các dạng bt hhkg

các dạng bài tập hình không gian và phơng pháp giải
A/ Chứng minh:
1. Điểm thuộc đờng thẳng, điểm thuộc mặt phẳng, đờng thẳng thuộc mặt phẳng,
đờng thẳng chéo nhau.
Phơng pháp: Sử dụng các tiên đề về xét vị trí tơng đối của các điểm, đờng thẳng,
mặt phẳng và một số tính chất của các quan hệ song song, vuông góc.
Ví dụ: Chứng minh đờng thẳng a nằm trong mặt phẳng (P) thì ta có thể chứng
minh bằng cách:
- Trên a có 2 điểm A, B (P) a (P).
- Hoặc a // (P) và có A a: A(P) a (P)
VD1: Cho mặt phẳng (P) xác định bởi đờng thẳng a và một điểm A không thuộc
a. Gọi a là đờng thẳng qua điểm A và song song với a. Lấy một điểm M trên a và
một điểm B nằm ngoài mặt phẳng (P).
a) Chứng minh điểm M thuộc mặt phẳng (P).
b) Chứng minh đờng thẳng a thuộc mặt phẳng (P).
c) Chứng minh a và MB chéo nhau.
Giải:
a. Điểm M a (P) Vậy M (P).
b.a//a nên qua a và a xác định duy nhất 1 mặt phẳng.
Qua a và A cũng xác định duy nhất 1 mặt phẳng. Hai mặt phẳng này trùng
nhau và trùng với mặt phẳng (P).
c.Giả sử a và BM đồng phẳng. Khi đó B mặt phẳng chứa a và M. Vậy B
(P). Điều này trái với giả thiết B (P).
Vậy a và BM chéo nhau.
2. Các điểm thẳng hàng, đờng thẳng đi qua điểm cố định, 3 đờng thẳng đồng
quy.
a. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng: Chứng minh 3 điểm đó cùng
thuộc 2 mặt phẳng phân biệt. Khi đó 3 điểm đã cho sẽ nằm trên
giao tuyến của 2 mặt phẳng đó. Vì vậy chúng thẳng hàng.
VD2: Cho hình chóp S.ABC. Một mặt phẳng (P) cắt các cạnh SA, SB, SC lần l-
ợt tại A, B, C sao cho BC BC = D, CA CA = E, AB AB = F. Chứng

minh 3 điểm D, E, F thẳng hàng.
Giải:
Ta có
)'''()(
)'''(
)(
''
'' CBAABCD
CBAD
ABCD
CBD
BCD
CBBCD













Tơng tự ta cũng có E, F (ABC) (ABC)
Vậy E, F, D cùng thuộc giao tuyến của 2 mặt phẳng (ABC) và (ABC). Do đó D, E,
F thẳng hàng.

b. Chứng minh 3 đờng thẳng đồng quy: Ta chứng minh 2 trong 3
đờng thẳng đó cắt nhau và giao điểm của 2 đờng thẳng đó nằm
trên đờng thẳng còn lại.
VD3: Cho hình chóp S. ABCD. Gọi I, K là hai điểm cố định trên SA và SC với
SI = 2IA và SK = KC/3. Một mặt phẳng (P) quay quanh IK cắt SB tại M và SD tại N.
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng 3 đờng thẳng IK, MN, SO đồng
quy.
Giải:
Gọi L = IK MN ta có L IK (SAC) và L MN (SBD).
Vậy L (SAC)(SBD).
Mà SO = (SAC)(SBD) nên L SO.
Vậy IK, MN, SO đồng quy tại L.
3. Đờng thẳng song song với đờng thẳng, đờng thẳng song song với mặt phẳng, 2
mặt phẳng song song, đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng, đờng thẳng
vuông góc với mặt phẳng, mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng.
a. Chứng minh đờng thẳng song song với đờng thẳng: Để chứng
minh hai đờng thẳng a và b song song ta có các cách sau:
- Chứng minh a và b cùng nằm trên 1 mặt phẳng và chúng không có điểm
chung.
- áp dụng định lý về giao tuyến của 3 mặt phẳng
- Chứng minh a và b cùng song song với một đờng thẳng thứ ba.
- Chứng minh a nằm trên 2 mặt phẳng phân biệt cùng song song với b.
- Chứng minh a và b là 2 giao tuyến của 1 mặt phẳng cắt 2 mặt phẳng
phân biệt song song với nhau.
- Chứng minh 2 đờng thẳng cùng vuông góc với 1 mặt phẳng hoặc lần lợt
vuông góc với 2 mặt phẳng song song.
b. Chứng minh đờng thẳng song song với mặt phẳng: để chứng minh đờng
thẳng song song với mặt phẳng ta có các cách chứng minh sau đây:
- Chứng minh đờng thẳng và mặt phẳng không có điểm chung.
- Chứng minh đờng thẳng đó song song với 1 đờng thẳng nằm trong mặt

phẳng.
- Chứng minh đờng thẳng nằm trong một mặt phẳng song song với mặt
phẳng kia.
- Chứng minh đờng thẳng và mặt phẳng cùng vuông góc với 1 đờng
thẳng.
c. Chứng minh 2 mặt phẳng song song: Để chứng minh hai mặt phẳng song
song ta có các cách sau:
- Chứng minh 2 mặt phẳng đó không có điểm chung
- Chứng minh 2 mặt phẳng cùng song song với 1 mặt phẳng thứ ba.
- Chứng minh 1 mặt phẳng chứa 2 đờng thẳng cắt nhau cùng song song
với mặt phẳng kia.

- Chứng minh 2 mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với 1 đờng thẳng.
d. Chứng minh 2 đờng thẳng vuông góc với nhau:
- Chứng minh góc giữa 2 đờng thẳng đó bằng 90
0
.
- Chứng minh đờng thẳng này nằm trong 1 mặt phẳng vuông góc với đ-
ờng kia.
- áp dụng định lý 3 đờng vuông góc.
e. Chứng minh đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng:
- Chứng minh đờng thẳng vuông góc với 2 đờng thẳng cắt nhau trong mặt
phẳng đó.
- Chứng minh đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng song song với mặt
phẳng đã cho.
- Chứng minh đờng thẳng song song với 1 đờng thẳng vuông góc với mặt
phẳng đã cho.
- Chứng minh đờng thẳng nằm trong 1 mặt phẳng vuông góc với mặt
phẳng đã cho và vuông góc với giao tuyến của 2 mặt phẳng đó.
- Chứng minh đờng thẳng là giao tuyến của 2 mặt phẳng cùng vuông góc

với mặt phẳng đã cho.
f. Chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc:
- Chứng minh mặt phẳng này chứa 1 đờng thẳng vuông góc với mặt
phẳng kia.
VD4: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N,
P, Q, R lần lợt là trung điểm của SA, SD, AB, ON, SB.
a) chứng minh: (OMN) // (SBC).
b) Chứng minh: PQ // (SBC).
c) Chứng minh: (MOR) // (SCD).
Giải:
a)OM là đờng trung bình của tam giác SAC nên OM //SC.
ON là đờng trung bình của tam giác SBD nên ON // SB
Vậy (OMN) // (SBC).
b)Vì Q ON (OMN) mà OP // MN nên P (OMN). Vậy MN (OMN).
Mà (OMN) // (SBC) nên PQ // (SBC).
c)Ta có MR // AB nên MR //DC
Lại có OR // SD
Vậy (MOR) // (SCD).
VD5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và SA vuông
góc với (ABCD). Gọi H, I, K lần lợt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên SB, SC,
SC.
a) Chứng minh:
)(),(),( SACBDSADCDSABCB

b) Chứng minh:
SCAHK

)(
, AI (AHK).
c) Chứng minh:

HKSAC

)(
từ đó suy ra
AIHK

.
Giải:

a) Vì ABCD là hình vuông nên
ABBC

Mà
BCSASAABCD

)(
Vậy
BCSAB

)(
.
Chứng minh tơng tự ta cũng có
)(),( SACBDSADCD

.
b) Ta có
AHBCSABAHSABCB

)(),(
Lại có

)(SBCAHAHSB

mà
AHSCSBCSC

)(
Lập luận tơng tự ta chứng minh đợc
AKSC

.
Hai đờng thẳng AH, AK cắt nhau và cùng vuông góc với SC nên chúng nằm trong
mặt phẳng qua A và vuông góc với SC. Vậy
SCAHK

)(
.
Rõ ràng AI (AHK).
c)Ta có
SDSBcgcSADSAB
ADSA
ABSA
SAABCD
==






)..()(

Vậy HK // BD. Vì
)(SACBD

nên
)(SACHK

Mà AI (AHK) nên
AIHK

.
VD6: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết rằng SA =
SC, SB = SD. Chứng minh SO mp (ABCD).
Giải:
Có O là trung điểm của AC và BD
SA = SC SAC cân tại O.
SO AC (1)
Tơng tự ta có SO BD (2)
Từ (1), (2) SO (ABCD)
Vậy bài toán đã đợc chứng minh.
VD7: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình bình hành. M, N trung điểm SA,
SB, K SC.
a) Tìm giao tuyến của (SAB) và (SCD), (SAC) và (SBD)
b) MN song song với những mặt phẳng nào ?
c) Tìm giao điểm của (MNK) và SD?
d) Nếu K là trung điểm SC thì (MNK) song song với mặt phẳng nào?

A
B
C
D

O
S
a)* AB (SAB)
CD (SCD) Sx là giao tuyến của (SAB) và (SCD)
AB // CD (tính chất hbh) với Sx // AB // CD
S (SAB) (SCD)
* AC BD = 0
O AC (SAC) O (SAC) (SBD) vì S (SAC) (SBD)
O BD (SBD)
Vậy SO = (SAC) (SBD)
b) * SAB: M là trung điểm SA và N là trung điểm SB MN là đờng trung
bình của SAB MN // AB vì AB // CD MN // CD
* MN // AB (CMT) và AB (ABCD) MN // (ABCD)
* MN // CD (CMT) và CD (SCD) MN // (SCD)
c) * Trong (SAC): SO MK = I
* Trong (SBD): NI SD = Q
* SD (SBD)
(SBD) (MNK) = NI Q = (MNK) SD
mà NI SD = Q
d) Nếu K là trung điểm SD, mà N là trung điểm SB KN là đờng trung bình
SBC KN // BC
* KN MN = N
KN, MN (MNK) (MNK) // (ABCD)
KN // BC, BC (ABCD) KN // (SABCD)
Mà MN // (ABCD)
4. Các tính chất đặc biệt khác: mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp, mặt phẳng trung trực.

A
B
C

D
M
N
Q
K
I
O
S
x
a. Để chứng minh một hình chóp nội tiếp đợc trong một mặt cầu
ta chứng minh hình chóp đó có đáy nội tiếp đợc trong một đ-
ờng tròn.
VD8: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Chứng
minh rằng hình chóp đó có mặt cầu ngoại tiếp.
Giải:
Theo giả thiết hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng nhau nên đó là
hình chóp đều. Vậy đáy ABCD là hình vuông nội tiếp đợc trong một đờng
tròn. Do đó hình chóp S.ABCD có mặt cầu ngoại tiếp.
b. Để chứng minh một hình lăng trụ nội tiếp đợc trong một mặt
cầu ta chứng minh lăng trụ đó là lăng trụ đứng và đáy của lăng
trụ nội tiếp đợc trong một đờng tròn.
c. Để chứng minh một hình chóp có hình cầu nội tiếp ta chứng
minh trên mặt đáy có một điểm M cách đều tất cả các mặt bên
của hình chóp. Khi đó tâm cầu nội tiếp nằm trên đoạn nối đỉnh
hình chóp và điểm M.
VD9: Trong mặt phẳng (P) cho hình thang cân ABCD có đáy là AB và CD
trong đó CD = 4AB và ngoại tiếp đờng tròn tâm O bán kính R. Trên đờng
thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) tại O ta lấy điểm S sao cho OS = 2R.
Chứng minh điểm O cách đều bốn mặt bên của hình chóp. Từ đó suy ra hình
chóp có mặt cầu nội tiếp.

Giải:
Khoảng cách từ O đến bốn mặt bên chính là độ dài của bốn đờng cao xuất phát
từ O của bốn tam giác vuông bằng nhau là SOM, SON, SOP, SOQ. Từ đó ta có
O cách đều bốn mặt bên của hình chóp. Do đó hình chóp đã cho có mặt cầu
nội tiếp.
d. Để chứng minh họ các điểm nào đó cùng thuộc một mặt cầu ta
chứng minh khoảng cách từ các điểm đó đến 1 điểm cố định là
bằng nhau. Hoặc chứng minh các điểm đó cùng nhìn đoạn AB
dới 1 góc 90
0
.
VD10: Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD tâm O có cạnh bằng a.
Trên đờng thẳng Ax vuông góc với (P) ta lấy điểm S tuỳ ý và dựng mặt phẳng
(Q) đi qua A và vuông góc với SC. Mặt phẳng (Q) cắt SB, SC, SD lần lợt tại B,
C, D. Chứng minh khi S di động trên Ax bảy điểm A, B, C, D, B, C, D
luôn luôn thuộc mặt cầu cố định. Xác định tâm và bán kính mặt cầu đó.
Giải:
Ta có:
')( ABBCSABBC
ASBC
ABBC






Ta lại có
SCAB

'
vì AB (Q) mà
SCQ

)(
.
Do đó
CBABSBCAB '')('

.
Tơng tự chứng minh đợc
CDAD ''

.
Vậy ta có:
0
90''
====
ADCCACCABABC
.