108 bài toán chọn lọc lớp 5 nguyễn văn lợi

❚❙✳ ◆❣✉②➵♥ ❱➠♥ ▲đ✐ ✭❝❤õ ❜✐➯♥✮ − ◆❣ỉ ❚❤à ◆❤➣

❉

r❛
❢t

✶✵✽ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❈❍➴◆ ▲➴❈ ▲❰P ✺


❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙


❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙

✶✵✽ ❜➔✐ t♦→♥ ❝❤å♥ ❧å❝ ❧ỵ♣ ✺
❱ỵ✐ ❝→❝ t✐➯✉ ❝❤➼ ✤➦t r❛✿
✲ ▼ët t✉②➸♥ t➟♣ ❜❛♦ ❦❤➢♣ ❝❤÷ì♥❣ tr ồ ợ
õ ứ ừ ữ ổ t t❤ù❝✳
✲ ❚♦→♥ ♠➔ ❦❤æ♥❣ ❦❤æ ❦❤❛♥✳
✲ ❳ù♥❣ ✤→♥❣ t↕♦ ♥✐➲♠ t✐♥ ❝❤♦ ❧ù❛ t✉ê✐ ✈ø❛ ①♦♥❣ t✐➸✉ ❤å❝✳
▼ö❝ t✐➯✉ ✤➲ r❛ ✤➣ ❧➔♠ ❝❤♦ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤➔♥❤ ❦➳t q✉↔ t➻♠ tỏ tứ
ỗ ữủ s ❧÷ï♥❣✳ ❈ơ♥❣ ❝❤➾ ❧➔ ✶✵✽ ❜➔✐ t➟♣ t♦→♥✱ ♥❤÷♥❣ ❦❤✐ ủ
ộ ữ õ ỗ t ởt t tố t t ữ số
t ợ ✳ ✳ ✳
❍② ✈å♥❣ ♥✐➲♠ ✈✉✐ t❤➔♥❤ ❝æ♥❣ ♥❤♦ ♥❤ä ❝õ❛ ♥❤ú♥❣ ♥❣÷í✐ ❜✐➯♥ s♦↕♥ s➩ tr✉②➲♥ ❧û❛
❍❆❨ ✲ ✣➉P ✲ ❙❆❨ ❝❤♦ ❝→❝ ❜↕♥ ❤å❝ s✐♥❤✱ ❝→❝ t❤➛② ❝æ ✈➔ ❝→❝ ❜➟❝ ♣❤ö ❤✉②♥❤ ❦❤✐
sû ❞ö♥❣✳
❳✐♥ tr➙♥ trå♥❣ ❝↔♠ ì♥ sü q✉❛♥ t➙♠ ❝õ❛ ❜↕♥ ✤å❝✦
Þ ❦✐➳♥ ①✐♥ ❝❤✉②➸♥ ✈➲✿
s✐❣♠❛t❤s❣r♦✉♣❅❣♠❛✐❧✳❝♦♠

✶


▼Ư❈ ▲Ư❈

❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙

▼ư❝ ❧ư❝
✶
✷
✸
✹
✺
✻
✼

P❤➙♥ sè✱ ❤é♥ sè
❙è t❤➟♣ ♣❤➙♥✱ t➾ sè ♣❤➛♥ tr➠♠
✣↕✐ ❧÷đ♥❣ t➾ ❧➺ t❤✉➟♥✱ t➾ ❧➺ ♥❣❤à❝❤✱ t➾ ❧➺ ❦➨♣
❙è ✤♦ t❤í✐ ❣✐❛♥✱ t♦→♥ ❝❤✉②➸♥ ✤ë♥❣ ✤➲✉
❍➻♥❤ ❤å❝
▼ët sè ❞↕♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ ❦❤→❝
✣→♣ →♥ ✈➔ ❧í✐ ❣✐↔✐ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ❝❤å♥ ❧å❝

✷

✸
✺
✼

✾
✶✷
✶✾
✷✶


❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙

✶ P❤➙♥ sè✱ ❤é♥ sè
35 85 65 75 189
✶✳ ❘ót ❣å♥ ❝→❝ ♣❤➙♥ sè s❛✉✿ 28
; ; ;
;
✳
51 39 100 105
1313 131313
út ồ rỗ s s ♣❤➙♥ sè s❛✉✿ 39
;
;
42 1414 141414

✸✳ ❙♦ s→♥❤ ❝→❝ ♣❤➙♥ sè s❛✉✿ 45 ; 87 ; 89 ; 12
11
✹✳ ❑❤æ♥❣ q ỗ tỷ số số s s ❝→❝ ♣❤➙♥ sè s❛✉✿
❛✮ 45 ✈➔ 32

11
❜✮ 59 ✈➔ 24

15

❞✮ 14
✈➔
15
16

97
❡✮ 96
✈➔
95
96

17
❝✮ 13
✈➔
27
23

✺✳ ❚➻♠ sè tü ♥❤✐➯♥ ① ❜✐➳t✿
❛✮ x9 = 53 ❀

85
❜✮ 17
=
❀
x
105

❞✮ x8 + 32 = 76 ❀

27

❡✮ x −3 7 = 135
✳

❝✮ 86 = 15
❀
x

✻✳ ❚➻♠ ♠ët ♣❤➙♥ sè tè✐ ❣✐↔♥ s❛♦ ❝❤♦ ♥➳✉ ❝ë♥❣ t❤➯♠ ✽ ✤ì♥ ✈à ✈➔♦ tû sè ✈➔ ❝ë♥❣
t❤➯♠ ✶✵ ✤ì♥ ✈à số t ữủ ởt số ợ ♣❤➙♥ sè ✤➣ ❝❤♦✳

✼✳ ❈❤♦ ♣❤➙♥ sè 112 ✳ ❍ä✐ ♣❤↔✐ ❝ë♥❣ t❤➯♠ ✈➔♦ tû sè ✈➔ ♠➝✉ sè ❝õ❛ ♣❤➙♥ sè ✤➣
❝❤♦ ❝ò♥❣ ♠ët sè tü ♥❤✐➯♥ ♥➔♦ ✤➸ ✤÷đ❝ ♣❤➙♥ sè ❜➡♥❣ 74 ❄

✽✳ ❚➻♠ ♣❤➙♥ sè ❝â tû sè ❧ỵ♥ ❤ì♥ ♠➝✉ sè ✽ ✤ì♥ ✈à ✈➔ s❛✉ ❦❤✐ rót ❣å♥ t❛ ✤÷đ❝
♣❤➙♥ sè 35 ✳

✾✳ ❚➻♠ ♣❤➙♥ sè tè✐ ❣✐↔♥ mn ✱ ❜✐➳t r➡♥❣ ♣❤➙♥ sè m n+ n ❣➜♣ ✼ ❧➛♥ ♣❤➙♥ sè mn ✳

✸


❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙

✶✵✳ ▼ët tr↕✐ ❝❤➠♥ ♥✉æ✐ ❝â 43 sè ❜á ❜➡♥❣ 23 sè ❞➯✱ ❜✐➳t sè ❜á ➼t ❤ì♥ sè ❞➯ ❧➔ ✶✷
❝♦♥✳ ❍ä✐ tr↕✐ ❝❤➠♥ ♥✉æ✐ ❝â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ❝♦♥ ❜á❄ ❇❛♦ ♥❤✐➯✉ ❝♦♥ ❞➯❄

✶✶✳ ❚✉ê✐ ❇è ❜➡♥❣ 89 t✉ê✐ ▼➭✱ t✉ê✐ ▲❛♥ ❜➡♥❣ 14 t✉ê✐ ▼➭✱ tê♥❣ sè t✉ê✐ ❝õ❛ ❇è ✈➔

▲❛♥ ❧➔ ✹✹ t✉ê✐✳ ❍ä✐ ♠é✐ ữớ tờ

õ ữợ ự tê♥❣ ❝ë♥❣ ✻✻ ❧➼t✱ ❜➻♥❤ t❤ù ❤❛✐ ❝❤ù❛ ❜➡♥❣ 21

❜➻♥❤ t❤ù ♥❤➜t✱ ❜➻♥❤ t❤ù ❜❛ ❝❤ù❛ ❜➡♥❣ 23 ❜➻♥❤ t❤ù ọ ộ ự
t ữợ

ỏ ữợ ũ ởt ỏ t❤ù ♥❤➜t ❝❤↔② ♠ët ♠➻♥❤
tr♦♥❣ ✺ ❣✐í t❤➻ s➩ ✤➛② ❜➸✳ ◆➳✉ ✈á✐ t❤ù ❤❛✐ ❝❤↔② ♠ët ♠➻♥❤ t❤➻ ❜➸ s➩ ✤➛② s❛✉ ✼
❣✐í✳ ❍ä✐ ♥➳✉ ❝↔ ❤❛✐ ✈á✐ ❝ị♥❣ ❝❤↔② t❤➻ ❜➸ s➩ ✤➛② s❛✉ ♠➜② ❣✐í❄

✶✹✳ ❍❛✐ ♥❣÷í✐ ❧➔♠ ❝❤✉♥❣ ♠ët ❝ỉ♥❣ ✈✐➺❝ tr♦♥❣ ✶✷ ❣✐í t❤➻ ①♦♥❣✳ ◆❣÷í✐ t❤ù ♥❤➜t
❧➔♠ ♠ët ♠➻♥❤ 23 ❝ỉ♥❣ ✈✐➺❝ t❤➻ ♠➜t ✶✵ ❣✐í✱ ❤ä✐ ♥❣÷í✐ t❤ù ❤❛✐ ❧➔♠ 13 ❝ỉ♥❣ ✈✐➺❝
❝á♥ ❧↕✐ ♠➜t ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ❧➙✉❄

✶✺✳ ▲ỵ♣ ✺❆✶ ✈➔ ✺❆✷ ❝â ✽✼ ❤å❝ s✐♥❤✱ ❜✐➳t r➡♥❣ 75 sè ❤å❝ s✐♥❤ ❝õ❛ ❧ỵ♣ ✺❆✶ ❜➡♥❣
2
3

sè ❤å❝ s✐♥❤ ❝õ❛ ❧ỵ♣ ✺❆✷✳ ❍ä✐ ♠é✐ ❧ỵ♣ ❝â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ❤å❝ s✐♥❤❄

✶✻✳ ▼ët ❤➻♥❤ t❛♠ ❣✐→❝ ❝â ❝❤✉ ✈✐ ❧➔ ✶✷✵❝♠✳ ❙è ✤♦ ❜❛ ❝↕♥❤ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ t➾ ❧➺ ✈ỵ✐

5, 12, 13✳

❚➻♠ sè ✤♦ ❝→❝ ❝↕♥❤ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝✳

✶✼✳ ▼ët ✤ë✐ ❝ỉ♥❣ ♥❤➙♥ ❧➔♠ ✤÷í♥❣ tr♦♥❣ ✸ ♥❣➔②✳ ◆❣➔② t❤ù ♥❤➜t ❧➔♠ ✤÷đ❝ 72

❝ỉ♥❣ ✈✐➺❝✱ ♥❣➔② t❤ù ❤❛✐ ❧➔♠ ✤÷đ❝ 38 ❝ỉ♥❣ ✈✐➺❝✱ ♥❣➔② t❤ù ❜❛ ❧➔♠ ♥èt ✺✼ ♠➨t ❝✉è✐✳
❍ä✐ ✤ë✐ ❝æ♥❣ ♥❤➙♥ ✤â ♣❤↔✐ ❧➔♠ ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ♠➨t ✤÷í♥❣❄

✶✽✳ ▼ët ỉ tỉ ❝❤↕② q✉➣♥❣ ✤÷í♥❣ ❆❇ tr♦♥❣ ✸ ❣✐í✳ ●✐í ✤➛✉ ❝❤↕② ✤÷đ❝ 25 q✉➣♥❣

✤÷í♥❣ ❆❇✳ ●✐í t❤ù ❤❛✐ ❝❤↕② ✤÷đ❝ 25 q✉➣♥❣ ✤÷í♥❣ ❝á♥ ❧↕✐ ✈➔ t❤➯♠ ✹❦♠✳ ●✐í
t❤ù ❜❛ ❝❤↕② ♥èt ✺✵❦♠ ❝✉è✐✳ ❚➼♥❤ q✉➣♥❣ ✤÷í♥❣ ❆❇✳
✹


✷ ❙è t❤➟♣ ♣❤➙♥✱ t➾ sè ♣❤➛♥ tr➠♠

❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙

✶✾✳ t số s ữợ số t ♣❤➙♥✿
5 2 17 16 132
; ; ; ;
2 5 8 25 125

✷✵✳ ❱✐➳t ❝→❝ sè s❛✉ t❤➔♥❤ sè t❤➟♣ ♣❤➙♥✿
3 2 18 1
26 ; 7 ; 5 ; 1
8 5 25 2

t số t s ữợ ❞↕♥❣ ♣❤➙♥ sè✿
2, 15; 5, 022; 4, 6; 0, 324

✷✷✳ ❑❤✐ ♥❤➙♥ ♠ët sè ✈ỵ✐ ✶✷✹✱ ♠ët ❜↕♥ ❤å❝ s✐♥❤ ✤➣ ✤➦t ❝→❝ t➼❝❤ r✐➯♥❣ t❤➥♥❣ ❝ët

✈ỵ✐ ♥❤❛✉ ♥➯♥ ❞➝♥ ✤➳♥ ❦➳t q✉↔ s❛✐ ❧➔ ✽✽✱✷✳ ❊♠ ❤➣② t➻♠ ❦➳t q✉↔ ✤ó♥❣ ❝õ❛ ♣❤➨♣
♥❤➙♥✳

✷✸✳ ▼ët ❝û❛ ❤➔♥❣ ❝â ✽✻✱✺ t↕ ✤÷í♥❣✳ ◆❣➔② t❤ù ♥❤➜t ❝û❛ ❤➔♥❣ ❜→♥ ✤÷đ❝ ✷✻✱✼ t↕✱

♥❣➔② t❤ù ❤❛✐ ❜→♥ ✤÷đ❝ ♥❤✐➲✉ ❤ì♥ ♥❣➔② t❤ù ♥❤➜t ✻✱✼✽ t↕✳ ❍ä✐ s❛✉ ❤❛✐ ♥❣➔② ❜→♥✱
❝û❛ ❤➔♥❣ ❝á♥ ❧↕✐ ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ t↕ ✤÷í♥❣❄

✷✹✳ ❈â ❜❛ tê ❝ỉ♥❣ ♥❤➙♥ t❤❛♠ ❣✐❛ ✤➢♣ ✤÷í♥❣✱ tê ♠ët ✤➢♣ ✤÷đ❝ ✷✺✱✼♠✱ tê ❤❛✐

✤➢♣ ✤÷đ❝ ❤ì♥ tê ♠ët ✺✱✸♠ ✈➔ ✤➢♣ ❦➨♠ tê ❜❛ ✸✱✺♠✳ ❍ä✐ ❝↔ ❜❛ tê ✤➢♣ ✤÷đ❝ t➜t
❝↔ ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ♠➨t ✤÷í♥❣❄

✷✺✳ ▼ët såt ❝❛♠ ♥➦♥❣ tê♥❣ ❝ë♥❣ ✼✻✱✻✺❦❣✳ ❇✐➳t r➡♥❣ ♥➳✉ ❧➜② ✹❦❣ ð såt t❤ù ♥❤➜t
❝❤✉②➸♥ s❛♥❣ såt t❤ù ❤❛✐ t❤➻ såt t❤ù ❤❛✐ ♥➦♥❣ ❤ì♥ såt t❤ù ♥❤➜t ✶✱✽✺❦❣✳ ❍ä✐ ♠é✐
såt ❝❛♠ ♥➦♥❣ ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ❦✐❧❣❛♠❄

✷✻✳ ◆❤➔ ❆♥ ♥✉æ✐ ✽ ❝♦♥ ❜á✱ tr♦♥❣ ✤â ❝â ✸ ❝♦♥ ❜á ✤ü❝✳ ❍ä✐

❛✮ ❙è ❜á ✤ü❝ ❝❤✐➳♠ ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ♣❤➛♥ tr➠♠ tê♥❣ sè ❜á❄
❜✮ ❚➾ sè ♣❤➛♥ tr➠♠ ❣✐ú❛ sè ❜á ✤ü❝ ✈➔ sè ❜á ❝→✐ ❧➔ ❜❛♦ ♥❤✐➯✉❄
✺


❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙

✷✼✳ ▼ët ①➼ ♥❣❤✐➺♣ ❝â ✻✵ ❝æ♥❣ ♥❤➙♥ ✤÷đ❝ ❝❤✐❛ t❤➔♥❤ ❤❛✐ tê✱ tr♦♥❣ ✤â tê ♠ët

❝❤✐➳♠ 40% tê♥❣ sè ❝æ♥❣ ♥❤➙♥✳ ❍ä✐
❛✮ ❚ê ♠ët ❝â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ❝æ♥❣ ♥❤➙♥❄
❜✮ ❚➾ sè ♣❤➛♥ tr➠♠ ❣✐ú❛ sè ❝æ♥❣ ♥❤➙♥ tê ♠ët ✈➔ sè ❝æ♥❣ ♥❤➙♥ tê ❤❛✐ ❧➔ ❜❛♦
♥❤✐➯✉❄

✷✽✳ ởt ữớ q s tố ợ ỗ t r ữớ õ
ữủ 9% ố ọ ữớ õ ữủ t

ì 5, 1 30, 3 × 3, 4 + 14, 58
✷✾✳ ❚➼♥❤ ♥❤❛♥❤✿ A = 20,14,2 58
× 460 + 7, 29 × 540 × 2

✸✵✳ ❚➻♠ ❤❛✐ sè✱ ❜✐➳t tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ❝ë♥❣ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ ❧➔ sè tü ♥❤✐➯♥ ❧ỵ♥ ♥❤➜t ❝â ❤❛✐
❝❤ú sè ✈➔ sè ♥➔② ❜➡♥❣ 80% sè ❦✐❛✳

✸✶✳ ❚r♦♥❣ ♠ët ♣❤➨♣ ❝❤✐❛ sè t❤➟♣ ♣❤➙♥✱ t❤÷ì♥❣ ✤ó♥❣ ❧➔ ✶✵✷✱✺✳ ❑❤✐ t❤ü❝ ❤✐➺♥
♣❤➨♣ ❝❤✐❛✱ ♠ët ❤å❝ s✐♥❤ ✤➣ q✉➯♥ ✤➦t ♠ët sè ✵ ð t❤÷ì♥❣ ♥➯♥ ❧ó❝ t❤û ❧↕✐ ❜➡♥❣
❝→❝❤ ❧➜② t❤÷ì♥❣ ợ số ữủ ởt số ọ ỡ số ❜à ❝❤✐❛ ✹✸✷✱✾ ✤ì♥ ✈à✳
❚➻♠ sè ❜à ❝❤✐❛ ✈➔ sè ❝❤✐❛✳

✸✷✳ ❈â ❜❛ ①❡ t↔✐ ❝❤ð tê♥❣ ❝ë♥❣ ✶✺✱✻ t➜♥ ❤➔♥❣ ❤â❛✳ ❳❡ t❤ù ♥❤➜t ❝❤ð ❜➡♥❣ 43 ①❡

t❤ù ❤❛✐✱ ①❡ t❤ù ❜❛ ❝❤ð ➼t ❤ì♥ tê♥❣ sè ❤➔♥❣ ❤â❛ ❤❛✐ ①❡ ✤➛✉ ❝❤ð ✤÷đ❝ ❧➔ ✶✱✷ t➜♥✳
❍ä✐ ♠é✐ ①❡ ữủ t õ

ữợ ự 4% ố ờ t ữợ
ữợ t ố tr 2%

ởt ữớ ỷ tt tr ỗ ✈ỵ✐ ❧➣✐ s✉➜t 1, 1% ♠ët t❤→♥❣✳ ❚➼♥❤✿
❛✮ ❙è t✐➲♥ ❧➣✐ s❛✉ ♠ët t❤→♥❣✳
❜✮ ❙è t✐➲♥ ❝↔ ❣è❝ ✈➔ ❧➣✐ s❛✉ ❤❛✐ t❤→♥❣ ♥➳✉ ♥❣÷í✐ ✤â ❝❤➾ ✤➳♥ rót t✐➲♥ ♠ët ❧➛♥✳
❝✮ ❙è t✐➲♥ ❝↔ ❣è❝ ✈➔ ❧➣✐ s❛✉ ❜❛ t❤→♥❣ ♥➳✉ ♥❣÷í✐ ✤â ❝❤➾ ✤➳♥ rót t✐➲♥ ♠ët ❧➛♥✳

✸✺✳ ▼ët ❤➻♥❤ ❝❤ú ♥❤➟t ❝â ❝❤✐➲✉ rë♥❣ ❜➡♥❣ 75% ❝❤✐➲✉ ❞➔✐✳ ◆➳✉ t➠♥❣ ❝❤✐➲✉ ❞➔✐
t❤➯♠ ✷♠ t❤➻ ❞✐➺♥ t➼❝❤ t➠♥❣ t❤➯♠ 12m2✳ ❚➼♥❤ ❝❤✉ ✈✐ ✈➔ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❝õ❛ ❤➻♥❤ ❝❤ú
♥❤➟t ✤â✳

✸✻✳ ❍➣② s♦ s→♥❤ ❆ ✈➔ ❇✱ ❜✐➳t A = 19, 93 × 19, 99; B = 19, 96 × 19, 96✳

✻


✸ ✣↕✐ ❧÷đ♥❣ t➾ ❧➺ t❤✉➟♥✱ t➾ ❧➺ ♥❣❤à❝❤✱ t➾ ❧➺ ❦➨♣

❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙

✸✼✳ ❚ê ✶ ❧ỵ♣ ✺❆ ❝â ✶✶ ồ s trỗ ữủ ọ ợ trỗ ữủ

t r ợ õ ồ s số ộ ồ s trỗ
ữủ ❜➡♥❣ ♥❤❛✉✳

✸✽✳ ▼ët ❝û❛ ❤➔♥❣ ♥❤➟♣ ❦❤♦ ♠ët ❧÷đ♥❣ ❤➔♥❣ ❤â❛ ✈ỵ✐ ❞ü t➼♥❤ ✤õ ❜→♥ tr♦♥❣ ✷✵
♥❣➔②✱ ♠é✐ ♥❣➔② ❜→♥ ✤÷đ❝ ✸✷✵ ❤➔♥❣ ❤â❛✱ ♥❤÷♥❣ t❤ü❝ t➳ ♠é✐ ♥❣➔② ỷ õ
ữủ õ ọ ợ sè ❤➔♥❣ ❤â❛ ✤➣ ♥❤➟♣ ❦❤♦ t❤➻ ✤õ ❜→♥ ✤÷đ❝
❜❛♦

út ữợ ừ ởt ỗ ♥❣÷í✐ t❛ sû ❞ư♥❣ ✶✺ ♠→② ❜ì♠ ❧➔♠ ✈✐➺❝
tr♦♥❣ ✶✷ ớ ọ út ỗ õ tr ❣✐í t❤➻ ❝➛♥ ♣❤↔✐ sû ❞ư♥❣ ❜❛♦
♥❤✐➯✉ ♠→② ❜ì♠❄ ❇✐➳t ♥➠♥❣ s✉➜t ❝→❝ ♠→② ♥❤÷ ♥❤❛✉✳

✹✵✳ ▼ët tê t❤đ ♠❛② ❝â ✶✺ ♥❣÷í✐ tr♦♥❣ ✻ ♥❣➔② ❧➔♠ ✈✐➺❝ ♠❛② ✤÷đ❝ ✶✸✺ ❜ë q✉➛♥

→♦✳ ❍ä✐ ♥➳✉ tê ✤â ❝â ✶✽ ♥❣÷í✐ ❧➔♠ ✈✐➺❝ tr♦♥❣ ✽ ♥❣➔② t❤➻ s➩ ♠❛② ✤÷đ❝ ❜❛♦ ♥❤✐➯✉
❜ë q✉➛♥ →♦❄ ❇✐➳t ♥➠♥❣ s✉➜t ❧➔♠ ✈✐➺❝ ❝õ❛ ♠é✐ ♥❣÷í✐ ✤➲✉ ♥❤÷ ♥❤❛✉✳

✹✶✳ ▼ët ✤ë✐ ❝ỉ♥❣ ♥❤➙♥ ❝â ✹✵ ♥❣÷í✐ ✤÷đ❝ ❣✐❛♦ ♥❤✐➺♠ ✈ư ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❝ỉ♥❣ ✈✐➺❝
tr♦♥❣ ✶✺ ♥❣➔②✳ ❙❛✉ ❦❤✐ ❧➔♠ ✤÷đ❝ ✸ ♥❣➔② t❤➻ ✷✵ ❝ỉ♥❣ ♥❤➙♥ ✤÷đ❝ ✤✐➲✉ ✤✐ ♥ì✐ ❦❤→❝✳
❍ä✐ ✤ë✐ ❝ỉ♥❣ ♥❤➙♥ ✤â ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❝ỉ♥❣ ✈✐➺❝ ✤÷đ❝ ❣✐❛♦ tr♦♥❣ ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ♥❣➔②❄
❇✐➳t ♥➠♥❣ s✉➜t ❧➔♠ ✈✐➺❝ ❝õ❛ ♠å✐ ♥❣÷í✐ tr♦♥❣ ♠ët ♥❣➔② ❧➔ ♥❤÷ ♥❤❛✉✳

✹✷✳ ▼ët ♣❤➙♥ ①÷ð♥❣ ♠ë❝ ❝â ✸✵ ♥❣÷í✐ ✤÷đ❝ ❣✐❛♦ ♥❤✐➺♠ ✈ư ✤â♥❣ ♠ët ❧ỉ ❜➔♥ ❣❤➳

tr♦♥❣ ✽ ♥❣➔②✱ ♠é✐ ♥❣➔② ❧➔♠ ✈✐➺❝ ✽ ❣✐í✳ ❙❛✉ ✷ ♥❣➔② ❧➔♠ ✈✐➺❝ t❤➻ ❝â ✶✽ ♥❣÷í✐ ✤÷đ❝
✤✐➲✉ ✤✐ ❧➔♠ ✈✐➺❝ ❦❤→❝ ✈➔ sè ❝á♥ ❧↕✐ t➠♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥ ❧➔♠ ✈✐➺❝ ♠é✐ ♥❣➔② t❤➯♠ ✷
❣✐í✳ ❍ä✐ ♣❤➙♥ ①÷ð♥❣ ✤â ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❦❤è✐ ❧÷đ♥❣ ❝ỉ♥❣ ✈✐➺❝ ✤÷đ❝ ❣✐❛♦ tr♦♥❣ ❜❛♦
♥❤✐➯✉ ♥❣➔②❄ ❇✐➳t ♥➠♥❣ s✉➜t ❧➔♠ ✈✐➺❝ ❝õ❛ ♠é✐ ♥❣÷í✐ ♥❤÷ ♥❤❛✉✳

✹✸✳ ▼ët ✤ì♥ ✈à ❜ë ✤ë✐ ❝❤✉➞♥ ❜à ❣↕♦ ❝❤♦ ✼✵ ♥❣÷í✐ ➠♥ tr♦♥❣ ✸✵ ♥❣➔②✳ ❙❛✉ ❦❤✐ ➠♥

✤÷đ❝ ✻ ♥❣➔② t❤➻ ❝â ✶✵ ♥❣÷í✐ ❝❤✉②➸♥ ✤✐ ♥ì✐ ❦❤→❝✳ ❍ä✐ sè ❣↕♦ ❝á♥ ❧↕✐ ✤õ ❝❤♦ sè
♥❣÷í✐ ❝á♥ ❧↕✐ ❝õ❛ ✤ì♥ ✈à ✤â ➠♥ tr♦♥❣ ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ♥❣➔② ♥ú❛❄ ❇✐➳t r➡♥❣ ♠ù❝ ➠♥
❝õ❛ ♠å✐ ♥❣÷í✐ tr♦♥❣ ♠ët ♥❣➔② ❧➔ ♥❤÷ ♥❤❛✉✳

✼


❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙

✹✹✳ ▼ët ✤ì♥ ✈à ❜ë ✤ë✐ ❝â ✶✷✵ ♥❣÷í✐ ✤❡♠ t❤❡♦ ✶✹✹✵❦❣ ❣↕♦ ✈➔ ❞ü ✤à♥❤ ➠♥ ✤õ

tr♦♥❣ ✶✺ ♥❣➔②✳ ◆❤÷♥❣ s❛✉ ✤â ✷ ♥❣➔②✱ ❝â ✸✵ ♥❣÷í✐ ❝❤✉②➸♥ s❛♥❣ ✤ì♥ ✈à ❦❤→❝ ✈➔
♠❛♥❣ t❤❡♦ ✺✷✽❦❣ ❣↕♦✳ ❍ä✐ sè ❣↕♦ ❝á♥ ❧↕✐ ✤ì♥ ✈à ❝â t❤➸ ➠♥ ✤÷đ❝ ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ♥❣➔②
♥ú❛❄ ❇✐➳t ♠é✐ ♥❣÷í✐ tr♦♥❣ ♠ët ♥❣➔② ➠♥ ❤➳t sè ❣↕♦ ♥❤÷ ♥❤❛✉✳

✹✺✳ ❇➳♣ ➠♥ ❝õ❛ ♠ët ✤ì♥ ✈à ❜ë ✤ë✐ ❝❤✉➞♥ ❜à ✤õ ❣↕♦ ❝❤♦ ✸✺✻ ❝❤✐➳♥ s➽ ➠♥ tr♦♥❣

✸✵ ♥❣➔②✳ ❉♦ ♥❤✐➺♠ ✈ö ✤ët ①✉➜t ♥➯♥ s❛✉ ✾ ♥❣➔② t❤➻ ❝â ♠ët sè ❝❤✐➳♥ s➽ ✤÷đ❝ ✤✐➲✉
✤✐ ❧➔♠ ♥❤✐➺♠ ✈ö ð t➾♥❤ ❦❤→❝✳ ❱➻ ✈➟② sè ❣↕♦ ✤➣ ❝❤✉➛♥ ❜à ➠♥ ✤÷đ❝ ♥❤✐➲✉ ❤ì♥ ❞ü
❦✐➳♥ ✼ ♥❣➔②✳ ❍ä✐ ✤➣ ❝â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ❝❤✐➳♥ s➽ ✤÷đ❝ ✤✐➲✉ ✤✐ t➾♥❤ ❦❤→❝❄

✹✻✳ ❇↕♥ ◆❣å❝ ♠✉❛ ✷ ❜ót ❜✐ ✈➔ q t ỗ t t

ởt ❝❤✐➳❝ ❜ót ❜✐✱ ❣✐→ t✐➲♥ ♠ët q✉②➸♥ ✈ð✱ ❜✐➳t ❜↕♥ ▼❛✐ ❝ơ♥❣ ♠✉❛ ✸ ❜ót ❜✐ ✈➔ ✹
q✉②➸♥ ✈ð ♥❤÷ t ỗ

ởt ữớ ỹ tứ ❆ ✤➳♥ ❇ tr♦♥❣ ✻ ❣✐í ♥❤÷♥❣ ❞♦ trí✐ ♠÷❛ ♥➯♥ ✈➟♥

tè❝ t❤ü❝ t➳ ❜➡♥❣ 45 ✈➟♥ tè❝ ❞ü ❦✐➳♥✳ ❍ä✐ ♥❣÷í✐ ✤â ✤➳♥ ❇ ❝❤➟♠ ❤ì♥ ❞ü ✤à♥❤ ❜❛♦
❧➙✉❄

✹✽✳ ởt ở õ ỗ tê✿ tê ✶ ❧➔ ❝→❝ ①❡ ❧♦↕✐ ✽ t➜♥✱ tê ❤❛✐

❧➔ ❝→❝ ①❡ ❧♦↕✐ ✺ t➜♥✳ ❍ä✐ ♠é✐ tê ❝â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ①❡❄ ❇✐➳t r➡♥❣ ❤❛✐ tê ♥❤➟♥ ❝❤ð sè
❤➔♥❣ ❤â❛ ❜➡♥❣ ♥❤❛✉ ✈➔ ♠é✐ ①❡ ❝❤➾ ❝❤ð ♠ët ❧÷đt✳

✹✾✳ õ tũ ữợ ữ ỹ ✤÷đ❝ t➜t ❝↔ ✷✶✻ ❧➼t✱ s❛✉ ✤â
♥❤➔ ❆♥ ❜→♥ ❤➳t t ữợ ọ ỏ tũ ữợ


ỷ õ tú ỷ ❤➔♥❣ ❜→♥ ❤➳t ✽✹ ✈✐➯♥ ❜✐ ✈➔ ❝á♥ ❧↕✐ ✽ tú ọ

trữợ ỷ õ ✈✐➯♥ ❜✐❄

✺✶✳ ❑❤è✐ ❧ỵ♣ ✺ ❝â tê♥❣ ❝ë♥❣ ✶✹✼ ❤å❝ s✐♥❤✱ t➼♥❤ r❛ ❝ù ✸ ❤å❝ s✐♥❤ ♥❛♠ t❤➻ ❝â ✹
❤å❝ s✐♥❤ ♥ú✳ ❍ä✐ ❦❤è✐ ❧ỵ♣ ♥➠♠ ❝â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ❤å❝ s✐♥❤ ♥❛♠❄ ❇❛♦ ♥❤✐➯✉ ❤å❝ s✐♥❤
♥ú❄

✺✷✳ ❇❛ ♥❣÷í✐ ❧➔♠ ①♦♥❣ ♠ët ❝♦♥ ✤÷í♥❣ tr♦♥❣ ✶✹ ♥❣➔②✳ ❍ä✐ ♠✉è♥ ❧➔♠ ①♦♥❣ ❝♦♥
✤÷í♥❣ ✤â tr♦♥❣ ✼ ♥❣➔② t❤➻ ♣❤↔✐ ❝➛♥ ❝â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ♥❣÷í✐❄

✽


❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙

✺✸✳ ▼ët ❝û❛ ❤➔♥❣ ❝â ♠ët sè ❞➛✉ ✤÷đ❝ ❝❤✐❛ t❤➔♥❤ ❤❛✐ ♣❤➛♥ ❜➡♥❣ ♥❤❛✉✳ ♣❤➛♥

t❤ù ♥❤➜t ❝❤ù❛ tr♦♥❣ ❝→❝ t❤ò♥❣ ✶✺ ❧➼t✱ ♣❤➛♥ t❤ù ❤❛✐ ❝❤ù❛ tr♦♥❣ ❝→❝ t❤ò♥❣ ✷✵ ❧➼t✱
tê♥❣ sè t❤ò♥❣ ❞➛✉ ❤❛✐ ❧♦↕✐ ❧➔ ✶✹ t❤ò♥❣✳ ❍ä✐ ❝û❛ ❤➔♥❣ ❝â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ t❤ò♥❣ ♠é✐
❧♦↕✐❄

✺✹✳ ◆❣÷í✐ t❛ ♠✉è♥ ♠✉❛ ♠ët ♠✐➳♥❣ ✤➜t ❝â ❞✐➺♥ t➼❝❤ ♥❤➜t ✤à♥❤ ✤➸ ❧➔♠ tr↕✐ ❝❤➠♥
♥✉æ✐✳ ◆➳✉ ❝❤✐➲✉ ❞➔✐ ❝õ❛ ♠✐➳♥❣ ✤➜t ❧➔ ✽✵♠ t❤➻ ❝❤✐➲✉ rë♥❣ ♣❤↔✐ ❧➔ ✻✵♠✱ ♥❤÷♥❣
❝❤➾ t➻♠ ✤÷đ❝ ♠✐➳♥❣ ✤➜t ❝â ❝❤✐➲✉ rë♥❣ ✹✵♠✳ ❱➟② ♣❤↔✐ ❧➜② ❝❤✐➲✉ ❝❤✐➲✉ ❞➔✐ ❧➔ ❜❛♦
♥❤✐➯✉ ✤➸ ❝â ✤õ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❞ü trú❄

✹ ❙è ✤♦ t❤í✐ ❣✐❛♥✱ t♦→♥ ❝❤✉②➸♥ ✤ë♥❣ ✤➲✉
✺✺✳ ❍➡♥❣ ♥❣➔② ♠ët ①❡ ❦❤→❝❤ ✤✐ tø ❜➳♥ ❆ ✤➳♥ ❜➳♥ ❇ ✈ỵ✐ ✈➟♥ tè❝ ✹✺❦♠✴❣✐í✳ ❍ỉ♠

♥❛② ✈➻ ①✉➜t ♣❤→t ♠✉ë♥ ✾ ♣❤ót ♥➯♥ ①❡ ỉ tỉ ♣❤↔✐ t➠♥❣ ✈➟♥ tè❝ t❤➯♠ ✺❦♠✴❣✐í ✈➔
✤➳♥ ❇ ✤ó♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥ ♥❤÷ ♠å✐ ❤ỉ♠✳ ❚➼♥❤ q✉➣♥❣ ✤÷í♥❣ ❆❇✳

✺✻✳ ▼ët ♥❣÷í✐ ✤✐ ❜ë tø ❆ ✤➳♥ ❇ ✈ỵ✐ ✈➟♥ tè❝ ✻❦♠✴❣✐í✳ ❑❤✐ tø ❇ ✈➲ ❆✱ ♥❣÷í✐

✤â ✤➣ ✤✐ ❜➡♥❣ ①❡ ✤↕♣ ợ tố ớ tr ởt ữớ ❤ì♥
q✉➣♥❣ ✤÷í♥❣ ❧ó❝ ✤✐ ❧➔ ✻❦♠✳ ❚➼♥❤ q✉➣♥❣ ✤÷í♥❣ ❧ó❝ ✤✐ ❜✐➳t r➡♥❣ tê♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥
♥❣÷í✐ ✤â ✤✐ ✈➔ ✈➲ ❤➳t ✸ ❣✐í ✹✵ ♣❤ót✳

✺✼✳ ▼ët ♥❣÷í✐ ✤✐ ①❡ ✤↕♣ tø ❆ ✤➳♥ ❇ ❧ó❝ ✽ ❣✐í ✸✵ ♣❤ót ✈ỵ✐ ✈➟♥ tè❝ ✶✺❦♠✴❣✐í✳

❙❛✉ ✤â✱ ♠ët ♥❣÷í✐ ✤✐ ①❡ ♠→② ❝ơ♥❣ tứ ợ tố ớ ọ ữớ
①❡ ♠→② ♣❤↔✐ ❦❤ð✐ ❤➔♥❤ ❧ó❝ ♥➔♦ ✤➸ ✤➳♥ ❇ ũ ởt ú ợ ữớ
t r q ✤÷í♥❣ ❆❇ ❞➔✐ ✺✹❦♠✳

✺✽✳ ❍❛✐ ❜➳♥ sỉ♥❣ ❆ ✈➔ ❇ ❝→❝❤ ♥❤❛✉ ✺✹❦♠✳ ▼ët ❝❛ ♥æ ①✉æ✐ ❞á♥❣ tø ❆ ✤➳♥ ❇ ❤➳t
✷ ❣✐í✱ ♥❤÷♥❣ ❦❤✐ ♥❣÷đ❝ ❞á♥❣ tø ❇ ✈➲ ❆ t❤➻ ❤➳t ✸ ❣✐í✳ ❚➼♥❤ ✈➟♥ tè❝ ❝õ❛ ỏ
ữợ

tố ừ ởt t ọ ❞➔✐ ✶✽✵♠✳ ❇✐➳t r➡♥❣✿

❛✮ ✣♦➔♥ t➔✐ ✤â ✈÷đt q✉❛ ♠ët ❝ët ✤✐➺♥ ❜➯♥ ✤÷í♥❣ ❤➳t ✶✺ ❣✐➙②✳
❜✮ ✣♦➔♥ t➔✉ ✤â ✈÷đt q✉❛ ♠ët ❝➙② ❝➛✉ ❞➔✐ ✶✷✺✵♠ ❤➳t ✷ ♣❤ót ✶✵ ❣✐➙②✳
❝✮ ✣♦➔♥ t➔✉ ✤â ✈÷đt q✉❛ ♠ët ♥❣÷í✐ ✤✐ ①❡ ✤↕♣ ❝ị♥❣ ❝❤✐➲✉ ✈ỵ✐ ✈➟♥ tè❝ ✶✵✱✽❦♠✴❣✐í
❤➳t ✸✵ ❣✐➙②✳
❞✮ ✣♦➔♥ t➔✉ ✤â ✈÷đt q✉❛ ♠ët ♥❣÷í✐ ✤✐ ①❡ ✤↕♣ ữủ ợ tố ớ
t



❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙

✻✵✳ ❚➼♥❤ ❝❤✐➲✉ ❞➔✐ ❝õ❛ ✤♦➔♥ t➔✉ ❤ä❛ ❜✐➳t ✤♦➔♥ t➔✉ ❝â ✈➟♥ tè❝ ✺✹❦♠✴❣✐í ✈➔✿

❛✮ ✣♦➔♥ t➔✉ ✤â ✈÷đt q✉❛ ♠ët ❝ët ✤✐➺♥ ❜➯♥ ✤÷í♥❣ ❤➳t ✶✵ ❣✐➙②✳
❜✮ ✣♦➔♥ t➔✉ ✤â ✈÷đt q✉❛ ♠ët ❝❤✐➳❝ ❤➛♠ ❞➔✐ ✷✶✺✵♠ ❤➳t ✷ ♣❤ót ✸✵ ❣✐➙②✳
❝✮ ✣♦➔♥ t➔✉ ✤â ✈÷đt q ởt ữớ ở ũ ợ tố ✼✱✷❦♠✴❣✐í ❤➳t
✶✹ ❣✐➙②✳
❞✮ ✣♦➔♥ t➔✉ ✤â ✈÷đt q✉❛ ♠ët ♥❣÷í✐ ữủ ợ tố ớ
t ❣✐➙②✳

✻✶✳ ▼ët ♥❣÷í✐ ✤✐ ❜ë✱ rí✐ ❦❤ä✐ ♥❤➔ ❧ó❝ ✽ ❣✐í ✈➔ ✤✐ ✤➳♥ ❝❤đ ❧ó❝ ✽ ❣✐í ✷✹ ♣❤ót t❤➻
✤➳♥ ❝❤đ✱ ❜✐➳t q✉➣♥❣ ✤÷í♥❣ tø ♥❤➔ ✤➳♥ ❝❤đ ❞➔✐ ọ ữớ õ ợ tố


▼ët ♥❣÷í✐ ❝❤↕② tø ✤✐➸♠ ❆ ✤➳♥ ✤✐➸♠ ❇ ✈➔ tø ❇ ❝❤↕② ✈➲ ✤✐➸♠ ❆✱ t❤í✐ ❣✐❛♥

❝❤↕② ❤➳t ✸ ♣❤ót ✺✵ ❣✐➙②✱ ❜✐➳t ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ ❣✐ú❛ ❤❛✐ ✤✐➸♠ ❆ ✈➔ ❇ ❞➔✐ ✺✼✺♠✳ ❚➼♥❤
✈➟♥ tè❝ ❝❤↕② ❝õ❛ ♥❣÷í✐ ✤â ❜➡♥❣ ♠✴❣✐➙②✳

✻✸✳ ▲ó❝ ✼ ❣✐í✱ ♠ët ♥❣÷í✐ ✤✐ ❜ë ❦❤ð✐ ❤➔♥❤ tø ①➣ ❆ ✈ỵ✐ ✈➟♥ tè❝ ✻❦♠✴❣✐í✱ ✤✐ ✤➳♥
✼ ớ út ữớ õ út rỗ ❧➯♥ ỉ tỉ ✤✐ t✐➳♣ ✤➳♥ ①➣ ❇ ❧ó❝ ✽ ❣✐í
✸✵ ♣❤ót✳ ❚➼♥❤ q✉➣♥❣ ✤÷í♥❣ tø ①➣ ❆ ✤➳♥ ①➣ ❇✱ ❜✐➳t ỉ tỉ ✤✐ ✈ỵ✐ ✈➟♥ tè❝ ✻✵❦♠✴❣✐í✳

✻✹✳ ▲ó❝ ✻ ❣✐í ♠ët ①❡ ♠→② ❦❤ð✐ ❤➔♥❤ tø t➾♥❤ ❆ ữợ t ợ tố
ớ ú ❣✐í ✸✵ ♣❤ót ♠ët ♥❣÷í✐ ❦❤→❝ ✤✐ ỉ tỉ tø t➾♥❤ ❇ ✈➲ t➾♥❤ ❆ ✈ỵ✐ ✈➟♥
tè❝ ✺✻❦♠✴❣✐í✱ ✈➔ ❤❛✐ ♥❣÷í✐ ❣➦♣ ♥❤❛✉ ❧ó❝ ✼ ❣✐í ✶✺ ♣❤ót✳ ❚➼♥❤ q✉➣♥❣ ✤÷í♥❣ tø
t➾♥❤ ❆ ✤➳♥ t➾♥❤ ❇✳

✻✺✳ ❍❛✐ t➾♥❤ ❆ ✈➔ ❇ ❝→❝❤ ♥❤❛✉ ✼✷❦♠✱ ❧ó❝ ✼ ❣✐í ♠ët ỉ tỉ ✤✐ tø t➾♥❤ ❆ ✈ỵ✐ ✈➟♥
tỉ❝ s✹✽❦♠✴❣✐í✳ ❍ä✐ ✤➳♥ ♠➜② ❣✐í t❤➻ ♥❣÷í✐ ✤â ✤➳♥ t➾♥❤ ❇❄

✻✻✳ ❍❛✐ ①➣ ❆ ✈➔ ❇ ❝→❝❤ ♥❤❛✉ ✶✷❦♠✳ ❆♥❤ ❉ơ♥❣ rí✐ ①➣ ❆ ✤➸ ✤✐ ✤➳♥ ①➣ ❇✱ ✤✐
❜ë ✤÷đ❝ ✸❦♠✱ ❛♥❤ ❉ơ♥❣ ❧➯♥ ①❡ ♠→② ✤✐ t❤➯♠ ✶✺ ♣❤ót ♥ú❛ t❤➻ ✤➳♥ ①➣ ❇✳ ❍ä✐
♥➳✉ ❛♥❤ ❉ô♥❣ ✤✐ ①❡ ♠→② ♥❣❛② tø ✤➛✉ t❤➻ t❤í✐ ❣✐❛♥ ✤✐ tø ①➣ ❆ ✤➳♥ ①➣ ❇ ❧➔ ❜❛♦ ❧➙✉❄

✻✼✳ ❍❛✐ ♥❣÷í✐ ð ❤❛✐ ①➣ ❆ ✈➔ ❇ ❝→❝❤ ♥❤❛✉ ✶✽❦♠✱ ❝ò♥❣ ❦❤ð✐ ❤➔♥❤ ❜➡♥❣ ①❡ ✤↕♣ ❧ó❝

✻ ❣✐í ✈➔ ✤✐ ♥❣÷đ❝ ❝❤✐➲✉ ♥❤❛✉✳ ◆❣÷í✐ t❤ù t ợ tố ớ ữớ
tự ợ ✈➟♥ tè❝ ✶✵❦♠✴❣✐í✳ ❍ä✐ ✤➳♥ ♠➜② ❣✐í t❤➻ ❤❛✐ ♥❣÷í✐ ❣➦♣ ♥❤❛✉❄

✶✵


❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙

✻✽✳ ❍❛✐ t❤à ①➣ ❆ ✈➔ ❇ ❝→❝❤ ♥❤❛✉ ✺✹❦♠✳ ❆♥❤ ❇➡♥❣ ✤✐ ①❡ ♠→② tø ❆ ✤➳♥ ❇ ✈➔
❛♥❤ ❉ơ♥❣ ❝ơ♥❣ ✤✐ ①❡ ♠→② ♥❤÷♥❣ tø ❇ ✈➲ ❆✱ ❤❛✐ ♥❣÷í✐ ❦❤ð✐ ❤➔♥❤ ❝ơ♥❣ ♠ët ❧ó❝
✈➔ s❛✉ ✺✹ ♣❤ót t❤➻ ❤❛✐ ♥❣÷í✐ ❣➦♣ ♥❤❛✉✱ ❝❤é ❣➦♣ ♥❤❛✉ ❝→❝ t❤à ①➣ ❆ ✷✺✱✷❦♠✳ ❍ä✐
✈➟♥ tè❝ ❝õ❛ ♠é✐ ♥❣÷í✐ ❧➔ ❜❛♦ ♥❤✐➯✉❄

✻✾✳ ❇❛ t➾♥❤ ❆✱ ❇ ✈➔ ❈ ❝ò♥❣ ♥➡♠ tr➯♥ ♠ët q✉➣♥❣ ✤÷í♥❣ ✈➔ t➾♥❤ ❇ ð ❣✐ú❛ ❤❛✐

t➾♥❤ ❆ ✈➔ ❈❀ ❤❛✐ t➾♥❤ ❆ ✈➔ ❇ ❝→❝❤ ♥❤❛✉ ✸✷❦♠✳ ▲ó❝ ✻ ❣✐í ♠ët ♥❣÷í✐ ❦❤ð✐ ❤➔♥❤
tø ❇ ✤✐ ✈➲ ❈ ✈ỵ✐ ✈➟♥ tè❝ ✷✸❦♠✴❣✐í✱ ❝ị♥❣ ❧ó❝ ✤â ❝â ♠ët ♥❣÷ð✐ ❦❤ð✐ ❤➔♥❤ tø ❆
❝ơ♥❣ ✤✐ ✈➲ ❈ ✈ỵ✐ ✈➟♥ tè❝ ✸✾❦♠✴❣✐í✳ ❍ä✐ ✤➳♥ ❧ó❝ ♠➜② ❣✐í t❤➻ ♥❣÷í✐ ✤✐ tø ❆ ✤✉ê✐
❦à♣ ♥❣÷í✐ ✤✐ tø ❇❄

✼✵✳ ❇→❝ ❇❛ ✈➔ ❜→❝ ❚÷ ✤➲✉ ✤✐ tø t➾♥❤ ❆ ✤➳♥ t➾♥❤ ❇✱ ❧ó❝ ✻ ❣✐í ❜→❝ ❇❛ ❜➢t ✤➛✉ ✤✐

✈ỵ✐ ✈➟♥ tè❝ ✶✷❦♠✴❣✐í✱ ✤➳♥ ✻ ❣✐í ✹✺ ♣❤ót ❜→❝ ❚÷ ♠ỵ✐ ❜➢t ✤➛✉ ✤✐ ✈➔ ✤✐ ✈ỵ✐ ✈➟♥
tè❝ ✶✺❦♠✴❣✐í✳ ❍ä✐ ớ ữ ợ ờ

◗✉➣♥❣ ✤÷í♥❣ tø ❆ ✤➳♥ ❇ ❝õ❛ ♠ët ❦❤ó❝ sỉ♥❣ tố ỏ ữợ

ớ ởt ổ tø ❆ ①✉æ✐ ❞á♥❣ ✈➲ ❇✱ ♠ët ❝❛ ♥æ ❦❤→❝ ♥❣÷đ❝ ❞á♥❣ tø ❇
✈➲ ❆✱ ❤❛✐ ❝❛ ♥ỉ ❦❤ð✐ ❤➔♥❤ ❧ó❝ ✼ ❣✐í✱ ✈➟♥ tè❝ ❝õ❛ é✐ ❝❛ ♥ỉ ❧➔ ✷✻❦♠✴❣✐í✳ ❍ä✐ ✤➳♥
♠➜② ❣✐í ❤❛✐ ❝❛ ♥ỉ ❣➦♣ ♥❤❛✉❄

✼✷✳ ▲ó❝ ✻ ❣✐í✱ t↕✐ ✤✐➸♠ ❆ ❝â ♠ët ❝❤✐➳❝ t❤✉②➲♥ ❦❤ð✐ ổ t ỏ ữợ

ữủ ởt q ữớ t q✉❛② ♥❣÷đ❝ ❞á♥❣ ✈➔ ✈➲ ✤➳♥ ❇ ❧ó❝ ✾ ❣✐í✳
❍ä✐ t❤✉②➲♥ ✤✐ ❝→❝❤ ✤✐➸♠ ❆ ❜❛♦ ①❛ ♠ỵ✐ q✉❛② ❧↕✐❄ t tố ừ t
ớ tố ỏ ữợ ❧➔ ✺❦♠✴❣✐í✳

✶✶


❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙

✺ ❍➻♥❤ ❤å❝

✼✸✳ ❈❤♦ ❤➻♥❤ t❛♠ ❣✐→❝ ❆❇❈ ❝â ✤✐➸♠ ◆ ❧➔ ✤✐➸♠ ❝❤➼♥❤ ❣✐ú❛ ❝↕♥❤ ❆❈✱ tr➯♥ ❤➻♥❤
✤â ❝â ❤➻♥❤ t❤❛♥❣ ❇▼◆❊ ♥❤÷ ❤➻♥❤ ✈➩✳ ◆è✐ ❇ ✈ỵ✐ ◆✱ ♥è✐ ❊ ✈ỵ✐ ▼✱ ❤❛✐ ✤♦↕♥ t❤➥♥❣
♥➔② ❣➦♣ ♥❤❛✉ ð ✤✐➸♠ ❖✳
❛✮ ❙♦ s→♥❤ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❤❛✐ t❛♠ ❣✐→❝ ❖❇▼ ✈➔ ❖❊◆✳
❜✮ ❙♦ s→♥❤ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❤➻♥❤ t❛♠ ❣✐→❝ ❊▼❈ ✈ỵ✐ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❤➻♥❤ ❆❊▼❇✳

✼✹✳ ❈❤♦ t❛♠ ❣✐→❝ ❆❇❈✳ ▼ ❧➔ ✤✐➸♠ ❝❤➼♥❤ ❣✐ú❛ ❝↕♥❤ ❇❈✱ ◆ ❧➔ ✤✐➸♠ ❝❤➼♥❤ ❣✐ú❛
❝↕♥❤ ❆❈✳ ❆▼ ✈➔ ❆◆ ❝➢t ♥❤❛✉ t↕✐ ●✳
❛✮ ❙♦ s→♥❤ ❞✐➺♥ t➼❝❤ t❛♠ ❣✐→❝ ❇●▼✱ ❈●▼✱ ❆●◆✱ ❈●◆✳
❜✮ ◆è✐ ❈ ✈ỵ✐ ● ✈➔ ❦➨♦ ❞➔✐ ❈● ❝➢t ❝↕♥❤ ❆❇ t↕✐ P✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❆P ❂ ❇P✳

✼✺✳ ❈❤♦ t❛♠ ❣✐→❝ ❆❇❈✳ ▼ ❧➔ ✤✐➸♠ ❝❤➼♥❤ ❣✐ú❛ ❝↕♥❤ ❇❈✱ ◆ ❧➔ ✤✐➸♠ ❝❤➼♥❤ ❣✐ú❛

❝↕♥❤ ❆❈✱ P ❧➔ ✤✐➸♠ ❝❤➼♥❤ ❣✐ú❛ ❝õ❛ ❝↕♥❤ ❆❇✱ ❜❛ ✤♦↕♥ t❤➥♥❣ ❆▼✱ ❇◆ ✈➔ ❈P
❝➢t ♥❤❛✉ t↕✐ ●✳
❛✮ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜❛ ✤♦↕♥ t❤➥♥❣ ❆▼✱ ❇◆ ✈➔ ❈P ❝❤✐❛ t❛♠ ❣✐→❝ ❆❇❈ t❤➔♥❤ ✻ t❛♠
❣✐→❝ ❝â ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❜➡♥❣ ♥❤❛✉✳
AG
BG

CG 2
=
=
= ✳
❜✮ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✿ AM
BN
CP
3

✶✷


❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙

✼✻✳ ❚➼♥❤ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❤➻♥❤ t❤❛♥❣ ❆❇❈❉✳ ❇✐➳t ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❝→❝ ❤➻♥❤ t❛♠ ❣✐→❝ ❆❖❉
✈➔ ❉❖❈ ♥❤÷ ❤➻♥❤ ✈➩✳

✼✼✳ ❈❤♦ ❤➻♥❤ t❤❛♥❣ ✈✉æ♥❣ ▼◆P◗ ✈✉æ♥❣ ❣â❝ t↕✐ ▼ ✈➔ ◗❀ P Q = 12 M N ✳ ❑➨♦
❞➔✐ ▼◗ ✈➔ ◆P ❝➢t ♥❤❛✉ t↕✐ ❆✳
❛✮ ❙♦ s→♥❤ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❤❛✐ t❛♠ ❣✐→❝ ▼◆P ✈➔ ▼◗◆✳
❜✮ ❙♦ s→♥❤ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❤❛✐ t❛♠ ❣✐→❝ ❆◗P ✈➔ ❆◗◆✳
❝✮ ❉✐➺♥ t➼❝❤ ❤➻♥❤ t❤❛♥❣ ▼◆P◗ ❜➡♥❣ 63cm2✳ ❚➼♥❤ ❞✐➺♥ t➼❝❤ t❛♠ ❣✐→❝ ❆◗P✳

✶✸


❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙

✼✽✳ ❈❤♦ ❤➻♥❤ t❤❛♥❣ ❆❇❈❉ ✭❤❛✐ ✤→② ❧➔ ❆❇✱ ❈❉✮✳ ❚r➯♥ ✤÷í♥❣ ❝❤➨♦ ❆❈ ❧➜② ✤✐➸♠

▼ s❛♦ ❝❤♦ ▼❆ ❂ ▼❈✳ ❚ø ▼ ❦➫ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ s♦♥❣ s♦♥❣ ợ ữớ t
t ự ♠✐♥❤ r➡♥❣ ✤♦↕♥ t❤➥♥❣ ❇◆ ❝❤✐❛ ❤➻♥❤ t❤❛♥❣ ❆❇❈❉
t❤➔♥❤ ❤❛✐ ♣❤➛♥ ❝â ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❜➡♥❣ ♥❤❛✉✳

✼✾✳ ❈❤♦ ❤➻♥❤ t❤❛♥❣ ❆❇❈❉ ❝â ❆❇ s♦♥❣ s♦♥❣ ✈ỵ✐ ❈❉ ✈➔ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❜➡♥❣ 40cm ✳
2

❑➨♦ ❞➔✐ ❆❇ ♠ët ✤♦↕♥ ❇▼ s❛♦ ❝❤♦ ❆❇ ❂ ❇▼✱ ❦➨♦ ❞➔✐ ❇❈ ♠ët ✤♦↕♥ ❈◆ s❛♦
❝❤♦ ❇❈ ❂ ❈◆✱ ❦➨♦ ❞➔✐ ❈❉ ♠ët ✤♦↕♥ ❉P s❛♦ ❝❤♦ ❈❉ ❂ ❉P✱ ❦➨♦ ❞➔✐ ❉❆ ♠ët
✤♦↕♥ ❆◗ s❛♦ ❝❤♦ ❉❆ ❂ ❆◗✳ ◆è✐ ▼✱ ◆✱ P✱ ◗✳ ❚➻♠ ❞✐➺♥ t➼❝❤ tù ❣✐→❝ ▼◆P◗✳

✶✹


❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙

✽✵✳ ❈❤♦ ❤➻♥❤ ❝❤ú ♥❤➟t ❆❇❈❉ ❝â ❝❤✉ ✈✐ ❧➔ ✼✽❝♠✱ ❝❤✐➲✉ ❞➔✐ ❆❇ ❤ì♥ ❝❤✐➲✉ rë♥❣

❇❈ ❧➔ ✶✺❝♠✳ ❚r➯♥ ❇❈ ❧➜② ✤✐➸♠ ▼✱ tr➯♥ ❈❉ ❧➜② ✤✐➸♠ ◆ s❛♦ ❝❤♦ ❤❛✐ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣
❆▼✱ ❆◆ ❝❤✐❛ ❤➻♥❤ ❝❤ú ♥❤➟t t❤➔♥❤ ✸ ♣❤➛♥ ❝â ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❜➡♥❣ ♥❤❛✉✳ ❚➼♥❤ ✤ë ❞➔✐
✤♦↕♥ ❈▼✱ ❈◆✳

✽✶✳ ❈❤♦ ❤➻♥❤ ❝❤ú ♥❤➟t ❆❇❈❉✳ ❚r➯♥ ❝↕♥❤ ❆❇ ❧➜② ✤✐➸♠ ▼ ❜➜t ❦➻✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤
r➡♥❣ SDM C = 12 SABCD ✳

✶✺


❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙

✽✷✳ ❈❤♦ ❤➻♥❤ ❝❤ú ♥❤➟t ❆❇❈❉✳ ■ ❧➔ ✤✐➸♠ ❝❤➼♥❤ ❣✐ú❛ ❝↕♥❤ ❆❇✳ ◆è✐ ❉ ✈ỵ✐ ■✱ ✤♦↕♥

t❤➥♥❣ ❉❇ ❝➢t ✤♦↕♥ t❤➥♥❣ ■❈ t↕✐ ❑ ✭❤➻♥❤ ✈➩✮✳
❛✮ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ SDIK = 12 SDBC ✳
❜✮ ❑➫ ■P ✈✉æ♥❣ ❣â❝ ✈ỵ✐ ❉❇❀ ❦➫ ❈◗ ✈✉ỉ♥❣ ❣â❝ ✈ỵ✐ ❉❇✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣
SDIC = 3SDIK ✳
❝✮ ❇✐➳t SDIK = 8cm2✳ ❚➼♥❤ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❤➻♥❤ ❝❤ú ♥❤➟t ❆❇❈❉✳

✽✸✳ ❈❤♦ ❤➻♥❤ ❝❤ú ♥❤➟t ❆❇❈❉ ✈➔ ❝→❝ ✤✐➸♠ ▼✱ ❖✱ ■ s❛♦ ❝❤♦ ▼■ ❂ ■❉ ✈➔ ❆❖
❂ ❖■ ✭❤➻♥❤ ✈➩✮✳ ❇✐➳t ❞✐➺♥ t➼❝❤ t❛♠ ❣✐→❝ ▼❖■ ❧➔ 25m2✳ ❍ä✐ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❤➻♥❤ ❝❤ú
♥❤➟t ❆❇❈❉ ❜➡♥❣ ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ❤➨❝✲t❛❄

✶✻


❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙

✽✹✳ ❈❤♦ ❤➻♥❤ trá♥ t➙♠ ❖ t✐➳♣ ①ó❝ ợ ừ ổ ữ
t ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❤➻♥❤ ✈✉æ♥❣ ❧➔ 400cm2✳ ❚➼♥❤✿
❛✮ ❉✐➺♥ t➼❝❤ ❤➻♥❤ trá♥ t➙♠ ❖✳
❜✮ ❉✐➺♥ t➼❝❤ ♣❤➛♥ ♠➔✉ ✈➔♥❣✳

✽✺✳ ▼ët ♣❤á♥❣ ❤å❝ tr♦♥❣ ❧á♥❣ ❞➔✐ ✼♠✱ rë♥❣ ✺♠✱ ❝❛♦ ✸✱✺♠✳ ❈→❝ ❝û❛ r❛ ✈➔♦ ✈➔

❝❤✐➳♠ 16m2✳ ❚➻♠ ♣❤➼ tê♥ q✉➨t ✈æ✐ t÷í♥❣ ♣❤➛♥ ❜➯♥ tr♦♥❣ ❝➠♥ ♣❤á♥❣✳ ❇✐➳t r➡♥❣
q✉➨t ✈ỉ✐ 1m2 tố ỗ

ở t ❝❤ú ♥❤➟t tr➯♥ t➜t ❝↔ ❝→❝ ♠➦t ❝õ❛ ♠ët

❝→✐ t❤ò♥❣ ❝→❝ tỉ♥❣ ❤➻♥❤ ❧➟♣ ♣❤÷ì♥❣ ✭①❡♠ ❤➻♥❤ ✈➩✮✳ P❤➛♥ ❝→❝ ❝ët ♥ót ❝❤✐➳♠

✷✱✺❞♠✳ ❚➼♥❤ ❞✐➺♥ t➼❝❤ t♦➔♥ ♣❤➛♥ ❝→✐ t❤ị♥❣✳

✶✼


❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙

✽✼✳ ❍➻♥❤ ✈✉æ♥❣ ❆❇❈❉ ❝â ❝↕♥❤ ❞➔✐ ✺❝♠ ✈➔ ❝â ▼✱ ◆✱ P✱ ◗ ❧➔ ❝→❝ tr✉♥❣ ✤✐➸♠
❝õ❛ ❜è♥ ❝↕♥❤✳ ❚➼♥❤ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ♣❤➛♥ ♠➔✉ ✈➔♥❣✳

✽✽✳ ❇✐➳t ❝↕♥❤ ừ ộ ổ ổ tr ữợ ❚➼♥❤ tê♥❣ ❝❤✉ ✈✐
✈➔ tê♥❣ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❝õ❛ t➜t ❝↔ ❝→❝ ❤➻♥❤ ✈✉ỉ♥❣ ð tr♦♥❣ ✤â✳

✽✾✳ ❇→❝ ❚÷ ❝â ♠ët t❤û❛ r✉ë♥❣ ❤➻♥❤ t❛♠ ❣✐→❝ ✈✉æ♥❣ ❝â ❤❛✐ ❝↕♥❤ ❣â❝ ✈✉æ♥❣ ❞➔✐

✻✵♠ ✈➔ ✸✵♠✳ ◆➠♠ ♥❛② ①➣ ✤➔♦ ♠ët ❝♦♥ ♠÷ì♥❣ rë♥❣ ✸♠ ❝❤↕② ❞å❝ t❤❡♦ ❝↕♥❤ ✻✵♠
✭①❡♠ ❤➻♥❤ ✈➩✮✳ ❊♠ ❤➣② t➼♥❤ ❞✐➺♥ t➼❝❤ t❤û❛ r✉ë♥❣ ❝á♥ ❧↕✐✳

✾✵✳ ▲➔♠ ởt t t ữợ ữủ

ữợ ữủ ỏ ữợ ữủ ợ
ổ ổ õ ữợ ữủ s ìợ ữủ ữ t
t t t t 45m2 ữợ ữủ ữ t t t
t t 45m2 ữợ ữủ ữ t õ ú ợ
ũ ữủ t➠♥❣ t❤➯♠ ✷♠ ♥ú❛✧✳ ❊♠ ❤➣② t➼♥❤ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ♠↔♥❤ ✤➜t ❤➻♥❤ t❤❛♥❣
✤â✳
✶✽


❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙

✻ ▼ët sè ❞↕♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ ❦❤→❝
✾✶✳ ❚➻♠ sè ❝á♥ t❤✐➳✉✿

1+
9

+3 :4=

8
9

✾✷✳ ▼ët ✤ë✐ q✉➙♥ ❦✐➳♥ ✤❛♥❣ ❞✐ ❝÷✳ ❈→❝ ❝❤✐➳♥ ❜✐♥❤ ❦✐➳♥ ♠❛♥❣ ➼t ❤ì♥ ♥û❛ sè t❤ù❝

➠♥ tr♦♥❣ ❧➛♥ ❤➔♥❤ q✉➙♥ ✤➛✉ t✐➯♥ ❧➔ ✶✷✵❣✳ ▲➛♥ ❤➔♥❤ q✉➙♥ t❤ù ❤❛✐✱ ❝❤ó♥❣ s➢♣
①➳♣ ✤➸ ♠❛♥❣ ♥❤✐➲✉ ❤ì♥ ♥û❛ sè t❤ù❝ ➠♥ ❝á♥ ❧↕✐ ✶✵✵❣✳ ❱➔ ❧➛♥ ❤➔♥❤ q✉➙♥ t❤ù ❜❛
❝❤ó♥❣ ♠❛♥❣ t❤❡♦ ✹✽✵❣ t❤ù❝ ➠♥✳ ❈á♥ ❧↕✐ ✷✽✵❣ t❤ù❝ ➠♥ ✈➝♥ ❝❤÷❛ ♠❛♥❣ ✤✐ ✤÷đ❝✳
❍ä✐ ❜❛♥ ✤➛✉ ❝→❝ ❝❤✐➳♥ ❜✐♥❤ ❦✐➳♥ ❝â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ t❤ù❝ ➠♥❄

✾✸✳ ▼ët rê t→♦ ❝❤✉➞♥ ❜à ✤÷đ❝ ❝❤✐❛ ❝❤♦ ♠å✐ ♥❣÷í✐✳ ◆➳✉ ♠é✐ ♥❣÷í✐ ❧➜② ✸ q✉↔
t→♦ t❤➻ s➩ t❤ø❛ r❛ ✶✻ q✉↔ t→♦✳ ◆➳✉ ♠é✐ ♥❣÷í✐ ❧➜② ✺ q✉↔ t→♦ t❤➻ s➩ t❤✐➳✉ ✹ q✉↔
t→♦✳ ❍ä✐ ❝â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ♥❣÷í✐ ❝❤✐❛ ♥❤❛✉ rê t→♦ ✤â❄ ❈â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ q✉↔ t→♦ tr♦♥❣ rê❄

✾✹✳ ▼ët ♥❤â♠ ❝ỉ♥❣ ♥❤➙♥ ①➙② ❞ü♥❣ ✤❛♥❣ ❧→t ✤÷í♥❣✳ t ữủ

ồ s t ổ sợ ❤ì♥ ❧à❝❤ tr➻♥❤ ✻ ♥❣➔②✳ ❈á♥ ♥➳✉ ❝❤➾ ❧→t ✤÷đ❝
✶✻✵♠✴♥❣➔②✱ ❝æ♥❣ ✈✐➺❝ ❝õ❛ ❤å s➩ ❜à tr➵ ✹ ♥❣➔② s♦ ợ ọ ữớ
t

r ❞➣② sè✿ 4, 7, 10, · · · , 295, 298✳ ❙è ✷✾✽ ❧➔ sè t❤ù ❜❛♦ ♥❤✐➯✉❄

✾✻✳ ❈â ✸✵ ❤➔♥❣ ❣❤➳ ð ❝→♥❤ ♣❤➼❛ ❇➢❝ ❝õ❛ ♠ët s➙♥ ✈➟♥ ở s
ỡ trữợ ❝✉è✐ ❝ò♥❣ ❝â ✶✸✷ ❣❤➳✳ ❍ä✐ ❝â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ❣❤➳ ð
❤➔♥❣ ✤➛✉ t✐➯♥❄ ❱➔ ❝â t➜t ❝↔ ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ❣❤➳ ð ❝→♥❤ ♣❤➼❛ ❇➢❝❄

✾✼✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ♣❤➨♣ t➼♥❤ ♠ỵ✐✿
3✸4 = 3 + 4 + 5 + 6
5✸6 = 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10
6✸3 = 6 + 7 + 8

❚➻♠ ❣✐→ trà ❝õ❛ ♥ tr♦♥❣ ♣❤➨♣ t♦→♥ n✸8 = 60✳

✾✽✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ♣❤➨♣ t➼♥❤ ♠ỵ✐✿ 88
❚➻♠ 13
15

11
✳
12

3 11 2
= ✱
4 32 5

6
8
=
7 35

✈➔ 47

5
9
= ✳
8 56

✾✾✳ ▼ët ❝❤✐➳❝ ❤ë♣ ❝â ❝❤ù❛ ♥❤ú♥❣ ✈✐➯♥ ❜✐ ①❛♥❤✳ ❍❛✐ ❝❤✐➳❝ ❤ë♣ ❦❤→❝ ❧↕✐ ❝❤➾ ❝❤ù❛
✶✾


❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙

❜✐ tr➢♥❣✳ ◆❤➣♥ tr➯♥ ❤ë♣ ❆✿ ❇✐ tr➢♥❣❀ ♥❤➣♥ tr➯♥ ❤ë♣ ❇✿ ❜✐ ①❛♥❤❀ ♥❤➣♥ tr➯♥ ❤ë♣
❈✿ ❤ë♣ ❇ ❝❤ù❛ ❜✐ ①❛♥❤✳ ❍ä✐ ❤ë♣ ♥➔♦ ❝❤ù❛ ❜✐ ①❛♥❤ ♥➳✉ ❤❛✐ tr♦♥❣ sè ❜❛ ♥❤➣♥
tr➯♥ ✤➣ ❜à ❞→♥ ♥❤➛♠✳

✶✵✵✳ ❇è♥ ❤➔♥❤ ❦❤→❝❤ ❆✱ ❇✱ ❈✱ ❉ ✤➦t ❝❤é ð ởt s t ồ tứ

ữợ r ◗✉è❝✱ ✣ù❝✱ ▼❡①✐❝♦ ✈➔ ❆✐ ❈➟♣✳ ❚➛♥❣ ♠➔ ❆ ð ❝â sè ❣➜♣ ✹ ❧➛♥
sè ð t➛♥❣ ❝õ❛ ♥❣÷í✐ ▼➯✲①✐✲❝ỉ✳ ◆❣÷í✐ ✣ù❝ ð ❝❛♦ ❤ì♥ ♥❣÷í✐ ❇ ✹ t➛♥❣ ♥❤÷♥❣ t❤➜♣
❤ì♥ ♥❣÷í✐ ❆✐ ❈➟♣✳ ◆❣÷í✐ ❆✐ ❈➟♣ ð t❤➜♣ ❤ì♥ ♥❣÷í✐ ❆ ✻ t➛♥❣✳ ❚➜t ❝↔ sè t➛♥❣
♠➔ ❤å ð ✤➲✉ ❧➔ sè ❝❤➤♥✳ ●❤➨♣ ❆✱ ❇✱ ❈✱ ❉ ✈ỵ✐ ú t ữợ ừ ồ số t
tr s

▼ët ❜→❝ ♥æ♥❣ ❞➙♥ ❝â ✶✹✺ ❝♦♥ ❣➔ ✈➔ ❝♦♥ t❤ä✳ ❈❤ó♥❣ ❝â t➜t ❝↔ ❝â ✹✶✵ ❝❤➙♥✳
❍ä✐ ❝â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ❝♦♥ ❣➔❄ ❇❛♦ ♥❤✐➯✉ ❝♦♥ t❤ä❄

✶✵✷✳ ▼ët ❝♦♥ ❣➔ trố q t t ỗ ũ r ◗✉è❝ t❤í✐ ①÷❛✮✱

♠ët ❝♦♥ ❣➔ ♠→✐ ❝â ❣✐→ ✸ q✉❛♥ ✈➔ ♠ët ❝♦♥ ❣➔ ❝♦♥ ❣✐→ ✶ q✉❛♥✳ ◆➳✉ ✶✵✵
ữủ ợ q t ❤ä✐ tr♦♥❣ ✤â ❝â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ❣➔ trè♥❣✱ ❣➔

♠→✐ ✈➔ ❣➔ ❝♦♥❄

✶✵✸✳ ❚➼♥❤✿

1
1

2+
3+

1
4+

1
5

✶✵✹✳ ❚➼♥❤ 1 ×1 5 + 5 ×1 9 + 9 ×1 13 + · · · + 97 ×1 101 ✳
✶✵✺✳ ❈â ✸ ✤ỉ✐ t➜t ①→♠✱ ✸ ✤æ✐ t➜t ✈➔♥❣ ð tr♦♥❣ ♥❣➠♥ ❦➨♦✳ ❍ä✐ ❆❧❛♥ ♣❤↔✐ ❧➜② r❛
❦❤ä✐ ♥❣➠♥ ❦➨♦ ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ❝❤✐➳❝ t➜t tr♦♥❣ ♠ët ❝➠♥ ♣❤á♥❣ tè✐ ✤➸ ❝â ✤÷đ❝ ♠ët ❝➦♣
t➜t ❝ị♥❣ ♠➔✉❄

✶✵✻✳ ✣✐➸♠ ❝❛♦ ♥❤➜t tr♦♥❣ ♠ët ❦ý t❤✐ ❦➳t t❤ó❝ ♠ỉ♥ ❚♦→♥ tr♦♥❣ ❧ỵ♣ ✺● ❧➔ ✾✾✳

✣✐➸♠ t❤➜♣ ♥❤➜t tr♦♥❣ ❦ý t❤✐ ✤â ❧➔ ✾✶✳ ❈â ➼t ♥❤➜t ♥➠♠ ❤å❝ s✐♥❤ ❝â ❝ị♥❣ ✤✐➸♠✳
❍ä✐ sè ❤å❝ s✐♥❤ tè✐ t❤✐➸✉ tr♦♥❣ ❧ỵ♣ ✺● ❧➔ ❜❛♦ ♥❤✐➯✉❄

✶✵✼✳ ✼✵ ❤å❝ s✐♥❤ ❝õ❛ tr÷í♥❣ t✐➸✉ ❤å❝ ❚❤♦♠s♦♥ t❤❛♠ ❣✐❛ ♠ët ❝✉ë❝ t❤✐ t♦→♥
❤å❝✳ ✣✐➸♠ sè tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ❝õ❛ ❝→❝ ❜↕♥ ❧➔ ✻✻ ✤✐➸♠✳ ✣✐➸♠ sè tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ❝õ❛ ❝→❝
❜↕♥ ♥ú ❧➔ ✼✵ ✤✐➸♠ ✈➔ ❝→❝ ❜↕♥ ♥❛♠ ❧➔ ✻✸ ✤✐➸♠✳ ❍ä✐ t➾ ❧➺ sè ❜↕♥ ♥ú ✈➔ sè ❜↕♥
✷✵

❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙

♥❛♠ ❧➔ ❜❛♦ ♥❤✐➯✉❄

✶✵✽✳ ❈→❝ ♠→② ❆✱ ❇ ✈➔ ❈ tr♦♥❣ ①÷ð♥❣ ❧➛♥ ❧÷đt ♠➜t ✹✱ ✺ ✈➔ ✻ ♣❤ót ✤➸ s↔♥ ①✉➜t
✶✵✵✵ ✈✐➯♥ t❤✉è❝✳ ❈❤õ ①÷ð♥❣ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ✤ì♥ ✤➦t ❤➔♥❣ ✼✹✵ ✵✵✵ ✈✐➯♥ t❤✉è❝ ✤â✳
❍ä✐ ❜→❝ ➜② ❝➛♥ ❝❤✐❛ ❝❤♦ ❝→❝ ♠→② sè ❧÷đ♥❣ ✈✐➯♥ t❤✉è❝ ♥❤÷ t❤➳ ♥➔♦ ✤➸ ❝❤ó♥❣ ❜➢t
✤➛✉ ✈➔ ❦➳t t❤ó❝ ð ❝ị♥❣ ♠ët t❤í✐ ✤✐➸♠❄

✼ ✣→♣ →♥ ✈➔ ❧í✐ ❣✐↔✐ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ❝❤å♥ ❧å❝
❇➔✐ ✸✳ ❙♦ s→♥❤ ❝→❝ ♣❤➙♥ sè s❛✉✿ 45 ; 87 ; 89 ; 12
11

8
<
✣→♣ sè✿ 45 < 98 < 12
11 7

❇➔✐ ✶✶✳ ❚✉ê✐ ❇è ❜➡♥❣ 98 t✉ê✐ ▼➭✱ t✉ê✐ ▲❛♥ ❜➡♥❣ 14 t✉ê✐ ▼➭✱ tê♥❣ sè t✉ê✐ ❝õ❛
❇è ✈➔ ▲❛♥ ❧➔ ✹✹ t✉ê✐✳ ❍ä✐ ♠é✐ ♥❣÷í✐ ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ t✉ê✐❄

❇➔✐ ❣✐↔✐✿

❚❛ ❝â 41 = 28 ✳ tờ 82 tờ
tờ ỗ t tờ ỗ tờ ố ỗ

tờ ỗ 9 + 2 = 11 ♣❤➛♥✳
❚✉ê✐ ❝õ❛ ❇è ❧➔✿ 44 : 11 × 9 = 36 ✭t✉ê✐✮

❚✉ê✐ ❝õ❛ ▲❛♥ ❧➔✿ 44 − 36 = 8 ✭t✉ê✐✮
❚✉ê✐ ❝õ❛ ▼➭ ❧➔✿ 8 × 4 = 32 ✭t✉ê✐✮✳
✣→♣ sè✿ ❇è✿ ✸✻ t✉ê✐❀ ▼➭✿ ✸✷ t✉ê✐❀ ▲❛♥✿ ✽ t✉ê✐✳

❇➔✐ ✶✼✳ ▼ët ✤ë✐ ❝ỉ♥❣ ♥❤➙♥ ❧➔♠ ✤÷í♥❣ tr♦♥❣ ✸ ♥❣➔②✳ ◆❣➔② t❤ù ♥❤➜t ❧➔♠ ✤÷đ❝

❝ỉ♥❣ ✈✐➺❝✱ ♥❣➔② t❤ù ❤❛✐ ❧➔♠ ✤÷đ❝ 38 ❝ỉ♥❣ ✈✐➺❝✱ ♥❣➔② t❤ù ❜❛ ❧➔♠ ♥èt ✺✼ ♠➨t
❝✉è✐✳ ❍ä✐ ✤ë✐ ❝æ♥❣ ♥❤➙♥ ✤â ♣❤↔✐ ❧➔♠ ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ♠➨t ✤÷í♥❣❄
2
7

❇➔✐ ❣✐↔✐✿

❙❛✉ ❤❛✐ ♥❣➔② ✤➛✉ ✤ë✐ ❝ỉ♥❣ ♥❤➙♥ ✤â ❧➔♠ ✤÷đ❝ sè ♣❤➛♥ sỉ♥❣ ✈✐➺❝ ❧➔✿
2 3 37
+ =
7 8 56

✭❝æ♥❣ ✈✐➺❝✮

P❤➙♥ sè ❝❤➾ sè ♣❤➛♥ ❝æ♥❣ ✈✐➺❝ ✤ë✐ ❝æ♥❣ ♥❤➙♥ ❧➔♠ tr♦♥❣ ♥❣➔② t❤ù ❜❛ ❧➔✿
✷✶


❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙

1−

37 19
=

56 56

✭❝ỉ♥❣ ✈✐➺❝✮

❙è ♠➨t ✤÷í♥❣ ✤ë✐ ❝ỉ♥❣ ♥❤➙♥ ✤â ♣❤↔✐ ❧➔♠ ❧➔✿
57 : 19 × 56 = 168

✣→♣ sè✿ ✶✻✽♠ ✤÷í♥❣✳

✭♠✮

❇➔✐ ✷✻✳ ◆❤➔ ❆♥ ♥✉ỉ✐ ✽ ❝♦♥ ❜á✱ tr♦♥❣ ✤â ❝â ✸ ❝♦♥ ❜á ✤ü❝✳ ❍ä✐
❛✮ ❙è ❜á ✤ü❝ ❝❤✐➳♠ ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ♣❤➛♥ tr➠♠ tê♥❣ sè ❜á❄
❜✮ ❚➾ sè ♣❤➛♥ tr➠♠ ❣✐ú❛ sè ❜á ✤ü❝ ✈➔ sè ❜á ❝→✐ ❧➔ ❜❛♦ ♥❤✐➯✉❄

❇➔✐ ❣✐↔✐✿

❛✮ ❙è ♣❤➛♥ tr➠♠ ❜á ✤ü❝ ❝❤✐➳♠ ❧➔✿ 3 : 8 = 0, 375 = 37, 5%
❜✮ ❙è ❜á ❝→✐ ❧➔✿ 8 − 3 = 5 ✭❝♦♥✮
❚➾ sè ♣❤➛♥ tr➠♠ ❣✐ú❛ sè ❜á ✤ü❝ ✈➔ sè ❜á ❝→✐ ❧➔✿ 3 : 5 = 0, 6 = 60%
✣→♣ sè✿ ❛✱ 37, 5% ❀ ❜✱ 60%

❇➔✐ ✸✹✳ ởt ữớ ỷ tt tr ỗ ợ s✉➜t 1, 1% ♠ët t❤→♥❣✳
❚➼♥❤✿
❛✮ ❙è t✐➲♥ ❧➣✐ s❛✉ ♠ët t❤→♥❣✳
❜✮ ❙è t✐➲♥ ❝↔ ❣è❝ ✈➔ ❧➣✐ s❛✉ ❤❛✐ t❤→♥❣ ♥➳✉ ♥❣÷í✐ ✤â ❝❤➾ ✤➳♥ rót t✐➲♥ ♠ët ❧➛♥✳
❝✮ ❙è t✐➲♥ ❝↔ ❣è❝ ✈➔ ❧➣✐ s❛✉ ❜❛ t❤→♥❣ ♥➳✉ ♥❣÷í✐ ✤â ❝❤➾ ✤➳♥ rót t✐➲♥ ♠ët ❧➛♥✳

❇➔✐ ❣✐↔✐✿

❛✮ ❙è t✐➲♥ s ởt t ỷ

ỗ
ố t ố ✈➔ ❧➣✐ s❛✉ t❤→♥❣ t❤ù ♥❤➜t ❧➔✿
15000000 + 165000 = 15165000 ỗ
ố t ừ t tự
15165000 : 100 ì 1, 1 = 166815 ỗ
ố t ố ✈➔ ❧➣✐ s❛✉ ❤❛✐ t❤→♥❣ ❣û✐ t✐➲♥ ❧➔✿
15165000 + 166815 = 15331815 ỗ
ố t ừ t tự
15331815 : 100 ì 1, 1 = 168649, 965 ỗ
ố t✐➲♥ ❝↔ ❣è❝ ✈➔ ❧➣✐ s❛✉ ❜❛ t❤→♥❣ ❣û✐ t✐➲♥
15331815 + 168649, 965 = 15500464, 965 ỗ
số ỗ ỗ ỗ
15000000 : 100 ì 1, 1 = 165000

✷✷


❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙

❇➔✐ ✹✸✳ ▼ët ✤ì♥ ✈à ❜ë ✤ë✐ ❝❤✉➞♥ ❜à ❣↕♦ ❝❤♦ ✼✵ ♥❣÷í✐ ➠♥ tr♦♥❣ ✸✵ ♥❣➔②✳ ❙❛✉
❦❤✐ ➠♥ ✤÷đ❝ ✻ ♥❣➔② t❤➻ ❝â ✶✵ ♥❣÷í✐ ❝❤✉②➸♥ ✤✐ ♥ì✐ ❦❤→❝✳ ❍ä✐ sè ❣↕♦ ❝á♥ ❧↕✐ ✤õ
❝❤♦ sè ♥❣÷í✐ ❝á♥ ❧↕✐ ❝õ❛ ✤ì♥ ✈à ✤â ➠♥ tr♦♥❣ ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ♥❣➔② ♥ú❛❄ ❇✐➳t r➡♥❣ ♠ù❝
➠♥ ❝õ❛ ♠å✐ ♥❣÷í✐ tr♦♥❣ ♠ët ♥❣➔② ❧➔ ♥❤÷ ♥❤❛✉✳

❇➔✐ ❣✐↔✐✿

❙è ❣↕♦ ❝á♥ ❧↕✐ ✤õ ❝❤♦ ✼✵ ♥❣÷í✐ ➠♥ tr♦♥❣ sè ♥❣➔② ❧➔✿ 30 − 6 = 24 ✭♥❣➔②✮
❙è ♥❣÷í✐ ❝á♥ ❧↕✐ ❧➔✿ 70 − 10 = 60

số số ữớ trữợ s ❝❤✉②➸♥ ✤✐ ❧➔✿ 70 : 60 = 70
60
❱ỵ✐ ❝ị♥❣ ♠ët sè ❧÷đ♥❣ ❣↕♦ t❤➻ sè ♥❣÷í✐ ✈➔ sè ♥❣➔② ➠♥ ữủ t
70 60
ợ t➾ sè sè ♥❣➔② ➠♥ ❧➔✿ 1 − 60
=
70
❙è ❣↕♦ ❝á♥ ❧↕✐ ✤õ ❝❤♦ ✻✵ ♥❣÷í✐ ➠♥ tr♦♥❣ sè ♥❣➔② ❧➔✿ 24 × 70 : 60 = 28 ✭♥❣➔②✮
✣→♣ sè✿ ✷✽ ♥❣➔②✳

❇➔✐ ✹✽✳ ▼ët ✤ë✐ ①❡ ✈➟♥ ❝❤✉②➸♥ ❝â ✸✾ ỗ tờ tờ ✽ t➜♥✱
tê ❤❛✐ ❧➔ ❝→❝ ①❡ ❧♦↕✐ ✺ t➜♥✳ ❍ä✐ ♠é✐ tê ❝â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ①❡❄ ❇✐➳t r➡♥❣ ❤❛✐ tê ♥❤➟♥
❝❤ð sè ❤➔♥❣ ❤â❛ ❜➡♥❣ ♥❤❛✉ ✈➔ ♠é✐ ①❡ ❝❤➾ ❝❤ð ♠ët ❧÷đt✳
✣→♣ sè✿ ❚ê ✶✿ ✶✺ ①❡ ❧♦↕✐ ✽ t➜♥❀ tê ✷✿ ✷✹ ①❡ ❧♦↕✐ ✺ t➜♥

❇➔✐ ✼✸✳ ❈❤♦ ❤➻♥❤ t❛♠ ❣✐→❝ ❆❇❈ ❝â ✤✐➸♠ ◆ ❧➔ ✤✐➸♠ ❝❤➼♥❤ ❣✐ú❛ ❝↕♥❤ ❆❈✱ tr➯♥
❤➻♥❤ ✤â ❝â ❤➻♥❤ t❤❛♥❣ ❇▼◆❊ ♥❤÷ ❤➻♥❤ ✈➩✳ ◆è✐ ❇ ✈ỵ✐ ◆✱ ♥è✐ ❊ ✈ỵ✐ ▼✱ ❤❛✐ ✤♦↕♥
t❤➥♥❣ ♥➔② ❣➦♣ ♥❤❛✉ ð ✤✐➸♠ ❖✳
❛✮ ❙♦ s→♥❤ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❤❛✐ t❛♠ ❣✐→❝ ❖❇▼ ✈➔ ❖❊◆✳
❜✮ ❙♦ s→♥❤ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❤➻♥❤ t❛♠ ❣✐→❝ ❊▼❈ ✈ỵ✐ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❤➻♥❤ ❆❊▼❇✳

❇➔✐ ❣✐↔✐✿

❛✮ ❍❛✐ t❛♠ ❣✐→❝ ▼❇❊ ✈➔ ◆❇❊ ❝â ❝❤✉♥❣ ✤→② ❇❊ ✈➔ ❝❤✐➲✉ ❝❛♦ ❜➡♥❣ ♥❤❛✉ ✭✈➻
✷✸