sách tham khảo miễn phísach tham khao mien phitài liệu tham khảo thcssách tham khảo thcs

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>CHUYÊN Đ 4:Ề</b> <b> 15 BÀI TOÁN CH N L C TH C T NG D NG ĐỌ</b> <b>Ọ</b> <b>Ự</b> <b>Ế Ứ</b> <b>Ụ</b> <b>ƯỜNG TRỊN</b>
<b>(CĨ BÀI GI I CHI TI T)Ả</b> <b>Ế</b>

<b>Bài 1:</b>Ở các nước x l nh, vào mùa Đông thứ ạ ường có tuy t r i dày đ c kh p các con đế ơ ặ ắ ường, tr em t i đâyẻ ạ
r t thích đ p hình d ng c a ngấ ắ ạ ủ ười tuy t. Có th xem ph n thân dế ể ầ ưới và thân trên c a ngủ ười tuy t là haiế
hình c u ti p xúc nhau. Em hãy tính kích thầ ế ước c a hai viên tuy t c n đ p đ đủ ế ầ ắ ể ược m t ngộ ười tuy t caoế
1,8m bi t r ng đế ằ ường kính c a ph n thân dủ ầ ưới ph i g p đơi đả ấ ường kính c a ph n thân trên ngủ ầ ười tuy t. ế

<b>Bài gi i:ả</b>

 Hình vẽ minh h a bài tốn:ọ

 Ta có: 1,8m = 180cm

 G i r (cm) là bán kính c a đọ ủ ường trịn nhỏ

⇒ _Đ_ườ_{ng kính c a đ}_ủ _ườ_{ng tròn nh là 2r (cm) (r > 0)}_ỏ
⇒ _Đ_ườ_{ng kính c a đ}_ủ _ườ_{ng tròn l n là: 2.2r = 4r (cm)}_ớ
 Ta có: 2r + 4r = 180 (vì (O) ti p xúc v i (O’)) ế ớ

⇔6r=180⇔r =30cm

 V y đ đ p ngậ ể ắ ười tuy t có chi u cao là 1,8m thì ta c n đ p hai qu c u tuy t có đế ề ầ ắ ả ầ ế ường kính l nầ

lượt là 60cm và 120cm.

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>Bài gi i:ả</b>

 Hình vẽ minh h a bài tốn: ọ

 Ta có: CO = CE + EO = 36000 + 6400 = 42400km

 Xét ∆COA vng t i A (vì CA là ti p tuy n c a (O) nên CA ạ ế ế ủ ¿ OA)

⇒CO2=CA2+OA2 _{(đ nh lí Pytago)}_ị
⇒CA2=CO2−OA2=424002−64002

⇒

CA=

√

42400

2

−6400

2

≈41914,2km

 V y v trí xa nh t trên Trái Đ t có th nh n tín hi u c a v tinh cách v tinh kho ng 41914,2kmậ ị ấ ấ ể ậ ệ ủ ệ ệ ả
<b>Bài 3: Khí c u là m t túi đ ng khơng khí nóng, th</b>ầ ộ ự ường có kh i lố ượng riêng nh h n khơng khí xung quanhỏ ơ
và nh vào l c đ y Ác-si-mét có th bay lên cao. Gi s có th xem khinh khí c u là m t kh i c u và các dâyờ ự ẩ ể ả ử ể ầ ộ ố ầ
n i sẽ ti p xúc v i kh i c u này. Hãy tính chi u dài c a các dây n i đ kho ng cách t bu ng lái đ n đi mố ế ớ ố ầ ề ủ ố ể ả ừ ồ ế ể
th p nh t c a khí c u là 8m. Bi t r ng bán kính c a kh i c u này là 10m. ấ ấ ủ ầ ế ằ ủ ố ầ

<b>Bài gi i:ả</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

 Ta có: OB = OC = OD = R = 10m
⇒ _{OA = AD + DO = 8 + 10 = 18m}

 Xét ∆ABO vuông t i B (vì AB là ti p tuy n c a (O))ạ ế ế ủ

⇒OA2=OB2+AB2 _{(đ nh lí Pytago)}_ị
⇒AB2=OA2−OB2=182−102=224

⇒

AB=

√

224=4

√

14≈15m

 V y chi u dài c a các dây n i th a yêu c u bài toán là 15m.ậ ề ủ ố ỏ ầ

<b>Bài 4:</b> Người ta mu n xây d ng m t cây c u b c qua m t h nố ự ộ ầ ắ ộ ồ ước hình trịn có bán kính 2km. Hãy tính
chi u dài c a cây c u đ kho ng cách t cây c u đ n tâm c a h nề ủ ầ ể ả ừ ầ ế ủ ồ ước là 1732m.

<b>Bài gi i:ả</b> <b> </b>

 Hình vẽ minh h a bài toán: ọ

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

 G i H là trung đi m c a AB, dây AB không qua tâm O ọ ể ủ

⇒ _OH ¿ _{AB t i H (liên h gi a đ}_ạ _{ệ ữ} _ườ_{ng kính và dây cung)}
⇒ _{OH = 1732m = 1,732km (gt)}

 Xét ∆OHA vuông t i H ạ

⇒OA2=OH2+AH2 _{(đ nh lý Pytago)}_ị

⇒

AH

2

=OA

2

−OH

2

=2

2

−

(

1,732

)

2

⇒

AH=

√

2

2

−

(

1,732

)

2

≈1km

 Ta có: AB=2AH=2. 1=2km (vì H là trung đi m c a AB)ể ủ
 V y chi u dài c a cây c u là kho ng 2km. ậ ề ủ ầ ả

<b>Bài 5: M t bánh xe có d ng hình trịn bán kính 20cm lăn đ n b c t</b>ộ ạ ế ứ ường h p v i m t đ t m t góc 60ợ ớ ặ ấ ộ 0_{. Hãy}

tính kho ng cách ng n nh t t tâm bánh xe đ n góc tả ắ ấ ừ ế ường.

<b>Bài gi i:ả</b> <b> </b>

 Khi bánh xe ch m t i b c tạ ớ ứ ường thì khơng th di chuy n vào thêm để ể ược n a. Đi u này có nghĩaữ ề

kho ng cách c a tâm bánh xe đ n góc tả ủ ế ường ng n nh t là khi bánh xe ti p xúc v i b c tắ ấ ế ớ ứ ường và m tặ
đ t. ấ

 Hình vẽ minh h a bài tốn:ọ

 Ta có: OB = OC = 20cm (gt)

<i>B ^A C=60</i>

0 _(gt)
<i>O ^A B=</i>1

2<i>B ^A C=</i>
1
2.60

0₌₃₀0

(tính ch t hai ti p tuy n c t nhau) ấ ế ế ắ

 Xét ∆OAB vuông t i B (vì AB ti p tuy n c a (O) nên AB ạ ế ế ủ ¿ _OB)
⇒sinB { ^AO=OB

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

⇒OA=OB

<i>sinB { ^A</i> <i>O=</i>
20

sin300=40cm¿

 V y kho ng cách ng n nh t t tâm bánh xe đ n góc tậ ả ắ ấ ừ ế ường là 40cm.

<b>Bài 6: Đ</b>ường h m vầ ượt eo bi n Măng-s n i hai nể ơ ố ước Anh và Pháp có chi u dài kho ng 51km. Gi s r ngề ả ả ử ằ
v trí hai đ u đị ầ ường h m thu c Anh và Pháp n m trên cùng m t kinh tuy n b m t Trái Đ t (Trái Đ tầ ộ ằ ộ ế ở ề ặ ấ ấ
được xem nh m t hình c u có bán kính 6400km). Hãy tính đ sâu nh t c a đư ộ ầ ộ ấ ủ ường h m so v i b m t Tráiầ ớ ề ặ

Đ t. ấ

<b>Bài gi i:ả</b>

 Hình vẽ minh h a bài tốn:ọ

 Ta có: AP = 51km, OP = 6400km (gt)
 K OH ẻ ¿ AP t i C ạ

⇒ _{C là trung đi m c a AP (liên h gi a đ}_ể _ủ _{ệ ữ} _ườ_{ng kính và dây cung)}

⇒PC=CA=AP
2 =

51

2 =25,5km

 Xét ∆OCP vng t i C ạ

⇒<i>sinP { ^OC=</i>PC
OP=

25,5

6400=0,398¿ _{(t s l}_{ỉ ố ượ}_{ng giác c a góc nh n)}_ủ _ọ

⇒

<i>P ^OC≈23</i>

0

30'

 Và:

<i>cosP { ^OC=</i>OC

OP ¿ _{(t s l}_{ỉ ố ượ}_{ng giác c a góc nh n)}_ủ _ọ
⇒OC=OP. cosPOC=6400. cos23030'≈5869km

⇒

CH=OH−OC=6400−5864=53,1km

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<b>Bài 7: M t qu c u g có bán kính là R = 5cm đ</b>ộ ả ầ ỗ ược đ t trên m t cái đ b ng g có d ng là m t n a m tặ ộ ế ằ ỗ ạ ộ ử ặ

c u bán kính b ng ầ ằ

<i>R</i>

2 _{. Hãy tính kho ng cách t m t đ t đ n đi m cao nh t c a m t c u g .}_ả _{ừ ặ ấ ế} _ể _{ấ ủ} _{ặ ầ} _ỗ

<b>Bài gi i:ả</b>

 Hình vẽ minh h a bài toán: ọ

 G i H là trung đi m c a AB và dây AB không qua tâm O ọ ể ủ
⇒ _OH ¿ _{AB (liên h gi a đ}_{ệ ữ} _ườ_{ng kính và dây cung)}

 Ta có:

AB=2 .<i>R</i>

2=<i>R</i> _{(vì AB là đ}_ườ_{ng kính)}

 Xét ∆OAB có: OA = OB = AB = R

⇒ _{∆OAB đ u}_ề

⇒

<i>O ^A B=60</i>

0 _hay

<i>O ^A H =60</i>

0
 Xét ∆AHO vuông t i H ạ

⇒cosO { ^A H =OH

OA¿ _{(t s l}_{ỉ ố ượ}_{ng giác góc nh n)}_ọ

⇒OH=OA .cosO { ^A H =R.cos60

0

=

<i>R.</i>

√

3

2

¿

⇒<i>ED=OE+OH+HD=R+R</i>

√

3
2 +

<i>R</i>
2=

<i>R</i>

(

3+

√

3

)

2 =

5

(

3+

√

3

)

2 ≈11,83cm

 V y chi u cao c a qu c u g là 11,83cm. ậ ề ủ ả ầ ỗ

<b>Bài 8: Dây Cu-roa là m t trong nh ng b truy n đ</b>ộ ữ ộ ề ượ ử ục s d ng r ng rãi trong công nghi p. Chi u dài dâyộ ệ ề
cu-roa được xác đ nh theo công th c: ị ứ

<i>L=2a +π</i>

(

<i>d</i>1+<i>d</i>2

)

2 +

(

<i>d</i>2−<i>d</i>1

)

2

4a
Trong đó:

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

a: Kho ng cách tâm c a 2 pu-ly. ả ủ

<i>d</i>₁ _{: Đ}_ườ_{ng kính c a pu-ly 1 (hình trịn nh màu vàng)}_ủ _ỏ
<i>d</i>₂ _{: Đ}_ườ_{ng kính c a pu-ly 2 (hình trịn l n màu vàng)}_ủ _ớ

Cho <i>d</i>1=10cm,d2=20cm,a=60cm

a) Tính chi u dài c a dây cu-roa. ề ủ

b) G i AB là chi u dài m t đo n dây cu-roa, trong đó A, B l n lọ ề ộ ạ ầ ượt là ti p đi m trên c a dây cu-roaế ể ủ
v i 2 đớ ường tròn t o b i m t c t c a 2 pu-ly. Tính AB. ạ ở ặ ắ ủ

<b>Bài gi i:ả</b>

a) Thay d1 = 10, d2 = 20, a = 60 vào công th c ứ

<i>L=2a +π</i>

(

<i>d</i>1+<i>d</i>2

)

2 +

(

<i>d</i>2−<i>d</i>1

)

2

4a _{, ta đ}_ượ_c:

<i>L=2 .6 +π</i>

(

10+20

)

2 +

(

20−10

)

2

4 . 6 =

1445+180π

12 ≈68094cm

b) Hình vẽ minh h a bài tốn: ọ

 Vẽ O’C vng góc v i OB (C thu c OB) ớ ộ

 Xét t giác CABO’ có: ứ

<i>C= ^A= ^B=90</i>

^

0 (vì AB là ti p tuy n chung c a (O), (O’) và O’C ế ế ủ ¿ _OB)
⇒ _{T giác O’ABC là hình ch nh t}_ứ _ữ _ậ

⇒ _{AC = BO’}

⇒ _{OC = OA – AC = OA – O’B = R – r = 20 – 10 = 10cm}
 Xét ∆OCO’ vuông t i C ạ

⇒OO'2=OC2+O'C2 _{(đ nh lý Pytago)}_ị
⇒O'C2=OO'2−OC2=602−102=3500

⇒

O'C=

_√

3500=10

_√

35 cm

⇒

AB=O'C=10

_√

35 cm

_{(vì O’ABC là hình ch nh t)}_ữ _ậ

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

đ u t là kho ng h n 300 tri u USD. Vi t Nam đã ti n hành đàm phán v i 27 qu c gia và vùng lãnh th đầ ư ả ơ ệ ệ ế ớ ố ổ ể
có được v trí 132 đ Đông trên quỹ đ o đ a tĩnh. ị ộ ạ ị

Hãy tìm kho ng cách t v tinh Vinasat-1 đ n m t đ t. Bi t r ng khi v tinh phát tín hi u vô tuy n đ nả ừ ệ ế ặ ấ ế ằ ệ ệ ế ế
m t đi m xa nh t trên m t đ t thì t lúc phát tín hi u đ n m t đ t cho đ n lúc v tinh thu l i độ ể ấ ặ ấ ừ ệ ế ặ ấ ế ệ ạ ược tín
hi u ph n h i m t kho ng th i gian là 0,28s. Trái đ t đệ ả ồ ấ ả ờ ấ ược xem nh m t hình c u có bán kính kho ngư ộ ầ ả
6400km. (ghi k t qu g n đúng chính xác đ n hàng đ n v ), gi s v n t c sóng vơ tuy n là 3.10ế ả ầ ế ơ ị ả ử ậ ố ế 8_m/s.

<b>Bài gi i:ả</b>

 Hình vẽ minh h a bài toán:ọ

 Do th i gian t lúc truy n tín hi u đ n lúc nh n l i tín hi u là 0,28s, nên th i gian tín hi u truy nờ ừ ề ệ ế ậ ạ ệ ờ ệ ề
t A đ n M là: 0,28 : 2 = 0,14 (s) ừ ế

 Đ dài đo n AM cũng là quãng độ ạ ường tín hi u truy n đi đệ ề ược trong 0,14s.
S = AM = v.t = 3.108_{.0,14 = 42.10}6_{m = 42000km}

 V trí xa nh t trên trái đ t có th nh n tín hi u t v tinh là vô s đi m M (v i AM là ti p tuy n kị ấ ấ ể ậ ệ ừ ệ ố ể ớ ế ế ẻ
t A đ n đừ ế ường trịn tâm O)

 Vì AM là ti p tuy n (O) ế ế ⇒OM ⊥ AM t i M_ạ

 Xét tam giác vuông AMO, áp d ng đ nh lý Py-ta-go ta có: ụ ị
OA2=OM2+MA2=64002+420002=1804960000
⇒OA=42485km

 Kho ng cách t v tinh Vinasat-1 đ n m t đ t là đ dài đo n AH:ả ừ ệ ế ặ ấ ộ ạ
AH=AO−OH=42485−6400=36085km

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

<b>Bài gi i:ả</b>

 Hình vẽ minh h a bài toán:ọ

 K ẻ OHAB H



AB



 G i M, N l n lọ ầ ượt là giao đi m c a OA, OB v i để ủ ớ ường trịn (O).
 Ta có: AMBN230 km (gt)

OMONR6400 km









OA OB AM OM 230 6400 6630 km

      

 AOB_{có OA = OB nên là tam giác cân t i O.}ạ

OH

 _{v a là đ}_ừ _ườ_{ng cao v a là đ}_ừ _ườ_{ng trung tuy n.}_ế
 H là trung đi m AB. ể

AB 2200

HA HB 1100 km

2 2

    

 Ta có: ∆AOH vuông t i Hạ

⇒OA2=OH2+AH2 _{(đ nh lý Pytago)}_ị
⇒OH2=OA2−AH2

⇒ OH OA2 AH2  6630211002 6538 km

 Do OHR 6538 km



6400 km



nên v tinh v trí B có th nh n đệ ở ị ể ậ ược tín hi u do v tinh v ệ ệ ở ị trí

A truy n t i theo phề ớ ương AB.

<b>Bài 11: </b>Đ giúp xe l a chuy n t m t để ử ể ừ ộ ường ray t hừ ướng này sang m t độ ường ray theo hướng khác,
người ta làm xen gi a m t đo n đữ ộ ạ ường ray hình vịng cung (hình bên). Bi t chi u r ng c a đế ề ộ ủ ường ray là

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

<b>Bài gi i:ả</b>

 Hình vẽ minh h a bài tốn:ọ

 Thanh ray trùng v i BC ti p xúc v i đớ ế ớ ường tròn (O, OB) t i B nên là ti p tuy n c a đạ ế ế ủ ường tròn (O,

OB)  BCOB

 OA c t đắ ường tròn (O, OA) t i đi m D ạ ể



DA



 AD2R

 ∆ACD n i ti p độ ế ường trịn (O, OA) có đường kính AD nên là tam giác vng t i C.ạ
 Xét ∆ACD vuông t i C, đạ ường cao BC, ta có:

2

CB AB.BD_{(h th c l}_{ệ ứ ượ}_{ng trong tam giác vuông)}

⇔

CB

2

=

AB(AD−AB)

⇔

CB

2

=

AB(2R−AB)

⇔

(28,4 )

2

=1,2 (2R−1,1)

⇔2R=807,77

⇔

<i>R=367,2m</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

<b>Bài gi i:ả</b>

 Hình vẽ minh h a bài tốn:ọ

 G i đọ ường trịn (O; R) là đường trịn ch a cung AMB (nh hình vẽ)ứ ư
 Do MK là chi u cao ề ⇒ MK ¿ AB t i Kạ

 G i MN là đọ ường kính c a đủ ường trịn (O)
 MK đi qua tâm O ⇒ N, O, K, M th ng hàngẳ
 MN ¿ AB t i K ạ ⇒ K là trung đi m AB ể

⇒

KA=KB=

AB

2

=

40

2

=20m

 Ta có: AMN n i ti p đΔ ộ ế ường tròn (O), có c nh MN là đạ ường kính
⇒ _{AMN vuông t i A}_Δ _ạ

 Xét KAN và KMA, ta có: Δ Δ

<i>A ^K N =M ^K A=90</i>

0

<i>M ^A K =A ^N K</i>

_{(vì cùng ph góc AMN)}_ụ

⇒ _KAN_Δ _{∽ ΔKMA (g.g)}

⇒KA
KM=

KN

KA ⇔KA . KA=KN . KM ⇔KA

2

=

(

MN−KM

)

.KM ⇔ KA2=

(

2R−KM

)

KM

⇔20

2

=(

<i>2R−3) .3 ⇔ 400=6R−9 ⇔6R=409⇔ R≈68 , 17 m</i>

 V y bán kính c a đậ ủ ường trịn ch a cung AMB là 68,17mứ

<b>Bài 13: </b>M t ng n đèn h i đăng cao 85m đ t t i b bi n có góc nâng c a đèn không quá 85ộ ọ ả ặ ạ ờ ể ủ 0_{so v i ph}_ớ _ươ_ng

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

ánh sáng c a ng n đèn h i đăng có chi u sáng đủ ọ ả ế ược m t đo n c a chi c c u hay không? N u có hãy tínhộ ạ ủ ế ầ ế
đ dài đo n c u độ ạ ầ ược chi u sáng đó. ế

<b>Bài gi i:ả</b>

 Hình vẽ minh h a bài tốn: ọ

 Xét ∆OBC vng t i O ạ

⇒<i>tanO { ^BC=</i>OC

OB¿ _{(t s l}_{ỉ ố ượ}_{ng giác góc nh n)}_ọ

⇒OC=OB.tanO { ^BC=85.tan85

0

≈

971,6m

¿

 Ta có: 971,6 > 750 do đó đèn chi u sáng đế ược m t đo n c a chi c c u ộ ạ ủ ế ầ
 Xét ∆OHD vuông t i Hạ

⇒OD2=OH2+HD2 _{(đ nh lý Pytago)}_ị

⇒

HD

2

=OD

2

−OH

2

=971,6

2

−750

2

⇒

HD=

√

971,6

2

−750

2

≈617,7m

⇒

AD=2HD=2.617,7=1235,4m

 V y đ dài đo n c u đậ ộ ạ ầ ược chi u sáng là kho ng 1235,4m.ế ả

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

<b>Bài gi i:ả</b>

 Hình vẽ minh h a bài toán:ọ

 Xét 3 đi m O, A, B ta có: ể AB≥OA−OB (b t đ ng th c tam giác) ấ ẳ ứ

Vì OH ¿ _{AB nên OA} ¿ _{OH (quan h gi a đ}_{ệ ữ} _ườ_{ng vng góc và đ}_ườ_{ng xiên)}

⇒ _AB≥OH−OB

D u “=” x y ra khi và ch khi A ấ ả ỉ ¿ H và B n m gi a A và O ằ ữ

 V y đ đ dài c a chi c c u là ng n nh t, ta đ t v trí c a A và B nh sau: A là hình chi u c a Oậ ể ộ ủ ế ầ ắ ấ ặ ị ủ ư ế ủ
lên d, B là giao đi m c a OH và (O) ể ủ

<b>Bài 15: </b>Hai hịn đ o xem nh hình trịn có kho ng cách t tâm hòn đ o này đ n tâm hòn đ o kia là kho ngả ư ả ừ ả ế ả ả
950m. Bi t r ng đ o l n có bán kính kho ng 500m, cịn đ o nh có bán kính kho ng 200m. Ngế ằ ả ớ ả ả ỏ ả ười ta c nầ
xây d ng m t cây c u b c t đ o này sang đ o kia. Em hãy ch n v trí đ xây cây c u sao cho chi u dài câyự ộ ầ ắ ừ ả ả ọ ị ể ầ ề
c u là ng n nh t, khi đó hãy tính chi u dài này. ầ ắ ấ ề

<b>Bài gi i:ả</b>

 Hình vẽ minh h a bài tốn:ọ

 Xét 3 đi m O’, A, B ta có: ể AB≥O'A−O'B

Xét 3 đi m O’, O, A ta có: ể O'A≥OO'−OA

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14></div>

<!--links-->