứa d
2
.
Khi đó (
Δ
) chính là giao tuyến của
α
và
β
.
3. Lập phương trình đường thẳng (
Δ
) đi qua giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng
α
, vuông
góc với d và nằm trong
α
.
ª Cách giải :
- Từ giả thuyết ta đã có (
Δ
)
⊂

α
.
- (
Δ
) qua A và vuông góc với d nên (
Δ

) nằm trong mặt phẳng
β
đi qua A và vuông góc với d.
Khi đó (
Δ
) chính là giao tuyến của
α
và
β
.
4. Lập phương trình đường thẳng (
Δ
) song song với đường thẳng (D) và cắt 2 đường thẳng d
1
và d
2
.
ª Cách giải :
- (
Δ
) song song với (D) và cắt d
1
nên (
Δ
) nằm trong mặt phẳng
α
chứa d
1
và song song với (D).
- (

Δ
) song song với (D) và cắt d
2
nên (
Δ
) nằm trong mặt phẳng
β
chứa d
2
và song song với (D).
Khi đó (
Δ
) chính là giao tuyến của
α
và
β
.


Vấn đề 3
HÌNH CHIẾU

Bài toán 1 : Tìm hình chiếu vuông góc H của điểm A trên đường thẳng (d)
¾ Phương pháp :

(d)

A

H

- Cách 1 : (d) cho bởi phương trình tham số :
+ H
∈
(d) suy ra dạng tọa độ của điểm H phụ thuộc vào tham số t.
+ Tìm tham số t nhờ điều kiện
⊥
a

AH
→
d
→
- Cách 2
: (d) cho bởi phương trình chính tắc, gọi H(x, y, z)
+
AH
→
⊥
a
(*)
d
→
+ H
∈

(d) : Biến đổi tỉ lệ thức này để dùng điều kiện (*), từ đó tìm được x, y, z.
- Cách 3
: (d) cho bởi phương trình tổng quát :
+ Tìm phương trình mặt phẳng
α
đi qua A và vuông góc với đường thẳng (d).
+ Giao điểm của (d) và (
α
) chính là hình chiếu H của A trên (d).
Bài toán 2 : Tìm hình chiếu vuông góc H của điểm A trên mặt phẳng (
α
)
- Cách 1 : Gọi H(x, y, z)
+ H
∈

α
(*)
+
AH
→
cùng phương với : Biến đổi tỉ lệ thức này để dùng điều kiện (*), từ đó tìm được x, y, z.
n
α
→
- Cách 2
:
+ Tìm phương trình đường thẳng (d) đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (
α
).

+ Giao điểm của (d) và (
α
) chính là hình chiếu H của A trên mặt phẳng (
α
).

5
Bài toán 3 : Tìm hình chiếu vuông góc (
Δ
) của đường thẳng (d) xuống mặt phẳng
α
.
- Tìm phương trình mặt phẳng
β
chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng
α
.
- Hình chiếu (
Δ
) của d xuống mặt phẳng
α
chính là giao tuyến của
α
và
β
.
Bài toán 4 : Tìm hình chiếu H của A theo phương đường thẳng (d) lên mặt phẳng (
α
).
¾ Phương pháp :

- Tìm phương trình đường thẳng (
Δ
) đi qua A và song song với (d).
- Hình chiếu H chính là giao điểm của (
Δ
) và (
α
).
Bài toán 5 : Tìm hình chiếu (
Δ
) của đường thẳng (d) theo phương của đường thẳng (D) lên mặt
phẳng (
α
).
(Δ)
A

H
(d)

¾ Phương pháp :
(D)
d

(Δ)

- Tìm phương trình mặt phẳng (
β
) chứa (d) và song song với (D)
- Hình chiếu (
Δ
) chính là giao tuyến của (
α
) và (
β
)

Vấn đề4
ĐỐI XỨNG

Bài toán 1 : Tìm điểm A’ đối xứng với A qua đường thẳng d.
¾ Phương pháp :
- Tìm hình chiếu H của A trên d.
- H là trung điểm AA’.
Bài toán 2 : Tìm điểm A’ đối xứng với A qua mặt phẳng
α
.
¾ Phương pháp
:
- Tìm hình chiếu H của A trên
α
.
- H là trung điểm AA’.
Bài toán 3 : Tìm phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng (D) qua đường thẳng (

Δ
)
¾ Phương pháp :
- Trường hợp 1 : (
Δ
) và (D) cắt nhau :

+ Tìm giao điểm M của (D) và (
Δ
).
(D)
d
(
Δ)
M

A





A’






+ Tìm một điểm A trên (D) khác với điểm M.

+ Tìm điểm A’ đối xứng với A qua (
Δ
)
+ d chính là đường thẳng đi qua 2 điểm A’ và M.

6
- Trường hợp 2 : (
Δ
) và (D) song song :
+ Tìm một điểm A trên (D)
+ Tìm điểm A’ đối xứng với A qua (
Δ
)
+ d chính là đường thẳng qua A’ và song song với (
Δ
)
- Trường hợp 3 : (
Δ
) và (D) chéo nhau :
+ Tìm 2 điểm phân biệt A, B trên (D)
+ Tìm điểm A’, B’ lần lượt là điểm đối xứng của A, B qua (
Δ
)
+ d chính là đường thẳng đi qua 2 điểm A’, B’.
Bài toán 4 : Tìm phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng (D) qua mặt phẳng
α
.
¾ Phương pháp :
- Trường hợp 1 : (D) cắt
α

+ Tìm giao điểm M của (D) và (
α
)
+ Tìm một điểm A trên (D)
+ Tìm điểm A’ đối xứng với A qua mặt phẳng
α
.
+ d chính là đường thẳng đi qua hai điểm A’ và M .
- Trường hợp 2 : (D) song song với
α
.




A







A’
d
(D)

- Tìm một điểm A trên (D)
- Tìm điểm A’ đối xứng với A qua mặt phẳng
α
.
- d chính là đường thẳng qua A’ và song song với (D)

Vấn đề 5
KHOẢNG CÁCH

Bài toán 1
: Tính khoảng cách từ điểm M(x
0
, y
0
, z
0
) đến mặt phẳng
α
:
Ax + By + Cz + D = 0
¾ Phương pháp :
dM
Ax By Cz D
ABC
(,)α=
+++

++
000
222

Bài toán 2 : Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng (
Δ
)
¾ Phương pháp :
- Tìm hình chiếu H của M trên (
Δ
)
- Khoảng cách từ M đến (
Δ
) chính là độ dài đoạn MH.
Bài toán 3
: Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song d
1
và d
2
.
¾ Phương pháp
:

7