Hướng dẫn ôn tập Hình học 9 Học kỳ I ( Dành cho học sinh)

HƯỚNG DẪN ÔN TẬP MÔN HÌNH HỌC 9 – HỌC KỲ I
Dưới đây là một số vấn đề về chứng minh các bài toán hình học trong
học kỳ 1. Các em cần nghiên cứu các ví dụ, làm các ví dụ và bài tập. Đặc
biệt cần phải học thuộc các kiến thức được nhắc lại trong mỗi vấn đề.
* Vấn đề 1: Vận dụng kiến thức về các hệ thức liên quan đến cạnh và đường
cao trong tam giác vuông để tính độ dài các đoạn thẳng.
@ Kiến thức cần học thuộc: Tam giác ABC vuông tại A, đường cao
AH. Và BH và CH lần lượt là hình chiếu của hai cạnh góc vuông AB và AC
trên cạnh huyền BC.
A
Có các hệ thức sau:
2
.AB BH BC=
;
2
.AC CH BC=

2
.AH BH HC=
;
. .AB AC AH BC
=
( Học thuộc các định lý 1;2;3 trang 65;66 SGK)
B H C

* Vấn đề 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông: Phải biết
được cạnh nào là cạnh kề, cạnh đối của mỗi góc nhọn trong tam giác vuông.
Tự học lại cách tìm sin, cos, tg, cotg của góc nhọn.
* Vấn đề 3: Học thuộc các hệ thức liên quan giữa cạnh và góc trong tam
giác vuông.
@ Kiến thức cần học thuộc: - Mỗi cạnh góc vuông được tính bằng

cách lấy cạnh huyền nhân với sin góc đối ( hoặc cạnh huyền nhân với cosin
góc kề)
- Tính cạnh góc vuông này bằng cách lấy cạnh góc vuông kia
nhân với tang góc đối ( hoặc lấy cạnh góc vuông kia nhân với cota góc kề)
Những kiến thức này rất cần thiết để tính độ dài các cạnh của tam giác
vuông.
* Vấn đề 4: Phương pháp chứng minh một điểm thuộc đường tròn: Để
chứng minh một điểm thuộc đường tròn, các em cần chứng minh điểm đó
cách tâm O một khoảng bằng bán kính đường tròn.
@ Kiến thức cần học thuộc:
a* Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh
huyền thì bằng nửa cạnh huyền.
b* Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì
cách đều hai đầu đoạn thẳng đó.
( Nếu M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB thì MA = MB )
c* Hai điểm A và B là đối xứng nhau qua đường thẳng d nếu d
là đường trung trực của đoạn thẳng AB. ( Tức là
AB d⊥
và AH = HB với H
là trung điểm của AB )
Ví dụ 1: Cho
ABCV
vuông tại A. Vẽ đường tròn tâm I, đường kính
BC. Chứng minh điểm A nằm trên đường tròn tâm I. ( Vận dụng kiến thức
a* nêu trên để ch.minh)
Ví dụ 2: Cho đtròn ( O;R). Từ điểm C nằm ngoài đường tròn, kẻ tiếp
tuyến CA với đường tròn ( A là tiếp điểm). Gọi B là điểm đối xứng của A
qua OC. Chứng minh điểm B thuộc đường tròn (O;R).
Gợi ý: - Vận dụng kiến thức c* và b* nêu trên để chứng minh
OA =OB = R

⇒
B
∈
(O;R)
* Vấn đề 5: Chứng minh đường thẳng a là tiếp tuyến của đường tròn.
@ Kiến thức cần học thuộc: a* Đường thẳng a gọi là tiếp tuyến của
đường tròn nếu đường thẳng a và đường tròn chỉ có một điểm chung.
b* Tiếp tuyến của đường tròn là đường
thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua
điểm đó.
@ Phương pháp chứng minh: Để chứng minh đường thẳng a là tiếp
tuyến của (O; R) các em cần ch.minh: đường thẳng a đi qua một điểm thuộc
đ.tròn (O;R) (giả sử là điểm B) và ch.minh
OB a
⊥
.
* Nếu B đã nằm trên đường tròn (O;R) thì chỉ cần chứng minh
OB a⊥
Ví dụ 1: Cho đường thẳng a. Từ một điểm A không thuộc đường
thẳng a, kẻ AH vuông góc với a. Vẽ đường tròn tâm O, đường kính AH. Lấy
điểm C thuộc đường thẳng a. Gọi K là điểm đối xứng của H qua OC.
Chứng minh OK là tiếp tuyến của (O; R).
* Gợi ý: - Phải chứng minh điểm K thuộc (O; R) ( Xem ví dụ 2
ở vấn đề 4)
- Chứng minh
OK CK⊥
bằng cách ch.minh 2 tam giác
HOC và KOC bằng nhau; từ đó suy ra góc OKC vuông. Từ 2 ch.minh trên
kết luận OK là tiếp tuyến của (O; R).
* Vấn đề 6: Vận dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau để so sánh và tính số

đo các góc.
@ Kiến thức cần học thuộc: a* Học thuộc định lý ở trang 114 SGK.
Minh họa như sau: ( Các em tự vẽ lại hình để khắc sâu kiến
thức): Cho (O;R). Nếu AB và AC là 2 tiếp tuyến của (O; R) thì: AB = AC;
· ·
BAO CAO=
và
· ·
BOA COA=

ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A; đường cao AH. Vẽ đường
tròn tâm O, đường kính AH. Kẻ các tiếp tuyến BD và CE với đường tròn
( D, E là các tiếp điểm khác điểm H)
a) Chứng minh 3 điểm D, A, E thẳng hàng.
b) Chúng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính
BC.
* Gợi ý: Để c.minh D, A, E thẳng hàng, các em cần ch.minh góc DAE
=180 độ. ( tức là c.minh:
·
·
·
·
0
180DAB BAH HAC CAE+ + + =
) . Mà do BC, BD là
các tiếp tuyến nên 2 góc DAB và BAH thế nào với nhau? Tương tự, CH và
CE là các tiếp tuyến nên 2 góc HAC và CAE thế nào với nhau? ( Các góc
DAH và góc HAE gọi là góc tạo bởi 2 bán kính; còn AB, AC các phân giác
của các góc này, đúng không?-Xem lại định lý ở trang 114SGK) . Dựa vào
đây để ch.minh

·
·
·
·
0
180DAB BAH HAC CAE+ + + =
.
- C.minh DE là tiếp tuyến đ tròn đường kính BC, cần xác định
tâm đường tròn đường kính BC. Gọi I là trung điểm của BC ( I chính là tâm
đó!). Cần ch.minh 2 điều sau: C.minh IA
⊥
DE và IA = IB =IC. Để c.minh
IA
⊥
DE, các em hãy xét xem tứ giác DBCE là hình gì? IA gọi là đường gì
trong tứ giác đó? Từ đó suy ra được IA
⊥
DE. Để c. minh IA = IB =IC thì dễ
rồi, xem lại kiến thức a* ở vấn đề 4.
* Vấn đề 7: Vận dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau để so sánh và tính
độ dài các đoạn thẳng.
Minh họa như sau: ( Các em tự vẽ lại hình để khắc sâu kiến thức):
Cho (O;R). Nếu AB và AC
là 2 tiếp tuyến của (O; R) thì: AB = AC.( Giao điểm của 2 tiếp tuyến một
đường tròn thì cách đều 2 tiếp điểm)
Ví dụ: Cho đường tròn tâm O, bán kính 2 cm. Các tiếp tuyến AB và
AC cắt nhau và vuông góc với nhau tại A. (B, C là các tiếp điểm).
a) Tứ giác OBAC là hình gì? Vì sao?
b) Gọi M là một điểm thuộc cung nhỏ BC. Qua điểm M, vẽ một tiếp
tuyến với đường tròn, tiếp tuyến này cắt AB tại D, cắt AC tại E. Tính chu vi

tam giác ADE.
c) Tính số đo góc DOE.
* Gợi ý: câu a) Các em tự ch.minh OBAC là hình vuông.
⇒
OB =OC=
AB=AC=2cm.
Câu b) Tính chu vi tam giác ADE = AD + AE + DE. Mà DM
là tổng hai đoạn nào? AD, AE là hiệu của các đoạn nào? D có phải là giao
điểm của 2 tiếp tuyến AB và DM ? Vậy 2 đoạn nào bằng nhau. So sánh
tương tự đối với EM và EC. Các em thay thế những đoạn thẳng bằng nhau
trong biểu thức tính chu vi thì sẽ được kết quả. Đáp số là 4 cm.
Câu c: HS tự làm.
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: Cho (O; 15 cm); dây BC = 24 cm. Các tiếp tuyến của đường tròn tại
B và C cắt nhau tại A. Gọi H là giao điểm của OA và BC.
a) Chứng minh: OA
⊥
BC và HB = HC
b) Tính độ dài OH và OA. ( Áp dụng các hệ thức ở vấn đề 1 để tính)
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB = 3cm; AC
= 6cm. Vẽ đường tròn tâm A bán kính AH. Kẻ các tiếp tuyến BE và CF với
đường tròn (A; AH); E,F là các tiếp điểm.
a) Tính độ dài BC và AH.
b) Chứng minh 3 điểm E, A, F thẳng hàng.
c) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh EF là tiếp tuyến đường
tròn tâm I.
Đáp số câu a) BC =
3 5
cm; AH =
6 5

5
cm.
Bài 3: Cho đường tròn (O; 3cm) và điểm A có AO = 5cm. Kẻ các tiếp tuyến
AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của AO
và BC.
a) Tính độ dài OH. ( Áp dụng các hệ thức ở vấn đề 1 để tính)
b) Qua điểm M bất kỳ thuộc cung nhỏ BC, kẻ tiếp tuyến với đường
tròn; tiếp tuyến này cắt AB và AC theo thứ tự tại D và E. Tính chu vi tam
giác ADE.
Bài 4: Cho đường thẳng xy và điểm A cách đường thẳng xy một khoảng
bằng 6 cm. Kẻ AH vuông góc với xy tại H. Trên hai tia Hx và Hy lần lượt
lấy hai điểm B và C sao cho góc BAH bằng
0
45
và góc CAH bằng
0
30
.
Đường tròn tâm O đường kính AH cắt AB và AC lần lượt tại D và E.
a) Tính độ dài các đoạn thẳng AB, AC, AE. ( Áp dụng các hệ thức ở
vấn đề 1 để tính)
b) Gọi K là điểm đối xứng của H qua OC. Chứng minh CK là tiếp
tuyến của đường tròn (O).
HẾT